.3.7 Součtové vzorce Předpoklad: 306 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje látku na přibližně jeden a půl vučovací hodin, první část kombinuji s písemkou. Pedagogická poznámka: Úspěch této hodin (a hodin následujících) je zcela závislý na míře, ve které studenti chápou dosazování do vzorce jako používání předem připravené form, ve které označení proměnných (tpick, ) nesouvisí s označením proměnných v řešeném příkladě (a proto se může stát, že je ). Pokud narazíte na problém, je dobré si ověřit, zda této skutečnosti žák rozumí a v případě potřeb mu ujasnit samotný princip. Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: π π 0 = sin ( π ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel hodnot, sice známe, ale je tak neprůhledný, že není možné používat závorkové úprav na výraz uvnitř funkcí hodnotu goniometrické funkce musíme počítat + a na úprav výrazu můžeme použít pouze odvozené z čísla goniometrické vzorce. Pedagogická poznámka: Smslem červeného rámečku je vtvořit (upevnit) ve žácích vědomí, že sin před závorkou není další proměnnou ale příkazem k poměrně složité přeměně úhlu uvnitř na poměr. Podstatná část žáků tuto skutečnost ignoruje a to pak ústí do mnoha zbtečných chb. Vzorců je hodně, patří do několika skupin první skupinu tvoří součtové vzorce. sin + = sin cos + cos sin. Pro všechna reálná čísla, platí: Př. : Dokaž platnost vztahu cos = sin +. Použijeme vzorec sin + = sin cos + cos sin, abchom odstranili závorku na pravé π straně rovnosti, dosazujeme =. π π sin + = sin cos + cos sin = sin 0 + cos = cos
Př. : Vužij vztah pro sin ( + ) k odvození vzorce pro sin ( ). sin = sin + = sin cos + cos sin = sin cos cos sin. Podobné vzorce můžeme odvodit i pro funkci cos. Součtové vzorce: Pro všechna reálná čísla, platí: sin + = sin cos + cos sin sin = sin cos cos sin cos + = cos cos sin sin cos = cos cos + sin sin Pedagogická poznámka: Nepožaduji po studentech, ab vzorce uměli nazpaměť. Součtové vzorce (stejně jako vzorce, probírané v následujících hodinách) si mohou napsat na speciální papír, který mohou kromě hodin používat i při psaní písemek. Pedagogická poznámka: Odvození součtových vzorců pro sin ( + ) a cos ( + ) v hodinách neprovádím. Je uvedeno na konci hodin pro zájemce. Př. 3: Dokaž platnost vztahu sin = cos. Použijeme vzorec cos = cos cos + sin sin, abchom odstranili závorku na pravé π straně rovnosti, dosazujeme =. π π cos = cos cos + sin sin = cos 0 + sin = sin Př. : Zjednoduš výraz: cos cos + 6 6. π π π π cos cos + = cos cos + sin sin cos cos sin sin = 6 6 6 6 6 6 π π π π π cos cos + sin sin cos cos + sin sin = sin sin = sin = sin 6 6 6 6 6 Pedagogická poznámka: Některým studentů dělá problém pochopit, že za ve při rozkladu cos dosazujeme. Většina z nich má problém s celou filozofií dosazování 6 do vzorce.
