Úvod do zpracování měření

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do zpracování měření"

Transkript

1 Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé hodot od správé hodot azýváme obecě chbou. Chbou měřeí X budeme rozumět rozdíl mez hodotou správou X a hodotou získaou měřeím, ted X X. () Chba může být jak kladá, tak záporá. Je-l chba kladá, musíme j k aměřeé hodotě přčíst, abchom dostal hodotu správou, a aopak j odečítáme, jde-l o chbu záporou. Udáváme-l chbu rozdílem správé hodot a aměřeé hodot daé velč, tj. absolutě, mluvíme o absolutí chbě měřeé velč. Rovce () je pak rovcí pro absolutí chbu. Jestlže vjádříme chbu relatvě vůč měřeé hodotě, docházíme k pojmu relatví chb měřeé velč. Relatví chbou δ měřeé velč rozumíme poměr absolutí chb X této velč a správé hodot velč X. Pro relatví chbu ted platí X δ. () X Relatví chbu lze také vjádřt poměrem aměřeé a správé hodot daé velč: δ. (3) X Relatví chba se velm často udává v procetech. Z obou uvedeých výrazů ( 3) je patré, že také relatví chba může abývat kladých záporých hodot. Podle jejch původu dělíme chb do tří skup: Chb hrubé vzkají př měřeí prováděém edbale ebo epozorě, s edokoalým č vadým přístroj, př užtí evhodé metod. Naměřeá hodota se př opakovaém měřeí začě lší od ostatích, a proto je uté j ahradt ovým měřeím ebo j př koečém zpracováí výsledků euvažovat. Chb sstematcké (soustavé) jsou způsobe stále stejým a pravdelým vlv, ted výsledek měřeí je soustavě větší ebo meší ež správá hodota. Podle toho můžeme sstematcké chbě přsoudt určté zaméko. Původ sstematckých chb je obvkle buď v měřící metodě (založeé a určtých zjedodušujících předpokladech), v měřících přístrojích (apř. posuutí počátku (ul) a stupc, závslost výchlk a měřeé velčě eodpovídá děleí stupce apod.), ebo ve způsobu čost pozorovatele (apř. odhad a zaokrouhlováí zlomků dílků a stupc, pozorováí stupce a ukazatele z evhodého směru chba úkosu, paralaa). V řadě případů je možo sstematcké chb vloučt vhodým korekcem. stematcké chb elze vloučt statstckým metodam. Chb áhodé vzkají zcela áhodě vzájemým působeím pozorovatele, přístroje a prostředí. Jejch původ emůžeme odhalt. Každou áhodou chbu můžeme považovat za složeou z velkého počtu velm malých áhodě vzklých a ojeděle epozorovatelých elemetárích chb. O těchto elemetárích chbách můžeme předpokládat, že jejch zaméka velkost jsou epravdelě rozděle a ab vzkla pozorovatelá chba, musí se jch složt větší počet. Elemetárí chb jsou kladé záporé a jejch složeím dojde pravděpodobě stejě často k chbám kladým záporým. Nejčastěj se sejde přblžě stejý počet elemetárích chb kladých záporých, čímž vzkou malé áhodé chb. Méě často se vsktuje případ, že převažují elemetárích chb stejého zaméka, a pak 5

