POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5.1-

Math5-LS06-.nb Základní objekty POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5.- Vojtěch Bartík Část Seznámení se systémem v příkladech Aritmetické operace a čísla Mathematica rozeznává několik druhů čísel a různě s nimi zachází. Čísla, která neobsahují desetinnou tečku, jsou tzv. exaktní čísla, ostatní čísla jsou přibližná. Přibližná čísla se dále dělí na strojově přesná čísla (machine-precision numbers) a na čísla s (libovolnou) danou přesností (arbitrary-precision numbers). 8a + b, a b, a b, a b, aêb< H* Součet, rozdíl, součin, součin a podíl *L 9a + b, a b, a b, a b, a b = 97, 7ê3, 3, 5, 3 + 4, 3 + 7ê9 = H* Exaktníčísla *L 7 97, 7 3, 3 7, 5, 3 + 4, 3 + 7 9 = 87., 3.4467987345679, 5.000000987345679, 3. + 4 < H* Strojově přesnáčísla *L 87., 3.447, 5., 3. + 4 < 87.00000000000000000, 7.`7, 5.`8 + 5.`8 < H*Čísla s danou přesností *L 87.0000000000000000, 7.0000000000000000, 5.0000000 + 5.0000000 < Maximální počet nejvyšších cifer strojově přesných čísel, které vidíme na obrazovce, je určen jistým parametrem grafického rozhraní. Jeho nastavení zjistíme příkazem Options@$FrontEnd, PrintPrecisionD 8PrintPrecision 6< a změníme je příkazem SetOptions@$FrontEnd, PrintPrecision 6D Změna ovšem ovlivní všechny výstupní buňky. Maximální počet zobrazovaných nejvyšších cifer strojově přesných čísel lze změnit i v jednotlivých výstupních buňkách pomocí položky Option Inspector\Selection\Formating Options\Expression Formatting\Display Options\PrintPrecision

Math5-LS06-.nb v roletě Format. 87., 3.4467987345679, 5.000000987345679, 3. + 4 < 87., 3.447, 5., 3. + 4 < Matematické konstanty Matematické konstanty jsou symboly představující přesně definovaná vlastní nebo nevlastní reálná nebo komplexní čísla. Mathematica proto s nimi zachází jako s exaktními čísly. 8Pi, π< H Ludolfovo číslo L 8π, π< 8E, < H Eulerovo číslo = základ přirozených logaritmů L 8, < 8Degree, GoldenRatio< H Jeden stupeň = πê80, I+ è!!!! 5Më U.6803 L 8, GoldenRatio< 8I,, Complex@0, D< H Imaginární jednotka L 8,, < 8Infinity,, DirectedInfinity@D, Infinity,, DirectedInfinity@ D< 8,,,,, < 8ComplexInfinity, DirectedInfinity@D< 8ComplexInfinity, ComplexInfinity< Numerické hodnoty exaktních čísel a matematických konstant Přibližné numerické hodnoty exaktních čísel a matematických konstant získáme aplikací funkce N. N@xD je strojově přesná přibližná hodnota konstanty resp. exaktního čísla x, N@x, nd je přibližná hodnota s n platnými ciframi. 8N@πD, N@π, 50D< H* Přibližné hodnoty Ludolfova čísla *L 83.459, 3.459653589793384664338379508849769399375< 8N@ D, N@, 40D< H* Přibližné hodnoty Eulerovačísla *L 8.788,.788884590453536087473566497757< 8N@ D, N@, 30D< H* Přibližné hodnoty imaginární jednotky *L

Math5-LS06-.nb 3 80. +.,.00000000000000000000000000000 < Místo N@xD resp. N@x, nd můžeme psát N û x resp. N@#, nd & û x v prefixové notaci nebo x êê N resp. x êê N@#, nd & v postfixové notaci. 8N @ Degree, N@#, 30D & @ Degree< 80.074533, 0.0745395994395769369076849< 8GoldenRatio êê N, GoldenRatio êê N@#, 0D &< 8.6803,.68033988749894848< Funkce N se automaticky aplikuje na každý člen seznamu 8Degree, GoldenRatio,, ComplexInfinity< êê N 80.074533,.6803,, ComplexInfinity< Symboly, textové řetězce a výrazy Textovým řetězcem je každé slovo sestávající z písmen, číslic a libovolných znaků, které Mathematica rozpoznává, a začínající a končící uvozovkami ". Znak " může být v řetězci zastoupen jako \", znak \ může být zadán jako \\: 8"a", "a", "a", "Aα", "b<b\\ ñă", " \" ", " "< 8a, a, a, Aα, b<b\ ñă, ", < Symbolem je každé slovo sestávající z číslic, písmen a libovolných grafických znaků, které mají charakter písmen (letter-like forms) a které Mathematica rozpoznává, pokud nezačíná číslicí a neobsahuje uvozovky ". 8a, a, a, Aα, bb ñă,, < 8a, a, a, Aα, bb ñă,, < Výrazem je každé číslo, symbol a textový řetězec. Jsou-li expr, expr výrazy, pak expr@exprd je také výraz. Výrazy se ale zadávají a zobrazují různými způsoby: 8Rational@, 3D, Complex@, 3D < H* Racionální a komplexní číslo v úplném tvaru *L 9 3, + 3 = List@a, b,, 3, 5D H* Seznam v úplném tvaru *L 8a, b,, 3, 5< 8Sin@xD, Sin @ x, x êê Sin< H* Úplný, prefixový a postfixový tvar *L 8Sin@xD, Sin@xD, Sin@xD< 8Plus@a, bd, Plus@a, b, cd, a Plus b, a + b + c< H* Úplný a infixový tvar *L

4 Math5-LS06-.nb 8a + b, a + b + c, a + b, a + b + c< Každý výraz má tzv. hlavičku (head). Hlavičkou výrazu expr@exprd je výraz, který vznikne expanzí (evaluací) výrazu expr. Symboly mají skrytou hlavičku Symbol, textové řetězce mají skrytou hlavičku String. Skryté hlavičky mají i různé typy čísel. Hlavičku výrazu získáme příkazem Head: Head ê@ 9, 3ê5, 3.4, a + b, a b, è!!!! 3,, π, "ab", "4r"@7D, Head@"4r"@7DD= 8Integer, Rational, Real, Plus, Times, Power, Complex, Symbol, String, 4r, String< Relace Relace x ä y, x π y, x > y, x y, x < y, x y mají obvyklý význam - pokud lze x, y matematicky porovnat, nabývají hodnoty True nebo False. Syntakticky správné jsou též relace x ä y ä z, x π y π z, x > y > z, x y z, x < y < y, x y z se zřejmým významem a analogické relace s více argumenty- 8.,., 3.4 > π, 3.4 π, 3.4 < π, 3.4 π< 8True, False, False, False, True, True< x = 3.4; y = π; 8x y, x y, x > y, x y, x < y, x y< 8False, True, False, False, True, True< x =.; y =.; 8x y, x y, x > y, x y, x < y, x y< 8x y, x y, x > y, x y, x < y, x y< Relace x === y, x =!= y porovnávají x a y jako objekty jazyka Mathematica a proto vždy nabývají hodnoty True nebo False. 8. ===.`0,. =!=.`0, x === y, x =!= y< 8True, False, False, True< Funkce Názvy všech zabudovaných funkcí a operací začínají velkým písmenem. Argumenty se uvádějí v hranatých závorkách. Kulaté závorky vymezují skupiny, složené závorky vymezují seznamy. Pokud je argument funkce nabývající číselných hodnot přibližné číslo, funkční hodnota je také přibližné číslo. V opačném případě výsledek závisí na tom, zda může být vyjádřen exaktním číslem či nikoliv. Základní elementární funkce Mocniny a odmocniny 9Power@a, bd, a^b, a b, Sqrt@aD, è!!!! a, a ê =

Math5-LS06-.nb 5 8a b, a b, a b, è!!! a, è!!! a, è!!! a< 94 ê, è!!!! 4, ê, è!!!!, è!!!!!!., è!!!!!!!!!!!!!!!.`0, è!!!!!! a = 9,, è!!!, è!!!,.44,.4435637309504880, è!!!!!! a = 98 ê3, è!!!! 3 8, ê3, è!!!! 3, è!!!!!! 3., è!!!!!!!!!!!!!!! 3.`0= 8,, ê3, ê3,.599,.5990499< 9 è!!!!!!!, è!!!!!!!, è!!!!!!!!!., "############## 3 H L 3, "################# 3 H.L 3 = 8, è!!!, 0. +.44, H L ê3, 0.5 + 0.86605 < Mathematica provádí všechny matemarické operace s čísly v komplexním oboru a proto "############# 3 H-L 3 není - ale hlavní hodnota třetí odmocniny I + è!!!! 3 MëU0.5 + 0.86605. Exponenciální funkce a logaritmus 8Power@E, xd, Exp@xD, E x, x < 8 x, x, x, x < 8Log@xD, Log@b, xd< H* Přirozený logaritmus, logaritmus o základu b *L 9Log@xD, Log@xD Log@bD = 9Log@ D, LogA è!!!! 3 E, Log@ π D, Log@ D, Log@3 D, Log@ 3 D, Log@ x D= 9, è!!! 3, π, + π, π + Log@3D, π + Log@3D, Log@ x D= Goniometrické funkce Sin, Cos, Tan, Cot 8Sin@πê3D, Sin@πêD, Sin@πê4D, Sin@πê4.D, Sin@πê4.`0D< è!!! 3 +è!!! 3 9, è!!!, SinA π E, 0.3056, 0.30569= 4 8Cos@πê4D, Cos@πê8D, Cos@πê8.D, Cos@πê8.`0D< 9 è!!!, CosA π E, 0.9388, 0.93879535= 8 8Tan@πê3D, Tan@πê6D, Tan@πêD, Tan@πê4D, Tan@πê4.`0D<

