MASARYKOVA UNIVERZITA. Martingaly. RNDr. Martin Kolář, Ph. D.

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Martingaly Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2008 Alena Robotková

2 Jméno a příjmení autora: Alena Robotková Název bakalářské práce: Martingaly Název v angličtině: Martingales Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Martin Kolář, Ph.D. Rok obhajoby: 2008 Anotace v češtině Tématem této bakalářské práce jsou martingaly. Práce je rozdělena do dvou kapitol. V první kapitole je uvedena teorie martingalů a s ní související koncepty, které jsou posléze upotřebeny při výpočtech příkladů v kapitole následující. Anotace v angličtině The theme of this bachelor s Major Thesis are martingales. Thesis is divided into two chapters. In the first chapter is presented basic theory of martingales, which is needed while calculations in the next chapter. Klíčová slova v češtině: martingal, pravděpodobnost, stochastický proces, náhodný proces, stopping time Klíčová slova v angličtině: martingale, probability, stochastic process, random process, stopping time

3 Poděkování Chtěla bych tímto poděkovat RNDr. Martinu Kolářovi, Ph.D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu.

4 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala sama, pouze za pomoci RNDr. Martina Koláře, Ph.D. a uvedené literatury. V Brně dne 4. června 2008 Alena Robotková

5 Obsah Úvod 5 1 Teorie martingalů Historická východiska teorie Stochastické procesy Podmíněná očekávání Definice martingalu Klasické příklady martingalů Martingalová transformace Stopping times Další vlastnosti martingalů Příklady řešené s využitím teorie martingalů Martingalová vlastnost Stopping times Aplikace martingalů ve financích Seznam použité literatury 26

6 ÚVOD Úvod Tato bakalářská práce je zaměřena na teorii, koncepty a příklady týkající se problematiky martingalů. Teorie martingalů se začala rozvíjet v souvislosti se snahou porozumět problému týkajícímu se sázení, konkrétně nemožnosti vydělat peníze sázením na férové hry. Úspěch teorie mnohonásobně předčil původní záměry a teorie martingalů je v současné době jedním z hlavních nástrojů užívaných při studiu náhodných procesů. Současnou teorii martingalů vytvořil (s využitím předchozích prací Paula Lévyho) Josef Doob. Bakalářská práce je členěna do dvou kapitol. První kapitola se věnuje teorii martingalů a s ní souvisejícím konceptům, což je doplněno o klasické příklady martingalů. Tento teoretický základ je posléze aplikován při řešení úloh v kapitole druhé. Nejprve jsou uvedeny úlohy jednodušší, spíše teoretické, posléze úlohy praktičtějšího rázu a v závěru i ukázka aplikace teorie martingalů do oblasti financí. Zdrojem pro teoretickou i praktickou část práce mi byly především knihy [2], [1] a [6]. V celém textu se předpokládá znalost základů teorie pravděpodobnosti. 5

7 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Kapitola 1 Teorie martingalů V úvodní kapitole rozebereme základy teorie martingalů, které budou prakticky upotřebeny v kapitole následující. 1.1 Historická východiska teorie Jako motivaci si uveďme zmínku o strategii sázení, která byla východiskem teorie martingalů. Představme si, že hráč disponuje neomezenými zdroji. Vsadí 1Kč na určitý výsledek. Když sázku prohraje, vsadí v další hře 2Kč. Pokud prohraje v n-té hře, vsadí v další hře 2 n Kč. Vsazená suma je v každé hře stanovena tak, aby případná výhra pokryla veškeré předchozí prohry a navíc vydělala 1Kč. Tuto strategii nazýváme martingal. V současnosti je tato strategie v casinech zakázaná, krupieři mají instrukce odmítnout sázky, pokud zjistí, že tuto strategii někdo praktikuje. To souvisí s následujícím výpočtem. Uvažujme férovou hru (tedy pravděpodobnost výhry i prohry je stejná a rovna 1/2). Předpokládejme, že hráč vyhraje poprve v N -té hře. N je náhodná proměnná s pravděpodobnostním 6