2 vzke áhodá chba větší. Takové případ jsou málo pravděpodobé, takže počet áhodých chb bude s velkostí chb zatelě klesat. Chb sstematcké ás svým způsobem formují o správost měřeí, chb áhodé o přesost měřeí. Normálí rozděleí Obecě lze říc, že toto rozděleí je použtelé všude tam, kde a kolísáí áhodé velč působí velký počet epatrých a vzájemě ezávslých jevů. Pro ahodlé rozděleí měřeých hodot př počtu měřeí, které se blíží ekoeču, platí vztah, odvozeý Gaussem tzv. ormálí statstcké rozděleí, jemuž odpovídá aalogcké vjádřeí pro rozděleí četost áhodých chb. Ze statstckého rozboru tohoto problému ple ěkolk důležtých závěrů, které umožňují určt ejpravděpodobější hodotu měřeé velč a terval, v ěmž se dá očekávat skutečá hodota s předem zvoleou pravděpodobostí: Kdbchom mohl vkoat ekoečý počet měřeí, pak b z přesé platost zákoa četost plulo, že počet kladých chb je rový počtu záporých chb a že se ted součet všech chb rová ule. Artmetcký průměr všech měřeí b pak udával správou hodotu měřeé velč. Př skutečých měřeích můžeme ajít pouze ejpravděpodobější hodotu měřeé velč. Předpokládejme pro velču měřeím získaé hodot,,..,. Předpokládejme dále, že chb v jedom směru (kladé odchlk) jsou právě tak pravděpodobé jako chb ve směru druhém (záporé odchlk), takže součet všech chb je rove ule. Ozačíme-l pravděpodobou hodotu měřeé velč, pak platí ( ) + ( ) ( ) (4) a odtud ple pro pravděpodobou hodotu měřeé velč výraz. (5) Pravděpodobou hodotou je artmetcký průměr aměřeých hodot. To ovšem ezameá, že artmetcký průměr je přesě rový správé hodotě. Jeho smsl je te, že kdbchom měl velký počet řad o koečém počtu měřeí, vedl b artmetcký průměr častěj ke správé hodotě, ež kdbchom hodotu měřeé velč počítal jakýmkol jým způsobem. Každá hodota k k udává odchlku měřeí od artmetckého průměru. Abchom určl středí chbu jedotlvého měřeí, emůžeme odchlk sečíst a dělt počtem měřeí, protože součet odchlek od artmetckého průměru je rový ule. Proto odchlk umocíme a sečteme; součet ozačíme. Dělíme-l teto součet počtem měřeí, dostaeme průměr ze čtverců chb, který se ve statstce azývá rozptl ebo také varace a začí se. (6) Odmoca z tohoto průměru je směrodatá odchlka. (7) Tuto hodotu bchom mohl považovat za středí chbu jedoho měřeí, kdb artmetcký průměr bl správou hodotou. Musíme však uvážt, že pro určeí směrodaté odchlk máme k dspozc je výběr ze souboru všech možých měřeí. Jedo měřeí potřebujeme k aměřeí hodot, zbývajících - měřeí ke kotrole výpočtu chb. Proto 6

3 pro výpočet středí chb jedoho měřeí bereme - místo. Výběrová směrodatá odchlka - azývaá též středí kvadratcká chba jedoho měřeí je. (8) Nás však bude především zajímat, jakou chbou je zatíže výsledek měřeí - artmetcký průměr. Teto průměr je staove z většího počtu aměřeých hodot, máme ted větší jstotu, že se skutečé hodotě blíží artmetcký průměr, ež pouze jedá hodota měřeí. Projeví se to v chbách: artmetckému průměru přísluší meší chb, ež jedotlvým měřeím. Teore chb vede k výsledku, že chba artmetckého průměru je krát meší ež chba jedoho měřeí, přčemž je počet měřeí. měrodatá odchlka artmetckého průměru (středí kvadratcká chba) je dáa vztahem ( ). (9) Vztah (9) eí přílš vhodý pro praktcký výpočet, protože pro výpočet odchlek od průměru je třeba mít průměr předem vpočítaý. Můžeme vjádřt: ( ) ( + ) ( ), () vužl jsme př tom skutečost, že ( ) Do (.9) dosadíme (.) a (.) a dostaeme a ( ) ( ). () ( ). () ( ) Na obrázku je akreslea fukce hustot pravděpodobost pro ormálí rozděleí. Obr. : Fukce hustot pravděpodobost pro ormálí rozděleí. 7

