Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text vznkl př třetím běhu tohoto předmětu ve školním roce 204/205. Jeho cílem e demonstrovat prncpy teore her na příkladě matcových her a představt některé nženýrské aplkace.. Úvod Cílem teore her e popsat stuac, která nás zaímá, ako hru. Klasckým případem e takzvané vězňovo dlema, které může být zformulované například následuícím způsobem. Polce zadržela dva podezřelé, Andree a Bohuslava a drží e odděleně. Důkazy, které prot nm polce má sou bohužel nepřímé a nestačí k odsouzení. Pokud se žádný z podezřelých nepřzná budou oba dva odsouzení en za drobné přestupky, každý na dva roky. Pokud ale eden z nch udá druhého a ten bude mlčet, bude udavač volný a druhý dostane deset let. Pokud se udaí navzáem dostanou každý trest ve výš šest let. Takto zadaná hra e hrou dvou hráčů {A, B} a e plně popsaná následuící matcí ( ) 2 0 M =, 0 6 kde hráč A vybírá řádek a hráč B sloupec. Hodnota ve vybraném řádku a sloupc e pak platbou (výší trestu) hráče A a matce plateb hráče B e matce M T. Proto, abychom mohl používat matematcký aparát, musíme asně defnovat, co znamenaí pomy, které budeme př popsování používat. Rozhodování výběr edné z více varant. Rozhodovací stuace stuace, ve které e potřeba vykonat rozhodování. Výsledek výběr varant vede k určtým výsledkům, které mohou být z hledska zámu rozhoduícího se subektu horší nebo lepší. Raconální účastník rozhoduící se subekt vychází z pozorování možných výsledků a uslue o výběr (v stém smyslu) nelepší varanty. Indferentní (neraconální) účastník subekt pro který e lhostený výsledek rozhodovací stuace (počasí,...). 200 MSC. Prmární 9A05; Sekundární 9A80. Klíčová slova. teore her, matcové hry. Práce byla podporována proektem A-Math-Net - Síť pro transfer znalostí v aplkované matematce (CZ..07/2.4.00/7.000).
80 J. HRDINA a P. VAŠÍK Předpokládáme, že rozhodovací stuace má alespoň ednoho raconálního účastníka a hledáme odpověď, aké rozhodování raconálního účastníka můžeme pokládat v dané rozhodovací stuac za optmální. Dělení rozhodovacích stuací:. (a) Rozhodovací stuace se skalárním ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott ednou charakterstkou). (b) Rozhodovací stuace s vektorovým ohodnocením (rozhodnutí e možné hodnott více charakterstkam). 2. (a) Rozhodovací stuace s edním (nutně raconálním) účastníkem. (b) Rozhodovací stuace s více (alespoň edním raconálním) účastníky. 3. (a) Nekonflktní rozhodovací stuace (s edním účastníkem a skalárním ohodnocením (matematcké programování)). (b) Konflktní rozhodovací stuace (s větším počtem raconálních účastníků případně alespoň edním ndferentním, nebo s vektorovým ohodnocením (ech kombnace)). Teore her řeší konflktní rozhodovací stuace s větším (ne edním) počtem raconálních účastníků a se skalárním ohodnocením. Jako další musíme zavést formalsmus, který nám umožní zformulování matematckého modelu. Uvažueme následuící obekty: množnu raconálních účastníků Q = {, 2,..., n}, množnu ndferentních účastníků R = {, 2,..., m}. Množnu alternatv rozhodování raconálního účastníka q P X q = {X q,..., X kq q }. Množnu možných stavů vznklých v důsledku působení ndferentního účastníka r R Y r = {Yr,..., Yr lr } a výsledek rozhodovací stuace n m V = X Y. = Zsk q tého účastníka na úkor tého účastníka, pro (x, y) V realzueme vektorem M q (x, y) M q (x, y) =., Mq n (x, y) kde M q : V R. Defnce.. Matematckým modelem rozhodovací stuace v normálním tvaru nazýváme následuící záps: { } Q = {,..., n} X,..., X n M,..., M n. R = {,..., m} Y,..., Y m Defnce.2. Raconální účastník q Q se chová tak, že pokud = M s q (x, y ) M s q (x 2, y 2 ), s =,..., n
