DYNAMIKA SOUSTAV Pole ruhu zaaných velčn rozlšueme ř řešení ynamy soustav těles va zálaní tyy úloh: ) Úloha netostaty, y e řeesán ruh ohybu (nař. rovnoměrný ohyb) tola členů soustavy, ol tato má stuňů volnost. Úolem e naít olohovou závslost statcých ačních účnů, ro uržení řeesaných ohybů. Počítaných statcých ací e neméně tol, ol e řeesaných ruhů ohybu. Tyto slové účny mívaí řeesaný směr a očítá se olohová závslost ech velost, ř uvažování setrvačných účnů. Poznáma: Nečastěší řía soustav sou mechansmy, tey soustavy s ením stuněm volnost, y řeesueme zravla ohyb hnacího členu, enž rotue. ) Úloha vlastní ynamy, y sou řeesána zatížení všech členů zaaným statcým acem (známých směrů, echž velost sou známým funcem oloh, rychlostí, říaně času). Úolem e řešt ohyb enotlvých členů soustavy, enž zaané zatížení vyvolá. Poznáma: V obou říaech úloh mohou neznámým být statcé reace ve vazbách. Je-l otřeba rováět menzování vazeb (ložse, loubů), e nutno očítat tyto reace. MTODY VKTOROVÉ MCHANIKY Metoy řešení ynamy soustav těles rostřenctvím osmů vetorové mechany sou vě. Metoa uvolňování e velce unverzální, taže se hoí ro úlohy se třením a ro soustavy s lbovolným očtem stuňů volnost. Používá se všue tam, e e zaotřebí znalost reací ve vazbách. Metoa uce hmotností a slových účnů se á ror zbavue reací. Nehoí se roto ro úlohy se třením. Rovněž e omezena na soustavy s ením stuněm volnost. Hoí se roto eálně ro řešení hlaého ohybu mechansmů, rotože římo vee vlastní ohybové rovnc.. MTODA UVOLŇOVÁNÍ Prnc metoy e znám z MCHANIKY, neboť e stený ve statce ao v ynamce. Ze ouze řbývaí setrvačné účny ůsobící na ohybuící se tělesa. Myšleným řezy uvolníme ve vazbách enotlvá tělesa (oříaě suny těles) za současného řoení reačních účnů ole ruhu uvolněné vazby (Mechana ). Pole D Alembertova rncu statcé (vněší) síly a ynamcé (setrvačné) účny tvoří rovnovážnou slovou soustavu. Pole ruhu soustavy sl (a voc) formulueme říslušný očet omíne rovnováhy (včetně ovnného očtu momentových omíne). Z matematcého hlesa ostáváme soustavu algebraco ferencálních rovnc. Soustava e algebracá vzhleem e statcým reacím a ferencální vzhleem tola olohovým (časově závslým) roměnným, ol má soustava stuňů volnost. Vysytne-l se v rovncích více olohových roměnných (a ech časových ervací), e třeba nabytečné vyářt ze zvhových závslostí (a ech ervace rostřenctvím řevoových funcí a ervací řevoových funcí). Matematcým vyloučením reací (nař. osazovací metoou) zísáme ouze soustavu vlastních ohybových ferencálních rovnc, terých e tol, ol má soustava stuňů volnost. Jech analytcé řešení e možné en ve velm secálních říaech. Obecně se tyto rovnce řeší numercy, y výsleem est ro zaanou tabulu časů (nezávsle roměnná) tabula oloh hnacích členů soustavy (závsle roměnná). Tím e řešen ohyb hnacích členů. Pohyby hnaných členů
zísáme řes výše osované zvhové závslost. Ze znalost ohybů e možno (ro říslušnou tabulu časů) očítat setrvačné účny a z rovnc ro reace, vznlých alací osazovací metoy, lze vyočítat, aožto závsle roměnné, reace a tím menzovat vazby. Poznámy: ) Jestlže cílem řešení e ouze znalost ohybu (úloha vlastní ynamy), lze omíny rovnováhy ro stav bez tření formulovat s výhoou ta, že se fyzální cestou o samého očátu zbavíme vněších reací (ve vazbách na rám). Vntřních reací (ve vazbách těles mez sebou) se tímto zůsobem zbavt nelze. Ty e nutno vyloučt matematcy (naříla výše vzomenutou osazovací metoou). ) xstence třecích účnů stuac omlue, rotože třecí síly (a voce), aožto statcé ace, závseí na velost reací. Z tohoto ůvou nelze ř řešení ohybu se á ror zbavovat vněších reací. Všechny reace nutno vylučovat matematcy osazovací metoou. 