8 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ rozdělením P(N = n) = ( ) n 1, 2 a tedy P(N < ) = 1. Hráči je téměř jistě zaručena výhra v dlouhém časovém období. Nicméně je také pravděpodobné, že za tento čas prohraje velkou sumu L, která má střední hodnotu ( ) n 1 E(L) = ( n 2 ) = 2 n=1 Hráč se tedy musí připravit na výdej velmi velké sumy peněz. 1.2 Stochastické procesy Mějme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou množinu T (která má význam času). Mějme zobrazení X : Ω T R, které má tyto vlastnosti: a) pro t T : X(, t) je náhodná veličina vzhledem k A (značíme X t ), b) pro ω Ω : X(ω, ) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných na T. Takové zobrazení X pak nazýváme stochastickým procesem definovaným na množině T. Značíme {X t ; t T }. Stochastické procesy můžeme dělit z hlediska času či z hlediska jejich stavů. Stochastický proces může být z hlediska času diskrétní (množina T je nejvýše spočetná a lineárně uspořádaná) či spojitý (množina T je intervalem). Stejně tak i z hlediska stavů můžeme mít stochastický proces diskrétní (pro t T je X t diskrétní veličina) nebo spojitý (pro t T je X t spojitá veličina). V dalších kapitolách se budeme věnovat stochastickým procesům s diskrétním časem a diskrétními stavy. 7

9 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ 1.3 Podmíněná očekávání Vzhledem k tomu, že jsou martingaly definovány pomocí podmíněných očekávání, považuji za vhodné zde uvést definici a dále také několik vlastností podmíněných očekávání, které budou v následujících kapitolách využity jak při důkazech, tak při výpočtech příkladů. Definice. Mějme náhodnou veličinu X, její očekávání podmíněné náhodnou veličinou Y je opět náhodná veličina definovaná takto: E(X Y ) = ψ(y ), kde ψ(y) = E(X Y = y) je střední hodnotou podmíněného rozdělení X daného podmínkou Y=y. V této práci budeme zpravidla uvažovat podmíněná očekávání ve tvaru E(X Y), kde Y je vektor náhodných veličin Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Z klíčových vlastností uveďme následující: a) E(X 1 + X 2 Y) = E(X 1 Y) + E(X 2 Y). b) E(Xg(Y) Y) = g(y)e(x Y ) pro (měřitelnou) funkci g: R n R. c) E(X h(y)) = E(X Y) pokud h : R n R n je prostá. d) E[E(X Y)] = E(X). e) E[E(X Y 1, Y 2 ) Y 1 ] = E(X Y 1 ) (Tato vlastnost se nazývá Tower property.) Důkaz. První čtyři vlastnosti i jejich důkazy považujme za elementární (viz. literatura), důkaz provedeme pouze pro vlastnost poslední. Pro zjednodušení 8

10 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ jej uvedeme pro skalární případ, analogicky jej pak lze dokázat i pro vektory náhodných veličin. Mějme X, Y, Z diskrétně rozdělené náhodné veličiny. Potom E{E(X Y, Z) Y = y} = z = z = x xp (X = x Y = y, Z = z)p (Y = y, Z = z Y = y) x P (X = x, Y = y, Z = z) P (Y = y, Z = z) x P (Y = y, Z = z) P (Y = y) x xp (X = x Y = y) = E(X Y = y). 1.4 Definice martingalu Definice. Posloupnost náhodných proměnných S n : 0 n <, která pro n 0 splňuje následující dvě podmínky: a) E S n < b) E(S n+1 X 0, X 1,..., X n ) = S n (tzv. základní martingalová identita) nazýváme martingalem vzhledem k posloupnosti náhodných proměnných X n : 0 n <. Definice. Říkáme, že {S n } tvoří supermartingal, respektive submartingal pro n 0, jestliže platí: a) E(Sn ) < resp. E(S n + ) < b) E(S n X 0, X 1,..., X n ) S n 1 resp. E(S n X 0, X 1,..., X n ) S n 1, kde X + = max{0, X} a X = min{0, X}. Poznámka. S je martingalem právě tehdy když je zároveň supermartingalem i submartingalem. 9