6 Math5-LS06-.nb 9 è!!! 3, è!!! 3, è!!! 3, TanA π E, 0.3654976= 4 8Cot@πê4D, Cot@πê8D, Cot@πê8D, Cot@πê8.`0D< 9, CotA π π E, CotA E,.44356= 8 8 Cyklometrické funkce ArcSin, ArcCos, ArcTan, ArcCot 9ArcSinA è!!!! 3 ë E, ArcSin@ ê 4D, ArcSin@0.5D, ArcSin@3D, ArcSin@3.D= 9 π 3, ArcSinA E, 0.568, ArcSin@3D,.5708.7675 = 4 9ArcCosA è!!!! 3 ë E, ArcCos@ ê 4D, ArcCos@0.5D, ArcCos@3D, ArcCos@3.D= 9 π 6, ArcCosA E,.38, ArcCos@3D, 0. +.7675 = 4 9ArcTanA è!!!! 3 E, ArcTan@3D, ArcTan@3.D, ArcTan@3.`0D= 9 π, ArcTan@3D,.4905,.49045774= 3 9ArcCotA è!!!! 3 E, ArcCot@3D, ArcCot@3.D, ArcCot@3.`0D= 9 π, ArcCot@3D, 0.375, 0.37505544= 6 Hyperbolické funkce Sinh, Cosh, Tanh, Coth 8Sinh@D, Sinh@.D, Sinh@.`0D, Cosh@D, Cosh@.D, Cosh@.`0D< 8Sinh@D,.75,.75094, Cosh@D,.54308,.543080635< 8Tanh@D, Tan@.D, Tan@.`0D, Coth@D, Coth@.D, Coth@.`0D< 8Tanh@D,.5574,.55740775, Coth@D,.3304,.33035855< Hyperbolometrické funkce ArcSinh, ArcCosh, ArcTanh, ArcCoth 8ArcSinh@D, ArcSinh@.D, ArcCosh@D, ArcCosh@.D< 8ArcSinh@D, 0.88374, ArcCosh@D,.3696< 8ArcTanh@ ê D, ArcTanh@0.5D, ArcTanh@D, ArcTanh@.D< 9ArcTanhA E, 0.549306, ArcTanh@D, 0.549306.5708 =

Math5-LS06-.nb 7 8ArcCoth@D, ArcCoth@.D, ArcCoth@ ê D, ArcCoth@0.5D< 9ArcCoth@D, 0.549306, ArcCothA E, 0.549306.5708 = Některé další funkce Abs, Arg, Re, Im, Sign, Conjugate 8Abs@ 5D, Abs@ + D, Abs@. D, Abs@.`0 D, Abs@x + y D< 85, è!!!,.44,.443564, Abs@x + yd< 8Arg@ D, Arg@ + D, Arg@ D, Arg@ D, Arg@ D< H* -p < Arg@zD p *L 9π, 3 π 4, π, π, 3 π 4 = 9Re@ D, Im@ D, ReA è!!!!!!! 3 E, ReA è!!!!!!!!! 3. E, ImA è!!!!!!! 3 E, ImA è!!!!!!!!! 3. E= 9,, è!!! ê3, 0.6996, 3,.09= ê3 Funkce Sign je definována pro všechna nenulová reálná a komplexní čísla jako podíl čísla a jeho absolutní hodnoty, Sign@0D = 0. 8Sign@ πd, Sign@ D, Sign@0D, Sign@0.D, Sign@.D, Sign@πD< 8,, 0, 0,, < 9Sign@3 D, Sign@ + D, SignA. + è!!!! 3 E, SignA.`0 + è!!!! 3 E= 9, è!!! +, 0.5 + 0.86605, 0.5000000000 + 0.866054038 = Conjugate@zD je číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z. Funkce se chová poněkud podivně, je-li reálná část čísla z číslo s (libovolnou) danou přesností. 9ConjugateA + è!!!! 3 E, Conjugate@ + x D, Conjugate@x + y D= 8 è!!! 3, Conjugate@xD, Conjugate@x + yd< 9ConjugateA. + è!!!! 3 E, ConjugateA + è!!!!!! 3. E, ConjugateA. + è!!!!!! 3. E= 8..7305,.7305,..7305 < 9ConjugateA.`0 + è!!!! 3 E, ConjugateA.`0 + è!!!!!! 3. E= 8.000000000.73050807568877935744634,.000000000.7305 <

8 Math5-LS06-.nb 9ConjugateA. + è!!!!!!!!!!!!!!! 3.`0 E, ConjugateA.`0 + è!!!!!!!!!!!!!!! 3.`0 E= 8..730508076,.000000000.730508076 < IntegerPart, FractionalPart, Floor, Ceiling, Round, Max, Min 9IntegerPartA è!!!! 5E, FractionalPartA è!!!!!! 5.E, FractionalPartA è!!!!!!!!!!!!!!! 5.`0 E= 8, 0.36068, 0.360679774997896964< 9IntegerPartA è!!!! 5E, IntegerPartA è!!!!!! 5.E, FractionalPartA è!!!!!!!!!!!!!!! 5.`0 E= 8,, 0.360679774997896964< 9FloorA è!!!! 5E, FloorA è!!!!!! 5.E, FloorA è!!!! 5E, FloorA è!!!!!! 5.E= 8,, 3, 3< 9CeilingA è!!!! 5E, CeilingA è!!!!!! 5.E, CeilingA è!!!! 5E, CeilingA è!!!!!! 5.E= 83, 3,, < 9RoundA è!!!! 5E, RoundA è!!!!!! 5.E, RoundA è!!!! 5E, RoundA è!!!!!! 5.E= 8,,, < Zaokrouhlení čísla è!!!!! 5. =.3606797749979` na n desetinných míst pro n =, 3, 5 9RoundA è!!!!!! 5. 0Eë0., RoundA è!!!!!! 5. 0 3 Eë0. 3, RoundA è!!!!!! 5. 0 5 Eë0. 5 = 8.,.36,.3607< Quotient, Mod, GCD, LCM, Divisors, Prime, PrimePi, PrimeQ Quotient@x, yd resp. Mod@x, yd je částečný podíl resp. zbytek při dělení čísla x číslem y. Zbytek má stejné znaménko jako dělitel y. 8Quotient@7, 4D, Mod@7, 4D, Quotient@7, 4D, Mod@7, 4D< 84,, 5, 3< 8Quotient@ 7, 4D, Mod@ 7, 4D, Quotient@ 7, 4D, Mod@ 7, 4D< 8 5, 3, 4, < GCD@x, y,...d resp. LCM@x, y,...d je největší společný dělitel resp. nejmenší společný násobek exaktních čísel x, y,... 8GCD@, 8, 4D, LCM@, 8, 4D<

Math5-LS06-.nb 9 86, 7< Divisors@xD je seznam všech kladných dělitelů exaktního čísla x. 8Divisors@4D, Divisors@ 4D < 88,, 3, 4, 6, 8,, 4<, 8,, 3, 4, 6, 8,, 4<< Prime@nD je n-té prvočíslo, PrimePi@nD je počet prvočísel n, PrimeQ@xD je test prvočíselnosti čísla x. 8Prime@D, Prime@0D, Prime@0 6 D, Prime@0 0 D < 8, 9, 5485863, 509780063< 8PrimePi@000D, PrimePi@509780063D< 868, 0000000000< 8PrimeQ@7D, PrimeQ@0D< 8True, False< Factorial, Binomial 8Factorial@5D, 5!< 8550043330985984000000, 550043330985984000000< 8Binomial@7, 3D, Binomial@a, 4D, Binomial@ 6, D< 935, H 3 + al H + al H + al a, = 4 Random, SeedRandom, $RandomState Pseudonáhodná celá čísla 8Random@Integer, 5D, Random@Integer, 8 4, 5<D< H* Z intervalu X0, 5\ a X-4, 5\ *L 84, 0< Pseudonáhodná strojově přesná reálná a komplexní čísla 8Random@D, Random@Real, 5D, Random@Real, 8 4, 5<D< H* Z intervalu X0, \, X0, 5\ a X-4, 5\ *L 80.55989,.387, 0.0393< 8Random@Complex, + D, Random@Complex, 8, + <D< H* Zečtverce X0,\+ X0,\ a obdélníkux,\+ X,\ *L 80.77489 + 0.59673, 0.07873 0.67343 <

0 Math5-LS06-.nb SeedRandom@43453476893656874689D; H* Nastavení generátoru pseudonáhodných čísel *L 8Random@Integer, 5D, Random@D, Random@Complex, + D< 8, 0.797, 0.4579 + 0.436034 < s = $RandomState; H* Uchování vnitřního stavu generátoru pseudonáhodných čísel *L 8Random@Integer, 5D, Random@D, Random@Complex, + D< 84, 0.390794, 0.73348 + 0.89969 < 8Random@Integer, 5D, Random@D, Random@Complex, + D< 80, 0.03073, 0.364708 + 0.8965 < $RandomState = s;h* Obnovení vnitřního stavu generátoru pseudonáhodných čísel *L Clear@sD; 8Random@Integer, 5D, Random@D, Random@Complex, + D< 84, 0.390794, 0.73348 + 0.89969 < SeedRandom@43453476893656874689D; H* Resetování generátoru pseudonáhodných čísel *L 8Random@Integer, 5D, Random@D, Random@Complex, + D< 8, 0.797, 0.4579 + 0.436034 < Definování funkcí Příklad Clear@f, g, h, x, yd; f = Sum@Prime@kD # k, 8k,, 3<D &; g = Function@x, Sum@Prime@kD x k, 8k,, 3<DD; h@x_d := Sum@Prime@kD x k, 8k,, 3<D; H* Výrazy označené symboly f a g jsou tzv. anonymní neboli čisté funkce Hpure functionsl. *L 8f@xD, g@yd, h@zd< 8 x + 3 x + 5 x 3, y + 3 y + 5 y 3, z + 3 z + 5 z 3 < Příklad Clear@f, g, x, yd; 3 f@x_d := Random@Integer, 80, 5<D x k ; H Odložená definice L k=0 3 g@x_d = Random@Integer, 80, 5<D x k ; k=0 H Okamžitá definice L