4 Plocha pod křvkou (tegrál fukce) je úměrá pravděpodobost, se kterou správá hodota může abývat hodot veseých a ose. V tervalu (-, ) (a obr. vbarveo tmavě) je tato pravděpodobost,683, to zameá. že v tomto tervalu b mělo být 68% hodot. V tervalu (-, ) (a obr. vbarveo světle tmavě) je pravděpodobost,955. V tervalu (-3, 3) pak je to,997. Kromě středí chb uvádíme ěkd také pravděpodobou chbu, která je rova /3 středí chb. Její výzam je teto: je stejě pravděpodobé, že chba jedoho měřeí (lbovolě vbraého) je meší ež pravděpodobá chba, jako že tato chba je větší ež pravděpodobá chba. Př velkém počtu měřeí je ted polova skutečých chb meší, druhá polova větší ež pravděpodobá chba. Pravděpodobá chba jedoho měřeí je ϑ. (3) 3 V ěkterých případech používáme ještě krají chbu χ, která je rova trojásobku středí chb: χ 3. U krají chb máme pravděpodobost 99,73 %, že se ám v měřeí evskte hodota s chbou větší ež je krají chba. Jedu chbu větší ež χ můžeme ted očekávat průměrě v 37 měřeích. Vzájemé vztah mez uvedeým chbam jsou ásledující: ϑ : : χ,67 :: 3. (4) tejé vztah jako mez chbam jedoho měřeí jsou mez odpovídajícím chbam artmetckého průměru. Na Gaussově křvce (obr. ) odpovídá pravděpodobé chbě hodota, jejíž pořadce dělí plochu Gaussov křvk a část, z chž prostředí zaujímá polovu celkové ploch, obě krají také polovu. Geometrcký výzam středí kvadratcké chb je te, že v místě má Gaussova křvka fleí bod. Ab blo zřejmé, do jaké mír je zaruče výsledek měřeí, přpsujeme k ěmu jeho středí kvadratckou chbu. Píšeme ted výsledek ve tvaru: ±. (5) Číselě uvádíme chbu zpravdla pouze a jedo platé místo a počet číslc ve výsledku omezíme tak, ab chba zasahovala pouze do posledího místa. Například: m(7,3 ±,4) g. V případě, že je matsa chb, uvádíme chbu zpravdla a dvě místa (apř. m(7,3 ±,) g). Pokud z ějakých důvodů uvádíme jou chbu ež středí kvadratckou, je třeba a teto fakt v tetu výslově upozort! Obr. : Závslost chb průměru a počtu měřeí. Chba průměru je vášea jako ásobek výběrové chb jedoho měřeí. 8

5 Je zřejmé, že čím větší počet měřeí vkoáme, tím máme větší jstotu př staoveí výsledé hodot a tím meší bude chba výsledku. Závslost středí chb artmetckého průměru a počtu měřeí je grafck zázorěa a obr.. Vdíme, že se vzrůstajícím počtem měřeí klesá chba artmetckého průměru zpočátku prudce, pak mírě. Z této křvk můžeme odhadout, kolk musíme vkoat měřeí,abchom dosáhl požadovaé přesost. Obvkle stačí měřt desetkrát; př dalším zvšováí počtu měřeí vzrůstá přesost výsledku je velm zvola. Výpočet artmetckého průměru a chb (příklad) Ručí zpracováí Posuvým měřítkem bla staovea desetkrát tloušťka, přčemž bl odhadová ještě deset dílků stupce. Výsledk jsou uvede v tabulce: (cm) (cm ),56,655,58,666 3,55,65 4,55,65 5,54,645 6,56,655 7,57,66 8,55,65 9,59,67,54,645 Σ,559,654873,559,559 cm Artmetcký průměr tloušťk je,559 cm. ( ),654873,559 /,654873,654848, 53 cm. ( ) 9 9 měrodatá odchlka artmetckého průměru je,53 cm. Zaokrouhlíme a jedu platou číslc: ±, 5 cm. Výsledek měřeí apíšeme tak, že k artmetckému průměru přpíšeme středí kvadratckou chbu zaokrouhleou a jedo platé místo: (,559±,5) cm. Pravděpodobá chba artmetckého průměru je rova dvěma třetám směrodaté odchlk: ϑ ±.,53 ±,35 cm. 3 3 Zpracováí v Ecelu Výpočet průměru s směrodaté odchlk průměru je v Ecelu velm jedoduchý. Pro výpočet artmetckého průměru obsahuje fukc PRŮMĚR(). Pro směrodatou odchlku průměru eí k dspozc přímá fukce a je třeba použít fukce MODCH(), která vrací směrodatou odchlku jedoho měřeí vpočítaou podle vztahu (.7). Abchom získal směrodatou odchlku průměru, je třeba tuto hodotu vdělt, v souladu se vztahem (.9), odmocou z počtu měřeí zmešeého o jedu. 9