11 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ 1.5 Klasické příklady martingalů Pro ilustraci se hned podívejme na některé klasické příklady martingalů. Příklad 1. Náhodná procházka Jedním z klasických příkladů z oblasti martingalů, je známá náhodná procházka. Náhodná procházka modeluje pohyb částice, a to vždy o jeden krok vlevo či vpravo s pravděpodobnostmi l a p(= 1 l). Potom pro pozici částice po n krocích (S n = X 1 + X X n ) platí, že E S n n a E(S n+1 X 1, X 2,..., X n ) = S n + (l p). Přitom je patrné, že náhodný proces {Y n }, kde Y n = S n n(l p) je martingalem vzhledem k X. Příklad 2. Martingal jakožto sázková strategie Nyní se vraťme k úvodu a k martingalu, jakožto sázkové strategii. Ukážeme si, že tato strategie opravdu tvoří martingal. Již jsem uvedla způsob sázení, tedy hráč sází 1Kč a pokud prohraje, sází v další hře 2Kč. (Pokud vyhrál, sází opět 1Kč). Pokud hráč prohraje n her, vsadí v té následující 2 n Kč. Řekněme, že hráč dříve či později vyhraje (pořadí této výherní hry si označíme V). Jeho výdělek v tu chvíli činí 2 V ( V 1 )Kč. Označíme si hráčův zisk po n hrách jako Y n (prohry přitom započítáváme jako záporné hodnoty). Potom zřejmě Y 0 = 0 a Y n n 1 = 2 n 1. Navíc ukončí-li hráč hru dříve než v čase n+1, potom Y n+1 = Y n. Jinak platí Y n+1 = Y n 2 n nebo Y n+1 = Y n +2 n, přičemž obě tyto varianty nastanou s pravděpodobností 1/2. Odtud již jasně plyne, že E(Y n+1 Y 1, Y 2,..., Y n ) = Y n a tedy Y je martingalem (vzhledem k Y). Příklad 3. De Moivrův martingal Zhruba před sto lety byly martingaly velmi populární sázkovou strategií, 10

12 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ především mezi pařížskými gamblery. Abraham de Moivre využil martingalu, jakožto matematického modelu, k popisu problému ruinování hráče. Tento příklad i důkaz toho, že se opravdu jedná o martingal, budou uvedeny v druhé kapitole této práce. Příklad 4. Markovské řetězce Dalším příkladem martingalů, který považuji za vhodné zde zmínit, jsou Markovské řetězce. Mějme diskrétní Markovský řetězec nabývající hodnot ze spočetné množiny S, s maticí přechodu P. Předpokládejme, že ψ : S S je omezená a harmonická, což znamená, že p ij ψ(j) = ψ(i) pro i S. j S Není obtížné ukázat, že Y = {ψ(x n ) : n 0} je martingalem vzhledem k X. Využijeme Markovské vlastnosti, abychom ukázali, že E(ψ(X n+1 ) X 1, X 2,..., X n ) = E(ψ(X n+1 ) X n ) = p Xn,jψ(j) = ψ(x n ). j S Obecněji, předpokládejme, že ψ je vlastním vektorem matice přechodu P, což znamená, že existuje takové λ, pro něž platí p ij ψ(j) = λψ(i), i S. j S Pak E(ψ(X n+1 X 1, X 2,..., X n ) = λψ(x n ), a odsud plyne, že λ n ψ(x n ) tvoří martingal, pokud E ψ(x n ) < pro všechna n. 11

