Kapitola 3.: Úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí Cíl kapitoly Po protudováí této kapitoly budete - zát vlatoti pivotových tatitik odvozeých z áhodého výběru z ormálího rozložeí a budete je umět použít pro řešeí kokrétích úloh - umět etrojit itervaly polehlivoti pro tředí hodotu a rozptyl ormálího rozložeí - provádět tety hypotéz o tředí hodotě a rozptylu ormálího rozložeí Čaová zátěž Na protudováí této kapitoly a plěí úkolů í pojeých budete potřebovat ai 5 hodi tudia. 3.1. Motivace Moho áhodých veliči imiž e etkáváme ve výzkumu i praxi e řídí ormálím rozložeím. Za jitých předpokladů obažeých v cetrálí limití větě e dá rozložeí jiých áhodých veliči aproximovat ormálím rozložeím. Proto je zapotřebí věovat velkou pozorot právě áhodým výběrům z ormálího rozložeí. Normálí rozložeí je charakterizováo dvěma parametry tředí hodotou μ a rozptylem σ. Budeme tedy řešit úlohy které e týkají těchto parametrů. Jedá e především o jedovýběrový t-tet či tet o rozptylu. Sezámíme e rověž e ituací kdy máme k dipozici jede áhodý výběr z dvourozměrého rozložeí a pouzujeme rozdílot tředích hodot obou áhodých veliči. K řešeí tohoto problému louží párový t-tet. 3.. Rozložeí tatitik odvozeých z výběrového průměru a výběrového rozptylu Nechť X 1... X je áhodý výběr z rozložeí N(μ σ ). Pak platí a) Výběrový průměr M a výběrový rozptyl S jou tochaticky ezávilé. M b) M ~ N(μ ) tedy U ~ N(0 1). (Pivotová tatitika U louží k řešeí úloh o μ když σ záme.) ( 1)S c) K ~ χ (-1). (Pivotová tatitika K louží k řešeí úloh o σ když μ ezáme.) i1 (X i ) d) ~ χ (). (Tato pivotová tatitika louží k řešeí úloh o σ když μ záme.)
e) M T ~ t(-1). S (Pivotová tatitika T louží k řešeí úloh o μ když σ ezáme.) 3..1. Příklad Na výrobí lice jou automaticky baley balíčky rýže o deklarovaé hmototi 1000 g. Půobeím áhodých vlivů hmotot balíčků kolíá. Lze ji považovat za áhodou veličiu která e řídí ormálím rozložeím e tředí hodotou 996 g a měrodatou odchylkou 18 g. Jaká je pravděpodobot že áhodě vybraý balíček rýže eprojde výtupí kotrolou jetliže je povoleá tolerace 30 g od deklarovaé hmototi 1000 g? Řešeí: Použijeme pivotovou tatitiku U z bodu (b). X ~ N(996 18 X 996 ) U ~ N(01) 18 970 996 1030 996 PX 9701030 1 P(970 X 1030) 1 P U 18 18 1 (189) ( 144) 0971 095 0104 Řešeí pomocí ytému STATISTICA: Využijeme toho že STATISTICA pomocí fukce INormal(x;mu;igma) umí vypočítat hodotu ditribučí fukce ormálího rozložeí e tředí hodotou mu a měrodatou odchylkou igma. Tedy P X 9701030 1 P(970 X 1030) 1 1030 970 1 1030 970 kde Ф je ditribučí fukce rozložeí N(99618 ). Otevřeme ový datový oubor o jedé proměé a jedom případu. Dvakrát klikeme a ázev proměé Prom1. Do Dlouhého jméa této proměé apíšeme = 1- INormal(1030;996;18) + INormal(970;996;18). V proměé Prom1 e objeví hodota 010376.