3) Nevětší omlace ůsobí moment čeového tření. Tento třecí účne závsí nelneárně na složách reací v rotační vazbě, taže algebracé rovnce ro reace nesou lneární a nelze tuíž matematcy reace vylučovat osazovací metoou. Jená možnost, a moment čeového tření o výočtu zahrnout, e lnearzace vztahu M = f R + R (vz Mechana ) ro určtý omezený rozsah ohybu členu č č x v rotační vazbě. y. MTODA RDUKC HMOTNOSTÍ A SILOVÝCH ÚČINKŮ Metoa sočívá ve volbě enoho tělesa soustavy (obvyle hnacího členu mechansmu) za tzv. uční člen. Reuční člen může vyonávat buď osuvný nebo rotační ohyb. Knematcé arametry osuící ohyb tohoto členu, tey ϕ, ω, α ro řía rotace, nebo x, v, a ro řía osuvu, se obevuí ao roměnné v níže ovozené ohybové rovnc. Na uční člen uueme vešerou hmotnost hmotných členů srovnáním netcých energí a vešeré statcé ační (t. racovní) slové účny srovnáním ech výonů. Za uovaný hmotový arametr v říaě rotace učního členu volíme uovaný moment setrvačnost I a v říaě osuvu uovanou hmotnost m. Blance netcé energe má tvar ro rotac učního členu I ω =. () Ze sčítáme řes všechny ohybuící se členy soustavy. Poznameneme, že ro osuv tělesa e = m v, ro rotac = I ω a ro ohyb rovnným ohybem ř rozlau ve střeu hmotnost latí Köngova věta. Nelze-l rozložt ohyb ve střeu hmotnost, nahrazueme
těleso (v zaaných místech) věma hmotným boy m m A, B a orečním momentem setrvačnost I or. Pro netcou energ taového tělesa a latí e A B ( m v + m v I ω ) = A A B B + or, () v, v sou rychlost míst náhray hmotným boy a ω úhlová rychlost ruhotné rotace. Poznáma: Jestlže uční člen se osouvá, má blance m v = tvar. ( ) Za uovaný slový arametr v říaě rotace učního členu volíme uovaný moment (slové voce) M a v říaě eho osuvu uovanou sílu F. Pro řía rotace učního členu má blance výonů racovních sl tvar M ω = P. (3) Ze sčítáme řes všechny statcé ační účny ůsobící na enotlvé členy soustavy (e ch obecně ný očet než ohybuících se členů). Poznameneme, že výon síly e salárním součnem síly a rychlost a výon voce (momentu) e salárním součnem momentu s úhlovou rychlostí. Poznáma: Jestlže se uční člen osouvá, má blance P tvar F v = P. (3 ) Alací věty o změně netcé energe mez obecnou a startovací olohou soustavy máme = e W e ráce všech racovních statcých účnů. Časovou ervací tohoto vztahu ostaneme W, = P. t Dosazením ze () a (3) ostaneme ro řía rotace učního členu (ro obecně závslé na oloze ϕ soustavy) I ϕ ϕ ω t + I ω ω t = M e sme oužl vztahy ro ervac součnu a složené funce. Krácením ω otu I ϕ což e vlastní ohybová rovnce soustavy. ω + I α = M ω, I, (4) Poznáma: V říaě, že uční člen se osouvá, ostaneme analogcým osazením výrazů ( ) a (3 ) ohybovou rovnc ve tvaru
m x v + m a = F. (4 ) To, že uovaný hmotový arametr e závslý na oloze soustavy e řízna tzv. soustavy s roměnným řevoovým oměry (mechansmus). U soustavy s onstantním řevoovým oměry (soustavy složené z lae a soluzabíraících ozubených ol) tyto arametry na oloze soustavy nezávseí. Pohybová rovnce má a enoušší tvar ro řía rotuícího učního členu, res. I α = M m a = F ro řía osouvaícího se učního členu. Zároveň otu lyne, že ůsobí-l na soustavu s onstantním řevoovým oměry onstantní zatížení, ohybue se toto s onstantním zrychlením (všech členů). MTODY ANALYTICKÉ MCHANIKY Zatímco ostatou meto vetorové mechany e vetorová rovnováha ůsobících sl (v ynamce včetně setrvačných účnů), ostatou meto analytcé mechany e utvoření energetcých funcí, z nchž oeracem