a alespoň pro edno s platí: MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 8 M s q (x, y ) > M s q (x 2, y 2 ), pak upřednostňue alternatvu (x, y ) před (x 2, y 2 ). Některé způsoby, ak e možné teor her dělt, sou následuící:. (a) Hry dvou hráčů. (b) Hry n hráčů. 2. (a) Konečná hra - konečné množny strategí. (b) Nekonečná hra - množna strategí alespoň ednoho hráče e nekonečná. 3. (a) Hra s konstantním součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = c. q Q q (b) Hra s nulovým součtem plateb (x, y) V, Mq(x, y) = 0. q Q q 4. (a) Nekooperatvní hry hry bez možnost uzavírat koalce. (b) Koalční hry hry s možnost uzavírat koalce. Tématem tohoto textu sou především matcové hry, ale záemce o další parte teore her můžeme odkázat na klascké monografe [5, 4, 3]. Ve slovenštně e možné ke studu použít například knhu [2]. Z nternetových zdroů v češtně doporučueme []. 2. Matcové hry Většnu pomů, se kterým budeme pracovat budeme postupně demonstrovat na následuícím příkladě. Dvě energetcké společnost, označme s e W a G chtěí postavt elektrárnu poblíž ednoho ze čtyř měst A, B, C, D, které sou od sebe vzdáleny následuícím způsobem: A 0 B 20 C 60 D 00 Každé domnantní pokrytí odpovídá právě proporconální délce úseku. Pokud například společnost W postaví elektrárnu v bodě B a společnost G v bodě C, bude společnost W domnantní na úseku AB a na půlce úseku BC (to dělá 40% celého území), kdežto společnost G bude domnantní na úseku CD a na půlce úseku BC (to dělá ale 60% území). Elektrárna musí být umístěna v ednom z bodů A, B, C, D. Jako první musíme ze slovního zadání vytvořt matematcký model, t. Q = {, 2}, R = X = (X = A, X 2 = B, X 3 = C, X 4 = D) X 2 = (X2 = A, X2 2 = B, X2 3 = C, X2 4 = D) V = X X 2
82 J. HRDINA a P. VAŠÍK M (X, X2 ) = 50 M (X, X2 2 ) = 0 M (X, X2 3, ) = 30 M (X, X2 4 ) = 50 M (X 2, X2 ) = 90 M (X 2, X2 2 ) = 50 M (X 2, X2 3, ) = 40 M (X 2, X2 4 ) = 60 M (X 3, X2 ) = 70 M (X 3, X2 2 ) = 60 M (X 3, X2 3, ) = 50 M (X 3, X2 4 ) = 80 M (X 4, X2 ) = 50 M (X 4, X2 2 ) = 40 M (X 4, X2 3, ) = 20 M (X 4, X2 4 ) = 50 M 2 (X, X2 ) = 50 M 2 (X2, X2 2 ) = 90 M 2 (X, X2 3, ) = 70 M 2 (X, X2 4 ) = 50 M 2 (X 2, X2 ) = 0 M 2 (X 2, X2 2 ) = 50 M 2 (X 2, X2 3, ) = 60 M 2 (X 2, X2 4 ) = 40 M 2 (X 3, X2 ) = 30 M 2 (X 3, X2 2 ) = 40 M 2 (X 3, X2 3, ) = 50 M 2 (X 3, X2 4 ) = 20 M 2 (X 4, X2 ) = 50 M 2 (X 4, X2 2 ) = 60 M 2 (X 4, X2 3, ) = 80 M 2 (X 4, X2 4 ) = 50 U příkladu energetckých společností máme tedy dva hráče a zsk ednoho znamená automatcky ztrátu druhého. Takové hře se říká antagonstcká hra dvou hráčů a není těžké s představt, že e možné takovou hru reprezentovat matcí: 50 0 30 50 90 50 40 60 70 60 50 80. 50 40 20 50 Hrám, které lze reprezentovat matcí, se říká matcové hry. Formálně e matcová hra konečná hra dvou hráčů s konstantním (nulovým) součtem. To, že e hru dvou hráčů s konstantním součtem možné reprezentovat en matcí plateb prvního hráče M, plyne přímo z následuícího faktu. Pokud e hra s konstantním součtem, platí M (x, y) + M 2 (x, y) = c a e tedy možné vyádřt matc plateb druhého hráče pomocí matce plateb prvního hráče: M 2 (x, y) = c M (x, y). V našem příkladě se edná o matcovou hru s konstantním součtem, kde c = 00. Defnce 2.. Hrou dvou hráčů v normální formě s konstantním součtem (matcovou hru) nazýváme hru { Q = {, 2} X, Y M(x, y) c }, kde matcí plateb rozumíme matc M = M(x, y ) M(x, y n )... M(x m, y ) M(x m, y n ) Z defnce e asné, že nedává smysl uvažovat možnou spoluprác hráčů (čím víc eden získá tím víc druhý ztratí). Takové hry se nazývaí antagonstcké (nekooperatvní). Matcová hra se tedy hrae tak, že první hráč vybírá řádek a druhý hráč sloupec. Příslušné číslo v matc e pak platba prvního hráče. Defnce 2.2. Stratege =,..., m a =,..., n nazýváme čsté stratege prvního a druhého hráče. Pokud první hráč volí tou čstou strateg, potom může s určtostí zabezpečt, že eho platba bude alespoň mn a..
MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 83 Vzhledem k tomu, že chce ale zabezpečt co možná nevyšší platbu, uvažue přnemenším o platbě mn a. Druhý hráč chce mnmalzovat platbu prvního hráče, ta však nebude vyšší než a druhý hráč tedy volí strateg mn a a. Z toho tedy vyplývá, že volbou čsté stratege může první hráč zabezpečt, že eho platba nebude nžší než mn a, přčemž druhý hráč může vhodnou volbou stratege zastt, aby eho platba nebyla vyšší než mn a Pokud by tyto úvahy obou hráčů nebyly ve sporu znamenalo by to, že svou volbou zaručí, že případná změna prothráčovy stratege by pro prothráče nebyla výhodná a může se tedy spolehnout, že prothráč strateg nezmění. Můžeme říct, že kdo pak uhne, tak s nepolepší. V příkladě s energetckým společnostm se edná o matcovou hru s matcí plateb: 50 0 30 50 90 50 40 60 70 60 50 80. 50 40 20 50 Máme tedy: mn a = 0 mn a 2 = 40 mn a 3 = 50 mn a 4 = 20 a = 90 a tentokrát a 2 = 60 mn a = mn a 3 = 50 a = 50, mn a = 50 a 4 = 80 mn a = 50 exstue tedy čstá optmální stratege a de o strateg, kdy s obě energetcké společnost postaví elektrárnu u steného města, a to na místě C. Toto dává smysl následuícím defncím: Defnce 2.3. Sedlovým bodem matce A = (a ) nazýváme takový eí prvek a pro který platí mn a = mn a. Defnce 2.4. Takové stratege 0, 0, že ( 0, 0 ) e sedlový bod matce plateb A, nazýváme čstým optmálním strategem prvního a druhého hráče v matcové hře. Číslo v = a 0 0 nazýváme hodnotou této hry. Troc ( 0, 0, v) nazýváme řešením matcové hry v čstých strategích. Uvedeme s příklad hry, která sce není matcová, ale demonstrue edno z úskalí tohoto přístupu. Následuící příklad e v lteratuře uváděný ako Braessův paradox. V následuícím dagramu se deset hráčů (aut) rozhodue estl poede ze startu do cíle přes bod A, nebo bod B. Například pokud 6 aut poede přes bod A a čtyř přes
84 J. HRDINA a P. VAŠÍK bod B. Doba průezdu přes bod A bude 6, přes bod B bude 4. Tato stratege není rovnovážné, pokud edno auto proížděící bodem A svou strateg změní místo 6 dorazí do cíle za 5 a tím s polepší. Rovnovážná stratege e 5 a 5 a celková doba průezdu každého auta e stená a e to 5. start 0 x x B cíl Všmněme s ak by se stuace změnla pokud bychom graf doplnl o vysokorychlostní zkratku mez body A a B, bez úmy na obecnost í ohodnotíme nulou. Rozdělení 5 a 5 ž není rovnovážné, pokud edno z aut edoucí horní cestou využe spoku klesne eho doba průezdu z 5 na. start 0 0 x x B cíl Jedná rovnovážná stuace e v tomto případě taková, že všechny auta využí rychlostní spoky. Doba průezdu každého auta tím ale vzroste z 5 na 20. V lteratuře e toto uváděno ako paradox v tom smyslu, že zdánlvé vylepšení dopravní sítě vede paradoxně ke zpomalení dopravy a v dopravních sítích větších měst e tato stuace př plánování dopravy řešena. Ve skutečnost se ale edná o případ hry kdy e sedlový prvek matce, t rovnovážná stratege e odlšný od optmální stratege. Toto formalzue takzvaná Míra anarche defnovaná ako podíl rovnovážné a optmální. V našem případě e to 20 5 = 4 3 a čím více se tato hodnota lší od čísla o to více e tento systém nestablní. Věta 2.5. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a předpokládeme že exstuí velčny Potom mn mn f(x, y), mn A A 0 0 y Y x X f(x, y) mn y Y x X f(x, y). f(x, y). Důkaz. Z defnce mnma a ma víme, že pro lbovolné zadané x X platí a pro lbovolné zadané y Y platí Proto pro všechna x X a y Y platí mn y Y mn f(x, y) f(x, y) y Y f(x, y) f(x, y). x X f(x, y) f(x, y). x X Vzhledem k tomu, že pravá strana nerovnce nezávsí na x X tedy mn f(x, y) f(x, y). x X
MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 85 A vzhledem k tomu, že levá strana nerovnce nezávsí na y Y, dostaneme celkem mn f(x, y) mn y Y x X f(x, y). Defnce 2.6. Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y. Sedlovým bodem této funkce vzhledem k množně X Y nazýváme takový bod (x 0, y 0 ) X Y, že pro všechny x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Věta 2.7 (Věta o sedlovém bodu). Nechť f(x, y) e reálná funkce defnovaná pro x X a y Y a nechť exstuí velčny x X mn y Y f(x, y) a mn y Y x X f(x, y). Pak funkce f(x, y) má sedlový bod na množně X Y právě tehdy, když platí mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y). Navíc pokud (x 0, y 0 ) e sedlový bod funkce f(x, y) na množně X Y, pak mn f(x, y) = mn y Y x X f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Důkaz.. Nechť (x 0, y 0 ) X Y e sedlový bod funkce f(x, y). Pak podle Defnce 2.6. pro všechna x X a y Y platí f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) f(x 0, y). Z toho vyplývá, že x X f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) mn y Y f(x 0, y). Vzhledem k tomu, že obecně platí a mn y Y x X f(x, y) x X f(x, y 0) mn f(x 0, y) y Y protože f(x 0, y 0 ) e sedlový bod, platí mn y Y x X Současně podle Věty 2.5. platí A tedy celkem mn mn mn f(x, y) f(x, y) mn f(x, y) = mn mn y Y x X y Y x X f(x, y), f(x, y). f(x, y). f(x, y). Z důkazu e zřemé, že se výraz také musí rovnat f(x 0, y 0 ). 2. Nechť e splněna rovnost ve znění věty. Dále předpokládeme, že funkce mn y Y f(x, y) nabývá svého ma v bodě x 0 X a funkce x X f(x, y) svého mnma v bodě y 0 Y, t. platí mn f(x 0, y) = y Y mn f(x, y 0) = mn x X y Y x X f(x, y), f(x, y).
