DvojrozmÏrn a trojrozmïrn pohyb

Transkript

1 4 DojrozmÏrn trojrozmïrn pohb CirkusoÈ umïnì odjkûi p itholo pozornost di k. Proto tkè blo e sè dobï elmi rozöì enè po celèm sïtï e zn m ch rtistick ch rodin ch se dïdilo z generce n generci. V roce 1922 uûslo obecensto nd ËÌslem rodin Zcchinio ch, p i kterèm se jeden z nich nechl st elit z dïl. P eletïl celou cirkusoou rènu dopdl do z chrnnè sìtï. Di ck spïön kousek se pr bïhu dlöìch let postupnï zdokonlol. Aû nkonec, nïkd kolem roku 1939 nebo 1940, se pod ilo Emnuelu Zcchinioi p ekont zd lenost 68,6 m p eletït t i rusk kol z bnìm prku. Jk le mohl ÏdÏt, km je t eb umìstit z chrnnou sìù? Kde zìskl jistotu, ûe dos hne tkoè ök, b obrosk kol bez hon p eletïl?

2 4.2 POLOHA A POSUNUTÍ DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB V této kpitole rozšíříme dosdní úh n přípd pohbu, který již nebude omezen pouze n přímku.budeme sledot pohb částice roině i prostoru.nejdůležitější pojm týkjící se popisu pohbu (poloh, rchlost, zrchlení) přeezmeme z kp.2.vícerozměrné definice zth budou sice poněkud složitější než u přímočrého pohbu, šk pomocí ektoroé lgebr z kp.3 bude možné je jádřit elmi přehledně.při studiu této kpitol se občs r te ke kpitolám předchozím osěžte si potřebné znlosti. 4.2 POLOHA A POSUNUTÍ Polohu částice nejčstěji popisujeme jejím polohoým ektorem r, který spojuje předem zolený ztžný bod (obkle počátek soust souřdnic) s touto částicí.v krtézské soustě souřdnic zpisujeme ektor r e tru r = i + j + zk, (4.1) kde i, j zk jsou jeho průmět do souřdnicoých os, z jsou jeho složk.(noé znčení se poněkud liší od zápisů kp.3.sndno se šk můžete přesědčit, že ob způsob jsou ekilentní.) Koeficient, z udájí polohu částice zhledem ke zolené soustě souřdnic, zdné osmi počátkem. Říkáme, že částice má krtézské souřdnice (,, z).poloh mlého tělísk P n obr.4.1 je zdán polohoým ektorem r = 3i + 2j + 5k. Jeho krtézské souřdnice jsou ( 3, 2, 5).Znmená to, že tělísko P njdeme e zdálenosti tří jednotek od počátku proti směru os, tj.e směru ektoru i, dou jednotek e směru os (e směru ektoru +j) pěti jednotek e směru os z (e směru ektoru +k). Při pohbu částice se mění i její polohoý ektor.jeho koncoý bod se pohbuje spolu s částicí počáteční bod trle splýá s počátkem soust souřdnic.složk polohoého ektoru (t), (t) z(t) jsou ted funkcemi čsu, polohoý ektor r = r(t) je ektoroou funkcí čsu.je-li poloh částice okmžiku t 1 určen ektorem r 1 následujícím okmžiku t 1 + t ektorem r 2,jeposunutí r částice čsoém interlu t dáno rozdílem r = r 2 r 1. (4.2) Pomocí zthu (4.1) lze posunutí zpst tké e tru tj. r = ( 2 i + 2 j + z 2 k) ( 1 i + 1 j + z 1 k), r = ( 2 1 )i + ( 2 1 )j + (z 2 z 1 )k. (4.3) Souřdnice ( 1, 1,z 1 ) určují polohoý ektor r 1 souřdnice ( 2, 2,z 2 ) polohoý ektor r 2.Ve zthu pro posunutí čsto oznčujeme = ( 2 1 ), = ( 2 1 ) z = (z 2 z 1 ). PŘÍKLAD4.1 Počáteční poloh částice je dán polohoým ektorem r 1 = 3i + 2j + 5k, koncoá poloh je určen ektorem r 2 = 9i + 2j + 8k (obr.4.2).určete posunutí částice. trjektorie bodu P P z 5k r 2j 3i Obr. 4.1 Polohoý ektor částice P je ektoroým součtem sých průmětů do souřdnicoých os. O P trjektorie bodu P r z Obr. 4.2 Příkld 4.1. Posunutí r = r 2 r 1 spojuje koncoé bod ektorů r 1 r 2. O r 1 r 2

3 60 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ŘEŠENÍ: Vektor sčítáme (nebo odečítáme) po složkách, přesně podle pridel uedených kp.3.užitím zthu (4.2) dostneme r = (9i + 2j + 8k) ( 3i + 2j + 5k) = = 12i + 3k. (Odpoě ) Vektor posunutí je ronoběžný se souřdnicoou roinou z, nebo jeho -oá složk je nuloá.uědomme si, že z číselného zápisu ektoru posunutí je tto skutečnost ptrná mnohem lépe než z grfického znázornění situce n obr.4.2. KONTROLA 1: () Netopýr letěl z míst o souřdnicích ( 2m,4m, 3 m) po chíli opět usedl, tentokrát místě (6 m, 2m, 3 m).určete jeho ektor posunutí r jádřete jej pomocí jednotkoých ektorů i, j k.(údje jsou ztžen ke krtézské soustě souřdnic.) (b) Zjistěte, zd je ektor r ronoběžný s některou souřdnicoou roinou či osou. 4.3 PRŮMĚRNÁ A OKAMŽITÁ RYCHLOST Průměrná rchlost částice čsoém interlu t měřeném od okmžiku t do okmžiku t + t je definoán jko podíl odpoídjícího ektoru posunutí r délk čsoého interlu t: Po rozepsání pomocí složek dostneme = r t. (4.4) i + j + zk = = t = t i + t j + z k. (4.5) t Okmžitá rchlost (zkráceně rchlost) je limitou průměrné rchlosti pro t 0, tj.dericí polohoého ektoru r podle čsu = dr dt. (4.6) Doszením polohoého ektoru r z ronice (4.1) dostneme = d d (i + j + zk) = dt dt i + d dt j + dz dt k přepíšeme e tru kde = d dt, = i + j + z k, (4.7) = d dt z = dz dt (4.8) jsou složk rchlosti. N obr.4.3 je zkreslen trjektorie částice P, jejíž pohb je omezen n souřdnicoou roinu.při pohbu částice po křice směrem pro se tomtéž směru odklání i její polohoý ektor.v okmžiku t 1 je její poloh určen polohoým ektorem r 1 okmžiku t 1 + t polohoým ektorem r 2.Vektor r předstuje posunutí částice čsoém interlu t.průměrná rchlost interlu od t 1 do t 1 + t je dán ronicí (4.4) má stejný směr jko posunutí r. Obr. 4.3 Trjektorie částice P s znčením její poloh okmžicích t 1 t 1 + t.vektor r předstuje posunutí částice tomto čsoém interlu.čereně je znázorněn tečn k trjektorii okmžiku t 1. O r 1 P r 2 r tečn trjektorie bodu P Při poklesu délk čsoého interlu t k nule si můžeme šimnout následujícího choání ektorů chrkterizujících pohb částice: (1) ektor r 2 se přibližuje ektoru r 1 r ektoru nuloému, (2) směr ektoru r sním i směr průměrné rchlosti se sklánějí ke směru tečn k trjektorii bodě r 1 konečně (3) průměrná rchlost se blíží k okmžité rchlosti. Pro t 0je.Vektor okmžité rchlosti je ted tečný k trjektorii bodě r 1. Okmžitá rchlost částice má žd směr tečn k trjektorii. V obr.4.4 je zkreslen ektor okmžité rchlosti částice P jeho rozkld do složek.úh o rchlosti lze zobecnit i n přípd pohbu částice trojrozměrném prostoru, bez jkýchkoli omezení: Vektor okmžité rchlosti částice je žd tečný k její trjektorii. KONTROLA 2: Částice se pohbuje po kružnici (iz obrázek) jistém okmžiku má rchlost = = (2m s 1 )i (2m s 1 )j.určete, e kterém kdrntu částici tomto okmžiku njdeme, pohbuje-li