matematcé analýzy (zeména ervováním) zísáme otřebné statcé ynamcé rovnce. Než řeročíme e věma metoám této atoly, efnueme nové omy. ZÁKLADNÍ POJMY Poloha ažé mechancé soustavy může být osána různým souřancem. Z ůvoů snaněšího vyáření ných otřebných velčn může být těchto souřanc víc než e ro enoznačné určení olohy soustavy nezbytně nutné. V taových říaech sou souřance závslé. Musí mez nm exstovat vzáemné vztahy. Těmto vztahům říáme vazbové rovnce nebo rátce vazby. Ve zmíněných vazbách se romě souřanc olohy může vysytovat čas t. V neobecněším říaě tzv. neholonomních vazeb lze vazbové rovnce osat ouze ve formě ferencálů (souřanc času). Těmto říay se nebueme zabývat. Jestlže tyto ferencální vztahy lze ntegrovat, e možno vazbové rovnce nasat ve tvaru transcenentních (algebracých) rovnc tyu ( y,..., y, t) ;, r f =...,. (5) Vazba se a nazývá holonomní. Vysytue-l se ve vazbové rovnc exlctně čas t, nazývá se vazba nestaconární nebo též reonomní. Nevysytue-l se v ní exlctně čas t, nazývá se vazba staconární nebo též sleronomní. Poznáma: Př ohybu mechancé soustavy se souřance y s časem mění. Ve vazbové rovnc e v těchto říaech vžy obsažen čas, ale ouze mlctně, zrostřeovaně řes souřance ao složená funce. Tento stav neznamená nestaconárnost vazby. V mechance byl efnován oem očtu stuňů volnost mechancé soustavy aožto očtu nezávslých souřanc, ež enoznačně určuí olohu všech boů (členů) soustavy. Mez těmto souřancem neexstuí žáné vazby (vztahy). Všechny mohou nabývat lbovolných honot. Říáme m zobecněné souřance. Značíme e q a ech očet e n (= očet stuňů volnost soustavy). Mohou to být buď ély (rozměr metr) nebo úhly (rozměr
raán). Jaéolv né souřance x nazveme fyzální souřance. Jestlže fyzálních souřanc e, musí exstovat vazeb tvaru (5), tey ( x..., x, q,..., q, t) ;, f, n = =...,. Z těchto vazeb lze (alesoň loálně) osamostatnt závslé fyzální souřance a vyářt e na zálaě souřanc zobecněných ve tvaru ( q,..., q, t),, x = x n =...,. (6) PŘÍKLADY VAZB A) Kulsový mechansmus (vz obr.) e coby mechansmus soustavou s ením stuněm volnost. Zobecněnou souřancí e úhel ϕ natočení hnací ly. Přesto zaváíme ro olohu ulsy fyzální souřanc y. Mez souřancem y a ϕ exstue vazba (nazývaná ve vetorové mechance zvhovou závslostí) y = r sn ϕ, e r e éla ly. Je to vazba tyu (6) rozřešená ole fyzální souřance y. Vazba e sleronomní, rotože čas t se v ní vysytue ao složená funce ϕ ř otáčení ly (ohybu mechansmu). Ve stroařsé rax e těchto vazeb rtvá řevaha. B) Uvažueme matematcé yvalo s roměnnou élou závěsu (vz obr.). Protože ohyb horního once závěsu e řeesaný, ená se o soustavu s stuněm volnost. Pohyb horního once závěsu neoává ruhý stueň volnost funce u ( t) e zaaná, tuíž nemůže být lbovolná. Za zobecněnou souřanc volme úhel natočení ϕ (vz obr.). Volíme-l v obr. zaveené souřance x, y ao alší (fyzální) souřance, ta estlže l e celová éla závěsu, latí ro ně vztahy [ l u( t )] sn ϕ [ l u( t) ] cosϕ x =, y =. Oět sou to vazby tyu (6), ovšem čas t se v nch vysytue římo (nolv ouze zrostřeovaně řes úhel ϕ ). Proto vazby sou nestaconární (reonomní). Vrtuálním ohybem mechancé soustavy nazveme ferencálně malý ohyb ř resetování vazeb exlctně nezávseících na čase. Nezávslých vrtuálních ohybů e možno uělt soustavě tol, ol má tato stuňů volnost. Tyto nezávslé vrtuální ohyby oovíaí vžy vrtuálním řírůstům zobecněných souřanc δ q. Z naznačené efnce e zřemé, že v říaě staconárních vazeb vrtuální ohyb e současně ferencálně malým sutečným ohybem. U vazeb nestaconárních se tyto ohyby lší. Tam v říaě vrtuálního
