Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat pouze translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, nemůže se natáčet. fréza se neustále dotýká obráběné plochy. Offsety ITG 2 / 33

Motivace Motivace 5-osé obrábění 5-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat jak translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, tak rotační pohyb. frézu je tedy možné vždy nastavit tak, aby osa frézy byla rovnoběžná s normálou plochy v bodě, který chceme obrábět. Offsety ITG 3 / 33

Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině necht C je křivka daná parametrizací c(t) = (x(t), y(t)), t I R. tečný vektor podél křivky c(t) potom je c (t) = (x (t), y (t)), t I R. otočíme-li tečný vektor v každém bodě o π/2 a znormujeme, dostaneme jednotkový normálový vektor n(t) = ( y (t), x(t)) x 2 (t) + y 2 (t). jednostranný offset C d křivky C ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací c d (t) = c(t) + d n(t). Offsety ITG 4 / 33

Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině oboustranný offset křivky můžeme získat jako obálku jednoparametrického systému kružnic S(t) : (x c(t)) (x c(t)) = d 2, se středy kružnic na křivce C. eliminací parametru t z rovnic F (x, t) = (x c(t)) (x c(t)) = d 2, F t(x, t) = (x c(t)) ċ(t) = 0, získáme implicitní vyjádření daného oboustranného offsetu. Offsety ITG 5 / 33

Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině Offsety ITG 6 / 33

Příklady Klasický offset v rovině 1 Vypočtěte klasický offset paraboly. 2 Vypočtěte klasický offset Tschirnhausenovy kubiky a(s) = ( s 2, s 1 s3). 3 3 Vypočtěte klasický offset elipsy. 4 Zkonstruujte offset paraboly v Cabri. 5 Zkonstruujte offset elipsy v Cabri. Offsety ITG 7 / 33

Klasický offset v rovině Vlastnosti offsetu křivky body na křivce a k nim příslušné body na offsetu této křivky mají v těchto bodech stejné normálové vektory, resp. mají v těchto bodech rovnoběžné tečny offset rovinné křivky obecně není křivka stejného typu platí jen ve speciálních případech (offset kružnice je opět kružnice), ale už v jiných jednoduchým příkladech ne (offset paraboly není parabola, offset elipsy není elipsa...) připomeňme, že evoluta křivka je množina středů křivostí této křivky, resp. obálka všech normál této křivky, daná vztahem e(t) = c(t) + r(t)n(t) = c(t) + 1/k(t)n(t) je-li r min d r max, singularita offsetu leží právě na evolutě křivky, tj. singularity offsetu jsou takové body, kde d = r(t) navíc, offset a evoluta jsou v tomto bodě na sebe kolmé Offsety ITG 8 / 33

Klasický offset v rovině Vlastnosti offsetu křivky Offsety ITG 9 / 33

Klasický offset v rovině Offset rovinné lomené čáry každá hrana lomené čáry má jednoznačně určenou normálu nicméně problém nastává ve vrcholech každému vrcholem přiřadíme všechny jednotkové normály mezi normálami hran, které incidují s tímto vrcholem (tedy v podstatě část kružnice s poloměrem d) offset lomené čáry se tedy skládá z úseček a částí kružnic Offsety ITG 10 / 33

Klasický offset v prostoru Klasický offset v prostoru necht S je plocha daná parametrizací S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) I J. jednotkový normálový vektor vypočteme ze vztahu n(u, v) = 1 (Su Sv). S u S v jednostranný offset S d plochy S ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací S d (u, v) = S(u, v) + d n(u, v), kde n(u, v) je jednotková normála plochy S(u, v). Offsety ITG 11 / 33

Klasický offset v prostoru Klasický offset v prostoru oboustranný offset plochy můžeme získat jako obálku dvouparametrického systému sfér (x S(u, v)) (x S(u, v)) = d 2, se středy sfér na ploše S. eliminací parametrů u, v z rovnic (x S(u, v)) (x S(u, v)) = d 2, (x S(u, v)) S u(u, v) = 0, (x S(u, v)) S v(u, v) = 0, získáme jeho implicitní vyjádření. Offsety ITG 12 / 33

