Časové řad ěření sezónnosi Měření sezónnosi U noha časových řad exisue závislos hodno zeéna ěsíčních a čvrleních údaů na sřídaících se ročních obdobích. U noha eonoicých evů se vsue věší nebo enší sezónní olísaní. Poud e časová řada periodicá (clicá, sezónní, ráodobá), e nuno uvažova periodicé výv od rendu. Charaerisi periodicé slož: déla period (frevence) záladní hlediso pro rozdělení periodicé slož na ráo-, sředně- a dlouhodobou (sřednědobá sezónní složa), apliuda velios vývu, e buď sálá, nebo proěnlivá, fázový posun určue polohu ini a axi periodicé slož. Poeí sezónnosi: proporcionální sezónnos apliuda sezónní slož orespondue se sěre rendu, sezónnos se ěří poocí bezrozěrného sezónního indexu, erý se rendová složa násobí, onsanní sezónnos apliuda sezónní slož e sálá, bez ohledu na sěr rendu, sezónnos se ěří poocí rozěrné rendové složce přičíá. sezónní onsan, erá se V obou případech beree sezónní složu ao deerinisicou a neěnnou v celé časové úseu. Sbolia:, T sou hodno časové řad a eí rendové slož v -é dílčí období (ěsíc, čvrleí) i-é period (ro), přičež i,,..., (déla řad e le) a,,..., ( 4, ) poče dílčích období uvniř period e obecně, praic buď čři čvrleí nebo dvanác ěsíců. Déla časové řad n. Při vváření aeaicého odelu uvažuee, že odhaduee hodnou uazaele v průběhu le a v ráci rou ešě v dílčích sezónách, eré se aždý ro opauí např. 4 čvrleí. Pro nalezenou hodnou uazaele v i-é roce a v -é sezóně (např. v roce 003, v léě) ůžee napsa T + S + e,
Časové řad ěření sezónnosi de T, S, e, sou posupně odhad hodno rendu, odhad hodno sezónního vývu a odhad chb (reziduu) pro sledované období. Při vhodnocování se snažíe naí onsanní efe, erý se proevue určiá sezóna (např. léo) v aždé roce. Maeaicé odel uvažuí sezónní vliv buď proporcionální či onsanní. Model sezónních vývů proporcionální odel onsanní odel Triviální poeí sezónnosi Budee vcháze z předpoladu proporcionální sezónní slož neednodušší uazaele sezónnosi e epiricý sezónní index. Posup sanovení sezónní slož s použií epiricého sezónního indexu: sanovíe rendovou složu T časové řad něerou ze znáých eod, např. vrovnání rendovou příou při zavedení časové proěnné (viz ěření rendu), even. včeně předpovědi na příší ro (ro),
Časové řad ěření sezónnosi porovnáe podíle rendovou složu s hodnoai časové řad I, T z hodno I za shodná dílčí období vpočee epiricý sezónní index ao prosý arieicý průěr I I i pro,,...,, přičež přibližně plaí I, Rozlišuee dvě časové souřadnice pořadí period a pořadí dílčího období uvniř period: n., n - déla časové řad se sezónní složou, poče period (le) poče dílčích období uvniř period (ěsíců, čvrleí) vpočee vrovnané hodno (sseaicou složu) časové řad ao součin Y T I, even. včeně předpovědi na příší ro (ro), vpočee sezónně očišěné hodno časové řad ao. Epiricý sezónní index předpoládá, že náhodné chb ednolivých podílů, eré osciluí ole suečné hodno sezónního indexu, sou eliinován výpoče průěrné hodno za věší poče period. Pro epiricý sezónní index b ěla (přibližně) plai rovnos eho průěrná hodnoa se ed blíží edné. I I a Přílad: Vpočěe sezónní index na podladě hodno vrovnaných příou pro časovou řadu čvrleních výdaů na hrubý doácí produ ČR v běžných cenách v il. Kč v leech 007-0. Odhadněe vývo éo časové řad pro všechna čvrleí rou 0. Čvrleí rou 007 008 009 00 0 I. 843399 889080 88845 87980 884085 II. 90597 970995 93655 956630 9673 III. 93500 99737 939543 95964 96575 IV. 97857 99099 978575 986463 99679
Časové řad ěření sezónnosi 050000 Čvrlení HDP 000000 950000 900000 850000 800000 750000 I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. 007 008 009 00 0 Výpoče rendové pří poocí eod neenších čverců: n b0 b 0 b0 b 0 b 0 n 0 8 833 48/0 94 66,4 b T 733 484/665 606,743 b0 + b 94 66,4+ 606,743.
