UNIVERZITA PARDUBICE DOPRAVNÍ FAKULTA JANA PERNERA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Hanák

DOPRAVNÍ FAKULTA JANA PERNERA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 008 David Hanák

Univerzita Pardubice Jízdní obrysy železničních vozidel David Hanák Bakalářská práce 008

PODĚKOVÁNÍ Tímto bych chtěl poděkovat vedoucímu své bakalářské práce panu doc. Ing. Jaromíru Zelenkovi, CSc. za užitečné připomínky, informace a spolupráci, které mi byly velkým přínosem, pomohly mi dostat se hlouběji do této problematiky. Dále bych chtěl poděkovat své rodině a přátelům za podporu a pochopení při vytváření této bakalářské práce.

SOUHRN V bakalářské práci jsem se zabýval problematikou jízdních obrysů železničních vozidel. Popsal jsem jejich funkci, historický vývoj. Matematicky jsem vyjádřil současné jízdní obrysy, datové údaje zpracoval a vytvořil jejich grafy a tabulky ASCI. KLÍČOVÁ SLOVA tabulky. Jízdní obrysy, S100, EPS, 1/40, ZI 3, vývoj, funkce, grafy jízdních obrysů. ASCI TITLE The Wheel's Contours of Railway Vehicles. ABSTRACT I have concentrated on the wheel s contours of railway vehicles. I have described the functions of them, the historic development. I have formulized all types of current wheel s contours. I have made graphs and ASCI tabs from data made by these formulas. KEYWORDS tabs. The wheel s contours, S100, EPS, 1/40, ZI 3, development, function, graphs, ASCI

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 6 Obsah 1. Úvod... 10. Popis jízdního obrysu... 11.1. Jízdní plocha... 11.. Okolek... 11..1. Výška okolku... 11... Šířka okolku... 11 3. Funkce jízdního obrysu... 1 3.1. Přenos sil mezi kolem a dvojkolím... 1 3.1.1. Dotyková ploška... 1 3.1.. Průběh napětí a tečných sil v dotykové plošce... 13 3.. Geometrická poloha dvojkolí vůči koleji... 15 3..1. Rozchod koleje a dvojkolí... 15 3... Pohyb dvojkolí, sinusový pohyb... 16 3..3. Bezpečnost proti vykolejení... 0 4. Používané jízdní obrysy... 4.1. Definice jízdních obrysů... 4.. Konstrukční metoda... 4.3. Základní jízdní obrys... 3 4.4. Jízdní obrysy se změněnou šířkou okolku... 3 4.4.1. Okolek... 3 4.4.. Přechodové oblasti D1 C1 D0 u obrysu 1/40 a S100... 4 4.4.3. Oblast D1 C1 -D0 u obrysu EPS... 4 4.4.4. Oblast D0 - B1 (B1a nebo B1b)... 4 4.4.5. Sklon a zkosená hrana... 4 4.5. Matematické vyjádření okolku s výškou 8 mm a tloušťkou 3,5 mm... 5 4.5.1. Oblast D1 E1... 6 4.5.. Úsek E1 F1... 7

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 7 4.5.3. Úsek G1 F1... 8 4.5.4. Úsek H1 G1... 8 4.5.5. Úsek H1 H... 8 4.6. Matematické vyjádření okolku o výšce 30 mm a tloušťce 3,5 mm... 9 4.6.1. Oblast E1 D1... 30 4.6.. Oblast F1 E1... 30 4.6.3. Oblast G1 F1... 30 4.6.4. Oblast H1 G1... 31 4.6.5. Oblast H H1... 31 4.7. Matematické vyjádření okolku o výšce 3 mm a šířce 3,5 mm... 31 4.7.1. Úsek E1 D1... 3 4.7.. Úsek F1 E1... 3 4.7.3. Úsek G1 F1... 3 4.7.4. Úsek H1 G1... 33 4.7.5. Úsek H G1... 33 4.8. Matematické vyjádření okolku s šířkou menší než 3,5 mm... 33 4.8.1. Úsek E1 D1... 34 4.8.. Úsek F1 E1... 35 4.8.3. Úsek G1 F1... 35 4.8.4. Úsek S G1... 37 4.8.5. Úsek H1 S... 39 4.8.6. Úsek H H1... 39 4.9. Jízdní obrys 1/40 s referenční šířkou okolku 3,5 mm... 40 4.9.1. Úsek A1 I... 40 4.9.. Úsek A1 B1a... 41 4.9.3. Úsek C11a B1a... 41 4.9.4. Úsek D1a C11a... 4 4.9.5. Úsek D1 D1a... 4

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 8 4.9.6. Úsek H D1... 43 4.10. Jízdní obrys 1/40 s šířkou okolku menší než 3,5 mm... 43 4.10.1. Oblast D0 - A1 - I... 43 4.10.. Oblast T1 D0... 43 4.10.3. Oblast C11a T1... 43 4.10.4. Úsek D1a C11a... 44 4.10.5. Úsek D1 D1a... 45 4.11. Jízdní obrys S100 s referenčním rozměrem okolku... 46 4.11.1. Úsek I A1... 47 4.11.. Úsek B1 A1... 47 4.11.3. Úsek B1 D0... 48 4.11.4. Úsek D1 D0... 48 4.1. Jízdní obrys S100 s šířkou okolku menší než 3,5 mm... 48 4.1.1. Úsek D0 B1 A1 I... 48 4.1.. Úsek T1 D0... 48 4.1.3. Úsek D1 T1... 49 4.13. Jízdní obrys EPS s referenční šířkou okolku e = 3,5 mm... 49 4.13.1. Úsek A1 I... 50 4.13.. Úsek B1b A1... 50 4.13.3. Úsek C1 B1b... 51 4.13.4. Úsek C11b C1... 51 4.13.5. Úsek C1b C11b... 51 4.13.6. Úsek D1 C1b... 5 4.14. Jízdní obrys EPS s šířkou okolku menší jak 3,5 mm... 53 4.14.1. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 3 mm... 53 4.14.. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 31,5 mm... 53 4.14.3. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 31 mm... 54 4.14.4. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 30,5 mm... 55

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 9 4.14.5. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 30 mm... 55 4.14.6. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 9,5mm... 56 4.14.7. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 9 mm... 57 4.14.8. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 8,5 mm... 57 5. Porovnání jednotlivých jízdních obrysů... 59 5.1. Oblast od vnitřního okraje kola až po styčnou kružnici... 59 5.. Oblast mezi styčnou kružnicí a okolkem (přechodová)... 60 6. Historický vývoj jízdních profilů... 6 6.1. Kuželový jízdní obrys... 6 6.. Jízdní obrys BR P8... 63 6.3. Jízdní obrys KKVMZ... 64 6.4. Jízdní obrys ZI 3 a ZI 4... 64 7. Závěr... 65 8. Literatura... 66 9. Seznam příloh... 67