86 J. HRDINA a P. VAŠÍK Ukážeme, že dvoce (x 0, y 0 ) X Y e sedlovým bodem funkce f(x, y). Na základě předpokladu o splnění rovnost máme Z defnce mnma vyplývá a z defnce ma Celkem mn f(x 0, y) = f(x, y 0). y Y x X mn f(x 0, y) f(x 0, y 0 ), y Y f(x, y 0) f(x 0, y 0 ). x X f(x, y 0 ) x X f(x, y 0) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna x X. Analogcky f(x 0, y) mn y Y f(x 0, y) = x X f(x, y 0) f(x 0, y 0 ), pro všechna y Y, a tedy (x 0, y 0 ) X Y e z defnce sedlovým bodem. Všmněme s eště edné důležté vlastnost matcových her. Pokud e některý řádek matce ve všech sloupcích větší než ný, nemá pro prvního hráče smysl příslušnou strateg hrát. Defnce 2.8. Řekneme, že vektor a = (a,, a n ) T domnue (ostře) vektoru b = (b,, b n ) T, pokud pro všechna =,, n platí a b (a > b ). Věta 2.9. Optmální stratege hráčů v matcové hře se nezmění, pokud k matc plateb přpočteme lbovolnou konstantu ξ nebo pokud matc plateb vynásobíme lbovolnou kladnou konstantou β. Na závěr kaptoly s ukážeme příklad hry pro kterou sedlový bod v čstých strategích neexstue. Příklad 2.0. Měme dva frekvenční generátory generuící stený perodcký výstup. První generátor do sgnálu kódue nformac kterou chceme přenést. Druhý generátor se snaží vyslat sgnál s opačnou frekvencí. První generátor může vyslat opačný sgnál bez nformace f. Cílem prvního generátoru e sgnál přenést, druhého vyrušt. Pokud oba zvolí f sgnál se zesílí a zsk prvního hráče ohodnotíme 4 pokud oba zvolí f sgnál se nevyruší ale příemce pozná, že e vysílač rušen a zsk prvního hráče ohodnotíme 2. Pokud sou frekvence opačné sgnál se vyruší a zsk prvního hráče ohodnotíme 3. Jde tedy o matcovou hru s matcí plateb ( f f) f 2 3 f 3 4 a konstantou c = 0. V tomto příkladě máme tedy mn a = 3, mn a 2 = 3, mn a = 3, a = 2, a 2 = 4, mn a = 2. Platí tedy mn a < mn a a čstá optmální stratege neexstue.
MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 87 3. Smíšené optmální stratege Pokud nemá matcová hra čstou optmální strateg, platí mn a < mn a. V tomto případě se př opakování hry, t. př ednotlvých partích, bude první druhý hráč snažt opakovat čsté stratege s takovou pravděpodobností, aby v průměru první hráč získal více než en mn a a druhý hráč se snaží zastt, aby první získal méně než mn a. Tady každý hráč přřazue každé své čsté strateg určtou pravděpodobnost, s akou í bude používat. Defnce 3.. Smíšenou strategí prvního hráče nazýváme m rozměrný vektor x = (x,..., x m ) T, pro který platí m x =, x 0. = Smíšenou strategí druhého hráče budeme nazývat n rozměrný vektor pro který platí Množny y = (y,..., y n ) T, y =, y 0. = S m = {x E m, S n = {y E n, m x =, x 0}, = y =, y 0} nazýváme množnou smíšených strategí prvního a druhého hráče. = Každá čstá stratege odpovídá smíšené Defnce 3.2. Funkc x = (0,..., 0,, 0,..., 0) T. E(x, y) = m = = a x y = x T Ay defnovanou pro x S m a y S n nazýváme funkcí střední hodnoty platby v matcové hře. Steným úvaham odvodíme, že první hráč volbou smíšené stratege může docílt toho, že střední hodnota eho platby bude nžší než mn E(x, y), y S m x S n přčemž druhý hráč může zastt, aby střední hodnota plateb prvního byla nžší než mn E(x, y). y S m x S n
88 J. HRDINA a P. VAŠÍK Víme, že pro každou funkc platí a pokud platí rovnost exstue sedlový bod. mn E(x, y) mn E(x, y) y S m y S m x S n x S n mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n Defnce 3.3. Nechť (x, y) e sedlový bod funkce E(x, y) vzhledem k S m S n. Vektory x respektve ȳ nazýváme optmálním smíšeným strategem prvního respektve druhého hráče v příslušné matcové hře a číslo v = E( x, ȳ) nazýváme hodnotou této hry. Troc ( x, ȳ, v) nazýváme řešením matcové hry ve smíšených strategích. Vrátíme se opět k příkladu 2.0, t. k matcové hře s matcí plateb ( ) 2 3, 3 4 přčemž už víme, že čstá optmální stratege neexstue a hra má řešení pouze ve smíšených strategích x = ( 7 2, 5 2 )T a ȳ = ( 7 2, 5 2 )T. Toto řešení teď en ověříme, hodnota hry e: E( x, ȳ) = ( 7 2, 5 ( ) ( 2 3 7 ) 2 ) 2 5 = 3 4 2 2, pokud první hráč strateg změní, nepolepší s (an s nepohorší ale to z defnce sedlového bodu neřešíme) E(x, ȳ) = (x, x 2 ) ( 2 3 3 4 ) ( 7 2 5 2 ) ( ) = (x, x 2 ) 2 = 2 2 x 2 x 2 = 2 (x + x 2 ) = 2, pokud změní druhý hráč strateg, také s nepolepší: E( x, y) = ( 7 2, 5 ( ) ( ) 2 3 2 ) y = 3 4 y 2 2. Pro nalezení řešení hry ve smíšených strategích budeme potřebovat aparát lneárního programování. Úloha lneárního programování e úloha mnmalzovat, nebo malzovat lneární polynom na něaké množně určené lneárním nerovncem, například malzovat funkc x + x 2 za podmínek x 0, x 2 0 a Matcově, malzovat x + 2x 2 4, 4x + 2x 2 2, x + x 2. ( ) ( ) x, x 2
za podmínek MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 89 2 ( ) 4 4 2 x 2, x 2 ( x ) x 2 ( 0 0). Defnce 3.4. O následuící dvoc úloh lneárního programování, říkáme, že sou duální:. malzovat c T x za podmínek Ax b a x 0, 2. mnmalzovat y T b za podmínek y t A c T a y 0, kde c, x R n, b, y R m a A Mat(m, n). Duální problém k našemu příkladu e mnmalzovat funkc 4y + 0y 2 + y 3 za podmínek y 0, y 2 0, y 3 0 a y + 4y 2 y 3, 2y + 2y 2 + y 3. Věta 3.5 (J. von Neuman, J. Nash). Pro každou matcovou hru platí mn E(x, y) = mn E(x, y), y S m y S m x S n x S n a tedy exstue sedlový bod funkce E(x, y) na množně S m S n. Tedy každá hra má řešení ve smíšených strategích. Důkaz. Zformulueme s dvě duální úlohy lneárního programování: Maxmalzovat ω za podmínek: m a x + ω 0,, = m x =, = x 0, Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0,, = y =, = y 0 pro =,, m, =,, n. Tyto dvě úlohy sou duální a to z hledska lneárního programování znamená, že maí stenou množnu přípustných řešení (t. řešení, která splňuí dané nerovnost) a současně, pokud exstue optmální řešení edné, exstue optmální řešení druhé
90 J. HRDINA a P. VAŠÍK a výsledná hodnota účelové funkce e stená. Pokud zvolíme za příslušná a prvky matce hry, dostaneme optmální řešení, které bude rovno sedlovému bodu funkce E(x, y), a tedy optmální strategí příslušné matcové hry. Poznameneme nakonec, že toto řešení není dané ednoznačně. Bez důkazu uvádíme následuící dvě věty: Věta 3.6.. Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké k ( k m) exstuí čísla α ( k) taková, že pro všechna =,..., n máme α =, k α a a k, k potom exstue optmální stratege prvního hráče x S m, eíž složkou e x 0 = 0. 2. Pokud ve hře s matcí plateb A = (a ) typu m n platí, že pro něaké t ( t n) exstuí čísla β ( t) taková, že pro všechna =,..., m máme β =, t β a a t, t potom exstue optmální stratege druhého hráče x S n, eíž složkou e ȳ 0 = 0. Například v matcové hře s matcí plateb 2 4 6 6 8 2 3 5 3 exstue k = 3, α = α 2 = 2 takové, že pro všechna =, 2, 3 platí α a +α 2 a 2 a 3. Exstue tedy optmální stratege pro kterou e x 3 = 0. Z důkazu Nashovy věty víme, že optmální smíšená stratege matcové hry s matcí A e optmálním řešením dvoce úloh lneárního programování. Potřebueme ale tyto úlohy převést na tvar, který umíme řešt. Jako výchozí úlohu použeme Mnmalzovat u za podmínek: a y + u 0, = y =, = y 0. pro =,, m, =,, n. Z předešlých vět víme, že matc plateb můžeme přčtením vhodné konstanty upravt tak, aby a 0, tedy hodnota účelové funkce u e kladná a můžeme nerovnost dělt beze změny směru nerovnost.
