Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu: horní a dolní. Horní index e index zapsaný v pozici exponentu. Horní indexy se zpravidla používaí en v situacích, kdy nemůže doít k záměnám s mocninami, například když se mocniny v daném kontextu vůbec nevyskytuí. Horním indexem budeme označovat zeména souřadnice vektorů. Dohoda. V maticích bude řádkový index vždy horní a sloupcový index vždy dolní. Například A i zapíšeme ako A i. Vzorec pro součin matic C = AB pak bude mít tvar n Cl k = Ai k Bi l, i= kde n e počet sloupců matice A =počet řádků matice B. Protože meze,...,n sčítacího indexu i sou spolehlivěurčeny kontextem, budeme zednodušeně psát C k l = i A k i Bi l. Zapamatute si: Ve vzorci pro násobení matic e první výskyt sčítacího indexu dole, druhý nahoře. Příklad. () Zápis Cl k = i Ai l Bk i znamená, že C = BA. Vskutku, zaměnímeli součinitele tak, aby první výskyt sčítacího indexu byl dole, dostaneme Cl k = i Bk i Ai l. () Bud A čtvercová matice. Pak T = i Ai i e součet prvků na diagonále; nazývásestopa matice A. (3) Symbol δ i označue tzv. Kroneckerovo delta. Definue se předpisem { když i =, δ i := 0 když i. Čtvercová matice s prvky δ i e ednotková matice. Cvičení. Ukažte, že Ai δ k = Ai k. Ve fyzice a diferenciální geometrii se často používá Einsteinovo sumační pravidlo. Podle ně se index, např. i, který sevněakém výrazu vyskytue v horní i dolní pozici, považue za index sčítací. Takovývýraz se chápe, ako kdyby před ním stál symbol i kde i probíhá celou množinu přípustných hodnot určenou kontextem nebo dohodou. Při použití Einsteinova sumačního pravidla e shora uvedený vzorec pro součin matic eště ednodušší: Cl k = Ai k Bi l. Zde i e sčítací index, protože se ednou vyskytue v horní a ednou v dolní pozici. Horní indexy a sumační pravidla představuí všeobecně užitečnou alternativu k maticovému zápisu. V této přednášce budeme horní indexy používat především tam, kde to usnadní orientaci ve výpočtech, Einsteinovo sumační pravidlo používat nebudeme.
3. Matice lineárního zobrazení. Souřadnice vektorů Dohoda. Souřadnice vektorů budeme zapisovat s horními indexy. Bud U něaký n-rozměrný vektorový prostor nad polem P. Bud e,...,e n něaká báze v U,bud u U libovolný vektor. Pak sou x,...,x n souřadnice vektoru u vbázi e,...,e n právě tehdy, když platí rovnost u = i x i e i (i e sčítací index; kontextem e určeno, že probíhá množinu {,...,n }). Připomeňme, že touto formulí sou souřadnice x,...,x n vektoru u ednoznačně určeny a že přiřazení u (x,...,x n ) e izomorfismus vektorových prostorů U = P n. Toto přiřazení e závislé na volbě báze, a proto vektory a eich souřadnice e nutno striktně rozlišovat. Často používaný zápis u = (x,...,x n ) dává smysl en při určité volbě báze a mění seskaždou změnou báze. Je za nímvždy nutno vidět formuli u = x i e i. V maticových zápisech budeme x = (x,...,x n ) považovat za matici o ednom sloupci (ve shodě s pravidlem, že horní index e řádkový) a nazývat prostě sloupec souřadnic.. Matice lineárního zobrazení Definice. Bud dán n-rozměrný vektorový prostor U s bazí e,...,e n a m-rozměrný vektorový prostor V s bazí f,..., f m. Bud α : U V lineární zobrazení. Matice A typu m/n, eíž i-tý sloupec e tvořen souřadnicemi vektoru α(e i ) V vbázi f,..., f m, se nazývá matice lineárního zobrazení α vzhledem k bazím e,...,e n a f,..., f m. Přesněi, A i e souřadnice obrazu α(e i ) vbázi f,..., f m. Platí tedy α(e i ) = A i f (připomeňme, že horní index matic e řádkový a dolní e sloupcový). Tvrzení. Bud u U vektor, x = (x,...,x n ) P n sloupec eho souřadnic v bázi e,...,e n prostoru U. Bud v = α(u) V obraz vektoru u, y = (y,...,y m ) P m sloupec eho souřadnic v bázi f,..., f m prostoru V. Pak platí y = Ax. Důkaz. Máme u = i x i e i,načež v = α(u) = α( i x i e i ) = i α(x i e i ) = i x i α(e i ) = i, x i A i f. Odtud plyne, že souřadnice vektoru v vbázi f,..., f m sou i x i A i, to est, y = i x i A i. V poslední formuli nyní stačí zaměnit pořadí součinitelů tak, aby poloha sčítacího indexu odpovídala násobení matic, t. y = A Příklad. Bud te U, V trorozměrné vektorové prostory s bazemi e, e, e 3 a f, f, f 3. Necht e lineární zobrazení α dáno předpisem i xi. α(e ) = f + f 3, α(e ) = f + f 3, α(e 3 ) = f.
