Ohyb. Kapitola Rovnoměrný ohyb

Kapitola 3 Ohyb Při ohybu docháí k akřivení původně přímé střednice prutu. 1 ůže to být působeno např. příčným atížením nebo nerovnoměrnou měnou teploty. Typickým příkladem je vodorovný nosník atížený vlastní tíhou. Ohyb je pravidla doprováen smykem, jehož popis je náročnější a vyžaduje určité nalosti o přetváření pružných těles a obecné prostorové napjatosti, které ískáme až ve II. dílu. Proto se v této kapitole omeíme na analýu ohybu a účinky smyku probereme až ve III. dílu. Výklad ahájíme koumáním nejjednoduššího možného případu, kdy se celý nosník ohýbá rovnoměrně. Poté provedeme obecnění na nerovnoměrný ohyb kolem jedné hlavních os průřeu. Nakonec uvážíme i obecný případ tv. šikmého nebo složeného ohybu. Kombinované účinky ohybu a tahu nebo tlaku budou popsány až v následující kapitole. 3.1 Rovnoměrný ohyb K rovnoměrnému ohybu dojde, jestliže prut konstantního průřeu atížíme na koncích dvěma stejně velkými, ale opačně orientovanými momenty, které otáčejí kolem osy kolmé na střednici prutu. Pro jednoduchost uvažujme nejprve vodorovný přímý prut obdélníkového průřeu (obr. 3.1a). Osa x jako obvykle procháí střednicí prutu, osa y je vodorovná a osa svislá. Jestliže na konce prutu působí vnější momenty otáčející kolem vodorovné osy y, střednice prutu se prohne ve svislé rovině x a konce prutu se vůči sobě pootočí o jistý úhel ϕ (obr. 3.1b). Naším nejbližším cílem bude popsat souvislost mei tímto úhlem a působícím momentem. Při rovnoměrném ohybu jsou všechny elementární segmenty prutu namáhány stejně (ohybový moment je po délce prutu konstantní). Proto se dá očekávat, že deformovaná střednice bude mít všude stejnou křivost, a bude tedy ležet na kružnici s jistým poloměrem R, kterému se říká poloměr křivosti (obr. 3.1b). Jak ukážeme poději, při ohybu se délka střednice nemění. Délka kruhového oblouku je obecně součinem poloměru a středového úhlu, takže v našem případě musí platit R ϕ = L (3.1) kde ϕ je středový úhel (který ároveň odpovídá vájemnému pootočení koncových průřeů) a L je délka prutu v nedeformovaném stavu. Pomyslné vlákno materiálu ležící 1 Někdy je již v neatíženém stavu střednice prutu akřivená, např. u oblouků. Při ohybu pak docháí ke měně původní křivosti. 43

44 KAPITOLA 3. OHYB (a) (b) (c) L Δφ poloměr křivosti R Δφ R + y x neměněná délka střednice L = R Δφ nová délka vlákna L + ΔL = (R + ) Δφ Obráek 3.1: (a) Přímý prut o délce L a lokální soustava souřadnic, (b) deformovaný tvat prutu při rovnoměrném ohybu, (c) protažení podélného vlákna. na střednici prutu si při ohybu achová původní délku, a jeho protažení je tedy nulové. Z obr. 3.1c je ale jasné, že obecné vlákno rovnoběžné se střednicí se protáhne nebo krátí, protože se po deformaci ocitne na kruhovém oblouku s větším nebo menším poloměrem než R. Pokud předpokládáme, že příčné roměry prutu se při ohybu nijak výnamně nemění, ocitne se obecné vlákno na oblouku o poloměru R +, kde je svislá souřadnice všech bodů tohoto vlákna v nedeformovaném stavu. Středový úhel ϕ je pro všechna vlákna stejný, takže délku deformovaného vlákna vypočteme jako (R + ) ϕ a s využitím vtahu (3.1) vyjádříme jeho (absolutní) protažení L() = (R + ) ϕ L = ϕ (3.2) Při rovnoměrném ohybu se každé podélné vlákno protáhne rovnoměrně a jeho poměrné protažení spočteme snadno jako ε() = L() L = ϕ R ϕ = R (3.3) Jak je vidět výsledného vtahu, poměrné protažení vlákna je přímo úměrné vdálenosti tohoto vlákna od vodorovné těžišťové osy a nepřímo úměrné poloměru křivosti. Původní nedeformovaný stav odpovídá nekonečnému poloměru křivosti a při rostoucí deformaci prutu poloměr křivosti klesá. Proto je vhodnější jako míru deformace použít místo poloměru křivosti jeho převrácenou hodnotu κ = 1 R (3.4) které se říká křivost prutu a vyjadřuje se v jednotkách m 1, neboli 1/m. Vtah (3.3) pak můžeme přepsat do tvaru ε() = κ (3.5) Protažení vláken ohýbaného prutu je tedy přímo úměrné křivosti. Čím víc se prut křiví, tím víc se jednotlivá vlákna protahují. Kladné naménko křivosti odpovídá případu achycenému na obr. 3.1b, kdy se dolní vlákna protahují a horní kracují. Rovnice (3.4) představuje definici křivosti jakožto převrácené hodnoty poloměru křivosti. S využitím vtahu (3.1) můžeme vorec pro křivost přepsat jako κ = ϕ L (3.6)

3.1. ROVNOĚRNÝ OHYB 45 Křivost prutu se tedy (v případě rovnoměrného ohybu) vypočte jako vájemné pootočení konců prutu dělené jejich vdáleností. Tento vorec je formálně podobný vorci (2.3) pro poměrné protažení při rovnoměrném tahu nebo tlaku, ve kterém se vájemný posun konců prutu dělí jejich vdáleností. Poměrné protažení le interpretovat jako vájemný posun průřeů o jednotkové vdálenosti, atímco křivost představuje vájemné pootočení průřeů o jednotkové vdálenosti. Dalším krokem bude výpočet napětí a následně ohybového momentu jakožto výslednice napětí. Jednotlivá podélná vlákna se rovnoměrně protahují nebo kracují, přičemž v příčném směru na ně žádné napětí nepůsobí. V každém vláknu tedy vniká jednoosá napjatost a napětí ve směru vlákna le vyjádřit pomocí Hookeova ákona (2.5) jako σ = Eε. Po vyjádření poměrného protažení podle rovnice (3.5) dostaneme pro napětí vtah σ() = Eε() = Eκ (3.7) Podobně jako poměrné protažení, i napětí je úměrné vdálenosti vlákna od vodorovné těžišťové osy (tj. osy rovnoběžné s osou y, na níž je souřadnice rovna nule). Na této ose je napětí nulové, pod ní je (při kladné křivosti κ) napětí kladné, tedy tahové, a nad ní je napětí áporné, tedy tlakové. Přímku spojující body s nulovým napětím obecně naýváme neutrální osa. Tato osa dělí průře na taženou a tlačenou část. Podle vorce (3.7) napětí neávisí na souřadnicích x ani y, je tedy konstantní po délce prutu a po šířce průřeu. Roložení napětí po výšce průřeu je lineární a je graficky náorněno na obr. 3.2. Prut je na obráku myšleně rořínut na dvě části a jejich vájemné působení je popsáno právě napětím. σ() Obráek 3.2: Lineární roložení napětí po výšce průřeu. Jakmile je námo roložení napětí v rámci daného průřeu, je možné přejít k výpočtu odpovídajících vnitřních sil, které jsou jeho výslednicí. V daném případě je jedinou nenulovou vnitřní silou ohybový moment, otáčející kolem vodorovné těžišťové osy. 2 Při jeho výpočtu rodělíme obdélníkový průře o šířce b a výšce h na nekonečně mnoho nekonečně tenkých vodorovných proužků. Na každém takovém proužku má souřadnice konstantní hodnotu, a proto je de podle (3.7) konstantní i normálové napětí, vi obr. 3.2c. Výslednicí normálového napětí na proužku o šířce b a výšce d je síla o velikosti σ() b d, náorněná na obr. 3.4b, která k uvažované ose působí na rameni a její příspěvek k ohybovému momentu je tudíž σ() b d. Posčítáním příspěvků všech proužků ískáme ohybový moment. Jelikož proužků je nekonečně mnoho a jsou nekonečně malé, sčítání příspěvků se apíše pomocí integrálu: = h/2 h/2 σ()b d (3.8) 2 Přesněji řečeno jde o jeden ohybových momentů, který by se přesněji onačil jako y, protože v průřeu může obecně vniknout i ohybový moment kolem svislé osy, načený. V této kapitole se však setkáme poue s momentem y a pro jednoduchost jej načíme.

46 KAPITOLA 3. OHYB (a) (b) y x h b d σ() y x h b d σ() b d Obráek 3.3: (a) Napětí na nekonečně tenkém vodorovném proužku a (b) jeho výslednice. Odvoený vorec platí pro libovolné roložení normálového napětí po výšce průřeu, popsané funkcí σ(). V našem případě je konkrétní podoba této funkce dána vtahem (3.7) a po dosaení a vyhodnocení integrálu dostaneme = h/2 h/2 [ h/2 Eκb d = Eκb 2 3 d = Eκb h/2 3 ] h/2 h/2 = Eκb h3 12 = Ebh3 12 κ (3.9) Výsledný vorec ukauje, že ohybový moment je přímo úměrný křivosti. Konstantou úměrnosti je de veličina Ebh 3 /12, která ávisí na modulu pružnosti materiálu a roměrech průřeu. min y b() T d max Obráek 3.4: Průře obecného tvaru, symetrický podle svislé osy. Předchoí odvoení bylo provedeno a předpokladu, že průře má tvar obdélníka. Pro průře obecného tvaru však stačí malá úprava. Opět si představíme průře rodělený na nekonečně tenké vodorovné proužky, ale šířka jednotlivých proužků už není konstantní. Obecně můžeme napsat, že šířka průřeu b() je funkcí svislé souřadnice. Polohu vodorovné osy y volíme opět tak, aby procháela těžištěm průřeu, vi obr. 3.4. Vdálenost horních vláken od této osy nemusí být stejná jako vdálenost dolních vláken. Proto onačíme svislou souřadnici horních vláken jako min a svislou souřadnici dolních vláken jako max. Při sčítání příspěvků jednotlivých proužků integrujeme v meích od min do max a místo konstanty b použijeme funkci b(). Ohybový moment pak bude

3.1. ROVNOĚRNÝ OHYB 47 vyjádřen jako = max min σ()b() d = max min max Eκb() d = Eκ 2 b() d (3.10) min Abychom vyhodnotili integrál na pravé straně, musíme nát tvar a roměry průřeu, tedy konkrétní podobu funkce b(). Tento integrál popisuje důležitou veličinu, která je jednou e ákladních geometrických charakteristik průřeu (nebo obecně jakéhokoliv rovinného obrace). Jedná se o moment setrvačnosti k ose y, který onačíme I (poději ho budeme načit I y, abychom ho odlišili od momentu setrvačnosti k ose ). Platí tedy I = a rovnici (3.10) můžeme přepsat jako max min 2 b() d (3.11) = EI κ (3.12) Odvoený vorec ukauje, že pro průře obecného tvaru je konstantou úměrnosti mei ohybovým momentem a křivostí veličina EI, která představuje ohybovou tuhost průřeu. Tato veličina je součinem modulu pružnosti E a momentu setrvačnosti I. Závisí jak na materiálu, tak i na tvaru a roměrech průřeu. Pro obdélníkový průře o šířce b a výšce h byl moment setrvačnosti I = bh 3 /12 vyhodnocen při výpočtu integrálu v (3.9). Ukažme si odvoení vorců platných pro některé další obrace. PŘÍKLAD 3.1 Vypočtěte moment setrvačnosti rovnoramenného trojúhelníka o ákladně a a výšce h na obr. 3.5a. Řešení: Pro rovnoramenný trojúhelník na obr. 3.5a se šířka průřeu mění lineárně od nulové hodnoty pro min = 2h/3 do hodnoty a pro max = h/3, což le popsat funkcí b() = min a = max min Po dosaení do (3.11) a integraci dostaneme I = = a h h/3 2 a 2h/3 h [ 4 4 + 2h3 9 ( 2 3 h ) h ( + 2h ) d = a h/3 3 h ] h/3 2h/3 = ah3 36 2h/3 a = a h ( ( + 2h ) 3 3 + 2h2 3 ) (3.13) d = (3.14) (3.15) PŘÍKLAD 3.2 Vypočtěte moment setrvačnosti kruhu o poloměru R na obr. 3.5b. Řešení: Poloviční šířka průřeu ve vodorovném řeu o souřadnici je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka, jehož druhou odvěsnou je a přeponou R. Podle Pythagorovy věty je tedy ( ) b() 2 + 2 = R 2 (3.16) 2 a šířku průřeu můžeme vyjádřit jako b() = 2 R 2 2 (3.17)

48 KAPITOLA 3. OHYB a) b) y T y T R a Obráek 3.5: (a) Průře ve tvaru rovnoramenného trojúhelníka, (b) kruhový průře. Po dosaení do (3.11) dostaneme R I = 2 2 R 2 2 d (3.18) R Při výpočtu integrálu použijeme substituci = R sin α, d = R cos α dα: π/2 I = 2 = R4 2 = πr4 4 π/2 π/2 π/2 R 2 sin 2 α π/2 R 2 R 2 sin 2 α R cos α dα = 2R 4 sin 2 α cos 2 α dα = sin 2 2α dα = R4 4 π/2 π/2 (1 cos 4α) dα = R4 4 π/2 [α 1 4 sin 4α ] π/2 π/2 = (3.19) Všimněte si, že moment setrvačnosti roměrově odpovídá čtvrté mocnině délky (vyjadřuje se například v m 4 nebo mm 4 ). Tabulka vorců pro výpočet momentů setrvačnosti i dalších průřeových charakteristik ákladních rovinných obraců je uvedena v Dodatku A. Ukáali jsme, že při rovnoměrném ohybu prutu le míru jeho křivení charakteriovat veličinou vanou křivost, která je podle vtahu (3.6) dána poměrem vájemného pootočení konců prutu a délky prutu. K rovnoměrnému ohybu dojde, pokud na protilehlé konce prutu působíme stejně velkými, ale opačně orientovanými osamělými momenty, které otáčejí kolem osy y kolmé na střednici prutu. Ohybový moment je pak konstantní po délce prutu a je roven. Za předpokladu lineárně pružného chování materiálu je přímo úměrný křivosti podle vtahu (3.12). Z těchto úvah vyplývá, že abychom konce prutu vájemně pootočili o ϕ, musíme na jeho konce působit momenty o velikosti = = EIκ = EI ϕ L = EI ϕ (3.20) L Ve výsledném vtahu se objevil lomek EI/L, představující konstantu úměrnosti mei vájemným pootočení konců prutu ϕ a momentem, který toto pootočení působil. Tato veličina hraje při ohybu podobnou roli jako normálová tuhost prutu EA/L při

3.1. ROVNOĚRNÝ OHYB 49 tahu nebo tlaku. Proto je logické ji onačit a ohybovou tuhost prutu. 3 V tab. 3.1 je uveden přehled dosud probraných veličin, které charakteriují tuhost na úrovni materiálu, průřeu a prutu. Tabulka 3.1: Veličiny charakteriující růné typy tuhosti. tuhost normálová ohybová materiálu E E průřeu EA EI prutu EA/L EI/L PŘÍKLAD 3.3 Pan Kutil si vyrobil vyhlídkovou věž: lešenářskou trubku o vnějším průměru D = 48,3 mm a tloušťce stěny t = 3,2 mm abudoval do betonového ákladu a ve výšce 3 m na ni navařil vodorovnou plošinu. Jak se s ním tato plošina pootočí, jestliže si na ni stoupne tak, že jeho těžiště bude vdáleno o 0,5 m od osy trubky? 0,5m 1,2 kn φ 3 m 0,6 knm Obráek 3.6: Geometrie Kutilovy věže, průběh ohybového momentu a pootočení plošiny. Řešení: Předpokládejme, že pan Kutil je úctyhodné těleso o hmotnosti m = 120 kg. Pokud na plošině příliš neposkakuje, působí na ni svislou silou F = mg = 1,2 kn a při excentricitě e = 0,5 m vnikne v trubce po celé její délce ohybový moment = F e = 0,6 knm. Docháí tedy k rovnoměrnému ohybu, vi obr. 3.6. Trubka má průře ve tvaru meikruží s vnějším poloměrem R 1 = D/2 = 24,15 mm a vnitřním poloměrem R 2 = D/2 t = 20,95 mm. Odpovídající moment setrvačnosti k těžišťové ose vypočteme s využitím vorce (3.19) tak, že od momentu setrvačnosti kruhu s poloměrem R 1 odečteme moment setrvačnosti kruhu s poloměrem R 2 : I = πr4 1 4 πr4 2 4 = π 4 [ (24,15) 4 (20,95) 4] mm 4 = 115,9 10 3 mm 4 (3.21) Trubka je řejmě ocelová, takže a Youngův modul pružnosti dosadíme E = 210 GPa. Ohybová tuhost uvažovaného průřeu je EI = 210 10 9 115,9 10 9 Nm 2 = 24,33 knm 2 (3.22) 3 Při analýe prutových konstrukcí deformační metodou se historických důvodů a ohybovou tuhost považuje dvojnásobek poměru EI/L, protože se tak mírně jednoduší ápis vtahů mei momenty působícími na konce prutů a pootočením konců. V tomto skriptu však budeme ohybovou tuhost chápat jako poměr EI/L.

50 KAPITOLA 3. OHYB a proto ohybový moment = 0,6 knm vede ke křivosti κ = EI = 0,6 24,33 m 1 = 24,66 10 3 m 1 (3.23) Pokud křivost vynásobíme délkou prutu, dostaneme vájemné pootočení jeho konců ϕ = Lκ = 3 24,66 10 3 = 73,98 10 3 (3.24) Jelikož dolní konec prutu se neotáčí (je vetknutý), výsledek ároveň odpovídá pootočení horního konce, tedy i vyhlídkové plošiny s panem Kutilem. Hodnota pootočení je beroměrná a odpovídá úhlu vyjádřenému v radiánech. Plošina se pootočí o 74 mrad (miliradiánů), tedy hruba o 4 úhlové stupně. Vraťme se ještě k rovnicím (3.5) a (3.7), které popisují lineární roložení poměrného protažení a napětí po výšce průřeu. Při jejich použití je třeba dosadit hodnotu křivosti. Často je místo křivosti nám ohybový moment, e kterého je samořejmě možno křivost vypočítat na ákladě vtahu (3.12). Pro větší pohodlí je užitečné odvodit vorce pro přímý výpočet poměrného protažení a napětí ohybového momentu. Jestliže e (3.12) vyjádříme křivost jako κ = EI a pak dosadíme do (3.5) a (3.7), dostaneme po jednoduché úpravě vorce (3.25) ε() = EI (3.26) σ() = I (3.27) Všimněte si, že při výpočtu napětí ohybového momentu stačí nát moment setrvačnosti průřeu, ale na modulu pružnosti (tedy na použitém materiálu) výsledná hodnota napětí neávisí. Pokud nás ajímá maximální tahové napětí a ohybový moment je kladný, dosadíme a souřadnici její maximální hodnotu max, neboli vdálenost dolního okraje průřeu od těžišťové osy y. Extrémní napětí pak můžeme vyjádřit jako kde σ max = I max = W e (3.28) W e = I max (3.29) je pružný průřeový modul. Tato veličina je ávislá poue na geometrii průřeu, protože se určí momentu setrvačnosti I a vdálenosti max. Pro obdélníkový průře o šířce b a výšce h je I = bh 3 /12 a max = h/2, takže W e = bh3 /12 h/2 = bh2 6 (3.30) PŘÍKLAD 3.4 Zjistěte, při jaké volbě stran b a h ískáme vyřínutím kruhu o průměru d obdélníkový průře s největším pružným průřeovým modulem W e.

3.1. ROVNOĚRNÝ OHYB 51 d y h b Obráek 3.7: Obdélníkový průře vepsaný do kruhu. Řešení: Pro obdélník vepsaný do kruhu podle obr. 3.7 platí, že jeho úhlopříčka b 2 + h 2 je rovna průměru kruhu d. Pro libovolnou šířku obdélníka b (mei 0 a d) tedy můžeme vyjádřit výšku jako h 2 = d 2 b 2 (3.31) a odpovídající průřeový modul obdélníkového průřeu pak je W e = bh2 6 = 1 ( bd 2 b 3) (3.32) 6 Průměr d je pevně dán, ale šířku b můžeme volit, takže považujeme W e a funkci b a hledáme její maximum. Z podmínky nulové první derivace dw e db = 1 ( d 2 3b 2) = 0 (3.33) 6 dostaneme optimální šířku 4 b = 1 3 d 0.577 d (3.34) Odpovídající výška je h = d 2 b 2 = d 2 d2 3 = 2 d 0.816 d (3.35) 3 Optimální poměr stran vycháí jako b/h = 1/ 2 0,707, tedy přibližně 5:7. Je ajímavé, že při maximaliaci průřeového modulu nevyjde jako optimální tvar čtverec (ten by měl největší plochu), ale obdélník protáhlý ve svislém směru. Souvisí to s tím, že průřeový modul W e je úměrný druhé mocnině výšky h, ale jen první mocnině šířky b. Dřevěné průřey na krokve a vanice mají často právě tento poměr stran, například 100/140 či 120/160. Na ávěr našeho prvního senámení s ohýbaným prutem je užitečné shrnout nejdůležitější odvoené vtahy a ukáat, jaké souvislosti mei jednotlivými veličinami popisují. To je náorně provedeno na obr. 3.8. Šipky de nanačují, jak se jedné veličiny dá vypočítat druhá. Takový diagram poskytuje ucelenou představu o struktuře rovnic 4 Podmínka nulové derivace může být obecně splněna i jinde než v bodě, kde funkce dosahuje maxima, a navíc hledáme váaný extrém na intervalu [0,d]. Při čistě formálním matematickém přístupu bychom proto měli provést podrobnější analýu. Z náorného výnamu úlohy je ale řejmé, že maxima musí být dosaženo někde uvnitř intervalu [0,d], takže naleené řešení je cela jistě správné.

52 KAPITOLA 3. OHYB Δφ = = E I κ Obráek 3.8: Struktura rovnic popisujících rovnoměrně ohýbaný prut. platných v rámci dané teorie. Vždy je ale třeba mít na paměti, a jakých předpokladů byly ty které rovnice odvoeny. Vtahy na obr. 3.8 jsou platné pro rovnoměrně ohýbaný prut. 3.2 Jednoduchý ohyb 3.2.1 Zachování rovinnosti průřeu a jeho důsledky Pokud se po délce prutu mění ohybový moment nebo ohybová tuhost, není ohyb rovnoměrný a vtahy odvoené v předchoím článku je třeba vhodně obecnit. Proatím předpokládejme, že vodorovný nosník se střednicí na ose x má průře symetrický podle svislé osy a je atížen svislými silami působícími v rovině x. Vhledem k symetrii se prut bude prohýbat poue svisle a dojde k tv. jednoduchému ohybu. 5 Základním předpokladem obvyklé teorie ohýbaných prutů je hypotéa o achování rovinnosti průřeu. Průřeem roumíme rovinný obraec, který vnikne jako průnik nedeformovaného prutu (chápaného jako trojroměrné těleso) s libovolnou rovinou kolmou na jeho střednici. Při deformaci se jednotlivé body prutu posouvají a jejich vdálenosti se obecně mění. Na ákladě poorování, měření a podrobnějších výpočtů le v řadě případů předpokládat, že všechny body prutu ležící před deformací v jednom rovinném průřeu se po deformaci ocitnou opět v jedné rovině (která samořejmě není totožná s původní rovinou, ale může být vůči ní posunutá a pootočená). Jednoduše le tento předpoklad formulovat tak, že průře ůstává i po deformaci rovinný, vi obr. 3.9. Jde o přibližný předpoklad, který jednodušuje výpočty, ale vnáší do nich určitou chybu. Pro štíhlé ohýbané pruty je vniklá chyba obvykle velmi malá, tudíž anedbatelná. V některých jiných případech ale může docháet k výrané trátě rovinnosti průřeu a hypotéu o achování rovinnosti průřeu nele použít. Taková situace může nastat např. při smykovém namáhání prutů s malým poměrem ropětí ku průřeovým roměrům, nebo při kroucení prutů s průřeem, který není rotačně symetrický (tj. s průřeem jiného tvaru než kruh a meikruží). V této kapitole a několika následujících budeme hypotéu o achování rovinnosti používat. Podle hypotéy o achování rovinnosti ůstanou krajní průřey každého elementárního segmentu po deformaci rovinné, ale obecně se vůči sobě posunou a pootočí. 5 Přesná definice jednoduchého ohybu bude podána poději, až se senámíme s pojmem šikmého nebo složeného ohybu.

3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 53 Výchoí tvar Δx φ Deformovaný tvar Obráek 3.9: Zachování rovinnosti průřeů při ohybu. Při ohybu ve svislé rovině se tyto průřey vájemně pootočí kolem osy y (vodorovné osy kolmé na střednici). Pro segment o konečné délce x bychom vájemné pootočení jeho okrajů mohli onačit ϕ, jak je vynačeno v pravé části obr. 3.9. Podobně jako jsme pro rovnoměrně ohýbaný prut definovali křivost κ podle (3.6) jako poměr vájemného pootočení konců prutu a délky prutu, pro elementární segment ji definujeme jako vájemné pootočení koncových průřeů segmentu dělené délkou tohoto segmentu, tedy jako ϕ/ x. Jestliže se délka segmentu limitně blíží nule, přejde tento poměr v derivaci funkce ϕ(x) (popisující pootočení jednotlivých průřeů) podle souřadnice x (měřené podél střednice prutu): ϕ κ(x) = lim x 0 x = dϕ(x) dx (3.36) Výsledný vtah mei funkcí ϕ(x) popisující pootočení jednotlivých průřeu a funkcí κ(x) popisující křivosti jednotlivých elementárních segmentů tedy můžeme stručně apsat jako κ(x) = ϕ (x) (3.37) Tento vtah je obecněním rovnice (3.6), platné v případě rovnoměrného ohybu. Při nerovnoměrném ohybu se křivost mění po délce prutu. Pro rovnoměrný ohyb jsme ukáali, že křivosti le určit poměrné protažení libovolného vlákna rovnoběžného se střednicí prutu, vi (3.5). Obdobný vtah ε(x,) = κ(x) (3.38) platí i při nerovnoměrném ohybu ve svislé rovině x, ale jelikož se křivost obecně mění po délce prutu, je poměrné protažení funkcí nejen souřadnice, ale i souřadnice x. Po výšce průřeu je poměrné protažení stále roloženo lineárně a totéž platí i pro napětí, které ískáme po přenásobení modulem pružnosti: σ(x,) = Eε(x,) = Eκ(x) (3.39) Výslednicí napětí v pevně voleném průřeu je opět ohybový moment, který ale už obecně není konstantní po délce prutu. Nicméně vtah (3.12) mei ohybovým momentem a křivostí ůstává v platnosti, jen je třeba i κ uvažovat jako funkce souřadnice x. Stejně tak i moment setrvačnosti může být funkcí souřadnice x, pokud se roměry či tvar průřeu mění po délce prutu. Vtah (3.12) tedy přepíšeme jako (x) = EI(x)κ(x) (3.40)

54 KAPITOLA 3. OHYB odul pružnosti materiálu E de uvažujeme pro jednoduchost jako konstantní, ale v případě proměny materiálových vlastností podél prutu by nebyl problém nahradit konstantu E funkcí E(x). Na ákladě rovnice (3.40) le vypočítat ohybový moment, který vede k dané křivosti. Jestliže je naopak moment již určen na ákladě jiných vtahů (např. úvah o rovnováe), můžeme této rovnice snadno vyjádřit křivost κ(x) = (x) EI(x) (3.41) a tu dosadit do vtahů (3.38) a (3.39). Získáme tak vorce ε(x,) = κ(x) = (x) EI(x) (3.42) σ(x,) = Eκ(x) = (x) I(x) (3.43) které ukaují, jak vypočítat hodnoty poměrného protažení a napětí v libovolném bodu prutu na ákladě námého průběhu ohybového momentu. Jde o jednoduché obecnění vtahů (3.26) a (3.27) na případ, kdy se ohybový moment mění po délce prutu. Hodnoty poměrného protažení a napětí pak ávisejí na souřadnicích x a, tj. mění se po délce prutu i po výšce průřeu. Jejich proměna po délce prutu ávisí na průběhu ohybového momentu a případné proměně průřeu. V každém pevně voleném průřeu je roložení poměrného protažení a napětí po výšce lineární. Podobně le obecnit i vorec (3.28) pro výpočet největšího napětí v jednotlivých průřeech. V případě proměnného průřeu se může i vdálenost krajních vláken od těžištové osy po délce prutu měnit a je obecně funkcí souřadnice x. Při namáhání kladným ohybovým momentem se největší tahové napětí v jednotlivých průřeech vyjádří jako kde σ max (x) = (x) I(x) max(x) = W e,d (x) = I(x) max (x) W e,d (x) (3.44) (3.45) je pružný průřeový modul pro výpočet napětí v dolních vláknech. Podobně bychom mohli avést i pružný průřeový modul pro výpočet napětí v horních vláknech, W e,h (x) = I(x) min (x) (3.46) a vyjádřit extrémní tlakové napětí jako σ min (x) = (x) I(x) min(x) = W e,d (x) (3.47) Záporné naménko jsme do (3.46) ařadili proto, že souřadnice horních vláken min je áporná a průřeový modul W e,h chceme uvažovat jako kladnou veličinu. Zjišťujeme-li, kde v prutu vniká největší tahové napětí, je třeba maximaliovat podíl (x)/w e,d (x) po délce prutu. Pokud je ovšem v části prutu ohybový moment áporný, musíme de podíl (x)/w e,d (x) nahradit podílem (x)/w e,h (x). Pro prut

3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 55 konstantního průřeu se postup jednodušuje na vyhledání průřeu s maximálním ohybovým momentem (a předpokladu, že moment je všude neáporný). PŘÍKLAD 3.5 Konola o vyložení 3 metry je vyrobena válcovaného ocelového profilu IPE 300. Jaké největší tahové napětí v ní vnikne od vlastní tíhy? f L=3 m Obráek 3.10: Konola atížená vlastní tíhou. Řešení: Zatížení vlastní tíhou odpovídá rovnoměrnému spojitému atížení, jehož intenita f vyjadřuje vlastní tíhu na jednotku délky a spočítá se jako měrná objemová tíha materiálu vynásobená obsahem průřeové plochy A. ěrná objemová tíha je přitom součinem hustoty ρ (tedy měrné hmotnosti) a gravitačního rychlení g. Při obecném řešení dané úlohy vyjádříme intenitu atížení jako f = ρga (3.48) Na konole atížené rovnoměrně vniká extrémní ohybový moment ve vetknutí. Při důsledném použití naménkové konvence námé e stavební mechaniky je tento moment áporný, protože jsou tažena horní vlákna. Velikost momentu vypočteme jako součin výslednice atížení f L a ramene L/2. Jestliže umístíme počátek souřadnic do těžiště vetknutého průřeu, odpovídá tomuto průřeu souřadnice x = 0 a odpovídající ohybový moment apíšeme jako (0) = f L L 2 = 1 2 f L 2 (3.49) Při áporném momentu vniká extrémní tahové (tedy kladné) napětí v tom místě průřeu, které má nejvíce ápornou hodnotu souřadnice. Jedná se tedy o horní vlákna, která jsou pro daný (symetrický) průře ve vdálenosti poloviny výšky od vodorovné těžišťové osy. Za extrémní hodnotu souřadnice proto dosadíme Odpovídající maximální napětí se pak vyjádří jako Po dosaení e (3.48) (3.50) ískáme výsledný vorec min = h/2 (3.50) σ max = (0) min (3.51) I σ max = ρgal2 h 4I (3.52) Takovéto obecné řešení umožňuje popsat, na jakých vstupních údajích ávisí výsledek. To je užitečné při úvahách o tom, jakým působem le ovlivnit koumanou veličinu, v našem případě extrémní tahové napětí. Vidíme například, že při dvojnásobném ropětí nosníku bude napětí čtyřnásobné. Kdybychom nosník umístili na povrch ěsíce, bylo by v důsledku nižšího gravitačního rychlení napětí asi šestkrát menší než na Zemi. Pokud nás místo takových obecných úvah ajímá konkrétní výsledek, je vhodné průběžně dosaovat do jednotlivých vorců, abychom kromě extrémního napětí ískali

56 KAPITOLA 3. OHYB představu i o dalších veličinách, např. extrémním momentu. Pro případ specifikovaný v adání dosadíme hustotu oceli jako ρ = 7850 kg/m 3, gravitační rychlení stačí uvažovat přibližnou hodnotou g = 10 m/s 2 a pro válcovaný průře IPE 300 o výšce h = 300 mm najdeme v tabulkách (např. na http://www.oceltabulky.c/) obsah A = 5380 mm 2 a moment setrvačnosti I = 83,6 10 6 mm 4. Vyložení konoly bylo adáno jako L = 3 m. Po postupném dosaení do (3.48) (3.51) vyjde f = ρga = 7850 10 5380 10 6 N/m = 422 N/m (3.53) (0) = 1 2 f L 2 = 1 2 422 32 Nm = 1900 Nm = 1,9 knm (3.54) min = h/2 = 300/2 mm = 150 mm = 0,15 m (3.55) σ max = (0) I min = 1900 83,6 10 6 ( 0,15) Pa = 3,41 106 Pa = 3,41 Pa (3.56) Pro konolu uvažovanou v právě vyřešeném příkladu můžeme podle vorců (3.42) a (3.43) snadno vypočítat poměrné přetvoření a napětí v libovolném bodu. S využitím vtahu (3.37) mei křivostí a pootočením můžeme určit také pootočení libovolného průřeu. PŘÍKLAD 3.6 Pro konolu příkladu 3.5 vypočtěte pootočení volného konce. L=3 m f φ(l) Obráek 3.11: Pootočení konce konoly. Řešení: Popišme nejprve hlavní kroky výpočtu. Pro konolu le průběh ohybových momentů stanovit elementárními metodami statiky (vi Stavební mechanika 1 a 2) a dosaením do (3.41) najít odpovídající průběh křivosti po délce prutu. Podle vtahu (3.37) je křivost rovna derivaci pootočení. Integrací této funkce přes volený interval můžeme ískat rodíl mei hodnotami pootočení na konci a na ačátku tohoto intervalu. Jestliže integrujeme křivost po celé délce prutu, ískáme vájemné pootočení jeho konců. Jelikož na konole je pootočení vetknutého konce nulové, odpovídá výsledek přímo hledanému pootočení volného konce. Nyní můžeme popsaný postup aplikovat na konkrétní adání. Umístíme-li (stejně jako v předchoím příkladu) počátek souřadnic do vetknutého průřeu, je průběh ohybového momentu od vlastní tíhy popsán kvadratickou funkcí (x) = f L 2 + f Lx f x 2 2 2 a odpovídající křivost je podle (3.41) = f 2 ( L2 + 2Lx x 2 ) = f 2 (L x)2 (3.57) κ(x) = (x) EI(x) = f 2EI (L x)2 (3.58)

3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 57 Po dosaení do (3.37) dostaneme a po integraci ϕ(l) ϕ(0) = L 0 = f 2EI ϕ (x) = f 2EI (L x)2 (3.59) f 2EI (L2 2Lx + x 2 ) dx = f [ 2EI ( ) L 3 = f L 3 3 6EI L 2 x Lx 2 + x3 3 ] L 0 = (3.60) Pro vetknutý průře x = 0 je pootočení ϕ(0) nulové, takže výsledný výra na pravé straně (3.60) představuje hledané pootočení pravého konce ϕ(l) = f L 3 6EI (3.61) Záporné naménko svědčí o tom, že při vetknutí levého konce a atížení vlastní tíhou se volný pravý konec konoly pootočí v áporném smyslu, tedy po ručičkách. To je v souladu s náornou představou o deformovaném tvaru konoly. Při dosaování konkrétních hodnot nejprve vyčíslíme ohybovou tuhost průřeu EI = 210 10 9 83,6 10 6 Nm 2 = 17,556 10 6 Nm 2 = 17,556 Nm 2 (3.62) Použili jsme přitom modul pružnosti oceli E = 210 GPa a moment setrvačnosti I = 83,6 10 6 mm 4 podle tabulek. Dále dosadíme f = 422 N/m a L = 3 m a podle (3.61) vyhodnotíme 422 3 3 ϕ(l) = 6 17,556 10 6 = 0,108 10 3 (3.63) Volný konec konoly se pootočí v áporném smyslu o 0,108 mrad. Jde skutečně o velmi malý úhel, takže předpoklad malých rotací je cela oprávněný. PŘÍKLAD 3.7 Vypočtěte extrémní hodnoty normálového napětí na dřevěném nosníku obr. 3.12. Nosník je atížen spojitým atížením a dvěma osamělými silami, průře je obdélník o roměrech 160 240 mm. Posuďte únosnost nosníku pro adanou pevnost dřeva v tahu f t = 12 Pa a v tlaku f c = 14 Pa. Řešení: Jelikož je daný nosník staticky určitý, reakce a průběhy vnitřních sil na obr. 3.12 snadno ískáme postupem námým předmětů Stavební mechanika 1 a 2. Nosník má konstantní průře, takže největší normálové napětí vnikne v průřeu s největším ohybovým momentem max =14,05 knm. Podle (3.30) se průřeový modul obdélníkového průřeu vypočte jako W e = bh2 6 = 0,16 0,242 m 3 6 = 1,536 10 3 m 3 (3.64) Tahové napětí vniká v dolních vláknech a jeho maximální hodnota vypočtená podle vorce (3.28) je σ max = 14,05 103 Nm 1,536 10 3 m = 9,15 106 Pa = 9,15 Pa (3.65)

58 KAPITOLA 3. OHYB a 0 7,9 kn 2 m 0,9 kn 0,9 kn 2 kn/m 3 m 7 m 2 m b 7,9 kn 160 240 mm 7,9 V [kn] [knm] + 3,9 3,0 11,8 + 14,05-3,0-3,9 11,8-7,9 σ -9,15 Pa N.O. + 9,15 Pa 14,05 knm Obráek 3.12: Prostý nosník a jeho atížení. Vnitřní síly na nosníku (posouvající síla V a ohybový moment ) a roložení normálového napětí v nejvíce namáhaném průřeu. Extrémní tlakové napětí vniká v horních vláknech a jeho absolutní hodnota je vhledem k symetrii průřeu podle vodorovné osy stejná jako hodnota extrémního tahové napětí (všimněte si, že neutrální osa procháí při ohybu těžištěm). Vypočtené napětí nepřekračuje adanou pevnost dřeva v tahu ani v tlaku, nosník tedy vyhoví. PŘÍKLAD 3.8 Symetrický nosník s převislými konci na obr. 3.13 má ropětí hlavního pole L = 6 m. Navrhněte délky převislých konců D tak, aby extrémní momenty vniklé při rovnoměrném příčném atížení měly stejnou velikost a došlo k efektivnímu využití nosníku (a předpokladu stejného chování materiálu v tahu i v tlaku). Poté stanovte maximální atížení nosníku q tak, aby napětí v ocelovém válcovaném průřeu IPN 200 vypočtené a předpokladu lineárně pružného chování nepřekročilo f Y = 200 Pa. Řešení: Pro rovnoměrné příčné atížení o intenitě q se moment nad podporou (což je největší áporný moment) vyjádří jako a = 1 2 qd2 (3.66) Největší kladný moment vnikne uprostřed hlavního pole, kde je při symetrickém atížení na symetrickém nosníku posouvající síla nulová. S využitím reakce ( ) L R a = q 2 + D (3.67) vyjádříme maximální kladný moment b = R a L 2 1 2 q ( L 2 + D ) 2 = q 8 (L2 4D 2 ) (3.68) Z rovnosti absolutních hodnot momentů, a = b, dostaneme podmínku 1 2 qd2 = q 8 (L2 4D 2 ) (3.69)

3.2. JEDNODUCHÝ OHYB 59 D 0 a R a q c L=6 m b R b D IPN 200 200 mm Řešení [knm] q=19,028 kn/m a =-42,8 b =-42,8 + D= 2,121 m c =42,8 knm L=6 m D= 2,121 m Obráek 3.13: Prostý nosník s převislým koncem a spojitým atížením. e které při daném L vypočteme D = L 8 = 6 m 8 = 2,121 m (3.70) Podle ocelářských tabulek má profil IPN 200 průřeový modul W e = 2,14 10 4 m 3 a pro danou me kluu f Y = 200 Pa je odpovídající mení pružný moment el = f Y W e = 42,8 knm. Aby maximální moment max = b = a = qd 2 /2 nepřekročil mení hodnotu el, nesmí být atížení větší než q max = 2 D 2 el = 2 2,121 2 42,8 knm = 19,028 kn/m (3.71) m2