V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x <, 3). b) P (X > ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0, 95. Řešeí: Hledaé pravděpodobosti vyčíslíme pomocí distribučí fukce Φ, jejíž hodoty odečteme z tabulek. Je pak a) P (X < 1, 5) = Φ(1, 5) = 0, 93; P (X > 0, 3) = 1 Φ( 0, 3) = 1 (1 Φ(0, 3) = Φ(0, 3) = 0, 66; P ( 1, 135 < X <, 3) = Φ(, 3) Φ( 1, 135) = Φ(, 3) 1 + Φ(1, 135) = 0, 987 1 + 0, 875 = 0, 8595. b) P (X > ) = P ( X > ) = P (X < ) + P (X > ) = Φ( ) + 1 Φ( ) = 1 Φ( ) + 1 Φ( ) = (1 Φ(1, 1)) = (1 0, 91)) = 57. P (X < 3X + ) = P (X 3X < 0) = P ((X )(X 1) < 0) = P (1 < X < ) = Φ() Φ(1) = 0, 977 0, 81 = 36. c) Je 0, 95 = P ( X < ε) = P ( ε < X < ε) = Φ(ε) Φ( ε) = Φ(ε) 1 Φ(ε) = 1 (1 + 0, 95) = 0, 975 ε = 1, 96.. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N(1; ). Určete: a) P (X < 3, 178); P (X > 1, 56); P (, 138 < X <, 36). b) P (X > 5); P (X > 3X ). c) číslo ε takové, že P ( X 1 < ε) = 0, 9. Řešeí: Požadovaé pravděpodobosti vypočítáme pomocí distribučí fukce. Pro uvažovaé rozděleí je E(X) = µ = 1 a D(X) =, tedy =. Distribučí fukce tohoto rozděleí F (x) = Φ( x 1 ). Je pak a) P (X < 3, 3178) = F (3, 178) = Φ( 3,178 1 ) = Φ(1, 089) = 0, 8618; P (X > 1, 56) = 1 F ( 1, 56) = 1 Φ( 1,56 1 ) = 1 Φ( 1, 8) = Φ(1, 8) = 0, 8906; P (, 138 < X <, 36) = F (, 36) F (, 138) = Φ(,36 1 ) Φ(,138 1 ) = Φ(0, 618) Φ(, 569) = Φ(0, 618) 1 + Φ(, 569) = 0, 731 1 + 0, 995 = 0, 76. b) P (X > 5) = P ( X > 5) = P (X < 5) + P (X > 5) = F ( 5) + 1 F ( 5) = Φ ( ) ( ) 5 1 + 1 Φ 5 1 = Φ( 1, 618) + 1 Φ(0, 618) = Φ(1, 618) Φ(0, 618) = 0, 97 0, 731 = 0, 3 P (X > 3X + ) = P (X 3X > 0) = P ((X )(X + 1) > 0) = P (X < 1)+P (X > ) = F ( 1)+1 F () = Φ( 1 1 )+1 Φ( 1 ) = Φ( 1)+1 Φ(1, 5) = 1 Φ(1) + 1 Φ(1, 5) = 0, 81 0, 933 = 0, 6. 1
c) 0, 9 = P ( X 1 < ε) = P (1 ε < X < 1 + ε) = F (1 + ε) F (1 ε) = = Φ ( ) ( ) ( ) ( ( ) 1+ε 1 Φ 1+ε 1 = Φ ε Φ ε ) = Φ ε 1. Tedy ( ε Φ = 0, 95 ε = u 0,95 =.1, 65 = 3, 9. ) 3. Odvoďte vztah mezi kvatily x p ormálího rozděleí N(µ; ) a kvatily u p ormovaého ormálího rozděleí N(0; 1). Řešeí: Ozačme F distribučí fukci ormálího rozděleí N(µ; ). Potom je F (x) = Φ( x µ ) a tudíž F (x p ) = p Φ( x p µ ) = p x p µ = u p x p = u p + µ.. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N(1; ) a P (X > 15) = 0,. Určete parametr. 0, = P (X > 15) = 1 F (15) = 1 Φ( 15 1 ) = 1 Φ( 3 ). Φ( 3 ) = 0, 8 3 = u 0,8 = 3 u 0,8 = 3 0,8 = 3, 571 a = 1, 755. 5. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N( ; ) a P (X < 0) = 0, 7. Určete parametr. ( ) ( ) 0 ( ) 0, 7 = P (X < 0) = F (0) = Φ = Φ. ( ) Φ = 0, 7 = u 0,7 = = u 0,7 0, 55 = 3, 8095 a = 1, 515. 6. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N(µ; 9) a P (X < ) = 0, 96. Určete parametr µ. 0, 96 = P (X < ) = F () = Φ( µ 3 ) µ 3 = u 0,96. µ = 3u 0,96 = 3.1, 75 = 1, 5.
7. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N(µ; 16) a P (X > 6) = 0, 9. Určete parametr µ. ( ) ( ) 6 µ 6 + µ 0, 9 = P (X > 6) = 1 F ( 6) = 1 Φ = Φ µ = 6 + u 0,9 = 6 +.1, 8 = 0, 88. 6 + µ = u 0,9. 8. Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N(µ; ) a P (X < 85) = 0, 9, P (X < 95) = 0, 95. Určete parametry rozděleí a pravděpodobost P (X > 60). ( ) x µ F (x) = Φ. Je pak ( ) 85 µ 0, 9 = F (85) = Φ 85 µ = u 0,9 = 1, 8 µ + 1, 8 = 85; ( ) 95 µ 0, 95 = F (95) = Φ 95 µ = u 0,95 = 1, 65 µ + 1, 65 = 95; (1, 65 1, 8) = 95 85 0, 365 = 10 = 7, 398, = 750, 65. µ = 85 1, 8 = 85 1, 8.7, 398 = 9, 93. Potom je ( ) 60 9, 93 P (X > 60) = 1 F (60) = 1 Φ = 1 Φ(0, 367) = 7, 398 = 1 0, 631 = 0, 3569. 9. Délka výrobku je áhodá veličia, která má ormálí rozděleí se středí hodotou µ = 7, 5cm a směrodatou odchylkou = mm. Kotrolou projdou výrobky delší ež 73mm. Jaká je pravděpodobost P k, že áhodě vybraý výrobek bude delší ež 8, cm. Řešeí: Délka výrobku je áhodá veličia X, která má rozděleí N(75; 16), kde počítáme vše v milimetrech. Jestliže ozačíme F její distribučí fukci, je pravděpodobost toho, že výrobek projde kotrolou rova ( ) 73 75 P (X > 73) = 1 F (73) = 1 Φ = 1 Φ( 0, 5) = Φ(0, 5) = 0, 691. Sledovaý jev X > 8 je ale podmíěý, kde podmíkou je X > 73. Tedy P ((X > 8) (X > 73)) P (X > 8) P k = P (X > 8 X > 73) = = P (X > 73) P (X > 73). Je ale ( ) 8 75 P (X > 8) = 1 F (8) = 1 Φ = 1 Φ(1, 75) = 1 0, 960 = 0, 0, tedy 3
P k = 0, 0 0, 691 = 0.0579 10. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Pro hodoty koeficietu spolehlivosti a) 1 α = 0, 9, b) 1 α = 0, 95 a c) 1 α = 0, 99 staovte jedostraé a oboustraé itervaly spolehlivosti. Řešeí: Pro oboustraý iterval spolehlivosti dostaeme podmíku: P ( X < a) = 1 α P ( a < X < a) = Φ(a) Φ( a) = Φ(a) 1 = 1 α Tedy podle tabulek kvatilů je Φ(a) = 1 1 α a = u 1 α. a) a = u 0,95 = 1, 65; b) a = u 0,975 = 1, 96; c) a = u 0,995 =, 55. Pro jedostraé itervaly dostaeme: 1 α = P (X < a) = Φ(a) a = u 1 α. Tedy a) a = u 0,9 = 1, 8; b) a = u 0,95 = 1, 65; c) a = u 0,99 =, 31. Pro levostraý iterval dostaeme podmíku: 1 α = P (X > a) = 1 Φ(a) a = u α. Je tedy a) a = u 0,1 = u 0,9 = 1, 8; b) a = u 0,05 = u 0,95 = 1, 65; c) a = u 0,01 = u 0,99 =, 31. 11. Při baleí balíčku 1 kg cukru je váha balíčků áhodá veličia, která má ormálí rozděleí N(1; 10 ). jaká je pravděpodobost, že v krabici, která obsahuje dvacet balíčků se bude váha krabice lišit od 0kg ejvýše o dkg. Řešeí: Ozačme si X i, 1 i 0 váhu i tého balíčku v krabici. Váhy jedotlivých balíčků jsou a sobě ezávislé, tudíž jsou to ezávislé áhodé veličiy. Je tedy váha krabice áhodou veličiou, která je výběrovým úhrem X = 0 Ta má ovšem také ormálí rozděleí se středí hodotou E( X) = 0.1 = 0 a rozptylem D( X) = 0.10 = 0, 00, tedy rozděleí N(0; 0, 00). Protože je 0 dkg=0,0kg, pak počítáme pravděpodobost X i. P = P ( X 0 0, 0) = P (0 0, 0 X 0 + 0, 0).
Jestliže si ozačíme F distribučí fukci áhodé veličiy X, je F (x) = Φ ( ) x 0 0, 00 a tedy pro hledaou pravděpodobost dostaeme P = F (0 + 0, 0) F (0 0, 0) = Φ ( ) ( ) 0 + 0, 0 0 0 0, 0 0 Φ = 0, 00 0, 00 = Φ ( ) ( ) ( ) 0, 0 0, 0 0, 0 Φ = Φ 1 = 0, 00 0, 00 0, 00 = Φ(0, 89) 1 =.0, 8135 1 = 0, 67. 1. Chyby při měřeí mají ormálí rozděleí N(0; 0, 01). Kolik měřeí musíme provést, aby byla chyba průměru měřeí meší ež ε = 0, 0 s pravděpodobostí P = 0, 95. Řešeí: Jestliže si ozačíme hodotu i tého měřeí jako M + X i, kde M je hledaá hodota a X i je chyba i tého měřeí, tedy áhodá veličia, pak průměr všech měřeí má hodotu ( 1 ) M + X i = M + 1 ( ) X i = M + X, kde áhodá veličia X představuje chybu průměru měřeí. Protože jsou jedotlivá měřeí a sobě ezávislá, má áhodá veličia X ormálí rozděleí s parametry E(X) = 0 a D(X) = 0,01. Jestliže si ozačíme F distribučí fukci áhodé veličiy X, pak ( ) x F (x) = Φ. Potom musí platit tedy 0, 95 = P ( X < 0, 0) = P ( 0, 0 < X < 0, 0) = F (0, 0) F ( 0, 0) = ( ) ( ) ( ) 0, 0 0, 0 0, 0 = Φ Φ = Φ 1, Φ(0, ) = 0, 975 0, = u 0,975 = 1, 96 = 1, 96 0, =, 9, 9 =, 01. K získáí požadovaé přesosti musíme provést alespoň 5 měřeí. 5