Univerzita Pardubice Dopravní fakulta Jana Pernera Měření deformací na součásti pomocí tenzometrického měření a ověření výsledků metodou MKP

Transkript

1 niverzita Pardubice Dopravní fakuta Jana Pernera ěření deformací na součásti pomocí tenzometrického měření a ověření výsedků metodou KP Jan Doutnáč Bakaářská práce 00

2

3

4 Prohášení autora Prohašuji: Tuto práci jsem vypracova samostatně. Veškeré iterární prameny a informace, které jsem v práci využi, jsou uvedeny v seznamu použité iteratury. By jsem seznámen s tím, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vypívající ze zákona č. /000 Sb., autorský zákon, zejména se skutečnosti, že niverzita Pardubice má právo na uzavření icenční smouvy o užití této práce jako škoního día pode 60 odst. autorského zákona, a s tím, že pokud dojde k užití této práce mnou nebo bude poskytnuta icence o užití jinému subjektu, je niverzita Pardubice oprávněna ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákadů, které na vytvoření día vynaožia, a to pode okoností až do jejich skutečné výše. Souhasím s prezenčním zpřístupněním své práce v niverzitní knihovně. V Pardubicích dne Jan DOTÁČ

5 AOTACE Cíem bakaářské práce je měření deformací na součásti pomocí tenzometrického snímače. Z naměřených výsedků výpočet napětí a ověření výsedků pomocí metody konečných prvků (pomocí software ASYS). edínou součástí bakaářské práce je zpracování teorie tenzometrického měření a metody KP. KLÍČOVÁ SLOVA tenzometrické snímače, KP, napětí, deformace, nejistoty měření, diskretizace TITLE easurement of deformation on the part through the strain gage and confirmation through the FE. AOTATIO The target of bacheor thesis is deformation measurements of the beam with the assistance of tensometer. Cacuation of tension from measured resuts and verification with a hep of FE (software ASYS). Part of bacheor thesis is theory of tensometric measurements and FE theory. KEYWODS tensometer sensing eement, FE, stress, deformation, measurement uncertainty, discretization

6 PODĚKOVÁÍ V prvé řadě bych rád poděkova své rodině, především rodičům že mě vždy vedy ke studiu. Veké dík patří mé přítekyni za podporu a trpěivost v době studia a především v době příprav na zkoušky, kdy se snažia vytvářet ty nejepší podmínky pro studium. Dáe bych chtě poděkovat svému zaměstnavatei za umožnění studia při zaměstnání. Děkuji vedoucímu práce panu Ing. ichau usiovi, Ph.D. za obětavost, čas, důežité rady, poskytnutí prostoru a vybavení pro provedení experimentu.

7 Obsah Úvod... 9 Tenzometrické snímače Apikace tenzometrických snímačů ěřící obvody....3 Lepení tenzometrů....4 ěřící ústředna....5 Odvození zákadních vzorců....6 Výpočet obvodu ejistoty měření ejistota typu A (označení u A ) ejistota typu B (označení u B )... 7 Zákadní principy pružnosti a pevnosti.... Předpokady řešení:.... Saint-Vénantův princip:....3 Jednoosá napjatost:....4 Přetvoření....5 Pracovní diagram Hookeův zákon Poissonovo číso Výpočet napětí při ohybu nosníku etoda konečných prvků Historie Charakteristika Diskretizace Experimentání nosník Popis nosníku a zatěžovacích stavů KP mode Výpočet napětí Porovnání výsedků Závěr Literatura Seznam obrázků Obrázek : Schéma zapojení měřícího obvodu... 4 Obrázek : Štítek z obau snímače... 7 Obrázek 3: Geometrické nepřesnosti... 8 Obrázek 4: Jednoosá napjatost... Obrázek 5: Přírůstek déky při přetvoření... Obrázek 6: Pracovní diagram... 3 Obrázek 7: Deformace nosníku... 5 Obrázek 8: Zatížení nosníku... 6 Obrázek 9: Průběh o... 6 Obrázek 0: Kvadratický moment průřezu... 7 Obrázek : Diskretizace kruhu Obrázek : ěřený nosník... 3 Obrázek 3: ozměrový nárt nosníku... 3 Obrázek 4: Okrajové podmínky Obrázek 5: Výsedné normáové napětí Obrázek 6: apětí v místě tenzometru Obrázek 7: apětí v místě tenzometru... 36

8 Obrázek 8: Výsedné normáové napětí Obrázek 9: apětí v místě tenzometru Obrázek 0: apětí v místě tenzometru Obrázek : Výsedné normáové napětí Obrázek : apětí v místě tenzometru Obrázek 3: apětí v místě tenzometru Obrázek 4: Výsedné normáové napětí Obrázek 5: apětí v místě tenzometru Obrázek 6: apětí v místě tenzometru Obrázek 7: Průběh o Obrázek 8: Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru I. (8)... 4 Obrázek 9: Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru II. (8)... 4 Obrázek 30:Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru I. (6,5)... 4 Obrázek 3: Grafické porovnání v místě tenzometru II. (6,5)... 4

9 Úvod V současné době je jednou z nejdůežitějších činností konstruktéra navrhnout součást tak, aby snesa požadované zatížení po dobu své životnosti a přitom bya ekonomicky výhodná. K tomu je zapotřebí navrhnout součást tak, aby by pně využit materiá, z kterého je vyrobena a rozožení napětí nevykazovao obastí s příiš vysokým napětím a oproti tomu obasti téměř bez napětí, což samozřejmě není vždy možné. K uehčení práce nám v současné době souží především výpočetní programy a samozřejmě měření napětí na již vyrobené součásti pomocí tenzometrických snímačů. Cíem mé práce je porovnat výsedky těchto dvou odišných metod mezi s sebou na jednoduché součásti a výsedky ověřit i kasickým výpočtem, čímž ověřit důvěryhodnost těchto odišných metod. Práce se skádá ze čtyř havních části. První tři části popisují teorii tenzometrického měření, pružnosti a pevnosti a metody konečných prvků. Posední kapitoa srovnává výsedky z praktického měření a výpočtu. -9-