zavedeme substtuc q = y u MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 9 Mnmalzovat u za podmínek: y a u + 0, = = y y u = u, u 0. a dostaneme Mnmalzovat u za podmínek: a q, = q = u, = q 0. Mnmalzovat funkc u e to samé ako malzovat funkc n = q a dostáváme výsledný tvar: Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0 tedy tvar, který umíme řešt ak uvdíme v další kaptole. 4. Smplexová metoda Úlohu lneárního programování můžeme chápat ako nalezení extrému (ma nebo mnma) lneární funkce více proměnných př vedleších podmínkách, které sou vyádřeny lneárním rovncem nebo nerovncem. Exstue několk formulací základní úlohy lneárního programování, my budeme pracovat s následuícím omezuícím podmínkam: a x + a 2 x 2 + + a n x n b, a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2, a m x + a m2 x 2 + + a mn x n b m, kde m < n a x 0. Jako první krok doplníme soustavu o pomocné proměnné x, x m tak, aby platla následuící soustava rovnc: a x + a 2 x 2 + + a n x n + x = b,
92 J. HRDINA a P. VAŠÍK a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n + x 2 = b 2, a m x + a m2 x 2 + + a mn x n + x m = b m, kde m < n a b 0. Všmněme s, že soustava má řešení: x = x n = 0, x = b,, x n = b m. Proměnné x,, x m sou ale pomocné a řešení v základních proměnných e x = x n = 0. Našm cílem e malzovat funkc z = c x + c n x n + d, přčemž pro naše řešení x = = x n = 0 e hodnota účelové funkce rovna d. Přdáme s ako další řádek soustavy účelovou funkc z c x c n x n = d, tím ale přdáme eště ednu proměnnou z (kterou chceme malzovat). Matce soustavy pak vypadá následovně: 0 a a 2 a n 0 0 b 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 b 2....... 0 a m a m2 a mn 0 0 b m c c 2 c n 0 0 0 d Zamysleme se teď nad tím, ak naít né řešení. Máme soustavu m rovnc o m+n neznámých takovou, že n proměnných e základních. Další řešení můžeme získat tak, že pomocí řádkových elementární úprav vynulueme něaký další sloupec. Abychom se rozhodl který, musíme se podívat na poslední řádek soustavy z c x c 2 x 2 c n x n = d. Protože všechna x sou kladná můžeme zvýšt hodnotu účelové funkce z en pokud vybereme takové c, které e kladné, tedy takový prvek matce který e záporný. V našem algortmu pak vybereme to nemenší číslo (číslo s nevětší absolutní hodnotou), protože u něho e předpoklad, že účelovou funkc zvýšíme nevíce. Vybraný sloupec bychom pak chtěl přdat k ednotkové matc, ale eště nevíme, vůč kterému řádku budeme sloupec nulovat. Představme s tedy, ak budou vypadat příslušná řešení pro x = 0, k pokud zanedbáme pomocné proměnné x : x = b a k x k, x 2 = b 2 a 2k x k,. x m = b m a mk x k. S ohledem na podmínky nezápornost musí platt: x k b a k.