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 10 1. Úvod Úkolem této bakalářské práce je rozbor jízdních obrysů železničních kol. V části teoretické se tato práce zaměřuje na hlavní funkce jízdního obrysu, mezi něž patří přenos tečných sil, zajištění bezpečnosti proti vykolejení, sinusový pohyb dvojkolí při jízdě a s tím související centrování dvojkolí při pohybu. V části praktické a konstrukční se tato práce zabývá rozborem jednotlivých jízdních obrysů. V rámci vzájemné interoperability mezi jednotlivými železničními správami byla přijata norma EN 13 715:006, která povoluje používání tří základních jízdních obrysů, obrysu S100 (UIC-ORE), EPS a 1/40. Tomuto dokumentu musel být dán nejpozději do konce srpna roku 006 status národní normy a předchozí národní normy musely být zrušeny. Tuto normu musely převzít tyto země: Belgie, Česká republika, Dánsko, Estonsko, Finsko, Francie, Irsko, Island, Itálie, Kypr, Litva, Lotyšsko, Lucembursko, Maďarsko, Malta, Německo, Nizozemsko, Norsko, Polsko, Portugalsko, Rakousko, Rumunsko, Řecko, Slovensko, Spojené království, Španělsko, Švédsko a Švýcarsko. Česká republika ji používá pod označením ČSN EN 13 715. Dále se tato práce zabývá stručnou historií jízdních obrysů, které se používaly na síti ČD resp. bývalých ČSD. Pozornost je i věnována možné variantě k jízdnímu obrysu S100, jízdnímu obrysu ZI-3 a ZI-4. Jednotlivé jízdní obrysy jsou následně matematizovány, matematické vztahy jsou pak použity pro přesné vykreslení jízdních obrysů a použity pro ASCI tabulky, v kterých jsou zaneseny souřadnice bodů jednotlivých obrysů. Problém je řešen zejména proto, aby se následně jednotlivé matematické vztahy vyjadřující jízdní obrysy daly použít pro výpočet kontaktních charakteristik kolo-kolejnice.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 11. Popis jízdního obrysu Jízdní obrys kol je přesně stanoven normou ČSN EN 13 715. Dříve se používal jízdní obrys kuželový, v dnešní době se používá hlavně jízdní obrys podle opotřebení. Každý jízdní obrys se dá rozdělit na tři části: Jízdní plocha Přechodová oblast Okolek.1. Jízdní plocha Jízdní plocha železničního kola je jedinečná pro každý typ jízdního obrysu. Jízdní plocha má pro kolo o šířce 140 mm koncové body ve vzdálenosti 70 mm ve směru kladné osy y (směrem k vnitřnímu čelu kola) a 35 mm ve směru záporné osy y (Obr. 11). U kola o šířce 135 mm, která je taktéž povolena normou ČSN EN 13715, je koncový bod jízdního obrysu definován ve vzdálenosti 65 mm od počátku ve směru kladné osy y. Na jízdní ploše je významný bod D0, který je totožný s průsečíkem styčné kružnice a tvoří počátek souřadnicových os y a z... Okolek Okolek u normovaných referenčních jízdních obrysů má koncové body 35 mm a 70 mm od počátku souřadnicové osy směrem k vnitřnímu čelu kola...1. Výška okolku Výška okolku se měří od roviny osy y ve směru kladné osy z. Norma ČSN EN 13715 povoluje výšku okolku h v hodnotách 8, 30 a 3 mm. Tyto hodnoty jsou platné pro všechny typy jízdních obrysů.... Šířka okolku Šířka okolku y se zjistí ve výšce 10 mm nad osou y, přičemž norma povoluje hodnoty e v mezích 8,5 až 3,5 mm s krokováním 0,5 mm. Tyto povolené hodnoty jsou opět směrodatné pro všechny typy jízdních obrysů bez výjimky. Z výše uvedeného tudíž vyplývá, že rozměry okolku nejsou odvislé od typu jízdního obrysu a můžou se použít bez omezení u všech třech typů.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 1 3. Funkce jízdního obrysu 3.1. Přenos sil mezi kolem a dvojkolím 3.1.1. Dotyková ploška Styk železničního kola s kolejnicí můžeme považovat za styk dvou válcových kol, jeden válec představuje kolo, druhý válec hlava kolejnice, přičemž výsledná dotyková ploška má tvar elipsy s hlavní poloosou a a vedlejší poloosu b. Toto řešení, nazývané Hertzovo podle svého objevitele, vychází z několika idealizovaných předpokladů: Látky jsou homogenní. Materiál má elastické účinky. Dotyková ploška je vzhledem k povrchu vozidla dostatečně malá. Neexistuje tu spin ani prokluz. 10 a 80,6 b Obr. 1 Dotyková ploška Přestože v reálném provozu nelze dosáhnout těchto faktorů, bylo dokázáno experimenty, že se Hertzova teorie kontaktní problematiky blíží svými výsledky reálným hodnotám. Poloosy dotykové plošky vypočítáme dle empirických vztahů: a = 3 Q ( 1 ν ) 1 1 E + r d r k ( 1)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 13 b = 3 Q ( 1 ν ) β ( ) 1 1 E + r d r k kde Q je svislá kolová síla, E ν r d r k je modul pružnosti, je Poissonovo číslo, je poloměr kola, je poloměr hlavy kolejnice. vztahem: Konstanty α a β z rovnic závisí na úhlu δ, který získáme pomocí vztahu: r = arc cos r d k δ ( 3) d r + r k Svislá kolová síla se přenáší přes plochu dotykové plošky, její velikost se dá vyjádřit Q = σ ds, kde σ je normálové napětí. V případě klidového stavu vozidla je rozložení normálového napětí symetrické v celé ploše dotykové plošky a svislá kolová síla Q směřuje do středu této plochy, při jízdě vozidla tato se posouvá ve směru jízdy vlaku a působí momentem síly na rameni e proti pohybu vozidla. Střední zatížení v dotykové plošce se zjistí pomocí vztahu p stř Q = π a b (4) Velikost poloos dotykové plošky se pohybuje většinou rozmezí a = 6 8 mm, b = 4,5 5, 5 mm. Celková plocha poté činí 1 1,5 cm. Velikost středního tlaku v dotykové plošce tudíž je p stř = 1000 1500 MPa. 3.1.. Průběh napětí a tečných sil v dotykové plošce Normálové napětí má v dotykové plošce parabolický průběh, největšího napětí je dosahováno ve středu plošky. Z tohoto lze odvodit měrnou tečnou sílu, která je:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 14 t ( x) f p( x) =, kde f je součinitel tření. Vyšrafovaná plocha vyjadřuje velikost této limitní tečné měrné síly, hranice této plochy však už platí pro případ, kdy je kolo a kolejnice ve vzájemném prokluzu. z p (x) t(x)=f.p(x) x 40,6 a Obr. Napětí v dotykové plošce V oblasti dotykové plošky se vyskytují dvě oblasti, oblast lpění L a oblast prokluzu S. Oblast lpění se nachází na náběžné straně dotykové plošky. V této oblasti je kolo vystaveno povrchové deformaci a tyto deformované povrchy kola i kolejnice se vůči sobě odvalují bez vzájemného prokluzu. V oblasti skluzu již k prokluzu těchto povrchů dochází. z p(x) t (x) t (x) x 10,5 c 15,66 c 0,13 a 0,13 a t (x) Obr. 3 Úbytek tečné síly

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 15 S L 83,96 b Obr. 4 Oblast skluzu a lpění v dotykové plošce V oblasti lpění předpokládáme negativní tečnou sílu t ( x), výsledná měrná tečná síla poté bude dána výrazem ( x) = t( x) t ( x) t.. V oblasti skluzu tato síla dosahuje limitní síly t ( x). Když zvolíme obdélníkovou dotykovou plošku, která bude mít velikost = 1, je pak rozdělení normálního zatížení dáno x p ( x) = p0 1, a po dosazení dostáváme: a l, kde l T ( x) = f Q π a x 1 a a a x + c 1 a, T ( x) = f p( x) = f Q π a x 1 a. (5) Výsledná tečná síla pak vnikne součtem sil v oblasti prokluzu a lpění. ( x) T ( x) T = T + Z předchozích vztahů je jasné, že dotyková ploška přenáší maximální sílu v případě, že se oblast skluzu rozšíří na celou délku dotykové plošky. 3.. Geometrická poloha dvojkolí vůči koleji 3..1. Rozchod koleje a dvojkolí Rozchod koleje se měří na poloměru o 10 mm větším než je poloměr styčné kružnice. Poloha styčné kružnice je 70 mm od vnějšího čela kola. Hodnota rozchodu koleje činí 1435 mm, hodnota rozchodu dvojkolí je 146 mm. Z rozměrů koleje a dvojkolí nutně vyplývá,

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 16 že se dvojkolí musí pohybovat v mezích, která je vymezena vůlí mezi rozchodem koleje a rozchodem dvojkolí, jež se nazývá kanálem koleje. Tento údaj je roven σ = 1435 146 + = 11 mm. (6) kde σ je teoretická šířka volného kanálu koleje, mm je přídavek na opravu vznikající důsledkem toho, že hodnota rozchodu koleje a dvojkolí se měří v nestejné úrovni. ROVINA STYČNÉ KRUŽNICE STYČNÁ KRUŽNICE ROZCHOD DVOJKOLÍ 10 70 Obr. 5 Rozchod dvojkolí Vozidlo resp. dvojkolí vykonává při pohybu sinusový pohyb, který je limitován právě volným kanálem vozidla. 3... Pohyb dvojkolí, sinusový pohyb Pro zjednodušení vztahů si můžeme představit plochu kolejnice jako plochu válce a plochu kola jako kuželovitý útvar. Představme si též dvojkolí jako dvojkužel, který se valí po přímkách schematicky znázorňující kolej. Díky těmto specifickým vlastnostem bude dvojkolí uskutečňovat při valení vlnivý pohyb. Při vychýlení na jednu stranu se bude dvojkolí odvalovat po dotykových kružnicích o různých poloměrech, což bude dvojkolí vracet zpět do středu (Obr. 6).