10 Tenzometrické snímače Jedná se o zařízení soužící k měření deformace na povrchu těesa, která je převedena na změnu eektrického odporu. Jde o eektrický odporový snímač, který je tvořen drátkem z vhodného materiáu a podožkou na které je drátek připevněn. Pomocí výpočtu a znaosti Hookova zákona je deformace převedena na povrchové napětí vyšetřované součásti. Tenzometrický snímač pracuje na principu změny ohmického odporu vodiče při produžování a současném zužování příčného profiu. Při zatížení vyšetřovaného těesa dochází k deformaci krajních váken. Tato deformace je přenesena na tenzometrický snímač čímž dochází k deformaci odporového drátku a tím i změně odporu snímače. Závisost mezi poměrnou deformací a poměrnou změnou odporu nazýváme konstantou snímače. Hodnota konkrétní konstanty je uvedena u každého snímače. Pro správnou funkci je potřeba, aby snímač spňova násedující podmínky: [] - Citivost snímačů vyjádřená poměrnou změnou odporu musí být co možná největší. - Cekový odpor snímače musí být co možná největší, aby se nežádoucí viv odporů v měřícím obvodě a jejich změny udržey na co možná nejmenší hodnotě. - Tepotní koeficient odporu musí být maý, aby se chyby způsobené koísáním tepoty, zmenšiy na minimum. - Drátek musí být dobře zpracován, aby neby křehký a da se pájet. - Drátek snímače musí vykazovat v co největším rozsahu ineární závisost mezi poměrnou deformací a změnou odporu drátku. V současné době se tenzometry vyrábějí ve dvou zákadních provedeních, a to kovovém a poovodičovém (křemíkovém). ěřicí mřížky kovových tenzometrů jsou nejčastěji vinuty z konstantanového drátku. kovových tenzometrů je změna ohmického odporu způsobena změnou průřezu drátku (fóie) měřicí mřížky a její déky, u poovodičových tenzometrů ve tvaru tyčinky je způsobena především změnou jejího měrného odporu což je primární projev piezorezistentního jevu. Předností poovodičových tenzometrů je vysoká citivost přibižně 60 větší než kovových tenzometrů.. Apikace tenzometrických snímačů V současné době se tenzometrické snímače upatňují havně v ověřování již vyrobených konstrukcí nebo jako měřící čen v různých sioměrech, snímačích krouticího momentu, snímačů taku, diagnostických zařízení atd. Jejich výhodou je že ze proměřovat sožité -0-

11 sestavy a to při provozním nebo testovacím zatížení kdy okrajové podmínky odpovídají reánému stavu což u metody KP není vždy možné. Samozřejmostí je měření jak při dynamickém tak statickém zatížení. Daší výhodou je, že při apikaci na konkrétní součást jsou do měření zahrnuty jak výrobní tak materiáové nepřesnosti.. ěřící obvody Aby se daa měřit deformace s naepenými tenzometry, musí být připojeny k eektronickému obvodu, jenž je schopen odpovídající změny odporu snímat. Převodníky pro tenzometry mají obvyke vstupy pro čtyři tenzometry eektricky spojeny do Wheatstoneova můstku. V současné době se také používá zapojení do tzv. poovičního Wheatstoneova můstku, který využívá dvou rezistorů umístěných uvnitř zesiovače a spoečně s měřícími tenzometry tvoří pný můstek. Wheatstoneův můstek je také vemi vhodný pro tepotní kompenzaci. V každém obvodu jsou zapojeny dva tenzometry, jeden aktivní a jeden jako kompenzační. Kompenzační souží k eiminaci vivu tepoty a je přiepen v bízkosti měřícího tenzometru na destičku z materiáu, jako je měřená součást. Destička je k součásti přiepena tak, aby nedocházeo k přenosu napětí na destičku. Před měřením je zapotřebí můstek vyvážit, tj. napětí na m = 0. Jakmie dojde ke změně odporu aktivního tenzometru v důsedku deformace rovnováha můstku se poruší a na svorkách m se objeví rozdí napětí. Výstupní napětí Wheatstoneova můstku se vyjadřuje v mv na Vot (mv/v) napájecího napětí..3 Lepení tenzometrů Kvaita naepení je jedním z nejdůežitějších činiteů ovivňujících přesnost měření. Před naepením snímače je důežité místo důkadně očistit a odmastit. ejprve vybrousíme ruční bruskou nebo hrubým smirkovým pátnem pošku pro umístění snímače. a povrchu nesmí zůstat viditené stopy po broušení proto se povrch vyrovná jemným smirkovým pátnem a zároveň dostatečně zdrsní pro správné přinutí epida. Po té se povrch dokonae očistí a odmastí vhodným přípravkem (na bázi acetonu). K nanášení epida používáme pochý štěteček. ejprve naneseme sabou vrstvičku epida, necháme po krátkou dobu zaschnout. Dáe se nanese epido na rub snímače a na pošku kam přijde snímač naepit. Snímač přiožíme na připravenou pošku, konečky prstů jemně přes papírek vymáčkneme přebytečné epido a vzduch. Snímač přidržujeme ceou jeho pochou po dobu nezbytně nutnou k dostatečnému vytvrzení epida. Při epení je nutné dodržovat násedující zásady: - Dodržovat důkadnou čistotu měřeného místa a veškerých chemikáií potřebných k naepení snímače. --