Časové řad ěření sezónnosi 050000 Časová řada vrovnaná rendovou příou 000000 950000 900000 850000 800000 750000 I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. 007 008 009 00 0 0 Tabula poocných výpočů Ro Čvrleí * ^ T /T I Y o rou 007 I. 843399-9,5-809 90,5 96898,3 0,99839 0,933795 85695, 90394,9 II. 90597-8,5-770095 7,5 99505, 0,985,005458 9454 900999, III. 93500-7,5-70350 56,5 9,8,04085,07578 9383, 98946,4 IV. 97857-6,5-63580 4,5 9478,6,057789,0436 96463,5 937684,5 008 I. 889080-5,5-4889940 30,5 9735,3 0,958757 3,999994 86593,8 954,7 II. 970995-4,5-4369478 0,5 9993,,04457 935007,9 96573,8 III. 99737-3,5-3490330,5 93538,8,069379 94893,4 980009,9 IV. 99099 -,5-477748 6,5 93545,5,059834 975508,5 95009 009 I. 88845 -,5-33678,5 93775,3 0,94747 875668,5 9544, II. 93655-0,5-46638 0,5 940359 0,99807 94549,8 9759,9 III. 939543 0,5 46977,5 0,5 94965,8 0,99637 95954,6 933,6 IV. 978575,5 467863,5 94557,5,03490 986385,5 938085, 00 I. 87980,5 8450 6,5 94879,3 0,9069 885405, 934873, II. 956630 3,5 334805,5 950786,00646 955975,7 95436,8 III. 95964 4,5 43638 0,5 95339,7,006053 9705,9 94594,7 IV. 986463 5,5 545547 30,5 955999,5,03866 9976,5 945646,8 0 I. 884085 6,5 5746553 4,5 958606, 0,96 8954,8 946765,5 II. 9673 7,5 708798 56,5 963 0,999958 966459,6 955955, III. 96575 8,5 80889 7,5 96389,7,00005 98076, 949068,8 IV. 99679 9,5 946954 90,5 96646,5,034 00840 955548,4
Časové řad ěření sezónnosi Sua 883348 733484 665 883348 0 I. 0,5 969033, 904878,4 II.,5 97639,9 976943,5 III.,5 97446,7 9937,4 IV. 3,5 976853,4 0907 050000 Vrovnání časové řad 000000 950000 900000 850000 800000 I. II. III.IV. I. II. III.IV. I. II. III.IV. I. II. III.IV. I. II. III.IV. I. II. III.IV. 007 008 009 00 0 0 epiricé přía vrovnané Nalezené sezónní faor lze použí i opačný výpočů. Vdělení ednolivých naěřených hodno sezónní faore e zbavíe vlivu sezónnosi a zísáe a rendové slož en s náhodnýi výv, zv. očišěné údae (od sezónního vlivu); lze vzáeně srovnáva a sledova na nich úspěšnos odsranění sezónnosi. Proporcionální sezónnos Při proporcionální odelu e apliuda sezónního vývu úěrná hodnoě rendu v dané období zn., že poud v leech rend rose, apliuda pro danou sezónu se zvšue s rende. Pro hodnou sezónního vývu (sezónní slož) v i-é roce a v -é sezóně ůžee ed napsa: S c T (sezónní složa e funcí slož rendové), de c e onsana úěrnosi neěnná pro danou sezónu přes všechn ro. Modelová rovnice á pa var Y T + S T + c T ( + c ) T. Celová onsana úěrnosi pro dané období,. výraz v závorce (+c ), se nazývá sezónní faor, erý označíe I. Hodnou faoru lze odhadnou z naěřených hodno uazaele ( ) a z odpovídaících vrovnaných hodno rendu (T ) (rend se vrovnává louzavýi průěr nebo lineární regresí závislosi uazaele na čase). Individuální odhad pro sledovanou -ou sezónu a uvažovaný ro (i) vpočee ao /T - o poěr nazýváe sezónní index.
