Michal Garlík. Topologie v teorii relativity

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michal Garlík Topologie v teorii relativity Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. Studijní program: Fyzika, obecná fyzika 2009

Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu této práce, RNDr. Otakaru Svítkovi, Ph.D., za trpělivost a ochotu při vedení práce a za to, že mi umožnil věnovat se topologii v bakalářské práci fyzikálního zaměření. Můj vděk patří též mým rodičům, za umožnění studia a podporu v něm. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 26.5.2009 Michal Garlík 2

Obsah Úvod 5 1 Kauzální struktura Minkowskiho prostoročasu 7 1.1 Minkowskiho prostoročas - základní pojmy............... 7 1.2 Kauzální relace a Zeemanův teorém.................. 10 2 Topologie Minkowskiho prostoročasu 13 2.1 Euklidovská topologie.......................... 13 2.2 Topologie, které v M souhlasí s euklidovskou............. 17 2.3 Metrická topologie............................ 18 2.4 P-topologie................................ 20 3 Homeomorfismy v P-topologii 26 Závěr 29 Literatura 31 3

Název práce: Topologie v teorii relativity Autor: Michal Garlík Katedra: Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. e-mail vedoucího: Otakar.Svitek@mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme topologií Minkowskiho prostoročasu a jejím vztahem ke kauzální struktuře. Standardně se uvažuje pouze euklidovská topologie, která však není z fyzikálního hlediska nijak přirozená. Podáváme přehled nejčastěji uvažovaných topologií v Minkowskiho prostoročasu a rozebíráme jejich základní vlastnosti. Nejvíce se věnujeme P-topologii, mezi jejíž fyzikální přednosti patří mimo jiné to, že grupa homeomorfismů je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. P-topologie je tak fyzikálně přirozenější a byla zobecněna i do obecné teorie relativity. Klíčová slova: Minkowskiho prostoročas, topologie, Lorentzova grupa, speciální teorie relativity Title: Topology in the Theory of Relativity Author: Michal Garlík Department: Institute of Theoretical Physics Supervisor: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. Supervisor s e-mail address: Otakar.Svitek@mff.cuni.cz Abstract: In the present work we study topologies of Minkowski spacetime and their relation to the underlying causal structure. This issue is frequently neglected and usually only the Euclidean topology is considered. Apart from the survey of the most common topologies and their properties we pay special attention to the P-topology. Namely, we show that its group of homeomorphisms naturally leads to dilations, translations and Lorentz transformations. In this way, the P-topology is much more natural and has already been generalized to curved spacetimes. Keywords: Minkowski space, topology, Lorentz group, special relativity 4

Úvod Zkoumání kauzální struktury prostoročasu patří mezi důležité úkoly fyziky. Kauzální relace mezi body prostoročasu interpretujeme jako popis toho, které události mohou ovlivnit danou událost a které události jsou danou událostí ovlivněny. V roce 1964 E. C. Zeeman publikoval pozoruhodný článek [10], ve kterém ukázal, že z kauzální struktury Minkowskiho prostoročasu už vyplývá i jeho lineární struktura: kauzalitu definoval jako uspořádání na Minkowskiho prostoročasu a dokázal, že grupa automorfismů zachovávajících toto uspořádání je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. Zároveň podrobil kritice euklidovskou topologii, standardně používanou v Minkowskiho prostoročasu, protože kauzalitu nijak nerespektuje. Ve svém následujícím článku [11] pak Zeeman navrhl euklidovskou topologii nahradit novou Fine-topologií, kterou definoval jako nejjemnější topologii Minkowskiho prostoročasu takovou, že indukuje euklidovskou topologii na každé časupodobné přímce a indukuje euklidovskou topologii na každé prostorupodobné nadrovině. Tato topologie byla motivována tím, aby v každém bodě oddělovala časupodobné vektory od prostorupodobných, jako to činí světelný kužel. Zeeman o ní ukázal, že spojité křivky v Minkowskiho prostoročasu s Fine-topologií se skládají z konečně mnoha časupodobných úseček (tedy pouhý požadavek spojitosti křivky dává křivce fyzikální význam) a že grupa homeomorfismů Fine-topologie je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. Fine-topologie ale neměla spočetnou bázi okolí bodu, což ji činilo nevhodnou pro praktické výpočty. V ještě nepublikovaném článku [8] z roku 2008 dokazuje N. B. Sáinz, že Fine-topologie, tak jak ji definoval Zeeman, nemůže existovat. Důvod této časové prodlevy spatřuje Sáinz v tom, že Fine-topologii pro její nepraktičnost asi nikdo nezkusil použít k opravdovým výpočtům. Po Zeemanově objevu se začaly zkoumat další alternativní topologie Minkowskiho prostoročasu s fyzikálním významem. Zvláště se hledaly takové topologie, jejichž grupa homeomorfismů je generovaná dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi, jako tomu bylo u Fine-topologie. Tuto vlastnost ukazuje S. Nanda v článcích [6] a [7], pro s-topologii (nejjemnější topologie indukující euklidovskou topologii na každé prostorupodobné nadrovině) a pro t-topologii (Nanda ji definoval pomocí báze okolí bodu tvořené množinami N P ε (x), které budeme definovat v podkapitole 2.4). V roce 1976 publikovali S. W. Hawking, A. R. King a P. J. McCarthy článek [4], kde definují P-topologii už v obecné relativitě jako nejjemnější topologii indukující euklidovskou topologii na každé (ne nutně hladké) časupodobné křivce. V Minkowskiho prostoročasu je P-topologie shodná s t-topologií definovanou Nandou, 5

ale díky nové definici Hawkinga, Kinga a McCarthyho se podařilo o P-topologii dokázat mnoho fyzikálně i matematicky zajímavých tvrzení. Zaměříme se na ně v této práci. 6

Kapitola 1 Kauzální struktura Minkowskiho prostoročasu 1.1 Minkowskiho prostoročas - základní pojmy Minkowskiho prostoročas je 4-dimenzionální reálný vektorový prostor M na němž je definovaná nedegenerovaná symetrická bilineární forma g signatury (+, +, +, ), nazvaná Minkowskiho skalární součin. Existuje tedy ortonormální báze {e 1, e 2, e 3, e 4 } splňující g(e i, e i ) = 1 pro i {1, 2, 3} a g(e 4, e 4 ) = 1. Indexujme dále prvky každé ortonormální báze {ê 1, ê 2, ê 3, ê 4 } prostoru M tak, aby g(ê 4, ê 4 ) = 1. Prvky M chápeme jako události, o ortonormální bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } mluvíme jako o vztažné soustavě. Pro x = x a e a pohlížíme na trojici (x 1, x 2, x 3 ) jako na prostorové souřadnice a na (x 4 ) jako na časovou souřadnici události x vůči vztažné soustavě {e 1, e 2, e 3, e 4 }. Vektor v M nazýváme časupodobný, je-li g(v, v) < 0, světlupodobný, je-li g(v, v) = 0 a prostorupodobný je-li g(v, v) > 0. Dále budeme chtít dobře definovat časovou orientaci časupodobných a světlupodobných vektorů. K tomu pomůže následující lemma. Lemma 1.1. Necht v je časupodobný a w je časupodobný nebo světlupodobný a nenulový. Necht {e 1, e 2, e 3, e 4 } je ortonormální báze prostoru M a v = v a e a, w = w a e a. Potom nastane právě jedna z následujících možností: (a) v 4 w 4 > 0 & g(v, w) < 0 (b) v 4 w 4 < 0 & g(v, w) > 0. Důkaz. Podle předpokladu máme g(v, v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 0 a g(w, w) = (w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 (w 4 ) 2 0. Vynásobením nerovností dostáváme (v 4 w 4 ) 2 > ((v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 +(v 3 ) 2 )((w 1 ) 2 +(w 2 ) 2 +(w 3 ) 2 ) (v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 ) 2, kde poslední nerovnost plyne ze Schwartzovy nerovnosti. Dostáváme v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, tedy v 4 w 4 0. Pokud v 4 w 4 > 0, tak v 4 w 4 = v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, tedy g(v, w) < 0. Podobně, pokud v 4 w 4 < 0, tak v 4 w 4 = v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ), tedy g(v, w) > 0. Definujme binární relaci ρ na množině všech časupodobných vektorů prostoru M takto: (x, y) ρ g(x, y) < 0. Díky předchozímu lemmatu se lehce ukáže, 7