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 17 Obr. 6 Naklonění dvojkolí Dvojkolí má tyto rozměry: s - vzdálenost styčných kružnic r - poloměr styčných kružnic kol γ - úhel kuželovitosti jízdní plochy tg γ - kuželovitost obrysu.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 18 750 r 90 1360 s 1500 = 1500 Obr. 7 Rozměry dvojkolí Dvojkolí a styk dvojkolí a kolej si můžeme schematicky znázornit dle Obr. 8. 18,73 s r+ 61,35 r r 53,49 r- 51,16 r 3,34 y Obr. 8 Odvození rovnice sinusového pohybu Hodnota dle vztahu r, o kterou se liší skutečné poloměry styčných kružnic od střední, zjistíme

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 19 r = y tgγ. o,8 r 1,99 r1 r 19,19 15,09 s 88,61 R Obr. 9 Náhradní kužel Z Obr. 9 je zřejmé, že valení dvojkolí probíhá kolem bodu O, z podobnosti trojúhelníků pak dostaneme r R 1 R = = r s r r s =. (7) y tgγ r s Známe vztah vyjadřující křivost, v němž existují derivace y, y y ρ =. 3 ( 1+ y ) Víme, že křivka popisující vlnivý pohyb dvojkolí je velmi plochá, proto můžeme provést zanedbání y = & 0 y 1 = ρ = R y tgγ =. (8) r s Z tohoto vztahu dostaneme diferenciální rovnici tgγ y + = 0. r s Řešení se předpokládá ve tvaru:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 0 y = A sin B x A = y B 0 tgγ = r s. Výsledná trajektorie bude dána vztahem tgγ y = y sin x r s 0. Z tohoto vztahu je zřejmé, že trajektorie vlnivého pohybu dvojkolí má sinusový pravidelný průběh, toho lze pak využít při zjištění délky vlny L, kdy víme, že při změně souřadnice x o L se velikost argumentu sin zvětší o π : tgγ r s tgγ r s ( x + L) = x + π Z tohoto vztahu získáme. (9) tgγ L = π s r. (10) s r L = π tgγ Volné dvojkolí tudíž vykonává vlnivý pohyb, mezi jehož vlastnosti patří: nezávislost délky vlny na velikosti volného kanálu nezávislost délky vlny na rychlosti vozidla, s vyšší rychlostí se tudíž mění frekvence vlnivého pohybu dle vztahu f = v L V = 3,6. L malá závislost na parametrech kol, zejména na průměru r, jelikož tato hodnota se nachází pod odmocninou 3..3. Bezpečnost proti vykolejení Jednou z hlavních funkcí jízdního obrysu a jeho tvaru je zajištění co největší bezpečnosti proti vykolejení. Tohoto se dosahuje vhodným tvarem okolku. Dříve se běžně používal okolek se sklonem 60, v současné době se preferuje sklon kolem 70, kdy se bezpečnost proti vykolejení zvýší o několik desítek procent.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 1 Na následujícím obrázku je vidět, jak se chová dvojkolí v případě decentralizované polohy. Levé kolo se nachází v krajní pozici, kdy se okolková část dotýká kolejnice, vodící síla Y1 dosahuje velkých hodnot a nutí dvojkolí vrátit se zpět, jelikož síla Y je mnohem menší. Q1 R1 R N Q N1 T1 Y1 Y T Obr. 10 Bezpečnost proti vykolejení Pro dodržení bezpečnosti proti vykolejení musí být poměr kolové svislé síly Q a vodící síly Y menší než daná kritická hodnota: Q Q Y Y Q Y krit = 1, krit

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 4. Používané jízdní obrysy Norma ČSN EN 13175 povoluje používání tří základních typů jízdních obrysů a jejich modifikací a to: S100 1/40 UIC ORE. 4.1. Definice jízdních obrysů Jízdní obrysy se z hlediska konstrukce skládají z několika částí: Ze dvou oblastí H-S a S-D1, kde je přesně daná geometrie Z přechodové oblasti C1-D1, je unikátní pro každý typ jízdního obrysu, slouží k tangenciálnímu propojení v bodě C1 Z jízdní plochy obrysu C1-B1 (B1a nebo B1b), která je taktéž unikátní pro každý jízdní obrys Z oblasti B1 (B1a nebo B1b)-A1-I, která zahrnuje sklon a zkosenou hranu, je opět unikátní pro každý referenční jízdní obrys, sklon musí být v rozmezí 6,7 % - 15 % H1 S G1 z H R0,5 RI Rfa F1 E1 D1 C1 D0 B1/B1a/B1b A1 y 6 3,158 I 35 Obr. 11 Jízdní obrys 4.. Konstrukční metoda Počátek os souřadnic se nachází 70 mm od vnitřního čela kola v bodě D0, který je totožný s místem, kde se nachází styčná kružnice jízdního kola. Osa y je rovnoběžná s osou otáčení jízdního kola, její kladné hodnoty směřují k vnějšímu čelu kola, osa z je na tuto osu kolmá, kladné hodnoty os směřují k vnitřní části kola.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 3 4.3. Základní jízdní obrys Základní (referenční) jízdní obrys má u každého typu jízdního obrysu okolek o tloušťce 3,5 mm a o výšce 8 mm. Ostatní jízdní obrysy vychází z tohoto základního. 4.4. Jízdní obrysy se změněnou šířkou okolku Norma povoluje též obrys s jinou než referenční tloušťkou okolku e = 3, 5 mm. 4.4.1. Okolek Základní tloušťka okolku je 3,5 mm, další tloušťky okolku se dosáhne posunem oblasti S-D1 rovnoběžně s osou y směrem k vnitřnímu čelu kola (Obr. 1). Tloušťka okolku se pohybuje rozmezí 8,5 mm až 3,5 mm s krokováním 0,5 mm. Po změně tloušťky okolku ze základní hodnoty 3,5 mm bude propojovací osa AXB, která prochází vrcholkem okolku, mít od vnitřního čela kola vzdálenost 3,5 e a = 15, (11) kde e je tloušťka okolku v mm. AXB S F1 E1 e D1 10 -z a Obr. 1 Okolek

