Doporučená itertur PRUŽOST A PLASTICITA Ing. Vdimír Michcová LPH 407/ te. 59 73 348 vdimir.michcov@vs.cz http://fst0.vs.cz/michcov Bend: Stvení sttik I., VŠBTU Ostrv 005 Podmínky zápočtu: Šmířák: Pružnost psticit I., VUT Brno 999 Stvení sttik ktivní účst znosti Šmířák, Hvinková: Pružnost psticit I, Příkdy, VUT Brno 000 Vnitřní síy, npětí pětí r V r A... ormá výsednice r... Sožk výsednice r M V r r A, rovnoěžná s rovinou řezu (tngenciání)... Eement průřezové pochy A(průřezová chrkteristik) r σ = im r A 0 A pětí (intenzit vnitřních si) r V τ = im r normáové smykové A 0 A r pětí: vektor, chrkterizovný svými sožkmi. Měrná jednotk: Psc... [P] Rozměr npětí: P = m M m 6 MP = 0 P = = 3 k kp = 0 P = m Důežité!!! mm
Zákdní typy nmáhání Zákdní typy nmáhání. Osové nmáhání. Ohy 3. Kroucení 4. Smyk. Osové nmáhání. Ohy 3. Kroucení 4. Smyk ormáová sí 0 Ohyový moment M y, M z 0 M tk M R R th tk R z R z M th th tk M R z R z Zákdní typy nmáhání Zákdní typy nmáhání. Osové nmáhání. Ohy 3. Kroucení 4. Smyk 3. Osové nmáhání. Ohy 3. Kroucení 4. Smyk 3 n v = 6 př. prostorově omený nosník Kroutící (torzní) moment T 0 Posouvjící sí V y, V z 0 V V V V y z Vnitřní síy:, T (vždy), V y, V z, M y, M z (prut rovnoěžný s osou ) V, V z, M, M z (prut rovnoěžný s osou y) V, V y, M, M y (prut rovnoěžný s osou z) R z R z
Zákdní typy nmáhání Princip superpozice úměrnosti zopkovt ázev Osové nmáhání (th, prostý tk) Ohy Smyk Kroucení Vnitřní sí M y, M z V y, V z M pětí σ σ τ y, τ z τ y, τ z Zákdní zákony sttiky Issc ewton (64 77) ) Princip kce rekce: Kždá kce vyvoává rekci stejně veikou, e opčného smysu. Tčíi těeso tíhy G n podožku (zákd), musí tto půsoit n těeso stejně veikou, e opčného smysu. ) Princip superpozice (skádání) účinků: Rozděímei oecnou soustvu si půsoící n těeso do díčích siových soustv (dáe jen SS),,... n, od kždé stnovíme účinky R, R,... R n, pk výsedný účinek održíme vektorovým součtem účinků od jednotivých díčích SS. 3) Princip úměrnosti: Půsoíi n těeso SS,,..., n vyvoávjící výsedný účinek R, potom SS k., k.,..., k. n vyvoává výsedný účinek k.r pro k = konst. Sožené typy nmáhání Sint Venntův princip okáního účinku Zákdní typy nmáhání: ) prosté (osové, ohy, kroucení, smyk) ) sožené Komince zákdních přípdů nmáhání: prostorový (oecný) ohy ecentrický th tk (komince ohyu s them neo tkem) kroucení s them neo tkem s ohyem Díky principu superpozice, který ptí v ineárně pružném ooru, pk ze řešit sožené přípdy nmáhání rozkdem n zákdní stvy výsedné účinky sožit superponovt. q neovivněnáčást ost poruchy ost ízkého okoí Jen Cude SintVennt (797886) Usndňuje řešení npjtosti těes. Rovnovážná soustv ovivní stv npjtosti jen v ízkém okoí Ve vzdáenějších odech má znedtené účinky Používá se: ) ke zjednodušení povrchového ztížení jeho náhrdou stticky ekviventním, pro výpočet výhodnějším ztížením (spojité ztížení n mé poše ze nhrdit osměým řemenem) (str.9 učenice) 3