6 Obr. : Výřez lstu Ecelu s výpočtem průměru a jeho směrodaté odchlk. Výpočet chb hodot fukce z chb ezávsle proměých Než přejdeme k určeí chb artmetckého průměru, předpokládejme, že máme z výsledků měřeí ěkolka vzájemě ezávslých velč,, z,, určt hodotu velč V f (,,z, ) (6) (Velča V je ted výsledkem epřímých měřeí). Jsou-l chb jedotlvých měřeých velč ( ), ( ), ( z),, (emusí to ovšem být právě směrodaté odchlk, mohou to být chb odpovídající jé pravděpodobost výsktu, avšak pro všech velč,, z,., stejého druhu), pak př počítáí chb velč V s m pracujeme podobě jako s dferecál ezávsle proměých. Z teore pravděpodobost pro chbu velč V dostáváme ( V ) f f [ ( ) ] + [ ( ) ] (7) Je-l V f () (fukce jedé ezávsle promě), pak df ( V ) ( ) d f ( ) ( ). (8) Např. je-l V a, je ( V ) a ( ). Zavedeme-l relatví chbu ( ) ( ) k δ pak pro V je k δ ( V ) k ( ) (9) a odtud ( ) ( V ) δ V k. δ ( ). V () f f Pro V ± je, ± a ( V ) ( ) ( ) +. () Geometrck to zameá, že chbu součtu ebo rozdílu dvou velč určíme jako délku přepo v pravoúhlém trojúhelíku, o odvěsách rových velkostem chb jedotlvých sčítaců. Toto pravdlo sado rozšíříme a větší počet sčítaců. Pro souč V. dostaeme ( V ). ( ). ( ) + () ebo relatví chbu souču

7 ( V ) δ ( ) δ ( ) δ +. (3) Vdíme, že relatví chba souču je vjádřea podobým vztahem, jako absolutí chba součtu. ado se odvodí podobé vztah pro chbu souču V.. z a podílu V. (Odvoďte sam, obojí pro relatví chb). Příklad : Vpočteme objem V válečku a jeho středí kvadratckou chbu ( V ) užtím vzorce V π. r. h, kde r je poloměr válečku a h jeho výška. Mkrometrem bl změře průměr d válečku: d (,44 ±,4) cm, posuvým měřítkem výška h válečku: h (4,56 ±,) cm. Vpočteme ejdříve poloměr válečku. d Poloměr r, cm. tředí chba poloměru je rova polově středí chb průměru: ( ) ( d ) r, cm. Poloměr válečku je ted r (,±,) cm. Dosadíme do vzorce V π. r. h : V3,4.(,). 4,56,5. Protože průměr je měře a čtř místa, výška a tř, počítáme objem zkráceě a čtř místa. Objem V,5 cm 3. tředí chbu tohoto výsledku vpočteme dosazeím do vzorce ( V ) ( V ) ( ) + ( V ) ± ( r ) h. r h V V Protože parcálí dervace a jsou r h V V πrh, πr, r h je ( V ) ± [ π r h ( r )] + [ π r δ ( h )] a po úpravě ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r h V ± πr h + πr h. r h Absolutí středí chba výsledku je dáa vzorcem a relatví chba ( V ) ± V r ( r ) ( h ) + h ( V ) ( r ) ( h ) δ ( V ) ± +. V r h Numerck počítáme absolutí středí chbu objemu a jedo místo, tj pod odmocou a dvě místa růzá od ul:,4, ( V ) ±,5. + ±,5.,33 +,, 4,56