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 4 Vrchol okolku se proto nebude posouvat o stejnou hodnotu e jako celá část obrysu S- D1, ale jen o polovinu této hodnoty. Tangenta úhlu nebude pro šířku okolku e menší jak 3,5 mm mít kontinuální přechod v bodě S, ale bude docházet k určitému zlomu. 4.4.. Přechodové oblasti D1 C1 D0 u obrysu 1/40 a S100 Při zmenšení šířky okolku e o hodnotu de dojde k posunutí celé oblasti D1 C- T1 o tutéž hodnotu, přičemž bod T1 je dán pro všechny tloušťky ve směru záporném osy z, tvar této křivky zůstane zachován. Bod T1 D0 pak lze propojit přímkou. Poloha bodu T1 (3,5) je přesně definována a je neměnná pro všechny šířky okolku e. T1 T1 (3,5) z D0 7,6 de y Obr. 13 Význačný bod T1 při změně tloušťky okolku 4.4.3. Oblast D1 C1 -D0 u obrysu EPS Oblast D1 C1 D0 se při změně tloušťky jízdního obrysu neposouvá, ale mění se jeho tvar. Tento obrys při jakékoliv tloušťce okolku začíná v bodě D0, o hodnotu de se posouvá jen koncový bod D1. 4.4.4. Oblast D0 - B1 (B1a nebo B1b) Tato oblast se změnou tloušťky okolku nemění, je definována pro každý jízdní obrys zvlášť. Bod B1 je koncový bod tohoto úseku pro jízdní obrys S100, bod B1b pro EPS, bod B1a pro 1/40. 4.4.5. Sklon a zkosená hrana Bod B1 jízdního obrysu S100 má vždy vzdálenost 10,158 mm od vnitřního čela jízdního kola, bod B1a jízdního obrysu 1/40 a B1b jízdního obrysu EPS mají hodnotu jinou, přesně definovanou.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 5 4.5. Matematické vyjádření okolku s výškou 8 mm a tloušťkou 3,5 mm Okolek je stejný pro všechny normované typy jízdních obrysů, proto bude detailně probrán zde a dále se mu budeme věnovat jen okrajově. Standardní okolek má výšku h o velikosti 8 mm a tloušťku 3,5 mm. Výška okolku se měří od osy z, jeho tloušťka se měří 10 mm nad touto osou (Obr. 1). Norma připouští i další rozměry okolku, které si rozeberme později, konkrétně tloušťka okolku je povolena v mezích 8,5 mm až 3,5 mm, jeho výška je určena rozměry 8 mm, 30 mm a 3 mm. Jízdní obrys je nutné rozdělit z matematického hlediska na několik částí (Obr. 14). RI=RE=1 H1 S G1 z R0,5 Rfa F1 E1 Dm z REM H Fm Hm R13 D1 D0 y y RIM =y REM 70 Obr. 14 Významné body konstrukce okolku Úsek D0 - D1 je jedinečný pro každý typ jízdního profilu, není součástí okolku. Úsek D1 E1 je část kružnice s poloměrem o velikosti 13 mm a středem v bodě Dm. Úsek E1 F1 je úsečka se sklonem 70. Úsek F1 G1 je část kružnicového oblouku s poloměrem Rfa a se středem v bodě Fm. Úsek G1 H1 je část kružnicového oblouku s poloměrem RI = RE = 1 mm a se středem v bodě RIm. Úsek H1 H je část kružnicového oblouku s poloměrem 0,5 mm se středem v bodě Hm. S je vrchol okolku, bod D0 místo, kde se nachází styčná kružnice. Velikost poloměru Rfa činí 0 mm.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 6 Souřadnice významných bodů okolku, získaných z normy ČSN EN 13715, jsou uvedeny v následující tabulce: Tab. 1 Významné body okolku o šířce 3,5 mm a výšce 8 mm [4] Bod y [mm] z [mm] D1-35,000 6,867 E1-38,47 1,000 Dm -6,11 16,446 F1-39,765 15,675 G1-49,663 6,748 S -55,000 8,000 H1-6,765 5,149 H -70,000 9,519 Hm -49,500 9,519 RIm -55,000 16 REm -55,000 16 4.5.1. Oblast D1 E1 Oblast D1 E1 je tvořena částí kružnicového oblouku s poloměrem 13 mm, střed této kružnice se nachází v bodě Dm. Pro výpočet velikosti souřadnice z použijeme obecného vztahu vyjadřující kružnici o poloměru r. ( z z ) ( y y Dm ) + Dm = R (1) kde y je y-ová souřadnice obrysu v úseku D1 E1, z je z-ová souřadnice obrysu v úseku D1 E1, y Dm je y-ová souřadnice středu kružnice v bodě Dm, Z normy ČSN EN 13 715 získáme následující hodnoty: Dm = R = 13 mm [ 6,11; 16,446] Dosadíme a dostaneme:.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 7 ( 6,11) + ( z 16,446) = 13 y. D + D Po menší úpravě získáme výsledný matematický vztah pro úsek D1 E1 ( 6, ) z = 16,446 + 13 + y + 11. (13) Čili: Dm ( y y ) z = z + R +. Dm Dm Tangenta úhlu pro tento úsek bude mít tvar: z = R Dm y y + y Dm y Dm Dm. (14) Po dosazení jsem získal: z = y + 6,11 (15) 13 6,11 y y 5,4 4.5.. Úsek E1 F1 Úsek E1 F1 je tvořen přímkou se sklonem 70 a s okrajovými body E1 a F1. Tyto údaje nám stačí k vyjádření matematického vztahu pro tento úsek: Obecná rovnice přímky má tvar z z z = k E1 E k E ( y y E1 ) ( y ye1 ) + ze1 = (16) kde z E je z-ová souřadnice obrysu v úseku E1 F1, k e je směrnice přímky. Známe hodnotu E1, jehož souřadnice jsou E1= [-38,47; 1,000]. Tangenta úhlu je: 0 k E = tg70 = z Známou souřadnici bodu EI dosadíme do vztahu (16) a dostaneme 0 ( y + 38,47) + 1 = 70 93, 578 0 z = tg70 tg. (17) Tangenta úhlu má tvar: z = tg70 0 (18)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 8 4.5.3. Úsek G1 F1 Tento úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru Rfa se středem v bodě Fm. Souřadnice získané z [4] jsou následující: Rfa = 0 mm Fm = [ 8,835; 58,558] Vyjádříme si souřadnici z: Fm ( y y ) z = z + Rfa (19) Fm Dosadíme souřadnici středu = [ 58,558; 8,835] ( 58, ) Fm, Rfa = 0 mm a dostaneme: z = 8,835 + 0 y + 558 (0) Tangenta úhlu se vyjádří pomocí z = y + 58,558 (1) 309,03936 y y 117,116 4.5.4. Úsek H1 G1 Obrys této části úseku je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 1 mm a se středem v bodě S = [ 55,000; 18,00] ( y y ) + ( z z ) R. R R = Po dosazení bodu S bude výsledný tvar: ( ), matematické vyjádření tudíž bude: z = 18 + 1 y + 55 (3) Tangenta úhlu se získá derivací předchozího vztahu: y + 55 z = (4) 881 y y 110 4.5.5. Úsek H1 H Obrys této části úseku je opět tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 0,5 mm se středem v bodě Hm. Z normy ČSN EN 13 715 jsem získal: R Hm Hm = = 0,5 mm [ 49,5; 9,519]

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 9 Souřadnici z zjistíme ze vztahu: Hm ( y y ) z = z + R (5) Hm Hm Po dosazení souřadnice středu Hm získáme vztah pro výpočet souřadnice z: ( 49, ) z = 9,519 + 0,5 y + 5 (6) Tangenta úhlu je: y + 49,5 z = (7) 030 y y 99 4.6. Matematické vyjádření okolku o výšce 30 mm a tloušťce 3,5 mm Obrys tohoto okolku bude sestaven ze stejných částí jako okolek se standardní výškou 3 mm, lišit se bude poloha bodů F1, G1, S, H1, H, Hm, Fm, RIm, REm a hodnota poloměru Rfa, která činí 1,5 mm. Tab. Významné body okolku o šířce 3,5 mm a výšce 8 mm [4] Bod y [mm] z [mm] D1-35,000 6,867 E1-38,47 1,000 Dm -6,11 16,446 F1-40,530 17,779 G1-47,758 7,568 S -55,000 30,000 H1-6,765 9,83 H -70,000 11,519 Hm -49,500 11,519 RIm -55,000 18 REm -55,000 18 Z uvedené tabulky je patrné, že body REm, RIm, Hm, H, S se zvýší stejně jako výška okolku o mm v kladném směru osy z.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 30 4.6.1. Oblast E1 D1 Tato oblast je tvořena, jako v předešlém případě, kružnicovým obloukem o poloměru 13 mm se středem v bodě Dm. Matematické vyjádření této části obrysu tudíž bude: Dn ( y y ) z = z + R +. (8) Dm Dm Po dosazení souřadnice bodu Dm z normy ČSN 13 715 bude rovnice ve tvaru: ( 6, ) z = 16,446 + 13 + y + 11 (9) Tangenta úhlu je vyjádřena pomocí: z = y + 6,11 (30) 518,0165 y y 5,4 4.6.. Oblast F1 E1 Jelikož souřadnice bodu E1 jsou stejné jako u okolku s výškou 8 mm a sklon je taktéž stejný, má matematické vyjádření této části obrysu stejný tvar jako vztah (17) a (18): z = tg 70 0 + 93,559 z = tg70 0 4.6.3. Oblast G1 F1 Oblast G1 F1 je tvořena částí kružnice o poloměru v bodě Fm = [ 60,733; 10,45] proto bude: Fm ( y y ) Fm Rfa = 1, 5 mm a se středem, výsledný vztah vyjádřený z obecné rovnice pro kružnici z = z + Rfa. (31) Po dosazení konkrétních hodnot dostaneme: ( 60, ) z = 10,45 + 1,5 y + 733 (3) Tangenta úhlu bude mít tvar: z = y + 60,733 (33) 36,479 y y 11,466

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 31 4.6.4. Oblast H1 G1 S = Tento úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 1 mm se středem v bodě [ 55,00; 30,000], rovnice tedy bude mít výsledný tvar: ( ) z = 18 + 1 y + 55 (34) Pro vyjádření tangenty úhlu pro tento úsek jsem si odvodil vztah: z = y + 55 (35) 881 y y 110 4.6.5. Oblast H H1 Tento úsek tvoří kružnicový oblouk o poloměru 0,5 mm se středem v bodě [ 49,500; 11,519] Hm =. Tvar rovnice pro tento úsek po dosazení známých souřadnic je: ( 49, ) z = 11,519 + 0,5 + y + 500 (36) Tangenta úhlu se vyjádří pomocí: y + 49,5 z = (37) 030 y y 99 4.7. Matematické vyjádření okolku o výšce 3 mm a šířce 3,5 mm Obrys tohoto okolku bude sestaven ze stejných částí jako okolek se standardní výškou 3 mm, lišit se bude poloha bodů F1, G1, S, H1, H, Hm, Fm, RIm, REm a hodnota poloměru Rfa, která činí 3 mm. Tab. 3 Významné body okolku o výšce 3 mm a tloušťce 3,5 mm [4] Bod y [mm] z [mm] D1-35,000 6,867 E1-38,47 1,000 Dm -6,11 16,446 F1-41,497 0,434 G1-46,153 8,108 S -55,000 3,000