12 - Snímač správně nasměrovat ve směru měřené deformace a zároveň i umístit na správné místo. - Použít pouze tenkou vrstvu epida. - ezi měřenou konstrukcí a tenzometrem nesmí dojít k průrazu (odpor minimáně 00 Ω). Po naepení je vhodné snímač chránit vůči nepříznivým vivům (vhkost, agresivní átky, nečistoty) a to buď zažehením pod vrstvu vosku, vhodnou foii nebo ochranným geem..4 ěřící ústředna Pro naše měření bya použita měřící ústředna DC Pus - HB, jedná se o pně digitání měřicí systém spoupracující s PC prostřednictvím sběrnice GPIB, ceý proces měření i záznam naměřených dat je řízen a reaizován přísušným softwarem Catman3. ěřicí systém DC Pus umožňuje 8-kanáové měření ve statickém a dynamickém režimu, přičemž je možno využít vzorkovací frekvence až 9600 Hz na kaná. ěřicí systém umožňuje využít onine i offine digitání fitraci měřených signáů. Pro připojení tenzometrů jsou používány dvoukanáové měřicí moduy DV Odvození zákadních vzorců Jedním ze zákadních vzorců je výpočet ohmického odporu: 0 [Ω] (.) A kde ρ měrný eektrický odpor materiáu drátku [Ω/m]; 0 déka drátku [m]; A pocha průřezu drátku [m ]; Poměrnou změnu odporu vyjádříme jako d kde si d vyjádříme jako parciání derivaci přes všechny proměnné po dosazení (.) a (.3) do (.) dostaneme 0 da d d d A A A (.) (.3) --

13 dáe patí pomocí (.5) a (.6) vyjádříme d d d da A (.4) A r (.5) da dr da dr A r pomocí definice Poissonova čísa vyjádříme poměrné zúženi po té pomocí (.7) a (.8) dostaneme (.9) dosadíme do (.4) da A d r da rdr (.6) dr r d dr r d (.7) (.8) d (.9) d d d d d d (.0) d přičemž d nazýváme deformační konstantou tenzometru, značíme K d. d ( x ) (.) Kde ε značíme rativní deformaci (poměrné prodoužení). Po dosazení (.) do (.0) dostaneme: d d 0 K d K d Výsednou poměrnou změnu získáme pomocí integrace (.) (.) d K d d g K d g -3-

14 a po odogaritmování dostaneme K d n K d n( ) n( ) ( ) K d Kd závisost poměrné deformace na změně odporu je K d (.3) Pomocí Hookova zákona vypočteme z poměrné deformace veikost napětí K d (.4) E [Pa].6 Výpočet obvodu Obrázek : Schéma zapojení měřícího obvodu Zdroj: Autor -4-

15 -5- Použité veičiny: T odpor měřícího tenzometru [Ω]; K odpor kompenzačního tenzometru [Ω];, odpor uvnitř zesiovače kde = [Ω]; Δ změna odporu měřícího tenzometru [Ω]; napájecí eektrické napětí [V]; měřené eektrické napětí [V]; Pro zapojení de schématu patí: T T T (.5) K K (.6) T (.7) Při vyvážení můstku patí: T = K = = = což dosadíme do (.5), (.6) a po té do (.7): ) ( ) ( ) ( 4 (.8) Což dosadíme do vztahu pro stanovení poměrné deformace (.4): 4 d d K K Čen můžeme vzhedem k jeho veikosti zanedbat, pak dostaneme:

16 4 K d (.9) Po dosazení do Hookeová zákonu E dostaneme: Vztah (.0) použijeme pro kaibraci ústředny kde: K D =,03 = V = mv/v K 4 d E (.0), ,03 43,7Pa.7 ejistoty měření Při měření získáváme hodnotu, která je zatížená chybou išící naměřenou hodnotou od hodnoty skutečné. Tato chyba je definována jako rozdí naměřené hodnoty od hodnoty skutečné přičemž skutečná hodnota nám není známa. Chyby měření se vyskytují náhodně a dosahují jak kadných tak i záporných hodnot přičemž menší chyby jsou pravděpodobnější, větší chyba spíše vypovídá o hrubé chybě anebo nedodržení správného měřícího postupu. Vzhedem k těmto chybám hovoříme o nejistotě měření. Standardní nejistoty měření děíme pode způsobu vyhodnocování na: - Standardní nejistota typu A - Standardní nejistota typu B - Kombinovaná nejistota.7. ejistota typu A (označení u A ) Její hodnota s počtem měření kesá a vychází z Gaussovy teorie chyb z tzv. křivky normáního rozděení. ejistota typu A odpovídá směrodatné odchyce. Za předpokadu normáního rozděení, pak pravděpodobnost, že se hodnota náhodné veičiny bude od střední hodnoty išit nejvýše o jednu směrodatnou odchyku odpovídá 68% pravděpodobnosti správného výsedku. ejistotu typu A vypočteme ze vztahu: -6-

17 u A n( n n ) i ( x i x) kde x n n x i i Stanovit nejistotu typu A má význam v případě s minimáním počtem měření větší jak 0 což v našem měření nebyo provedeno a proto nebudeme nejistotu typu A uvádět..7. ejistota typu B (označení u B ) Její hodnota nezávisí na počtu opakování měření, ae na použitém měřícím řetězci. Patří sem tedy chyby měřících přístrojů, použitých metod měření, podmínek měření atd. V našem případě se bude jednat o nejistotu tenzometrického snímače, geometrické poohy umístění snímače, nejistota měřícího zesiovače a nejistota kabeu propojující měřící zesiovač s PC. ejistota hardwaru a softwaru se neuvažuje vzhedem k tomu že signá je v digitání podobě a byo použito pouze ověřený software. Výsedná nejistota typu B se stanoví součením díčích nejistot různého původu použitím zákona šíření nejistot. ejistota tenzometrického snímače ejistota odporu a deformačního faktoru tenzometrického snímače se stanoví na zákadě hodnot uvedených výrobcem na obau snímače. Obrázek : Štítek z obau snímače Zdroj: Autor -7-