3.3. Itervaly polehlivoti pro parametry μ σ V kapitole 1 jme e ezámili pojmem itervalu polehlivoti pro parametrickou fukci h( ). Nyí e budeme zabývat peciálími případy kdy za parametrickou fukci h( ) považujeme tředí hodotu μ ebo rozptyl σ ormálího rozložeí. V příkladu 1.3.5. jme i ukázali způob jak zkotruovat iterval polehlivoti pro tředí hodotu μ když rozptyl σ záme. Odvozeí itervalu polehlivoti pro další tři ituace (tj. pro μ když σ ezáme pro σ když μ ezáme a koečě pro σ když μ záme) provádět ebudeme uvedeme je přehled vzorců pro meze 100(1-α)% empirických itervalů polehlivoti pro tyto parametry. 3.3.1. Přehled vzorců a) Iterval polehlivoti pro μ když σ záme M (využití pivotové tatitiky U ~ N(0 1)) Oboutraý: (d h) = (m - Levotraý: (d ) = (m - Pravotraý: (- h) = (- m + u1-α/ m + u1-α ) u1-α ) u1-α/ ) b) Iterval polehlivoti pro μ když σ ezáme
M (využití pivotové tatitiky T ~ t(-1)) S Oboutraý: (d h) = (m - t 1-α/ (-1) m + Levotraý: (d ) = (m - t 1-α (-1) ) Pravotraý: (- h) = (- m + t 1-α (-1)) t 1-α/ (-1)) c) Iterval polehlivoti pro σ když μ ezáme ( 1)S (využití pivotové tatitiky K ~ χ (-1)) ( 1) ( 1) Oboutraý: (d h) = 1 / ( 1) / ( 1) Levotraý: (d ) = Pravotraý: (- h) = ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1 ) d) Iterval polehlivoti pro σ když μ záme (využití pivotové tatitiky i1 (X i ) ~ χ ()) (x i ) (x i ) i1 i1 Oboutraý: (d h) = 1 / () / () (x i ) i1 Levotraý: (d ) = 1 () (x i ) i1 Pravotraý: (- h) = () 3.3.. Příklad 10 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata μ. Výledky měřeí byly: 18 1 4 19 1 18 3. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého
výběru X 1... X 10 z rozložeí N(μ σ ) kde parametry μ σ ezáme. Najděte 95% empirický iterval polehlivoti pro μ a to a) oboutraý b) levotraý c) pravotraý. Řešeí: Vypočteme realizaci výběrového průměru: m = 06 výběrového rozptylu: = 00404 a výběrové měrodaté odchylky: = 0011. Riziko α je 005. Jde o ituaci popaou v bodě (b) kde využíváme pivotovou tatitiku T která e řídí Studetovým rozložeím t(9). V tabulkách ajdeme kvatil t 0975 (9) = 6 pro oboutraý iterval polehlivoti a kvatil t 095 (9) = 18331 pro jedotraé itervaly polehlivoti. 0011 ad a) d = m - t 1-α/ (-1) = 06-6 = 19 10 0011 h = m + t 1-α/ (-1) = 06 + 6 = 0 10 19 < μ < 0 pravděpodobotí apoň 095. 0011 ad b) d = m - t 1-α (-1) = 06-18331 = 194 10 194 < μ pravděpodobotí apoň 095. 0011 ad c) h = m + t 1-α (-1) = 06 + 18331 = 18 10 μ < 18 pravděpodobotí apoň 095. Řešeí pomocí ytému STATISTICA: Otevřeme ový datový oubor o jedé proměé (azveme ji Měřeí) a 10 případech. Do této proměé zapíšeme výledky měřeí. ad a) Meze 100(1-α)% empirického oboutraého itervalu polehlivoti pro tředí hodotu při ezámém rozptylu vypočteme takto: Statitika Základí tatitiky/tabulky Popié tatitiky OK Proměé Měřeí OK. Na záložce Detaily vybereme Meze polehl. prům. a poecháme implicitě ataveou hodotu 95%. Po klikutí a Souhr dotaeme tabulku Popié tatitiky (Tabulka Proměá It. polehl. -95000% It. polehl. +95000% Měřeí 1916136 03864 Po zaokrouhleí a dvě deetiá míta dotaeme výledek 19 < μ < 0 pravděpodobotí apoň 095. ad b) c) U volby Meze polehl. prům. změíme hodotu a 90%. Dotaeme tabulku Popié tatitiky (Tabulka Proměá It. polehl. -90000% It. polehl. +90000% Měřeí 194341 176579
