čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Přchodové jvy Účlm éo knihy j nači sdny řši přchodové jvy v obvodch. řád yp a sznámi j s oricko problmaiko přchodových jvů v obvodch. řádů yp. Přchodové jvy v obvodch. řád Řšní přchodových jvů v obvodch. řád spočívá zpravidla v ssavní a vyřšní difrnciální rovnic. řád. Odvod obsahj poz jdn akmlační prvk cívk nbo kondnzáor, pasivní prvky rzisory a zdroj napěí, popř. prod a samozřjmě spínač, krý složí k spní vnlně rozpní obvod k zahájní přchodového jv, a o ať ž spojním obvod nbo jho rozpojním. Sandardní posp spočívá v základní znalosi řšní přchodových jvů, znalosi drivac a xponnciální fnkc, proo j njprv obvod popsán a násldně spočíán. Řšní přchodového jv v obvodch. řád sériové spojní idálního rzisor a idálního kondnzáor a variana nabíjní idálního kondnzáor Schéma zapojní: Náhradní schéma zapojní: Popis obvod: Obvod j složn z zdroj sjnosměrného napěí, idálního rzisor s odporm, idálního kondnzáor s kapacio, spínač S. Obvod s přd okamžikm spní spínač S, j. v čas, nachází v sálném sav, nazvěm no sav minlý sálný sav. O omo sav můžm říci, ž za přdpoklad nnabiého kondnzáor v omo obvod nč prod, a proo na rzisor s odporm nmůž vznikno úbyk napěí dl Ohmova zákona vlivm proékajícího prod a kondnzáor nmůž akmlova nrgii. Po spní spínač S do polohy j připojn zdroj sjnosměrného napěí do obvod s idálním kondnzáorm s kapacio sériově spojným s idálním rzisorm s odporm, chování obvod j nyní lép parné z náhradního schéma zapojní. V okamžik spní spínač S do polohy s idální nnabiý kondnzáor chová jako zkra a vlikos napěí na něm bd. Prod kocí obvodm v okamžik připojní sjnosměrného zdroj do obvod spínačm S j omzn poz vlikosi odpor idálního rzisor, a díž ímo obvodm v okamžik připojní sjnosměrného zdroj do obvod spínačm S prochází njvěší možný nabíjcí prod, kdy jho vlikos j dána vzahm Přchodové jvy v obvodch. řád - 7 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik i I, nboť jak již bylo řčno, nnabiý kondnzáor s chová v okamžik připojní sjnosměrného zdroj do obvod spínačm S jako zkra, nní v něm dy nahromaděna žádná nrgi lkrického pol, a proož plaí Ohmův zákon j vlikos prod procházjícího obvodm dána podílm hodnoy napěí sjnosměrného zdroj a hodnoy odpor idálního rzisor, o vlikos prod označím vlkým písmnm, nboť s jdná o počáční hodno, krá j v daném okamžik sálá a nměnná. Odvodm začn procház nabíjcí prod i. Prod procházjící obvodm vyváří lkrické pol kondnzáor, oo pol s zvěšj v kondnzáor s hromadí nrgi lkrického pol kondnzáor s nabijí vzrůsá na něm napěí. Z zákona o zachování nrgi vím, ž s nrgi nmůž měni skokm, poz spojiě, a díž i napěí na kondnzáor s můž měni poz spojiě, oo napěí j úměrné vlikosi náboj, krý v závislosi na čas kondnzáor dosd nahromadil. Hodnoa nabíjcího prod bd ím mnší, čím věší bd napěí na idálním kondnzáor. Hodnoa napěí na idálním kondnzáor ros, hodnoa nabíjcího prod klsá, úbyk napěí na rzisor j podl Ohmova zákona rovn sočin hodnoy odpor rzisor a vlikosi prod procházjícího odporm, akž s bd aké zmnšova. Prod kondnzáorm s zpočák rychl zmnšj, což j dáno skčnosí, ž s kondnzáor začíná nabíj a díž s na něm rychl mění vlikos napěí, pak s pokls prod zpomalj, až zcla zanikn, jiný slovy dosáhn nlové hodnoy, rspkiv napěí na kondnzáor z počák rychl sopá, pak s jho růs zpomalí, a nakonc s sálí na hodnoě napěí sjnosměrného zdroj. Vlikos napěí na idálním kondnzáor j závislá na vlikosi nabíjcího prod a pro rčiý časový okamžik odpovídá vlikosi napěí dané vzahm: i, krý vychází z II. Kirchhoffova zákona pro no obvod:, pro výpoč požijm spojio vličin, nboť s prod i nmění spojiě v čas, nýbrž s jho hodnoa mění v čas skokově, jak j parné z násldjí rovnic i i, kdy j v éo rovnici prod i ingrován, a nlz díž o rovnici poží pro ssavní homognní difrnciální rovnic. řád a násldně ji vyřši. Posp j násldjící, do původní rovnic plynocí z II. Kirchhoffova zákona, dosadím za napěí na rzisor i, ím získám difrnciální rovnici. řád, kro již můžm násldně řši. Nabíjcí prod j úměrný časové změně vlikosi napěí na kondnzáor: i, omo sav obvod s říká přchodový jv. Přchodový jv j sav, kdy s obvod nachází mzi dvěma sálnými savy, a o minlým a bdocím. Do bdocího sálného sav s obvod dosan až po rčié době, přsně po