8 ±,5.,+,5,5.,6 ±,5.,4 &,8. tředí kvadratcká chba objemu válečku je,8 cm 3. Výsledek píšeme ve tvaru: Objem V (,5±,8) cm 3. Pozámka : Př výpočtu jsme vděl, že relatví chba poloměru, který je ve vzorc pro výpočet objemu ve druhé mocě, se uplatla dvojásobě, blo b proto vhodé měřt poloměr s větší přesostí! Vpočteme ještě relatví chbu objemu: ( V ),8,38. V,5 Relatví chba objemu je,38, tj. přblžě,4%. Pozámka : U fukcí tpu u k m z vchází pro relatví chbu vztah u ( u ) k. ( ) m. ( ). ( z) ± Příklad : Určete objem koule z aměřeého průměru d: 3 Protože platí vztah V π 6 d, π určíme ( V ) d ( d ), ( V ) ( d ) takže 3. V d am zvažte, co ple z provedeého rozboru chb. + + z. Regresí aalýza V pra se často setkáme s úkolem, kd ějaká proměá je fukcí ezávsle proměé, ted f (). Z hodot {, } pak máme odhadout parametr fukčí závslost. Zpravdla předpokládáme, že hodot jsou dá pevě a hodot bl získá měřeím. Kdb měřeí hodot eblo zatížeo chbam, platlo b f ( ). Ve skutečost však platí f ( )+, kde je chba -tého měřeí. Bod [, ] jsou pak vlvem chb rozptýle kolem křvk f (). Obecě fukce f () obsahuje p ezámých kostat - parametrů, které ozačíme b,...b p-. Máme-l soustavou bodů [, ] proložt křvku f(;b,..., b p- ), musíme určt (statstck odhadout) ezámé parametr b,..., b p-, které se vsktují v rovc křvk. Př tom vžadujeme, ab se křvka co ejvíc přblížla blížla bodům [, ]. tatstcký odhad parametru b ozačme. Způsob odhadu závsí a tom, jak defujeme "přblížeí". Mohl bchom apříklad požadovat, ab součet absolutích hodot odchlek bodů od křvk bl mmálí. V pra se však ejčastěj za krtétum přblížeí považuje suma čtverců hodot f( ;,..., p- ) a odhadem parametrů,..., p- jsou pak hodot, které teto součet čtverců mmalzují. Ozačíme-l

9 3 ( ) ( ) p f,..., ;, (4) budou odhad urče z podmík m. (5) Touto podmíkou je vjádře prcp metod ejmeších čtverců. O křvce f(;,..., p- ) říkáme, že bla bod [, ] proložea metodou ejmeších čtverců. Nejčastěj se setkáme s případem, kd je očekávaá závslost leárí b +b. (6) Chceme ted alézt parametr a tak, ab co ejlépe odpovídal zadaým bodům. Podle (4 a 5) můžeme odhad a určt z podmík ( ). m (7) Hodot parametrů a, které mmalzují sumu čtverců odchlek, a (8) dostaeme soustavu dvou rovc + (9) a + (3) Jejím řešeím získáme odhad a, parametrů b a b : (3) (3) Podobě lze alézt odhad parametrů pro jé (složtější) regresí fukce. Bez odvozeí apíšeme odhad směrodatých odchlek a parametrů a. Ozačme:, (33) s, (34) směrodaté odchlk parametrů a pak vpočítáme ze vztahů: s (35)