18 važujeme- i normání rozděení pravděpodobnosti hodnot, redukuje se nejistota vztažená k odporu snímače součiniteem hodnoty 3 de []. u B0 0,35 3 0,% ejistota deformačního K-faktoru snímače předpokádá odchyku výsedku měření pode rozděení pravděpodobnosti rovnoměrného, pak se redukuje K-faktor součiniteem hodnoty,73 de []. u B,73 0,58% ejistota geometrie snímače Její veikost vypívá z míry přesnosti naepení snímače. Pro snadnější zapoohování je každý snímač opatřen osovým křížem a taktéž na měřené součásti je předem orýsován střed místa určeného pro naepení snímače. Přípustná míra nepřesnosti činí 0, mm v ose x a y a 3 natočení od podéné roviny. Obrázek 3: Geometrické nepřesnosti Zdroj: etodika AL--06 Vzhedem k naší konstrukci můžeme uvažovat výchyku v ose y nuovou, jeikož veikost napětí je po ceé šířce konstantní. snímače I. můžeme vzhedem k pooze v obasti s konstantním o uvažovat za nuovou i výchyku v ose x. aximání poměrná deformace tenzometru řady Y je 50 mm/m. Potom je koeficient změny dán vztahem: k 50 x Kde x je nejvzdáenější pocha hrany tenzometru vzhedem k neutrání ose. ejistotu měření při předpokadu rozděení pravděpodobnosti odchyky měření rovnoměrného stanovíme de []. u B k -8- x 3

19 kde Δx je definovaná přípustná míra nepřesnosti naepení. ejistota z hediska natočení snímače vůči podéné ose nosníku závisí na veikosti měřené poměrné deformace. Jestiže je osa snímače vychýená o úhe α, pak pro déku měřeného vákna nezatíženého nosníku 0 vůči déce snímače 0T patí vztah: 0 cos 0T a při zatížení dojde k prodoužení snímače vůči měřenému váknu o déku Δ 0T : T cos Výsednou nejistotu určíme z rozdíu poměrných deformací tenzometru a nosníku. Vzhedem k normánímu rozděení chyby musíme ceou hodnotu děit 3. ub3 3 T T T 0 cos 0T cos u B 3 T cos cos 3 ejvyšší hodnota napětí, kterou jsme naměřio byo 55 Pa, potom tedy: a T E T,6 4,6 0 cos 3 7 u B 3,39 0 m / m 0,39 m / m T T T ejistota epida Pro epení byo použito epido HB Z70, pro které je pastická deformace při třetím a daším cyku 0,5 μm/m, potom tedy: u B 0,5 m/ m 4 ejistota měřícího zesiovače Pro nejistotu měření zde použijeme Gaussův zákon šíření nejistot pro nepřímo měřené veičiny: u m f B5 ubj (.) j X j -9-

20 -0- kde X j f jsou parciání derivace poměrné deformace u Bj jsou nejistoty jednotivých zdrojů Parciání derivace pode a K d : K d K D 4 4 (.) 4 n 4 d K d K K D (.3) Po dosazení (.) a (.3) do (.) dostaneme výsedný tvar pro určení nejistoty měřícího zesiovače: 5 4 n B d K BD K d B u K u K u D D kde u BD je nejistota měřícího zesiovače stanovená na zákadě kaibračního istu. Výsedná nejistota typu B Výsedná nejistota typu B se stanoví součením díčích nejistot typu B B B B B B B B u u u u u u u Kombinovaná nejistota Stanovíme součením nejistot typu A a B. B A C u u u ozšířená nejistota měření ozšířenou nejistotu měření stanovíme z kombinované nejistoty vynásobené koeficientem rozšíření k =, což při normáním rozděení odpovídá 95% pravděpodobnosti správného výsedku. u C k u

21 Zákadní principy pružnosti a pevnosti Pružnost těesa: je schopnost těesa po odstranění vnějších si se vrátit do původního stavu Tuhost těesa:. Předpokady řešení: je vyjádřením jeho odonosti proti deformaci od vnějších si. patnost předpokadu maých poměrných deformací. ineární závisost mezi napětím a deformací (Hookeův zákon) 3. patnost St. Vénantova principu 4. materiá -homogenní: tj. stejné sožení a vastnosti v ceém objemu -isotropní:. Saint-Vénantův princip: tj. stejné mechanické vastnosti ve všech směrech Viv místního působení si a vetknutí součásti se projevuje jen v jeho bízkém okoí a zaniká přibižně ve vzdáenosti řádově rovné příčným rozměrům prutu. Proto viv vetknutí ve zjednodušených příkadech zanedbáváme..3 Jednoosá napjatost: Pro řešení nejjednodušších úoh pružnosti a pevnosti používáme metodu řezu. Prut, který je v siové rovnováze rozděíme myšeným řezem na části. Tuto rovnováhu zajišťují vnitřní síy: F 0 Obrázek 4: Jednoosá napjatost Zdroj: Pružnost a pevnost I. --