Příklady Klasický offset v prostoru 1 Vypočtěte klasický offset paraboloidu. 2 Vypočtěte klasický offset Enneperovy plochy b(u, v) = (u 1 3 u3 + uv 2, v + 1 3 v3 vu 2, u 2 v 2 ). Offsety ITG 13 / 33

Klasický offset v prostoru Vlastnosti offsetu plochy bod na ploše a jemu příslušný bod na offsetu této plochy mají v těchto bodech opět společnou normálu a rovnoběžné tečné roviny podobně jako pro křivky, pouze pro speciální třídy ploch platí, že jejich offset je plocha stejného typu typickým příkladech je kulová plocha podobně např. offsety rotační válcové plochy s osou A a poloměrem r jsou offsety opět rotační válcové plochy se stejnou osou a poloměry r + d a r d dále offsety rotačních ploch jsou opět rotační plochy: rotační plocha vzniká rotací profilové křivky okolo osy a normály této křivky jsou současně normálami rotační plochy (a procházejí osou rotace) offset rotační plochy tedy najdeme tak, že najdeme offset (rovinné) profilové křivky a ten následně rotujeme okolo osy rotace Offsety ITG 14 / 33

Klasický offset v prostoru Vlastnosti offsetu plochy offsety anuloidu jsou také opět anuloidy (speciální případ rotační plochy) offsety válcových ploch: válcovou plochu získáme vytažením hladké rovinné křivky ve směru kolmém na rovinu, ve které tato křivka leží offset válcové plochy tedy najdeme tak, že najdeme offset generující křivky a tuto offsetovou křivku vytáhneme opět ve směru kolmém na rovinu, ve které křivky leží offset kuželové plochy: kuželová plocha vznikne spojování bodů na generující křivce s pevně daným bodech pomocí přímek obecně offsetem kuželové plochy není opět kuželová plocha, platí to pouze pro rotační kuželovou plochu Offsety ITG 15 / 33

Ořezávání offsetů Ořezávání offsetů offsety křivek i ploch mohou obecně obsahovat tzv. samoprůniky (viz např. offset paraboly, elipsy) v praktických aplikacích mohou samoprůniky způsobovat problémy např. samoprůnik offsetu plochy (po kterém se při obrábění pohybuje referenční bod na ose frézy) způsobí při obrábění podříznutí, tj. zaříznutí do již obrobené části a poškození obráběného materiálu proto se obvykle řeší problém ořezávání offsetů, kde části offsetů za samoprůniky (kde je offset blíže k dané křivce než je původní vzdálenost offsetu d) odstraníme, aby k těmto praktickým problémům nedocházelo typicky rozlišujeme lokální samoprůniky (samoprůnik vznikl v průsečíku offsetové křivky a evoluty) a globální samoprůniky (samoprůnik offsetu v odlišných částech křivky) Offsety ITG 16 / 33

Aplikace zaoblování Aplikace zaoblování často se v aplikacích chceme vyhnout ostrým hranám na objektech pokud hrana vzniká jako průnik dvou ploch, často tuto hranu nahrazujeme novou plochou, která spojitě napojuje obě počáteční plochy (plocha zaoblení) obvykle se tato plocha volí jako část kanálové plochy příslušnou část kanálové plochy můžeme získat tak, že valíme kulovou plochu poloměru r podél průnikové hrany obou ploch, tj. tak, že se kulová plocha stále dotýká obou ploch (ale neprotíná je) křivku, po které se tato kulová plocha pohybuje, získáme jako průnik offsetových ploch obou počátečních ploch ve vzdálenosti r Offsety ITG 17 / 33

Racionalita offsetů Aplikace zaoblování Geometrické modelování se zaměřuje především na parametrický popis objektů a speciálně hlavně na ty objekty, které mohou být popsány pomocí polynomiální/racionální parametrizace. Nicméně racionalita daného objektu ještě negarantuje racionalitu odvozených objektů, jako jsou právě např. offsety. Jak je to s racionalitou klasického offsetu? Pro jaké křivky a plochy je offset racionální? Jak je najdeme? Jak určíme, že má křivka racionální offset? Offsety ITG 18 / 33