skonční přchodového jv, po zánik přchodné složky savové vličiny. Savová vličina j vličina, krá s s časm mění spojiě, j zachován jjí směr, nní z hldiska čas přršna. Doba, krá j nzbyně nná k konční přchodového jv s pohybj okolo 5, kd hodnoa s označj jako časová konsana, szjm z ní na rychlos zánik přchodné složky savové vličiny. Časová konsana j rálné číslo, věší jak nla a má rozměr čas, dy skndy. Časová konsana j dána čno vdno v počák k xponnciální křivc zobrazjící průběh savové vličiny, nboli xponnciální křivka má v každém svém bodě sbangn rovno časové konsaně, j o dy doba, za kro by vličina xponnciálního charakr závislá - 8 - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr na éo časové konsaně, dl vzah: y Y, klsla na nl, kdyby s zmnšovala sjno rychlosí jako v čas, j. v směr čny k xponnciální křivc v okamžik. Laicky řčno, přdsavj časová konsana dob, za kro by savová vličina dosáhla hodnoy bdocího sálného sav, kdyby vzrůsala linárně. V našm případě lz konsaova, ž hodnoa vličiny xponnciálního charakr závislá na éo časové konsaně y, klsn od kréhokoliv okamžik za dob na 36,8 % své hodnoy. Dá s dy konsaova, ž časová konsana j doby, za kro klsn námi sldovaná vličina xponnciálního charakr závislá na éo časové konsaně y na 36,8 % své hodnoy. Dál za dob klsn na 3,5 % své hodnoy, za dob 3 klsn na přibližně 5 % své hodnoy, za dob 4 klsn na přibližně % své hodnoy, za dob 5 klsn na,67 % své hodnoy. Za dob 5, krá plynla od začák přchodového jv, spní spínač S, j parné z vypočné hodnoy vličiny xponnciálního charakr závislé na časové konsaně y, ž hodnoa éo vličiny klsn na,67 % své hodnoy a díž lz považova přchodno složk za prakicky zaniklo, přchodový jv za končný. Nyní s obvod nachází v novém sálném sav, říkjm m bdocí sálný sav. V omo sav j již přchodový jv skončn a přchodná složka zcla zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj 5. Idální kondnzáor nyní přdsavj prvk s akmlovano nrgií lkrického pol W, krá zůsan nahromaděna v polarizovaném dilkrik. Při zánik lkrického pol viz b variana vybíjní idálního kondnzáor, s ao nrgi vrací do obvod v formě vybíjcího prod kondnzáor, i z éo skčnosi, ž nrgi j nměnná a díž s nmůž měni skokově, al msí s měni spojiě vyplývá důsldk časové spojiého průběh napěí na kondnzáor, navíc vzhldm k om, ž j napěí na kondnzáor dáno ingrálm proékajícího prod i, msí bý při ohraničné vlikosi ohoo prod i vždy spojio vličino. Vlikos nrgi nahromaděné v kondnzáor j poloviční, nboť drhá polovina s spořbj v odpor idálního rzisor na plo. Posp výpoč:. rční savové vličiny. Ssavní rovnic pro savovo vličin popisjících sav obvod po vznik přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic 4. Nalzní pariklárního řšní, j. v době, kdy s obvod nacházl v bdocím sálném sav 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, j. v době, kdy s obvod nalézal v minlém sálném sav 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny 8. Konrola správnosi výsldků 9. Výsldky řšní, jjich grafické časové vyjádřní zamyšlní s nad rálnosí výsldků. rční savové vličiny: Pozn.: Zvolili jsm napěí na kondnzáor, nboť s jho smysl polaria nmění a zůsává spojié po clo dob rvání přchodového jv, jak j parné z průběhů grafů řšných vličin, o proi om prod obvodm j nspojiý a díž j nvhodné zvoli ho za savovo vličin, jho nspojios spočívá v skčnosi, ž při nabíjní kondnzáor, kdy s kondnzáor chová jako spořbič, č obvodm jdním směrm, a při vybíjní kondnzáor, Přchodové jvy v obvodch. řád - 9 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik kdy s kondnzáor chová jako zdroj napěí, č obvodm směrm opačným vzhldm k původním směr. Vychází s z spojiosi nrgi W,jnž závisí právě na hodnoě.. Ssavní rovnic pro po vznik přchodového jv: Podl II. Kirchhoffova zákona plaí: ovnici přpíšm do násldjícího var získám difrnciální rovnici. řád: Řšní ohoo přchodového jv, bdm hlda v var: P kd j obcné řšní, řšní přchodového jv bz spočné ingrační konsany K, jdná s poz o řšní homognní rovnic P j pariklární řšní, řšní bdocího sálného sav, řšní po skonční přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic: Z přdšlé difrnciální rovnic vyvořím homognní difrnciální rovnici, a o ak, ž lvo čás rovnic položím rovn nl a osamosaním čln obsahjící savovo vličin