10 s (36) Výpočet leárí regrese pomocí Ecelu K výpočtu leárí regrese metodou ejmeších čtverců slouží v Ecelu fukce LINREGREE(), která vrací matc parametrů regresí fukce. Protože fukce vrací matc, je třeba s í pracovat jako s matcovým vzorcem: ) ozačíme v lstu Ecelu prázdou oblast o pět řádcích a dvou sloupcích, do které se umístí výsledk leárí regrese. ) zadáme vzorec LINREGREE(;;b;stat), kde je pole závsle proměých (sloupec hodot ), je pole ezávsle proměých (sloupec hodot ), b je logcká hodota udávající, zda má být kostata rova (je-l b PRAVDA ebo, hodota se počítá, je-l b NEPRAVDA ebo, je pevě dáo ). 3) po apsáí vzorce zmáčkeme současě kláves Ctrl+hft+Eter (tím říkáme, že se má vzorec rozepsat do všech prvků matce); ebude-l vám výpočet regresí přímk fugovat, s vsokou pravděpodobostí jste místo Ctrl+hft+Eter odklepl je Eter Výsledá matce pak obsahuje hodot: r F ss reg počet stupňů volost ss resd kde a jsou odhad parametrů parametrů b a b z rovce (6), a jsou jejch směrodaté odchlk, r je koefcet determace, směrodatá odchlka odhadu, F je F-statstka (používá se př statstckém testováí), počet stupňů volost (v případě regresí rovce (6) je to počet hodot zmešeá o ), ss reg je regresí součet čtverců a ss resd rezduálí součet čtverců. Korelačí koefcet Mějme dvě řad proměých a. V předchozích kaptolách jsme se pokoušel alézt parametr optmálě charakterzující vztah mez těmto proměým. Míru závslost mez proměým je možé částečě odhadout ze směrodatých odchlek parametrů charakterzujících teto vztah, kd můžeme předpokládat, že čím větší jsou relatví chb těchto parametrů, tím slabší bude závslost. M však potřebujeme kvattatví velču, která ám popíše, jak se změí velča př ějaké změě velč. Př tom velč a mohou být zcela esouměřtelé. Abchom mohl velč a srovat, musíme je stadardzovat a to tak, že od každé velč odečteme průměr a rozdíl vdělíme směrodatou odchlkou. tadardzovaé velč + a + jsou defová vztah: + ( - )/, (37) + ( - )/. (38) Tím jsme zajstl, že + + mají ulovou středí hodotu a jedotkovou směrodatou odchlku. V tomto okamžku už můžeme dskutovat o tom, jak se změí + př ějaké změě +. Velčou, která popsuje teto vztah, je korelačí koefcet r. Korelačí koefcet je možé vpočítat ze vztahu: 4

11 r Zaměřme se a otázku, jakých hodot může korelačí koefcet abývat. Estuje-l mez velčam a poztví leárí závslost, pak vzroste-l o jedu směrodatou odchlku, vzroste o jedu směrodatou odchlku a r. Estuje-l mez velčam a egatví leárí závslost, pak vzroste-l o jedu směrodatou odchlku, klese o jedu směrodatou odchlku a r -. Neí-l mez proměým žádá závslost, edojde př jakékolv změě proměé k žádé změě proměé a korelačí koefcet r. Už rozumíme, jaký výzam mají etrémí hodot korelačího koefcetu. Pokusme se teď terpretovat, jaký výzam má korelačí koefcet,43 ebo,6. Hodota,43 dkuje, že s rostoucím roste, hodota -,6 pak zameá, že s rostoucím klesá. Pomocí korelačího koefcetu můžeme testovat ulovou hpotézu r, (mez proměým a eí závslost). Testovací velčou je r t. (4) r Je-l testovací velča t větší ež hodota tudetova rozděleí a daé hladě výzamost a s příslušým počtem stupňů volost, můžeme zamítout ulovou hpotézu r,. Druhá moca korelačího koefcetu se azývá koefcet determace a určuje, jak velká část rozptlu velč je vsvětltelá velčou. (39) Výpočet regresí přímk (příklad) Ručí výpočet Mějme deset epermetálě zjštěých dvojc a. zadaých prvím třem sloupc ásledující tabulk. Dopočítejme hodot, a, a doplňme je do dalších tří sloupců. počítejme v každém sloupc součet hodot a zapšme ho do posledího řádku tabulk: Σ V posledím řádku tabulk máme všech velč potřebé pro včísleí vztahů (3-36). Dosazeím do vztahu (3) vpočítáme: ,