4 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 61 se () e směru otáčení hodinoých ručiček, (b) proti směru otáčení hodinoých ručiček. kde = d dt, = d dt z = d z dt (4.12) jsou složk zrchlení.pohb částice P n obr.4.5 je omezen n roinu.v obrázku je zkreslen ektor zrchlení částice jeho rozkld do složek. P tečn Obr. 4.4 Rchlost částice P její rozkld do složek.rchlost má směr tečn k trjektorii. O P trjektorie bodu P 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ Předpokládejme, že průběhu čsoého interlu od t 1 do t 1 + t dojde ke změně rchlosti částice z 1 n 2.Podíl = 2 1 t = t (4.9) nzýáme průměrným zrchlením tomto čsoém interlu.při přechodu t 0 se průměrné zrchlení blíží sému limitnímu přípdu, tkznému okmžitému zrchlení (zkráceně zrchlení): = d dt. (4.10) Nenuloé zrchlení signlizuje, že se mění elikost nebo směr rchlosti částice.(obě změn mohou smozřejmě probíht součsně.) Doszením rchlosti ze zthu (4.7) do (4.10) dostneme tj. = d dt ( i + j + z k) = d dt i + d dt j + d z dt k, = i + j + z k, (4.11) O trjektorie bodu P Obr. 4.5 Rozkld zrchlení částice do složek PŘÍKLAD4.2 Králík běhl n prkoiště, kde si předtím hrál děti nkreslil tm křídou dě kolmé přímk.můžeme je požot z os soust souřdnic.okmžitá poloh králík zhledem k této soustě je popsán funkcemi = 0,31t 2 + 7,2t + 28, = 0,22t 2 9,1t Čs t je měřen sekundách souřdnice metrech. Polohoý ektor r je ted tru r(t) = (t)i + (t)j. () Určete elikost směr polohoého ektoru okmžiku t = 15 s. ŘEŠENÍ: V okmžiku t = 15 s má polohoý ektor r složk = ( 0,31)(15) 2 + (7,2)(15) + 28 = 66 = (0,22)(15) 2 (9,1)(15) + 30 = 57. Polohoý ektor r jeho rozkld do složek znázorňuje obr.4.6.vektor r má elikost r = = (66 m) 2 + ( 57 m) 2 = = 87 m. (Odpoě ) Pro úhel ektoru r s kldným směrem os pltí tg θ = ( 57 m ) = = 0,864, 66 m θ = 41. (Odpoě )

5 62 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB (Stejnou hodnotu tngent má i úhel θ = 139,kterýšk neodpoídá znménkům složek ektoru r.) (b) Určete polohu králík okmžicích t = 0 s, 5 s, 10 s, 20 s 25 s schemtick nkreslete jeho trjektorii. ŘEŠENÍ: Pro kždý ze zdných okmžiků zopkujeme ýpočet podle () získáme následující hodnot,, r θ: t/s /m /m r/m θ Trjektorie králík je znázorněn n obr.4.6b. PŘÍKLAD4.3 Určete elikost směr rchlosti králík z příkldu 4.2 okmžiku t = 15 s. ŘEŠENÍ: Podle zthu (4.8) je -oá složk ektoru rchlosti = d dt Pro t = 15 s dostneme Obdobně je = d dt prot = 15 s = d dt ( 0,31t2 + 7,2t + 28) = 0,62t + 7,2. = ( 0,62)(15) + 7,2 = 2,1m s 1. = d dt (0,22t2 9,1t + 30) = 0,44t 9,1 = (0,44)(15) 9,1 = 2,5m s 1. (m) (m) s (m) (m) s 40 r s s 20 s 15 s () (b) (m) (m) Obr. 4.6 Příkld 4.2, () Vektor r jeho složk okmžiku t = 15 s.velikost ektoru r je 87 m.(b) Trjektorie pohbu králík po prkoišti s znčením poloh okmžicích uedených zdání úloh.(c) Rchlost králík okmžiku t = 15 s má směr tečn k trjektorii bodě určujícím polohu králík okmžiku t = 15 s.(d) Zrchlení okmžiku t = 15 s.zrchlení je konstntní, tj.stejné e šech bodech trjektorie (m) 130 (c) (m) 145 (d)

6 4.4 PRŮMĚRNÉ A OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ 63 Vektor rchlosti jeho složk jsou zkreslen obr.4.6c. Pro elikost ektoru úhel θ určující jeho směr pltí tj. = = ( 2,1m s 1 ) 2 + ( 2,5m s 1 ) 2 = = 3,3m s 1 (Odpoě ) tg θ = = θ = 130. ( 2,5m s 1 ) 2,1m s 1 = 1,19, (Odpoě ) (Stejná hodnot tngent odpoídá i úhlu 50.V souhlsu se znménk složek rchlosti šk spráný úhel θ leží e třetím kdrntu, tj. θ = = 130.) Rchlost je tečným ektorem k trjektorii určuje směr, kterým králík běží okmžiku t = 15 s (obr.4.6c). PŘÍKLAD4.4 Určete elikost směr zrchlení králík z příkldu 4.2 okmžiku t = 15 s. ŘEŠENÍ: Složk zrchlení jsou dán zthem (4.12): = d dt = d dt = d ( 0,62t + 7,2) = 0,62 dt = d (0,44t + 30) = 0,44. dt Vidíme, že zrchlení nezáisí n čse, je konstntní.dojím derioáním čsoá proměnná zmizel.zrchlení jeho složk jsou znčen obr.4.6d pro okmžik t = 15 s.jeho elikost směr jsou určen zth tj. = = ( 0,62 m s 2 ) 2 + (0,44 m s 2 ) 2 = = 0,76 m s 2 (Odpoě ) tg θ = ( 0,44 m s 2 ) = 0,62 m s 2 = 0,710, θ = 145. (Odpoě ) Velikost ni směr ektoru zrchlení se podél trjektorie králík nemění.těžko říci, co blo příčinou toho, že králík neustále urchlol sůj běh seerozápdním směrem.můžeme si mslet, že třeb ál silný jihoýchodní ítr. KONTROLA 3: Následující zth popisují čtři možnosti pohbu hokejoého kotouče po ledoé ploše, ležící souřdnicoé roině (poloh je zdán metrech): (1) = 3t 2 + 4t 2 = 6t 2 4t, (2) = 3t 3 4t = 5t 2 + 6, (3) r = 2t 2 i (4t + 3)j, (4) r = (4t 3 2t)i + 3j. V jednotliých přípdech rozhodněte, zd je některá ze složek ektoru zrchlení konstntní.je některém z nich konstntní ektor zrchlení? PŘÍKLAD4.5 Částice se pohbuje souřdnicoé roině s konstntním zrchlením.vektor zrchlení má elikost = 3,0 m s 2 s kldným směrem os sírá úhel θ = 130.V okmžiku t = 0 se částice pohbuje rchlostí 0 = 2,0i + 4,0j ( metrech z sekundu).určete její rchlost okmžiku t = 2s jádřete ji pomocí jednotkoých ektorů i j.určete i její elikost směr. ŘEŠENÍ: Při řešení této úloh si připomeneme ýsledk odozené kp.2 pro přímočrý pohb s konstntním zrchlením.oprdu jich budeme moci užít? V nšem přípdě je sice zrchlení stálé, pohb částice šk není přímočrý (počáteční rchlost má jiný směr než zrchlení).dík pridlům ektoroé lgebr můžeme úlohu řešit po složkách zth (2.11) ( = 0 + t), pltný pro rchlost přímočrého pohbu se stálým zrchlením, použít pro kždou ze složek ektoru rchlosti.lze ted psát = 0 + t = 0 + t, kde 0 (= 2,0 m s 1 ) 0 (= 4,0m s 1 ) jsou složk počáteční rchlosti 0.Složk ektoru zrchlení,, určíme užitím zthů (3.5): = cos θ = (3,0m s 2 ) cos 130 = 1,93 m s 2, = sin θ = (3,0m s 2 ) sin 130 =+2,30 m s 2. Doszením těchto hodnot do ronic pro složk rchlosti dostneme = 2,0m s 1 + ( 1,93 m s 2 )(2,0s) = 5,9m s 1, = 4,0m s 1 + (+2,30 m s 2 )(2,0s) = 8,6m s 1. Zpíšeme-li ýsledk pomocí rozkldu (4.7), dostááme rchlost částice okmžiku t = 2setru = ( 5,9m s 1 )i + (8,6m s 1 )j. (Odpoě )