Sint Venntův princip okáního účinku ) skutečné rozměry prutu můžeme ideizovt do střednice. (sí půsoí n střednici prutu nikoiv n horní neo spodní íc) Zákdní pojmy předmětu Pružnost psticit pětí Deformce ost ízkého okoí, nutno provést korekci Mteriá Lineárně pružný mteriá Hookeův zákon epružný mteriá Psticit R z R z R z R z Po provedení výpočtu, zejmén jsoui vyčísen i npětí v průřezech, je nutno provést korekce npětí s ohedem n provedené ideizce. Ztížení Vnější siové ztížení Ztížení tepotou Zákdní typy nmáhání osové nmáhání Ztížení půsoí pouze v ose nosníku vzniká pouze normáová sí která vyvoá normáové npětíσ v prostoru vznikjí tyto vnitřní síy: 0 V, V, M, M, M y z y z = 0 б Předpokdy řešení ) průřezy zůstávjí rovinnými komými k ose i po deformci (Bernouiov hypotéz) d d Předpokd má povhu deformčně geometrickou. Příčné průřezy se nezkřiví zůstnou vzájemně rovnoěžné. před i po deformci Důsedek: y = γ z y z ) podéná vákn n see vzájemně netčí γ σ = konst. = 0 τ = τ = 0 pro = konst. Dnie Bernoui (700 78) V jké konstrukci půsoí pouze??? do příště zopkovt výpočet u dné konstrukce!!! σ y = σ z = 0 4
Ztížení osově nmáhného prutu npětí deformce. Vnější ztížení Os vždy os prutu pozor u soupu!!! R ) pětí tženého (tčeného) prutu Vnější osové ztížení vnitřní sí normáové npětíσ (intenzit vnitřních si) [MP] Th, tk pozor jednotky!!! (řády) σ konstntní po výšce průřezu Př.: Jk veké npětí vznikne, jei =0k A=0cm? ) deformce tženého (tčeného) prutu (geometrické rovnice) nučit kp..3 učenice deformce podéná (ezrozměrná veičin) rozměrové změny: ε = = ε = ε = υε deformce příčná y z ν 0,5 Poissonův součinite příčné deformce (jedn ze tří mteriáových konstnt) y = h = h h ε y = h ε z = h Kruhový průřez průměr d? z h h ) Změn tepoty T osník se v podpoře posune, nevznikne ni npětí Mteriá Prcovní digrmy ocei etonu vyjdřují vzth npětí deformce ) npětí neníi ráněno deformci npětí = 0 neptí Hookeův zákon ude vysvěteno zchvíi ) deformce ε = ε = ε = α T yt zt T T αt součinite tepotní roztžnosti [ C ] = α T. T. ε T = / = / = h/h = d/d = = h = h h f e mez pružnosti (esticity) f y... mez kuzu (yied) f u... mez pevnosti (utimte) Psticit: schopnost mteriáu deformovt se trve ez porušení. Tžnost: pstické protžení přetržené tyče (vzdáenost /OT/), oce 5%. 5
Prcovní digrm ideáně pružnopstického mteriáu Odvození pro th prostý tk ε σ TLAK mez kuzu Y σ f y σ B σ ε est. f y σ normáové npětí ε poměrná podéná deformce ε pst. ε e. = σ B /E Pružnopstická ost Pružná ost Pružnopstická ost Ost ptnosti Hookeov zákon Y ε pst. ε B,cek. A=C B TAH ε = / Lineárně pružný mteriá Hookův zákon v thu Hookeův zákon fyzikání vzthy mezi npětími deformcemi, závisí n fyzikáních mechnických vstnostech mteriáu, ptí pouze v ineární osti Odvození pro th prostý tk σ =Ν/Α σ f y Pružná ost ε est. Ost ptnosti Hookeov zákon Y α = rctg E ε TAH mez kuzu σ tnα = = E ε ε = / σ = ε.e do Hookeov zákon dosdit: σ = A ε = = EA ε... poměrné deformce (prodoužení,zkrácení)[] σ... normáové npětí [P] Hookeův zákon jiné znění Hookeov zákon E... Youngův