3 - Návrh frekvenčními metodami Michael Šebek Automatické říení 208 28-3-8
Návrh pomocí Bodeho grafu Automatické říení - Kybernetika a robotika Návrh probíhá v OL s konečným cílem lepšit stabilitu a chování CL, např. Zlepšit ustálenou CL odchylku (na skok nebo rampu, ) Zlepšit robustnost (bepečnost) CL stability Zmenšit CL překmit Zvětšit/menšit dobu náběhu měnou CL šířky pásma Tento konečný cíl je dosažen splněním dílčích cílů formulovaných v OL, např. Změnit polohu asymptoty pro malé frekvence (výšit limitu v nule nebo výšit frekvenci průsečíku s úrovní 0dB) Zvětšit PM a GM Zvětšit/menšit ω c, ω BW Michael Šebek ARI-3-202 2
Automatické říení - Kybernetika a robotika Návrh pomocí Bodeho grafu Typicky nastavujeme: ω C, průsečík asymptoty s 0dB, PM, GM, BW, Graficky: k Bodeho grafu soustavy G(jω) přičítáme vhodně natvarovaný Bodeho graf regulátoru C(jω) L( jω) = G( jω) C( jω) často: L( jω) = G( jω) + C( jω) db db db jedno využijeme, arg ( L( jω) ) = arg ( G( jω) ) + arg ( C( jω) ) druhé nám to kaí Výhody: Po nácviku relativně snadné, nevycháí úplně neroumné regulátory, Metody se naopak hodí pro měřenou frekvenční charakteristiku: Provedeme graficky návrh, aniž bychom hledali model (identifikovali soustavu) Dopravní poždění těmto metodám nevadí Nevýhody vlastně neponáme stabilitu, musí být aručena venku nele použít ke stabiliaci nestabilních soustav - používáme hlavně/výhradně pro stabilní a často minimálně fáové soustavy, které jsou (dle Nyquistova kritéria) také CL stabilní - to je často amlčený předpoklad Michael Šebek ARI-3-207 3
Lag Regulátor Automatické říení - Kybernetika a robotika Kompenace Lag - s fáovým požděním s+ Cs () = K, p< s+ p ω = p má Bodeho graf se dvěma lomy na rohových frekvencích leva nejdřív pól, pak nula navíc k PI má první lom φ min ω = Užívá se pro lepšení ustálené odchylky výšením esílení jen na níkých frekvencích, které přesto nepůsobí nestabilitu a ještě ponechá dostatečné PM Michael Šebek ARI-3-207 4
Lead regulátor Automatické říení - Kybernetika a robotika Lead kompenace - s fáovým předstihem s+ Cs () = K, p> s+ p ω = má Bodeho graf se dvěma lomy na rohových frekvencích leva nejdřív nula, pak pól φ max navíc k PD má druhý lom je to realistický PD ω max = p V porovnání s PD mírňuje esílení na vysokých frekvencích (což je nedostatkem PD) tím, že přidá druhý bod lomu dostatečně nad prvním a ještě přidá dost fáe, ale s menším esílení na vyšších frekvencích ω = p p φmax = arctan 2 p p = arcsin p+ Michael Šebek ARI-3-207 5
Regulátor Lag-Lead Automatické říení - Kybernetika a robotika C lag lead () s s+ s+ = s + p s + p 2 2 = pp, p > > > p 2 2 2 2 Má rysy a možnosti obou předchoích Michael Šebek ARI-3-207 6
P, I a D regulátory Automatické říení - Kybernetika a robotika C ( s) = k C P I ( s ) I T s C( s) = ks= Ts P k = = s I D D I ω = NT D C D, industry Ts D = +TsN D Michael Šebek ARI-3-206 7
Automatické říení - Kybernetika a robotika vláštní případ Lagu PI regulátor s+ K I C () PI s = k = KP + = K + P s s st I filtr typu dolní propusť - eslabuje VF šum návrh spočívá v nastavení eslabení K p tak, aby nová ω c víc vlevo většila PM bohužel ale ubírá fái, čímž PM kaí. Pak se volbou K I nastaví rohová frekvence hodně vlevo, aby se neuplatnilo fáové poždění regulátoru v okolí ω c Bere se -2 dekády vlevo od ω c, (aby se příliš nemenšil BW a nevětšilo T r ) Většinou většuje T r, GM, PM a M r a menšuje ω BW, a OS 0. K K I P = K K = T 0 K K I P I P I Michael Šebek ARI-3-205 8