Časové řad ěření sezónnosi Sezónní index, čísla ( + c ),,,,, lze urči eodou neenších čverců inializací riérií [ ( ) ] + c T in. Derivací aždého z riérií podle c zísáe sousavu norálních rovnic, z nichž -á rovnice T ( + c ) T 0. i Z éo rovnice pro sezónní index -ého dílčího období plne T ( + c ) i. T Sezónní index e roven edné právě v případě, že sezónní vliv v oo dílčí období neexisue. To sezónní index přesně splňuí vzah ( + c ), erý splňuí epiricé sezónní index en přibližně. Ze sezónních indexů pro určiou -ou sezónu ve všech sledovaných rocích (cele ) určíe pa společný odhad sezónního faoru ao průěr: i arieicý I n i T ; nebo pro index vhodněší geoericý I n i T Proože se sezónní výchl od rendu za ro vrovnávaí, usí bý průěr sezónních indexů za ro roven. To obvle zcela přesně nevde, aže se ao vpočené odhad pro sezón upravuí vdělení společný průěre (obvle de en o alou oreci) ao onečně upravená hodnoa e ed sezónní faor. Konsanní sezónnos V případě onsanního odelu e apliuda závislá en na sezóně a neění se podle případně se ěnícího rendu. Modelová rovnice přede ve var T + S + e,. hodnou vývu pro -ou sezónu (S ) počíáe ao průěrnou hodnou pro všechn ro. Hodnoě vývu budee řía sezónní onsan v,,,,, eré sou onsanní v čase. Souče sezónních vývů onsan pro ro vchází roven nule,. při regresi rendu uvažuee, že se ladné a záporné výv od rendu v průběhu rou vzáeně vrovnávaí v 0.
Časové řad ěření sezónnosi Sezónní očišťování Navazue na výpoče sseaicé slož periodicé časové řad. Po očišění od sezónní slož zůsane v časové řadě en rendová a nepravidelná složa. Zísáe inforaci, a b se sezónní ev vvíel, db eho vývo přesala ovlivňova sezónní složa. Pro očišťování exisuí speciální eod (např. Hendersonov filr). Použee eod založené na vpočených charaerisiách sezónnosi sezónních indexech (resp. sezónních onsanách). Proporcionální sezónnos: suečné hodno časové řad dělíe příslušný sezónní indexe. Epiricé sezónní index: očišěné hodno zísáe ao ( ) 0 I Sezónní index sanovené MNČ: očišěné hodno zísáe ao ( 0 ) ( + c ).. Sezónní onsan: očišěné hodno: ( 0 ) v (rozdíl suečné hodno a příslušné sezónní onsan). 050000 Očišěná časová řada 000000 950000 900000 850000 800000 I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. I. II. III. IV. 007 008 009 00 0 epiricé přía očišěné
Závislos časových řad Časové řad ěření sezónnosi Problé ěření závislosí časových řad závislos suečných hodno dvou časových řad zdánlivá závislos vvolaná podobnosí či nepodobnosí eich rendových a sezónních slože. Saisicá závislos e závislosí volnou nuno očisi časové řad od všeho předevší ed sseaicé slož. Meoda sacionarizace očišění od rendové slož diferencování časových řad. Pro neperiodicou časovou řadu s příočarý rende první diference d, pro, 3,, n. Řada n hodno d á onsanní rend T d. Máe-li i druhou časovou řadu x, pro,,, n, sacionarizovanou poocí diferencí d pro, 3,, n. x x x Pa inenziu suečné závislosi obou řad vpočíáe poocí oeficienu orelace: ( d d )( d x d x ) ( d d ) ( d x d x ), erý lasic nabývá hodno z inervalu ; +. V případě, že ezi oběa řadai exisue určiý posun v čase časové zpoždění neusí bý ío způsobe suečná závislos odhalena. Podobný výslede zísáe orelací reziduí: Suečná závislos závislos nepravidelných (praic reziduálních) slože obou řad. Jsou dán dvě časové řad e, se sseaicýi složai Y, X. x Y, g x X sou reziduální slož obou řad. Suečnou závislos obou řad ěří oeficien orelace náhodných slože e g. e g