modu pružnosti v thu tku [P] (druhá ze tří mteriáových konstnt) Lineárně pružný mteriá Hookův zákon ve smyku Hookeův zákon fyzikání vzthy mezi npětími deformcemi, závisí n fyzikáních mechnických vstnostech mteriáu, ptí pouze v ineární osti Příkdy (při řešení nutno dodržet) τ z τ tnα = = G γ E G τ z = γ z G = ( υ) γ z... zkosení τ z... smykové npětí [P] G... modu pružnosti ve smyku [P] (třetí ze tří mteriáových konstnt) Vykresit průěhy vnitřních si Oecný vzorec, čísené doszení do vzorce, pozor n převedení n stejné jednotky Výsedek zvýrzněný včetně jednotek α = rctn G γ z 6
Příkd Oceový prut déky = 0 m kruhového průřezu d = 0,05 m je ztížen siou P = 00k. E = 0 000 MP, ν = 0,3. Vstní tíhu prutu znedejte. Určete σ, změnu déky prutu, změny průřezu stnovte nové rozměry prutu. Pozor!!! výpočet příčné deformce!!!! Výsedky: A = 490,87.0 6 m σ = 03,78MP normáové npětí = 0,0097m =9,7.0 3 m = 9,7mm ε = 9,7.0 4 = 0,0097m ε y = ε z =,9.0 4 d = 7,8.0 6 m = 7,8.0 3 mm d = 0,0499m = 0 m R P = 00 k R Příkd Oceová tyč kruhového průřezu d = 0,0 m déky = m je nmáhán thovou siou = 5 k. Určete normáové npětí σ, cekové prodoužení příčné zkácení prutu. E = 0 000 MP, ν = 0,3 Mezivýsedky: A = 34,59.0 6 m A = 78,539.06m =,364.0 3 m =,364mm =,.0 3 m =,mm Příkd 3 Příkd 4 C Určete veikost síy normáového npětí σ půsoících n oceový prut kruhového průřezu d = 0,05 m, déky = 3 m, n kterém vzniko prodoužení 3 mm. E = 0 000 MP. R = αt. T.. E.A.A ( A ). A. =4,334k, σ = 0,00MP normáové npětí 7
Příkd 5 Kvádr z etonu C 45 / 55 o rozměrech = 0,5 m, = 0,40 m, výšky h =,0 m je stčován siou P o veikosti 500 k. Určete změny rozměrů kvádru. Postup stejně jko u příkdu. E cm = 30 500 MP, ν = 0, Příkd 6 Betonový soup o rozměrech 0,6 0,6 m výšce h = 3,6 m je rovnoměrně otepen o T = 75 C. Určete změny rozměrů kvádru. α T = 0 0 6 C h= 0,8mm, = 4,.0 mm, = 0,.mm h = 0,999m, = 0,5004m, = 0,400656m h = 3,607m, = 0,6005m, = 0,6005m Příkd 7 Určete rozměrové změny npětí v ocei v etonu. Konstrukce de orázku. P =50k d = 0,03m E = 0 000MP oce ν = 0,3 P =65k eton P h =0,5m h =0,m = 0,5m = 0,m E =33 500MP ν = 0, Příkd 8 γ Spočítejte npětí v oou prutech tvořených profiem I80. Průřezová poch viz tuky (A=0,757.0 3 mm ). Posuďte, zd npětí nepřekročí dovoenou hodnotu σ dov =50MP. = m, = 5 m, =43, k Výpočet rovnováh ve styčníku : sin γ = = 0.3846 předpokdy: ) kouové styčníky ) styčníkové ztížení cos γ = = 0.93 potom v prutech pouze síy = 0 = sin γ = 0 = cos γ z =,3k = 03,68k d = 30,009mm, = 50,09mm, = 00,09mm, h =499,495mm, h =99,809mm, h = 699,304mm σ =,MP, σ = 3,0MP normáové npětí c Hodnoty rekcí: R =, R c =.proč? 8