Math5-LS06-.nb 88f@xD, f@yd<, 8g@xD, g@yd<< 88 + x + 4 x + 4 x 3, + 5 y + y + 5 y 3 <, 84 + 5 x + x 3, 4 + 5 y + y 3 << Příklad 3 Clear@f, g, h, x, yd; f = Function@x, If@x > 0, x, x, IndeterminateDD; g@x_d := If@x > 0, x, x, IndeterminateD; h@x_d := Piecewise@88x, x > 0<, 8 x, x 0<<, IndeterminateD; 8f@xD, f@ πd, f@πd< 8Indeterminate, π, π < 8g@xD, g@ πd, g@πd< 8Indeterminate, π, π < 8h@xD, h@ πd, h@πd< x Ø x > 0 9 x x 0, π, π = ± Indeterminate True Příklad 4 Clear@f, x, yd; f@x_d := x H π xl Sin@xD ê; 0 x π; f@x_d := f@mod@x, πdd ê; x > π; f@x_d := f@mod@x, πdd ê; x < 0; f@x_d := Indeterminate; Plot@f@xD, 8x, 4 π, 4 π<, AspectRatio 0.4D; 7.5 5.5-0 -5 5 0 -.5-5 -7.5 f ê@8x, 9 πê, 5 πê, πê, 3 πê, 7 πê < 9Indeterminate, 3 π 4, 3 π 4, 3 π 4, 3 π 4, 3 π 4 =

Math5-LS06-.nb Příklad 5 Clear@fD; f@x_d := x ê; x ; f@x_d := x f@x D ê; x > ; Table@f@xD, 8x,, <D 8,, 6, 4, 0, 70, 5040, 4030, 36880, 368800, 3996800< Definition@fD f@x_d := x ê; x f@x_d := x f@x D ê; x > Příklad 6 Clear@fD; f@x_d := Hf@xD = xl ê; x ; f@x_d := Hf@xD = x f@x DL ê; x > ;H* Funkce pamatující si své hodnoty *L Definition@fD f@x_d := Hf@xD = xl ê; x f@x_d := Hf@xD = x f@x DL ê; x > f@d; Definition@fD f@d = f@d = f@x_d := Hf@xD = xl ê; x f@x_d := Hf@xD = x f@x DL ê; x > Atributy funkcí / symbolů Na chování funkcí (operací) mají vliv jejich tzv. atributy. Zde jsou některé z nich: Flat, Listable, Orderless, Protected, ReadProt Atribut Flat vyjadřuje asociativitu, atribut OrderLess vyjadřuje komutativitu. Tyto dva atributy mají např. funkce Plus a Times: 88a +Hb +Hc + dll, a +Hd +Hc + bll<, 8a Hb Hc dll, a Hd Hc bll<< 88a + b + c + d, a + b + c + d<, 8a b c d, a b c d<<

Math5-LS06-.nb 3 Atribut Listable znamená, že funkce (operace) se aplikuje automaticky na každý člen seznamu. Tento atribut mají aritmetické operace, mocnimy, všechny elementární funkce a mnohé další, npř. Abs, Arg, Conjugate, Re, Im, Sign, IntegerPart, FractionalPart, Round, Floor, Ceiling, Quotient, Mod, Divisors, Prime, PrimePi, PrimeQ, Factorial, Binomial. 8a +8b, c, d<, a 8b, c, d<, 8a, b, c< +8d, e, f<, 8a, b, c< 8d, e, f<< 88a + b, a + c, a + d<, 8a b, a c, a d<, 8a + d, b + e, c + f<, 8a d, b e, c f<< 8a 8b,c,d<, 8a, b, c< d, 8a, b, c< 8d,e,f< < 88a b, a c, a d <, 8a d, b d, c d <, 8a d, b e, c f << Factorial@8,, 3, 4, 5<D 8,, 6, 4, 0< 8Binomial@7, 8,, 3<D, Binomial@85, 6, 7<, 3D, Binomial@85, 6, 7<, 8,, 3<D< 887,, 35<, 80, 0, 35<, 85, 5, 35<< Atribut Protected mají všechny zabudované funkce. Tento atribut znamená, že vlastnosti funkce nelze měnit: 9 è!!!!!!! 3, è!!!!!!! 3 =, è!!!!!!! 3 = Set::write : Tag Power in H L ê3 is Protected. More 8H L ê3,, H L ê3 < Atribut Protected ale můžeme odstranit a pak vlastnosti funkce pozměnit: Unprotect@PowerD; è!!!!!!! 3 = ; è!!!!!!! 3 Původní stav obnovíme pomocí příkazů Clear@PowerD; Protect@PowerD nebo è!!!!!!! 3 - =.; Protect@PowerD; è!!!!!!! 3 =.; Protect@PowerD; è!!!!!!! 3 H L ê3 Clear@smbD můžeme použít jenom v případě, že se symbolem smb nejsou spojeny žádné systémové definice, tj. definice nevytvořené námi. Atribut ReadProtected nedovoluje číst systémové definice spojené se symbolem. Atributy symbolu zjistíme příkazem Attributes, měnit atributy můžeme pomocí příkazů ClearAttributes a SetAttributes, viz Help.

4 Math5-LS06-.nb Seznamy, jejich vytváření a reprezentace Vytváření seznamů. Přímo, vypsáním jeho členů. Počet členů seznamu zjistíme pomocí funkce Length. 8List@,, 3, 4D, 8,, 3, 4<, Length@8,, 3, 4<D< 88,, 3, 4<, 8,, 3, 4<, 4<. Nepřímo pomocí Range. 8Range@4D, Range@, 4D, Range@, 4D< 88,, 3, 4<, 8,, 3, 4<, 8,, 0,,, 3, 4<< 8Range@, 9, D, Range@, 9, 3.D, Range@8,, D< 88, 4, 6, 8<, 8,., 5., 8.3<, 88, 6, 4,, 0, << 3. Nepřímo pomocí Table. Clear@f, g, hd; 8Table@f@D, 83<D, Table@f@D, 8i, 3<D< 88f@D, f@d, f@d<, 8f@D, f@d, f@d<< 8Table@f@iD, 8i, 3<D, Table@f@iD, 8i,, 3<D< 88f@D, f@d, f@3d<, 8f@D, f@d, f@3d<< 8Table@f@iD, 8i,, 5, <D, Table@f@iD, 8i, 7,, <D< 88f@ D, f@0d, f@d, f@4d<, 8f@7D, f@5d, f@3d, f@d<< Table@f@i, g@jdd, 8i,, <, 8j, 4,, <D H* Dvourozměrný seznam *L 88f@, g@4dd, f@, g@3dd, f@, g@dd<, 8f@, g@4dd, f@, g@3dd, f@, g@dd<< Table@f@i, g@j, h@kddd, 8i,, <, 8j,, 3<, 8k,,, <D H* Trojrozměrný seznam *L 888f@, g@, h@ddd, f@, g@, h@ DDD<, 8f@, g@3, h@ddd, f@, g@3, h@ DDD<<, 88f@, g@, h@ddd, f@, g@, h@ DDD<, 8f@, g@3, h@ddd, f@, g@3, h@ DDD<<<

Math5-LS06-.nb 5 4. Nepřímo pomocí Array. Clear@aD; α = Array@a, 3D H Jednorozměrné pole L 8a@D, a@d, a@3d< a@d = ; a@3d = ; α 8, a@d, < Clear@bD; β = Array@b, 8, 3<D H Dvourozměrné pole L 88b@, D, b@, D, b@, 3D<, 8b@, D, b@, D, b@, 3D<< b@, D = ; b@, 3D = ; β 88, b@, D, b@, 3D<, 8b@, D, b@, D, << Clear@cD; γ = Array@c, 8, 3, <D H Trojrozměrné pole L 888c@,, D, c@,, D<, 8c@,, D, c@,, D<, 8c@, 3, D, c@, 3, D<<, 88c@,, D, c@,, D<, 8c@,, D, c@,, D<, 8c@, 3, D, c@, 3, D<<< c@,, D = 3; c@, 3, D = 3; γ 8883, c@,, D<, 8c@,, D, c@,, D<, 8c@, 3, D, c@, 3, D<<, 88c@,, D, c@,, D<, 8c@,, D, c@,, D<, 8c@, 3, D, 3<<< Tabulková a maticová reprezentace seznamů ColumnForm ColumnForm@8, 3<D 3 ColumnForm@8, 3<, CenterD 3 ColumnForm@8, 3<, RightD

6 Math5-LS06-.nb 3 Použijeme-li příkaz SetOptions@ColumnForm, CenterêRightD, sloupce budou vždy zarovnány centrovány/zarovnány napravo. Nastavení zrušíme příkazem ClearOptions@ColumnForm, CenterêRightD. TableForm TableForm@8, <D H* Reprezentace jednorozměrného seznamu *L TableForm@88, <, 8, 3, 34<<D H* Reprezentace dvourozměrného seznamu *L 3 34 TableForm@88,, 3<, 8, 3, 34<<, TableSpacing 8, 0.5<D 3 3 34 TableForm@88,, 3<, 8, 3, 34<<, TableAlignments CenterD 3 3 34 TableForm@88,, 3<, 8, 3, 34<<, TableAlignments RightD 3 3 34 Použijeme-li příkaz SetOptions@TableForm, TableAlignments -> CenterêRightD, sloupce budou vždy centrovány/zarovnány napravo. Ke zrušení nastavení stačí příkaz SetOptions zaměnit příkazem ClearOptions. Analogicky můžeme nastavit vzdálenosti řádků a sloupců. MatrixForm 8, < êê MatrixForm H* Reprezentace jednorozměrného seznamu *L J N 88,, 3<, 8, 3, 34<< êê MatrixForm H* Reprezentace dvourozměrného seznamu, jehož řádky mají stejnou délku *L J 3 3 34 N 88, <, 8, 3, 34<< êê MatrixForm H* Reprezentace dvourozměrného seznamu, jehož řádky nemají stejnou délku *L