Odtud zíkáme dolí mez 95% empirického levotraého itervalu polehlivoti pro tředí hodotu: 194 < μ pravděpodobotí apoň 095 a horí mez 95% empirického pravotraého itervalu polehlivoti pro tředí hodotu: μ < 18 pravděpodobotí apoň 095. 3.4. Tetováí hypotéz o parametrech μ σ a) Nechť X 1... X je áhodý výběr N(μ σ ) kde σ záme. Nechť a c je kotata. Tet H 0 : μ = c proti H 1 : μ c e azývá z-tet. b) Nechť X 1... X je áhodý výběr N(μ σ ) kde σ ezáme. Nechť a c je kotata. Tet H 0 : μ = c proti H 1 : μ c e azývá jedovýběrový t-tet. c) Nechť X 1... X je áhodý výběr N(μ σ ) kde μ ezáme. Nechť a c je kotata. Tet H 0 : σ = c proti H 1 : σ c e azývá tet o rozptylu. 3.4.1. Provedeí tetů o parametrech μ σ pomocí kritického oboru V kapitole 1 byly uvedey tři způoby tetováí hypotéz pomocí kritického oboru pomocí itervalu polehlivoti a pomocí p-hodoty. V tomto odtavci i ukážeme jak tetovat hypotézy o tředí hodotě μ a rozptylu σ pomocí kritického oboru. a) Provedeí z-tetu Tetujeme H 0 : μ = c proti H 1 : μ c (rep. H 1 : μ < c rep. H 1 : μ > c). m c Vypočteme realizaci tetové tatitiky: t 0. Staovíme kritický obor: pro oboutraý tet: W u1 / u1 / pro levotraý tet: W u1 pro pravotraý tet: W u 1. H 0 zamítáme a hladiě výzamoti α když t 0 W. b) Provedeí jedovýběrového t-tetu Tetujeme H 0 : μ = c proti H 1 : μ c (rep. H 1 : μ < c rep. H 1 : μ > c). m c Realizace tetového kritéria: t 0. Kritický obor pro oboutraý tet: W t / 1 t1 / 1 pro levotraý tet: W t1 1 pro pravotraý tet: t 1 W 1 H 0 zamítáme a hladiě výzamoti α když 1 t 0 W. c) Provedeí tetu o rozptylu Tetujeme H 0 : σ = c proti H 1 : σ c (rep. H 1 : σ < c rep. H 1 : σ > c). 1 Realizace tetového kritéria t 0. c Kritický obor pro oboutraý tet: W 0 / 1 1 / 1 pro levotraý tet: W 0 1
pro pravotraý tet: W 1 1 H 0 zamítáme a hladiě výzamoti α když t 0 W. Před provedeím kteréhokoli z uvedeých tetů je zapotřebí ověřit ormalitu dat pomocí diagotických grafů a tetů ormality popaých v kapitole. Zjitíme-li u jedovýběrového t-tetu že rozah ouboru je malý ( < 30) a porušeí ormality je výrazější doporučuje e přejít k eparametrickému jedovýběrovému Wilcoxoovu tetu (viz kapitola 7). Pro výběry větších rozahů eí míré porušeí ormality a překážku použití uvedeých tetů. 3.4.. Příklad Podle údajů a obalu čokolády by její čitá hmotot měla být 15g. Výrobce dotal ěkolik tížotí od kupujících ve kterých tvrdili že hmotot čokolád je ižší ež deklarovaých 15g. Z tohoto důvodu odděleí kotroly áhodě vybralo 50 čokolád a zjitilo že jejich průměrá hmotot je 1 g a měrodatá odchylka 86 g. Za předpokladu že hmotot čokolád e řídí ormálím rozložeím můžeme a hladiě výzamoti 001 považovat tížoti kupujících za oprávěé? Řešeí: X 1... X 50 je áhodý výběr z N(μ σ ). Tetujeme hypotézu H 0 : μ = 15 proti levotraé alterativě H 1 : μ < 15. Protože ezáme rozptyl σ použijeme jedovýběrový t-tet. m c 1 15 Realizace tetového kritéria t 0 4667. 