Offset paraboly Aplikace zaoblování A... parabola daná parametrizací a(t) = (t, 1 2 t2 ) B... kružnice ( daná ) parametrizací 1 s b(s) = 2, 2s s 2 +1 s 2 +1 Normály jsou n a(t) = (2t, 1), n b (s) = b(s) Ze vztahu pro výpočet konvoluce parametricky n a(t) = λn b (s) a tedy 2t = λ 1 s2 s 2 + 1, 1 = λ 2s s 2 + 1 t = 1 s2. 4s Potom konvoluce je dána parametrizací ( ( s 2 1 s 2 1 ) ) 2 c(s) = a d (s) = a(t(s))+db(s) =, +d 4s 16s 2 ( 1 s 2 s 2 + 1, ) 2s. s 2 + 1 Offsety ITG 19 / 33

Aplikace zaoblování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Necht C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c (t). Křivka c(t) = (x(t), y(t)) je křivkou s Pythagorejským hodografem (PH křivkou), pokud složky jejího hodografu c (t) splňují Pythagorejskou podmínku, tedy pokud platí (σ(t) je polynom) x 2 (t) + y 2 (t) = σ 2 (t). Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf musí být možné vyjádřit ve tvaru x (t) = (u 2 (t) v 2 (t))w(t) y (t) = 2u(t)v(t)w(t) pro nějaké polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u 2 (t) + v 2 (t))w(t). Používá se i komplexní reprezentace z = u + iv z 2 = (u 2 v 2, 2uv) = (x, y ) Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že GCD(u(t), v(t)) = 1, dostáváme regulární PH křivky lichého stupně. Offsety ITG 20 / 33

Aplikace zaoblování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Přímým důsledkem zavedení PH křivek je, že jsou to křivky s polynomiální délkou oblouku, jelikož s(t) = t 0 x 2 (u) + y 2 (u)du = t 0 σ(u) du. PH křivky jsou křivky s racionálním offsetem jelikož platí ( ) ( ) y (t) n(t) = x 2 (u) + y 2 (u), x (t) y (t) = x 2 (u) + y 2 (u) σ(t), x (t) σ(t) je c d (t) = c(t) + dn(t) racionální. Nejjednoduššími PH křivkami jsou přímky u(t), v(t), w(t) volíme konstantní. Prvními netriviálními regulárními PH křivkami jsou kubiky u(t), v(t) volíme lineární w(t) = 1 Lze ukázat, že existuje právě jedna PH kubika, tzv. Tschirnhausenova kubika a(t) = ( 3a(3 t 2 ), at(3 t 2 ) ) Offsety ITG 21 / 33

Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek PH křivky je možné použít k interpolaci rovinných dat, což se hodí např. pokud chceme nahradit rovinou křivku pomocí PH spline křivky PH kubiky lze použít ke G 1 Hermitovské interpolaci vstupem jsou body a směry tečen v těchto bodech Pro interpolaci se tedy používají pouze části Tschirnhausenovy kubiky Každý takový oblouk Tsch. kubiky je možné vyjádřit jako kubickou Bézierovu křivku, pro jejíž řídící body platí a navíc platí d 12 = d 01d 23 a θ 1 = θ 2 P 1 = P 0 + 1 3 (u2 0 v0, 2 2u 0v 0), P 2 = P 1 + 1 (u0u1 v0v1, u0v1 + u1v0), 3 P 3 = P 2 + 1 3 (u2 1 v1, 2 2u 1v 1), Offsety ITG 22 / 33

Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek Pro daná vstupní data (θ 0, θ 3) lze rozhodnout, zda interpolační PH kubika existuje, příp. kolik existuje řešení a jestli obsahují smyčku nebo ne Offsety ITG 23 / 33

Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek Dále je možné k interpolaci použít rovinné PH kvintiky Výhodou je, že již mají inflexní body a lze tedy interpolovat v podstatě libovolná data (oproti PH kubikám) Typicky se používají pro C 1 Hermitovu interpolaci jsou zadány body a tečné vektory v těchto bodech obvykle se využívá komplexní reprezentace PH křivek obecně pro zadaná data dostáváme 4 řešení (interpolanty) problém spočívá v automatickém výběru nejlepšího interpolantu Další možností je využít PH kvintiky k nalezení C 2 spojité PH křivky interpolující zadané body Offsety ITG 24 / 33