ohybu necháme lynout čas ř změnách souřanc, ale zastavíme čas ro růběhy řeesaných ohybů. Naříla yvala s roměnnou élou závěsu (vz obr.) se sutečný ferencálně malý ohyb ěe o oblouu obecné rovnné řvy závseící na růběhu funce u ( t), vrtuální ohyb se ěe o ruhovém oblouu. Pohyb e roto vrtuální, rotože u reálné soustavy němu nemůže oít. Necháme-l lynout čas na ývavý ohyb yvala, mění se zároveň u t není onstantou, ale a by se zase neenalo o renomní vazbu). eho éla (ou ( ) Pro vazby tyu (6) ta ř vrtuálním ohybu e zatímco x δx = n = q = n = q δq, (7) q + t t. Pro soustavu s ením stuněm volnost ( n = ) oaá sumace. Je a δ x = δq, =,...,, (8) q e q e zobecněná a x fyzální souřance. V říaě sleronomních vazeb by tentýž vztah latl ro ferencály *). Pro řía vazeb reonomních ro ně latí x = q + t. q t Důležtou vlastností vrtuálních ohybů e, že ř nch reační (statcé) síly neonaí rác. Stuac lze lustrovat oět na říaě yvala s roměnnou élou závěsu, e reační síla v laně ř sutečném ohybu rác oná, zatímco ř vrtuálním nolv (řírůste ráhy má e nulový). PRINCIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ Formulume bez ůazu rnc vrtuálních rací: Je-l soustava rovnováze (statcé nebo ynamcé), e součet vrtuálních rací všech racovních účnů nulový ro lbovolný nezávslý vrtuální ohyb. Poznáma: Používáme-l rnc vrtuálních rací ve statce (ro úlohy statcé rovnováhy oobně ao byly řešeny v mechance metoou uvolňování), sou racovním účny ouze statcé ace. Př oužtí v ynamce (ro formulac ohybových rovnc) sou racovním účny statcé ace a setrvačné účny. *) Ze bychom mohl arcální ervac nahrat ervací obyčenou.
Matematcá formulace rncu δ. (9) ( W) = F δx =, =, n..., Užtím (9) ostaneme n rovnc (tol, ol e stuňů volnost). Jsou to ve statce rovnce rovnováhy, v ynamce ohybové rovnce. Inex v (9) oovíá nezávslým vrtuálním ohybům (řírůstům zobecněných souřanc δ q ). Inex oovíá racovním účnům F (slám vocím). Fyzální souřance x volíme říslušeící racovnímu účnu ta, aby říslušná vrtuální ráce se očítala ao rostý součn (včetně znaména) racovního účnu a emu říslušeícího vrtuálního řírůstu fyzální souřance. Je-l tey racovním účnem síla, e říslušnou fyzální souřancí élová souřance. Je-l ím voce, e fyzální souřancí úhel natočení. Jestlže se ená o onzervatvní soustavu, sou všechny (statcé) síly onzervatvní, taže ech (úhrnná) ráce o uzavřené řvce e nulová. Musí roto exstovat salární funce zobecněných souřanc, že element ráce e totálním ferencálem této funce. Tuto func nazýváme otencální energe = ( q,..., qn ). Prnc vrtuálních rací má otom tvar =, () což znamená, že otencální energe má staconární bo. Staconární bo e tey říznaem rovnovážné olohy soustavy ř statcém řešení. Pro soustavu s n stun volnost e nutnou omínou staconárnost nulovost všech ech arcálních ervací ole zobecněných souřanc, tey =, =,..., n. () Pomína () v říaě slněnost může znamenat rovnovážnou olohu stablní, y malé slové ůsobení navíc (orucha) zůsobí malou změnu olohy soustavy, nebo rovnovážnou olohu lablní, y malá orucha zůsobí velou změnu olohy soustavy. Z matematcého hlesa e () nutnou omínou extrému otencální energe. Pro ostačuící omínu e otřeba zoumat matc ruhých arcálních ervací, tzv. Hessovu matc v boě q = [ q,..., q n ], ve terém latí (). Jestlže tato matce n H ( q ) ( ) = q () q q, = e oztvně efntní, má v uveeném boě mnmum a říslušná rovnovážná oloha e stablní. Stuac znázorníme ulčou v ůlu (vz obr.). V oloze má mnmum, tey oloha e stablní. Uělíme-l taové ulčce oruchu, sane zět o ůlu a změna olohy e malá. Jestlže matce () e negatvně efntní, má v uveeném boě maxmum a říslušná rovnovážná oloha e lablní. Stuac znázorníme
