PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA
Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x, θ ebo s pravděpodobostí fukcí p x, θ
Náhodý výběr,, Nechť,, P je pravděpodobostí prostor, áhodé proměé, pro které platí: a jsou ezávslé b jejch dstrbučí fukce závsí a ezáme parametr θ : ~ F x, θ Pak,, se azývá áhodý výběr rozsahu z rozděleí s dstrbučí fukcí F θ x Pozámka: Nechť,, T je áhodý výběr. Pak áhodý vektor,, má dstrbučí fukc: F x, θ F x, θ hustotu pravděpodobost: f x, θ f x, θ pravděpodobostí fukc: p x, θ p x, θ
tatstka T : R R reálá fukce fukce áhodého vektoru: T T,, se azývá statstka tatstka se azývá bodovým odhadem parametru θ, pokud abývá hodot blízkých parametru θ. T,, tatstka se azývá bodovým leárím odhadem parametru θ, pokud abývá hodot blízkých parametru θ a platí: T T,, T c, c R Bodový odhad odhadujeme jedu hodotu bod. lovo bodový se obvykle vyechává.
Náhodý výběr příklady statstk Nechť,, Výběrový průměr: Výběrový rozptyl: je áhodý výběr. Pak lze defovat vybraé statstky: Výběrová směrodatá odchylka: Dále lze defovat statstky: M c T a
Náhodý výběr příklady statstk Nechť je áhodý výběr z -rozměrého rozděleí. Pak lze defovat vybraé statstky: Výběrový koefcet kovarace: Výběrový koefcet korelace:,, K R R, K, P3 Odhady parametrů,,
Nestraé odhady parametrcké fukce Bodový odhad T se azývá estraý evychýleý, pokud platí: Bodový odhad T se azývá straý vychýleý, pokud platí: E T. θ traý odhad lze také psát ve tvaru: E T θ B T Bodový odhad T se azývá asymptotcky estraý, pokud platí: lm E T,, θ Bodový odhad T se azývá ejlepším estraý, pokud platí: E T a D T D pro všechy estraé odhady parametru θ. Bodový odhad T se azývá ejlepším estraý leárí, pokud platí: T T T c, c R E, T θ a D T Dc c R pro všechy estraé leárí odhady parametru θ. θ E T θ Bθ T 0, θ
tředí hodota vybraých statstk,, Nechť je áhodý výběr z rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. Pak platí: a E - estraý odhad μ b je ejlepší estraý leárí odhad μ c E - estraý odhad σ d E M - straý odhad - asymptotcky estraý e E c c
tředí hodota vybraých statstk Nechť,, je áhodý výběr z -rozměrého rozděleí s kovarací C,. Pak pro výběrový kovaračí koefcet platí: a E K, C, - estraý odhad C, b E R,, - straý odhad,
Rozptyl vybraých statstk,, Nechť je áhodý výběr z rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. Pak platí: a D 3 b D, kde E j Nechť je áhodý výběr z ormálího rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. Pak platí: a a tedy b c,, 3 D M D c D c
Náhodý výběr z ormálího rozděleí Dále budeme předpokládat, že pozorovaá áhodá velča má ormálí rozděleí ~Nμ, σ. Parametry μ, σ, μ, σ R, σ >0, jsou ezámé parametry. Nechť, je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Pak platí: je ejlepší estraý odhad parametru E = μ je ejlepší estraý odhad parametru D = σ
tředí kvadratcká odchylka Kvaltu bodového odhadu T lze posoudt podle středí kvadratcké odchylky E T Čím je meší, tím je bodový odhad kvaltější. Pokud je T estraý, pak ET Pokud je bodový odhad estraý, ještě emusí zameat, že má meší kvadratckou odchylku ež straý. a E T DT
tředí kvadratcká odchylka Příklad Nechť,, je áhodý výběr z ormálího rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. Chceme odhadout parametr σ. a porovejte středí kvadratckou odchylku pro statstky: M b pro jaké c je středí kvadratcká odchylka Tc odhadu σ ejmeší. T c c
tředí kvadratcká odchylka Platí Nechť T je bodovým odhadem. Je-l E T kvadratckou odchylku platí: E T θ D T B T, pak pro středí Příklad Nechť,, je áhodý výběr z ormálího rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. T je bodovým odhadem parametru σ. Pak E E 0 M E
tředí kvadratcká odchylka P3 Odhady parametrů ouhr: Mějme statstky: Nechť je áhodý výběr z ormálího rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ.. Odhad σ :,, M K D D M D K E E M E K E E M E K
Kozstetí odhady Bodový odhad T se azývá kozstetí pokud platí: ebo T,, lm P jedá se o kovergec podle pravděpodobost: T,, 0 lm P T P Platí: Nechť T T,, =,, je posloupost bodových odhadů parametrcké fukce. Dále echť platí: a lm E T - asymptotcky estraý b lm 0 D T pak T je kozstetí odhad.
Kozstetí odhady,, Nechť je áhodý výběr z rozděleí o středí hodotě μ a rozptylu σ. Pak pro výběrový průměr platí: a pro koečé μ je kozstetí odhad μ b pro koečé σ je kozstetí odhad σ M c pro koečé σ je kozstetí odhad σ d pro koečé σ je kozstetí odhad σ
Náhodý výběr z ormálího rozděleí Dále budeme předpokládat, že pozorovaá áhodá velča má ormálí rozděleí ~Nμ, σ. Parametry μ, σ, μ, σ R, σ >0, jsou ezámé parametry. Nechť, je výběrový průměr a výběrový rozptyl. Pak platí: je ejlepší estraý kozstetí odhad parametru E = μ je ejlepší estraý kozstetí odhad parametru D = σ
Příklad,, Nechť je áhodý výběr z rovoměrého rozděleí Ro0, b, kde b je ezámý parametr. K odhadu tohoto parametru použjeme statstky: T T max,, T3 Pro tyto statstky zjstěte, zda jsou estraé, asymptotcky estraé, jaké mají rozptyly porovat mez sebou, jaká je jejch kvadratcká odchylka porovat mez sebou a zda jsou kozstetí odhady.