Aplikace zaoblování Racionální PH křivky Racionálně parametrizované křivky s racionálním offsetem se nazývají racionální PH křivky, tzn. jsou to křivky s racionálním jednotkovým normálovým vektorem. Pro charakterizaci racionálních PH křivek je vhodné využít duální reprezentaci křivek křivka c(t) s normálovým polem n(t) je popsána jako obálka svých tečen n 1(t)x + n 2(t)y = h(t). Jestliže n(t) je racionální parametrizace jednotkové kružnice a h(t) je racionální, dostáváme jako obálku této soustavy přímek racionální PH křivku. Všechny možné racionální parametrizace n(t) je možné zapsat ve tvaru n 1(t) = 2ab a 2 + b, n2(t) = a2 b 2 2 a 2 + b 2 pro nesoudělné polynomy a = a(t), b = b(t). Offsety ITG 25 / 33

Racionální PH křivky Aplikace zaoblování Řešením soustavy lineárních rovnic n 1(t)x + n 2(t)y = h(t), n 1(t)x + n 2(t)y = h (t) dostáváme popis všech racionálních PH křivek v závislosti na polynomech a(t), b(t), h(t) ve tvaru x = 2ab a 2 + b h a2 b 2 2 2(a b ab ) h, y = a2 b 2 a 2 + b h + ab 2 a b ab h (1) Jelikož n(t) je jednotkový, h(t) je orientovaná vzdálenost tečny od počátku. Theorem Všechny racionální křivky c(t) s racionálním offsetem c d (t) lze vyjádřit ve tvaru (1), kde a, b jsou nesoudělné polynomy v t a h je libovolná racionální funkce v t. Nahradíme-li h(t) za h(t) + d, dostáváme přímo parametrizaci offsetu c d (t) křivky c(t) ve vzdálenosti d. Offsety ITG 26 / 33

Aplikace zaoblování Racionální PH křivky kardioida PH parametrizace kardioidy ( k(t) = 8 t 6 6t 4 + t 2) ( ) 32t 3 t 2 1 ( t 2 + 1 ), 4 ( t 2 + 1 ) 4 Jednotkový normálový vektor ( 2t 3t 4 10t 2 + 3 n(t) = ( t 2 + 1 ) 3 ), t6 15t 4 + 15t 2 1 ( t 2 + 1 ) 3 Hledáme a(t) = a 0 + a 1t + a 2t 2 + a 3t 3, b(t) = b 0 + b 1t + b 2t 2 + b 3t 3. Dosazením a(t) a b(t) do obecné parametrizace jednotkové kružnice a srovnáním s (2) dostáváme soustavu 21 rovnic pro 8 neznámých a 0,..., b 3. Dostáváme dvě řešení a 1(t) = 3t t 3, b 1(t) = 3t 2 1 a a 2(t) = 3t + t 3, b 2(t) = 1 3t 2. Potom (2) h(t) = n(t) k(t) = 16t3 (t 2 + 1) 3. Offsety ITG 27 / 33

Aplikace zaoblování Plochy s racionálním offsetem Plocha S je plochou s racionálním offsetem (PN plochou), jestliže existuje její racionální parametrizace s(u, v) taková, že příslušný jednotkový normálový vektor n(u, v) je racionální. PN... Pythagorean Normal vector Myšlenka analogická racionálním PH křivkám... využívá se duální reprezentace ploch plocha s(u, v) s jednotkovým normálovým vektorem n(u, v) je popsána jako obálka tečných rovin Potom také n 1(u, v)x + n 2(u, v)y + n 3(u, v)z = h(u, v). n 1(u, v)x + n 2(u, v)y + n 3(u, v)z = h(u, v) + d je duální reprezentace offsetu S d plochy ve vzdálenosti d. Je-li n(u, v) parametrizací jednotkové sféry (resp. přesněji řešeno parametrizací Gaussova obrazu S) a h(u, v) je racionální funkce v u, v, potom obálkou je PN plocha. Offsety ITG 28 / 33

