Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.011 Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/ - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Nevlastní integrál vlivem funkce VY_3_INOVACE_M0319 Matematika 4. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: 0..014 Datum ověření ve výuce: 4.3.014 Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: prezentace Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy Materiál prezentace je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování
Nevlastní integrál vlivem funkce Jaroslav Hajtmar 0..014
Nevlastní integrály Omezující předpoklady Riemanova integrálu: Integrační obor je konečný uzavřený interval a, b. Integrovaná funkce f () je na tomto intervalu ohraničená. Integrály definované za těchto předpokladů tzv. vlastní integrály. Tato omezení lze jednoduchými úvahami odstranit!
Nevlastní integrál neomezené funkce neboli integrál nevlastní vlivem (neomezenosti) funkce nevlastní integrály. druhu. Uvažujme funkci f (), která je definovaná na intervalu a, b), kde a, b R, a < b. Předpokládejme, že je tato funkce spojitá na intervalu a, c) c a, b). (Tedy eistuje určitý integrál f () d, c a zatímco lim f () = ). Pak můžeme definovat funkci F vztahem b F(c) = c a f () d, a c < b Jak se chová veličina F(c), když budeme c libovolně blízko přibližovat zleva bodu b? Zajímá nás, zda hodnota integrálu konverguje k číslu L R (eistuje konečná limita), nebo zda se hodnota nekonečně zvětšuje resp. zmenšuje (limita je nevlastní), případně hodnota limity neeistuje (hodnota osciluje).
Integrál jako funkce horní meze y y = f () F (c) a c b b
Interpretace obrázku Velikost šedé plochy je funkční hodnota funkce F(c) tj. hodnota integrálu c f () d. Při posouvání meze c b mohou nastat tyto a možnosti: velikost šedé plochy (tj. hodnota tohoto integrálu) se blíží k nějakému konečnému číslu L (tj. eistuje konečná limita funkce F(c)) velikost plochy roste (klesá) nade všecky meze (tj. limita funkce F(c) je nevlastní) hodnota obsahu plochy neeistuje (tj. hodnota osciluje a limita funkce F(c) vůbec neeistuje).
Definice nevlastního integrálu. druhu DEF. Je-li funkce f () spojitá na intervalu a, b), zatímco limita b funkce lim f () =, pak integrál tvaru f () d nazýváme nevlastní integrál druhého druhu (neohraničené funkce) a přiřazu- b a jeme mu hodnotu rovnu limitě b a f () d = lim c b c a f () d = L Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvažovaný nevlastní integrál je konvergentní, v opačném případě, tj. když limita je nevlastní (tj. L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál je divergentní.
Úloha 1: Vypočítejte nevlastní integrál 1 0 d 1 substituce: 1 1 c 1 c 1 = t 1 c 1 1 1 t Fc () = d= d= dt = dt t = = 1 0 1 t 1 1 d = dt 1 0 1, c 1 c 1 c = = 1 1 c. Vypočteme limitu pro c 1 c 1 c 1 : L= lim F( c) = lim 1 1 c = 1 0 = 1. Integrál je tedy konvergentní a platí: 1 d = 1. 1 0
c 0 d 1 y y = 1 1 1 c 0 c 1 c 1
1 0 d 1 = 1 y 1 y = 1 1 F (c) 0 c 1 c 1 1 1 c
Úloha : Ověřte, že nevlastní integrál 1 lim 0 + = ( ) 1 +0 0 = +, d je divergentní: jde skutečně o nevlastní integrál. (Funkce, jejímž grafem je rovnoosá hyperbola, má asymptotu bez směrnice = 0.) Nejprve vypočteme určitý integrál na intervalu c,, 0 < c : c d = [ ln ] c = ln ln c. Dále vypočteme limitu pro c 0 + : lim ln c) = ln ( ) = +. c 0 +(ln
0 d y y = 1 ln ln c 0 0 + c
0 d y y = ln ln G(c) ln ln c 0 0 + c
Poznámka: Má-li integrovaná funkce f : y = f () více bodů, v nichž je funkce neohraničená, pak: Rozdělíme interval integrace na tolik dílčích intervalů, aby v každém z nich byl jediný bod v horní nebo v dolní mezi, ve kterém je limita nevlastní. Konvergují-li nevlastní integrály ve všech těchto dílčích intervalech, pak za jeho hodnotu na celém intervalu považujeme součet jeho hodnot na dílčích intervalech. Je-li nevlastní integrál divergentní aspoň na jednom dílčím intervalu, považujeme jej za divergentní na celém intervalu.
Použité materiály a zdroje Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 003. 303 s. ISBN 8071960993. Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 013 [cit. 013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: <http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd /pdf/print/ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, 1974. Kreml P., Vlček J., Volný P., Krček J., Poláček J., Matematika II [online]. 013 [cit. 013-04-15]. Dostupné z WWW: <http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat/> Archiv autora