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 3 H1-6,765 9,149 H -70,000 13,519 Hm -49,500 13,519 RIm -55,000 0 REm -55,000 0 4.7.1. Úsek E1 D1 Jelikož hodnota poloměru je stále 13 mm a souřadnice bodu Dm se také nezměnila, bude výsledný tvar rovnice: Dm ( y y ) z = z + R +, Dm Dm čili po dosazení konkrétních hodnot dostáváme: ( 6, ) z = 16,446 + 13 + y + 11. (38) Tangenta z = y + 6,11 (39) 518,01651 y y 5,4 4.7.. Úsek F1 E1 I v tomto úseku bude rovnice obrysu stejná ve vztahu (17) a (18), jelikož hraniční bod EI i sklon přímky se nemění: z = tg70 0 + 93,559 Tangenta úhlu bude ve tvaru: z = tg70 0 4.7.3. Úsek G1 F1 Tento úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru Rfa = 3 mm se středem v bodě Fm = [ 63,110; 1,558] vztahem, tento úsek tudíž bude po dosazení těchto údajů vyjádřen ( 63, ) z = 1,558 + 3 y + 110 (40) Tangenta úhlu pro tento úsek bude mít tvar:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 33 z = y + 63,110 (41) 3453,871 y y 16, 4.7.4. Úsek H1 G1 S = Tento úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 1 mm se středem v bodě [ 55,00; 0,000], rovnice tedy bude mít výsledný tvar: ( ) z = 0 + 1 y + 55 (4) Tangenta úhlu pro tento úsek se vyjádří vztahem: z = y + 55 (43) 881 y y 110 4.7.5. Úsek H G1 Tento úsek tvoří kružnicový oblouk o poloměru 0,5 mm se středem v bodě [ 49,500; 13,519] Hm =. Tvar rovnice pro tento úsek po dosazení známých souřadnic je: ( 49, ) z = 13,519 + 0,5 + y + 500 (44) Tangenta úhlu se po zderivování vyjádří pomocí: y + 49,5 z = (45) 030 y y 99 4.8. Matematické vyjádření okolku s šířkou menší než 3,5 mm Norma ČSN 13715 povoluje kromě tloušťku okolku v mezích 8,5 až 3,5 mm. Označme si rozdíl mezi referenční tloušťkou okolku e a novou tloušťkou okolku jako de. Tato hodnota se tudíž pohybuje v mezích 0 4 mm. O tuto hodnotu se bude posouvat obrys okolku v mezích D1 S vodorovně s osou y. Nyní si nově zavedenou hodnotu dosadíme do jíž získaných vztahů pro matematické vyjádření okolku.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 34 H1 AXB S G1 de F1 H e E1 D1 10 -z a Obr. 15 Zúžení de okolku 4.8.1. Úsek E1 D1 Střed kružnicového oblouku Dm se posune o hodnotu de ve směru osy y doleva, obrys pak bude vyjádřen pomocí: [ y ( y )] z = z R de. (46) Dm Dn Dm Pro výšku okolku h pak po dosazení číselných hodnot dostáváme pro všechny výšky h okolku vztah: [ y ( 6,11 de) ] z D = 16,446 13 = 16,446 13 + ( y + 6,11 de) Tangenta bude vyjádřena pomocí: = (47) z = 13 y + 6,11 + de ( 6,11+ de) y ( 6,11+ de) (48)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 35 4.8.. Úsek F1 E1 Po posunutí přímky se sklonem 70 o hodnotu de dostaneme: E [ y ( y E1 de) ] z E1 z = k +. Po dosazení číselných hodnot platí pro obrys o všech hodnotách výšky h v tomto úseku vztah: [ y + 38,47 + ] 1 z = tg70 de + (49) Tangenta úhlu bude pro všechny šířky okolku e stejná, protože posunem přímky se její sklon nemění: z = tg70 0 4.8.3. Úsek G1 F1 Tento obrys tvoří posunutý kružnicový oblouk o hodnotu de s poloměrem Rfa. Vyjádří se pomocí ( y y ) z = z + Rfa de. (50) Fm Fm + Derivací získáme tangentu úhlu: z = Rfa y y + y Fm Fm y Fm (51) K zjednodušení vyjádření vztahů pro jednotlivé šířky okolku použijeme následující vztah: ( y ) z Fm + = z + Rfa + b, (5) pro tangentu bude tudíž platit z = Rfa b y + b y b (53) kde okolku e. b = y + Fm de je vyjádření koeficientu pro jednotlivé šířky

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 36 Tab. 4 Koeficienty b pro výšku okolku 8 mm e [mm] Rfa [mm] z Fm [mm] b [mm] 3,0 59,058 31,5 59,558 31,0 60,058 30,5 60,558 0 8,835 30,0 61,058 9,5 61,558 9,0 6,058 8,5 6,558 Tab. 5 Koeficienty b pro výšku okolku 30 mm e [mm] Rfa [mm] z Fm [mm] b [mm] 3,0 61,3 31,5 61,73 31,0 6,3 30,5 6,73 1,5 10,45 30,0 63,3 9,5 63,73 9,0 64,3 8,5 64,73

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 37 Tab. 6 Koeficienty b pro výšku okolku 3 mm e [mm] Rfa [mm] z Fm [mm] b [mm] 3,0 63,610 31,5 64,110 31,0 64,610 30,5 65,110 3 1,558 30,0 65,610 9,5 66,110 9,0 66,610 8,5 67,110 4.8.4. Úsek S G1 Tuto často obrysu tvoří opět posunutý kružnicový oblouk o hodnotu de, který má poloměr 1 mm: ( y y ) z = z + R de. (54) R R + Tangenta úhlu se vyjádří vztahem: z = R y + y + de ( y + de) y ( y + de) R R R, (55) kde R je poloměr kružnicového oblouku de je posunutí okolku y R, z R jsou souřadnice středu kružnicového oblouku. Následující tabulky ukazují hodnoty jednotlivých koeficientů pro různé normované výšky okolku h.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 38 Tab. 7 Koeficienty b pro výšku okolku 8 mm e [mm] R [mm] z R [mm] b [mm] 3,0 55,5 31,5 56 31,0 56,5 30,5 57 16 1 30,0 57,5 9,5 58 9,0 58,5 8,5 59 Tab. 8 Koeficienty b pro výšku okolku 30 mm e [mm] R [mm] z R [mm] b [mm] 3,0 55,5 31,5 56 31,0 56,5 30,5 57 18 1 30,0 57,5 9,5 58 9,0 58,5 8,5 59

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 39 Tab. 9 Koeficienty b pro výšku okolku 3 mm e [mm] R [mm] z R [mm] b [mm] 3,0 55,5 31,5 56 31,0 56,5 30,5 57 0 1 30,0 57,5 9,5 58 9,0 58,5 8,5 59 4.8.5. Úsek H1 S Tento úsek zůstává beze změn, posunutí okolku o hodnotu de nemá na tuto část obrysu vliv, jenom poloha koncového bodu S se posunuje o hodnotu posunutí de. 4.8.6. Úsek H H1 de l = ve směru Úsek H H1 zůstává beze změn, změna šířky okolku e neovlivňuje jeho vlastnosti.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 40 4.9. Jízdní obrys 1/40 s referenční šířkou okolku 3,5 mm Jm z R13 Dm R36 C11a T1 D0 B1a A1 I D1 D1a y Obr. 16 Obrys 1/40 Tento jízdní obrys si z matematického hlediska rozdělíme opět na několik částí: Oblast A1 I - je tvořena zkosenou hranou o rozměrech 5 x 5 mm. Oblast A1 B1a vyjádří se pomocí přímky se sklonem 15 %, přičemž je normou ČSN 13715 povolenou použít sklon od 6,7 % do 15 %. Oblast C11a B1a tuto část tvoří přímka se sklonem,5 %. Oblast D1a C11a je tvořena kružnicovým obloukem o poloměru 36 mm se středem v bodě Jm. Oblast D1 D1a vyjádří se pomocí kružnicového oblouku o poloměru 13 mm. Oblast H D1 okolek 4.9.1. Úsek A1 I Tento úsek tvoří zkosená hrana 5 x 5 mm, tudíž se vyjádří pomocí vztahu z = k a, I I + kde y, z jsou souřadnice obrysu v tomto úseku, I I k I je směrnice přímky v tomto úseku Jelikož sklon je 45, je směrnice přímky tohoto úseku k = 1, rovnice se tudíž zjednoduší na z = y I + a. Přesný tvar si vyjádříme z dalšího úseku, kde zjistíme přesné souřadnice krajního bodu A1. I

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 41 4.9.. Úsek A1 B1a Tato část obrysu je tvořena přímkou se sklonem 15 %. Známé hodnoty z normy ČSN EN 13 715: B1 = k A [ 35,000; 0,875] = 0,15 Výsledný vztah pro tento úsek je: z = k + a. Po dosazení a úpravě získáme 0,875 = 0,15 35 + b z = 0,15 + 4,375 (56) Vypočteme hodnotu bodu A1: A = [ 65; z ] 1 A1 Vypočítáme souřadnici A1: z 1 = 0,15 60 + 4,735 = 4,65 A Bod 1 = [ 65; 4,735] A dosadíme a dostaneme matematický vztah pro úsek A1 I: 4,735 = 65 + a a = 59,65 z = y + 59,65 (57) 4.9.3. Úsek C11a B1a Úsek C11a B1a je tvořen přímkou se sklonem,5 % a prochází bodem D0, který leží v počátku souřadnicového systému. Známe hodnoty: k B B 1a = D0 = = 0,05 [ 35,000; 0,875] [ 0; 0] Tento úsek se vyjádří pomocí: z = k B. (58) z = 0,05

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 4 4.9.4. Úsek D1a C11a Úsek D1a C11a je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 36 mm se středem v bodě Jm. Známé hodnoty: Jm = [ 14,740; 36,380] RC = 36 mm Vyjádříme si vztah pro výpočet souřadnice z : z = z z = Jm R C ( y y ) Jm 36,380 36 C + C ( y 14,740) (59) Derivací získáme tangentu úhlu pro tento úsek: z = R C y Jm y + y y Jm Jm (60) Dosadíme do (60) a dostaneme: z = y + 14,740 (61) 36 14,740 y 14,740 4.9.5. Úsek D1 D1a Dm. Úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru Známe tyto údaje: R D = 13 mm. Dm = [ 6,11; 16,446] Vyjádříme si souřadnici z : R D = 13 mm se středem v bodě RD ( y y ) z = z R. (6) D RD Odtud po dosazení číselných hodnot souřadnice a velikosti poloměru ( 6, ) R D dostaneme: z = 16,446 + 13 y + 11. (63) Derivací tohoto vztahu dostaneme tangentu úhlu:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 43 z = R D y RD y + y y RD RD (64) z = y + 6,11 (65) 13 6,11 y 6,11 4.9.6. Úsek H D1 Jedná se o okolek, byl rozebrán výše. 4.10. Jízdní obrys 1/40 s šířkou okolku menší než 3,5 mm 4.10.1. Oblast D0 - A1 - I Tato oblast zůstává stejná jako u obrysu s referenční šířkou okolku e = 3 mm 4.10.. Oblast T1 D0 Jízdní obrys 1/40 pro jinou než referenční šířkou okolku e má nový významný bod konstrukce T 0 = [ 0,500; 0,015]. Tento bod je důležitý pro konstrukci bodu T1, který je posunutým bodem T0 o hodnotu de vodorovně s osou y. Bod T1 je s bodem D0 spojen přímkou, čili pak platí: z = k y, T kde z T1 k T =, yt1 odtud z = z y T T = zt 0 = y de T 0 0,015 0,500 de (66) Pro šířku okolku e = 3 mm po dosazení získám: z = 0,015. z = 0,015 Zúžení okolku de je v rozpětí 0,5 4,5 mm s krokováním po 0,5 mm. 4.10.3. Oblast C11a T1 Vycházíme ze vztahu (58), jehož y-ová složka bude zmenšená o hodnotu de. C ( y yt1 ) + zt1 = kc [ y ( yt 0 de) ] zt1 z = k + (67)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 44 Po vyčíslení (67) dostaneme: ( y + 0,5 + ) 0, 015 z = 0,05 de + (68) Nahradíme se b = 0, 5 + de a dostaneme: ( y + ) 0, 015 y = 0,05 b + (69) Tab. 10 Koeficienty úseku C11a-T1 pro různé šířky okolku e [mm] b [mm] 3,0 1 31,5 1,5 31,0 30,5,5 30,0 3 9,5 3,5 9,0 4 8,5 4,5 Směrnice pro všechny normované šířky okolku bude stejná: z = 0,05 4.10.4. Úsek D1a C11a s osou y: Vztah dostaneme z (59), je opět posunutý o hodnotu zúžení okolku de vodorovně ( y y ) z = z R de. (70) Jm Jm Jm + Dosadíme číselné hodnoty do (69): z = R C y + y + de ( y + de) y ( y + de) Jm Jm Jm (71) kde R Jm je poloměr kružnicového oblouku v úseku D1a C11a de je posunutí okolku y z Jm, Jm jsou souřadnice středu kružnicového oblouku.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 45 Dosadíme koeficient b = y de a po úpravě dostaneme: Jm ( y ) z = z R, (7) Jm Jm b z = R C b y b. (73) y b Hodnoty jednotlivých koeficientů jsou uvedeny pro jednotlivé normované hodnoty šířek okolku e v následující tabulce: Tab. 11 Hodnoty koeficientů pro úsek D1a C11a e [mm] R [mm] z R [mm] b [mm] 3,0 15,40 31,5 15,740 31,0 16,40 30,5 16,740 36 36,380 30,0 17,40 9,5 17,740 9,0 18,40 8,5 18,740 4.10.5. Úsek D1 D1a Vztah získáme z (6) odečtením hodnoty de od y-ové složky tohoto vztahu: ( y y ) z = z R de, (74) D D D + Tangentu úhlu získáme derivací vztahu vyjadřující tento úsek: z = R D y + y + de ( y + de) y ( y + de) D D D, (75) kde R D de je poloměr kružnicového oblouku pro tento úsek, je posunutí okolku, y D, z D jsou souřadnice středu tohoto oblouku.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 46 dostaneme: Pro zjednodušení si, jako v předchozích případech, nahradíme b = y de a D ( y ) z = z R, (76) D D b z = R D b y b y b (77) Následující tabulka vyjadřuje hodnoty koeficientů pro jednotlivé šířky okolku e: Tab. 1 Koeficienty b pro úsek D1 - D1a e R z R b [mm] [mm] [mm] [mm] 3,0 6,711 31,5 7,11 31,0 7,711 30,5 8,11 13 16,446 30,0 8,711 9,5 9,11 9,0 9,711 8,5 30,11 4.11. Jízdní obrys S100 s referenčním rozměrem okolku Tento jízdní obrys je nutné z matematického hlediska rozdělit na několik částí: Úsek A1 I obrys této části je tvořen úsečkou se sklonem 45 a délkou 5 mm. Úsek B1 A1 obrys jet tvořen přímkou se sklonem 6,7 %, přičemž dle [1] je přípustný sklon mezi 6,7 % a 15 %. Úsek D1 B1 tento obrys vznikl výzkumy a měřením za provozu, souřadnice jsou uvedeny v [1]. Úsek H D1 - tvoří obrys okolku. Významné body tohoto obrysu jsou shrnuty v následující tabulce:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 47 Tab. 13 Významné body obrysu S100 Bod y [mm] z [mm] B1 3,158-0,780 C1-6,000,741 D1-35,000 6,867 H1 S G1 z H R0,5 RI Rfa F1 E1 D1 C1 D0 B1 A1 y 6 3,158 I 35 Obr. 17 Obrys S100 4.11.1. Úsek I A1 Tento úsek je tvořen úsečkou se sklonem 45 a o délce 5 mm, jeho matematické vyjádření tudíž bude následující: ( y y A 1 ) z 1 z = k +. 1 A Z výše uvedeného je patrné, že směrnice přímky z = 1, celá rovnice se proto zjednoduší po vyčíslení na tvar: z = y + 6,01959. (78) 4.11.. Úsek B1 A1 Tento úsek je tvořen přímkou, která má sklon 6,7 %, jejími hraničními body jsou B1 a D0. Matematické vyjádření po dosazení těchto údajů bude: z = 0,067 y + 1,085

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 48 4.11.3. Úsek B1 D0 Tento úsek vznikl dlouhodobým měřením a experimenty, není vyjádřen žádnou matematickou funkcí, je proto nutné funkci získat ze zadaných souřadnic v normě ČSN EN 13715. Tento vztah jsem získal z normy UCI 510- [10]: z = 3,3583705810 + 5,8444086410 5,95783984310 8 1 + 1,5656816410 4 7 1,563790310 3 8 +,64665657310 13 5,8104794410 + 5,3091734910 8 5 15 3 6 + (79) Tangenta úhlu bude mít tudíž tvar: z = 3,35837058 10 +,337696346 10 4,17048789 10 7 11 6 + 3,13136348 10 3 3 7,811895115 10 +,1173558 10 8,4318383 10 8 1 7 4 5 + 3,185530409 10 14 + 5 (80) 4.11.4. Úsek D1 D0 Pro tento úsek je také z [10] dán polynomickým vztahem: z = 4,301063 10 6,051367875 4,68719589 10 3 5 3 1,03838406 10 0,05433446 6,5755540 10 4 3 1,065501873 10 4,169739389 10 7 7 3 5 (81) Tangentu úhlu pro tento úsek dostaneme derivací předešlého vztahu: z = 1,03838406 10 0,8173978 1,57698878 10 3 6 3,0848696945 10 6,131003746 10 3 18,15410365 4,81317497 10 4 5 (8) 4.1. Jízdní obrys S100 s šířkou okolku menší než 3,5 mm 4.1.1. Úsek D0 B1 A1 I Tento úsek je shodný s obrysem pro referenční šířku okolku e = 3, 5 mm. 4.1.. Úsek T1 D0 Tento úsek je matematicky shodný se stejným úsekem u jízdního obrysu 1/40, proto ho tu již nebudu opětovně rozvádět.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 49 4.1.3. Úsek D1 T1 Tento úsek vznikne posunutím původního úseku D0 D1 ve směru zúžení okolku o hodnotu de. Výsledná rovnice proto bude mít tvar: z = 4,301063 1,065501873 10 0,05433446 4,68719589 10 3 3 10 1,03838406 10 ( y + de) 3 ( y + de) 6,051367875 ( y + de) 4 3 5 ( y + de) 4,169739389 10 ( y + de) 5 ( y + de) 6,5755540 10 7 ( y + de) 7 (83) Tangentu úhlu pro tento úsek jsem získal zderivováním tohoto vztahu: z = 1,03838406 18,15410365,0848696945 1,57698878 10 3 10,131003746 10 ( y + de) 3 ( y + de) 0,8173978 ( y + de) 3 4 4 10 ( y + de),81317497 10 ( y + de) 6 ( y + de) 6 5 (84) Hodnota zúžení okolku de má, jako v předchozích případech, hodnotu mezi 0,5 a 4 mm včetně s krokováním 0,5 mm. 4.13. Jízdní obrys EPS s referenční šířkou okolku e = 3,5 mm Jízdní obrys EPS je nutné z hlediska matematického vyjádření taktéž rozdělit na několik částí (Obr. 18): Úsek A1 I jedná se opět o zkosenou hranu 5 x 5 mm. Úsek B1b A1 tvoří ho přímka se sklonem 10 %, přičemž norma ČSN EN 13715 povoluje sklon od 6,7 % do 15 %. Úsek C1 B1b je tvořen přímkou, která je rovnoběžná s osou y. Úsek C11b C1b je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 330 mm se středem v bodě Jm1. Úsek C1b C11b je vyjádřen pomocí kružnicového oblouku o poloměru 100 mm se středem v bodě Jm. Úsek D1 C1b tento úsek není vyjádřen pomocí jednoduché matematické funkce, přesné souřadnice jsou uvedeny v normě ČSN EN 13715. Úsek H D1 jedná se o okolek, který je rozebrán výše.

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 50 Jm z Jm1 R100 R330 D1 C1b C11b D0 C1 B1b A1 I y Obr. 18 Obrys EPS 4.13.1. Úsek A1 I Tento úsek je tvořen zkosenou hranou o velikosti 5 x 5 mm, matematické vyjádření tedy bude následující z = y a. (85) I I + Přesný tvar rovnice si vyjádříme z následujícího úseku 4.13.. Úsek B1b A1 Tato část jízdního obrysu kola je tvořena přímkou se sklonem 10 %, matematické vyjádření bude z k y A + b = 1 Známe z [4]: k A = 0,1 B1b = [ 9,000; 0,547] Ze zadaných údajů si vyjádříme matematický vztah pro tuto část jízdního obrysu 0,547 = 0,1 9 + b z A = 0,1 A +,353 Vypočítáme souřadnice bodu A1 a dosadíme do rovnice pro úsek A1 I: A1 = z z A1 I [ 60; z ] A1 = 0,1 60 +,353 = 3,647 = y a = 3,647 + 60 = 56,353 z I = y I I + a + 56,353 (86) (87)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 51 4.13.3. Úsek C1 B1b Tento úsek je tvořen přímkou rovnoběžnou s osou y, jeho vyjádření bude proto z B = 0,547 4.13.4. Úsek C11b C1 Úsek C11b C1 je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru 330 mm se středem v bodě Jm1. Známé hodnoty získané z normy ČSN EN 13715 jsou: Jm1 = R C D0 = C1 = C11b [ 19,000; 39,453] = 330 mm [ 0; 0] [ 19,000; 0,547] = [ 17,587; 1,487] Ze zadaných bodů lze zjistit vztah pro vyjádření obrysu v této části. Budeme opět vycházet z obecného vyjádření kružnice a po dosazení získaných hodnot dostaneme: ( ) z = 39,453 330 y 19. (88) Tangenta úhlu má tvar: z = y + 19 (89) 108539 y y 55,4 4.13.5. Úsek C1b C11b v bodě Jm. Tento úsek je tvořen kružnicovým obloukem o poloměru R C 1 = 100 mm se středem Známé hodnoty odečtené z normy ČSN EN 13715: Jm = R C1 C1b = C11b = [ 6,500; 100,871] = 100 mm [ 6,000;,790] [ 17,587; 1,487] Dosadíme známé hodnoty a dostaneme: ( 6, ) z = 100,871 100 y + 5. (90) Tangenta úhlu se získá derivací vztahu pro tento úsek:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 5 z = y + 6,5. (91) 9957,75 y y 6,5 4.13.6. Úsek D1 C1b Tento úsek není charakterizován žádnou matematickou funkcí, souřadnice lze nalézt v [4] a je nutné si odvodit polynomický vztah pro tento úsek. U tohoto obrysu, jako u jediného, dochází při změně tloušťky okolku nikoliv k posunu obrysu ve směru zúžení okolku, ale ke změně tvaru křivky tohoto úseku, přičemž se posouvá pouze okrajový bod D, bod C1b zůstává na místě. Proto je nutné zjistit vztah pro každou normovanou hodnotu tloušťky okolku zvlášť. Pro tloušťku okolku e = 3, 5 mm známe z normy ČSN tyto souřadnice: Tab. 14 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 3,5 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -35 6,867-30 4, -34,5 6,466-9,5 4,08-34 6,108-9 3,838-33,5 5,788-8,5 3,65-33 5,507-8 3,471-3,5 5,6-7,5 3,95-3 5,044-7 3,1-31,5 4,83-6,5,954-31 4,64-6,79-30,5 4,41 Z grafického programu Grapher dostaneme po dosazení a grafického vyjádření křivky následující vztah: z = -143859,4085-4866,6039-18,74386-9,5118378 10 4-5 - 0,555077307 7-558,83875 - - 4,194836847 10 5-0,00938175918-7 8-403,718776 6-3 - (91) Tangenta úhlu má tvar: z = - 4866,6039-11057,6775-111,156183 y -,67538654-3,355869478 10 4-0,0569055509 6 y 7 5-6,65876646 10-73,09695448 y -4 6-3 - (9)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 53 4.14. Jízdní obrys EPS s šířkou okolku menší jak 3,5 mm Oblast od vnitřního okraje kola až po bod C1b zůstává pro kteroukoli tloušťku okolku stejná, lišit se bude část C1b-D1, která ale nevznikne posunem obrysu ve směru zúžení okolku jako u ostatním obrysů. Pro každou normovanou tloušťku e je přesně dán normou ČSN 13715 nová, unikátní křivka. 4.14.1. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 3 mm Hodnoty získané z normy ČSN EN 13 715 jsou uvedeny v následující tabulce: Tab. 15 Body obrysu EPS pro okolek o šířce 3 mm [4] y[mm] z[mm] y[mm] z[mm] -6,0,791-31,0 4,444-6,5,938-31,5 4,631-7,0 3,089-3,0 4,8-7,5 3,45-3,5 5,018-8,0 3,404-33,0 5,39-8,5 3,567-33,5 5,493-9,0 3,735-34,0 5,781-9,5 3,906-34,5 6,104-30,0 4,081-35,0 6,466-30,5 4,60-35,5 6,867 Z těchto souřadnic získáme polynomický vztah 8. stupně, který bude mít tvar: z = 566059,6019 + 146766,15 y + 16599,89595 + 1069,68085 y + 0,0175601738 3 + 4,94973679 6 + 0,0001596318519 4 + 1,100587 7 + 5 + + 6,3794519 10-7 8 (93) Tangenta úhlu bude vyjádřena derivací: z = 146766,15 + 33199,7919 y + 309,04475 + + 171,79897416 + 0,0011174963 y 3 + 5,50069135 6 + 5,06339615 10 4 + 0,0105361049-6 7 5 + (94) 4.14.. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 31,5 mm Souřadnice uvedené v následující tabulce jsem získal z normy ČSN EN 13 715. Tab. 16 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 31,5 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-31,5 4,449-6,5,93-3,0 4,6-7,0 3,060-3,5 4,799-7,5 3,00-33,0 4,998-8,0 3,344-33,5 5,7