Aplikace zaoblování PN plochy Necht E(u, v) : n(u, v) x = h(u, v) je dvouparametrický systém rovin, kde n(u, v) je jednotkový normálový vektor, h(u, v) racionální funkce. Parametrizace s(u, v) obálky tohoto systému rovin dostaneme jako průnik rovin E, E u, E v, tj. řešíme soustavu lineárních rovnic pro x = (x, y, z) ve tvaru n(u, v) x = h(u, v), n u(u, v) x = h u(u, v), n v(u, v) x = h v(u, v). Máme-li jednoparametrický systém rovin E(t) : n(t) x = h(t), obálkou S je rozvinutelná plocha, jejíž parametrizaci získáme řešením soustavy n(t) x = h(t), n t(t) x = h t(t). válcová plocha, kuželová plocha nebo plocha tečen prostorové křivky. Offsety ITG 29 / 33

Aplikace zaoblování Racionální jednotkový normálový vektor Cílem je popsat všechny racionální parametrizace jednotkové sféry v R 3. Klasickou racionální parametrizaci jednotkové sféry je možné najít pomocí stereografické projekce: Jednotková sféra... x 2 + y 2 + z 2 = 1 Pól ster. projekce... Z = (0, 0, 1) Mapujeme body roviny xy na jednotkovou sféru, tj. bodu X = (u, v, 0) přiřazujeme bod F na sféře. Dostáváme svazek přímek, které realizují projekce bodů a které všechny procházejí pólem projekce G(t) : x(t, λ) = (0, 0, 1) + λ(u, v, 1). Najdeme průsečík přímek G(t) se sférou... λ = Racionální parametrizace jednotkové sféry potom je ( f(u, v) = 2 1+u 2 +v 2. 2u 1 + u 2 + v, 2v 2 1 + u 2 + v, u2 + v 2 1 2 1 + u 2 + v 2 ). Offsety ITG 30 / 33

Aplikace zaoblování Racionální jednotkový normálový vektor Pokud místo bodů X = (u, v, 0) budeme promítat na sféru body X = (a/c, b/c, 0), dostaneme ( ) 2ac e(u, v) = a 2 + b 2 + c, 2bc 2 a 2 + b 2 + c, a2 + b 2 c 2. 2 a 2 + b 2 + c 2 Analogicky jako u křivek, a, b, c můžeme chápat jako polynomy v proměnných u, v dostáváme tak různé parametrizace jednotkové sféry. Nicméně tato parametrizace stále závisí na pólu projekce! Proto se zavádí pojem tzv. univerzální parametrizace sféry: ( ) 2(ac + bd) m = a 2 + b 2 + c 2 + d, 2(bc ad) 2 a 2 + b 2 + c 2 + d, a2 + b 2 c 2 d 2 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Tečné roviny libovolné PN plochy v R 3 je možné zapsat ve tvaru T (u, v) : m x = h, h je racionální funkce v u, v. Příslušnou parametrizaci s(u, v) potom dostaneme z průniku T T u T v. Offsety ITG 31 / 33

Aplikace zaoblování Parabolické Dupinovy cyklidy Zvolme h(u, v) = q(u, v)/(u 2 + v 2 + 1), kde q(u, v) je kvadratický polynom a n(u, v) jako standardní základní racionální parametrizaci sféry. Duální reprezentace takové plochy tedy je E(u, v) : 2ux + 2vy + (u 2 + v 2 1)z = q(u, v). Obálka rovin E(u, v) a všechny její offsety jsou parabolické Dupinovy cyklidy. q(u, v) = u 2 v 2 q(u, v) = u 2 v 2 3 Offsety ITG 32 / 33

Příklady PN ploch Aplikace zaoblování Racionální kanálové plochy Kvadriky elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy Racionální nerozvinutelné přímkové plochy Obálka racionálního jednoparametrického systémy rotačních kuželů Z klasických ploch např. Enneperova plocha Kvadratické Bézierovy pláty (u + v, u 2, v 2 ) (u, u 2 + v, v 2 ) (u, uv, v 2 ) (u, uv, u 2 + v) (u, u 2 v 2, uv) (uv + u, u 2, v 2 ) (uv + u + v, u 2, v 2 ) (uv, u + v 2, u 2 ) (uv v, u + v 2, u 2 ) Offsety ITG 33 / 33