Math5-LS06-.nb 7 8, < J 8, 3, 34< N Skryté/volitelné argumenty Argumenty typu TableAlignments Æ Value, TableSpacing Æ Value jsou tzv. skryté argumenty (optional arguments). Zjistíme je pomocí příkazu Options: Options@TableFormD 8TableAlignments Automatic, TableDepth, TableDirections Column, TableHeadings None, TableSpacing Automatic< Options@MatrixFormD 8TableAlignments Automatic, TableDepth, TableDirections Column, TableHeadings None, TableSpacing Automatic< Přestože TableForm a MatrixForm mají tyto argumenty naprosto stejné a připouštějí pro ně stejné hodnoty, jak zjistíme v Helpu, zarovnání sloupců v MatrixForm je stejné pro všechny tři možné hodnoty argumentu TableAlignments. Podobně nemá žádný vliv na mezery mezi řádky a sloupci změna nastavení argumentu TableSpacing. Ve verzi 5.0 bylo možné změnit zarovnání a mezery dodatečně pomocí Option Inspector, a to buď globálně, nebo pro všechny buňky v dokumentu nebo pouze pro vybranou buňku. Dokonce bylo možné zarovnat každý sloupec a řádek jinak. Ve verzi 5. to možné není. Chování MatrixForm dokonce ani neodpovídá nastavení uvedenému v Option Inspector. Jedinou možností je pomocí ShowExpression z rolety Format otevřít příslušnou výstupní buňku, pozměnit hodnotu skrytého argumentu TableAlignments resp. TableSpacings a buňku opět zavřít. 88,, 3<, 8, 3, 34<< êê MatrixForm J 3 3 34 N Manipulace se seznamy a výrazy Omezíme se na manipulaci se seznamy a výrazy na nejvyšší úrovni, což je v podstatě manipulace s jednorozměrnými seznamy. Manipulace na dvou nebo více úrovních je analogická, viz Help. Clear@f, gd; s = f@,, 3, 4, 5, 6, 7D; s = f@x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd; s3 = f@f@, f@, 3DD, f@f@, f@dd, f@3ddd; s4 = f@f@, f@, 3DD, g@g@, g@dd, g@3ddd; SeedRandom@436783574348043478734579D; s5 = Table@Random@Integer, 8 00, 00<D, 800<D; Úrovně výrazů Table@Level@s, 8i<D, 8i,, Depth@sD <D êê ColumnForm@#, CenterD &

8 Math5-LS06-.nb 8x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y z< 8x,, x, x, y,, y, y, x, y, x, y, x, z, x, y, z< 8x,, y,, y,, x,, y, < Table@Level@s3, 8i<D, 8i,, Depth@sD <D êê ColumnForm@#, CenterD & 8f@, f@, 3DD, f@f@, f@dd, f@3dd< 8, f@, 3D, f@, f@dd, f@3d< 8, 3,, f@d, 3< Table@Level@s4, 8i<D, 8i,, Depth@sD <D êê ColumnForm@#, CenterD & 8f@, f@, 3DD, g@g@, g@dd, g@3dd< 8, f@, 3D, g@, g@dd, g@3d< 8, 3,, g@d, 3< Extrakce prvků a částí First, Last, Most, Rest, Head 8s, First@sD, Last@sD, Most@sD, Rest@sD, Head@sD< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D,, 7, f@,, 3, 4, 5, 6D, f@, 3, 4, 5, 6, 7D, f< Extract 8s, Extract@s, 3D, Extract@s, 83<D, Extract@s, 5D, Extract@s, 8 5<D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, 3, 3, 3, 3< 8s, Extract@s, 88<, 86<, 84<<D, Extract@s, 88 6<, 8 <, 8 4<<D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, 8, 6, 4<, 8, 6, 4<< 8s, Extract@s, 883<, 85<, 87<<, gd< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, 8g@3D, g@5d, g@7d<< Part 8s, Part@s, 3D, s@@3dd, Part@s, 5D, s@@ 5DD< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, 3, 3, 3, 3< 8s, Part@s, 83<D, s@@83<dd, Part@s, 8 5<D, s@@8 5<DD< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@3d, f@3d, f@3d, f@3d< 8s, Part@s, 85, 3<D, s@@85, 3<DD, Part@s, 8 3, 5<D, s@@8 3, 5<DD<

Math5-LS06-.nb 9 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@5, 3D, f@5, 3D, f@5, 3D, f@5, 3D< Take 8s, Take@s, 3D, Take@s, 8, 4<D, Take@s, 8 6, 4<D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@,, 3D, f@, 3, 4D, f@, 3, 4D< 8s, Take@s, 8, 6, <D, Take@s, 85,, <D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@, 3, 5D, f@5, 3, D< Cases s f@x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd Cases@s, x_symbold 8x, y< 8Cases@s, Power@x, n_dd, Cases@s, Power@x, n_.dd< 88x <, 8x, x << 8Cases@s, Power@x_, n_dd, Cases@s, Power@x_Symbol, n_.dd< 88x, y <, 8x, x, y, y << 8Cases@s, 8Power@x_, n_d<d, Cases@s, 8Power@x_, n_.d<d< 888x <, 8y <<, 88x<, 8x <, 8y<, 8y <<< 8Cases@s, x y D, Cases@s, x y_. z_.d< 88x y, x y, x y z<, 8x, x y, x y, x y z<< Cases@s, u : Power@x, n_.d» 8Power@x, n_.d<d 8x, x, 8x<, 8x << Cases@s, u : Power@x_Symbol, n_.d» 8Power@x_, n_.d<d 8x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <<

0 Math5-LS06-.nb Select s5 88, 7,, 7, 8,, 9, 58, 00, 94, 96, 0, 86, 5, 96, 7, 50, 9, 34, 3, 70, 30, 9, 3, 8, 69, 6, 9, 3, 94, 5, 86, 97, 0, 7, 7, 79, 7, 33, 7, 77, 80, 73, 7, 9, 7,,, 55, 6,, 3, 93, 0, 74,, 39, 7, 7,, 4, 53, 40, 85, 6, 6, 9, 59, 00, 8, 93, 3, 84, 44, 8, 6, 8, 5, 60,, 90, 3, 43, 6, 38, 30, 49, 8,,, 7, 60, 00, 6, 79, 9, 5, 96, 87, 5< Select@s5, OddQD 8 7, 7,, 9, 7, 3, 9, 3, 69, 9, 3, 97, 7, 7, 79, 7, 33, 7, 77, 73, 7, 9, 7,,, 55, 6, 3, 93,, 39, 7, 7,, 53, 85, 6, 9, 59, 93, 3, 6, 8, 5,, 43, 49,, 7, 6, 79, 9, 5, 87< Select@s5, PrimeQD 8 7, 7,, 9, 7, 3, 9, 3, 9, 3, 97, 7, 79, 7, 73, 7, 7,, 6, 3, 7, 7, 53, 6, 59, 3, 6,, 43,, 7, 6, 79, 9< Select@s5, Mod@#, 7D 0 &D 88, 7, 0, 70, 8, 7, 77,, 4, 9, 84, 49,, 7< Select@s5, Quotient@#, 7D 3 &D 894, 96, 93, 9, 93, 96< Select@s5, Abs@# 6 # + 7D < 0 &D 80, 3,,, < Přidávání a odstraňování prvků Append, Prepend, Insert 8s, Append@s, xd, Prepend@s, xd< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@,, 3, 4, 5, 6, 7, xd, f@x,,, 3, 4, 5, 6, 7D< 8s, Insert@s, x, D, Insert@s, x, 3D, Insert@s, x, 88<, 84<<D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@, x,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@,, 3, 4, 5, x, 6, 7D, f@, x,, 3, x, 4, 5, 6, 7D<

Math5-LS06-.nb Delete 8s, Delete@s, D, Delete@s, 3D, Delete@s, 88<, 83<, 8 <<D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@, 3, 4, 5, 6, 7D, f@,, 3, 4, 6, 7D, f@, 4, 5, 6D< Drop 8s, Drop@s, 3D, Drop@s, 3D, Drop@s, 8, 4<D, Drop@s, 8 4, <D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@4, 5, 6, 7D, f@,, 3, 4D, f@, 5, 6, 7D, f@,, 3, 7D< 8s, Drop@s, 8, 5, <D, Drop@s, 8, 5, <D< 8f@,, 3, 4, 5, 6, 7D, f@, 4, 6, 7D, f@,, 4, 6D< DeleteCases s f@x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd DeleteCases@s, x_symbold f@x, 8x<, 8x <, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd 8DeleteCases@s, Power@x, n_dd, DeleteCases@s, Power@x, n_.dd< 8f@x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd, f@8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd< 8DeleteCases@s, Power@x_, n_dd, DeleteCases@s, Power@x_Symbol, n_.dd< 8f@x, 8x<, 8x <, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd, f@8x<, 8x <, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd< 8DeleteCases@s, 8Power@x_, n_d<d, DeleteCases@s, 8Power@x_, n_.d<d< 8f@x, x, 8x<, y, y, 8y<, x y, x y, x z, x y zd, f@x, x, y, y, x y, x y, x z, x y zd< 8DeleteCases@s, x y D, DeleteCases@s, x y_. z_.d< 8f@x, x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x zd, f@x, 8x<, 8x <, y, y, 8y<, 8y <, x zd< DeleteCases@s, u : Power@x, n_.d» 8Power@x, n_.d<d