Vybereme řádku s nemenším podílem MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 93 x k mn b a k = b s a sk pro =, 2,..., m, t. předpokládáme, že nemenší podíl e v s té řádce soustavy. Proměnnou x k nazýváme vstupuící proměnnou a proměnnou x s vystupuící proměnnou. Na závěr s všechno ukážeme na příkladu. Maxmalzute z = 4x + 2x 2 za podmínek x 3x 2 9, 2x + 3x 2 8, 2x x 2 0, kde x 0. Smplexová matce má tvar 0 3 0 0 9 0 2 3 0 0 8 0 2 0 0 0 4 2 0 0 0 0 Záporné hodnoty v posledním řádku sou dvě, -4 a -2, vybereme tu menší, podělíme sloupec pravých stran příslušným koefcenty (pokud sou kladné) a dostaneme: 0 3 0 0 9 8 0 2 3 0 0 8 2 0 0 2 0 0 0. 2 4 2 0 0 0 0 Vybereme ten nemenší podíl, tedy 0 2 a nulueme druhý sloupec vzhledem k podtržené dvoce ve třetím řádku 0 3 0 0 9 0 2 3 0 0 8 0 2 0 0 0. 4 2 0 0 0 0. Po provedení příslušných řádkových elementárních úprav tedy dostaneme 5 0 0 2 0 2 4 0 0 4 0 8 0 2 0 0 5. 0 4 0 0 2 20 Zlepšené řešení e x = 5, x 2 = 0, x = 4, x 2 = 8, x 3 = 0 a hodnota účelové funkce e z = 20. V posledním řádku e už en edno záporné číslo -4. Opět porovnáme podíly 5 28 0 0 2 0 2 4 5 0 0 4 0 8 2 0 2 0 0 5 0 4 0 0 2 20
94 J. HRDINA a P. VAŠÍK a vyberme druhý řádek 0 0 0 5 9 8 8 9 0 0 0 4 4 2 3 0 0 0 8 8 6. 0 0 0 28 Výsledné řešení e a hodnota účelové funkce e z = 28. x = 6, x 2 = 2, x = 9, x 2 = 0, x 3 = 0 5. Algortmus Výchozí úloha pro matcovou hru s matcí plateb {a } e Maxmalzovat q za podmínek: = a q, = q 0. Pokud q = (q,..., q n ) e lbovolné optmální řešení, pak q x = m = q e optmální smíšenou strategí prvního hráče a číslo u = e hodnotou v příslušné matcové hře. m = q 6. Příklad Měme dva roboty označené symbolem a 2 na šachovnc, kteří sou v základní poloze vz obrázek: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka. Výchozí pozce.
MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 95 Každý z těchto robotů má 8 možností pohybu na políčka označená A až H. Oba robot se současně pohnou, následně změříme ech vzdálenost. Tu defnueme takto:. Vzdálenost dvou políček se společnou stranou e 0. 2. Vzdálenost dvou políček se společným vrcholem e. 3. Vzdálenost dvou políček bez společného vrcholu nebo strany e délka nekratší cesty mez nm, přčemž délka ednoho celého políčka př průchodu horzontálně nebo vertkálně e 2 a př průchodu dagonálně e 3. Zda políčko procházíme horzontálně, vertkálně nebo dagonálně se rozhodue podle způsobu vstupu do tohoto pole. Úkolem robota e vzdalovat se od robota 2 a naopak. Tabulku vzdáleností mez pozcem robotů tedy lze chápat ako defnc výplatní funkce robota, bude tedy dána matcí: Q = A B C D E F G H A 4 5 6 6 8 8 9 0 B 5 4 5 7 7 9 8 9 C 6 5 4 7 6 0 9 8 D 2 3 5 4 5 6 7 8. E 5 3 2 6 4 8 7 6 F 0 4 2 5 4 5 6 G 0 3 3 5 4 5 H 4 0 5 2 6 5 4 Budeme-l hledat rovnovážný stav mez čstým strategem, vyde nám: mn mn Q = 4, Q = 5. Neexstue tedy čstá optmální stratege. Budeme-l uvažovat pravděpodobnostní rozšíření této hry, budeme za strateg považovat vektor x = (x,..., x 8 ) s vlastostm n = x = a x 0 pro všechna =,..., 8. Budeme tedy úlohu řešt dle předchozího algortmu ako úlohu lneárního programování, kde a budou prvky matce plateb A. Vzhledem k velkost matce nademe řešení pomocí něakého softwaru, konkrétně vyde což vede na strateg x = q 8 = q = q = ( 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0), 0 { / 0 / 0+ / 0 = / 2 pro =, 3 0 pro = 2, 4,..., 8 Optmální smíšenou strategí tedy bude vektor x = ( / 2, 0, / 2, 0, 0, 0, 0, 0) a hodnotou hry e u = 8 = q = 5.