13 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ 1.6 Martingalová transformace Nyní se posuňme od příkladů k další teoretické oblasti týkající se martingalů. Budeme se zabývat otázkou, jak ze stávajících martingalů vytvořit martingaly další. K tomuto se využívá tzv. martingalové transformace. Nejprve si však musíme zavést některé nezbytné předpoklady. Definice. Posloupnost náhodných proměnných {Y n : 1 n < } nazýváme neanticipující vzhledem k posloupnosti {X n } pokud pro n (1 n < ) existuje funkce f taková, že platí Y n = f(x 1, X 2,..., X n 1 ), tedy hodnota Y n je jednoznačně určena hodnotami X 1, X 2,..., X n 1. Definice. Nechť {M n } je martingal a A n neanticipující posloupnost vzhledem k {X n }. Proces { M n : 0 n < } zadaný podmínkami M 0 = M 0 a M n = M 0 + A 1 (M 1 M 0 ) + A 2 (M 2 M 1 ) + + A n (M n M n 1 ) pro n 1 nazýváme martingalovou transformací martingalu {M n }. Jak již bylo uvedeno, martingalová transformace nám dává možnost vytvářet další martingaly z martingalů, které známe. Následující věta nám ukazuje, že uvedeným způsobem transformovaný martingal, je skutečně martingalem. Věta 1.1. Je-li {M n } martingal vzhledem k posloupnosti {X n }, a je-li {A n : 1 n < } posloupnost omezených náhodných veličin které jsou neanticipující vzhledem k {X n }, potom je posloupnost martingalových transformací { M n } také martingalem vzhledem k {X n }. 12

14 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Důkaz. Martingalová vlastnost plyne z jednoduchého výpočtu. Zřejmě je vidět, že E( M n M n 1 X 1, X 2,..., X n 1 ) = E(A n (M n M n 1 ) X 1, X 2,..., X n 1 ) = A n E(M n M n 1 X 1, X 2,..., X n 1 ) = 0, což je ekvilalentní k martingalové identitě E( M n X 1, X 2,..., X n 1 ) = M n Stopping times Jednou z významných pasáží teorie martingalů jsou tzv. stopping times. Stopping time je náhodnou proměnnou popisující pravidlo, kterého můžeme využít při rozhodování zda pokračovat v sázení, či hru ukončit. Takové pravidlo zřejmě nemůže záviset na příjmu ze hry, která dosud neproběhla. Tato intuitivní vlastnost je zachycena v následující definici. Definice. Náhodnou proměnnou τ nabývající proměnných z množiny {0, 1, 2,... } { } nazýváme stopping time posloupnosti {X n } pokud 1 {τ n} = f(x 1, X 2,..., X n ) pro n taková, že 0 n <, kde 1 {τ n} nazýváme indikátorem. Je to funkce nabývající hodnoty 1, je-li splněna podmínka {τ n}, 0 jinak. V mnoha ohledech nás zajímá chování náhodného procesu {Y n } právě v čase stopping time τ. Pokud je τ < s pravděpodobností 1, potom můžeme definovat tzv. zastavený proces (stopped process) Y τ položením n 1 Y τ = 1 {τ=k} Y k + 1 {τ n} Y n. k=0 13

15 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Zaveďme si nyní označení: x y = min{x, y}. Věta 1.2. Je-li {M n } martingal vzhledem k posloupnosti {X 1, X 2,..., X n,... }, potom zastavený proces {M n τ } je také martingalem vzhledem k posloupnosti {X 1, X 2,..., X n }. n τ = min{x, y}. Důkaz. Nejprve si uvědomme, že neztratíme na obecnosti, omezíme-li se na případ, kdy M 0 = 0, neboť můžeme uvažovat martingal M n = M n M 0. Dále poznamenejme, že omezené náhodné proměnné A k definované jako A k = 1 {τ k} = 1 1 {τ k 1} jsou neanticipující pokud τ je stopping time. Tedy n A k {M k M k 1 } = M τ 1 {τ n 1} + M n 1 {τ n} = M n τ, k=1 takže {M n τ } je martingalová transformace martingalu M n procesem {A n }, který je omezený a neanticipující. Podle věty 1.1 je {M n τ } martingal. Věta 1.3. (Optional sampling theorem.) Je-li T stopping time a existuje-li pevné N (< ) takové, že P (T N) = 1, potom E Y T < a E(Y T ) = E(Y 0 ) (tedy pro T < n je E(Y T n ) = E(Y T ) = E(Y 0 )). Důkaz. Viz. literatura [2]. Věta 1.4. (Optional stopping theorem.) Mějme martingal Y a stopping time T. Potom E(Y T ) = E(Y 0 ) pokud platí: a) P (T < ) = 1, b) E Y T <, 14

