34 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Předpoklady: 33 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb exisují analogické veličiny popisující pohyb po kružnici: rovnoměrný pohyb pojíko rovnoměrný pohyb po kružnici m s ϕ r ϕ rad dráha s [ ] rychlos v [ m/s ] s v = ω r v = = úhel [ ] úhlová rychlos [ rad/s ] ω = ϕ Rovnoměrný pohyb i rovnoměrný pohyb po kružnici popisují analogické vzorce: rovnoměrný pohyb rovnoměrný pohyb po kružnici v = konsana ω = konsana s = s + v ϕ = ϕ + ω Žádné kolo se však neočí věčně, musí se občas rozoči a občas zasavi pohyb po kružnici je v akovém případě zrychlený a úhlová rychlos se během ohoo zrychlování mění Př : Na základě analogie s přímočarým zrychlením zapiš definiční vzah pro úhlové zrychlení ε a urči jeho jednoku v ω Plaí: a = analogicky ε = rad s rad ε = jednoka = = = rad/s s s Při změně rychlosi oáčení se předmě pohybuje s nenulovým úhlovým zrychlením ω ε = Jednokou úhlového zrychlení je rad/s Př : Doplň abulku s přehledem normálních a úhlových veličin normální veličiny pojíko úhlové veličiny m s ϕ r ϕ rad dráha s [ ] rychlos v [ m/s ] s v = ω r v = zrychlení v m/s a = úhel [ ] úhlová rychlos [ rad/s ] ω = ϕ = ε r úhlové zrychlení rad/s
a v = ε = V posledním řádku abulky uvedeno míso obyčejného zrychlení a ečné zrychlení a Více si vysvělíme příší hodinu Zaím nám bude sači, že ečné zrychlení označuje čás vekoru zrychlení, kerá mění velikos rychlosí To, co jsme si dosud pod pojmem zrychlení předsavovali, je právě ečné zrychlení (zvěšuje rychlos auomobilu na přímé silnici, brzdí krabičku sunoucí se po sole, urychluje padající předměy) Že exisuje i jiné zrychlení, se přesvědčíme hned příší hodinu Pedagogická poznámka: V klasické učebnici se pojem ečného a normálového zrychlení uvádí ihned po zavedení pojmu zrychlení V mé praxi se o neosvědčuje, než se sudeni dosanou k prvnímu použií normálového zrychlení uplyne olik času, že na něj zapomenou Zde použiý přísup aké lépe odpovídá celkovému pojeí učebnice jako cesy, kerá řeší problémy až ve chvíli, kdy nasanou Př 3: Při zapínaní a vypínání harddisk své oáčky zvěšuje nebo zmenšuje přibližně rovnoměrně Z klidu se rozočí za 5 s Vypoči jeho úhlové zrychlení, je-li jeho konsanní rychlos oáčení 7 o/min = 5s, ω = rad/s, ω = 7 o/ min = o/s = 4π rad/s = 754 rad/s, ε =? ω = ω ω = 754 rad/s = 754 rad/s 754 5rad/s ε = = = 5 Harddisk se rozáčí s úhlovým zrychlením 5rad/s Př 4: Rovnoměrně zrychlený pohyb je popsán rojicí rovnic pro jednolivé veličiny a, v, s: a = konsana, v = v + a, s = s + v + a Najdi analogickou rojici rovnic pro úhlové veličiny ε, ω, ϕ Rovnice pro ε : rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici úhlové zrychlení se nemění ε = konsana Rovnice pro ω : zaměníme veličiny v rovnici v = v + a za jejich úhlové analogie ω = ω + ε (logické úhlová rychlos se rovná původní úhlové rychlos a přírůsku způsobenému úhlovým zrychlením) Rovnice pro ϕ : zaměníme veličiny v rovnici s = s + v + a za jejich úhlové analogie ϕ = ϕ + ω + ε (opě logické, konečný úhel se skládá ze ří čásí, počáeční hodnoy úhlu, přírůsku způsobeného počáeční úhlovou rychlosí a přírůsku způsobeného úhlovým zrychlením) Pedagogická poznámka: Snažím se, aby všichni sudeni sesavili rovnice sami, podle jejich vzorů pro rovnoměrně zrychlený pohyb Jde o o, aby si vybudovali analogii normální a úhlových veličin a nesnažili se zbyečně pamaova dvě sady rovnic
