756 Tečny ružnic II Předpolady: 45, 454 Pedagogicá poznáma: Tato hodina patří na gymnázium mezi početně nejnáročnější Ačoliv jsou přílady optimalizované na co nejmenší početní obtížnost, všichni studenti nedoáží dopočítat ompletní obsah celé hodiny Provádíme ontroly v po částech příladů, poud nědo nestíhá, trvám na tom, aby nejhorší úsey neopisoval a vynechával si místo v sešitě, aby mu zbyl čas na úsey, teré mají význam z hledisa pochopení smyslu příladů Přesto všechno to naonec dopadne ta, že poud třída nepočítá opravdu dobře, roztáhnou se následující přílady do dvou hodin Př : Je dána ružnice [ ; ]; a bod [ 5; ] P Rozhodni, zda bod P leží uvnitř, vně nebo na ružnici Poud existují, najdi tečny ružnice procházející bodem P Polohu bodu P zjistíme z jeho vzdálenosti od středu ružnice: P = p s + p s = 5 + = bod P leží vně ružnice existují dvě tečny ružnice procházející tímto bodem Co víme o hledaných tečnách? Prochází bodem P neznáme směr (ten zjistíme z toho, že příma je tečnou) zapíšeme tečny pomocí parametru ve směrnicovém tvaru a najdeme správnou hodnotu parametru podle počtu průsečíů s ružnicí 5; y + = x 5 y = x 5 + svislá příma Přímy procházejí bodem P[ ]: x = 5 Dosadíme do středové rovnice ružnice: ( x ) ( y ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) + 5 = x x x x x x x + = + 5 = + + 5 5 + 5 + + + 4 = + x x 4x x + 5 + 5 = ( ) x ( ) x ( ) + 5 + + + 5 5 + 4 = Počet řešení závisí na hodnotě disriminantu Hledáme tečnu chceme jediný průsečí jediné řešení hledáme nulový disriminant 4 ( 5 ) 4( ) 5( 5 4 ) ( 4 3 3 ) ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( 4 3 ) D = b ac = + + + + = = 4 5 + + 5 + + 4 + + 5 + + 5 + 4 + 5 + 4 = = 4 5 + + 4 + 4 + 5 + 4 + 4 + 4 = 4 3 4 3 = + 8 + 56 + 6 + 4 8 8 8 + = = 4 64 + 4 = = 3 + 8 3 = Požadované hodnoty parametru najdeme vzorcem pro vadraticou rovnici:
, b ± b ac 8 ± 8 4 3 3 ± 4 8 = = = a 3 6 8 = = 3 Tečna ( y + ) = 3( x 5) 3x + y 4 = 6 8 + = = Tečna ( y + ) = ( x 5) 8 = 6 3 3 Z bodu [ 5; ] 8 = P je možné vést e ružnici [ ] ( ; ; ) dvě tečny: 3x + y 4 = a Řešení předchozího příladu rozhodně nebylo snadné (i přes to, že naonec vyšla pěná čísla) Tečny jde naštěstí nalézt i rychleji Opět předeme na jiné značení Je dána ružnice ([ m; n] ; r ) a bod [ ; ] X x y Předpoládáme, že bod X leží vně ružnice (dyby ležel uvnitř, není možné tečnu sestrojit, dyby ležel na ružnici, můžeme tečnu sestrojit pomocí rovnice tečny z minulé hodiny) Když sestrojíme tečnu ružnice z bodu X zísáme tečný bod X t Bod X leží na tečně e ružnici procházející bodem X Rovnici této přímy jsme odvodili minulou hodinu bod x m x m + y n y n = r rovnice musí vyjít, poud do ní dosadíme bod [ ; ] ( x m)( x m) ( y n)( y n) r X leží na přímce X x y + = - toto není rovnice přímy, ale rovnost dvou onrétních čísel, neobsahující žádnou proměnou X x ; y, proto v předchozí rovnosti místo souřadnic bodu My bohužel neznáme bod [ ] X [ x ; y ] napíšeme neznámé x, y: ( x m)( x m) ( y n)( y n) r + = Co tento výraz znamená? X x ; y m; n (vynulovala by se celá levá strana), jedná se o rovnici Poud platí [ ] [ ] přímy, terá je určena ružnicí ([ m; n] ; r ) a bodem [ ; ] X x y Na této přímce určitě leží oba tečné body, teré zísáme po sestrojení tečen z bodu X e ružnici Tato příma se nazývá polára bodu X vzhledem e ružnici