Math5-LS06-.nb f@y, y, 8y<, 8y <, x y, x y, x z, x y zd DeleteCases@s, u : Power@x_Symbol, n_.d» 8Power@x_, n_.d<d f@x y, x y, x z, x y zd Join a množinové operace 8Join@8, <D, Join@8, <, 8, <D, Join@8, <, 8, <, 83,, <D< 88, <, 8,,, <, 8,,,, 3,, << 8Union@8, <D, Union@8, <, 8, <D, Union@8, <, 8, <, 83,, <D< 88<, 8, <, 8,, 3<< 8Intersection@8,,, 3<D, Intersection@8,,, 3<, 8,, 3<D< 88,, 3<, 8, 3<< Intersection@8,,, 3<, 8,, 3<, 8, 3<D 83< 8Complement@8,,, 3, 4, 5<D, Complement@8,,, 3, 4, 5<, 84, 3, <D< 88,, 3, 4, 5<, 8, 5<< Complement@8,,,, 3, 4, 5<, 84, 3, <, 8, 5<D 8< Argumenty operací Join, Union, Intersection a Complement jsou ve všech uvedených příkladech seznamy, tj. výrazy s hlavičkou List. To však není podmínka, List lze všude zaměnit libovolným symbolem. Např. 8Join@f@, DD, Join@f@, D, f@, DD, Join@f@, D, f@, D, f@3,, DD< 8f@, D, f@,,, D, f@,,,, 3,, D< 8Union@f@, DD, Union@f@, D, f@, DD, Union@f@, D, f@, D, f@3,, DD< 8f@D, f@, D, f@,, 3D< Některé další operace Flatten 8s3, Flatten@s3, D, Flatten@s3, D, Flatten@s3, 3D, Flatten@s3D< êê ColumnForm@#, CenterD &

Math5-LS06-.nb 3 f@f@, f@, 3DD, f@f@, f@dd, f@3ddd f@, f@, 3D, f@, f@dd, f@3dd f@,, 3,, f@d, 3D f@,, 3,,, 3D f@,, 3,,, 3D 8s3, Flatten@s3, D, Flatten@s3, D, Flatten@s3, 3D, Flatten@s3D< ê. f List êê ColumnForm@#, CenterD & 88, 8, 3<<, 88, 8<<, 83<<< 8, 8, 3<, 8, 8<<, 83<< 8,, 3,, 8<, 3< 8,, 3,,, 3< 8,, 3,,, 3< 8s4, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd< êê ColumnForm@#, CenterD & f@f@, f@, 3DD, g@g@, g@dd, g@3ddd f@f@, f@, 3DD, g@, g@dd, g@3dd f@f@, f@, 3DD,, g@d, 3D f@f@, f@, 3DD,,, 3D 8s4, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd< ê. f List êê ColumnForm@#, CenterD & 88, 8, 3<<, g@g@, g@dd, g@3dd< 88, 8, 3<<, g@, g@dd, g@3d< 88, 8, 3<<,, g@d, 3< 88, 8, 3<<,,, 3< 8s4, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd, Flatten@s4,, gd< ê. g List êê ColumnForm@#, CenterD & f@f@, f@, 3DD, 88, 8<<, 83<<D f@f@, f@, 3DD, 8, 8<<, 83<D f@f@, f@, 3DD,, 8<, 3D f@f@, f@, 3DD,,, 3D Reverse f@,,, c, 3, 6, a, 3,, b, D êê Reverse f@, b,, 3, a, 6, 3, c,,, D RotateLeft, RotateRight 8RotateLeft@f@,,, a, 3, bdd, RotateRight@f@,,, a, 3, bdd< 8f@,, a, 3, b, D, f@b,,,, a, 3D<

4 Math5-LS06-.nb 8RotateLeft@f@,,, a, 3, bd, 3D, RotateRight@f@,,, a, 3, bd, 3D< 8f@a, 3, b,,, D, f@a, 3, b,,, D< 8RotateLeft@f@,,, a, 3, bd, 3D, RotateRight@f@,,, a, 3, bd, 3D< 8f@a, 3, b,,, D, f@a, 3, b,,, D< Sort f@,,, c, 3, 6, a, 3,, b, D êê Sort f@,,,,, 3, 3, 6, a, b, cd f@,,, c, 3, 6, a, 3,, b, D êê Function@x, Sort@x, Order@#, #D &DD f@c, b, a, 6, 3, 3,,,,, D Partition Partition@f@,, 3, 4, 5, 6, 7, 8D, D f@f@, D, f@3, 4D, f@5, 6D, f@7, 8DD Partition@f@,, 3, 4, 5, 6, 7, 8D, 3D f@f@,, 3D, f@4, 5, 6DD Partition@f@,, 3, 4, 5, 6, 7, 8D, 3, D f@f@,, 3D, f@, 3, 4D, f@3, 4, 5D, f@4, 5, 6D, f@5, 6, 7D, f@6, 7, 8DD Partition@f@,, 3, 4, 5, 6, 7, 8D, 3, D f@f@,, 3D, f@3, 4, 5D, f@5, 6, 7DD Permutations Permutations@8,, 3<D 88,, 3<, 8, 3, <, 8,, 3<, 8, 3, <, 83,, <, 83,, << Permutations@f@,,, 3DD 8f@,,, 3D, f@,, 3, D, f@, 3,, D, f@,,, 3D, f@,, 3, D, f@,,, 3D, f@,, 3, D, f@, 3,, D, f@, 3,, D, f@3,,, D, f@3,,, D, f@3,,, D<

Math5-LS06-.nb 5 Split Split@8,,,, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 6, 8, 0, 8<D 88<, 8,, <, 84, 4<, 85<, 86<, 85<, 84<, 86<, 88<, 80<, 88<< Split@f@,,,, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 6, 8, 0, 8DD f@f@d, f@,, D, f@4, 4D, f@5d, f@6d, f@5d, f@4d, f@6d, f@8d, f@0d, f@8dd Split@f@,,,, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 6, 8, 0, 8D, # # &D f@f@,,, D, f@4, 4, 5, 6, 5, 4D, f@6d, f@8d, f@0, 8DD Subsets Generuje podseznamy resp. výrazy s menším počtem argumentů ale stejnou hlavičkou. Subsets@f@,,, 3D, 8<D H* Výrazy s jedním argumentem *L 8f@D, f@d, f@d, f@3d< Subsets@f@,,, 3D, 8<D H* Výrazy se dvěma argumenty *L 8f@, D, f@, D, f@, 3D, f@, D, f@, 3D, f@, 3D< Subsets@8,,, 3<, D H* Podseznamy s nejvýše členy *L 88<, 8<, 8<, 8<, 83<, 8, <, 8, <, 8, 3<, 8, <, 8, 3<, 8, 3<< Subsets@8,,, 3<, 8, 3<D H* Podseznamy s nebo 3členy *L 88, <, 8, <, 8, 3<, 8, <, 8, 3<, 8, 3<, 8,, <, 8,, 3<, 8,, 3<, 8,, 3<< Subsets@8,,, 3<D H* Všechny podseznamy *L 88<, 8<, 8<, 8<, 83<, 8, <, 8, <, 8, 3<, 8, <, 8, 3<, 8, 3<, 8,, <, 8,, 3<, 8,, 3<, 8,, 3<, 8,,, 3<< Subsets@f@,,, 3DD H* Všechny výrazy *L 8f@D, f@d, f@d, f@d, f@3d, f@, D, f@, D, f@, 3D, f@, D, f@, 3D, f@, 3D, f@,, D, f@,, 3D, f@,, 3D, f@,, 3D, f@,,, 3D< Tuples Generuje seznamy typu kartézského součinu resp. "kartézské součiny", jejichž prvky mají stejnou hlavičku jako první argument.

6 Math5-LS06-.nb Tuples@8,, <, D 88<, 8<, 8<< Tuples@8,, <, D 88, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, <, 8, << Tuples@f@,, 3D, D 8f@, D, f@, D, f@, 3D, f@, D, f@, D, f@, 3D, f@3, D, f@3, D, f@3, 3D< Matice a vektory Vektor je seznam, jehož žádný člen nemá hlavičku List. Zda Mathematica považuje seznam za vektor, zjistíme pomocí VectorQ. Matice je seznam vektorů stejné délky. Zda Mathematica považuje seznam za matici, zjistíme pomocí MatrixQ. m = 88, <, 83, 4<<; m = 88,, 3<, 83, 4, 5<<; m3 = 88,, <, 8,, 3<, 8, 4, 9<<; Diagonální a jednotková matice 8DiagonalMatrix@8,, 3<D, IdentityMatrix@3D< êê ColumnForm 88, 0, 0<, 80,, 0<, 80, 0, 3<< 88, 0, 0<, 80,, 0<, 80, 0, << Transponovaná a inverzní matice 8Transpose@mD, Inverse@mD< 988, 3<, 8, 4<<, 98, <, 9 3, === Skalární a vektorový součin vektorů 8Dot@8, <, 8x, y<d, 8, <.8x, y< < 8x + y, x + y< 8Cross@8,, 3<, 8x, y, z<d, 8,, 3< 8x, y, z<< 88 3 y + z, 3 x z, x + y<, 8 3 y + z, 3 x z, x + y<< Součin vektoru a matice, součin matic a mocnina matice 8Dot@m, 8x, y<d, m.8x, y<< H* Součin matice a vektoru *L