PD regulátoru Automatické říení - Kybernetika a robotika Přenos Filtr typu horní propusť, esiluje VF šum Na vyšších frekvencích přidává fái proto se používá pro výšení PM, ale bohužel tam také přidává esílení, čímž posouvá ω c k vyšším frekvencím, kde fáe soustavy klesá (někdy víc, něž reg. přidá) Návrh spočívá ve vhodném umístění rohové frekvence KD Cs () = K P + KDs= K + P s K P ω = K K D P D tak, K = P 0.K P K D ω D = KP KD = 0K P K D ϕω ( ) = 45, C( jω ) = K ω 2 D D D D že se lepší PM na nové ω c = ω D dále většinou většuje ω BW, GM a M r a menšuje T r, a OS s praktická realiace mívá PDprak () = + trochu jiný přenos Praktický PD je vláštním případem Lead C s k s p Michael Šebek ARI-3-205 9
PID regulátor Automatické říení - Kybernetika a robotika K () ( ) I + Ts v CPID s= KP + + Ks D = KP + Ts N s Ts N C PID ( jω) db Při návrhu nejprve navrhneme PD část a pak PI nebo naopak arg C ( jω) PID ω = T N ω = T V Michael Šebek ARI-3-205 0
Automatické říení - Kybernetika a robotika Cíl: Nastavit esílení tak, aby ustálená odchylka na skok reference byla menší než daná hodnota. Obvykle vyjádřeno pomocí konstanty polohy K p. Vypočteme požadovanou počáteční hodnotu dle adání 2. a porovnáme ji se skutečnou 3. Z rodílu (vdálenosti) určíme potřebné esílení) Cíl: Nastavit esílení tak, aby byla ustálená odchylka na rampu menší než daná hodnota. Obvykle vyjádřeno pomocí konstanty rychlosti K. Vypočteme požadovaný průsečík asymptoty pro malé frekvence s čárou 0dB 2. a vhodným esílením graf posuneme Poor na CL stabilitu! P pro požadované ustálené chovávání Ls () Michael Šebek ARI-3-205 K estep,ss = ( + K p ) >> L=(+s)/(2+s)/(3+s), K p, db v=value(l,0),l=l/v*0^(5/20),k=value(l,0),bod e(l) L = 34 + 34s / 6 + 5s + s^2 K = e = K ramp,ss v L=(+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime (s*l),0);l=l ω = K v
Automatické říení - Kybernetika a robotika Cíl: Nastavit esílení tak, aby byl aručen požadovaný PM (tedy i překmit, tedy i tlumení) Postup (pro stabilní L!). Použijeme adané PM, nebo ho vypočteme %OS či ζ 2. Nakreslíme Bodeho graf pro nějaké vybrané esílení K 3. na fáovém grafu najdeme frekvenci ω PM, při které se fáe rovná -80 + požadované PM 4. měníme dále esílení tak, aby se amplituda pro tuto frekvenci rovnala (0 db), tedy aby pak ωc = ωpm Podobně-opačně snižujeme PM pro větší BW P pro požadované PM Ls () 2ς ln(%os 00) PM = arctan, ζ = 2 4 2 2 2ς + + 4ς π + ln (%OS 00) M[dB] Michael Šebek ARI-3-205 2 0 80 K [db] C PM new K D ωpm = ω c ω,new c,old B A PM old
Automatické říení - Kybernetika a robotika Kompenace Lag pro požadované PM a K v Cíl: Zajistit požadované PM a K v (tedy ustálenou odchylku na rampu reference) Robor: Požadované K v ajistí esílení dle eleného grafu, ale to menší PM Pokud bychom naopak esílení snížili (modrý graf), většíme PM, ale ase menšíme K v a tím většíme odchylku na rampu. Závěr Zajistit obojí najednou pouhým esílením ajistit nele Chtěli bychom pro malé frekvence elený graf a pro větší modrý Pomůže regulátor typu lag Cs () PM = 59.2 Ls () Michael Šebek ARI-3-20 3 PM =? Ideální řešení, ale jak to ařídit? p