16 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ c) E(Y n 1 {T >n} ) 0 pro n Důkaz. Nejprve si uvědomme, že Y T = Y T n + (Y T Y n )1 {T >n}. S využitím rovnosti E(Y T n ) = E(Y 0 ) (viz. Věta 1.3.) tedy dostaneme E(Y T ) = E(Y 0 ) + E(Y T 1 {T >n} ) E(Y n 1 {T >n} ). Předpoklad c) nám přitom říká, že poslední člen E(Y n 1 {T >n} ) 0 pro n. Dále využijeme faktu, že E(Y T 1 {T >n} ) = E(Y T 1 {T =k} ) k=n+1 je (z předpokladu b)) chvostem konvergující posloupnosti E(Y T ) = k E(Y T 1 {T =k} ), a tedy E(Y T 1 {T >n} ) 0 pro n. Nyní už tedy dostáváme, že E(Y T ) = E(Y 0 ) pro n. Analogicky lze dokázat, že pro submartingal resp. supermartingal platí E(Y T ) E(Y 0 ) resp. E(Y T ) E(Y 0 ). Poznamenejme, že předchozí 2 věty se v literatuře někdy uvádějí souhrnně pod názvem Optional stopping theorem. 1.8 Další vlastnosti martingalů V této kapitole zmíním další vlastnosti a věty týkající se martingalů, které budou však spíše jen informačního charakteru, a proto budou uvedeny bez důkazů (ty jsou uvedeny v literatuře, ze které čerpám - viz. [2] a [6]). 15

17 KAPITOLA 1. TEORIE MARTINGALŮ Věta 1.5. Věta o konvergenci martingalu. Mějme martingal {Y n }, pro nějž platí, že E(Y 2 n ) < M < pro nějaké M a pro n. Potom existuje náhodná proměnná Y taková, že Y n Y s.j. pro n. Věta 1.6. Doobův rozklad. Submartingal {Y n } s konečnou střední hodnotou můžeme vyjádřit jako Y n = M n + S n, kde {M n } je martingal a {S n } je rostoucí neanticipující proces. Tento rozklad je určen jednoznačně. Proces {S n } nazýváme kompenzátorem submartingalu {Y n }. Poznamenejme ještě, že kompenzátor má konečnou střední hodnotu. 0 S n Y + n M n, z čehož plyne, že E S n E(Y + n ) + E M n. Věta 1.7. Maximální nerovnost (The maximal inequality). Označme Y n = max{y i : 0 < i n}. a) Je-li Y submartingal, potom n ) P (Yn x) E(Y + x pro x > 0. b) Je-li Y supermartingal, potom n ) P (Yn x) E(Y 0) + E(Y x pro x > 0. 16

18 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Kapitola 2 Příklady řešené s využitím teorie martingalů V této sekci se budu věnovat řešení příkladů z oblasti martingalů, budu postupovat od jednodušších (vycházejících přímo z definice martingalu), ke složitějším, řešeným s využitím vlastností a pravidel, která byla v teoretické části představena. 2.1 Martingalová vlastnost Příklad 1. Mějme X n nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 pro všechna n 1. Ukažte, že posloupnost částečných součtů: S 0 = 0 a S n = X 1 + X X n pro n 1, je martingalem vzhledem k X n : 1 n <. Řešení. Ověříme martingalovou identitu: E(S n X 1, X 2,..., X n 1 ) = E(S n 1 + X n X 1, X 2,..., X n 1 ) = E(S n 1 X 1, X 2,..., X n 1 ) + E(X n X 1, X 2,..., X n 1 ) = S n = S n 1. 17