Math5-LS06-.nb 7 88x + y, 3 x + 4 y<, 8x + y, 3 x + 4 y<< 8Dot@8x, y<, md, 8x, y<.m< H* Součin vektoru a matice *L 88x + 3 y, x + 4 y<, 8x + 3 y, x + 4 y<< 8Dot@m, md, m.m< H* Součin dvou matic *L 8887, 0, 3<, 85,, 9<<, 887, 0, 3<, 85,, 9<<< 8m.m.m, m.m3.transpose@md< H* Součin tří matic *L 88837, 54, 7<, 88, 8, 55<<, 884, 56<, 854, 460<<< 8MatrixPower@m, 3D, MatrixPower@m, 3D < H* Třetí mocnina matice a metice k ní inverzní *L 98837, 54<, 88, 8<<, 99 59 4, 7 8 =, 9 4 8, 37 8 === Determinant a stopa matice 8Det@mD, Det@m3D< 8, < 8Tr@mD, Tr@m3D< H* Stopa = součet prvků na diagonále *L 85, < Vlastní čísla matice 8Eigenvalues@mD, Eigenvalues@mD êê N< 99 I5 +è!!!!!! 33M, I5 è!!!!!! 33 M=, 85.378, 0.378<= StylePrint ê@ 8Eigenvalues@m3D, Eigenvalues@m3D êê N@#, 0D &<; 8Root@ + 5 # # + # 3 &, 3D, Root@ + 5 # # + # 3 &, D, Root@ + 5 # # + # 3 &, D< 80.6030493833435,.454378859394383588, 0.5458738059< Vlastní vektory matice StylePrint ê@ 8Eigenvectors@mD, Eigenvectors@mD êê N<; 99 4 3 + 6 I5 +è!!!!!! 33M, =, 9 4 3 + 6 I5 è!!!!!! 33M, ==

8 Math5-LS06-.nb 880.45747,.<, 8.45743,.<< Eigenvectors@m3D êê N 880.466, 0.36536,.<, 8.89457,.465,.<, 8.053,.784,.<< Substituce a aplikace funkcí/symbolů na seznamy a výrazy Substituce ReplaceAll Rule@x, yd === x y; RuleDelayed@x, yd === x :> y; ReplaceAll@expr, xy_ruled === expr ê. xy_rule; ReplaceAll@expr, xy_ruledelayedd === expr ê. xy_ruledelayed; Clear@f, g, x, y, zd; expr = f@x 8 + y 0 + x y + x y zd f@x 8 + x y + y 0 + x y zd 8expr ê. f g, expr ê. x y< 8g@x 8 + x y + y 0 + x y zd, f@y 3 + y 8 + y 0 + y 4 zd< 8expr ê. 8x y, x z<, expr ê. 8x z, x z<< 8f@y 3 + y 8 + y 0 + y z D, f@y 0 + y z + y z + z 8 D< 8expr ê. x y ê. y z, expr ê. y z ê. x y< 8f@z 3 + z 5 + z 8 + z 0 D, f@y 8 + y z + y z 3 + z 0 D< expr ê. 88x 3, y 3<, 8x 3, y 3, z 3<< 8f@65637 + 8 zd, f@65880d< ReplaceRepeated 8x 0 y 5 êê. x n_ > x n, x 0 y 5 êê. x n_. > x n, x 0 y 5 êê. x_ n_ x n < 8x y 5, y 5, x y< êê. Hx_ ê; Abs@x D 0.00L 0.5 i k jx + y z H* Iterace k è!!!! *L x {

Math5-LS06-.nb 9.44 Aplikace funkcí/symbolů na seznamy a výrazy Apply Apply@f, exprd === f @@ expr 8f @@ 8x, y, z<, 8x, y, z< ê. List f< 8f@x, y, zd, f@x, y, zd< 8List @@ g@x, y, zd, g@x, y, zd ê. g List< 88x, y, z<, 8x, y, z<< 8f @@ g@x, y, g@zdd, g@x, y, g@zdd ê. g f< 8f@x, y, g@zdd, f@x, y, f@zdd< Map, MapAll Map@f, exprd === fê@ expr f ê@ g@x, g@y, g@zddd H* Aplikuje f na podvýrazy na. úrovni *L g@f@xd, f@g@y, g@zdddd Map@f, g@x, g@y, g@zddd, 8<D H* Aplikuje f na podvýrazy na úrovni *L g@x, g@f@yd, f@g@zdddd Map@f, g@x, g@y, g@zddd, D H* Aplikuje f na podvýrazy na úrovních a *L g@f@xd, f@g@f@yd, f@g@zddddd Map@f, g@x, g@y, g@zddd, 8, <D H* Aplikuje f na podvýrazy na úrovních,,... *L g@f@xd, f@g@f@yd, f@g@f@zdddddd Map@f, g@x, g@y, g@zddd, 8 <D H* Aplikuje f na listy výrazu, tj. na atomické podvýrazy *L g@f@xd, g@f@yd, g@f@zdddd Map@f, g@x, g@y, g@zddd, 80, <D H* Aplikuje f na podvýrazy na úrovních 0, a *L f@g@f@xd, f@g@f@yd, f@g@zdddddd MapAll@f, exprd == Map@f, expr, 80, <D

30 Math5-LS06-.nb 8MapAll@f, g@x, g@y, g@zdddd, Map@f, g@x, g@y, g@zddd, 80, <D< êê ColumnForm f@g@f@xd, f@g@f@yd, f@g@f@zddddddd f@g@f@xd, f@g@f@yd, f@g@f@zddddddd Algebraické úpravy Expandování Expand Expand@H + xl H x + x LD + x 3 H xl H + xl ExpandA E H + xl 4 H + xl 3 x H + xl x 3 H + xl ExpandNumerator, ExpandDenominator H xl H + xl H xl H + xl 9ExpandNumeratorA E, ExpandDenominatorA E= H + xl H + xl 9 4 3 x x 3 H + xl, H xl H + xl + x + x = ExpandAll H xl H + xl ExpandAllA E H + xl 4 + x + x 3 x + x + x x 3 + x + x Slučování zlomků a Collect Together 4 TogetherA + x + x 3 x + x + x x 3 + x + x E 4 3 x x 3 H + xl

Math5-LS06-.nb 3 9TogetherA a + b + a a + b E, MapATogether, a + b + a E= a + b 9 + a + b + a b a H + a bl, a + a + b a H + a bl = Collect expr = + x + x x 3 + y x y x 3 y y + y 3 3 x y y 3 + x + x x 3 + y x y x 3 y y 3 x y + y 3 Collect@expr, xd H* Vyjádří expr jako polynom v x *L + x + x 3 H yl + y y + y 3 + x H y 3 y L Collect@expr, 8x, y<d H* Vyjádří expr jako polynom v x a koeficienty jako polynomy v y *L + x + x 3 H yl + y y + y 3 + x H y 3 y L Clear@fD; Collect@expr, x, fd H* Vyjádří expr jako polynom v x a na koeficienty aplikuje f *L x f@d + x 3 f@ yd + x f@ y 3 y D + f@ + y y + y 3 D Collect@expr, 8x, y<, fd y f@ D + f@ D + x 3 Hf@ D + y f@ DL + x f@d + y 3 f@d + x Hy f@ 3D + y f@ D + f@dl + y f@d Rozklad na součin, vytýkání, krácení Factor Factor@6 + 30 x + 36 x + 54 x 4 + 6 x 5 + 08 x 8 D 6 H + x + 3 x 4 L H + 3 x + 6 x 4 L 8Factor@x 3D, Factor@x 3, Extension Root@# 3 &, DD< 8 3 + x, I è!!! 3 xm I è!!! 3 + xm< 8Factor@x 3 D, Factor@x 3, Extension Root@# + # + &, DD< 9H + xl H + x + x L, I +è!!! 3 xm I + è!!! 3 + xm H + xl= 4 FactorA + x + y + x y E x + x y

3 Math5-LS06-.nb H + xl H + yl x H + x yl FactorTerms FactorTerms@6 + 30 x + 36 x + 54 x 4 + 6 x 5 + 08 x 8 D 6 H + 5 x + 6 x + 9 x 4 + x 5 + 8 x 8 L FactorTermsA3 a x 3 a x ye 3 H9 a x a x yl Cancel x + x x 3 CancelA 8 + 6 x + 4 x 4 x 3 + 6 x 4 + x 5 5 x 6 x 7 + x E 8 x H + xl H + x L 3 Rozklad na jednoduché zlomky x ApartA E Hx + L H + 4 x + x L H + xl + + x H + 4 x + x L + 3 x H + 4 x + x L a + x 9ApartA, xe, ApartA a + x, ae= Ha + 3 a x + x L H a + a x + x L a 9 6 a x Ha + 3 a x + x L + a + 3 a x + x, H a + a x + x L + a x + 3 x H a + a x + x L = x ApartA Hx + L H + 4 x + x L ê. x t, Trig TrueE H + t L + + t H + 4 t + t L + 3 t H + 4 t + t L Úpravy trigonometrických výrazů TrigExpand, TrigFactor, TrigReduce expr = Cos@0 xd êê TrigExpand

Math5-LS06-.nb 33 Cos@xD 0 45 Cos@xD 8 Sin@xD + 0 Cos@xD 6 Sin@xD 4 0 Cos@xD 4 Sin@xD 6 + 45 Cos@xD Sin@xD 8 Sin@xD 0 expr êê TrigFactor HCos@xD Sin@xDL HCos@xD + Sin@xDL H + Cos@4 xd Sin@ xdl H + Cos@4 xd + Sin@ xdl expr êê TrigReduce Cos@0 xd expr = Sinh@0 xd êê TrigExpand 0 Cosh@xD 9 Sinh@xD + 0 Cosh@xD 7 Sinh@xD 3 + 5 Cosh@xD 5 Sinh@xD 5 + 0 Cosh@xD 3 Sinh@xD 7 + 0 Cosh@xD Sinh@xD 9 expr êê TrigFactor Cosh@xD H Cosh@ xd + Cosh@4 xdl H + Cosh@ xd + Cosh@4 xdl Sinh@xD expr êê TrigReduce Sinh@0 xd TrigToExp, ExpToTrig expr = HCos@xD 3 + Sin@xD L 3 HCos@xD 3 Sin@xD L 3 HCos@xD 3 Sin@xD L 3 +HCos@xD 3 + Sin@xD L 3 expr êê TrigToExp 55 64 3 8 x 3 8 x + 3 3 4 x + 3 3 4 x 8 6 x 8 6 x 3 8 8 x 3 8 8 x expr êê TrigToExp êê ExpToTrig 55 64 3 4 Cos@ xd + 3 6 Cos@4 xd 4 3 Cos@6 xd Cos@8 xd 64 ComplexExpand, PowerExpand x+y Sin@x + yd êê ComplexExpand H* Předpokládá, že argumenty jsou reálné *L y Cos@xD Cosh@yD Sin@xD y Cos@xD Sin@xD Sinh@yD + H y Cosh@yD Sin@xD + y Cos@xD Sinh@yDL