Časové řad ěření sezónnosi Přílad zdánlivé a suečné závislosi časových řad: r 0,779 x Hodno Hodno x Hodno e r +0,97 Hodno g Zdánlivě e ezi časovýi řadai negaivní závislos sřední inenzi. Ve suečnosi sou časové řad silně poziivně orelován. Exrapolace sseaicé slož Hledání záoniosí uplnulého vývoe (doonalé zěření sseaicé slož) inerpolace časové řad. Určování předpovědí (za předpoladu sálosi inulého vývoe) exrapolace časové řad. Meoda exrapolace deerinisicé slož časové řad: u nesacionárních neperiodicých časových řad: exrapolace rendu, u sacionárních periodicých řad: exrapolace periodicé slož, u nesacionárních periodicých řad: společná exrapolace obou slože vývoe. Exrapolace sseaicé slož spočívá v určení budoucích hodno Y Y,... n+, n+ sseaicé slož v časech n + i, dei > 0 e horizon předpovědi. Tzv. bodovou předpověď dosanee dosazení příslušné hodno časové proěnné,... do vzorce n+, n+ sseaicé slož časové řad (bla-li inerpolace časové řad provedena rendovou funcí
Časové řad ěření sezónnosi se zavedenou časovou proěnnou, provádí se exrapolace dosazení dalších hodno časové proěnné následuících po eí poslední použié hodnoě). Každá předpověď e spoena s určiou chbou předpovědi. Případná chba e í věší, čí raší e déla časové řad, čí nedoonaleší e popis uplnulého vývoe a čí vzdáleněší e horizon předpovědi. Suečnou chbu předpovědi určíe, až dž znáe suečnou hodnou předpovědi e pa ed dána rozdíle suečné hodno a předpovědi Na suečnou hodnou vša usíe čea +. Kvalia n + i + i Y + i. i Proo se používá zv. pseudopředpovědí, eré se onsruuí a, že vrovnání časové řad se nevuže něoli posledních hodno řad, eré sou a ao b předpovídanýi hodnoai. Pro zěření vali suečných předpovědí i pseudopředpovědí za období se používá Theilův oeficien nesouladu procenní chbu předpovědi. T ( ( n ) + i Y( n ) + i ) i i ( n ) + i, 00 T inerpreuee ao Chb osrých předpovědí (suečných budoucích hodno) odhaduee na záladě inforace o veliosi chb pseudopředpovědi. EXTRAPOLACE inulos INTERPOLACE chba předpovědi v období n + budoucnos příonos
Auoorelace časových řad Časové řad ěření sezónnosi Na závěr se zíníe o picé evu, erý e spoen s časovýi řadai a opliue předpověď hodno řad poocí regrese. Hodno uazaele v řadě za sebou bývaí vzáeně závislé. Jev se nazývá auoorelace. Např. dnešní eploa vzduchu e závislá na eploě včereší; dnešní cena acie se odvíí od cen včereší. Můžee se sea i s auoorelací se záporný znaéne, d dnešní vsoá hodnoa vvolává snížení příší hodno; např. nadbečný náup zásob v dané období způsobue snížení náupu v období příší a naopa. V aeaicé odelu časových řad se auoorelace da proíá do auoorelace reziduí. Rezidu (viz výše) e rozdíl ezi hodnoou naěřenou a předpovězenou odele deerinisicých slože e T P, ed a čás nalezené hodno uazaele, erou nevsvěluí odhad rendu a periodicého vývu. Poud exisue v časové řadě auoorelace, pa reziduu není čisě náhodnou veličinou olísaící náhodně ole nulové sřední hodno s onsanní sěrodanou odchlou (viz regresní analýza předpolad eod neenších čverců). V o případě e hodnoa rezidua pro hodnou uazaele v dané období (e ) zčási určována hodnoou rezidua pro období ěsně předcházeící (e - ) (případně pro něeré iné předchozí období), a o podle veliosi auoorelačního oeficienu (r), a pa ešě náhodnou složou v : e + v re Podrobněší rozbor ohoo probléu včeně esování význanosi auoorelace (např. Durbinův-Wasonův es) lze naí v lierauře.