Př. 5: Dokaž rovnost: cos = sin + cos. π π cos = cos cos + sin sin = cos + sin = = cos + sin = sin + cos Př. 6: Dokaž rovnost: sin = sin ( π ) = sin ( π + ) = sin ( π ) ( π ) = π π = ( ) = ( π ) ( π π ) ( ) ( π ) ( π π ) sin sin cos cos sin 0 cos sin sin sin + = sin cos + cos sin = 0 cos + sin = sin sin = sin cos cos sin = 0 cos sin = sin Pedagogická poznámka: Předchozí příklad slouží k snchronizaci tříd. Pokud učím hodinu ve formátu polovina + celá, zde končím v té počáteční polovině. Př. 7: Odvoď součtový vzorec pro tg( ) tg ( ) +. sin + sin cos + cos sin + = = = cos + cos cos sin sin Potřebujeme výraz upravit tak, ab obsahoval tg, tg, kvůli rozdílu (neodstranitelném) ve jmenovateli půjde o zlomek musíme vtvořit tg, tg ve jmenovateli i čitateli vnásobíme čitatel i jmenovatel výrazem cos cos : sin cos + cos sin sin cos cos sin + cos cos cos cos cos cos tg + tg = = cos cos sin sin cos cos sin sin tg tg cos cos cos cos cos cos Pedagogická poznámka: ozšíření zlomku výrazem cos cos je studentům třeba poradit. Př. 8: Odvoď součtový vzorec pro tg( ) Problém: Odvození přes poměr tg( ) tg tg ( ) = tg + ( ) = tg + tg + = tg tg ( ) tg Použijeme tg. sin = cos ( ) = tg ( tg je lichá funkce). ( ) ( ) je příliš dlouhé použijeme 3
tg ( ) tg tg + tg tg tg = + = = tg tg + tg tg Př. 9: Urči přesnou hodnotu cos 75. Problém: Známe přesné hodnot pouze pro tabulkové hodnot 30, 5, 60 zkusíme vjádřit 75 sčítáním (odčítáním) tabulkových hodnot: 75 = 5 + 30. 3 cos 75 = cos( 5 + 30 ) = cos 5 cos 30 sin 5 sin 30 = = = 6 Př. 0: Urči přesnou hodnotu sin5. Problém: Známe přesné hodnot pouze pro tabulkové hodnot 30, 5, 60 zkusíme vjádřit 5 sčítáním (odčítáním) tabulkových hodnot: 5 = 5 30. sin5 = sin 5 30 = sin 5 cos 30 cos 5 sin 30 = 3 6 6 = = = Pedagogická poznámka: Můžete vzvat student, ab vsvětlili shodu výsledků dvou předchozích příkladů, případně podiskutovat o způsobu, jak získat přesné hodnot goniometrických funkcí v dalších bodech. Př. : Vřeš rovnici: cos + sin =. Problém: Dvě různé goniometrické funkce s různými argument pomocí součtového vzorce rozložíme argument v cosinu, ab uvnitř všech goniometrických funkcí blo pouze. cos + sin = π π cos cos + sin sin + sin = cos 0 + sin + sin = sin = π 5 sin = = + k π, = π + k π. 6 6 π 5 K = + k π ; π + k π k Z 6 6
Př. : Vřeš rovnici: cos + + cos =. Problém: Dvě různé goniometrické funkce s různými argument pomocí součtových vzorců rozložíme argument obou cosinů, ab uvnitř všech goniometrických funkcí blo pouze. cos + + cos = π π π π cos cos sin sin + cos cos + sin sin = cos sin + cos + sin = cos = cos = cos = = = čtvrtinové úhl v kladné polorovině na ose π 7 = + k π, = π + k π. π 7 K = + k π ; π + k π k Z Př. 3: Vřeš nerovnici: sin + sin > 0. Problém: Závork u obou sinů se nerovnají, nemůžeme ted substituovat rozložíme pomocí součtových vzorců. sin + sin > 0 π π π π sin cos + cos sin sin cos cos sin > 0 π π π π sin cos + cos sin sin cos + cos sin > 0 π cos sin > 0 cos > 0 cos > 0 π π K = + k π; + k π k Z Př. : Petáková: strana 7, cvičení 55 a), c), e) strana 7, cvičení 56 d), e) 5