34 Math5-LS06-.nb 9 è!!!!!! a, Ha bl x, Log@a bd= êê PowerExpand H Ne vždy korektní úprava L 8a, a x b x, Log@aD + Log@bD< Zjednodušování Simplify SimplifyA a + b + a E a + b + a + b + a b a + a b SimplifyAHCos@xD 3 + Sin@xD L 3 HCos@xD 3 Sin@xD L 3 E H3 Cos@xD 6 Sin@xD + Sin@xD 6 L 8Simplify@Sqrt@x D, x > 0D, Simplify@Sqrt@x D, x < 0D< 8x, x< SimplifyA a b + b c + c a 3, a > 0 && b > 0 && c > 0E True 8Simplify@Sqrt@x D, x RealsD, Simplify@x + 0, x RealsD< 8Abs@xD, False< 9Simplify@Sin@n πd, n IntegersD, SimplifyASinAH n + L π E, n IntegersE= 80, H L n < 9Simplify@Cos@n πd, n IntegersD, SimplifyACosAH n + L π E, n IntegersE= 8H L n, 0< FullSimplify versus Simplify 9FullSimplifyA Log@8D Log@8D E, SimplifyA Log@D Log@D E= 93, Log@8D Log@D = 9FullSimplifyALogAz + è!!!!!!!!!!! z + è!!!!!!!!!!! z EE, SimplifyALogAz + è!!!!!!!!!!! z + è!!!!!!!!!!! z EE=

Math5-LS06-.nb 35 8ArcCosh@zD, LogAz + è!!!!!!!!!!!!!! + z è!!!!!!!!!!! + ze< 9FullSimplifyA $%%%%%%%%%%%%%% x 3 + x ì è!!!!!!!!!!! xe, SimplifyA $%%%%%%%%%%%%%% x 3 + x ì è!!!!!!!!!!! xe= "######### x 9$%%%%%%%%%%%%%% 3 + x, 3+x è!!!!!!!!!!! x = Derivace a Taylorovy polynomy Derivace výrazů D@expr, xy D === xy expr Clear@a, f, x, yd; expr = a x 4 f@xd Sin@3 yd a x 4 f@xd Sin@3 yd 8D@expr, xd, x expr< êê Union 84 a x 3 f@xd Sin@3 yd + a x 4 Sin@3 yd f @xd< 8D@expr, x, xd, D@expr, 8x, <D, x,x expr, 8x,< expr< êê Union 8 a x f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd< 8D@expr, x, yd, x,y expr< êê Union 8 a x 3 Cos@3 yd f@xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd< D@expr, y, NonConstants 8a<D 3 a x 4 Cos@3 yd f@xd + x 4 D@a, y, NonConstants 8a<D f@xd Sin@3 yd Derivace výrazů v bodě 8D@expr, xd, D@expr, xd ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@#, CenterD & 4 a x 3 f@xd Sin@3 yd + a x 4 Sin@3 yd f @xd 4 a 4 f@ad Sin@3 bd + a 5 Sin@3 bd f @ad 8 8x,< expr, 8x,< expr ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@#, CenterD & a x f@xd Sin@3 yd + 8 a x 3 Sin@3 yd f @xd + a x 4 Sin@3 yd f @xd a 3 f@ad Sin@3 bd + 8 a 4 Sin@3 bd f @ad + a 5 Sin@3 bd f @ad

36 Math5-LS06-.nb 8 x,y expr, x,y expr ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@#, CenterD & a x 3 Cos@3 yd f@xd + 3 a x 4 Cos@3 yd f @xd a 4 Cos@3 bd f@ad + 3 a 5 Cos@3 bd f @ad 8 8x,<,8y,3< expr, 8x,<,8y,3< expr ê. 8x a, y b<< êê ColumnForm@#, CenterD & 34 a x Cos@3 yd f@xd 6 a x 3 Cos@3 yd f @xd 7 a x 4 Cos@3 yd f @xd 34 a 3 Cos@3 bd f@ad 6 a 4 Cos@3 bd f @ad 7 a 5 Cos@3 bd f @ad Derivace funkcí jedné proměnné Příklad Clear@fD; f@x_d := x 3 Cos@xD; 8 x f@xd, f'@xd< 83 x Cos@xD x 3 Sin@xD, 3 x Cos@xD x 3 Sin@xD< 8 x,x f@xd, f''@xd< êê Union 86 x Cos@xD x 3 Cos@xD 6 x Sin@xD< 8 x,x f@xd ê. x π, f''@πd< 8 6 π + π 3, 6 π + π 3 < Příklad Clear@fD; f@x_d := Piecewise@88x +, x < <, 8x, x < <, 8 x, x<<d; Plot@f@xD, 8x,.5,.5<, AspectRatio 0.4D; 0.8 0.6 0.4 0. - - -0. -0.4 f'@xd ê. Piecewise List êê Flatten@#, D & 88, x < <, 8 x, < x < <, 8, x > <, Indeterminate< 8f'@D, f'@.d, f'@d, f'@.d< ê. Piecewise List êê Flatten@#, D &

Math5-LS06-.nb 37 8Indeterminate, Indeterminate,, < f''@xd ê. Piecewise List êê Flatten@#, D & 880, x < <, 8, < x < <, 80, x > <, Indeterminate< 8f''@D, f''@.d, f''@d, f''@.d< ê. Piecewise List êê Flatten@#, D & 8Indeterminate, Indeterminate, 0, 0< Taylorovy polynomy Clear@fD; Series@f@xD, 8x, a, 3<D f@ad + f @ad Hx al + f @ad Hx al + 6 fh3l @ad Hx al 3 + O@x ad 4 Series@f@xD, 8x, a, 3<D êê Normal f@ad +H a + xl f @ad + H a + xl f @ad + 6 H a + xl3 f H3L @ad Series@ x, 8x, 0, 8<D + x + x + x3 6 + x4 4 + x5 0 + x6 70 + x 7 5040 + x 8 4030 + O@xD9 SeriesA è!!!! x, 8x, 0, 4<E + è!!! x + x + x3ê 6 + x 4 + x5ê 0 + x3 70 + x7ê 5040 + x 4 4030 + O@xD9ê Series@ êx, 8x,, 5<D + x + J x N + 6 J 3 x N + 4 J 4 x N + 0 J 5 x N + OA 6 x E Series@H + xl ê3, 8x, 0, 8<D + x 3 x 9 + 5 x3 8 0 x4 43 + x5 79 54 x6 656 + 374 x7 9683 935 x8 59049 + O@xD9 Series@Tan@xD, 8x, 0, 5<D x + x3 3 + x5 5 + 7 x7 35 + 6 x9 835 38 x + 5595 844 x3 + 608075 99569 x5 + 6385875 + O@xD6 SeriesA Cos@xD, 8x, 0, 8<E 4 Sin@xD

38 Math5-LS06-.nb x 4 + 6 x 7 360 457 x 50 387 x4 36880 67 x6 570400 695477 x8 4358945600 + O@xD9 SeriesA x4 Cos@xD, 8x, 0, <E 4 Sin@xD + x 6 7 x4 360 457 x6 50 387 x8 36880 67 x0 570400 695477 x 4358945600 + O@xD3 Series@ArcSin@xD, 8x, 0, 5<D x + x3 6 + 3 x5 40 + 5 x7 + 35 x9 5 + 63 x 86 + 3 x3 33 43 x5 + 040 + O@xD6 Integrály Neurčité integrály Integrate@expr, xd === expr x Sin@xD 3 x x 3 4 H + x L Cos@xD + 08 H + 9 x L Cos@3 xd + 3 x Sin@xD 8 x Sin@3 xd H + x L 3 x 8 i j x H5 + 3 x L k H + x L + 3 ArcTan@xD y z { StylePrintê@9 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 9 x x, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R 4 x x, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a x x=; x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 9 x + 5 6 ArcSinA 3 x 5 E 4 R 4 x + R x ArcTanA è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R 4 x Ey z { i j x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! k x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a x + R LogA a x + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a xe a Určité integrály funkcí jedné proměnné b expr x === Integrate@expr, 8x, a, b<d a

Math5-LS06-.nb 39 Options@IntegrateD 8Assumptions $Assumptions, GenerateConditions Automatic, PrincipalValue False< 9 x, 0 H + x L 3 x= H + x 3 L 9 3 H8 + 3 πl, 3 π 8 = 9 a x x, IntegrateA a x, 8x,, <, Assumptions 8a > 0<E= è!!! π 9IfARe@aD > 0, è!!! a, IntegrateA a x, 8x,, <, Assumptions Re@aD 0EE, è!!! π è!!! a = Sin@a xd 9 0 x Sin@a xd x, IntegrateA, 8x, 0, <, Assumptions 8a Reals<E= x 9 Sin@a xd IntegrateA x 9IfAa Reals, π Sign@aD,, 8x, 0, <, Assumptions a RealsEE, π Sign@aD= x x, IntegrateA, 8x,, <, Assumptions 8a > <E= a xa 9IfARe@aD >, + a, Integrate@x a, 8x,, <, Assumptions Re@aD DE, + a = SetOptions@Integrate, GenerateConditions FalseD 8Assumptions $Assumptions, GenerateConditions False, PrincipalValue False< 9 a Sin@a xd x x, x 0 x, x a x= è!!! π 9 è!!! a, π Sign@aD, + a = SetOptions@Integrate, GenerateConditions AutomaticD;