průěh si po déce prutů σ = /A průěh npětíσ po výšce průřezu Výpočet normáového npětí v prutech σ =48,38 MP σ =36,96 MP pětí nepřekročí dovoenou hodnotu Příkd 9 ) Spočítejte npětí v táhe z I80 profiu. Průřezová poch viz tuky A=0,757.0 3 mm. ) ) Zhodnoťte, zd protžení táh nepřeshuje dovoené dov = 0 mm. = 3 m, =.5 m, = 0 m, g=80km, E = 0000 MP R Výpočet normáového npětí á g Rz R=0 rekce = R Výpočet přetvoření σ = A = E A Pozor jednotky!!! Výs.: npětí v táhe σ =37,78 MP, protžení táh překročí dov : =,8mm Příkd 0 Posuďte táho z ocei e 430/S75 (σ dov = 75 MP) pného kruhového průřezu o průměru 8mm n konstrukci de orázku. = 8k, q =,3k/m R R α = 3m R z Výpočet normáového npětí ) rekce i = 0 iz = 0 M i = 0 p ( ) R. ( ) = R Rz. 0 0 Rz q R = R / cosα R /R = cosα R z /R = sinα Průěh po déce prutu = 3m q Průěh normáového npětíσ po výšce průřezu σ = /A R ) výpočet = R = 4m = m c) výpočet normáového npětí σ = Výs.: =9,9k, σ =0,96 MP< σ dov.táho vyhoví A = 4m = m 9
Příkd Povinný úko Určete mimání normáové npětí v tyčičtvercového průřezu ztížené de orázku spočítejte protžení úseku. jei dáno: =30mm =50k =5k = = 3 =0.5m E=0GP 3 Příkd Povinný úko Spočítejte npětí v táhe, vykresete jeho průěh po výšce průřezu stnovte změnu déky táh, jei dáno: =0k t=5 C d=0.0m =.5m = m = m E=0GP α T =0.0000 C t Postup řešení průěh 4 m 5 Výpočet přetvoření 3výpočet normáového npětí =, A = A EA ápověd k postupu řešení průěh (pouze od vivu ztížení) výpočet normáového npětí 3prodoužení táh (od vivu tepoty i siového ztížení) 4Více viz předešé příkdy Výs.: m=50k, σ =55,55MP, =0,033mm Výs.: =30k,σ = 95,5MP, =0,68mm, T =0,7mm. Příkd 3 Povinný úko Domácí úko Oceová tyččtvercového průřezu o strně = 6mm je ztížen osovými simi pode orázku. určete prodoužení tyče porovnejte s δ im = 5mm, jei E =,.0 5 MP. posuďte tyč, zd její mimání npětí nepřesáhne hodnotu σ dov =35MP. ezpomeňte vykresit průěh. =,7 m c =, m d = 0,6 m P = 0 k P = 0 k P 3 = 0 k P P P 3 Výs.: Prodoužení tyče: =,376 mm < δ im = 5 mm Veikost normáového npětí: =7.9, =39,06 3=78,3 všechn kdná (th) c d y σ = /A Zopkovt příhrdové konstrukce (metod průsečná, styčníková, stupeň sttické neurčitosti) Zopkovt vykresení průěhu vnitřních si ez zdných hodnot Zopkovt průřezové chrkteristiky Dopočítt příkdy z této prezentce Umět z přednášky: yzikání rovnice Geometrické rovnice Hookův zákon v thu tku (co popisuje, kdy ptí, co je E, vzorec, grf) Hookův zákon ve smyku (dtto, vzth E G, popis ν, m hodnot) Déková deformce od siového ztížení (vzorce) Příčné deformce od siového ztížení (vzorce) Déková deformce od vivu tepoty Příčné deformce od vivu tepoty i ze smostudi kpito knihy:.,.3,.4. Vzít do příští hodiny tuky průřezů 0
Okruhy proémů k ústníčásti zkoušky. Pružnost pevnost ve stvením inženýrství Výchozí předpokdy ksické ineární pružnosti Pojem psticit, teorie mých deformcí,teorie II.řádu pětí, stv npjtosti těes. Vzthy mezi npětími vnitřními simi v průřezu prutu, diferenciání podmínky rovnováhy Zákdní typy nmáhání prosté sožené Sint Venntův princip okáního účinku 3. Deformce posuny v těese, geometrické rovnice Hookeův zákon, ineárně pružný mteriá, fyzikání konstnty 4. Prcovní digrmy stveních mteriáů epružný ideáně pružnopstický mteriá, tžnost 5. Deformce od změny tepoty 6. pětí při osovém thu tku 7. Přetvoření tženého tčeného pruru