96 J. HRDINA a P. VAŠÍK To znamená, že robot se pohne s pravděpodobností / 2 na pozc A nebo se stenou pravděpodobností na pozc C a eho vzdálenost od robota 2 bude 5. Tato stratege dává smysl, protože dostává robota co nedále od robota 2. Zamysleme se nad tím, ak tuto hru řešt bez použtí počítače. Všmneme s například, že 4. až 8. řádek e domnován 3. řádkem, lze e tedy z matce vypustt. Steně 4. až 8. sloupec domnuí sloupce až 3. Zůstane tedy pouze matce 3 3, konkrétně Q = 4 5 6 5 4 5 6 5 4 Snadno zkontrolueme, že an zde není optmální čstá stratege. Nyní provedeme pravděpodobnostní rozšíření a řešíme úlohu lneárního programování malzovat funkc z = q + q 2 + q 3 za podmínek: 4 5 6 5 4 5 6 5 4 Úvodní smplexová tabulka bude tvaru q q 2 q 3 p, p 2, p 3 0. 0 4 5 6 0 0 0 5 4 5 0 0 0 6 5 4 0 0 0 0 0 0,. Po elmnac vzhledem k prvku ve čtverečku dostaneme 0 0 5 / 0 3 / 3 0 0 / 3 0 0 / 5 6 / 3 0 5 / 6 / 6 0 5 / 2 6 / 3 0 0 / 6 / 6. 0 / 6 / 3 0 0 / 6 / 6 Posledním krokem e elmnace vzhledem k prvku ve čtverečku, čímž dostaneme 0 0 / 2 3 / 0 0 0 / 0 0 0 7 / 6 0 / 2 5 / 6 0 0 / 2 0 / 5 0 / 6 / 0. 0 0 0 / 0 0 / 2 6 / 5 Tím elmnace končí, protože poslední řádek už neobsahue žádná záporná čísla. Řešením tedy e vektor ( / 0, 0, / 0 ) a optmální smíšenou strategí e vektor ( / 2, 0, / 2 ), tedy řešení stené. Uvažueme-l tuto hru ako hru s konstantním součtem 0, tedy hodnoty nevětší možné vzdálenost, pak z pohledu robota 2 získáme matc plateb B ako rozdíl
MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ 97 R = 0 Q. Po pravděpodobnostním rozšíření a vyřešení úlohy lneárního programování vyde ako rovnovážná smíšená stratege vektor (0, / 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0). Robot 2 se tedy s pravděpodobností pohne na pozc B, což odpovídá čsté strateg. Toto řešení opět dává smysl, protože posunue robota 2 co neblíže k robotov. V dalším kole bude základní pozce robotů následuícího tvaru: A B C D E F G H A B C D 2 E F G H Tabulka 2. Výchozí pozce 2. Funkce plateb tedy bude realzována matcí A B C D E F G H A 5 4 5 7 7 9 8 9 B 6 5 4 8 6 0 9 8 C 8 6 5 9 7 0 9 D 3 2 3 5 5 7 6 7. E 7 5 3 8 5 9 8 7 F 0 3 3 5 4 5 G 4 0 5 2 6 5 4 H 6 4 7 3 8 6 5 V tomto případě exstue čstá rovnovážná stratege, a to (C,C) s hodnotou hry 5. Pokud tímto způsobem rozebereme další možná výchozí postavení, například stuac v rozích, lze určt pohyb robotů po celé šachovnc tak, aby se robot nesrazl a přtom s byl stále co neblíž. V nženýrství se například řeší podobný problém - zachování vdtelnost ednoho obektu pro obekt ný, a to například v prostředí s překážkam ve vdtelnost. Pokud bychom chtěl naš hru modfkovat tímto směrem, zamezl bychom vstup na některá políčka šachovnce. 7. Výpočtová prostředí Pro řešení matcových her můžeme použít všechna standardní výpočtová prostředí. V prostředí Mathematca R e možné použít proceduru LnearProgrammng a v prostředí Matlab R proceduru lnprog. Vyřešíme příklad z předešlé kaptoly v prostředí Matlab R, ale protože lnprog standardně pracue s duální úlohou lneárního programování než e naše zadání, úlohu malzovat funkc z = q +
98 J. HRDINA a P. VAŠÍK q 2 + q 3 za podmínek 4 5 6 5 4 5 6 5 4 q q 2 q 3 q, q 2, q 3 0. musíme převést na duální úlohu úlohu mnmalzovat funkc z = r + r 2 + r 3 za podmínek: 4 5 6 r 5 4 5 r 2, 6 5 4 r 3 r, r 2, r 3 0. Protože prostředí lnprog pracue se omezuícím podmínkam tvaru Ax b, lb x ub e zadání úlohy kód tvaru: f = [; ; ];, A = [ 4, 5, 6; 6, 4, 5; 6, 5, 4]; b = [ ; ; ]; lb = zeros(3, ); Pomocí příkazu [x] = lnprog(f,a,b,[],[],lb); dostaneme výsledek x = 0.0974 0.0053 0.0974, což e po normování (0.486, 0.026, 0.486). To přblžně odpovídá hodnotě vypočtené ( 2, 0, 2 ). Reference [] Magdalena Hykšová: Teore her a optmální rozhodování, onlne texty, http://euler.fd.cvut.cz/predmety/teore her/. [2] Mchal Chobot, Akkuĺ Turnovcová: Metody rozhodovana v konflktných stuácách a za neurčtost, Alfa, Bratslava, 980. [3] J. González-Díaz, I. García-Jurado, M. G. Festras-Janero: An Introductory Course on Mathematcal Game Theory, AMS Graduate Studes n Mathematcs 4, 200. [4] J. McKnsey: Introducton to the Theory of Games, The Rand Seres, Stanford Unversty, 952. [5] M. J. Osborne, A. Rubnsten: A Course n Game Theory, The MIT Press, 994. Jaroslav Hrdna, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, 66 69 Brno, Česká republka, e-mal: hrdna@fme.vutbr.cz Petr Vašík, Ústav matematky, Fakulta stroního nženýrství, Vysoké učení techncké v Brně, Techncká 2, 66 69 Brno, Česká republka, e-mal: vask@fme.vutbr.cz