bz drivac: λ Řšní éo homognní rovnic hldám v var K, oo řšní dosadím do homognní difrnciální rovnic a spočm. Po dosazní: λ K K λ, řším drivaci: λ λ λ K K, clo rovnici vydělím λ, odd dosanm: λ K λ : Dosadím do hldaného řšní a získám řšní v násldjícím var: λ K K Provdm dosazní za konsan λ, kdy plaí, ž λ a výsldné obcné řšní a řšní homognní rovnic má končno podob v var: K, kd j časová konsana 4. Nalzní pariklárního řšní, obvod v bdocím sálném sav: sálný sav po skonční přchodového jv, dy v době nkončně dlohé po spní spínač S. Vím již, ž v omo sav j přchodový jv skončn a přchodná složka zcla - - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj 5. Idální kondnzáor nyní přdsavj prvk s akmlovano nrgií lkrického pol W, krá zůsan nahromaděna v polarizovaném dilkrik. Tím j bdocí sálný sav vyřšn: P kons. 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, obvod v minlém sálném sav: sálný sav přd vznikm přchodového jv, dy v době ěsně přd spním spínač S. Vím, ž v omo sav v rozpojném obvod nč žádný prod, a proo na rzisor s odporm nmůž vznikno úbyk napěí dl Ohmova zákona vlivm proékajícího prod, a idální kondnzáor s nbd nabíj na žádné napěí, z čhož plyn, ž nmůž hromadi náboj a díž jho dilkrikm nbd hromadi nrgii. Tím j vyřšn minlý sálný sav: <, kvivalnní zápis 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní: Do řšní přchodového jv dosadím za obcné a pariklární řšní spočné hodnoy: P, kd K, kd a P K, kd Pro rční ingračních konsan vycházím z počáčních podmínk, kdy plaí, ž sav obvod ěsně přd spním j rovn sav obvod ěsně po spní. P K, K, odd j ingrační konsana rovna: K Po dosazní ingrační konsany K do vzorc pro řšní přchodového jv: K, kd, získám:, kd, po vykní dosanm:, kd 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny: Nyní dopočíám pomocí přdchozího vzah vlikos procházjícího prod odvodm a násldně dopočíám pomocí Ohmova zákona hodno úbyk napěí na idálním rzisor způsobného procházjícím prodm: Přchodové jvy v obvodch. řád - -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik - - Přchodové jvy v obvodch. řád kd i c, kd i, Napěí lz aké spočía poměrně snadněji a o z vzah podl II. Kirchhoffova zákona plaícího pro no obvod:, odd:, po dosazní za : kd,, po vykní : kd, Jak j parné z výsldků vyšla hodnoa napěí v obo případch sjně. 8. Konrola správnosi výsldků: 9. Výsldky řšní a jjich grafické časové vyjádřní: Grafické průběhy přchodových vličin v závislosi na čas:
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr b variana vybíjní idálního kondnzáor Schéma zapojní: Náhradní schéma zapojní: Popis obvod: Vycházjm z přdpoklad, ž další přchodový jv nasan v čas a nzávisí díž z časového hldiska na přdchozí varianě a nabíjní idálního kondnzáor. Obvod j sjný jako v přdchozí varianě a nabíjní idálního kondnzáor, skládá s opě z zdroj sjnosměrného napěí, idálního rzisor s odporm, idálního kondnzáor s kapacio a spínač S. Obvod s přd okamžikm spní spínač S, j. v čas, nachází v sálném sav, nazvěm no sav minlý sálný sav. Z řšní variany a nabíjní idálního kondnzáor již vím, ž no sav byl v přdšlém řšní označován jako bdocí sálný sav, můžm dy o omo sav říci, ž obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj 5. Idální kondnzáor nyní přdsavj prvk s akmlovano nrgií lkrického pol W, krá zůsan nahromaděna v polarizovaném dilkrik. V okamžik přpní spínač S do polohy j odpojn zdroj sjnosměrného napěí od obvod s idálním kondnzáorm s kapacio sériově spojným s idálním rzisorm s odporm, chování obvod j nyní lép parné z náhradního schéma zapojní. V okamžik spní spínač S do polohy s idální nabiý kondnzáor chová jako zdroj sjnosměrného napěí a vlikos napěí na něm bd. Odvodm začn procház vybíjcí prod, krý má obrácný smysl, nž v přdchozí varianě a nabíjní idálního kondnzáor, j omzn poz vlikosi odpor idálního rzisor, a díž ímo obvodm v okamžik odpojní sjnosměrného zdroj od obvod spínačm S prochází njvěší možný vybíjcí prod, jho vlikos j dána vzahm i I, nboť jak již bylo řčno, idální kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj a chová s v okamžik připojní sjnosměrného zdroj do obvod spínačm S jako zdroj ohoo napěí, a proož plaí Ohmův zákon j vlikos prod procházjícího obvodm dána podílm hodnoy napěí plně nabiého kondnzáor a hodnoy odpor idálního rzisor, o vlikos prod označím vlkým písmnm, nboť s jdná o počáční hodno, krá j v daném okamžik sálá a nměnná. Vškrá nrgi nahromaděná v dilkrik idálního kondnzáor s bd měni v idální rzisor na plno nrgii plo Jolovo plo. Nyní s obvod nachází sav, krý s označj jako přchodový jv. Z vdného vyplývá, ž vlikos napěí na idálním kondnzáor bd rovna vlikosi úbyk napěí na idálním rzisor způsobném podl Ohmova zákona procházjícím prodm, nboť idální kondnzáor nahromaděno Přchodové jvy v obvodch. řád - 3 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik nrgii lkrického pol přdává idálním rzisor, kd s mění, jak již bylo vdno na plo. Podl II. Kirchhoffova zákona lz pro no obvod napsa rovnici:, dalo by s namíno, ž rovnic podl II. Kirchhoffova zákona vypadá jinak, a o, al ak o nní, nboť kondnzáor j v skčnosi pořád spořbič, ačkoliv nyní přbral fnkci zdroj, navíc průběh napěí na obo prvcích j z hldiska polari obrácný a díž bychom s dopsili rčié chyby, nboť msí plai z princip zachování nrgi, ž. Prod idálním kondnzáorm j úměrný časové změně vlikosi napěí, lz proo napsa vzah pro vybíjcí prod: i. Podl Ohmova zákona, krý říká, ž úbyk napěí na idálním rzisor j přímo úměrný procházjícím prod a vlikosi odpor idálního rzisor prodm proékaným, lz psá vzah pro úbyk napěí: i. Jinými slovy řčno, dochází k zánik lkrického pol a nrgi nahromaděná v dilkrik s vrací do obvod formo vybíjcího prod kondnzáor i z éo skčnosi, ž j nrgi nměnná, a díž s nmění skokově, al spojiě vyplývá důsldk časové spojiého průběh napěí na kondnzáor, navíc vzhldm k om, ž j napěí na kondnzáor dáno ingrálm proékajícího prod i, msí bý při ohraničné vlikosi ohoo prod i vždy spojio vličino. Vlikos nrgi nahromaděné v kondnzáor j poloviční, nboť drhá polovina s spořbj v odpor idálního rzisor na plo. Odvodm prochází vybíjcí prod i. Elkrické pol zaniká kondnzáor, rspkiv pol s zmnšj v kondnzáor klsá nrgi lkrického pol kondnzáor s vybijí klsá na něm napěí. Z zákona o zachování nrgi vím, ž s nrgi nmůž měni skokm, poz spojiě, a díž i napěí na kondnzáor s mění spojiě, oo napěí j úměrné vlikosi náboj, krý v závislosi na čas kondnzáor dosd přměnil. Vybíjcí prod bd ím mnší, čím mnší bd napěí na idálním kondnzáor. Napěí na idálním kondnzáor klsá, vybíjcí prod klsá, úbyk napěí na rzisor j podl Ohmova zákona rovn sočin odpor rzisor a prod procházjícího odporm, akž s bd aké zmnšova. Prod kondnzáorm s zpočák rychl zmnšj, což j dáno skčnosí, ž s kondnzáor začíná vybíj a díž s na něm rychl mění vlikos napěí, pak s pokls prod zpomalj, až zcla zanikn, jiný slovy dosáhn nlové hodnoy, rspkiv napěí na kondnzáor z počák rychl klsá, pak s jho pokls zpomalí a nakonc s sálí na nlovém napěí. Vlikos napěí na idálním kondnzáor j závislá na vybíjcím prod a pro rčiý časový okamžik odpovídá vlikosi napěí dané vzahm: i, jnž vychází z II. Kirchhoffova zákona pro no obvod:, pro výpoč požijm spojio vličin, nboť prod i s nmění v čas spojiě, nýbrž s skokově, jak j parné z násldjí rovnic i i, kdy j v éo rovnici prod i ingrován, a nlz díž o rovnici poží pro ssavní homognní difrnciální rovnic. řád a násldně ji vyřši. Posp j násldjící, do původní rovnic plynocí z II. Kirchhoffova zákona, dosadím za napěí na rzisor i, ím získám difrnciální rovnici. řád, kro již můžm násldně řši. Vybíjcí prod j úměrný časové změně napěí na kondnzáor: i, omo sav obvod s říká přchodový jv. Přchodový jv j sav, kdy - 4 - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr s obvod nachází mzi dvěma sálnými savy, a o minlým a bdocím. Do bdocího sálného sav s obvod dosan až po rčié době, přsně po skonční přchodového jv, po zánik přchodné složky savové vličiny. Savová vličina j vličina, krá s s časm mění spojiě, j zachován jjí směr, nní z hldiska čas přršna. Doba, krá j nzbyně nná k konční přchodového jv s pohybj okolo 5, kd hodnoa s označj jako časová konsana, szjm z ní na rychlos zánik přchodné složky savové vličiny. Časová konsana j rálné číslo, věší jak nla a má rozměr čas, dy skndy. Časová konsana j dána čno vdno v počák k xponnciální křivc zobrazjící průběh savové vličiny, nboli xponnciální křivka má v každém svém bodě sbangn rovno časové konsaně, j o dy doba, za kro by vličina xponnciálního charakr závislá na éo časové konsaně, dl vzah: y Y, klsla na nl, kdyby s zmnšovala sjno rychlosí jako v čas, j. v směr čny k xponnciální křivc v okamžik. Laicky řčno, přdsavj časová konsana dob, za kro by savová vličina dosáhla hodnoy bdocího sálného sav, kdyby vzrůsala linárně. V našm případě lz konsaova, ž hodnoa vličiny xponnciálního charakr závislá na éo časové konsaně y, klsn od kréhokoliv okamžik za dob na 36,8 % své hodnoy. Dá s dy konsaova, ž časová konsana j doby, za kro klsn námi sldovaná vličina xponnciálního charakr závislá na éo časové konsaně y na 36,8 % své hodnoy. Dál za dob klsn na 3,5 % své hodnoy, za dob 3 klsn na přibližně 5 % své hodnoy, za dob 4 klsn na přibližně % své hodnoy, za dob 5 klsn na,67 % své hodnoy. Za dob 5, krá plynla od začák přchodového jv, spní spínač S, j parné z vypočné hodnoy vličiny xponnciálního charakr závislé na časové konsaně y, ž hodnoa éo vličiny klsn na,67 % své hodnoy a díž lz považova přchodno složk za prakicky zaniklo, přchodový jv za končný. Nyní s obvod nachází v novém sálném sav, říkjm m bdocí sálný sav. V omo sav j již přchodový jv skončn a přchodná složka zcla zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j zcla vybiý, jinými slovy řčno napěí n něm j nlové 5. Vškrá nrgi lkrického pol nahromaděná v idálním kondnzáor s přměnila na idálním rzisor v plné zráy plo Jolovy zráy, díž j lkrické pol idálního kondnzáor bz nrgi a zanikn. Napěí na idálním kondnzáor j nlové. Na idálním rzisor s již žádná nrgi lkrického pol npřmění na plné zráy, nboť j lkrické pol idálního kondnzáor bz nrgi. Navíc obvodm nprochází žádný prod, krý by způsoboval podl Ohmova zákona úbyk napěí na idálním rzisor a proo bd i no úbyk napěí na idálním rzisor nlový. Posp výpoč:. rční savové vličiny. Ssavní rovnic pro savovo vličin popisjících sav obvod po vznik přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic 4. Nalzní pariklárního řšní, j. v době, kdy s obvod nacházl v bdocím sálném sav 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, j. v době, kdy s obvod nalézal v minlém sálném sav 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny 8. Konrola správnosi výsldků 9. Výsldky řšní, jjich grafické časové vyjádřní zamyšlní s nad rálnosí výsldků Přchodové jvy v obvodch. řád - 5 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik. rční savové vličiny: Pozn.: Zvolili jsm napěí na kondnzáor, nboť s jho smysl polaria nmění a zůsává spojié po clo dob rvání přchodového jv, jak j parné z průběhů grafů řšných vličin, o proi om prod obvodm j nspojiý a díž j nvhodné zvoli ho za savovo vličin, jho nspojios spočívá v skčnosi, ž při nabíjní kondnzáor, kdy s kondnzáor chová jako spořbič, č obvodm jdním směrm, a při vybíjní kondnzáor, kdy s kondnzáor chová jako zdroj napěí, č obvodm směrm opačným vzhldm k původním směr. Vychází s z spojiosi nrgi W,jnž závisí právě na hodnoě.. Ssavní rovnic pro po vznik přchodového jv: Podl II. Kirchhoffova zákona plaí:, rovnici přpíšm do násldjícího var difrnciální rovnic. řád: P, řšní ohoo přchodového jv, bdm hlda v var: kd j obcné řšní, řšní přchodového jv bz spočné ingrační konsany K, jdná s poz o řšní homognní rovnic P j pariklární řšní, řšní bdocího sálného sav, řšní po skonční přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic: Přdšlá difrnciální rovnic j již homognní difrnciální rovnicí, jinak bychom ji vyvořili ak, ž lvo čás rovnic položím rovn nl a osamosaním čln obsahjící savovo vličin bz drivac: λ Řšní éo homognní rovnic hldám v var K, oo řšní dosadím do homognní difrnciální rovnic a spočm. Po dosazní: λ K λ K λ K K λ λ, řším drivaci:, clo rovnici vydělím λ, odd dosanm: λ K λ : Dosadím do hldaného řšní a získám řšní v násldjícím var: λ K K Provdm dosazní za konsan λ, kdy plaí, ž λ a výsldné obcné řšní a řšní homognní rovnic má končno podob v var: K, kd j časová konsana. - 6 - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr 4. Nalzní pariklárního řšní, obvod v bdocím sálném sav: sálný sav po skonční přchodového jv, dy v době nkončně dlohé po spní spínač S. Vím již, ž v omo sav j přchodový jv skončn a přchodná složka zcla zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j zcla vybiý, jinými slovy řčno napěí n něm j nlové 5. Vškrá nrgi lkrického pol nahromaděná v idálním kondnzáor s přměnila na idálním rzisor v plné zráy plo Jolovy zráy, díž j lkrické pol idálního kondnzáor bz nrgi a zanikn. Napěí na idálním kondnzáor j nlové. Na idálním rzisor s již žádná nrgi lkrického pol npřmění na plné zráy, nboť j lkrické pol idálního kondnzáor bz nrgi. Navíc obvodm nprochází žádný prod, krý by způsoboval podl Ohmova zákona úbyk napěí na idálním rzisor a proo bd i no úbyk napěí na idálním rzisor nlový. Tím j bdocí sálný sav vyřšn: P kons. 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, obvod v minlém sálném sav: sálný sav přd vznikm přchodového jv, dy v době ěsně přd přpním spínač S do polohy. Vím, ž v omo sav v obvod nč žádný prod, a proo na rzisor s odporm nmůž vznikno úbyk napěí dl Ohmova zákona vlivm proékajícího prod. Idální kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj a v jho dilkrik j nahromaděna nrgi lkrického pol W. Tím j vyřšn minlý sálný sav: <, kvivalnní zápis 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní: Do řšní přchodového jv dosadím za obcné a pariklární řšní spočné hodnoy: P, kd K, kd a P K K, kd Pro rční ingračních konsan vycházím z počáčních podmínk, kdy plaí, ž sav obvod ěsně přd spním j rovn sav obvod ěsně po spní. P K, K, odd j ingrační konsana rovna: K Po dosazní ingrační konsany K do vzorc pro řšní přchodového jv: K, kd, získám:, kd Přchodové jvy v obvodch. řád - 7 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik - 8 - Přchodové jvy v obvodch. řád 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny: Nyní dopočíám pomocí přdchozího vzah vlikos procházjícího prod odvodm a násldně dopočíám pomocí Ohmova zákona hodno úbyk napěí na idálním rzisor způsobného procházjícím prodm: c i kd i, Napěí lz aké spočía poměrně snadněji a o z vzah podl II. Kirchhoffova zákona plaícího pro no obvod:, odd:, po dosazní za : kd, Jak j parné z výsldků vyšla hodnoa napěí v obo případch sjně. 8. Konrola správnosi výsldků: 9. Výsldky řšní a jjich grafické časové vyjádřní: Grafické průběhy přchodových vličin v závislosi na čas:
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Řšné příklady: Příklad Sanov časový průběh napěí v obvod zapojného podl schéma a o po spní spínač S v čas, nacházl-li s odvod přd ímo spním spínač S v sálném sav, dál spoč napěí sjnosměrného zdroj, z něhož s nabíjí idální kondnzáor s kapacio [µf] přs idální rzisor, krý má odpor 5 [Ω], vím-li, ž byl přd spním kondnzáor zcla vybiý a nabíjcí prod v čas 3 [ms] byl 5 [ma]. Schéma zapojní: Náhradní schéma zapojní: Řšní: Pozn.: Kapaci idálního kondnzáor vypoč z vzah pro časovo konsan daného obvod přchodového jv. Časovo konsan rč zlogarimováním přirozným logarimm, abys odsranily xponnciální fnkci, charakrizovano Elrovo konsano a získaly ak xponn éo xponnciální fnkc, v krém j obsažna vlikos hodnoy časové konsany daného obvod přchodového jv výsldného vzah pro časový průběh napěí v obvod po spní spínač S v čas.. rční savové vličiny:. Ssavní rovnic pro po vznik přchodového jv: Podl II. Kirchhoffova zákona plaí: ovnici přpíšm pomocí Ohmova zákona do var získám difrnciální rovnici. řád: Řšní ohoo přchodového jv, bdm hlda v var: P kd j obcné řšní, řšní přchodového jv bz spočné ingrační konsany K, jdná s poz o řšní homognní rovnic P j pariklární řšní, řšní bdocího sálného sav, řšní po skonční přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic: z přdšlé difrnciální rovnic vyvořím homognní difrnciální rovnici, a o ak, ž lvo čás rovnic položím rovn nl, což ž j splněno vlivm chování obvod a osamosaním čln obsahjící savovo vličin bz drivac: Přchodové jvy v obvodch. řád - 9 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik λ Řšní éo homognní rovnic hldám v var K, oo řšní dosadím do homognní difrnciální rovnic a spočm. Po dosazní: λ K λ K λ K K λ λ, řším drivaci:, clo rovnici vydělím K λ : λ, odd dosanm: λ Dosadím do hldaného řšní a získám řšní v násldjícím var: λ K K Provdm dosazní za konsan λ, kdy plaí, ž λ a výsldné obcné řšní a řšní homognní rovnic má končno podob v var: 6 K, kd 5, [ s] [ ms] j časová konsana. 4. Nalzní pariklárního řšní, obvod v bdocím sálném sav: sálný sav po skonční přchodového jv, dy v době nkončně dlohé po spní spínač S. Vím již, ž v omo sav j přchodový jv skončn a přchodná složka zcla zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j nabiý na clé napěí sjnosměrného zdroj 5. Idální kondnzáor nyní přdsavj prvk s akmlovano nrgií lkrického pol W, krá zůsan nahromaděna v polarizovaném dilkrik. Tím j bdocí sálný sav vyřšn: p kons. 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, obvod v minlém sálném sav: sálný sav přd vznikm přchodového jv, dy v době ěsně přd spním spínač S. Vím, ž v omo sav v rozpojném obvod nč žádný prod, a proo na rzisor s odporm nmůž vznikno úbyk napěí dl Ohmova zákona vlivm proékajícího prod, a idální kondnzáor s nbd nabíj na žádné napěí, z čhož plyn, ž nmůž hromadi náboj a díž jho dilkrikm nbd hromadi nrgii. Tím j vyřšn minlý sálný sav: <, kvivalnní zápis 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní: Do řšní přchodového jv dosadím za obcné a pariklární řšní spočné hodnoy: P, kd K, kd a P K, kd Pro rční ingračních konsan vycházím z počáčních podmínk, kdy plaí, ž sav obvod ěsně přd spním j rovn sav obvod ěsně po spní. - - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Přchodové jvy v obvodch. řád - - P K, K, odd j ingrační konsana rovna: K Po dosazní ingrační konsany K do vzorc pro řšní přchodového jv: K, kd, získám:, kd, po vykní dosanm:, kd [] [ ] ms s, 5 6 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny: Nyní dopočíám pomocí vzah pro hodno nabíjcího prod, z něhož násldně dopočíám v čas 3 [ms], kdy byl nabíjcí prod 5 [ma], napěí sjnosměrného zdroj, z něhož s idální kondnzáor nabíjí. Dál pomocí Ohmova zákona dopočm hodno úbyk napěí na idálním rzisor způsobného procházjícím prodm: kd i c, kd i, [ ] kd ms i, 3 Napěí lz aké spočía poměrně snadněji a o z vzah podl II. Kirchhoffova zákona plaícího pro no obvod:, odd:, po dosazní za : kd,, po vykní : kd, Jak j parné z výsldků vyšla hodnoa napěí v obo případch sjně.
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik Dosadím hodnoy: i 5 [ma], 5 [Ω], 3 [ms], [ms],,7888 [-]: 3 3 5, spočm hodno xponnciální fnkc -3 : 5 3 5,5, clo rovnici vynásobím 5 a vydělím,5: 5 [ V ] 5, oo j výsldk, dy hldané napěí sjnosměrného zdroj, z něhož s idální kondnzáor nabíjí. 8. Konrola správnosi výsldků: Pro ověřní správnosi spočm hodno úbyk napěí 3 [ms] a hodnoo napěí na idálním kondnzáor 3 [ms]. Obě yo hodnoy sčm a podl II. Kirchhoffova zákona by mělo plai, ž s jjich soč rovná hodnoě napěí sjnosměrného zdroj : Dosadím známé hodnoy: 5 [V], 5 [Ω], 3 [ms], [ms],,7888 [-]: [ ms] i 3[ ms] 5 5 3, [ V ] 3 5 3 3 5 [ ms] 5 5,5 5,95 47, [ V ] Obě napěí sčm:,5 47,5 5 5 5 Výsldky jso správné, jak o om svědčí konrola správnosi výsldků. 9. Výsldky řšní a jjich grafické časové vyjádřní: Časový průběh napěí :, kd 5 V Napěí sjnosměrného zdroj, z něhož s idální kondnzáor nabíjí: [ ] Grafické znázornění časového průběh napěí a : - - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Simlac časového průběh napěí provdná v program Mlisim: Řšné příklady: Příklad Sanov časový průběh napěí v obvod rálného kondnzáor, dál vypočě svodový odpor ohoo kondnzáor, ví-li, ž j jho kapacia 4 [µf], a ž byl kondnzáor nabi na napěí 5 [V] a vybíjním přs vlasní svodový odpor na něm oho napěí klslo na [V] za dob 5 [min]. Schéma zapojní: Řšní: Pozn.: Svodový odpor rálného kondnzáor vypoč z vzah pro časovo konsan daného obvod přchodového jv. Časovo konsan rč zlogarimováním přirozným logarimm, abys odsranily xponnciální fnkci, charakrizovano Elrovo konsano a získaly ak xponn éo xponnciální fnkc, v krém j obsažna vlikos hodnoy časové konsany daného obvod přchodového jv výsldného vzah pro časový průběh napěí.. rční savové vličiny: Přchodové jvy v obvodch. řád - 3 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik. Ssavní rovnic pro po vznik přchodového jv: Podl II. Kirchhoffova zákona plaí: ovnici přpíšm pomocí Ohmova zákona do var získám difrnciální rovnici. řád: Řšní ohoo přchodového jv, bdm hlda v var: P kd j obcné řšní, řšní přchodového jv bz spočné ingrační konsany K, jdná s poz o řšní homognní rovnic P j pariklární řšní, řšní bdocího sálného sav, řšní po skonční přchodového jv 3. Obcné řšní difrnciální rovnic: Přdšlá difrnciální rovnic j již homognní difrnciální rovnici, nboť j lvá čás rovna nl a osamosaněný čln obsahjící savovo vličin bz drivac: λ Řšní éo homognní rovnic hldám v var K, oo řšní dosadím do homognní difrnciální rovnic a spočm. Po dosazní: λ K K λ, řším drivaci: λ λ λ K K, clo rovnici vydělím λ, odd dosanm: λ K λ : Dosadím do hldaného řšní a získám řšní v násldjícím var: λ K K Provdm dosazní za konsan λ, kdy plaí, ž λ řšní homognní rovnic má končno podob v var: K, kd j časová konsana. a výsldné obcné řšní a 4. Nalzní pariklárního řšní, obvod v bdocím sálném sav: sálný sav po skonční přchodového jv, dy v době nkončně dlohé od okamžik počák vybíjní. Vím již, ž v omo sav j přchodový jv skončn a přchodná složka zcla zanikla. Obvodm již nprochází žádný prod, kondnzáor j zcla vybiý vlasním svodovým odporm a j na něm nlové napěí 5. Vškrá nrgi lkrického pol nahromaděná v rálného kondnzáor s přměnila na svodovém odpor v plné zráy plo Jolovy zráy, díž j lkrické pol idálního kondnzáor bz nrgi a zanikn. Na svodovém odpor s již žádná nrgi lkrického pol npřmění na plné zráy, nboť j lkrické pol rálného kondnzáor bz nrgi. - 4 - Přchodové jvy v obvodch. řád
čbní xy pro Elkrochnik Ing. Kindrá Alxandr Navíc obvodm nprochází žádný prod, krý by způsoboval podl Ohmova zákona úbyk napěí na svodovém odpor a proo bd i no úbyk napěí na svodovém odpor nlový. Tím j bdocí sálný sav vyřšn: kons. P 5. Sanovní počáčních podmínk pro savové vličiny, obvod v minlém sálném sav: sálný sav přd vznikm přchodového jv, dy v době ěsně přd okamžikm počák vybíjní. Vím, ž v omo sav byl rálný kondnzáor nabi na hodno napěí a násldně s začal vybíj, přdpokládjm, ž v omo okamžik začalo vybíjní a díž v době ěsně přd ímo okamžikm přs rálným kondnzáorm přs svodový odpor nkl žádný prod, a proo na svodovém odpor nmůž vznikno úbyk napěí dl Ohmova zákona vlivm proékajícího prod. álný kondnzáor j nabiý na napěí a v jho dilkrik j nahromaděna rčiá nrgi lkrického pol, dl vzah W. Tím j 5 V 5 V vyřšn minlý sálný sav: < [ ], kv. zápis [ ] 6. rční ingrační konsany z počáčních podmínk a jjí dosazní: Do řšní přchodového jv dosadím za obcné a pariklární řšní spočné hodnoy: P, kd K, kd a P K, kd Pro rční ingračních konsan vycházím z počáčních podmínk, kdy plaí, ž sav obvod ěsně přd počákm vybíjní j rovn sav obvod ěsně po začák vybíjní. P K, K, oo j hodnoa ingrační konsany Po dosazní ingrační konsany K do vzorc pro řšní přchodového jv:, kd 7. Výpoč osaních přchodových vličin pomocí vyřšné savové vličiny: Nyní dopočíám pomocí přdchozího vzah vlikos procházjícího prod odvodm a násldně dopočíám pomocí Ohmova zákona hodno úbyk napěí na idálním rzisor způsobného procházjícím prodm: i c i, kd Přchodové jvy v obvodch. řád - 5 -
Ing. Kindrá Alxandr čbní xy pro Elkrochnik Napěí lz aké spočía poměrně snadněji a o z vzah podl II. Kirchhoffova zákona plaícího pro no obvod:, odd:, po dosazní za :, kd Jak j parné z výsldků vyšla hodnoa napěí v obo případch sjně. Nyní dopočíám pomocí vzah pro hodno časové konsany, kdy vím, ž byl rálný kondnzáor nabiý na hodno napěí 5 [V], a v čas 5 [min] 3 [s] s přs vlasní svodový odpor vybil na napěí [V], násldně z vlikosi vypočné časové konsany dopočíám vlikos svodového odpor rálného kondnzáor: [ ms], kd 3 Abychom získaly hodno časové konsany, msím njprv osamosani čln xponnciální fnkc. lo rovnici vydělím hodno :, odsraním xponnciální fnkci, clo rovnici zlogarimjm přirozným logarimm ln jd o invrzní opraci k, kdy plaí, ž ln, rspkiv ln x x: ln, osamosaním hodno časové konsany vynásobím rovnici záporno časovo konsano a vydělím hodnoo clého čln lvé srany:, ím j hodnoa časové konsany vyjádřna. Dosadím znám hodnoy a ln spoč jjí vlikos 5 [V], 3 [ms] [V], 3 [ms]: 3 3 3 3 374,7 [] s ln,4,96973,96973 ln 5 Z známé hodnoy časové konsany a vzah pro o konsan., spočm hodno svodového odpor rálného kondnzáor, přičmž vím, ž 4 [µf]: 374,7 8, 85 M 6 4 [ Ω] A oo j již výsldk, dy hldaná hodnoa svodového odpor rálného kondnzáor, krým s rálný kondnzáor vybil z 5 [V] na [V] za 5 [min]. 8. Konrola správnosi výsldků: Pro ověřní správnosi spočm hodno napěí na rálném kondnzáor 3 [s] při známé vlikosi svodového odpor rálného kondnzáor, o hodno porovnám s hodnoo [V], na níž by s měl v omo časovém okamžik rálný kondnzáor vybí: - 6 - Přchodové jvy v obvodch. řád