Upozornění se možná zdá zbyečné, ale je fakem, že sudeni o nedělají a časo si oho ani nevšimnou Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici je popsán rojicí rovnic pro jednolivé veličinyε, ω, ϕ : ε = konsana ω = ω + ε ϕ = ϕ + ω + ε Př 5: Harddisk z řeího příkladu se po vypnuí zasaví za 8 s Jaké je jeho úhlové zrychlení? Kolik oáček ješě vykoná? = 8s, ω = rad/s, ω = 7 o/ min = o/s = 4π rad/s = 754 rad/s, ε =?, n =? Pro výpoče úhlového zrychlení použijeme rovnici pro úhlovou rychlos Známe v ní všechny veličiny kromě úhlového zrychlení ω ω 754 ω = ω + ε ε = = rad/s = 94,5rad/s 8 Za zadaných veličin můžeme urči úhel oočení Pokud eno úhel vydělíme π (velikos jedné oáčky v radiánech), získáme poče oáček ϕ = ϕ + ω + ε = + 754 8 + ( 94, 5) 8 rad = 36 rad 36 n = ϕ 48 π = π = Harddisk se zasavuje s úhlovým zrychlením 94, 5rad/s a před zasavením udělá ješě 48 oáček Komplení přehled analogie normálních a úhlových veličin u kruhového pohybu: normální veličiny pojíko úhlové veličiny m s ϕ r ϕ rad dráha s [ ] rychlos v [ m/s ] s v = ω r v = zrychlení v m/s v a = ε r a = = úhel [ ] úhlová rychlos [ rad/s ] ω = ϕ úhlové zrychlení rad/s ε = rovnoměrný pohyb rovnoměrný pohyb po kružnici v = konsana ω = konsana s = s + v ϕ = ϕ + ω rovnoměrně zrychlený pohyb rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici a = konsana ε = konsana v = v + a ω = ω + ε 3
s = s + v + a ϕ = ϕ + ω + ε Při řešení příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici posupujeme obdobně jako při řešení příkladů pro rovnoměrně zrychlený pohyb Př 6: Servačníkové kolo, keré se oáčí 5 krá za minuu, bylo po dobu 5 sekund urychlováno s úhlovým zrychlením ε = 5rad/s Jaký poče oáček za minuu dosáhne? f = 5 o/ min = 5 o/6 s = o/s = Hz, 5 5 6 6 ε = 5rad/s, = 5s, f =? Kolo se pohybuje rovnoměrně zrychleným kruhovým pohybem Počáeční frekvenci musíme přepočía na úhlovou rychlos Spočeme konečnou úhlovou rychlos a z ní konečnou frekvenci a) výpoče počáeční úhlové rychlosi 5 ωo = π f = 3,4 = 5,4rad/s 6 b) výpoče konečné úhlové rychlosi ω = ω + ε o ω = 5,4 + 5 5 = 5,4 + 75 = 7, 4rad/s c) výpoče konečné frekvence ω ω = π f f = Hz π 7,4 f = ω Hz,7 Hz 7 o/min π = π = = Servačníkové kolo dosáhne úhlové rychlosi 7 o/min Dodaek: Příklad by šel počía i přímým odvozením vzahu pro konečnou frekvenci: ω = ωo + ε dosadíme ωo = π f a ω = π f π f = π f + ε / : π f f ε = + π Dosazení: f = f + ε 5 5 5Hz, 7 Hz π = 6 + π = Vzah nápadně připomíná vzah pro úhlovou rychlos rovnoměrně zrychleného pohybu po kružnici ω = ωo + ε, kde míso úhlového zrychlení ε v rad/s ε vysupuje výraz π, což není nic jiného než úhlové zrychlení v jednokách o/s (dělením výrazem π, převádíme z radiánů na oáčky) Po zamyšlení je o samozřejmé, proože frekvence je úhlová rychlos v jednokách o/s a musí pro ni plai i rovnice pro úhlovou rychlos rovnoměrně zrychleného pohybu 4
Př 7: Roor elekromooru (poloměr cm) se po vypnuí zasavil za 5 s, přičemž vykonal ješě 54 celých oáček Urči: a) počáeční úhlovou a obvodovou rychlos b) úhlové zrychlení c) ečné zrychlení na obvodu d) počáeční frekvenci = 5s, n = 54, r = cm =, m, f =?, ε =?, a =?, v =?, ω =? Roor se po vypnuí pohyboval rovnoměrně zpomaleným pohybem a) určení počáeční úhlové a obvodové rychlosi Rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici: ϕ = ω + ε, ω = ω + ε Úhel oočení můžeme snadno urči z poču vykonaných oáček v obou rovnicích neznáme dvě veličiny musíme z jedné rovnice dosadi do druhé ω ω = = ω + ε ε = ω Dosadíme do první rovnice: ϕ ω = + = ω ω = ω ϕ Dosadíme vzah mezi úhlem a počem oáček n = ϕ = π n π ϕ = ω = π n 4π n 4 π 54 ω = = rad/s = 45,rad/s 5 v = ωr = 45,, m/s = 5,43m/s b) určení úhlového zrychlení 4π n ω 4π n 4 π 54 ε = = = = rad/s = 3, rad/s 5 c) určení ečného zrychlení a = r ε =, 3, m/s =,36 m/s d) určení počáeční frekvence ω = π f 4π n = π f n 54 f = = Hz = 7, Hz 5 Př 8: Servačné kolo se rozáčí z klidu s konsanním úhlovým zrychlením rad/s a oočí se za dobu = = 5 s o úhel 75 rad Jak dlouho se již rozáčelo před měřenými pěi sekundami? ε = rad/s, = 5s, ϕ = 75 rad, ω = rad/s, =? Úhel oočení od počáku rozáčení do času : ϕ = ε Úhel oočení od počáku rozáčení do času : ϕ = ε 5
Dosadíme: ϕ = ϕ ϕ = ε ε = ε ( ) Chceme spočía Vyjádříme edy pomocí Dosadíme: ( ) ( ) ϕ = ε ( + ) = ε + ε ε = ϕ ε : = + ( ) ( ) ϕ = ε = ε + = ε + + ϕ ε = ε ϕ ε 75 5 = = = 5s ε 5 Servačné kolo se před měřenými 5 sekundami oáčelo 5 sekund Shrnuí: Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici je analogií rovnoměrně zrychleného pohybu 6