7 64 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB Pro elikost směr rchlosti pltí = ( 5,9m s (8,6m s 1 ) 2 = 10 m s 1, ( 8,6m s 1 ) tg θ = 5,9m s 1 = 1,458, tj. θ = 124. = 120. (Odpoě ) Poslední ýsledek přepočtěte n klkulčce.co mslíte? Zobrzí se n displeji hodnot 124 nebo 55,5? Nkreslete ektor jeho složk rozhodněte, která z obou hodnot předstuje spráné řešení úloh.proč někd získáme n klkulčce mtemtick spráný, le fzikálně nepřijtelný ýsledek? Vsětlení iz bod 3.3. RADY A NÁMĚTY Bod 4.1: Goniometrickéfunkce úhl V příkldu 4.3 blo třeb určit úhel θ z ronice tg θ = 1,19. Zopkujme si použitý postup: Při ýpočtu pomocí klkulčk se n jejím displeji téměř jistě zobrzí hodnot θ = 50. V grfu n obr.3.13c si můžeme šimnout, že stejnou hodnotu tngent má i úhel θ = 230 (= ).Pomocí znmének složek ektoru rchlosti (obr.4.6c) dokážeme rozhodnout, že spráným řešením úloh je druhá z obou hodnot úhlu θ.(některé dokonlejší klkulčk umožňují ronou získt spráný ýsledek.) Nkonec je třeb zolit pro zápis ýsledku jednu ze dou možností, 230 nebo 130.Obě hodnot předstují týž směr (bod 3.1). Výběr zápisu záleží n tom, prcujeme-li rději s úhl interlu od 0 do 360 nebo interlu od 180 do +180.V příkldu 4.3 jsme si brli druhou možnost, tj. θ = 130. Bod 4.2: Grfický záznm ektorů Při kreslení ektorů můžeme užít následujícího postupu (npř.obr.4.6): (1) Určíme počáteční bod ektoru.(2) Vedeme jím přímku souhlsně ronoběžnou s osou.(3) Od jejího kldného směru odměříme úhloměrem zdný úhel θ. Je-li úhel θ kldný, měříme jej proti směru otáčení hodinoých ručiček nopk. Vektor r obr.4.6 je zkreslen přesně měřítku použitém pro popis souřdnicoých os.délk šipk znázorňující tento ektor tk skutečně odpoídá jeho elikosti.pro grfické znázornění rchlosti (obr. 4.6c) ni zrchlení (obr. 4.6d) jsme žádnou stupnici nezolili, tk je můžeme kreslit liboolně dlouhé. Nemá smsl přemýšlet o tom, zd má být npříkld ektor rchlosti delší či krtší než ektor posunutí.jde o různé fzikální eličin s odlišnými jednotkmi.volb společného měřítk pro jejich grfický záznm b neměl žádné fzikální opodsttnění. KONTROLA 4: Poloh kuličk je dán ektorem r = = (4t 3 2t)i + 3j (poloh je zdán metrech čs sekundách).v jkých jednotkách jsou zdán koeficient 4, 23? 4.5 ŠIKMÝ VRH V čl.2.8 jsme se poměrně podrobně zbýli zláštním přípdem pohbu částice s konstntním zrchlením, tz. sislým rhem.pozornost ěnoná této speciální situci nebl přehnná.odpoídjící eperiment totiž můžeme elmi pohodlně relizot pozemských podmínkách s minimálním přístrojoým bením.připomeňme si jen stručně hlní ýsledk, k nimž jsme článku 2.8 dospěli: těleso olně puštěné blízkosti porchu Země pdá se stálým zrchlením, podří-li se dosttečné míře omezit li odporu prostředí.toto tíhoé zrchlení g je pro šechn těles stejné.trjektorií pdjícího těles je přímk definující sislý směr.udělíme-li tělesu n počátku eperimentu nenuloou rchlost e sislém směru (zhůru či dolů), pohbuje se opět se zrchlením g jeho pohb je tké opět přímočrý. Eperiment ukzují íc.a je totiž při rhu udělen tělesu počáteční rchlost jkémkoli směru nejen sislém letí těleso žd se stejným zrchlením g.jeho trjek- Obr. 4.7 Stroboskopický záznm pohbu golfoého míčku při odrzech n trdém podkldu.mezi jednotliými odrz se pohb blíží šikmému rhu.odchlk jsou způsoben liem odporu prostředí, který reálných situcích pochopitelně nelze odstrnit.

8 4.5 ŠIKMÝ VRH 65 torie nní leží e sislé roině určené ektorem tíhoého zrchlení směrem počáteční rchlosti těles.tento pohb nzýáme šikmý rh.jeho příkldem je let golfoého míčku (obr.4.7), tenisoého či fotbloého míče, děloé střel pod.v dlších úhách se budeme zbýt podrobným rozborem tohoto pohbu.pro úplnost dodejme, že znedbááme odpor zduchu, lstní rotci Země předpokládáme, že změn ýšk těles nd porchem Země jsou znedbtelné ůči jejím rozměrům. Řekněme, že sledoným tělesem je podle obr.4.8 kulk střelená počáteční rchlostí 0 = 0 i + 0 j. (4.13) Složk 0 0 této rchlosti lze zpst pomocí její elikosti 0 úhlu θ 0 (tz.eleční úhel), který sírá ektor 0 s kldným směrem os : 0 = 0 cos θ 0 0 = 0 sin θ 0. (4.14) Polohoý ektor r i rchlost střel se při jejím pohbu e sislé roině neustále mění.její zrchlení je šk stálé žd míří sisle dolů.(vodoroná složk zrchlení je nuloá.) N obr. 4.9 je idět, jk se mění i úhel mezi zrchlením rchlostí. 0 O 0 θ 0 0 = 0 R Obr. 4.8 Střel letí z počátku soust souřdnic okmžiku t = 0 rchlostí 0.V jednotliých bodech trjektorie jsou zkreslen ektor rchlosti jejich rozkld do složek.všimněte si, že odoroná složk rchlosti se průběhu pohbu nemění, n rozdíl od složk sislé. Doletem R rozumíme odoronou zdálenost střel od míst ýstřelu měřenou okmžiku, kd střel projde bodem ležícím téže ýšce nd porchem Země jko ústí hlně. I kdž pohb těles n obr. 4.7 ž 4.9 může někomu připdt docel složitý, bude jeho mtemtický popis elmi θ prostý.zjednodušení je dáno jednk ektoroým chrkterem eličin popisujících pohb (poloh, rchlost zrchlení), s nimiž tk lze nkládt podle pridel ektoroé lgebr, jednk neměnností zrchlení při pohbu těles.obojí souhlsí s ýsledk eperimentů. 180 >ϕ>90 ϕ = >ϕ>0 ϕ střel stoupá ϕ střel nejšším bodě trjektorie střel klesá Obr. 4.9 Rchlost zrchlení střel různých fázích jejího pohbu.úhel mezi rchlostí zrchlením může být dném okmžiku liboolný. Vodoroné sislé složk eličin popisujících rh jsou n sobě nezáislé.neoliňují se nzájem. Pohb částice roině můžeme ted získt složením dou pohbů přímočrých, odoroného sislého. Nezáislost odoroných sislých složek eličin popisujících šikmý rh nní doložíme ukázkou dou jednoduchých eperimentů. D golfoé míčk Sledujme stroboskopický záznm pohbu dou golfoých míčků n obr.4.10.jeden z nich pustili eperimentátoři olně, druhý střelili e odoroném směru pomocí pružin.všímáme-li si pohbu míčků pouze e sislém směru, idíme, že se ob záznm shodují.ve stejných čsoých interlech urzil míčk stejnou sislou zdálenost. Skutečnost, že se jeden z míčků součsně pohbuje i e odoroném směru, nijk neoliňuje průmět jeho pohbu do sislého směru. Eperiment můžeme domýšlet ž k etrémním situcím: střel z pušk, střelená odoroně sokou rchlostí, dopdne (při znedbtelném odporu zduchu) n zem součsně s kuličkou, kterou jsme e stejném okmžiku olně pustili z dlně e stejné ýšce. Přesný zásh Pokus n obr.4.11 už jistě npomohl ožiit řdu fzikálních přednášek.vzkoušejme si jej tké.potřebujeme foukčku G s mlými kuličkmi jko střeliem.terčem může být plechok zěšená n mgnetu M.Trubici foukčk ϕ

9 66 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB nmíříme přesně n plechoku.ještě je třeb zřídit, b mgnet uolnil plechoku přesně okmžiku, kd střel letí z trubičk můžeme střílet. stále n místě i po uolnění od mgnetu kuličk b ji zcel jistě neminul. Při skutečném eperimentu je ošem tíhoé zrchlení nenuloé. A přesto kuličk cíl zsáhne! V obr.4.11 je znčen sislá zdálenost h, o kterou kuličk i plechok při pokusu poklesnou zhledem k místu pomslné srážk při g = 0.K záshu dojde při liboolně silném fouknutí: při silnějším dostne kuličk ětší počáteční rchlost, zkrátí se dob letu zmenší se zdálenost h. 4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS Výsledk předchozích úh nní upltníme při důsledném mtemtickém rozboru šikmého rhu.víme již, že při něm můžeme užít zjednodušení spočíjící možnosti rozkldu skutečného pohbu n d nezáislé pohb, e odoroném sislém směru. Obr Jeden z míčků je olně puštěn, druhý je střelen odoroným směrem.průmět jejich pohbu do sislého směru jsou totožné. M plechok trjektorie pro g = 0 h G Obr Kuličk žd zsáhne pdjící plechoku.v čsoém interlu mezi ýstřelem záshem obě klesnou o stejnou sislou zdálenost h měřenou od míst, e kterém b došlo k jejich srážce tz.beztížném stu (g = 0). Při nuloém tíhoém zrchlení (tz.st beztíže) b střel letěl po přímce (obr.4.11).plechokb se znášel Obr Sislý průmět rchlosti sktebordist se mění.její odoroný průmět je šk trle shodný s odoronou rchlostí sktebordu.při ýskoku je sportoec neustále nd sktebordem bez problémů n něj opět doskočí. Pohb e odoroném směru Vodoroná složk tíhoého zrchlení je nuloá.vodoroná složk rchlosti šikmého rhu se ted s čsem nemění. Neustále si udržuje sou počáteční hodnotu 0 (obr.4.12). Posunutí částice e odoroném směru 0 je dáno