19 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Příklad 2. Mějme X n nezávislé náhodné proměnné s E(X n ) = 0 a V ar(x n ) = σ 2 pro všechna n 1 a posloupnost částečných součtů {S n } z předchozího příkladu. Ukažme, že vztahy M 0 = 0 a M n = Sn 2 nσ 2 pro n 1 definují martingal vzhledem k posloupnosti X n : 1 n <. Řešení. Toto tvrzení ověříme následovně: E(M n X 1, X 2,..., X n 1 ) = E(S 2 n 1+2S n 1 X n +X 2 n nσ 2 X 1, X 2,... X n 1 ). Víme, že Sn 1 2 je funkcí posloupnosti {X 1, X 2..., X n 1 } a její podmíněná pravděpodobnost je právě Sn 1. 2 Přejdeme-li k druhému sčítanci, ihned vidíme, že E(S n 1 X n X 1, X 2..., X n 1 ) = S n 1 E(X n X 1, X 2..., X n 1 ). Dále platí, že E(X n X 1, X 2..., X n 1 ) = E(X n ) = 0, protože X n je nezávislé na posloupnosti X 1, X 2..., X n 1. Analogicky ověříme, že E(X 2 n X 1, X 2,..., X n 1 ) = σ 2. Po shrnutí všech dílčích výsledků dostáváme: E(M n X 1, X 2,..., X n 1 ) = S 2 n σ 2 nσ 2 = S 2 n 1 (n 1)σ 2 a ověření martingalové vlastnosti pro M n = S 2 n nσ 2 je tímto úplné. Příklad 3. Dokažte, že je-li Y martingalem, pak E(Y n ) = E(Y 0 ) pro n. Řešení. Vyjdeme z definice a využijeme martingalové identity E(Y n X 1, X 2,..., X n 1 ) = Y n 1. 18

20 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Potom vidíme, že pro obecné m platí: E(Y m ) = E[E(Y m+1 X 1, X 2,..., X m )], což se (dle vlastnosti d) z kapitoly 1.3) rovná E(Y m+1 ). Požadovaná rovnost odtud plyne matematickou indukcí. Příklad 4. Dokažte, že je-li Y martingalem, pak E(Y n+m X 1, X 2,..., X n ) = E(Y n ) pro m, n 0. Řešení. Vyjdeme z vlastnosti podmíněných očekávání - Tower property: E(Y n+m X 1, X 2,..., X n ) = E[E(Y n+m X 1, X 2,..., X n+m 1 ) X 1, X 2,..., X n ] a odsud z martingalové identity dostáváme E(Y n+m X 1, X 2,..., X n ) = E(Y n+m 1 X 1, X 2,..., X n ). Pro m 1 se postupným snižováním indexu o 1 dostaneme až na E(Y n+m X 1, X 2,..., X n ) = E(Y n+1 X 1, X 2,..., X n ) = Y n. 2.2 Stopping times Příklad 5. Mějme stopping times T 1 a T 2 vzhledem k {X 1, X 2,..., X n }. Ukažme, že také T 1 + T 2, min{t 1, T 2 } a max{t 1, T 2 } jsou stopping times. Řešení. Dokážeme přímo pomocí definice stopping times. a) {T 1 + T 2 = n} = n k=0 ({T 1 = k} {T 2 = n k}) b) {min{t 1, T 2 } n} = {T 1 n} {T 2 n} c) {max{t 1, T 2 } n} = {T 1 n} {T 2 n} a odtud je vidět, že 19

21 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ a) 1 {T1 +T 2 =n} = f(x 1, X 2,..., X n }, b) 1 {min{t1,t 2 } n} = f(x 1, X 2,..., X n }, c) 1 {max{t1,t 2 } n} = f(x 1, X 2,..., X n }. Příklad 6. Problém ruinování hráče. Dva hráči, pojmenujme je Adam a Bedřich, hrají následující hru: Adam opakovaně hází mincí. Po každém hodu, kdy padne hlava (líc mince), zaplatí Bedřich Adamovi jeden dolar. Pokud padne orel (rub mince), zaplatí jeden dolar Adam Bedřichovi. Hra pokračuje dokud jeden či druhý z hráčů nepřijde o peníze, přičemž Adam začíná s A a Bedřich s B korunami. A) jaká je pravděpodobnost, že na konci hry bude mít celou sumu peněz Adam? B) jak dlouhou hru můžeme očekávat? Řešení. Tento problém můžeme považovat za optional stopping problem (problém týjakící se optional stopping). Nechť X 1, X 2,... je posloupnost Adamových přírůstků v každé hře: potom X i = ±1 podle toho, zda v i- tém tahu padla hlava či orel. Výsledná suma, kterou získá Adam po n hrách, je tedy rovna S n = Hra pokračuje do okamžiku τ, kde n X i. i=1 τ = min{n : S n = +A nebo B}. Není nijak těžké si uvědomit, že τ je stopping time vzhledem k {X 1, X 2,..., X n }. Navíc posloupnost S n je martingalem vzhledem k {X 1, X 2,..., X n }. Tudíž, 20