3. Matice lineárního zobrazení Souřadnice obrazů α(e i ) vbázi f, f, f 3 sou po řadě (0,, ), (, 0, ), (0,, 0) (ověřte). Matice A e 0 0 0. 0 Obrazem vektoru se souřadnicemi (x, x, x 3 ) e vektor 0 0 0 x x = x x + x 3. 0 x 3 x + x Zkouška správnosti: Obrazem vektoru e se souřadnicemi (, 0, 0) musí být vektor f + f 3 : 0 0 0 0 = 0. 0 0 Zkouška vyšla. Příklad. Uvažume o rovnoběžném promítání π : E 3 E podél vektoru w E. Zvolme libovolnou bázi u,v E. Pak e u,v,wbáze v E 3 (proč?). Lineární zobrazení π splňue α(u) = u, α(v) = v, α(w) = 0. Souřadnice těchto obrazů vbázi u, v, wsou po řadě (, 0), (0, ), (0, 0). Matice zobrazení π vzhledem k bazím u,v,wa u,ve 0 0. 0 0 Obraz vektoru se souřadnicemi (x, y, z) e 0 0 x ( y x = 0 0 y) z (ztrácí se souřadnice měřená podél vektoru w). Zistěme, aká operace s maticemi odpovídá skládání lineárních zobrazení. Tvrzení. Bud U vektorový prostor s bazí e,...,e m,bud V vektorový prostor s bazí f,..., f n, bud W vektorový prostor s bazí g,...,g p. Bud te α : U V,β : V W lineární zobrazení. Bud A matice zobrazení α vzhledem k bazíme,...,e m af,..., f n,bud B matice zobrazení β vzhledem k bazím f,..., f n ag,...,g p. Pak e součin B A maticí zobrazení β α vzhledem k bazím e,...,e m ag,...,g p. Důkaz. Máme α(e i ) = i A i f.dále β( f ) = B k g k.tudíž, ( (β α)(e i ) = β(α(e i )) = β A ) i f = A i β( f ) = =,k A i Bk g k, A i B k g k k a proto e matice zobrazení β α rovna A i Bk = B k A i,cožesoučin BA. 3
3. Matice lineárního zobrazení Tvrzení. Při steném označení ako v předchozím tvrzení, necht e α izomorfismus (a potom m = n). Pak e matice A invertibilní aa e matice inverzního lineárního zobrazení α : V U. Důkaz. Bud B matice lineárního zobrazení α : V U vzhledem k příslušným bazím. Podle předchozího tvrzení e BA matice lineárního zobrazení α α = id vzhledem k bázi e,...,e m,což e ednotková matice. Tudíž, BA = E. Analogicky AB = E adůkaz e hotov. 3. Matice přechodu Bud opět dán n-rozměrný vektorový prostor U nad polem P. Bud e,...,e n něaká báze v U, nazvěme i starábáze. Bud e,...,e n inábáze v U, nazvěme i novábáze. Bud u U libovolný vektor. Souřadnice vektoru u ve staré bázi e,...,e n označme x = (x,...,x n ) P n a říkeme im staré souřadnice. Souřadnice vektoru u vnovébázi e,...,e n označme x = (x,...,x n ) P n a říkeme im nové souřadnice. (Platí tedy u = i x i e i = i x i e i.) Zaímá nás vztah mezi starými a novými souřadnicemi x a x. Vektory nové báze mohou být zadány svými souřadnicemi ve starébázi. Definice. Matice Q, eíž sloupce sou tvořeny starými souřadnicemi nových bázových vektorů, se nazývá matice přechodu (od starébázeknovébázi). Máme tedy id(e i ) = e i = Q i e. Odtud okamžitě plyne Tvrzení. Matice přechodu od báze e,...,e n kbázi e,...,e n e totožná s maticí identického zobrazení id : V V vzhledem k bazíme,...,e n ae,...,e n (v tomto pořadí!). Důsledek. () Matice přechodu e vždy invertibilní. () Označuí-li x resp. x sloupce starých resp. nových souřadnic, pak nové souřadnice závisí na starých souřadnicích vztahem x = Q x. Důkaz. () Tvrzení e důsledkem předchozích, protože identické zobrazení e izomorfismus. () Platí x = Qx,načež x = Q Qx = Q x. Příklad. Necht e = e e a e = e. Staré souřadnice nové báze sou (, ), (0, ). Matice přechodu a matice k ni inverzní sou 0 0 Q =, Q =. Vektor se starými souřadnicemi x = (x, x ) má nové souřadnice 0 x = Q x x x = x = x + x. 4
3. Matice lineárního zobrazení Zkouška správnosti: vektor e musí mít nové souřadnice (, 0) a vektor e musí mít nové souřadnice (0, ). Ověřte. 4. Změna matice lineárního zobrazení při změnách bazí Tvrzení. Bud U vektorový prostor se starou bazí e,...,e n a novou bazí e,...,e n, matice přechodu od staré k nové bázi bud Q. Bud V vektorový prostor se starou bazí f,..., f m a novou bazí f,..., f m, matice přechodu od staré k novébázi bud R. Bud α : U V lineární zobrazení. Bud A matice lineárního zobrazení α vzhledem k bazím e,...,e n, f,..., f m. Bud A matice lineárního zobrazení α vzhledem k bazím e,...,e n,f,..., f m. Pak platí A = R AQ. Důkaz. Situaci můžeme znázornit diagramem U e,...,e n id U e,...,e n α α V f,..., f m id V f,..., f m V rozích stoí vektorové prostory s vyznačenou bazí, šipky označuí lineární zobrazení. Jednotlivá zobrazení pak maí matice id : U U α vlevém sloupci A id : V V α v pravém sloupci A. Q R Platí α id = id α, odtud podle tvrzení o matici složeného zobrazení plyne rovnost A Q = R A. Po vynásobení obou stran maticí Q zprava získáme tvrzení. 5