10 4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS 67 zthem (2.15) pro = 0: 0 = 0 t. Po doszení 0 = 0 cos θ 0, dostneme 0 = ( 0 cos θ 0 )t. (4.15) Pohb e sislém směru Průmětem pohbu částice do sislého směru je sislý rh. Pro jeho popis použijeme ronic (2.21) ž (2.25), kteréjsme ododili již článku 2.8. Z ronice (2.22) npříkld ronou dostneme zth pro sislou složku ektoru posunutí 0 = 0 t 1 2 gt2 = = ( 0 sin θ 0 )t 1 2 gt2. (4.16) Sislou složku počáteční rchlosti 0 jsme nhrdili ekilentním ýrzem 0 sin θ 0.Vužít můžeme i ronic (2.21) (2.23), kdž je nejpre hodně upríme: = 0 sin θ 0 gt (4.17) 2 = ( 0 sin θ 0 ) 2 2g( 0 ). (4.18) Z ronice (4.17) je zřejmé ( obr to intuitině potrzuje), že čsoá záislost sislé složk rchlosti je nprosto stejná jko záislost rchlosti míče hozeného sisle zhůru.n počátku letu je kldná její elikost postupně klesá k nule.v okmžiku, kd je = 0, je těleso e rcholu sétrjektorie.znménko sislé složk rchlosti se obrcí její elikost s čsem opět roste. Ronice trjektorie Vzth (4.15) (4.16) předstují tz. prmetrické ronice trjektorie částice při šikmém rhu.(prmetrem je zde čs t.) Její krtézskou ronici získáme tk, že z ronic (4.15) (4.16) tento prmetr loučíme. Nejjednodušší je jádřit čs z ronice (4.15) dosdit jej do (4.16). Po mlých úprách dostneme g 2 = (tg θ 0 ) 2( 0 cos θ 0 ) 2 (trjektorie). (4.19) Získli jsme ronici trjektorie znázorněné n obr.4.8.při ýpočtu jsme e ztzích (4.15) (4.16) pro jednoduchost zolili 0 = 0 0 = 0.Veličin g, θ 0 0 jsou konstnt, tk lze ronici (4.19) zpst e tru = + b 2, kde b jsou roněž jisté konstnt.poznááme něm ronici prbol s koeficient b.částice se ted pohbuje po prbole, má prbolickou dráhu. Dolet Dolet R definujeme jko odoronou zdálenost, kterou střel urzí od okmžiku ýstřelu do okmžiku nártu do počáteční ýšk nd porchem Země.V tomto okmžiku je poloh střel dán souřdnicemi = R = 0.Jejich doszením do ronic (4.15) (4.16) můžeme dolet sndno určit: 0 = ( 0 cos θ 0 )t = R 0 = ( 0 sin θ 0 )t 1 2 gt2 = 0. Vloučíme čs dostneme R = g sin θ 0 cos θ 0. (Totéž bchom získli doszením = R = 0 do (4.19).) Užitím identit sin 2θ 0 = 2sinθ 0 cos θ 0 z dod.e nkonec upríme ýsledek do tru R = 0 2 g sin 2θ 0. (4.20) Můžeme si šimnout, že při peně zolené elikosti počáteční rchlosti docílíme nejětšího doletu při elečním úhlu θ, který splňuje podmínku sin 2θ 0 = 1, tj.2θ 0 = 90 θ 0 = 45. Dolet R nbýá nejětší hodnot, je-li eleční úhel roen 45. Vli odporu prostředí Do této chíle jsme předpokládli,že li okolního zduchu n pohb těles je znedbtelný.tento předpokld může být celkem dobře splněn při nízkých rchlostech.ve skutečnosti šk okolní prostředí klde pohbu těles jistý odpor, který může ést ke znčným odchlkám idelizoných ýpočtů od skutečnosti, zejmén při šších rchlostech.jko příkld poronání pohbu e kuu skutečného letu těles zduchem poslouží obr.4.13.jsou něm schemtick znázorněn trjektorie dou tenisoých míčků odpálených úderem rket.velikost počáteční rchlosti je obou přípdech 160 km/h eleční úhel 60.Trjektorie I odpoídá skutečnému pohbu míčku, trjektorie II je počten pro přípd jeho pohbu e kuu.číselné hodnot uedené tb.4.1 jsme přezli z článku The Trjector of Fl Bll publikoného čsopisu The Phsics Techer lednu 1985.Pohbu odporujícím prostředí se budeme podrobněji ěnot kp.6.

11 68 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB KONTROLA 5: Jk se mění () odoroná (b) sislá složk rchlosti šikmo rženého míče? Určete (c) odoronou (d) sislou složku jeho zrchlení e zestupné i sestupné části trjektorie i jejím rcholu. Odpor zduchu znedbejte I Obr (I) Dráh tenisoého míčku počtená (n počítči) s uážením odporu zduchu.(ii) Dráh míčku e kuu, počtená pro stejnou počáteční rchlost pomocí zthů odozených této kpitole.důležité číselné údje o obou trjektoriích jsou shrnut tb.4.1. II Z tuto dobu urzí k i letdlo e odoroném směru zdálenost určenou zthem (4.15): 0 = ( 0 cos θ 0 )t = = (430 km h 1 )(cos 0 )(15,65 s) = 1,869 km = m. ( ) 1h = s Pro 0 = 0jeted = m.výpočet zorného úhlu ϕ je již zřejmý z obr tg ϕ = ( 1869m ) h = = 1,558, 1200m ϕ = 57. (Odpoě ) Vodoroný průmět rchlosti ku je kždém okmžiku shodný s rchlostí letdl, tkže pilot idí letící k neustále pod sebou. O ϕ 0 trjektorie Tbulk 4.1 D míčk letu DRÁHA I(VZDUCH) DRÁHA II (VAKUUM) dolet 98,5 m 177 m nejětší ýšk 53,0 m 76,8 m dob letu 6,6 s 7,9 s Eleční úhel je 60 počáteční rchlost má elikost 160 km/h (obr.4.13). PŘÍKLAD4.6 Záchrnný letoun letí n pomoc tonoucímu.pilot udržuje stálou ýšku m nd hldinou směřuje přímo nd hlu čloěk (obr.4.14). Rchlost letdl má elikost 430 km/h. Při jkém zorném úhlu ϕ musí pilot uolnit záchrnný k, b dopdl co nejblíže k tonoucímu? ŘEŠENÍ: Počáteční rchlost ku 0 je shodná s rchlostí letdl.má ted elikost 430 km/h odoroný směr.ponědž íme, jk elké ýšce je k puštěn, můžeme sndno určit dobu jeho pádu n hldinu.do ronice (4.16), zpsné e tru 0 = ( 0 sin θ 0 )t 1 2 gt2, dosdíme 0 = m (záporné znménko je dáno orientcí os )θ 0 = 0: m = (9,8m s 2 )t 2. Řešením této ronice zhledem k neznámé t dostneme 2(1 200 m) t = (9,8m s 2 = 15,65 s. ) h zorný pprsek Obr Příkld 4.6. Letdlo letí e odoroném směru stálou rchlostí.během letu hodí pilot záchrnný k.vodoroný průmět rchlosti pdjícího ku je kždém okmžiku shodný s rchlostí letdl.vk dopdne n hldinu rchlostí, která sírá se sislým směrem úhel θ. PŘÍKLAD4.7 Při filmoání honičk n ploché střeše má kskdér přeskočit n střechu sousední budo (obr.4.15).ještě předtím ho prozírě npdne, zd ůbec může tento úkol zládnout, běží-li po střeše nnejýš rchlostí 4,5 m s 1.Pordíme mu? ŘEŠENÍ: Skok z ýšk 4,8 m trá po dobu t, kterou určíme z ronice (4.16). Dosdíme 0 = 4,8 m (pozor n znménko) θ 0 = 0 po drobné úprě dostneme t = 2( 0) = 2( 4,8m) g (9,8m s 2 = 0,990 s. ) Nní je třeb určit, jk dleko doletí kskdér z tuto dobu e odoroném směru.odpoě získáme z ronice (4.15): 0 = ( 0 cos θ 0 )t = = (4,5m s 1 )(cos 0 )(0,990 s) = 4,5m. θ