40 Math5-LS06-.nb Určité integrály funkcí více proměnných π Sin@xD Sin@xD y 3 y x êê 8#, N@#, 5D< & 0 0 9 4 5, 0.666666666666666666666667= 0 Boole@4 x + 9 y 36D y x êê 8#, N@#, 5D< & 83 π, 9.4477796076937975387930< 0 0 0 x y z + x + y + z Boole@x + y + z D x y z êê 8#, N@#, 5D< & 9 H + Log@4DL, 0.007698784996588385770= 3 0 Abs@z xd Boole@x 4 4 z && y 4 4 zd x y z êê 8#, N@#, 5D< & 9 8 è!!! I 499 + 88 M, 6.9876450403704833934= 05 Numerická integrace Options@NIntegrateD 8AccuracyGoal, Compiled True, EvaluationMonitor None, GaussPoints Automatic, MaxPoints Automatic, MaxRecursion 6, Method Automatic, MinRecursion 0, PrecisionGoal Automatic, SingularityDepth 4, WorkingPrecision MachinePrecision< Příklad 9IntegrateA è!!!! x x, 8x, 0, <E êê N, NIntegrateA è!!!! x x, 8x, 0, <E= 80.8867, 0.8867< 9IntegrateA è!!!! x x, 8x, 0, <E êê N@#, 0D &, NIntegrateA è!!!! x x, 8x, 0, <, WorkingPrecision 0E, NIntegrateA è!!!! x x, 8x, 0, <, WorkingPrecision 30E= 80.886695457580365, 0.8866955, 0.886695457580365< Precision ê@ % 80., 0.4557, 0.738<

Math5-LS06-.nb 4 Příklad expr = Boole@4 x + 9 y 36D Boole@4 x + 9 y 36D 8Integrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <D êê N, Integrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <D êê N@#, 0D &, NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, WorkingPrecision 0D, NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, WorkingPrecision 30D< 84.739, 4.73889803846898577, 4.7388980, 4.73889803846898577< Precision ê@ % 8MachinePrecision, 0., 0.0473, 0.0006< Příklad 3 expr = x y z + x + y + z Boole@x + y + z D x y z Boole@x + y + z D + x + y + z 8Integrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <D êê N êê Timing, Integrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <D êê N@#, 0D & êê Timing, NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <D êê Timing, TimeConstrained@NIntegrate@expr, 8x, 0, <, 8y, 0, <, 8z, 0, <, WorkingPrecision 0D, 60D< 8844.7 Second, 0.0077<, 84.45 Second, 0.00769878499658839<, 80. Second, 0.0077<, $Aborted< Algebraické, transcendentní a rekurentní rovnice Solve, NSolve Options@SolveD 8InverseFunctions Automatic, MakeRules False, Method 3, Mode Generic, Sort True, VerifySolutions Automatic, WorkingPrecision < Options@NSolveD 8WorkingPrecision Automatic, Sort True, MonomialOrder Automatic, Method Automatic<

4 Math5-LS06-.nb Příklad Solve@x 3 x + 0, xd 88x <, 8x << Clear@a, bd; Solve@a x + b x + c 0, xd 99x b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c =, 9x a b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c == a Příklad eqn = x 3 + x + x + 0 + x + x + x 3 0 xrules = Solve@eqn, xd 88x <, 8x H L ê3 <, 8x H L ê3 << xrules êê Map@ExpToTrig, #, D & 98x <, 9x è!!! 3 =, 9x è!!! 3 + == 8xRules êê N, NSolve@eqn, xd< êê ColumnForm 88x.<, 8x 0.5 0.86605 <, 8x 0.5 + 0.86605 << 88x.<, 8x 0.5 0.86605 <, 8x 0.5 + 0.86605 << Příklad 3 xrules = Solve@x 5 + x 4 + x + 0, xd 88x Root@ + # + # 4 + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # 4 + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 3D<, 8x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 4D<, 8x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 5D<< 8xRules êê N, NSolve@x 5 + x 4 + x + 0, xd< êê Map@StylePrint, #D &; 88x.5705<, 8x 0.99938 0.84935 <, 8x 0.99938 + 0.84935 <, 8x 0.5850 0.695964 <, 8x 0.5850 + 0.695964 << 88x.5705<, 8x 0.99938 0.84935 <, 8x 0.99938 + 0.84935 <, 8x 0.5850 0.695964 <, 8x 0.5850 + 0.695964 <<

Math5-LS06-.nb 43 Příklad 4 Solve@8x + y + z, x + y + z <, 8x, y<d 88x z, y << Solve@8x + y + z, x + y + z <, 8y, z<d 88y, z x<< Solve@8x + y + z, x + y + z <, 8x, z<d 8< Příklad 5 xrules = Solve@8x + 5 y 5, x + 3 y <, 8x, y<d; xrules êê ColumnForm 8x è!!! 9 I5 8 5M, y 3 9 8x 9 è!!! I5 + 8 5M, y 9 3 I + 8 è!!! 5M< I 8 è!!! 5M< 8xRules êê N, NSolve@8x + 5 y 5, x + 7 y <, 8x, y<d< êê ColumnForm 88x.43098, y.95399<, 8x 3.064, y.74709<< 88x 4.353, y.0066<, 8x 4.0647, y.30356<< Solve + PiecewiseExpand Příklad eqn = Abs@Abs@ x Abs@3 x + 5DD 7D 6 0 6 + Abs@ 7 + Abs@ x Abs@5 + 3 xddd 0 PiecewiseExpand@eqn, Assumptions 8x Reals<D x 8»» x 8 5 Plot@eqn@@DD êê Evaluate, 8x, 5, 0<, AspectRatio 0.4D; 6 4-4 - - 4 6 8 0-4 -6

44 Math5-LS06-.nb Příklad Clear@fD; f@x_d := Which@Abs@xD >, x 5 x + 4, True, x 3 D; PiecewiseExpand@f@xD 0D H 5 x + x 4 && Abs@xD > L»»HAbs@xD && x 3 L % ê. u_equal :> Solve@u, xd H88x <, 8x 4<< && Abs@xD > L»» HAbs@xD &&88x <, 8x H L ê3 <, 8x H L ê3 <<L Příklad 3 Clear@fD; f@x_d := Piecewise@88x 5 x + 3, Abs@xD > <, 8 x 4, Abs@xD <<D; f@xd 0 êê PiecewiseExpand H 5 x + x 3 && Abs@xD > L»»HAbs@xD && x 4 L % ê. u_equal :> Solve@u, xd J99x I5 è!!!!!! 3M=, 9x I5 +è!!!!!! 3M== && Abs@xD > N»» HAbs@xD &&88x <, 8x <, 8x <, 8x <<L Roots Options@RootsD 8Cubics True, Eliminate False, EquatedTo Null, Modulus 0, Multiplicity, Quartics True, Using True< Příklad Roots@x 3 x + 0, xd x»» x Roots@a x + b x + c 0, xd x b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c a»» x b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c a Příklad xlist = Roots@x 3 + x + x + 0, xd General::spell : Possible spelling error: new symbol name "xlist" is similar to existing symbol "List". More

Math5-LS06-.nb 45 x H L ê3»» x H L ê3»» x xlist êê Map@ExpToTrig, #, D & x è!!! 3»» x è!!! 3 +»» x xlist êê N x 0.5 0.86605»» x 0.5 + 0.86605»» x. Příklad 3 xlist = Roots@x 5 + x 4 + x + 0, xd ê. Or List 8x Root@ + # + # 4 + # 5 &, D, x Root@ + # + # 4 + # 5 &, D, x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 3D, x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 4D, x Root@ + # + # 4 + # 5 &, 5D< xlist ê. Equal Rule êê N 8x.5705, x 0.99938 0.84935, x 0.99938 + 0.84935, x 0.5850 0.695964, x 0.5850 + 0.695964 < Reduce Reduce@a x + b x + c 0, xd i ja 0 && i b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b jx 4 a c b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b»» x 4 a c y z y z»» k k a a {{ Ia 0 && b 0 && x c M»»Hc 0 && b 0 && a 0L b Reduce@8a x + b y, c x + y <, 8x, y<d i ja + b c 0 && i jx b c è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c k k a + b c»» x b c +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c y a + b c z && { y c x y { z»»ja b c && b c 0 && x + b && y c xn»» b c Hc 0 && b && a 0 && y L FindRoot Options@FindRootD 8AccuracyGoal Automatic, Compiled True, DampingFactor, EvaluationMonitor None, Jacobian Automatic, MaxIterations 00, Method Automatic, PrecisionGoal Automatic, StepMonitor None, WorkingPrecision MachinePrecision<

46 Math5-LS06-.nb Plot@x Sin@xD, 8x,.5, <, AspectRatio 0.4D;.5 0.5 -.5 - -0.5 0.5.5-0.5-8FindRoot@x Sin@xD 0, 8x, 0.6<D, FindRoot@x Sin@xD 0, 8x,.4<, WorkingPrecision 5D< 88x 0.636733<, 8x.40964004005964935594<< RSolve Příklad : Zobecněná Fibonacciova posloupnost RSolve@8a@nD == a@n D + a@n D<, a@nd, nd êê FullSimplify 99a@nD J n I è!!! 5MN C@D +J n I +è!!! 5MN C@D== Přidáme-li počáteční podmínky, dostaneme klasickou Fibonacciovu posloupnost: RSolve@8a@D, a@d, a@nd == a@n D + a@n D<, a@nd, nd êê FullSimplify 99a@nD I I è!!! 5MM n +I I +è!!! 5MM n è!!! == 5 Příklad : Součet s@nd = + +... +n RSolve@8s@nD s@n D + n, s@d <, s@nd, nd êê FullSimplify 99s@nD n H + nl H + nl== 6 Příklad 3: Diferenční rovnice. řádu z úlohy o ruinování hráče Clear@p, u, γd; eqns = 8p u@i + D u@i + D +H pl u@id 0, u@0d, u@γd 0< 8H pl u@id u@ + id + p u@ + id 0, u@0d, u@γd 0< H* p π ê *L RSolve@eqns, u@id, id êê FullSimplify 99u@iD H + p Li +H + p Lγ +H + p Lγ ==