12 a dosazeím do vztahu (3): ( 3638,59.55) 33, 3. Tím jsme vpočítal odhad parametrů a. Ní odhademe jejch směrodaté odchlk. Ze vztahu (33) vpočteme 3,5 a pak ze vztahu (34) s,665. Velču s dosadíme do vztahů (35) a (36) a dostaeme, 45 a, 73. Vpočítal jsme ted odhad parametrů regresí rovce ( 33,3,5) a,59, 7. ± Výpočet v Ecelu Vstupí hodot jsou ulože v lstu Ecelu: ± Vbereme v lstu Ecelu oblast o dvou sloupcích a pět řádcích a do příkazového řádku vepíšeme vzorec LINREGREE(C:C;B:B;;): Vložíme vzorec matcově do vbraých buěk současým stskem kláves Ctrl+hft+Eter: Ze zvoleé oblast ás ejvíc zajímají prví dva řádk. V prvím řádku jsou odhad regresích parametrů, ve druhém pak jejch směrodaté odchlk. 6

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ

III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ III. METODY MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ Způsob, jímž se provádí fzkálí měřeí, závsí jedak a povaze měřeé velč, jedak a tom, ze kterých vztahů pro měřeou velču vjdeme a jakých přístrojů použjeme. Všech měřcí

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304

9.3.5 Korelace. Předpoklady: 9304 935 Koelace Předpoklad: 9304 Zatím jsme se zabýval vžd pouze jedím zakem, ve statstckém výzkumu jsme však u každého jedotlvce (statstcké jedotk) sledoval zaků více Učtě spolu ěkteé zak souvsí (apříklad

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

Měření závislostí. Statistická závislost číselných znaků

Měření závislostí. Statistická závislost číselných znaků Měřeí závslostí Statstcká závslost číselých zaků - závslost dvou velč lze vádřt ako ech fukčí vztah vzorcem, taulkou hodot příslušé fukce eo grafck; - mez zak zkoumaých evů zšťueme estec příčé (kauzálí

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

Interpolace a aproximace. Interpolace algebraickým polynomem a aproximace metodou nejmenších čtverců

Interpolace a aproximace. Interpolace algebraickým polynomem a aproximace metodou nejmenších čtverců Iterpolce promce Iterpolce lgebrckým polomem p g ý p promce metodou ejmeších čtverců Iterpolce lgebrckým polomem Apromce metodou ejmeších čtverců Úloh. Dá tbulk hodot,, j pro j. Hodot jsou přesé. Hledáme

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák

SP2 Korelační analýza. Korelační analýza. Libor Žák Korelačí aalýza Přpomeutí pojmů áhodá proměá áhodý vetor áhodý vetor Náhodý výběr: pro áhodou proměou : pro áhodý vetor : pro áhodý vetor : Přpomeutí pojmů - ovarace Kovarace áhodých proměých ovaračí oefcet

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ 1. CHYBY MĚŘENÍ Nedokoalost metod měřeí, přístroů ldských smslů a emožost regstrace a kotrol všech podmíek, které určuí stav měřeého obektu způsobuí, že měřeím emůžeme zstt skutečou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

} kvantitativní znaky

} kvantitativní znaky Měřeí tattcké závlot, korelace, regree Obecé prcpy závlot vzájemá ouvlot měřeých zaků Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. fukčí závlot x tattcká závlot átroje pro měřeí závlot leár rí regree korelace }

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr Bakalářská práce 00 Prohlášeí Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí pramey a formace, které jsem v

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více