22 d ( x) ( x ) [Pa] da( x) V případě rovnoměrného rozožení taku/tahu: ( x) ( x ) [Pa] A( x) Jeikož napětí je funkcí jedné osy (x) nazýváme tuto napjatost jednoosou..4 Přetvoření Obrázek 5: Přírůstek déky při přetvoření Zdroj: Pružnost a pevnost I. Prut neproměnného průřezu o déce 0 po zatížené osovou siou změní svou déku na hodnotu. Přírůstek déky (absoutní deformace): 0 eativní deformace (poměrné prodoužení): Při uvažování pouze eementární části prutu: ( x ) ( x) 0 dx dx --

23 V případě že ε není po ceé déce prutu konstantní, je nutné změnu déky určit jako součet jednotivých eementárních změn: a po integraci: dx ( x) dx dx ( x) dx ( ) ( ).5 Pracovní diagram Při tahové zkoušce na trhacím stroji, obdržíme závisost síy a jí odpovídající deformaci. Závisost σ = σ (ε), kde napětí je vztahováno stáe k počátečnímu průřezu A 0, nazýváme smuvní pracovní diagram. Obrázek 6: Pracovní diagram Zdroj: Pružnost a pevnost I. -3-

24 Pro materiá pode obr.5 je závisost σ = σ (ε) až do hodnoty napětí σ u (mez úměrnosti) ineární. Při zatěžování do hodnoty σ E (mez pružnosti) nevznikají po odehčení trvaé deformace, materiá se deformuje pouze pružně. některých materiáů (poykrystaických) se jednoznačná mez pružnosti prakticky nevyskytuje, v tom případě zavádíme smuvní mez pružnosti σ 0,005, tj. napětí při níž je trvaá deformace po odehčení 0,005%. Při dosažení napětí meze kuzu σ k, začnou deformace ryche vzrůstat. Poměrná deformace je pak sožená z části vratné eastické a trvaé pastické. Řada materiáů nemá výraznou mez kuzu, u nich je zaváděná smuvní mez kuzu, což je napětí, které způsobí určitou trvaou deformaci, většinou se uvádí σ 0,. V průběhu zatěžování dochází ke zmenšování příčného průřezu a tím ke změně A 0, proto má pracovní diagram skutečné napětí σ s = F/A (kde A je okamžitá veikost průřezu). Průběh je znázorněn na grafu čárkovaně a napjetí dosahuje meze..6 Hookeův zákon Lineární část funkční závisosti σ = σ (ε) je matematicky vyjádřená Hookeovým zákonem v případě jednoosé napjatosti ve tvaru a vyjadřuje nám ineární závisost napětí na deformaci: E [Pa] Konstana E se nazývá modu pružnosti v tahu nebo také Yongův modu. Jednotkou moduu pružnosti je Pa. odu pružnosti je konstantní v obasti eastických deformací a je závisý na tepotě. a zákadě znaosti vnitřních si a Hookeova zákona ze určit deformaci (prodoužení) prutu. apětí v obecném řezu x je rovno: ( x ) ( x) A 0 F A 0 [Pa] Z Hookeova zákona: ( x ) ( x) E F E A 0 F E 0 A 0 Prodoužení Δ: -4-

25 F 0 E A0 V případě že ε není po ceé déce konstantní: F d ( x) E dx A Cekové prodoužení je rovno součtu jednotivých díčích prodoužení: 0 dx 0 F E dx A ( 0 ) Poissonovo číso Při natahování tyče nedochází jen ke změně jejího podéného rozměru, ae mění se i rozměry příčné. Připojíme-i k poměrným deformacím indexy os, v niž deformaci zjišťujeme, pak vypívá: b a x y x 0 b 0 a 0 Obrázek 7: Deformace nosníku Zdroj: Pružnost a pevnost I. hodnot ε x, ε y vycházejí záporné hodnoty, což značí, že jde o poměrné zkrácení (zúžení). I při jednoosé napjatosti tedy dochází k deformaci ve třech směrech. Součinite příčného zúžení μ, nazýváme Poissonovo číso a je pro daný materiá v obasti pružných -5-

26 deformací přibižně konstantní. Hodnoty μ definujeme při jednoosé napjatosti jako absoutní hodnota poměru příčné a podéné deformace: y x.8 Výpočet napětí při ohybu nosníku Vzhed k naší úoze budeme uvažovat pouze nosník zatížený ohybovým momentem, jeikož posouvající sía má pouze zanedbatený viv na výsedné napětí. Veikost výsedného napětí je závisé jak na zatížení, tak na způsobu jeho uožení. V našem případě uvažujeme pravou podpěru jako neposuvnou koubovou podpěru a evou podpěru jako posuvnou koubovou podpěru. Obrázek 8: Zatížení nosníku Zdroj: Autor Průběh ohybového mementu je zobrazen na obrázku níže. Obrázek 9: Průběh o Zdroj: Autor -6-

27 Stopa ohybového momentu je totožná s havní centrání osou průřezu proto se jedná o rovinný ohyb. Výpočet ohybového momentu: F F o x respektive o y Veikost výsedného napětí je přímo úměrná vzdáenosti krajního vákna od neutrání osy, která se vždy nachází v těžišti průřezu. Což v našem případě vzhedem k souměrnosti nosníku podé os bude znamenat, že veikost napětí v krajních váknech bude jak v taku, tak v tahu stejná. aximání napětí bude samozřejmě ve váknech nejvzdáenějších od neutrání osy. Pokud vzdáenost tohoto místa označíme jako e bude pak veikost napětí rovna: AX J kde J Z je kvadratický moment průřezu k neutrání ose. Z e o Obrázek 0: Kvadratický moment průřezu Zdroj: Pružnost a pevnost I. J Z h h y b dy b h h y dy b 3 y 3 3 y 3 h h b h 3 3 h 3 3 b h 3 Čen J Z e nazýváme průřezovým moduem v ohybu a značíme jako W o W o J Z e b h h 3 b h 6-7-

28 3 etoda konečných prvků 3. Historie etoda vznika v období koem roku 956 ve výzkumném ústavu aeronautické a kosmické mechaniky v Ohiu, SA (Wright Paterson Air Force Base). Výzkumný tým by veden prof..w. Coughem a spoupracovai zejména.l. eosh, H.C. artin, J.L. Tocher a daší. Výzkum a vývoj uvedené numerické metody vyvoa striktní požadavek "měsíčního" programu Apoo v obasti vývoje a konstrukce nosných raket. V daném čase a při známém objemu financí (3 miiardy ) se po rozboru zjistio, že se pomocí experimentu nedá úko spnit. Zbya jediná cesta a sice vývoj takové numerické metody, která by výpočty potřebné pro projekty nových typů raket a daších systémů projektu Apoo zváda. Výsedky výzkumu byy dáe intenzívně využívány na uvedené vojenské zákadně při projektech etade, ponorek, raket všech typů, atd. Tato skutečnost způsobia utajení detaiů metody tak, že programy a teoretické čánky ežey nejméně deset roků ve vojenských sejfech. První konference v Ohiu (965 a968) uváděy jen kusé informace. Daší vývoj by pak často poznamenán četnými dupicitami v odvození zákadních "nástrojů" metody (uvádí se, že deskový trojúheníkový prvek odvodio na sobě nezávise aspoň 7 autorů). Je zajímavé, že inženýři s metodou douhé roky úspěšně počítai, než matematikové dokázai konvergenci metody a vastně posvětii desetieté výpočtářské úspěchy. V civiním sektoru se nejbouřivěji metoda konečných prvků (KP) rozvíjea v etech Prvním propagátorem a neochvějným zastáncem metody by v ČSF prof. V. Koář, DrSc. z Brna, který také dosáh značného mezinárodního uznání. Pomocí KP se dnes řeší ceá řada úoh, jejichž reaizace nebya dosud možná a to nejen v obasti mechaniky spojitých těes či soustav. Svou obecnou matematickou formuací umožňuje KP řešit probém: mechaniky hornin, proudění kapain a pynů, šíření tepa a záření, stacionárních a nestacionárních eektromagnetických poí atd. Dokonce jsou známy pokusy o řešení socioogických úoh a modeování ekonomických probémů. O KP má smys hovořit pouze v souvisosti s nasazením na čísicových počítačích - směe se dá říci, že metoda je produktem doby moderních počítačů. V současné době jsou to pro zajímavost vědecko-technické výpočty meteoroogů, které mají největší požadavky na veikost a rychost počítačů tak, aby předpověď počasí pro ceou zeměkoui bya vypočítána do dvou hodin po shromáždění naměřených dat. -8-

29 3. Charakteristika Anaýza metodou konečných prvků (KP) je napodobení fyzikáního systému (geometrie a zatížení) matematickou aproximací reáného systému. žitím jednoduchých vzájemně spojených boků nazývaných eementy, je reáný systém s nekonečně mnoha neznámými aproximován systémem s konečným počtem neznámých, tzv. diskretizace. Jedná se o numerickou metodu pro získání přibižného řešení široké třídy inženýrských úoh. Těeso (příp. soustava těes) se nahrazuje odpovídající soustavou menších částí (prvků). amísto řešení probému ceého těesa je probém formuován pro jeho jednotivé části, v nichž jsou neznámé f-ce (např. deformace) přibižně popsány jen maým počtem parametrů ve zvoených bodech (uzech). Dáe se systematicky "zkompetuje" řešení pro ceé těeso [4]. Veká část inženýrských probémů není bez užití moderních metod anayticky řešitená. Před nástupem počítačů do praxe se postupovao tak, že se sožitá soustava značně zjednodušia a to tak aby se dai použít již známé vzorce. Používání KP se rozšířio v praxi spou se vzrůstajícím použití počítačů v konstrukční praxi a v dostupnosti těchto softwarů. Vekou výhodou použití KP je jeho použití již při vývoji součásti a umožnění optimaizace konstrukce bez zhotovení prototypu, což má za násedek veké finanční a časové úspory. V současnosti je KP široce a podrobně rozpracovávaný vědní obor obsahující tyto části [4]: a) teoretická- formuace variačních principů, odvozování vztahů pro různé typy prvků atd. b) matematická - probematika vhodných numerických metod, výběr agoritmů,důkazy existence a konvergence řešení, odhad chyby řešení atd. c) počítačová: ) preprocessing - generování vstupních dat, grafické zobrazení čenění, vstupní data, okrajové podmínky, zatížení, opravy a úpravy dat atd. ) processing - výpočet matic prvků, sestavení matic ceého systému, sestavení maticových rovnic a jejich řešení atd. 3) postprocessing - výpočty závisých parametrů, výstupní soubory, grafické znázornění výsedků, výstupy výsedků na periferie atd. d) inženýrsko probémová - využití možnosti KP pro konkrétní inž. úohy tj. děení těesa na prvky, výběr typu prvku, výběr vhodného prvku pro danou úohu, zadání potřebných vstupních údajů, voba forem výstupů atd. KP umožňuje řešit kvaitativně nové úohy (jak rozsahem, tak obsahem). Dnes jsou vyvinuty stovky typů konečných prvků a na světě existují desítky ceosvětově známých programových systémů (ADIA, ASYS, APPLE-SAP, ASAS, ASKA, BEASY, COSOS, -9-

30 CASTE, DIAL, AC, SC/ASTA, PAFEC, SAP7, SYSTS, SYSOISE, TITS,TPS0...) [4]. 3.3 Diskretizace Zákadním krokem metody je rozděit (diskretizovat) ibovoný mechanický systém na konečný počet prvků obvyke geometricky jednoduchých (úsečka, trojúheník, obdéník, hrano, ), tzv. eementu; resp. rozděení sožité obasti na jednoduché části. Děení na prvky není v žádném případě jednoznačné a je sině ovivněno technickými zkušenostmi a citem řešitee. Příkadem této jednoduché a ve všech odvětvích hojně používané myšenky je např. způsob výpočtu pochy kruhu dané součtem poch jednotivých trojúheníku. Obrázek : Diskretizace kruhu Zdroj: Autor S i cos sin Jeikož sin( x ) cos( x) sin( x) Voíme sin( x) cos( x) sin( x) x pak S i sin S i i S i sin -30-

31 4 Experimentání nosník 4. Popis nosníku a zatěžovacích stavů V našem případě by použit jednoduchý na dvou místech podepřený pochý nosník toušťky 3,5 mm z materiáu třídy., viz násedující obr. Tento jednoduchý tvar by vybrán z důvodu možné apikace vzorců pro výpočet napětí, jeikož se bude jednat pouze o rovinný průhyb a tím i možnosti ověření správnosti výsedků naměřených pomocí tenzometrického snímače a výpočtu pomocí KP. Pro měření napětí byy umístěny na nosník dva tenzometrické snímače. Snímač I eží uprostřed součásti a snímač II je vyosen o 95 mm. Zatížení byo apikováno pomocí předem zvážených závaží a to vždy dva zatěžovací stavy. Přenos zatížení na nosník by pomocí dvou podpěr umístěných 5 mm od středu součásti. Obrázek : ěřený nosník Zdroj: Autor -3-

32 Obrázek 3: ozměrový nárt nosníku Zdroj: Autor ěření byo provedeno ve dvou zákadních zatěžovacích stavech viz níže uvedená tabuka. - stav : tenzometry umístěné na horní poše nosníku a zatížené na tak - stav : tenzometry umístěné na spodní poše nosníku a zatížené na tah V každém stavu byo apikováno zatížení o dvou veikostech a každé měření byo provedeno 3x. Tabuka : Zátěžové stavy amáhání tenzometru Veikost zatížení F [] Zátěžový stav. Stav. tak 8 Stav. tak 6,5 Zátěžový stav. Stav. tah 8 Stav. tah 6,5-3-

33 Tabuka : aměřené hodnoty ěření [Pa] Střední Ztížení hodnota Zátěžový stav Tenzometr [] I II III [Pa]. 6,89 6,9 6,98 6,97 8 3,53 3,56 3,57 3, , 53,4 53,7 53,07 6,5 6,8 6,87 6,88 6,850. 7,74 6,96 7,8 7, ,85 3,88 3,9 3, ,56 54,67 54,7 54,650 6,5 7,7 7,77 7,79 7, KP mode Pro výpočet napětí by použit software ASYS 0.0. Vzhedem k jednoduchosti nosníku bya použitá síť tvořená z hexa prvků. Okrajové podmínky osník by podepřen v místě podpěr a to pouze ve směru komém k nosníku (směr osy Y) jako náhrada evé podpěry (posuvná koubová podpora) a ve směru komém a podéném k nosníku (směr osy Y a X) v místě pravé podpěry (pevná koubová podpora). Pro zamezení pohybu v ose Z by nosníku zakázán pohyb v tomto směru. Zatížení byo apikováno ve směru komém k nosníku na průsečnici mezi nosníkem a podpěrami přenášejícími zatížení na nosník o veikosti odpovídající hmotnosti závaží (viz. násedující obr). Veikost eementu K stanovení vhodné veikosti eementu byo použito někoik výpočtů o různé veikosti sítě, kdy každý násedující výpočet mě na příčném průřezu nosníku a jeden eement více přičemž se začínao na dvou eementech. Jako výsedek bya sedována veikost změny napětí dvou sousedních výpočtů a pro zajímavost by sedován výpočetní čas. aměřené výsedky jsou shrnuty v násedující tabuce a jako nejvhodnější počet eementu na příčný průřez byo 6-33-

34 eementů. Při každém daším zvyšování počtu eementů již docházeo pouze k zanedbatené změně vypočteného napětí a docházeo pouze k nárůstu výpočetního času. Tabuka 3: Tabuka porovnání přesnosti výpočtu v závisosti na veikosti eementů Počet eementů / průřez apětí [Pa] ozdí sousedních výpočtů [%] Výpočetní čas [s] 5,69 4,96 4 6,48 0, , ,49-43 Obrázek 4: Okrajové podmínky Zdroj: Autor -34-

35 Tabuka 4: Vypočtené hodnoty KP Zátěžový stav Tenzometr Ztížení Vypočtená hodnota [] [Pa]. 6,49 8 Obr. 4 až 6 3,36. 5,695 6,5 Obr. 7 až 9 6,64. 6,49 8 Obr. 0 až 3,36. 5,695 6,5 Obr. 3 až 5 6,64-35-

36 Zátěžový stav.: Obrázek 5: Výsedné normáové napětí Zdroj: Autor Obrázek 6: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor Obrázek 7: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor -36-

37 Zátěžový stav.: Obrázek 8: Výsedné normáové napětí Zdroj: Autor Obrázek 9: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor Obrázek 0: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor -37-

38 Zátěžový stav.: Obrázek : Výsedné normáové napětí Zdroj: Autor Obrázek : apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor Obrázek 3: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor -38-

39 Zátěžový stav.: Obrázek 4: Výsedné normáové napětí Zdroj: Autor Obrázek 5: apětí v místě tenzometru Zdroj: Autor Obrázek 6: apětí v místě tenzometru -39-

40 4.3 Výpočet napětí Zákadní vzorec pro výpočet ohybového napětí v krajním vákně viz kapitoa. o [Pa] W kde o F F o x [m] resp. o y [m] Geometrické rozměry nosníku: 6 W O b h [m 3 ] Obrázek 7: Průběh o Zdroj: Autor šířka nosníku: výška nosníku: Tabuka 5: Vypočtené hodnoty b = 68,3 mm h = 3,5 mm x = 89 mm y = 45 mm Ztížení -40- Vypočtené hodnoty O W O σ Zátěžový stav Tenzometr [] [m] [m 3 ] [Pa] ,5 6,49 8 8,5 3, ,75 5,695 6,5 3633,75 6,643 36, ,5 6,49 8 8,5 3, ,75 5,695 6,5 3633,75 6,643

41 4.4 Porovnání výsedků Tabuka 6: Porovnání výsedků Vypočtené hodnoty Ztížení Tenzometr KP Výpočet Zátěžový stav Tenzometr [] [Pa]. 6,97 6,49 6,49 8 3,553 3,36 3, ,07 5,695 5,695 6,5 6,850 6,64 6,643. 7,507 6,49 6,49 8 3,877 3,36 3, ,650 5,695 5,695 6,5 7,757 6,64 6,643 Obrázek 8: Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru I. (8) Zdroj: autor Obrázek 9: Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru II. (8) Zdroj: autor -4-

42 Obrázek 30:Grafické porovnání výsedků v místě tenzometru I. (6,5) Zdroj: autor Obrázek 3: Grafické porovnání v místě tenzometru II. (6,5) Zdroj: autor -4-

43 5 Závěr Úkoem práce byo porovnat výsedky jednotivých metod určených k vyšetřování napětí na namáhané součásti. Pro tento experiment by jako vhodná součást vybrán jednoduchý nosník zatížený siou komou na nosník a to především z důvodu, že tato jednoduchá součást nám omezí možnosti vzniku chyb získaných především z geometrického a výpočetního hediska. Cíem této práce nebyo vyhodnotit napětí na sožité součásti, ae především co nejpřesněji stanovit napětí jednotivými metodami zatíženými co nejmenší chybou a navzájem tyto výsedky porovnat. Jeho vekou výhodou je také jednoduchost výpočtu napětí popsaného v nauce o pružnosti a pevnosti. Taktéž při výpočtu pomocí KP nemusíme vzhedem k jednoduchosti součásti provádět výpočet na zjednodušeném modeu, ae na modeu přesně odpovídajícímu zatěžovanému nosníku. Vzhedem k jednoduchosti součásti považuji výpočet pomocí zákadních vzorců jako nejpřesnější metodu a výsedek této metody považuji za směrodatný s kterým porovnávám zbývající metody. Z výše uvedených výsedků je patrné že v našem případě anaytickému řešení nejépe odpovídají výsedky vypočtené metodou KP. Ovšem této přesnosti byo dosaženo až po odadění úohy, které se týkao především způsobu vetknutí nosníku nejépe popisující reáný stav. této metody byo také experimentováno s veikosti eementu respektive počtu eementů na příčný průřez a jako nejepší v poměru přesnost a rychost řešení by počet 6 eementů na příčný průřez. Daší zvyšování počtu eementů vedo pouze k produžování výpočetního času bez dopadu na přesnost výsedků. Při tenzometrickém měření byo provedeno i někoik měření s účeně vyoseným zatížením, aby moh být sedován viv těchto nepřesností na výsedky měření a tím stanovení přesnosti rozměření jednotivých podpěr. Také zde vzhedem k štíhosti nosníku museo být uvažováno s vivem gravitace a při obrácení nosníku muse být výstup vynuován, aby došo k odstranění tohoto vivu. Úkoem této práce nebyo jednoznačně říci která metoda je epší anebo přesnější ve stanovení napětí jeikož každá metoda má své opodstatnění. Tenzometrické měření je vhodné pro již vyrobené a provozované zařízení jeikož se ve výsedcích projeví výrobní a materiáové nepřesnosti, jeho nevýhodou je však možnost zjistit pouze povrchové napětí a to pouze v přístupných místech a místech umožňující naepení tenzometrického snímače. Je zde také veký prostor k chybám způsobených převážně naepením tenzometru na součást. KP je moderní metodou a siným nástrojem konstruktéra, který umožní vyšetřovat napětí s poměrně vysokou přesností už v době návrhu součásti. Jeho nevýhodou je odborná -43-

44 náročnost na obsuhu, která musí mít zkušenosti a cit především pro stanovaní okrajových podmínek mající veký viv na přesnost výsedků. Kasická metoda výpočtu je již v dnešní době vytačovaná především díky rozvoji KP. Její obrovskou výhodou je její rychost a vhodnost především v době návrhu konstrukce, kdy nám pomůže získat aespoň předběžnou představu o zákadních rozměrech konstrukce. -44-

45 Literatura [] Tenzometrické měření oceových konstrukcí-metodika, Zkušební aboratoř AL DFJP, dokument AL--06 [] ĚEC, Jindřich. Odporové tenzometry v praxi. Vyd.. Praha : akadateství technické iteratury n. p., s. [3] ICHALEC, Jiří, et a. Pružnost a pevnost I. Vyd.. Praha 6 : Vydavateství ČVT, s. [4] HOYL, Petr. Inženýrské zákady KP. Technická univerzita Ostrava, s. Oborová práce. VŠB - Technická univerzita Ostrava. -45-