12 4.6 ŠIKMÝ VRH: MATEMATICKÝ POPIS 69 Sousední budo je šk e zdálenosti 6,2 m.rd je jsná: neskákt. 4,8 m 4,5 m/s 6,2 m Obr Příkld 4.7. Má kskdér skočit? (c) V jké zdálenosti od penosti již bude pirátská lo mimo dostřel? ŘEŠENÍ: Víme, že dolet střel je nejětší při elečním úhlu θ 0 = 45.Doszením této hodnot do ronice (4.20) dostneme R = 2 0 g sin 2θ 0 = (82 m s 1 ) 2 (9,8m s 2 ) sin (2 45 ) = = 690 m. (Odpoě ) Vdá-li se pirátská lo n ústup, zčnou se hodnot obou elečních úhlů postupně sbližot splnou okmžiku, kd bude lo od penosti zdálen 690 m.jejich společná hodnot je θ 0 = 45.Ve zdálenosti ětší než 690 m jsou již piráti bezpečí. PŘÍKLAD4.8 Pirátská lo je zkoten 560 m od pobřežní penosti, která chrání jezd do ostroního přístu (obr.4.16).obránci mjí k dispozici dělo umístěné úroni mořské hldin, které může střelit náboj rchlostí 82 m s 1. () Pod jkým elečním úhlem musí být nsten hleň, b náboj pirátskou lo zsáhl? ŘEŠENÍ: Hledný úhel θ 0 zjistíme přímo z ronice (4.20): sin 2θ 0 = gr 2 0 = 0,816. = (9,8m s 2 )(560 m) (82 m s 1 ) 2 = Této hodnot nbýá funkce sin pro d různé úhl z interlu od 0 do 360 : 54,7 125,3.Získááme ted dě hodnot elečního úhlu, θ 0 = 1 2 (54,7 ). = 27 (Odpoě ) θ 0 = 1 2 (125,3 ). = 63. (Odpoě ) Zolí-li elitel penosti kteroukoli z nich, bude pirátská lo zničen (z předpokldu, že pohb střel není oliněn odporem zduchu). (b) Pro ob eleční úhl počtené části () určete dobu letu střel. ŘEŠENÍ: Dobu t jádříme z ronice (4.15) postupně dosdíme ob úhl.pro θ 0 = 27 dostneme t = 0 (560 m) = 0 cos θ 0 (82 m s 1 ) cos 27 = = 7,7s. (Odpoě ) Pro θ 0 = 63 chází t = 15 s.podle očekáání trá let střel při ětším elečním úhlu déle R = 560 m Obr Příkld 4.8. Náboj střelený z děl přístní penosti zsáhne pirátskou lo, míří-li hleň e směru určeném kterýmkoli ze dou možných elečních úhlů. PŘÍKLAD4.9 Obr.4.17 znázorňuje historický přelet Emnuel Zcchiniho nd třemi ruskými kol sokými 18 m.jejich rozmístění je z obrázku zřejmé.zcchini bl střelen ze speciálního děl rchlostí o elikosti 26,5 m s 1 pod elečním úhlem θ 0 = 53.Ústí hlně i záchrnná sí bl e ýšce 3,0 m nd zemí. 0 3,0 m 18 m 3,0 m θ 0 = m 23 m R Obr Příkld 4.9. Let lidské střel nd ruskými kol zábním prku.umístění záchrnné sítě. () Oěřte si, že rtist skutečně přeletěl nd prním kolem. sí

13 70 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ŘEŠENÍ: Počátek soust souřdnic zolme ústí hlně. Při této olbě je 0 = 0 0 = 0.Abchom zodpoěděli položenou otázku, musíme určit -oou souřdnici rtist pro = 23 m.použijeme k tomu ronici (4.19): = (tg θ 0 ) g 2 2( 0 cos θ 0 ) 2 = = (tg 53 )(23 m) (9,8m s 2 )(23 m) 2 2(26,5m s 1 ) 2 (cos 53 ) 2 = = 20,3m. (Odpoě ) Výšk rtist nd zemí je šk tomto okmžiku 23,3 m, nebo počátek soust souřdnic je umístěn e ýšce 3,0 m. Artist proletí 23,3 18 = 5,3 m nd prním kolem. (b) Předpokládejme, že rchol trjektorie leží práě nd prostředním kolem.jk soko nd ním rtist proletí? ŘEŠENÍ: Ve rcholu trjektorie je = 0 ronice (4.18) nbude tru 2 = ( 0 sin θ 0 ) 2 2g = 0. Jejím řešením zhledem k neznámé dostneme = ( 0 sin θ 0 ) 2 2g = (26,5m s 1 ) 2 (sin 53 ) 2 2(9,8m s 2 ) = 22,9m. Výškoá rezer při průletu rtist nd prostředním kolem činí 7,9 m. (c) Určete dobu celého letu. ŘEŠENÍ: Dobu letu můžeme určit několik způsob.jednu z možností nbízí ronice (4.16) s uážením skutečnosti, že při dopdu je = 0.Dostááme tj. = ( 0 sin θ 0 )t 1 2 gt2, t = 2 0 sin θ 0 = 2(26,5m s 1 ) sin 53 g (9,8m s 2 = ) = 4,3s. (Odpoě ) (d) Jk dleko od děl je třeb umístit záchrnnou sí? ŘEŠENÍ: Dolet R získáme npříkld z ro.(4.15) pro 0 = = 0, do níž dosdíme dobu letu. R = ( 0 cos θ 0 )t = = (26,5m s 1 )(cos 53 )(4,3s) = = 69 m. (Odpoě ) Nní již umíme zodpoědět úodní otázku celé kpitol: Jk Zcchini zjistil, km je třeb umístit záchrnnou sí? Kde získl jistotu, že ruská kol skutečně přeletí? A již to bl on sám nebo kdokoli jiný, musel proést stejné ýpočt jko m před chílí.složitými úhmi, které b umožnil respektot li prostředí, se Zcchini pochopitelně nezbýl. Věděl šk, že odpor zduchu jeho let zbrzdí zmenší tk skutečný dolet e sronání s hodnotou počtenou z jednoduchých zthů.proto použil rozměrnou sí posunul ji o něco blíže k dělu.zbezpečil si tk poměrně dobrou bezpečnost letu různých konkrétních situcích, lišících se předeším podmínkmi určujícími li okolního prostředí.tk jko tk musel být nepředídtelnost liu prostředí zdrojem určitého pocitu nejistot npětí před kždou reprízou tohoto odážného kousku. Při podobných pokusech jsou rtisté steni ještě jinému nebezpečí.i při krtších letech je totiž zrchlení hlni děl tk elké, že způsobí krátkou ztrátu ědomí.kdb rtist dopdl do sítě ještě bezědomí, mohl b si zlomit z.artisté proto bsolují speciální trénink, b se dokázli čs probrt.let předáděné cirkusoé mnéži jsou podsttně krtší než let Emnuel Zcchiniho.Níc jsou dnes dleko lépe technick zbezpečen.problém bezědomí tk prktick předstuje jejich jediné riziko. RADY A NÁMĚTY Bod 4.3: Číselný lgebrický ýpočet Zokrouhlocím chbám při číselném ýpočtu se můžeme hnout tk, že problém řešíme nejpre obecně (lgebrick) číselné hodnot dosdíme ž do ýsledného zthu.při řešení př. 4.6 ž 4.9 b tkoý postup bl celkem sndný zkušenější řešitelé úloh b jej jistě použili.v úodních kpitolách šk rději olíme postupné numerické řešení, bchom získli jsnější předstu o hodnotách meziýsledků.později dáme přednost řešení lgebrickému. 4.7 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI Pohb částice po kružnici nebo jejím oblouku nzýáme ronoměrným pohbem po kružnici, je-li elikost rchlosti částice konstntní.možná nás překpí, že i kdž se elikost rchlosti nemění, je zrchlení částice nenuloé. Zrchlení totiž čsto spojujeme se změnou elikosti rchlosti zpomínáme, že rchlost je ektoroou eličinou, má ted i směr.při jkékoli změně rchlosti, i kdb šlo pouze o změnu směru, je zrchlení částice nenuloé.práě tkoým přípdem je ronoměrný pohb po kružnici. Velikost směr jeho zrchlení určíme pomocí obr Částice n obrázku se pohbuje po kružnici o poloměru r její rchlost má konstntní elikost.ve dou bodech P