t polára Polára bodu X [ x; y ] vzhledem e ružnici ([ ; ]; ) ( x m)( x m) + ( y n)( y n) = r m n r má rovnici Mnemotechnicá pomůca na zapamatování je stejná jao u rovnice tečny tředová rovnice ružnice x m + y n = r Rozložíme dvojčleny: ( x m)( x m) + ( y n)( y n) = r V aždém součinu zaměníme jedno x za x (a jedno y za y ): ( x m)( x m) ( y n)( y n) r + = Tečné body jsou průsečíy poláry s ružnicí Jamile je vypočteme, můžeme napsat rovnice tečen pomocí rovnice pro tečnu Př : Je dána ružnice [ ; ]; a bod [ 5; ] Hledání poláry bodem P pomocí rovnice poláry a rovnice tečny Nejdříve napíšeme středovou rovnici ružnice : ( x ) ( y ) Rovnice poláry: ( x )( 5 ) + ( y )( ) = 4( x ) ( y ) = P Najdi tečny ružnice procházející + = 4x y = x y 6 = Průsečíy poláry s ružnicí (tečné body) Hledáme průsečíy poláry s ružnicí : x y 6 = y = x 6 Dosadíme do rovnice ružnice: ( x ) ( y ) ( x ) ( x ) x + x 7 = x x + + 4x 8x + 49 = 5x 3x + 4 = x 6x + 8 = x 4 x = + = + 6 = Dopočítání druhé souřadnice tečných bodů a odpovídající tečny = 4 y = x 6 = 4 6 = tečný bod T [ 4;] Rovnice tečny ružnice v tomto bodě:( x ) ( y ) 4 + = 3
( x ) ( y ) 3 + = 3x + y 4 = (stejná rovnice jao v předchozím řešení) = = = tečný bod T [ ; ] Rovnice tečny ružnice v tomto bodě: ( x ) ( y ) ( x ) 3( y ) = = y x 6 6 8 = (stejná rovnice jao v předchozím řešení) + = Pedagogicá poznáma: Předchozí přílad způsobuje něterým studentům problémy vůli orientaci v tom, co je onstanta ze zadání a co je neznámá V taovém případě pomůže sestavování rovnice poláry pomocí barevných říd (barvy odpovídají barvám na obrázu) V textu není barevné rozlišení použito úmyslně Pedagogicá poznáma: Hodně studentů má problémy pojmout celý přílad a ve chvíli, dy spočtou tečné body, neví ja dál Př 3: Je dána ružnice [ ; ]; a bod [ 5; ] P Najdi tečny ružnice procházející bodem P Při řešení využij úhly, teré svírá tečna se spojnicí tečného bodu a středu ružnice Tečna svírá se spojnicí tečného bodu se středem ružnice pravý úhel t t Tečné body můžeme nalézt pomocí Thaletovy ružnice l sestrojené nad průměrem P l t l t 5 + + třed ružnice l = střed úsečy P = ; = [ 3;] l P 4
Poloměr ružnice l: ( p s ) + ( p s ) ( ) + ( ) P 5 5 r = = = = = 5 ( ; ; ) tředová rovnice ružnice l [ 3; ]; 5 : x y 3 + = 5 tředová rovnice ružnice [ ] : ( x ) ( y ) Zísali jsme soustavu dvou vadraticých rovnic: x 6x + 9 + y = 5 x x y y + + + = x y x + 6 = 4 x y x y + = 3 x y x + 6 = 4 4x + y = y = x 6 x y x x x x + 6 = + 6 6 = 4 + = x + 4x 4x + 36 6x = 4 5x 3x + 4 = Zísali jsme stejnou rovnici jao v předchozím příladě, dy jsme tečné body hledali pomocí poláry dále už postupujeme stejně x 6x + 8 = x 4 x = Dopočítáme druhé souřadnice tečných bodů a odpovídající tečny: = 4 y = x 6 = 4 6 = tečný bod T [ 4;] Rovnice tečny ružnice v tomto bodě:( x ) ( y ) 3( x ) + ( y ) = 3x + y 4 = (stejná rovnice jao v předchozím řešení) = y x 6 6 4 + = = = = tečný bod T [ ; ] Rovnice tečny ružnice v tomto bodě: ( x ) ( y ) ( x ) 3( y ) = 8 = (stejná rovnice jao v předchozím řešení) + = Př 4: Petáová: strana 3/cvičení 9 b) strana 3/cvičení 9 b) strana 3/cvičení 93 b) hrnutí: Tečnu ružnice můžeme najít pomocí počtu průsečíů parametricy nebo využitím speciálních vlastností 5