NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Klasická pavděpodobost 1. Házíme čtyřmi šestistěými hacími kostkami. Učete, jaká je pavděpodobost, že (a padou čtyři ůzá čísla, (b padou pouze lichá čísla, (c součet čísel a všech kostkách dohomady bude ove 6, (d součet čísel bude větší ež 5, (e pade alespoň jeda šestka. 2. V egálu je 6 lahví omálího umu a 4 lahví pačovaého umu (vizuálě k eozezáí. Náhodě vybeeme z egálu 3 lahve a z každé ochutáme. Učete, s jakou pavděpodobostí (a byl pávě ve dvou ámi ochutaých lahvích metaol, (b byl alespoň v jedé ámi ochutaé lahvi metaol. 3. Na svazku máme 8 ůzých klíčů a pokoušíme se odemkout zámek. Vyzkoušeý klíč vždy dáme staou a áhodě vybeeme další klíč ze zbývajících. Jaká je pavděpodobost, že odemkeme až a pátý pokus? 4. Uvažujme ůzých dopisů a ůzých obálek (s již adepsaou adesou. Zmateá seketářka umístí dopisy do obálek zcela áhodě. (a Jaká je pavděpodobost, že je alespoň jede dopis ve spávé obálce? (b Spočtěte itu této pavděpodobosti po. 5. Do vlaku s vagóy astupuje cestujících. Předpokládejme, že každý člověk si vybíá vagó zcela áhodě. (a Učete, s jakou pavděpodobostí bude v pvím vagóě pávě k cestujících. (b Jaká je pavděpodobost, že žádý vagó ebude pázdý? (c Spočítejte itu pavděpodobosti z bodu (a po, tak, že λ > 0. 6. Babička ozděluje tisícikou do obálek po svých voučat k Váocům. Peíze ozmístí áhodě (všecha ozmístěí jsou stejě pavděpodobá. (a Učete pavděpodobost, že vuk Kael dostae pávě k tisícikou. (b Jaká je pavděpodobost, že každé z voučat dostae alespoň ějaké peíze? (c Spočtěte itu pavděpodobosti z bodu (a po, tak, že / λ > 0. 1
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Klasická defiice pavděpodobosti: Opakováí Ω je možia všech možých výsledků áhodého pokusu ω Ω elemetáí jev A Ω áhodý jev Necht Ω obsahuje koečý počet pvků, tj. Ω = {ω 1,..., ω }, a echt všechy elemetáí jevy ω i jsou stejě pavděpodobé. Pak pavděpodobost áhodého jevu A defiujeme jako P(A = A Ω = A, kde A = počet pvků možiy A. Vlastosti: 0 P(A 1, P(A c = 1 P (A, jestliže A B, pak P(A P(B a P(B \ A = P(B P(A, P(A B = P(A P(A B c, P(A B = P(A + P(B P(A B, (picip ikluze a exkluze P(A 1 A 2 A = P(A i i<j P(A i A j + + ( 1 +1 P(A 1 A 2 A. 2
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I 1.(a 6 5 4 3 6 4 = 5 18, Řešeí (b 34 6 4 = 1 16, (c možosti, jak dostat součet šest jsou: 1 + 1 + 1 + 3 a 2 + 2 + 1 + 1 (až a pořadí. Pví součet lze dosáhout čtyřmi způsoby, duhý šesti. Tedy P (A = (4 1+( 4 2 6 4 = 10 6 4, (d ozačme (S = k jev, že součet čísel bude k a dále ozačme A c jev, že součet bude pět, či méě, pak P (A c = P (S = 5 + P (S = 4 = 4 6 4 + 1 6 4, tedy P (A = 1 P (A c = 64 5 6 4, (e ozačme A c jev, že epade žádá šestka, pak P (A c = 54 6 4, tedy P (A = 64 5 4 6 4. 2.(a (6 1( 4 2 ( 10 3 = 3, 10 (b (6 2( 4 1+( 6 1( 4 2+( 6 0( 4 3 ( 10 3 3. 1 8. = 1 (6 4( 4 0 ( 10 3 = 1 8. 4.(a Ozačme A i jev, že i-tý dopis bude ve spávé obálce, pak P (A i = (!, P (A! i A j = ( 2! po i j atd. Pak! P (A = P A i = P (A i P (A i A j + P (A i A j A k...( 1 +1 P ( i<j ( 1! =! = ( 1 i+1 1. 2 ( 2! +! i<j<k A i ( ( 3!...( 1 +1 1 3!! = 1 1 2! + 1 3! 1...( 1+1! (b Jelikož e x = x k k=0, pak k! ( 1 i+1 1 = ( 1 i ( 1 i ( 1 i ( 1 i = ( +1 1 = ( 1 = 1 = 1 e 1. 5.(a Nejdříve vybeeme k cestujících, kteří budou v pvím vagóu. To lze udělat ( k způsoby. Ostatí cestující ozdělíme ovoměě áhodě do dalších vagóů. Tedy P (A = ( k( k (b Ozačme A i jev, že i-tý vagó bude pázdý, pak P (A i = ( i j..., tedy P (A c = P A i = P (A i P (A i A j +...( 1 +1 P ( A i i<j ( ( 1 ( 2 = +...( 1 +1 0 = ( 1 i+1 2 i Tedy ( ( i P (A = 1 P (A c = 1 ( 1 i+1 = i 3, P (A i A j = ( 2 ( 1 i i ( i. ( i.. po
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I (c,,/ λ ( ( k ( 1 k k,,/ λ,,/ λ ( ( 1 k ( k ( 1 k,,/ λ = e λ ( 1...( k + 1,,/ λ ( 1 k k! 1 λ λk = e k!. 6.(a Jedotlivá ozděleí tisícikou do obálek lze popsat pomocí uzpořádaé + 1-tice pvků, kde pvků je jedoho tipu (tisícikouy a 1 pvků duhého tipu (haice, oddělující jedotlivé obálky, viz obázek 1. Počet všech možostí je tedy ( +. Počet přízivých jevů je ( + k 2 2, tedy výsledá pavděpodobost je P (A = ( + k 2 2 ( +. (b (c P (A = ( 1 ( +.,, λ ( + k 2 2 ( +,, λ ( + k 2!( 1!! ( + 1!( 2!( k!,, λ ( 1...( k + 1 ( + 1... ( + k 1 1,, λ + 1 k 1 ( 1,, λ + 1 = 1 ( k λ = λ + 1 λ + 1 i + 2 i k 1 λ k (λ + 1 k+1.,, λ i + 2 i 4
NMUMP403 (Pavděpodobost a matematická statistika I Obázek 1: Jedotlivé obálky jsou zázoěy čákovaou čaou, tisícikouy čeým putíkem a křížek ozačuje haici mezi obálkami. 5