14 4.7 ROVNOMĚRNÝ POHYB PO KRUŽNICI 71 Q umístěných smetrick zhledem k ose jsou zkreslen ektor rchlostí P Q.Tto ektor mjí sice stejnou elikost, le liší se směrem.jsou proto různé.jejich -oé -oé složk jsou P =+ cos θ, P =+ sin θ Q =+ cos θ, Q = sin θ. Částice, jejíž rchlost má stálou elikost, přejde z bodu P do bodu Q z dobu t = rc(p Q) = r(2θ), (4.21) kde rc(p Q) oznčuje délku kruhoého oblouku spojujícího bod P Q. Nní již dokážeme určit složk průměrného zrchlení částice čsoém interlu t.pro -oou složku dostááme = Q P t = cos θ cos θ t = 0. Tento ýsledek není nikterk překpiý je zřejmý ze smetrie obr.4.18.v bodě P je -oá složk rchlosti stejná jko bodě Q. Složku určíme z ronice (4.21): = Q P sin θ sin θ = = t t ( 2 sin θ 2 )( ) sin θ = 2rθ/ =. r θ Záporné znménko znmená, že průmět zrchlení do os obr.4.18 směřuje sisle dolů. Při limitním přechodu úhlu θ obr.4.18 k nuloé hodnotě se budou bod P i Q blížit k bodu A ležícímu nejšším bodě kružnice.limitním přípdem průměrného zrchlení, jehož složk jsme práě určili, bude okmžité zrchlení bodě A. Okmžité zrchlení bodě A n obr 4.18 míří obrázku sisle dolů, do středu kružnice.při zmenšoání úhlu θ se totiž směr průměrného zrchlení nemění zůstne ted zchoán i při limitním přechodu.abchom určili elikost ektoru okmžitého zrchlení, potřebujeme znát limitní hodnotu podílu sin θ/θ při elmi mlých úhlech θ.z mtemtik je známo, že tto hodnot je ron jedné.ze zthu pro -oou složku průměrného zrchlení již sndno dostneme elikost okmžitého zrchlení: = 2 r (dostředié zrchlení). (4.22) Při ronoměrném pohbu částice rchlostí o elikosti po kružnici o poloměru r (nebo jejím oblouku) směřuje zrchlení částice trle do středu kružnice má konstntní elikost 2 /r. P r θ P A P θ O Obr Částice se pohbuje ronoměrně po kružnici o poloměru r.velikost její rchlosti je, P Q jsou rchlosti částice bodech P Q, smetrick položených zhledem k ose. Rchlosti P Q jsou rozložen do složek.okmžité zrchlení částice liboolném bodě trjektorie míří do středu kružnice máelikost 2 /r. θ P r Q θ Q Q Q Částice oběhne celý obod kružnice (zdálenost 2Ôr) z dobu T T = 2Ôr (period), (4.23) znou dob oběhu, neboli period.v obecnějším pojetí rozumíme periodou dobu, z kterou koná částice práě jeden oběh po uzřené trjektorii. N obr.4.19 jsou zkreslen ektor okmžité rchlosti okmžitého zrchlení různých fázích ronoměrného pohbu po kružnici.ob mjí stále stejnou elikost, jejich směr se šk během pohbu spojitě mění.rchlost je žd tečnou ke kružnici, orientonou e směru pohbu.zrchlení trle směřuje do středu kružnice, proto je nzýáme zrchlením dostřediým. Obr Rchlost zrchlení částice při ronoměrném pohbu po kružnici.vektor mjí stálou elikost, le proměnný směr. 1 O

15 72 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB Zrchlení určující změnu směru rchlosti je stejně skutečné jko zrchlení, které souisí se změnou její elikosti.fotogrfie n obr.2.8 zchcují tář plukoník John P.Stpp při prudkém brzdění rketoých sní.je jsné, že zřetelné fziologické obtíže jsou způsoben prudkou změnou elikosti rchlosti, nebo směr pohbu sní bl při tomto eperimentu stálý.kosmonut při tréninku n centrifuze je nopk sten ýrzným změnám směru rchlosti, ztímco její elikost je stálá.fziologické pocit znikjící důsledku zrchlení jsou obou přípdech stejné. KONTROLA 6: Těleso se pohbuje souřdnicoé roině po kruhoé dráze se středem počátku soust souřdnic.bodem o -oé souřdnici = 2m prochází rchlostí (4m s 1 )j.určete () rchlost (b) dostředié zrchlení těles bodě o -oé souřdnici = 2m. PŘÍKLAD4.10 Stíhcí piloti se opráněně obájí příliš prudkých ztáček. Je-li totiž tělo pilot steno elkému dostřediému zrchlení situci, kd hl směřuje do středu křiosti ztáčk, dochází k odkrení mozku poruše mozkoých funkcí. Úplné ztrátě ědomí předchází několik roných příznků: Je-li elikost dostřediého zrchlení mezi hodnotmi 2g 3g, cítí se pilot být jkob těžký.při hodnotě 4g zčíná idět pouze černobíle jeho zorný úhel se zmenšuje (tz.tuneloé idění).je-li tkoému zrchlení sten delší dobu nebo se elikost zrchlení dokonce ještě zětší, přestáá pilot idět úplně zápětí ztrácí ědomí.tento st se nzýá g-loc z nglického g-induced loss of consciousness. Jké je dostředié zrchlení pilot ( jednotkách g) stíhčk F-22 při průletu kruhoé ztáčk o poloměru 5,80 km rchlostí o elikosti = km/h (716 m s 1 )? ŘEŠENÍ: Doszením číselných údjů do zthu (4.22) dostneme = 2 r = (716 m s 1 ) m = = 88,39 m s 2 = 9,0g. (Odpoě ) Pilot, který b bl ntolik neoptrný, že b skutečně nedl stroj do tkoé ztáčk, b téměř okmžitě updl do bezědomí bez jkýchkoli roných příznků. PŘÍKLAD4.11 Umělá družice Země je n oběžné dráze e ýšce h = 200 km nd zemským porchem.v této ýšce má gritční zrchlení g (iz kp.6) elikost 9,20 m s 2.Jká je oběžná rchlost družice? ŘEŠENÍ: Družice se pohbuje kolem Země ronoměrně po kružnici.dostřediým zrchlením je zrchlení gritční. Oběžnou rchlost určíme z ronice (4.22), do které dosdíme = g r = R Z + h, kde R Z je poloměr Země (iz nitřní strn obálk nebo dod.c): Odtud g = = g(r Z + h) = 2 R Z + h. = (9,20 m s 2 )(6, m m) = = m s 1 = 7,77 km/s. (Odpoě ) Sndno se přesědčíme, že dob oběhu družice kolem Země, ted period jejího pohbu, je ron 1,47 h. 4.8 VZÁJEMNÝ POHYB PO PŘÍMCE Předstme si, že pozorujeme kchnu, jk letí řekněme n seer rchlostí o elikosti 30 km/h.vzhledem k jiné kchně, která letí spolu s ní, se šk nše kchn nepohbuje.je zřejmé,že rchlost pohbu těles záisí n ztžné soustě pozorotele, kterýproádí měření.obecně budeme ztžnou soustou rozumět hodně zolený objekt, s nímž spojíme soustu souřdnic. Nejpřirozenější ztžnou soustou je pochopitelně t, kterou neustále použíáme,niž si to snd uědomujeme zem pod nšim nohm.sdělí-li doprní policist řidiči, že jel rchlostí 100 km/h, má smozřejmě n msli rchlost zhledem k souřdnicoé soustě spojené s porchem Země.A řidič tomu tké tk rozumí. Pro pozorotele letdle nebo třeb kosmické lodi nemusí být ztžná soust spojená se Zemí práě nejhodnější (npříkld pro popis pohbu okolních předmětů). Můžeme si ošem brt kteroukoli jinou, nebo ýběr ztžných soust není nijk omezen.kdž už se šk pro některou z nich rozhodneme, je důležité se této olb držet šechn měření zthot k brné ztžné soustě. Problém popisu pohbu částice různých ztžných soustách ložíme pomocí jednoduchého příkldu: Aleš (ztžná soust A) sedí utě zprkoném n dálnici odstném pruhu sleduje rchlé uto P (částice), které práě projelo kolem leém pruhu.brbor (ztžná soust B) jede prém pruhu stálou rchlostí.tké on pozoruje utomobil P.Dejme tomu, že ob pozorotelé e stejném okmžiku změří polohu sledoného ozidl. Z obr.4.20, který znázorňuje celou situci, je zřejmé, že PA = PB + BA. (4.24)