22 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ z Věty 1.3., pro všechna n <, 0 = ES 0 = ES τ n = AP (τ n a S τ = A) BP (τ n a S τ = B) + ES n 1 {τ>n}. Pro n, pravděpodobnost jevu τ > n konverguje k nule. (Pokud totiž v jakémkoliv čase jsou A+B hodů za sebou nepřetržitě ruby či líce, potom musí hra skončit, protože jeden z hráčů bude zruinován. Pro extrémně velká n je šance, že nedojde k sekvenci A + B rubů či líců během n hodů, velmi malá.) Protože S n musí ležet mezi A a B za podmínky τ > n, z toho vyplývá, že poslední člen přechozí rovnosti konverguje k nule pro n. Tedy pro n výnosy splňují následující rovnost: 0 = AP (S τ = A) BP (S τ = B). Protože S τ se musí rovnat buď A nebo B, obě pravděpodobnosti musí dát dohromady součet 1. Odsud získáme dvě rovnice pro dvě neznámé, které můžeme řešit a tak získat odpověď na otázku (A): P (S τ = A) = B A + B. Abychom mohli odpovědět na otázku (B), musíme se vrátit k Větě 1.4., tentokrát s využitím martingalu S 2 n n (že je to skutečně martingal jsme ukázali v příkladu 2). Podle Věty 1.4., pro každé n = 1, 2,..., E(S 2 τ n τ n) = 0 = E(τ n) = ES 2 τ n = ES 2 τ 1 {τ n} + ES 2 n1 {τ>n}. 21

23 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ Nyní τ n τ a S 2 τ 1 {τ n} S 2 τ při n, přičemž v obou případech se jedná o konvergenci monotónní. Tedy lim E(τ n) = Eτ a n lim n ES2 τ 1 {τ n} = ES 2 τ = A 2 ( B A + B = AB, ) ( ) A + B 2 A + B kde předposlední rovnost vyplývá z výše uvedeného řešení otázky (A). Jelikož je S 2 n vázáno na podmínku τ > n, a jelikož pravděpodobnost tohoto jevu konverguje k nule při n, konverguje i ES 2 n1 {τ>n} k nule při n. Proto, při n dostáváme rovnost Eτ = AB, což je očekávaná délka hry. O problému ruinování hráče jsem se zmínila již v teoretické části, zabýval se jím Abraham de Moivre, proto hovoříme o De Moivrovu martingalu. Nutno však podotknout, že v tomto konkrétním příkladu jsme se oproti De Moivrovu martingalu dopustili zjednodušení a to v tom, že jsme operovali s férovou mincí (tedy pravděpodobnost výhry i prohry byla shodná a rovna 1/2). De Moivre uvažoval obecněji, tedy uvažoval minci neférovou (pravděpodobnost výhry by pak byla p pravděpodobnost prohry q). Řešení této varianty příkladu je uvedeno v literatuře [2]. 22

24 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ 2.3 Aplikace martingalů ve financích Jednou z oblastí, kde se jich dá také využít, je oblast financí, například při modelování pohybu cen akcií. Při rozhodování o tom, kam investovat, se v podstatě nabízejí dvě možnosti - vydat se cestou technické nebo fundamentální analýzy. Technická analýza spočívá v dlouhodobém sledování pohybu cen akcií a na základě výsledných pozorování pak dojde k rozhodnutí o nákupu či prodeji. Druhou oblíbenou metodou je fundamentální analýza. Zjišťovaná vnitřní hodnota akcie v tomto případě nezávisí na historických datech, jen na aktuálním rozdílu mezi vnitřní hodnotou a tržní cenou akcie. Fundamentální analytici věří, že cena akcie nepodléhá trendu a nelze ji tedy do budoucna určit pomocí zkoumání minulých pohybů cen akcií. Lze jen s určitou pravděpodobností odhadnout její budoucí cenu, která závisí na současné hodnotě. Fundamentální analytici tedy mohou teorii martingalů využít při modelování cen akcií. Příklad 7. Sledujeme-li vývoj určité ceny akcie, vidíme, že může mít tendenci klesat či stoupat. Tento popis může připomínat náhodnou procházku. Chceme-li srovnat dvě hodnoty akcie S n v čase t n a S m v čase t m, potřebujeme se podívat na jejich diskontované hodnoty. Tedy Y n = 1 (1 + r) n S n pro n = 0, 1, 2,..., N, kde r je pevně daná úroková míra. Stejně tak se na bázi diskontovaných hodnot {Y n } často zakládají i očekávání ohledně prosperity akcií. Podmíněné očekávání hodnoty Y n je dáno vývojem do doby n 1, přitom při modelování cen akcií většinou uvažujeme, že se v současné ceně odráží 23