že ρ je relace ekvivalence a že má právě dvě třídy ekvivalence. Vyberme jednu z těchto dvou tříd ekvivalence a nazývejme její prvky časupodobné vektory orientované do budoucnosti, prvky druhé třídy ekvivalence nazývejme časupodobné vektory orientované do minulosti. Všimněme si, že množina časupodobných vektorů orientovaných do budoucnosti (resp. orientovaných do minulosti) je uzavřená na součet a na násobení kladným reálným číslem. K zavedení časové orientace světlupodobných vektorů si rozmyslíme následující tvrzení. Lemma 1.2. Bud x nenulový světlupodobný vektor. Potom g(x, v) má stejné znaménko pro všechny časupodobné vektory v orientované do budoucnosti. Důkaz. Sporem, necht v, w jsou časupodobné vektory orientované do budoucnosti a g(x, v) < 0, g(x, w) > 0. Pro ṽ = g(x,w) g(x,v) v platí, že je to časupodobný vektor orientovaný do budoucnosti a g(x, ṽ) = g(x, w). Tedy g(x, ṽ + w) = 0. To je ale ve sporu s lemmatem 1.1, protože ṽ + w je časupodobný vektor. To nám umožňuje definovat: nenulový světlupodobný vektor x je orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti), jestliže g(x, v) < 0 (resp. g(x, v) > 0) pro všechny časupodobné do budoucnosti orientované vektory v. Dále zaved me: světelný kužel v bodě x 0 : C N (x 0 ) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0}, budoucí světelný kužel v bodě x 0 : C + N (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0 & x x 0 orientovaný do budoucnosti }, minulý světelný kužel v bodě x 0 : C N (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0 & x x 0 orientovaný do minulosti }, časový kužel v bodě x 0 : C T (x 0 ) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0}, budoucí časový kužel v bodě x 0 : C + T (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0 & x x 0 orientovaný do budoucnosti }, minulý časový kužel v bodě x 0 : C T (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0 & x x 0 orientovaný do minulosti }. Řekneme, že ortonormální báze {e 1, e 2, e 3, e 4 } prostoru M je standardní báze, jestliže její časupodobný vektor e 4 je orientovaný do budoucnosti. Následující geometricky názorná lemmata budou velmi užitečná v dalších kapitolách. Lemma 1.3. Součet dvou vektorů v, w M, které jsou časupodobné nebo světlupodobné, oba orientované do budoucnosti (resp. orientované do minulosti), je vektor časupodobný orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti), kromě případu, kdy jsou oba světlupodobné a jeden je násobkem druhého, tehdy bude součet světlupodobný vektor orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti). Důkaz. Součet jakýchkoli dvou vektorů orientovaných do budoucnosti (resp. orientovaných do minulosti) je opět vektor orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti). Dále proto obecně uvažujme, že v a w mají stejnou časovou orientaci. Necht v je časupodobný a w je časupodobný nebo světlupodobný, t.j. platí g(v, v) < 0, g(w, w) 0 a g(v, w) < 0. Dostáváme g(v + w, v + w) = g(v, v) + 2g(v, w) + g(w, w) < 0, takže v + w je časupodobný. 8

Necht jsou v a w oba světlupodobné. Pak platí g(v + w, v + w) = g(v, v) + 2g(v, w)+g(w, w) = 2g(v, w). Zvolme {e 1, e 2, e 3, e 4 } ortonormální bázi v M. Protože v a w jsou oba orientované do budoucnosti nebo oba orientované do minulosti, platí v 4 w 4 > 0. V této bázi máme g(v, w) = v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 v 4 w 4 ((v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 ) 1/2 ((w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 ) 1/2 v 4 w 4 = v 4 w 4 v 4 w 4 = 0, kde nerovnost plyne se Schwarzovy nerovnosti. Pokud by nastala rovnost, t.j. g(v, w) = 0, tak dostáváme v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = v 4 w 4 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) 2 = (v 4 ) 2 (w 4 ) 2 = ((v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 )((w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 ) 2v 1 w 1 v 2 w 2 + 2v 1 w 1 v 3 w 3 + 2v 2 w 2 v 3 w 3 = (v 1 w 2 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 v 3 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 = 0. Tedy (v 1 w 2 v 2 w 1 ) = 0, (v 1 w 3 v 3 w 1 ) = 0, (v 2 w 3 v 3 w 2 ) = 0, a jelikož w je světlupodobný nenulový, je alespoň jedna ze souřadnic w 1, w 2, w 3 nenulová, necht je to w i. Potom ale v 1 = vi w i w1, v 2 = vi w i w2, v 3 = vi w i w3, tedy existuje k R takové, že k(w 1, w 2, w 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ). Dosadíme-li zpět do předpokládaného vztahu g(v, w) = 0, dostáváme v 4 w 4 = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = (kw 1 )w 1 + (kw 2 )w 2 + (kw 3 )w 3 = k(w 4 ) 2. Po vykrácení nenulovým w 4 vychází v 4 = kw 4. Takže jsme dostali v = kw. Naopak, je-li v = kw pro nějaké k R, tak zřejmě platí g(v, w) = 0. Tudíž dostáváme, že g(v, w) = 0 nastane právě když je v násobkem w. V opačném případě bude nerovnost ve vztahu g(v, w) 0 ostrá, celkem proto g(v+w, v+w) = 2g(v, w) < 0 a v + w je tak časupodobný pro světlupodobné stejně časově orientované vektory v a w z nichž není jeden násobkem druhého. Lemma 1.4. Necht x 1, x 2,..., x n M pro n N. Potom existuje p M takové, že {x 1, x 2..., x n } C + T (p) a q M takové, že {x 1, x 2..., x n } C T (q). Důkaz. Dokážeme tvrzení o p, existence q se dokáže analogicky. Bud {e 1, e 2, e 3, e 4 } standardní báze prostoru M. Dokazujeme indukcí podle n. Pro n = 1 stačí vzít p = x 1 e 4 a tvrzení je splněno. Necht tvrzení platí pro n 1 a p = p a e a splňuje {x 1, x 2..., x n 1 } C + T ( p). Bud x n = x a ne a a položme Potom s = p 4 ( ( p 1 ) 2 + ( p 2 ) 2 + ( p 3 ) 2) 1/2, t = x 4 n ( (x 1 n) 2 + (x 2 n) 2 + (x 3 n) 2) 1/2. g( p se 4, p se 4 ) = ( p 1 ) 2 + ( p 2 ) 2 + ( p 3 ) 2 ( p 4 s) 2 = 0, g(x n te 4, x n te 4 ) = (x 1 n) 2 + (x 2 n) 2 + (x 3 n) 2 (x 4 n t) 2 = 0 9

a p 4 s 0, x 4 n t 0. Tedy p (C + N (se 4) {se 4 }) a x n (C + N (te 4) {te 4 }). Položme r = min{s, t} 1 a p = re 4. Potom díky lemmatu 1.3 platí { p, x n } C + T (p). Použitím téhož lemmatu dostáváme {x 1, x 2..., x n } C + T (p) a důkaz je hotov. Ortogonální transformace prostoru M, t.j. lineární zobrazení L : M M splňující g(lx, Ly) = g(x, y) pro každé x, y M, se nazývá Lorentzova transformace. Je vidět, že Lorentzovy transformace tvoří grupu, jmenuje se Lorentzova grupa. Snadno se nahlédne, že ortogonální transformace zobrazí libovolnou ortonormální bázi prostoru M opět na ortonormální bázi, a že pro libovolné dvě ortonormální báze prostoru M existuje ortogonální transformace, která zobrazí jednu bázi na druhou. Lorentzova transformace tak vyjadřuje vztah mezi souřadnicemi události naměřenými ve dvou vztažných soustavách. Může ale obrátit časovou orientaci všech časupodobných a nenulových světlupodobných vektorů, a taky může převrátit prostorovou orientaci, t.j. změnit orientaci bázových vektorů {e 1, e 2, e 3 } z pravotočivé na levotočivou a naopak. Ortochronní Lorentzovu transformaci definujeme jako Lorentzovu transformaci, která časovou orientaci zachová, t.j. takovou Lorentzovu transformaci L, že g(x, Lx) < 0 pro každý časupodobný nebo nenulový světlupodobný vektor x. Ortochronní Lorentzovy transformace zřejmě tvoří podgrupu Lorentzovy grupy, jmenuje se ortochronní Lorentzova grupa. 1.2 Kauzální relace a Zeemanův teorém Na prostoru M definujeme dvě binární relace, a <, kterým říkáme kauzální relace, takto: Necht x, y M, řekneme, že x chronologicky předchází y a značíme x y, jestliže y x je časupodobný orientovaný do budoucnosti. Řekneme, že x kauzálně předchází y a značíme x < y, jestliže y x je světlupodobný orientovaný do budoucnosti. Všimněme si, že relace je uspořádání na prostoru M, kdežto relace < uspořádání není (protože není tranzitivní). Následující lemma říká, že každá z kauzálních relací a < se dá definovat pomocí druhé. Lemma 1.5. Necht x, y M, x y. Potom platí (1) x < y právě když (x y & ( z)(y z x z)) (2) x y právě když (x y & ( z)(x < z < y)) Důkaz. (1) Necht x < y. Potom x y platí, protože g(y x, y x) = 0. A je-li y z, tak z x = (z y) + (y x) je dle lemmatu 1.3 časupodobný do budoucnosti orientovaný vektor, tedy x z. Naopak, necht x y a x y. Potom je y x bud časupodobný orientovaný do minulosti nebo světlupodobný orientovaný do minulosti nebo prostorupodobný. Nastane-li první možnost, tak díky lemmatu 1.3 je pro libovolné z splňující x < z vektor z y = (z x) + (x y) časupodobný orientovaný do budoucnosti, tedy y z, ale x z. Pro zbylé dvě možnosti pro vektor y x zvolme nejprve v M nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht x = x a e a, y = y a e a. Položme 10

z n = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 + (y 4 + 1/n)e 4 pro každé n přirozené a počítejme: g(z n x, z n x) = g((z n y) + (y x), (z n y) + (y x)) = g(z n y, z n y) + 2g(z n y, y x) + g(y x, y x) = 1 n 2 1 n (y4 x 4 ) + g(y x, y x) = 1 ( 2(x 4 y 4 ) 1 ) + g(y x, y x). n n Je-li y x světlupodobný orientovaný do minulosti, tak g(y x, y x) = 0 a x 4 y 4 > 0, a tedy pro dostatečně velké n je g(z n x, z n x) > 0. Je-li y x prostorupodobný, tak g(y x, y x) > 0 a opět pro dostatečně velké n bude g(z n x, z n x) > 0. Zvolíme-li tedy v těchto dvou případech z = z n pro nalezené n, dostáváme y z a x z. Tím je důkaz (1) hotov. (2) Necht x y. Potom x y platí a je třeba najít z M splňující x < z < y. Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat x = 0. Zvolme v M nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht y = y a e a. Položme z = z a e a, kde z 1 = z 4 = g(y, y) 2(y 4 y 1 ) a z 2 = z 3 = 0. Jelikož 0 = x y, máme g(y, y) < 0 a y 4 > 0, tudíž y 1 < y 4 a tedy z 4 > 0. Zřejmě g(z, z) = 0 a g(y z, y z) = g(y, y) 2g(y, z) + g(z, z) = g(y, y) 2(y 1 z 1 y 4 z 4 ) + 0 = g(y, y) 2(y 1 y 4 g(y, y) ) 2(y 4 y 1 ) = 0. Ověřili jsme, že z má požadované vlastnosti. Pro opačnou implikaci v (2) si uvědomme, že podle lemmatu 1.3 je y x = (y z)+(z x) časupodobný vektor orientovaný do budoucnosti nebo světlupodobný vektor orientovaný do budoucnosti, a jelikož je druhý případ podle předpokladu vyloučen, dostáváme kýžené. Zobrazení f : M M nazveme kauzální automorfismus, jestliže f je bijekce a f i f 1 zachovávají uspořádání, t.j. ( x, y M) x y f(x) f(y). Díky předchozímu lemmatu není obtížné ověřit, že bijektivní zobrazení f : M M je kauzální automorfismus právě když ( x, y M) x < y f(x) < f(y). Řekneme, že zobrazení T : M M je translace prostoru M, jestliže T (x) = x + x 0 pro nějaké pevné x 0 M. Zobrazení K : M M nazveme dilatace prostoru M, jestliže K(x) = kx pro nějaké k kladné reálné. Je vidět, že kauzální automorfismy tvoří grupu, a že tato grupa obsahuje grupu generovanou všemi ortochronními Lorentzovými transformacemi, translacemi a dilatacemi, protože každý z těchto generátorů je kauzálním automorfismem. Zeemanův teorém tvrdí pozoruhodnou věc, že se tyto grupy rovnají. Jeho důkaz neuvádíme, odkazujeme čtenáře na původní Zeemanův článek [10]. Podrobněji je důkaz v [5], kde je mu věnována kapitola 1.6. 11

Věta 1.6. (E. C. Zeeman) Necht f : M M je kauzální automorfismus. Potom existuje ortochronní Lorentzova transformace L : M M, translace T : M M a dilatace K : M M tak, že f = T K L. 12

Kapitola 2 Topologie Minkowskiho prostoročasu 2.1 Euklidovská topologie Tuto podkapitolu věnujeme topologii uvažované v Minkowskiho prostoročasu nejčastěji. Zvolíme nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } prostoru M a definujeme euklidovskou vzdálenost dvou bodů x = x a e a a x 0 = x a 0 e a jako d E (x 0, x) = ( (x 1 x 1 0) 2 + (x 2 x 2 0) 2 + (x 3 x 3 0) 2 + (x 4 x 4 0) 2) 1/2. Takto definovaná vzdálenost je metrikou. Definujeme E-otevřenou kouli o středu x 0 a poloměru ε jako N E ε (x 0 ) = {x M; d E (x 0, x) < ε} (viz obrázek 2.1). Lehce se ověří, že množina všech E-otevřených koulí splňuje podmínky báze 1, a topologie touto bází generovaná se nazývá euklidovská, budeme ji značit E a prostor M s touto topologií označíme M E. Povšimněme si, že euklidovská topologie nemá žádný vztah ke kauzální struktuře Minkowskiho prostoročasu. V Minkowskiho prostoročasu má každý bod svůj světelný kužel oddělující časupodobné vektory od prostorupodobných. Euklidovská topologie informaci o tomto kuželu nijak neobsahuje, časupodobné vektory od prostorupodobných nerozezná. Ani grupa homeomorfismů euklidovské topologie nemá fyzikální význam: například lineární zobrazení prostoru M na sebe, které zobrazí časupodobný vektor na prostorupodobný, je jistě homeomorfismem vzhledem k euklidovské topologii. Necht I R je nedegenerovaný interval a necht α : I M je E-spojitá (t.j. α 1 (V ) je otevřená v I pro každou E-otevřenou množinu V M). Řekneme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 pokud existuje souvislá otevřená množina U I obsahující t 0 a splňující t U & t < t 0 = α(t) α(t 0 ) 1 Definice základních pojmů jako báze topologie, subbáze, topologie generovaná bází atd. nalezne čtenář například na začátku první kapitoly v Engelkingově knize [3]. I v dalším textu se na tuto knihu budeme odkazovat; potřeba budou pouze základní pojmy z topologie. 13

Obrázek 2.1: Otevřená koule v trojrozměrném Minkowskiho prostoročasu s euklidovskou topologií a t U & t 0 < t = α(t 0 ) α(t). Analogicky definujeme křivku časupodobnou orientovanou do minulosti v bodě t 0. Křivku α nazveme časupodobnou orientovanou do budoucnosti, resp. časupodobnou orientovanou do minulosti, je-li časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 pro každé t 0 I, resp. časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 pro každé t 0 I. Křivku α nazveme časupodobnou, je-li časupodobná orientovaná do budoucnosti nebo časupodobná orientovaná do minulosti. Fyzikálně popisují časupodobné křivky světočáry hmotných částic v M, je ale třeba dát pozor na následující věc. V definici časupodobné křivky α jsme připustili možnost, že α (t 0 ) je světlupodobný nebo že α (t 0 ) neexistuje (prostorupodobný být nemůže, nebot časupodobné vektory nemohou konvergovat k prostorupodobnému). Avšak pro spojitou křivku mohou tyto situace nastat pouze na diskrétní podmnožině intervalu I, nikoli třeba na nějakém intervalu. Neexistenci α (t 0 ) v nějakém bodě t 0 I můžeme pro částici se světočárou α interpretovat tak, že v α(t 0 ) došlo k náhlé změně její rychlosti nebo směru jejího pohybu, například v důsledku srážky s jinou částicí. Je-li ale α (t 0 ) v nějakém t 0 I světlupodobný, znamená to, že se částice v α(t 0 ) pohybuje rychlostí světla, a tak pro hmotnou částici považujeme za fyzikální jen části světočáry mimo takovéto body. V M E nyní dokážeme tři tvrzení o časupodobných křivkách potřebná dále. Jsou převzata z [5]. Lemma 2.1. Necht {e 1, e 2, e 3, e 4 } je standardní báze v M a necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka. Pokud je α časupodobná orientovaná do budoucnosti, 14

je x 4 (α(t)) rostoucí na I. Pokud je α časupodobná orientovaná do minulosti, je x 4 (α(t)) klesající na I. Speciálně, je-li α časupodobná, pak je injektivní. Důkaz. Předpokládejme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti a necht t 0, t 1 I, t 0 < t 1. Projekce x 4 (α(t)) je spojitá funkce a na kompaktu [t 0, t 1 ] musí tedy nabývat maximum. Pro spor předpokládejme, že se maximum nabývá v bodě t 2 [t 0, t 1 ). Jelikož α je časupodobná orienotvaná do budoucnosti v bodě t 2, existuje (dle definice) otevřené okolí U bodu t 2 speciálně splňující t U (t 2, t 1 ) α(t 2 ) α(t). Protože U (t 2, t 1 ) je neprázdná a α(t 2 ) α(t) implikuje x 4 (α(t 2 )) < x 4 (α(t)), dostáváme spor s tím, že v t 2 je maximum na [t 0, t 1 ]. Maximum se proto nabývá pouze v bodě t 1. Speciálně, x 4 (α(t 0 )) < x 4 (α(t 1 )). Důkaz pro α časupodobnou orientovanou do minulosti je analogický. Tvrzení o injektivitě plyne pak z toho, že rostoucí nebo klesající funkce je injektivní. Věta 2.2. Necht p, q M. Potom p q právě tehdy když existuje E-spojitá křivka α : [a, b] M, která je časupodobná orientovaná do budoucnosti a splňuje α(a) = p, α(b) = q. Důkaz. Platí-li p q, potom úsečka α : [a, b] M, α(t) = p+ t a b a (q p), kde např. a = 0, b = 1, je hledaná křivka. Předpokládejme naopak, že α : [a, b] M je E-spojitá křivka, která je časupodobná orientovaná do budoucnosti a splňuje α(a) = p, α(b) = q. Pro každé t [a, b] zvolme souvislou otevřenou U t [a, b] jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t. Potom {U t ; t [a, b]} je otevřené pokrytí kompaktu [a, b], vyberme tedy konečné podpokrytí U = {U a, U t1,... U tn }. Máme a U a a pokud i b U a, je α(a) α(b) a jsme hotovi. Pokud b U a, pak pro pravý koncový bod s 0 intevalu U a platí s 0 b, s 0 U a. Zvolme U ti U takovou, že s 0 U ti. Je U ti U a, U a U ti, zvolme tedy T 0 U a U ti takové, že a < T 0 < t i. Pokud b U ti, je α(a) α(t 0 ) α(t i ) α(b) a jsme hotovi. Jestliže tomu tak není, pak pro pravý koncový bod s 1 intevalu U ti platí s 1 b, s 1 U ti. Opakujeme postup zvolením U tj U takové, že s 1 U tj. Je U tj U a, U tj U ti, nebot s 1 U a, s 1 U ti. Platí U ti U tj, zvolme tedy T 1 tak, že T 0 < T 1 < t j a tak dále. Jelikož U je konečná a pokrývá [a, b], postup se po konečném počtu kroků zastaví, nastane b U tk pro nějaké k n, s výsledkem α(a) α(b). Lemma 2.3. Necht α : I M je E-spojitá křivka. Pokud α je časupodobná v každém bodě t 0 ležícím ve vnitřku Int I intevalu I (t.j. pro každé t 0 Int I je α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 nebo časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 ), potom je α časupodobná. Důkaz. V prvním kroku ukážeme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti pro každé t 0 Int I, nebo že α je časupodobná orientovaná do minulosti pro každé t 0 Int I. V druhém kroku rozšíříme platnost tvrzení do koncových bodů intervalu I, pokud I své koncové body obsahuje. 1.krok: Položme S = {t 0 I; α je časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 } a předpokládejme, že S. Necht t 0 S a zvolme U Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 0. 15

Ukážeme, že U S: pro spor předpokládejme, že existuje t 1 U takové, že α je časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 1. Necht t 1 > t 0. Vzhledem k libovolné standardní bázi pro M je x 4 (α(t)) spojitá funkce na kompaktu [t 0, t 1 ], nabývá zde proto maxima. Toto maximum není v bodě t 0 : U (t 0, t 1 ), pro libovolné t 2 U (t 0, t 1 ) máme α(t 0 ) α(t 2 ), tedy x 4 (α(t 0 )) < x 4 (α(t 2 )). Maximum není v bodě t 1 : necht U 1 je jako v definici časupodobné křivky orientované do minulosti v bodě t 1, potom U 1 (t 0, t 1 ), pro libovolné t 3 U 1 (t 0, t 1 ) máme α(t 3 ) α(t 1 ), tedy x 4 (α(t 3 )) < x 4 (α(t 1 )). Maximum je tedy v nějakém bodě t 4 (t 0, t 1 ). Je-li α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 4, zvolme U 4 Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 4. Potom U 4 (t 4, t 1 ), bud t 5 U 4 (t 4, t 1 ), dostáváme α(t 4 ) α(t 5 ), tedy x 4 (α(t 4 )) < x 4 (α(t 5 )) je spor s tím, že v t 4 je maximum. Je-li α časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 4, zvolme U 5 Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do minulosti v bodě t 4. Potom U 5 (t 0, t 4 ),bud t 6 U 5 (t 0, t 4 ), máme α(t 4 ) α(t 6 ), tedy x 4 (α(t 4 )) < x 4 (α(t 6 )) je spor s tím, že v t 4 je maximum. Celkem tedy α není časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 4 ani časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 4, což je spor s předpokladem lemmatu. Pro t 1 < t 0 bychom postupovali analogicky. Ukázali jsme, že U S pro libovolné t 0 S, a jelikož U je otevřená v Int I, je množina S otevřená v Int I. Analogicky se ukáže, že množina {t 0 I; α je časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 }, což je komplement množiny S v Int I, je otevřená v Int I. S je tedy otevřená i uzavřená v Int I a jelikož Int I je souvislá, musí být bud S = nebo S = Int I. Tudíž je α bud časupodobná orientovaná do budoucnosti na Int I nebo časupodobná orientovaná do minulosti na Int I. 2.krok: Ukážeme, že pokud α je časupodobná orientovaná do budoucnosti na Int I a I obsahuje svůj levý koncový bod a, tak potom α je časupodobná orientovaná do budoucnosti i v bodě a (ostatní případy by se ukázaly analogicky). Necht U je souvislá množina otevřená v I, obsahující a a neobsahující pravý koncový bod intervalu I (pokud jej I obsahuje). Necht t 1 U, t 1 > a a položme q = α(a), r = α(t 1 ). Necht t 2 (a, t 1 ). Jelikož [t 2, t 1 ] Int I je díky větě 2.2 α(t 2 ) r. Jelikož t 2 (a, t 1 ) bylo libovolné, máme α((a, t 1 )) C T (r). Protože a je v uzávěru intervalu (a, t 1 ) v I a α je E-spojitá, je q Cl E C T (r) (kde Cl E A je uzávěr množiny A v topologii E). Protože Cl E C T (r) = C T C N (r) {r}, musí q ležet v jedné z těchto množin. q = r nemůže nastat: α je časupodobná orientovaná do budoucnosti na (a, t 1 ], dle lemmatu 2.1 je x 4 (α(t)) rostoucí na (a, t 1 ] a jelikož je x 4 (α(t)) spojitá na [a, t 1 ], je x 4 (q) < x 4 (r). Ukážeme, že q C T (r). Zvolme t 3 (a, t 1 ) a položme s = α(t 3 ). Potom s C T (r) a díky stejnému argumentu s uzávěry jako výše (s t 3 místo t 1 ) je q Cl E C T (s) a opět není q = s možné. Tedy bud q C T (s) nebo q C N (s). Celkem r s je časupodobný orientovaný do budoucnosti a s q je bud časupodobný orientovaný do budoucnosti nebo světlupodobný orientovaný do budoucnosti. Podle lemmatu 1.3 je tedy r q = (r s)+(s q) časupodobný orientovaný do budoucnosti, tedy q C T (r), q r. Jelikož bylo t 1 U, t 1 > a voleno libovolně a v I neexistují body menší než a, je α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě a. 16

2.2 Topologie, které v M souhlasí s euklidovskou V této podkapitole budeme v M definovat topologie pomocí Minkowskiho skalárního součinu g a relace uspořádání. Alexandrova topologie, též zvaná intervalová topologie, je definovaná takto: její otevřenou bázi tvoří množiny {x M; p x & x q} pro p, q M, jinak řečeno množiny C + T (p) C T (q) pro p, q M. Dokážeme, že v Minkowskiho prostoročasu splývá Alexandrova topologie s euklidovskou topologií. V obecné teorii relativity má ale význam Alexandrovu topologii uvažovat, protože se obecně může od topologie variety lišit 2. Věta 2.4. Na prostoru M splývá Alexandrova topologie s euklidovskou topologií. Důkaz. Každá bázová množina Alexandrovy topologie je průnikem dvou E-otevřených množin, je tedy E-otevřená. Pro opačnou inkluzi ukažme, že je-li U E-otevřená množina a x U, tak existuje bázová množina z Alexandrovy topologie, která je částí U a obsahuje x. Zvolme {e 1, e 2, e 3, e 4 } nějakou standardní bázi v M. Bez újmy na obecnosti uvažujme x = 0. Protože U je E-otevřená, existuje ε > 0 takové, že Nε E (x) U. Položme p = εe 4, q = εe 4. Zřejmě x C + T (p) C T (q). Ukážeme, že C+ T (p) C T (q) N ε E (x). Necht v C + T (p) C T (q). Pro v tedy platí tyto vztahy: 0 > g(v p, v p) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 + ε) 2 (2.1) 0 > g(q v, q v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (ε v 4 ) 2 (2.2) 0 < v 4 p 4 = v 4 + ε (2.3) 0 < q 4 v 4 = ε v 4 (2.4) Je-li v 4 = 0, je (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < ε 2 díky 2.1. Pokud je v 4 > 0, dostáváme (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < (ε v 4 ) 2 + (v 4 ) 2 = ε 2 2v 4 (ε v 4 ) < ε 2 díky 2.2 a 2.4. A je-li v 4 < 0, dostáváme (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < (v 4 + ε) 2 + (v 4 ) 2 = ε 2 + 2v 4 (v 4 + ε) < ε 2 díky 2.1 a 2.3. Vždy tedy vyšlo v N E ε (x) a C + T (p) C T (q) N E ε (x) je splněno. Další topologii chceme definovat užitím Minkowskiho skalárního součinu g a absolutní hodnoty tak, aby množiny {v M; g(v x, v x) < ε 2 } pro x M a ε > 0 byly otevřené. Díky definici je tento soubor množin uzavřen na působení Lorentzovy grupy. Netvoří ale bázi, a tak jej považujme za subbázi. Uvidíme ale, že topologie generovaná touto subbází je euklidovská topologie. Věta 2.5. Topologie generovaná množinami X ε (x) = {v M; g(v x, v x) < ε 2 }, pro x M a ε > 0, je euklidovská topologie. Důkaz. Každá množina X ε (x) je E-otevřená, protože je vzorem otevřené množiny při E-spojitém zobrazení v g(v x, v x). 2 viz věta 4.24 v [9], která pro prostoročas M tvrdí ekvivalenci následujících tří podmínek: (a) M je silně kauzální, (b) Alexandrova topologie splývá s topologií variety, (c) Alexandrova topologie je Hausdorffova 17

Pro opačnou inkluzi stačí ukázat, že se do libovolně malé euklidovské koule vejde vhodný neprázdný konečný průnik množin ze subbáze. Potom se totiž translací snadno zajistí, aby pro libovolné x U, U E-otevřená, byl tento průnik okolím bodu x obsaženým v U. Necht ε > 0. Zvolme nějakou standardní bázi v M a položme p = εe 4, q = εe 4. Necht v X ε (p) X ε (q) je libovolné. Pro v platí: ε 2 > g(v p, v p) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 + ε) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 2v 4 ε ε 2 (2.5) ε 2 > g(v q, v q) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ε) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 + 2v 4 ε ε 2 (2.6) Je-li v 4 = 0, dostáváme z 2.5 (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 < 2ε 2, tedy d E (0, v) < ε 2. Je-li v 4 > 0, tak z 2.5 plyne, že v nemůže být časupodobný ani světlupodobný vektor, a je tedy (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 > 0. Z 2.6 proto dostáváme 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 + 2v 4 ε < 2ε 2 a odsud 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 2ε 2 2v 4 ε = 2ε(ε v 4 ), tedy ε > v 4. Díky tomu máme (d E (0, v)) 2 = (v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 +(v 3 ) 2 +(v 4 ) 2 < 2ε 2 2v 4 ε + 2(v 4 ) 2 = 2ε 2 + 2v 4 (v 4 ε) < 2ε 2. Podobně, je-li v 4 < 0, tak z 2.6 plyne, že v nemůže být časupodobný ani světlupodobný vektor, a je tedy (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 > 0. Z 2.5 proto dostáváme 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 2v 4 ε < 2ε 2 a odsud 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 2ε 2 + 2v 4 ε = 2ε(ε + v 4 ), tedy ε + v 4 > 0. Díky tomu máme (d E (0, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < 2ε 2 + 2v 4 ε + 2(v 4 ) 2 = 2ε 2 + 2v 4 (v 4 + ε) < 2ε 2. Ve všech případech vyšlo d E (0, v) < ε 2, a tedy X ε (p) X ε (q) N E ε (0). Také 2 se snadno ověří, že X ε (p) X ε (q). To jsme potřebovali ukázat. 2.3 Metrická topologie Použijme Minkowskiho skalární součin k definici topologie tak, aby nesla nějakou informaci o časových kuželech všech událostí z M. Položme Y ε (x) = {v M; g(v x, v x) < ε 2 } pro každé x M a ε 0 (viz obrázek 2.2). Všimněme si, že každá z množin Y ε (x) obsahuje časový kužel C T (x) a pro ε = 0 je mu rovna. Vezměme soubor {Y ε (x); x M, ε 0} jako otevřenou subbázi a topologii jím generovanou nazvěme metrickou topologií, označme ji Y. Každá z množin Y ε (x) je E-otevřená, protože je vzorem otevřené množiny při spojitém zobrazení. Topologie Y je tedy hrubší než euklidovská topologie. Je dokonce striktně hrubší, což plyne z toho, že euklidovská topologie je Hausdorffova, kdežto metrická topologie, jak nyní ukážeme, Hausdorffova není. Lemma 2.6. Prostor M s topologií Y je T 1 ale není Hausdorffův. Důkaz. Pro důkaz, že prostor M s topologií Y je T 1, máme pro dva libovolné body x, y M, x y, najít okolí bodu x neobsahující y. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat x = 0, protože metrická topologie je invariantní vůči posunutí. Zvolme nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht y = y a e a. Rozlišme dva případy: 18

(y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 > 0 a (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 = 0. V prvním případu položme v = y 4 e 4 a ε = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 > 0. Potom je g(v x, v x) = (y 4 ) 2 < 0 pro y 4 0 a v = x pro y 4 = 0, tedy x Y ε (v). Dále g(y v, y v) = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 = ε 2, tedy y Y ε (v). Proto je Y ε (v) hledaným okolím bodu x. Ve druhém případu máme y = y 4 e 4. Položme w = (y 4 /2)e 1 + y 4 e 4 a δ = y 4 /2. Dostáváme g(w x, w x) = (3/4)(y 4 ) 2 < 0 a g(w y, w y) = (y 4 ) 2 /4 = δ 2. Tedy x Y δ (w), y Y δ (w) a Y δ (w) je proto hledaným okolím bodu x. Ukažme, že prostor M s metrickou topologií není Hausdorffův. Necht x, y jsou dva různé body z M a U, V jsou Y -otevřené bázové množiny, x U a y V. Jelikož soubor {Y ε (z); z M, ε 0} je subbáze topologie Y, je U = k i=1 Y ε i (x i ) a V = n i=k+1 Y ε i (x i ) pro nějaká k, n přirozená, kde x i M a ε i 0 pro i = 1,... n. Podle lemmatu 1.4 existuje q M takové, že {x 1, x 2..., x n } C T (q). Tedy q n i=1 C+ T (x i) n i=1 Y ε i (x i ) = U V. V důkazu jsme viděli, že nehausdorffovskost je důsledkem toho, že subbázové množiny obsahují celý časový kužel - názorné lemma 1.4 totiž tvrdí, že průnik konečně mnoha časových kuželů je neprázdný. To, že M s topolgií Y není Hausdorffův, činí tuto topologii fyzikálně málo zajímavou (v popisu prostoročasu je hausdorffovskost vyžadována v rámci definice topologické variety). Uvidíme, že v definici P-topologie se postaráme o to, aby bázové množiny byly omezené euklidovskými koulemi. Obrázek 2.2: V trojrozměrném Minkowskiho prostoročasu je pro ε > 0 subbázová množina Y ε (x) vnitřkem jednodílného hyperboloidu 19

2.4 P-topologie Jak bylo zmíněno v úvodu, Hawking, King a McCarthy definovali P-topologii přímo v obecné teorii relativity. Zde ji budeme definovat v Minkowskiho prostoročasu. Postupujeme podle článku [4] a knihy [5]. Množinu V M nazveme P-otevřenou, jestliže pro každou časupodobnou křivku α : I M existuje E-otevřená množina U M taková, že α(i) V = α(i) U, což budeme zkráceně zapisovat jako α V = α U. Položme P = {V M; V je P-otevřená} a ukažme, že P je opravdu topologie na M. Lemma 2.7. P je topologie na prostoru M. Důkaz. Podle definice je každá E-otevřená množina taky P-otevřená, tedy P, M P. Necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka a U P. Pro každé U U existuje V E takové, že α U = α V, soubor těchto V označme V. Potom z De Morganových zákonů dostaneme U α = (U α) = (V α) = V α, U U a protože V E, je U P. Necht U 1, U 2 P. Existují tedy V 1, V 2 E takové, že platí α V 1 = α U 1, α V 2 = α U 2. Dostáváme (U 1 U 2 ) α = (U 1 α) (U 2 α) = (V 1 α) (V 2 α) = (V 1 V 2 ) α, a protože V 1 V 2 E, je U 1 U 2 P. V V Z definice vidíme, že P-topologie je právě nejjemnější topologie na prostoru M, která na každé časupodobné křivce indukuje euklidovskou topologii. Při definici časupodobných křivek jsme řekli, že mají být světočárami hmotných částic či pozorovatelů, a viděli jsme, že popisují i zrychlující a srážející se pozorovatele. Chceme, aby každý takto se pohybující pozorovatel vnímal čas tak, jak jsme zvyklí, čili s intervalovou topologií reálné přímky. Vlastnost P-topologie, že na každé časupodobné křivce euklidovskou topologii indukuje, je proto fyzikálně žádoucí. Nyní ukážeme, že P-topologie je striktně jemnější než euklidovská topologie na prostoru M. Lemma 2.8. Pro každé x M a ε > 0 definujme a C(x) = C T (x) C+ T (x) {x} N P ε (x) = C(x) N E ε (x) (viz obrázek 2.3). Potom C(x) a N P ε (x) jsou P-otevřené, ale nejsou E-otevřené. 20

Důkaz. Pro každé δ > 0 neobsahuje žádná z těchto množin Nδ E (x), takže nemohou být E-otevřené. Necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka. Prochází-li α bodem x, je díky větě 2.2 α(i) C(x), takže α C(x) = α M. Pokud α neprochází bodem x, tak α C(x) = α (C T (x) C+ T (x)). Obě množiny C T (x) a C+ T (x) jsou E-otevřené. Tudíž je C(x) P-otevřená. Nε P (x) je ale potom taky P-otevřená, protože je průnikem dvou P-otevřených množin. Obrázek 2.3: Bázová množina P-topologie, N P ε (x), vznikne tak, že k časovému kuželu přidáme jeho vrchol a vše protneme euklidovskou otevřenou koulí M s topologií P budeme značit M P. V další větě uvidíme, jak jednoduše vypadá báze P-topologie, a potom popíšeme uzávěr Cl P bázových množin. Věta 2.9. Množiny N P ε (x), kde x M, ε > 0, tvoří bázi P-topologie na prostoru M. Důkaz. Necht V M je P-otevřená a x V. Ukážeme, že existuje ε > 0 takové, že Nε P (x) V. Předpokládejme pro spor, že tomu tak není. Spor odvodíme sestrojením E-spojité časupodobné křivky α takové, že neexistuje E-otevřená množina U aby platilo α V = α U. Nejprve vezmeme N1 P (x), dle předpokladu N 1 P (x) V. Jelikož neexistuje ε > 0, pro které Nε P (x) V, a vždy platí Nε P (x) Nε E (x), existuje alespoň v jedné z množin (C + T (x) N 1 P (x)) V, (C T (x) N 1 P (x)) V posloupnost {x n} n=1 E-konvergující k x. Necht tato posloupnost leží celá v (C + T (x) N 1 P (x)) V, důkaz pro druhý případ je obdobný. Nyní sestrojíme vybranou posloupnost {x ni } i=0 následujícím způsobem: Položíme x n0 = x 1. Jelikož x C T (x n 0 ), můžeme zvolit δ 1 > 0 takové, že Nδ E 1 (x) C T (x n 0 ). Necht ε 1 = min{δ 1, 1/2}. Zvolme x n1 {x n } n=1 ležící 21

v Nε P 1 (x). Máme x x n1 x n0. Opakujem postup: x C T (x n 1 ), existuje δ 2 > 0 takové, že Nδ E 2 (x) C T (x n 1 ), necht ε 2 = min{δ 2, 1/2 2 }, zvolme x n2 {x n } n=1 ležící v Nε P 2 (x). Máme x x n2 x n1 x n0. Indukcí sestrojíme vybranou posloupnost {x ni } i=0 posloupnosti {x n} n=1 splňující x x n i x n2 x n1 x n0 a E-konvergující k x. Definujme křivku ˆα : (0, 1] M takto: na [1/2, 1] je ˆα lineární parametrizací úsečky spojující x n1 a x n0 (tedy α [1/2, 1] : t x n1 + (2t 1)(x n0 x n1 )). Na [1/3, 1/2] je ˆα lineární parametrizací úsečky spojující x n2 a x n1, atd. Zřejmě je ˆα E-spojitá křivka a je časupodobná orientovaná do budoucnosti. Jelikož x ni E-konverguje k x, můžeme definovat E-spojitou křivku α : [0, 1] M: { α = ˆα(t), 0 < t 1 x, t = 0. Podle lemmatu 2.3 je α časupodobná orientovaná do budoucnosti. Nyní předpokládejme α V = α U pro nějakou E-otevřenou množinu U. Jelikož pro každé i = 0, 1,... platí x ni V, je taky x ni α V = α U, takže {x ni } i=0 M (α U) = (M α) (M U). Protože {x n i } i=0 α, musí být {x ni } i=0 M U. Množina M U je E-uzavřená a {x n i } i=0 E-konverguje k x, takže x M U, x U. Proto x α U = α V, což je spor, nebot x leželo jak v α, tak ve V. Lemma 2.10. Necht ε > 0 a x M P. Potom Cl P (N P ε (x)) = Cl E (N P ε (x)) ( bd E (N E ε (x)) bd E (C(x)) ) (kde bd (A) značí hranici množiny A). Důkaz. P je jemnější než E, takže pro libovolnou A M platí Cl P (A) Cl E (A). Ukážeme, že v Cl P (Nε P (x)) neleží množina bd E (Nε E (x)) bd E (C(x)) = {p M; d E (x, p) = ε} (C N (x) {x} C+ N (x)). Necht y {p M; d E (x, p) = ε} C + N (x). Vezměme N ε/2 P (y) = (C T (y) C+ T (y) {y}) N ε/2 E (y) P-otevřené okolí y. Jelikož x C N (y), je C T (y) C+ T (x) = a (C T (y) N ε/2 E (y)) C T (x) =, takže (C T (y) N ε/2 E (y)) N ε P (x) =. Dále pro každé z C + T (y) platí d E(x, z) > ε, tudíž C + T (y) N ε P (x) =. Celkem tak dostáváme Nε P (x) Nε/2 P (y) =. Podobně bychom postupovali v případě y {p M; d E (x, p) = ε} C N (x). Máme tedy Cl P (Nε P (x)) Cl E (Nε P (x)) (bd E (Nε E (x)) bd E (C(x))). Opačná implikace plyne z toho, že pokud y leží v množině na pravé straně, tak pro libovolné δ > 0 je Nδ P (y) N ε P (x). Rozeberme několik základních topologických vlastností P-topologie. Jejich definice nalezne čtenář například v [3]. Věta 2.11. M P splňuje první axiom spočetnosti, je separabilní, nemá spočetnou bázi. M P není normální, není regulární, je Hausdorffův. M P není metrizovatelný. M P není lokálně kompaktní, není spočetně kompaktní, není Lindelöfův, není parakompaktní. 22

Důkaz. Už v důkazu věty 2.9 jsme vlastně dokázali, že pro každé x M tvoří množiny Nε P (x), ε > 0 bázi okolí bodu x. Totéž zřejmě platí, požadujeme-li navíc ε {1/n; n N}. M P tedy splňuje první axiom spočetnosti. Jelikož M E je separabilní a do každé P-bázové množiny Nε P (x) se vejde euklidovská koule, je M P též separabilní (spočetnou hustou množinou budou například body s racionálními souřadnicemi). Ukažme, že M P není normální. Zvolme libovolný nenulový světlupodobný vektor n a položme R = {tn; t R}. Pro každé x R platí C(x) R = {x}, takže prostor R s topologií podprostoru prostoru M P je diskrétní. Mohutnost množiny všech spojitých funkcí z R do R je tedy rovna (2 ω ) (2ω) = 2 ω.2ω = 2 2ω. Předpokládejme pro spor, že M P je normální. Jelikož R je v M P uzavřený, lze podle Tietze-Urysonovy věty (věta 2.1.8 v [3]) každou spojitou funkci z R do R spojitě rozšířit na celý prostor M P. Našli jsme tedy 2 2ω spojitých funkcí z M P do R. Podle věty 2.1.9 v [3] je každá spojitá funkce z M P do R jednoznačně určena svými hodnotami na husté podmnožině prostoru M P. Víme, že v M P existuje hustá podmnožina, která je spočetná, protože M P je separabilní. Dostáváme tak, že spojitých funkcí z M P do R je nejvýše (2 ω ) ω = 2 ω.ω = 2 ω, což je spor. Proto M P nemůže být normální. Prostor M P není regulární: Zvolme x M P a P-otevřenou množinu N1 P (x). Pokud by byl M P regulární, existovala by bázová množina Nε P (x), která by i s uzávěrem byla částí N1 P (x). To ale podle lemmatu 2.10 není možné - uzávěr každé takovéto množiny obsahuje nenulové světlupodobné vektory. Protože prostor M P není regulární, nemůže být metrizovatelný. M P je Hausdorffův, protože M E Hausdorffův je a P je jemnější než E. M P není lokálně kompaktní: Kdyby byl, tak by pro x M P existovalo okolí U takové, že Cl P (U) je kompaktní podprostor prostoru M P. Zvolme ε takové, aby Nε P (x) U. Potom Cl P (Nε P (x)) je P-uzavřená podmnožina kompaktního Hausdorffova prostoru Cl P (U) a je tedy kompaktním podprostorem jak prostoru Cl P (U), tak i prostoru M P. Protože P je jemnější než E, je Cl P (Nε P (x)) též kompaktní podprostor prostoru M E. To ale není pravda, Cl P (Nε P (x)) není ani uzavřená v M E. M P není spočetně kompaktní, protože tuto vlastnost nemá M E a P je jemnější než E. M P není Lindelöfův: Je-li R jako výše, tak {C(x); x R} (M R) je otevřené pokrytí prostoru M P, má mohutnost kontinua a po odebrání jediné množiny pokrytím být přestane. Prostor M P nemá spočetnou bázi, nebot z věty 1.1.14 v [3] plyne, že každý topologický prostor se spočetnou bází je Lindelöfův. Konečně, M P nemůže být parakompatkní, protože každý Hausdorffův parakompaktní prostor je normální (věta 5.1.5 v [3]). Učiňme k důkazu ještě poznámku: To, že prostor M P není normální, plyne jednodušeji z toho, že je Hausdorffův a není regulární. Postup v důkazu byl zvolen proto, že ukazuje o množině R, což je světočára fotonu, že má diskrétní topologii jakožto podprostor prostoru M P, zatímco jakožto podprostor prostoru M E má R obvyklou topologii reálné přímky. P-topologie tak lépe vystihuje skutečnost, že u jediného fotonu měříme pouze diskrétní události, jeho emisi a absorpci. 23

Následující lemma si všímá P-spojitých křivek. Lemma 2.12. Necht I R je nedegenerovaný interval a α : I M je křivka. Potom platí: (1) Pokud je α P-spojitá, pak je E-spojitá (2) Pokud je α časupodobná, pak je P-spojitá. Důkaz. (1) Necht U M je E-otevřená. Potom U je P-otevřená a protože α je P-spojitá, je α 1 (U) otevřená v I. Tedy α je E-spojitá. (2) Necht je α časupodobná (tedy je z definice E-spojitá) a necht V M je P-otevřená. Podle definice P-otevřených množin existuje E-otevřená množina U M taková, že α V = α U. Potom α 1 (V ) = α 1 (α V ) = α 1 (α U) = α 1 (U), což je otevřená množina v I. Tudíž je α P-spojitá. V následujícím lemmatu ukážeme charakterizaci P-spojitých křivek, která je užitečná jak pro další důkazy, tak pro získání lepší představy o P-spojitých křivkách. Řekneme, že křivka α : I M je Feynmanova cesta v M, jestliže je E-spojitá a pro každé t 0 I existuje souvislá otevřená U I obsahující t 0 a splňující α(u) C(α(t 0 )). Lemma 2.13. Křivka α : I M je P-spojitá právě tehdy když je to Feynmanova cesta. Důkaz. Necht je α : I M P-spojitá a t 0 I. Protože C(α(t 0 )) je P-otevřená, je α 1 (C(α(t 0 ))) otevřená v I a obsahující t 0. Existuje tedy otevřená souvislá U I splňující t 0 U α 1 (C(α(t 0 ))). Naopak, necht je α : I M Feynmanova cesta. Zvolme libovolně t 0 I a ukážeme, že α je P-spojitá v bodě t 0. Pro libovolné ε > 0 vezměme P-bázové okolí N P ε (α(t 0 )) bodu α(t 0 ). Máme α 1 (N P ε (α(t 0 ))) = α 1 (N E ε (α(t 0 )) C(α(t 0 ))) = α 1 (N E ε (α(t 0 ))) α 1 (C(α(t 0 ))). Jelikož α je Feynmanova cesta, existuje souvislá otevřená U 1 I obsahující t 0 a splňující α(u 1 ) C(α(t 0 )). Jelikož α je E-spojitá, existuje souvislá otevřená U 2 I obsahující t 0 a splňující α(u 2 ) N E ε (α(t 0 )). Položíme-li U = U 1 U 2, tak U je souvislá otevřená podmnožina I obsahující t 0 a splňující α(u) = α(u 1 U 2 ) α(u 1 ) α(u 2 ) C(α(t 0 )) N E ε (α(t 0 )) = N P ε (α(t 0 )), tedy α je P-spojitá v bodě t 0. Protože t 0 I bylo libovolné, je α P-spojitá. Fyzikálně důležitý závěr posledních dvou lemmat pro topologii P je, že všechny časupodobné křivky jsou P-spojité, a i zbývající P-spojité křivky jsou si s časupodobnými podobné: oboje musí lokálně ležet v časovém kuželu; obecná P-spojitá křivka v něm ale může změnit časovou orientaci. V P-topologii tedy stačí po křivce požadovat, aby byla spojitá, a už dostaneme křivku fyzikálního významu. To je velký rozdíl a výhoda oproti euklidovské topologii, kde spojité křivky mohou nabývat nejroztodivnějších tvarů. Ujistěme se o souvislosti prostoru M P : Lemma 2.14. M P je lokálně křivkově souvislý a křivkově souvislý. Speciálně, M P je lokálně souvislý a souvislý. 24

Důkaz. M P je lokálně křivkově souvislý, nebot pro libovolné dva body x, y Nε P (z) je křivka sestávající z úseček spojujích po řadě body x, z a y Feymnanova cesta, tedy P-spojitá křivka spojující body x a y. Dokažme křivkovou souvislost. Bud te x, y M P. Díky lemmatu 1.4 existuje p M P splňující {x, y} C + T (p). A dále jako v důkazu lokální křivkové souvislosti. M P je tedy křivkově souvislý. Je lehké ukázat (viz kapitola 6.3 v [3]), že křivková souvislost je silnější pojem než souvislost, tudíž je M P souvislý. Podobně, z lokální křivkové souvislosti plyne lokální souvislost. 25

Kapitola 3 Homeomorfismy v P-topologii Cílem této kapitoly je popsat grupu homeomorfismů topologie P. Držíme se postupu v [4] a [5]. Chceme si rozmyslet, že každý P-homeomorfismus h : M P M P, zobrazí časupodobnou křivku na opět časupodobnou křivku. K tomu nám pomůže následující věta, která charakterizuje časupodobné křivky pomocí P-topologických pojmů. Věta 3.1. Křivka α : I M je časupodobná, právě když jsou splněny následující dvě podmínky: (1) α je P-spojitá a injektivní (2) Pro každé t 0 I existuje souvislá otevřená množina U I obsahující t 0 a P-otevřené okolí V M bodu α(t 0 ), že platí: (a) α(u) V (b) Pokud t 0 Int I a a, b U splňují a < t 0 < b, pak každá P-spojitá křivka ve V spojující α(a) a α(b) prochází bodem α(t 0 ). Důkaz. Předpokládejme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti (pro α časupodobnou orientovanou do minulosti je důkaz obdobný). Díky lemmatu 2.12 je α P-spojitá a podle lemmatu 2.1 je α injektivní, bod (1) je tedy splněn. Nyní zvolme t 0 I a vezměme U I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 0. Položme V = C(α(t 0 )). Potom V je P-otevřené okolí α(t 0 ) a díky volbě U platí α(u) V. Část (a) bodu (2) je tedy splněna. Nyní necht je splněn předpoklad části (b) bodu (2) a γ : [c, d] M je P-spojitá křivka ležící ve V a splňující γ(c) = α(a) C T (α(t 0)), γ(d) = α(b) C + T (α(t 0)). Potom je γ([c, d]) spojitým obrazem souvislé množiny [c, d], je tedy souvislá (dle věty 6.1.3 v [3]). Pro spor předpokládejme, že α(t 0 ) γ([c, d]). Jelikož γ([c, d]) V, platí γ([c, d]) = (γ([c, d]) C T (α(t 0))) (γ([c, d]) C + T (α(t 0))). Prostor γ([c, d]) (s topologií podprostoru prostoru M P ) je tedy sjednocením dvou disjunktních otevřených množin, tedy není souvislý, což je spor. Platí tedy α(t 0 ) γ([c, d]) a část (b) bodu (2) je splněna. Předpokládejme naopak, že křivka α : I M splní (1) a (2). Z P-spojitosti plyne E-spojitost (lemma 2.12). Ukážeme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti nebo orientovaná do minulosti v každém t 0 Int I a lemma 2.3 pak dá požadovaný závěr že α je časupodobná na I. Vezměme množiny U, V podle bodu (2). Protože V 26