16 4.8 VZÁJEMNÝ POHYB PO PŘÍMCE 73 Všechn člen této ronici jsou složk ektorů mohou být jk kldné, tk záporné.slo můžeme ronici (4.24) jádřit tkto: Souřdnici částice P měřenou pozorotelem e ztžné soustě A určíme tk, že k souřdnici částice P měřené pozorotelem soustě B přičteme souřdnici pozorotele B měřenou pozorotelem A. Všimněte si ýznmu eličin obsžených ronici (4.24) souislosti s jejich oznčením pomocí indeů. ztžná soust A ztžná soust B BA PB PA = PB + BA BA Obr Aleš (ztžná soust A) Brbor (ztžná soustb) pozorují ozidlo P.Všechn ozidl se pohbují podél společné os obou ztžných soust.vektor BA předstuje zájemnou rchlost ztžných soust (rchlost soust B zhledem k soustě A).Trojice měření znčených poloh je proeden jediném okmžiku. Dericí ronice (4.24) podle čsu dostneme d dt ( PA) = d dt ( PB) + d dt ( BA), tj.(zhledem k tomu, že = d/dt) PA = PB + BA. (4.25) P Tto ronice jdřuje zth mezi rchlostmi téhož objektu (utomobil P ), měřenými různých ztžných soustách. Tto rchlosti jsou obecně různé.vzth (4.25) lze elmi jednoduše jádřit slo: Rchlost částice P měřená e ztžné soustě A je součtem její rchlosti měřené soustě B rchlosti soust B měřené soustě A. Smbolem BA znčíme rchlost ztžné soust B zhledem k soustě A (obr.4.20), neboli reltiní rchlost B ůči A; rchlost PA se též nzýá reltiní rchlost (utomobilu) ůči ztžné soustě A. Ztím užujeme pouze o tkoých ztžných soustách, které se nzájem pohbují konstntní rchlostí. Brbor (soust B) ted musí jet zhledem k Alešoi (soust A) stálou rchlostí.pohb utomobilu P není omezen ničím, může být zrchlený či zpožděný, utomobil může i zstit nebo cout. Dericí ronice (4.25) dostneme zth pro zrchlení PA = PB. (4.26) (Uědomte si, že rchlost BA je konstntní.její čsoá derice je ted nuloá.) Informce obsžená e zthu (4.26) je elmi důležitá: Částice má stejné zrchlení e šech ztžných soustách pohbujících se nzájem konstntními rchlostmi. Jinými slo: Pozorotelé různých ztžných soustách, pohbujících se nzájem konstntními rchlostmi, nměří u zkoumné částice totéž zrchlení. KONTROLA 7: V následující tbulce jsou ueden rchlosti ( km/h) Brbořin ztžné soust B ozidl P pro tři různé situce.doplňte chbějící údje určete, jk se mění zdálenost ozidel P B. SITUACE BA PA PB PŘÍKLAD4.12 Aleš prkuje n okrji silnice, která ede od ýchodu n zápd.sleduje utomobil P jedoucí zápdním směrem.brbor jede n ýchod rchlostí BA = 52 km/h, tké pozoruje ůz P.Směr od zápdu k ýchodu požujeme z kldný. () V určitém okmžiku Aleš zjistil, že se ozidlo P pohbuje rchlostí 78 km/h.jkou rchlost ozidl P nměří tomto okmžiku Brbor? ŘEŠENÍ: Ze zthu (4.25) dostneme PB = PA BA. Víme, že PA = 78 km/h.záporné znménko jdřuje skutečnost, že se ůz P pohbuje zápdním (ted záporným) směrem.rchlost ztžné soust B zhledem k A je roněž zdán, BA = 52 km/h.je ted PB = ( 78 km/h) (52 km/h) = = 130 km/h. (Odpoě ) Kdb bl ůz P spojen s ozem Brbor lnem ninutým n cíce, odíjelo b se lno z cík práě touto rchlostí. (b) Aleš zpozoruje, že ůz P se po 10 s brzdění zstil.jké zrchlení ozu P Aleš nměřil z předpokldu, že utomobil brzdil ronoměrně?

17 74 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB ŘEŠENÍ: Z ronice (2.11) ( = 0 + t) dostneme = 0 = 0 ( 78 km h 1 ) = t (10 s) ( 78 km h 1 )( 1m s 1 ) = 10 s 3,6km h 1 = = 2,2m s 1. (Odpoě ) (c) Jké zrchlení ozu P nměří Brbor? ŘEŠENÍ: V části () této úloh jsme zjistili, že počáteční rchlost ozu P zhledem k Brboře je 130 km h 1.Vůz P n dálnici zstil, je ted klidu zhledem k Alešoě ztžné soustě.v soustě Brbořině se šk pohbuje rchlostí o elikosti 52 km h 1 směrem n zápd.rchlost utomobilu P zhledem k Brboře je ted 52 km h 1.Užitím zthu = 0 + t dostneme = 0 t = ( 52 km h 1 ) ( 130 km h 1 ) (10 s) = 2,2m s 1. (Odpoě ) = Tento zth je dojrozměrným ekilentem sklární ronice (4.25). Význm indeů je stejný jko ronici (4.25) BA opět předstuje (konstntní) rchlost soust B zhledem k soustě A. Dlším derioáním ronice (4.28) dostneme zth pro zrchlení PA = PB. (4.29) Důležitý ýsledek, který jsme získli pro přípd pohbu po přímce, zůstáá pltnosti i při pohbu roině či prostoru: při konstntních zájemných rchlostech ztžných soust nměří šichni pozorotelé stejné zrchlení pohbující se částice. P Brbořin ýsledek je, podle očekáání, stejný jko Alešů. Ve ýpočtech jsme ted neudělli žádnou chbu. r PA r PB BA 4.9 VZÁJEMNÝ POHYB V ROVINĚ Vzájemný pohb těles roině (přípdně i prostoru) lze nejlépe popst pomocí ektorů. N obr.4.21 jsou znázorněn ztžné soust A B nšich dou pozorotelů, kteří opět sledují pohb částice P, tentokrát roině.soust se stejně jko předchozím přípdě pohbují konstntní zájemnou (neboli reltiní) rchlostí BA.Pro zjednodušení ýpočtů níc předpokládejme,že odpoídjící si os obou soust (-oé -oé) jsou trle ronoběžné. Pozorotelé soustách A B určitém okmžiku změří polohu částice P.Z ektoroého trojúhelník n obr.4.21 je n prní pohled zřejmý zth mezi jejími polohoými ektor obou soustách: r PA = r PB + r BA. (4.27) Tto ektoroá trnsformční ronice odpoídá sklární ronici (4.24), pltné pro pohb po přímce. Deriujeme-li ji podle čsu, získáme zth mezi rchlostmi částice nměřenými pozoroteli soustách A B: PA = PB + BA. (4.28) r BA ztžná soust A ztžná soust B Obr Vztžné soust roině.vektor r PA r PB určují polohu částice soustách A B, r BA je polohoý ektor počátku soust B soustě A.Vektor BA předstuje zájemnou rchlost ztžných soust (rchlost soust B zhledem k A).Předpokládáme, že tto rchlost je konstntní. PŘÍKLAD4.13 Netopýr letící rchlostí NZ zregistruje mouchu, která se pohbuje rchlostí MZ.Rchlosti jsou zdán n obr.4.22 jsou ztžen k zemi.určete rchlost MN mouch zhledem k netopýroi jádřete ji pomocí jednotkoých ektorů. ŘEŠENÍ: Podle obr.4.22 jsou rchlosti mouch netopýr zhledem k zemi dán zth MZ = (5,0m s 1 )(cos 50 )i + (5,0m s 1 )(sin 50 )j NZ = (4,0m s 1 )(cos 150 )i + (4,0m s 1 )(sin 150 )j. Úhl odměřujeme od kldného směru os.při ýpočtu jdeme ze skutečnosti, že rchlost MN mouch zhledem k netopýroi je ektoroým součtem rchlosti MZ mouch

18 4.9 VZÁJEMNÝ POHYB V ROVINĚ 75 zhledem k zemi rchlosti ZN země zhledem k netopýroi. Pk MN = MZ + ZN (obr.4.22b). (Všimněte si, že nitřní inde (bližší znménku plus ) n pré strně této ronice jsou stejné.vnější inde pré strn se shodují s inde n leé strně n obou strnách ronice stupují e stejném pořdí.) Vektor ZN je ošem definoán jko opčný k ektoru NZ, tj. ZN = NZ, dostááme proto MN = MZ + ( NZ ). Doszením rchlostí MZ NZ (obr.4.22) do předchozího zthu dostneme MN = (5,0m s 1 )(cos 50 )i + (5,0m s 1 )(sin 50 )j (4,0m s 1 )(cos 150 )i (4,0m s 1 )(sin 150 )j =. = 3,21i + 3,83j + 3,46i 2,0j =. = (6,7m s 1 )i + (1,8m s 1 )j. (Odpoě ) MZ = 5,0 m/s 50 MZ () MN NZ = 4,0 m/s 30 ZN = NZ (b) Obr Příkld 4.13.() Netopýr zregistrol mouchu.(b) Vektor rchlosti mouch netopýr. PŘÍKLAD4.14 Komps n plubě letdl ukzuje, že letdlo směřuje k ýchodu.plubní rchloměr udáá hodnotu 215 km/h zhledem k okolnímu zduchu.vne stálý jižní ítr rchlostí 65,0 km/h. () Jká je rchlost letdl zhledem k zemi? ŘEŠENÍ: Pohbujícím se tělesem je nní letdlo (L).Letdlo (L) zde požujeme z hmotný bod.jedn ze ztžných soust je spojen se zemí (Z) druhá se zduchem (V). Podle ronice (4.28) pltí LZ = LV + VZ, (4.30) kde LZ je rchlost letdl zhledem k zemi, LV rchlost letdl zhledem k okolnímu zduchu VZ rchlost zduchu zhledem k zemi (rchlost ětru).vektor rchlosti stupující ronici (4.30) lze zkreslit tk, b tořil strn trojúhelník podle obr V obrázku si šimněte, že letdlo je orientoáno přídí k ýchodu, přesně tk, jk ukzuje plubní komps.to šk ještě neznmená, že se tímto směrem tké skutečně pohbuje. S S LZ LZ θ α LV LV () θ V VZ VZ (b) Obr Příkld () Letdlo, jehož pilot udržuje ýchodní kurs,je unášeno seerním směrem.(b) Má-li letdlo letět ýchodně, musí mířit částečně proti ětru. Velikost rchlosti letdl zhledem k zemi určíme z ektoroého trojúhelník n obr.4.23: LZ = LV VZ = = (215 km/h) 2 + (65,0km/h) 2 = = 225 km/h. (Odpoě ) Úhel α n obr.4.23 je dán zthem tj. tg α = VZ LV = (65,0km/h) (215 km/h) = 0,302, α = 16,8. V V (Odpoě ) Letdlo letí zhledem k zemi rchlostí o elikosti 225 km/h e směru, který je od ýchodního kursu odkloněn o 16,8 n seer.vzhledem k zemi se ted letdlo pohbuje rchleji než ůči okolnímu zduchu. (b) Jký kurs musí pilot udržot, chce-li skutečně letět n ýchod? (Kurs je určen údjem n plubním kompsu.) ŘEŠENÍ: Ab letdlo letělo zhledem k zemi přesně ýchodním směrem, musí směřot částečně proti ětru kompenzot tk jeho unášiý li.rchlost ětru je stejná jko