25 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ veškeré (do té doby) dostupné informace, tedy můžeme psát E[Y n Y 0, Y 1,..., Y n 1 ] = E[Y n Y n 1 ] [ ] 1 = E (1 + r) S n S n n 1 1 = (1 + r) E[S n S n n 1 ] 1 = (1 + r) E[(1 + r n)s n n 1 S n 1 ] 1 = (1 + r) [1 + E(r n)]s n n 1 = 1 + E(r n) 1 + r S n 1 (1 + r) n 1, kde {r n }, n = 1, 2,..., N jsou jednotlivé (shodně a nezávisle rozdělené) výnosy. Odtud tedy ze vzorce pro diskontovanou hodnotu: E[Y n Y 0, Y 1,..., Y n 1 ] = 1 + E(r n) Y n 1, 1 + r což nám ukazuje, že {Y n } je martingálem, submartingálem či supermartingálem právě tehdy když E(r n ) = r, E(r n ) r či E(r n ) r. Příklad 8. Uvažujme dva investory, přičemž každý z nich disponuje stejným bohatstvím X 0. První z nich je skromnější a rozhodl se ukončit investování ve chvíli, kdy poprvé vydělá. Postup druhého z investorů je agresivnější, rozhodl se ukončit investování ve chvíli kdy získá desetinásobek současného bohatství. Pro prvního investora definujme okamžik ukončení investic T = min{n : X n > X 0 + 1}, kde X n je hodnota investice v čase n. Pro druhého investora si T definujeme jako min{n : X n > 10X 0 }. T přitom není nikterak omezené. Ve skutečnosti však musíme počítat s tím, že čas T je omezen délkou života 24

26 KAPITOLA 2. PŘÍKLADY ŘEŠENÉ S VYUŽITÍM TEORIE MARTINGALŮ každého z investorů, tedy si stanovme jakousi očekávanou délku života t. Nyní definujme T = T t, takže T je omezené. Nyní, je-li proces investování (vydělávání investicemi) supermartingálem, víme, že E(X T ) E(X 0 ). V každém případě tedy investor musí počítat se ztrátou. Nyní se počítejme šanci investorů na úspěch. Pro nějaké b kladné, s využitím Maximální nerovnosti (maximal inequality) dostáváme P (X T > b) E(X T ). b Z uvedené vlastnosti supermartingálu (E(X T ) E(X 0 )) dostáváme P {X T > b} E(X 0 )/b. Položíme-li X 0 rovno konstantě C a b = a C pro nějaké a > 0, vidíme, že P {X T > ac} 1/a, a tedy je-li v případě agresivnějšího investora a = 10, má méně než 10 % šanci na úspěch. 25

27 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY Seznam použité literatury [1] Chung, K. L., AitSahlia, F.: Elementarz Probability Theory, Springer- Verlag, New York 2003 [2] Grimmett, G., Stirzaker, D.: Probability and Random Processes, Oxford University Press, New York 2001 [3] Lalley, S.: Lectures of Mathematical Finance, dostupné online z lalley/courses/index.html, University of Chicago 2007 [4] Plch, R., Lomtatidze, L.: Sázíme v L A TEXu diplomovou práci z matematiky, Masarykova univerzita, Brno 2003 [5] Rybička, J.: L A TEX pro začátečníky, Konvoj, Brno 2003 [6] Steele, J. M.: Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, New York 2001 [7] Štěpán, J.: Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha