SP3 Tey hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Tey hypoéz Lbor Žá
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Nechť X X e áhodý výběr T X X X áhodý veor ezávlé ložy erý má rozděleí závlé a parameru θ Θ Θ R Ozačme: Pθ B B pravděpodobo že X pade do možy B za podmíy že uečá hodoa parameru e θ. Nechť A Θ A. Tvrzeí že θ paří do možy A azveme hypoézou ulovou hypoézou a ozačíme: H : θ A H :θ A Tvrzeí že θ epaří do možy A azveme aleraví hypoézou a ozačíme: H A : θ A H A : θ Θ \ A
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Poud e A edoprvová moža a Θ \ A aé edoprvová hovoříme o edoduché hypoéze a edoduché aleravě. Poud e A edoprvová moža a Θ \ A víceprvová hovoříme o edoduché hypoéze a ložeé aleravě. Poud e A víceprvová moža a Θ \ A víceprvová hovoříme o ložeé hypoéze a ložeé aleravě.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Rozhoduí e provádí a že v R zvolíme vhodou možu - erou azveme rcý obor. Doplě éo možy e azývá doplňem rcého oboru Θ \ V případě X hypoézu H :θ A zamíáme a ezamíáme ebo pomocí doplňu: v případě X hypoézu H :θ A zamíáme a ezamíáme H A :θ A H A :θ A V případě X hypoézu H :θ A ezamíáme a zamíáme ebo pomocí doplňu: v případě X hypoézu H :θ A ezamíáme a zamíáme H A A :θ H A :θ A
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Poud X X a hypoéza H :θ A plaí hovoříme o chybě. druhu a eí pravděpodobo e: P X / H P X / H Poud X X a hypoéza H A :θ A eplaí hovoříme o chybě. druhu a eí pravděpodobo e: P X / H P X / H Chyba. druhu e považue za závažěší. Teováí e založeo a zvoleí chyby. druhu a mmalzac chyby. druhu. Hledáme a aby P X / H a chyba. druhu byla mmálí. Čílo up P A X A A e azývá hlada výzamo eu. Vzah P X udává pravděpodobo zamíuí H :θ A v závlo a parameru θ. θ Θ e azývá lofuce eu. Aby eaala chyba. druhu muí bý: θ A
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Hladu výzamo α volíme opě ečaě α =..5. Nezamíuí hypoézy H rep. H A ezameá ešě proázáí eí plao eboť me a zálade realzace áhodého výběru zíal pouze formace eré eačí a eí zamíuí. Je-l o možé e vhodé před přeím daé hypoézy zvěš rozah acého ouboru a zovu hypoézu H eova. Hodoa e azývá íla eu.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod Chyba. druhu e zvolea a hledáme aovou au rcý obor aby byla chyba. druhého druhu co emeší. Poud zmešíme chybu. druhupa e zvěší chyba. druhu a aopa. Poud chceme zachova chybu. druhu a zmeš chybu. druhu e pořeba prové více měřeí zvěš rozah acého ouboru. Předpoládeme že máme edoduchou hypoézu H : θ θ a edoduchou aleravu H A : θ θ. Pa lze pravděpodobo α a β zobraz:
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz- úvod V ěerých acých programech e mío eovacího réra a doplňu rcého oboru používá zv.p-hodoa. P-hodoa e hodoa drbučí fuce přílušé ay pro eovací rérum. Poud p-hodoa e věší rova zvoleému alfa pa ulovou hypoézu ezamíáme a hladě alfa. Poud p-hodoa e meší ež zvoleé alfa pa ulovou hypoézu zamíáme a hladě alfa. P-hodoa udává pro aé alfa lze ešě lze ulovou hypoézu ezamíou č zamíou.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz Defce: Te edoduché hypoézy H vzhledem edoduché aleravě H A erý má emeší pravděpodobo chyby druhého druhu ebo evvaleě evěší hodou lofuce βθ mez všem ey chybou prvího druhu meší rovo alfa e azývá elěší e. Defce: Nelěší e H pro H A erý mamalzue lu eu pro aždé aleravě z H A e azývá eoměrě elěší e
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Tey hypoéz Defce: Neraým eem rozumíme e erý pro lbovolé A zamíá hypoézu H pravděpodoboí eméě α. : θ Tedy pro eraý e plaí: P X / H. A Pro lofuc plaí: θ A a oučaě θ A chyba. druhu Poud plaí: θ A e e azývá rě eraý.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a edoduchá alerava Nechť Θ dále položme A a Θ \ A. Ozačme f huou poud plaí: a f pro Předpoládeme že f f ou huoy pravděpodobo poého áhodého veoru. Plaí Neymaova-Pearoova věa: Nechť daému eue aové ladé čílo c že pro možu f cf plaí: f d Pa pro lbovolou možu plaí: plňuící f d f d f d
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a edoduchá alerava Neymaova-Pearoova věa pozáma: Z erovo f d f d vyplývá že ze všech eů H hladou výzamo α má e : θ rcým oborem emeší pravděpodobo chyby. druhu. Říáme že rcý obor určue elěší e hypoézy pro aleraví hypoéze H A : θ H : θ
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a edoduchá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de e zámé. Chceme eova hodou μ. Nechť Θ a plaí. Odvoďe rcý obor elěšího eu H : opro aleravímu eu H A : a hladě výzamo. T Vycházee z áhodého veoru X X X ehož ložy voří áhodý výběr ~ N huoou X f ep
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Θ Nechť dále položme A a Θ \ A. Ozačme f huou poud plaí: f pro a pro f Chceme eova hypoézu H : θ vzhledem H A : θ S využím Neymaova-Pearoovy věy bychom pro aleraví hypoézy H : θ A doal f cf a H : θ A f cf Poud lze hypoézu H : θ vzhledem H A : θ založ a polečém rcém oboru. Jedá e o eoměrě elěší e H : θ vzhledem H A : θ.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Poud eoměrě elěší e eeue obory f cf a f cf ou růzé a e věšou omezíme pouze a eraé ey a rcý obor e loučeím dílčích rcých oborů. Hledáme eoměrě elěší eraý e.
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de e zámé. Chceme eova hodou μ. Nechť Θ. Odvoďe rcý obor elěšího eu H : opro aleravímu eu H A : a hladě výzamo. T Vycházee z áhodého veoru X X X ehož ložy voří áhodý výběr ~ N huoou X f ep
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : : 3 Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : : H A H A
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de e zámé. Chceme eova hodou μ. Nechť Θ R. Odvoďe rcý obor elěšího eu H : opro aleravímu eu H A : a hladě výzamo. T Vycházee z áhodého veoru X X X ehož ložy voří áhodý výběr ~ N huoou X f ep
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Jedoduchá hypoéza a ložeá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : H A : {34} Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : H A : Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : H A : {3} Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : : H A
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Složeá hypoéza a ložeá alerava Chceme eova hypoézu H : θ A vzhledem H A : θ A Předpoládeme že pro aždé Θ \ A má e H : θ A vzhledem H : θ A lofuc erá ezáví a a mamálí hodoa e α Pa mu říáme eoměrě elěší e H : θ A vzhledem : θ H A A Poud eeue zavádí e opě poem eraého eu a hledá e eoměrě elěší eraý e. Př omezeí pouze a eraé ey e rcý obor loučeím dílčích rcých oborů..
SP3 Tey hypoéz Lbor Žá Složeá hypoéza a ložeá alerava Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de e zámé. Chceme eova hodou μ. Nechť Θ R. Odvoďe rcý obor elěšího eu H : A opro aleravímu eu H A : A a hladě výzamo. Vycházee z áhodého veoru X X X áhodý výběr ~ N huoou X f ep T ehož ložy voří Přílad: Nechť X X e áhodý výběr z N de. = a 9. Spočěe doplě rcého oboru a p-hodou pro hypoézu: H : ; 5 H A : ; 5
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro Bomcé rozděleí Teueme hypoézu H: p = p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p p : eovací rérum: doplě rcého oboru: p p p u u Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p > p e doplě : Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p < p e doplě : u de ou valy ormovaého ormálího rozděleí. u u u
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro Bomcé rozděleí Nechť X e áhodá proměá erá má Bomcé rozděleí Bp.. Provedeme -pouů a echť e úpěšých. Bodový odhad pravděpodobo p e: Nechť X e áhodá proměá erá má Bomcé rozděleí Bp.. Provedeme -pouů a echť e úpěšých. Bodový odhad pravděpodobo p e:. p p
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro Bomcé rozděleí Teueme hypoézu H: p = p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p p : eovací rérum: doplě rcého oboru: u u Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p > p e doplě : Pro hypoézu H: p = p H: p p vzhledem aleraví hypoéze: H A : p < p e doplě : u de ou valy ormovaého ormálího rozděleí. u f f u u f
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro ede výběr z Normálí rozděleí Předpolad že rozpyl σ záme. Teueme hypoézu H: μ = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: u u Pro hypoézu H: μ = μ H : μ μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ > μ e doplě : Pro hypoézu H: μ = μ H: μ μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ < μ e doplě : u de ou valy ormovaého ormálího rozděleí. u u u
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro ede výběr z Normálí rozděleí Teueme hypoézu H: μ = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: Pro hypoézu H: μ = μ H : μ μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ > μ e doplě : Pro hypoézu H: μ = μ H: μ μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ < μ e doplě : de ou valy Sudeova rozděleí =- up volo.
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoézy pro ede výběr z Normálí rozděleí Teueme hypoézu H: σ =σ vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ σ : eovací rérum: doplě rcého oboru: Pro hypoézu H: σ = σ H: σ σ vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ > σ e doplě : Pro hypoézu H: σ = σ H: σ σ vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ < σ e doplě : de ou valy Pearoovarozděleí =- up volo.
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro párové dvoce z Normálí rozděleí Nechť XY e áhodý veor erý má Normálí rozděleí N μ σ de μ= μx μy e veor. Chceme porova μx a μy. Zavedeme ovou áhodou proměou D=X-Y. Náhodá proměá D má opě ormálí rozděleí e ředí hodoou μ = μx - μy. Z aměřeých hodo y vyvoříme ový oubor d: de d = - y K omuo ouboru počíáme d d Teueme hypoézu H: μ = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μ μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: de ou valy Sudeova rozděleí =- up volo. d d
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro párové dvoce z Normálí rozděleí Te a ulový oefce orelace Nechť XY e áhodý veor erý má Normálí rozděleí N μ σ Chceme z leárí závlo č ezávlo lože áhodého veoru XY. Teueme ρxy a. Nechť r e bodový odhad. Teueme hypoézu H: ρ = vzhledem aleraví hypoéze: H A : ρ : eovací rérum: r r doplě rcého oboru: de e valy Sudeova rozděleí =- up volo
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro párové dvoce z Normálí rozděleí Te a oefce orelace Nechť XY e áhodý veor erý má Normálí rozděleí N μ σ Chceme odhadou orelac lože áhodého veoru ρxy. Nechť r e bodový odhad. Předpoládeme: r < ρ <. Teueme hypoézu H: ρ = ρ vzhledem aleraví hypoéze: H A : ρ ρ : eovací rérum: l r r l 3 doplě rcého oboru: u u u de ou valy ormovaého ormálího rozděleí u
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rovo rozpylů Nechť X Y ou áhodé velčy eré maí Normálí rozděleí: X NμX σ X Y NμY σ Y. Teueme hypoézu H: σ X = σ Y vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ X σ Y : X eovací rérum: Y doplě rcého oboru: F F / / Pro hypoézu H: σ X = σ Y H: σ X σ Y vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ X > σ Y e doplě : F Pro hypoézu H: σ X = σ Y H: σ X σ Y vzhledem aleraví hypoéze: H A : σ X < σ Y e doplě : de F F F F ou valy Fcherova- Sedecorova rozděleí =- a = - up volo. F
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíy σ X = σ Y Nechť X Y ou áhodé velčy eré maí Normálí rozděleí: X NμX σ X Y NμY σ Y. Teueme hypoézu H: μx - μy = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μx - μy μ eovací rérum: doplě rcého oboru: X Y de ou valy Sudeova rozděleí = + - up volo. y
Nechť X Y ou áhodé velčy eré maí Normálí rozděleí: X NμX σ X Y NμY σ Y. Teueme hypoézu H: μx - μy = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μx - μy μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: de a X Y ou valy Sudeova rozděleí =- y =- up volo. Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíy σ X σ Y Cochraův Coův e Lbor Žá Y X y Y X Y Y X X SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů
Nechť X Y ou áhodé velčy eré maí Normálí rozděleí: X NμX σ X Y NμY σ Y. Teueme hypoézu H: μx - μy = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μx - μy μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: de e val Sudeova rozděleí up volo: Lbor Žá Y X y Y X Y X Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíy σ X σ Y Saerhwaeův e SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů
Nechť X Y ou áhodé velčy eré maí Normálí rozděleí: X NμX σ X Y NμY σ Y. Teueme hypoézu H: μx - μy = μ vzhledem aleraví hypoéze: H A : μx - μy μ : eovací rérum: doplě rcého oboru: de e val Sudeova rozděleí up volo: Lbor Žá Y X y Hypoéza pro dva výběry z Normálí rozděleí Te rozdílu ředích hodo za podmíy σ X σ Y elchův e Y X Y X SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo ředích hodo za podmíy rovo rozpylů Aalýza rozpylu Nechť X X ou áhodé velčy eré maí ormálí rozděleí: X ~ N. Předpolad: Teueme hypoézu H A : H : Nechť pro áhodou proměou a realzac: Předpoládeme: E X X H : a H : A vzhledem aleraví hypoéze: máme áhodý výběr: pa lze hypoézy přepa do varu: X X X
Ozačme: Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo ředích hodo za podmíy rovo rozpylů Lbor Žá SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů T T T A A A e e e
Plaí: Teovací rérum: doplě rcého oboru: Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo ředích hodo za podmíy rovo rozpylů Lbor Žá SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů A T e ~ F S S F e A e A F
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo ředích hodo za podmíy rovo rozpylů Koray Poud zamíáme hypoézu hypoézu H : A H : a ezamíáme aleraví Teueme hypoézu: H : vzhledem aleraví hypoéze H A : Lze eova pomocí pomocí Sudeova eu pro dva výběry ebo aou: F X X l l Se ~ F. Teovací rérum: doplě rcého oboru: F S e
SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů Lbor Žá Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo rovo rozpylů - Barleův e Nechť X X ~ N. Teueme hypoézu H Nechť pro áhodou proměou a realzac: X A : ou áhodé velčy eré maí ormálí rozděleí: H : vzhledem aleraví hypoéze: X máme áhodý výběr: X X X Ozačme:
Teovací rérum: de doplě rcého oboru: Lbor Žá SP3 Tey hypoéz - Přpomeuí probraých eů C 3 e C B l l Hypoéza pro vce výběrů z Normálí rozděleí Te rovo rovo rozpylů - Barleův e