19 76 KAPITOLA 4 DVOJROZMĚRNÝ A TROJROZMĚRNÝ POHYB části ().Digrm rchlostí odpoídjící této situci je n obr.4.23b. Vektor LV, VZ, LZ toří opět proúhlý trojúhelník, podobně jko n obr.4.23 stále pltí ronice (4.30). Velikost rchlosti letdl zhledem k zemi určíme podle obr.4.23b: LZ = LV 2 2 VZ = = (215 km/h) 2 (65,0km/h) 2 = = 205 km/h. Z obrázku je roněž zřejmé, že pilot musí udržot kurs určený úhlem tj. sin θ = VZ LV = (65,0km/h) (215 km/h) = 0,302, θ = 17,6. (Odpoě ) Rchlost letdl zhledem k zemi je nní menší než zhledem k okolnímu zduchu VZÁJEMNÝ POHYB PŘI VYSOKÝCH RYCHLOSTECH I kdž kosmické let již před čsem opustil oblst pouhé fntzie stl se skutečností, stále n nás působí dojmem něčeho mimořádného.volájí předeším předstu objektů pohbujících se elkými rchlostmi.tk třeb tpická elikost rchlosti družice n oběžné dráze kolem Země je km/h.máme-li ji šk zřdit do ktegorie elkých rchlostí, musíme se dohodnout, sjkými rchlostmi ji budeme poronát.přírod sm nbízí jko stndrd rchlost sětl e kuu c = m s 1 (rchlost sětl e kuu). (4.31) Později se přesědčíme, že se žádný hmotný objekt nemůže pohbot rchleji než sětlo e kuu, to bez ohledu n olbu ztžné soust, e které jej pozorujeme.všechn objekt běžných rozměrů se e sronání s tímto sětelným stndrdem pohbují elice pomlu.přitom se nám jejich rchlost může zdát obroská, posuzujeme-liji nšimi lidskými měřítk.velikost rchlosti družice činí pouhých 0,002 5 % rchlosti sětl.n druhé strně se šk rchlosti elementárních částic, npříkld protonů nebo elektronů, mohou této hodnotě elmi přiblížit.nemohou jí šk žádném přípdě dosáhnout či dokonce překročit. Eperiment potrzují, že elektron získá při urchlení npětím 10 milionů oltů rchlost o elikosti 0,998 8c. Použijeme-li pro jeho urchlení npětí 20 milionů oltů, elikost jeho rchlosti se sice ještě zýší, šk už jen n hodnotu 0,999 7c.Rchlost sětl předstuje hrnici, ke které se rchlosti hmotných těles mohou přiblížit, le nikd jí nedosáhnou.let ndsětelnými rchlostmi jsou možné jen e fntstických literárních příbězích.a tk wrpoý pohon, známý z populárního seriálu Str Trek umožňující kosmonutům letět rchlostí c 2 n (n je číslo wrpu ), zůstne nžd jen e sětě fntzie. Pltí ůbec kinemtik, kterou jsme práě budoli pro popis pohbu běžných ( ted elmi pomlých) objektů, tké pro elmi rchlé částice, npříkld elektron či proton? Odpoě, kterou může dát jedině eperiment, je záporná.zákonitosti běžné kinemtik nepltí pro těles s rchlostmi blízkými rchlosti sětl.pro popis pohbu tkoých těles musíme použít Einsteinou speciální teorii reltiit, která souhlsí s eperimentem pro liboolnou rchlost. Kinemtické zth pro běžná těles získáme z ronic odozených rámci Einsteino reltiistické teorie přechodem k mlým rchlostem.ronice nereltiistické kinemtik, kterou bchom mohli nzýt kinemtikou pomlých těles, souhlsí s eperimentem o to hůře, čím je rchlost sledoných těles ětší.ue me příkld: zth (4.25) PA = PB + BA (mlé rchlosti) jdřuje souislost mezi rchlostmi těles P měřenými děm pozoroteli různých ztžných soustách A B. Odpoídjící ronice Einsteino teorie má tr PA = PB + BA 1 + PB BA /c 2 (liboolné rchlosti). (4.32) Pro PB c BA c (splněno pro běžná těles) je hodnot jmenotele zlomku elmi blízká jedničce ronice (4.32) přechází ronici (4.25). Rchlost sětl c je ústřední konstntou Einsteino teorie stupuje e šech reltiistických ronicích. Kždá z nich přípdě mlých rchlostí přejde n odpoídjící nereltiistický tr.oěření této skutečnosti je sndné.při neomezeném zšoání rchlosti sětl se šechn rchlosti budou jeit jko mlé bude pltit kinemtik pomlých těles.dosdíme-li npříkld c do ronice (4.32), dostneme její nereltiistický tr (4.25). PŘÍKLAD4.15 (Mlé rchlosti) Pro PB = BA = 0,000 1c určete PA z ronic (4.25) (4.32).

20 PŘEHLED & SHRNUTÍ 77 ŘEŠENÍ: Z ronice (4.25) dostneme PA = PB + BA = 0,000 1c + 0,000 1c = Z ronice (4.32) = 0,000 2c. (Odpoě ) PA = PB + BA 0,000 1c + 0,000 1c = 1 + PB BA /c2 1 + (0,000 1c) 2 /c 2 = 0,000 2c. = = 0,000 2c. (Odpoě ) 1, Záěr: Pro rchlosti běžných hmotných těles edou zth (4.25) (4.32) ke stejným ýsledkům. V tkoých přípdech můžeme celkem utomtick použít ronici (4.25). PŘÍKLAD4.16 (Vsoké rchlosti) Určete PA ze zthů (4.25) (4.32), je-li PB = BA = 0,65c. ŘEŠENÍ: Z ronice (4.25) dostneme PA = PB + BA = 0,65c + 0,65c = Z ronice (4.32) plne PA = = 1,30c. (Odpoě ) PB + BA 1 + PB BA /c 2 = 0,65c + 0,65c 1 + (0,65c)(0,65c)/c 2 = = 1,30c = 0,91c. (Odpoě ) 1,423 Záěr: Pro soké rchlosti jsou ýsledk kinemtik pomlých těles ýsledk speciální teorie reltiit elmi rozdílné. Klsická kinemtik neklde n elikost rchlosti objektů žádná omezení.v jejím rámci jsou ted přípustné i hodnot ětší než rchlost sětl e kuu (jko př.4.16).ve speciální teorii reltiit nopk nikd nemůže mít hmotný objekt ůči pozoroteli ětší rchlost než sětelnou, bez ohledu n to, jk soké rchlosti skládáme.eperiment záěr speciální teorie reltiit plně potrzuje. PŘEHLED & SHRNUTÍ Polohoý ektor Poloh částice zhledem k počátku soust souřdnic je popsán polohoým ektorem r, zpsným pomocí jednotkoých ektorů krtézské soust souřdnic e tru r = i + j + zk. (4.1) Vektor i, j zk jsou průmět polohoého ektoru r do směrů souřdnicoých os,, z jsou odpoídjící složk.polohoý ektor je určen bu elikostí jedním či děm úhl, nebo sými složkmi. Posunutí Přemístění částice z poloh určené polohoým ektorem r 1 do poloh dné ektorem r 2 je popsáno ektorem posunutí r: r = r 2 r 1. (4.2) Jiný zápis posunutí užíá opět jednotkoých ektorů: r = ( 2 1 )i + ( 2 1 )j + (z 2 z 1 )k, (4.3) kde ( 1, 1,z 1 ) jsou složk ektoru r 1 ( 2, 2,z 2 ) složk ektoru r 2. Průměrná rchlost Průměrná rchlost částice čsoém interlu od t do t + t je definoán jko podíl = r t, (4.4) kde r je posunutí částice tomto interlu. Rchlost Okmžitou rchlostí částice rozumíme limitu její průměrné rchlosti, blíží-li se dob t k nule, = dr dt, (4.6) tj. = i + j + z k, (4.7) kde = d/dt, = d/dt z = dz/dt.směr ektoru okmžité rchlosti je kždém okmžiku tečný k trjektorii částice. Průměrné zrchlení Změní-li se rchlost hmotného bodu z čsoý interl t z hodnot 1 n hodnotu 2,jeprůměrnézrchlení tomto interlu definoáno jko podíl = 2 1 t = t. (4.9) Zrchlení Při poklesu délk čsoého interlu t k nuloé hodnotě nbude průměrné zrchlení limitní hodnot, kterou nzýáme (okmžitým) zrchlením, = d dt, (4.10)