strana 7, cvičení 57 b), d), h), l) strana 5, cvičení a), g), h) Pedagogická poznámka: Následující odvození o hodinách vnechávám, učebnice ho obsahuje pouze kvůli případným zájemcům, přesto je odvození psáno stlem, který v učebnici používám pro vsvětlování normální látk, ab v důležitých místech studenti získali čas a námět na zamšlení. Pedagogická poznámka: V podstatě sledujeme odvození z učebnice Goniometrie: Odvárko, Prometheus. Odvození součtových vzorců K odvození součtových vzorců použijeme jednotkovou kružnici. Zakreslíme do obrázku jednotkové kružnice dva orientované úhl ab platilo >. T = ST, = SU, tak U - S - Př. 5: Urči souřadnice bodů, T, U souřadné soustavě S. Platí: [ ;0 ], T [ cos,sin ], [ cos,sin ] U. Bodem T vedeme rovnoběžku s osou, bodem U rovnoběžku s osou. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník TUV. 6
T T[cos ;sin ] V U - S - S V[cos ;sin ] U[cos ;sin ] Př. 6: Urči délk stran trojúhelníku TUV. Z obrázku vidíme: VU = cos cos, TV = sin sin. Délku přepon určíme pomocí Pthagorov vět: c = a + b. TU = cos cos + sin sin = cos cos + sin sin TU = cos cos cos + cos + sin sin sin + sin TU = cos + sin + cos + sin cos cos sin sin TU = + cos cos sin sin = cos cos sin sin Nní zopakujeme celý postup vzhledem k nové soustavě souřadnic S, kterou získáme otočením soustav S o úhel = SU. ' T - S - U - Př. 7: Urči souřadnice bodů T, U souřadné soustavě S. Platí: T cos ( ),sin ( ), [,0] U. 7
Bodem T vedeme rovnoběžku s osou, bodem U rovnoběžku s osou. Vznikne tak pravoúhlý trojúhelník TUW. ' T ' T[cos( - ) ;sin( -) ] - S - W U - S - U[ ;0] W[cos( -) ;0] Př. 8: Urči délk stran trojúhelníku TUW. Z obrázku vidíme: WU = cos( ), TW sin ( ) Délku přepon určíme pomocí Pthagorov vět: =. c = a + b. TU = cos + sin = cos + sin TU = cos + cos + sin = cos + TU = cos = cos Otočením soustav souřadnic se nemůže změnit vzdálenost bodů T, U obě vjádření délk úsečk TU musí být shodné: cos( ) = ( cos cos sin sin ). cos = cos cos sin sin cos = cos cos + sin sin - jeden ze vzorců, které jsme si ukázali na začátku hodin. Odvození není zcela kompletní. Musíme ověřit případ, které jsme vnechali v našich předpokladech: >,, 0;π ). Ověření pro =,, 0;π ) : Dosadíme do odvozeného vzorce: = : cos = cos cos + sin sin cos = cos cos + sin sin cos 0 cos sin = + = - platí. 8
Ověření pro <,, 0;π ) : Platí: cos ( ) = cos( ) cos = cos = cos = cos cos + sin sin, protože cos je sudá funkce. Ověření pro, : Víme, že pro, eistují:, 0;π ) a k, m Z, tak, že platí: 0 0 = 0 + k π, = 0 + m π Dosadíme do obou stran vzorce (vužijeme periodičnost funkcí = sin a = cos ): ( ) = + k π ( + m π ) = + ( k m) π = ( ) cos cos cos cos cos cos + sin sin = 0 0 0 0 0 0 ( k π ) ( m π ) ( k π ) ( m π ) cos + cos + + sin + sin + = 0 0 0 0 cos cos + sin sin 0 0 0 0 Odvození vztahu sin + = sin cos + cos sin : π π Platí: cos = cos cos + sin sin = 0 cos + sin = sin. π π π Platí: sin = cos cos cos = + = (předchozí vztah). π sin ( + ) = cos ( + ) = cos cos cos sin sin = + = = sin cos + cos sin Ostatní vzorce jsme z nní získaných odvodili již v začátku hodin pomocí přezávorkování a sudosti a lichosti goniometrických funkcí. Shrnutí: ozkládat výraz uvnitř goniometrických funkcí můžeme pouze pomocí goniometrických vzorců. 9