ulčou na vrcholu oce (vz obr.). V oloze má maxmum, tey oloha e lablní. Sebemenší slové ůsobení navíc (zůsobuící nenulovost očátečních nematcých omíne) má za náslee velou změnu olohy. Kulča totž sane z vrcholu. Jestlže matce () e nefntní, má v uveeném boě selový bo a rovnovážná oloha tímto boem osaná e oět lablní. Stuac lze osat ulčou na hřbetě oňsého sela. Jaáolv orucha mmo směr ízy oně zůsobí velou změnu olohy ulčy. Rovnovážná oloha e tey lablní. Poznáma: ) Jestlže matce () e semefntní (ať už oztvně nebo negatvně), bylo by ro osouzení tyu staconárního bou (a tím valty rovnovážné olohy) otřeba vyšších ervací. Tímto říaem se nebueme zabývat. ) Defntvtu matce lze určovat oužtím tzv. Hurwtzova rtera. Jestlže = et (tzv. hlavní všechny etermnanty matce A [ a ] n tvaru [ a ] l, =, mnory l - tého řáu) ro l =,..., n sou lané, e matce A oztvně efntní. Jsou-l všechny hlavní mnory suého řáu lané a hlavní mnory lchého řáu záorné, e matce negatvně efntní. Nastane-l aáolv ná ombnace znaméne hlavních mnorů (a současně žáný není nulový), e matce nefntní. Právě osaná oměrně složtá rozhoování se ostatně zenoušuí ro soustavy s stuněm volnost, y e funcí ené zobecněné souřance q. Pomína () má formu nulovost obyčené ervace = ( ) q a matce () se uue na ený rve. Jestlže v boě q, e e slněna ( ) e q q ( q ) >, má mnmum a oloha e stablní. Je-l ( q ) < maxmum a oloha e lablní. Je-l ( q ) = q =, má, nelze o tyu bou nc říc. Ze q nefntnost slývá se semefntností. Pro rozlšení říaů by byly otřeba vyšší ervace. Tímto stavem se nebueme zabývat. LAGRANGOVY ROVNIC Bez ovození formulueme tzv. Lagrangeovy rovnce. ruhu obyčeného tyu ve tvaru t & = Q, =,..., n. (3) Protože rovnce ného ruhu a ného tyu neoznáme, bueme alší řívlasty vynechávat. Těchto rovnc e tol, ol má soustava stuňů volnost. e netcá energe, q zobecněné souřance, souřancím q& zobecněné rychlost a Q zobecněné síly říslušeící zobecněným q. Zobecněné souřance mohou být ély v metrech nebo úhly v raánech.
Jsou-l to ély, sou říslušné zobecněné rychlost sutečným rychlostm v m/s a zobecněné síly sutečným slam v N. Jsou-l zobecněné souřance úhly, sou zobecněné rychlost úhlovým rychlostm v ra/s a zobecněným slam momenty slových voc v Nm. Zobecněné síly určueme z rncu vrtuálních rací ole výrazu Q δ q = F δ x, =,..., n, (4) e F sou statcé ační síly na soustavu ůsobící a x sou taové fyzální souřance, aby říslušná vrtuální ráce se vyčíslla běžným součnem (vz výše). Slovní formulace (4): Vrtuální ráce - té zobecněné síly ř vrtuální změně říslušné zobecněné souřance e rovna součtu vrtuálních rací všech statcých ací ř tomto vrtuálním nezávslém ohybu. Pro zrácení varací q v (4) e třeba fyzální souřance x vyářt rostřenctvím vazeb ao funce zobecněných souřanc q. Poznámy: ) Knetcá energe e obecně funcí olohy rychlost. Je-l ouze funcí rychlost, ená se o soustavu s onstantním řevoovým oměry. I ro soustavu s ením stuněm volnost (zobecněná souřance q) e tey obecně = ( q, q& ). Parcální ervace roto zůstávaí v rovnc (3) ro tento řía. ) Zobecněné síly se onstruuí ole (4) ouze ro statcé racovní síly F. Dynamcé účny sou sryty v levé straně rovnc (3). Jestlže statcé ace sou všechny onzervatvní, exstue otencální energe ( q,..., ) (závseící na oloze) a latí Q =, =,..., n. Lagrangeovy rovnce v tomto secelním říaě maí tvar t & + q n =, =,..., n. (3 ) Stačí tey naít netcou a otencální energ a ohybové rovnce soustavy sou a už en otázou cvčení v ervování.