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 54-8,5 3,491-34,0 5,486-9,0 3,64-34,5 5,778-9,5 3,796-35,0 6,104-30,0 3,954-35,5 6,466-30,5 4,116-36,0 6,867-31,0 4,81 Z těchto souřadnic a následném grafickém vyjádření jsem dostal vztah pro tento úsek: z = 757033,4996 + 197567,56 + 503,8907 + 1461,10193 y + 0,0463607656 3 + 59,1546181 6 + 0,0006830657 4 + 1,58897 7 + + 9,070601855 10 5 + -7 8 (95) Tangenta úhlu pro tento obrys je: z = 197567,56 + 45007,7814 y + 4383,630579 + 7,644461135 y + 7,56481484 10 4 + 0,14781645936-6 7 5 + 0,00158398146 + 36,6184748 y 6 + 3 + (96) 4.14.3. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 31 mm Údaje získané z [1] použiji pro výpočet polynomického vztahu vyjadřující tento konkrétní úsek: Tab. 17 Body obrysu EPS pro okolek o šířce 31 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-31,5 4,86-6,5,910-3,0 4,44-7,0 3,033-3,5 4,60-7,5 3,160-33,0 4,781-8,0 3,89-33,5 4,987-8,5 3,4-34,0 5,1-9,0 3,558-34,5 5,484-9,5 3,697-35,0 5,778-30,0 3,840-35,5 6,105-30,5 3,985-36,0 6,467-31,0 4,134-36,5 6,867 Z těchto souřadnic jsem dostal následující vztah vyjadřující tento úsek: z = 63951,5 + 16718,7754 + 1850,08193 y + 101,5351 + 0,0019979011 y 3 + 48,5986999 6 + 0,000185336599 4 + 1,5486537 7 + + 7,40431814 10 5 + -7 8 (97) Tangenta úhlu se vyjádří pomocí:

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 55 z = 16718,7754 + 37040,16386 + 3604,605366 + 6,7436635 y + 5,936345451 10 4 + 0,1119874066-6 7 5 + 0,0019738619 + 194,39477 y 6 3 + + (98) 4.14.4. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 30,5 mm [4]: V tabulce jsou uvedené souřadnice tohoto úseku, které jsem opět získal z literatury Tab. 18 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 30 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-3,0 4,80-6,5,898-3,5 4,44-7,0 3,010-33,0 4,586-7,5 3,14-33,5 4,77-8,0 3,40-34,0 4,983-8,5 3,360-34,5 5,0-9,0 3,483-35,0 5,486-9,5 3,609-35,5 5,780-30,0 3,737-36,0 6,107-30,5 3,868-36,5 6,468-31,0 4,003-37,0 6,867-31,5 4,140 Z těchto souřadnic jsem pomocí aplikace Grapher.0 dostal následující vztah vyjadřující matematicky tento úsek: z = 43476,7143 + 113364,4543 y + 1898,9385 + 836,4667436 + 0,0140806093 y 3 + 33,81139553 y 6 + 0,00018559695 4 + 0,873344489 7 + + 5,13985764 10 5 + -7 8 (99) Tangenta úhlu má tvar: z = 4113364,4543 + 5797,8765 + 509,400308 + 135,45581 + 0,0008998707865 3 + 4,36167445 6 + 4,111886099 10 4 + 0,08416836558-6 7 + 5 + (100) 4.14.5. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 30 mm V tabulce jsou uvedeny souřadnice pro tento úsek získané z [4]: Tab. 19 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 30 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-3,0 4,176-6,5,891-3,5 4,310-7,0,994-33,0 4,454

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 56-7,5 3,100-33,5 4,619-8,0 3,09-34,0 4,806-8,5 3,31-34,5 5,016-9,0 3,435-35,0 5,51-9,5 3,55-35,5 5,513-30,0 3,671-36,0 5,80-30,5 3,793-36,5 6,1-31,0 3,918-37,0 6,476-31,5 4,046-37,5 6,867 Ze zadaných souřadnic jsem získal následující polynomický vztah: z = 75983,7658 + 71713,4385 y + 819,83509 + 55,157733 y + 0,0086939955 y 3 + 1,1407936 6 + 7,9819485 10 4 + 0,543071796-5 7 + + 3,15385979 10 5 + -7 8 (101) Z tohoto vztahu získáme matematické vyjádření tangenty úhlu: z = 71713,4385 + 1659,665018 + 1575,47317 + 84,56316944 + 5,549736395 10 3 +,715360898-4 6 +,5308383 10 4 + 0,0515975773-6 7 + 5 + (10) 4.14.6. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 9,5mm V následující tabulce opět najdeme souřadnice bodů této části obrysu: Tab. 0 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 9,5 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-3,5 4,11-6,5,878-33,0 4,5-7,0,969-33,5 4,404-7,5 3,06-34,0 4,576-8,0 3,157-34,5 4,769-8,5 3,54-35,0 4,985-9,0 3,354-35,5 5,5-9,5 3,456-36,0 5,490-30,0 3,561-36,5 5,785-30,5 3,668-37,0 6,110-31,0 3,777-37,5 6,469-31,5 3,889-38,0 6,867-3,0 4,003 Polynomický vztah vyjadřující tento úsek bude ve tvaru: z = 103609,1773 + 7465,5104 + 317,98584 + 08,6383956 + 0,00361878194 3 + 8,540105534 6 + 3,34471819 10 4 + 0,81307-5 7 + + 1,347015541 10 5 + -7 8 (10)

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Stránka 57 Tangenta má tvar: z = 7465,5104 + 6345,970568 + 65,9151868 + + 34,1604136 +,34130733 10 3-4 + 1,1141061535 6 + 1,07761433 10 4 + 0,0171693164-6 7 5 + (103) 4.14.7. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 9 mm V tabulce jsou uvedeny souřadnice bodů náležících této části: Tab. 1 Body obrysu EPS pro okolek o tloušťce 9 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-3,5 3,990-6,5,870-33,0 4,109-7,0,951-33,5 4,45-7,5 3,035-34,0 4,400-8,0 3,11-34,5 4,575-8,5 3,09-35,0 4,769-9,0 3,99-35,5 4,986-9,5 3,391-36,0 5,6-30,0 3,485-36,5 5,491-30,5 3,58-37,0 5,784-31,0 3,680-37,5 6,108-31,5 3,781-38,0 6,468-3,0 3,884-38,5 6,867 Z této tabulky dané normou jsem zjistil následující polynomický vztah: z = 1518,00 + 478,05441 y + 60,5583141 y +,06074577 + 9,631975 10 4 + 0,05696180815 y -6 7 + 4.068599656 10 5-8 8 + 45,3608419 + 0,0009861769 6 + 3 + (104) Tangenta úhlu bude mít proto tvar: z = 478,05441 + 141,11668 + 135,978557 + 0,8480904075 + 3,5487975 10-7 4 + 0,0355034644 7 5 + 6,741904593 10 + 8,10498308-5 6 + 3 + (105) 4.14.8. Oblast C1b D1 pro šířku okolku 8,5 mm V tabulce jsou opět zobrazeny body vyjadřující křivku obrysu: Tab. Body obrysu EPS pro okolek o šířce 8,5 mm [4] y [mm] z [mm] y [mm] z [mm] -6,0,790-33,0 3,978-6,5,86-33,5 4,101-7,0,935-34,0 4,41