86 Kritický obor: t 49 50 4667 W 0 99 Jelikož t 0 W zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 001. Stížoti kupujících tedy lze považovat za oprávěé ( rizikem omylu ejvýše 1%).. Řešeí pomocí ytému STATISTICA: Statitiky Základí tatitiky a tabulky Tety rozdílů: r % průměry OK vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry (ormálí rozděleí) zaškrteme Výběrový průměr v. Středí hodota a zvolíme Jedotr. do políčka Pr1 apíšeme 1 do políčka SmOd1 apíšeme 86 do políčka N1 apíšeme 50 do políčka Pr apíšeme 15 - Výpočet. Dotaeme p-hodotu 00086 tedy zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 001 3.5. Náhodý výběr z dvourozměrého rozložeí X1 X Nechť je áhodý výběr z dvourozměrého rozložeí vektorem tředích hodot přičemž. Ozačíme μ = μ 1 - μ a zavedeme rozdílový áhodý výběr Y1 Y 1 Z 1 = X 1 -Y 1... Z = X -Y. Předpokládáme že teto rozdílový áhodý výběr pochází 1 1 z ormálího rozložeí. Vypočteme M Z i S Zi M. i1 i1
3.5.1. Iterval polehlivoti pro parametr μ Pro výpočet mezí 100(1-α)% empirického itervalu polehlivoti pro tředí hodotu μ použijeme vzorec uvedeý v 3.3.1. (b). 3.5.. Párový t-tet Tetujeme H 0 : μ 1 - μ = 0 (tj. μ = 0) proti H 1 : μ 1 - μ 0 (tj μ 0). Přechodem k rozdílovému áhodému výběru převedeme párový t-tet a jedovýběrový t-tet jehož provedeí je popáo v 3.4.1. (b). Před provedeím párového t-tetu je zapotřebí tetovat hypotézu o ormalitě rozdílů dvourozměrých dat. Je-li rozah výběru malý ( < 30) a porušeí ormality je výrazější je zapotřebí míto párového tetu použít eparametrický párový Wilcoxoův tet (viz kapitola 7). Pro výběry větších rozahů které vykazují je míré porušeí ormality můžeme použít párový t-tet. 3.5.3. Příklad Na 10 automobilech tejého typu e tetovaly dva druhy bezíu lišící e oktaovým čílem. U každého automobilu e při průměré rychloti 90 km/h měřil dojezd (tj. dráha kterou ujede a daé možtví bezíu) při použití každého z obou druhů bezíu. Výledky: Čílo auta 1 3 4 5 6 7 8 9 10 bezí A 175 00 189 179 164 189 17 175 185 18 bezí B 178 08 195 183 166 195 175 179 191 186 Za předpokladu že dojezd e řídí ormálím rozložeím tetujte a hladiě výzamoti 005 hypotézu že rozdíl tředích hodot dojezdu při dvou druzích bezíu e eliší. Řešeí: Přejdeme k rozdílovému áhodému výběru. Ozačíme μ = μ 1 - μ. Tetujeme hypotézu H 0 : μ = 0 proti H 1 : μ 0 a hladiě výzamoti 005. Vypočteme m = -046 = 01838 a realizaci tetového kritéria t 0 = -79148. Staovíme kritický obor W t 0 9759 t 0 9759 6 6. Protože t 0 W zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 005. S rizikem omylu ejvýše 5% jme tedy prokázali že rozdíl tředích hodot dojezdu při dvou druzích bezíu e liší. Řešeí pomocí ytému STATISTICA: Otevřeme ový datový oubor e třemi proměými bezí A bezí B a rozdíl a o deeti případech. Do proměých bezi A bezi B zapíšeme zjištěé hodoty do proměé rozdil uložíme rozdíl hodot bezi A bezi B. Ověříme ormalitu proměé rozdíl: Statitika Základí tatitiky/tabulky Tabulky četotí OK Proměé rozdíl OK. Na záložce zvolíme Normalita a zaškrteme Lilieforův tet a Shapiro Wilkův W tet Tety ormality. Tety ormality (Dva_druhy_beziu.ta) N max D Lilliefor W p Proměá p rozdil: =v1-v 10 07963 p < 15 093039 04505 Ai jede z těchto tetů ezamítá a hladiě výzamoti 005 hypotézu o ormalitě.
Nyí provedeme párový t-tet: Statitika Základí tatitiky/tabulky t-tet závilé vzorky OK Proměé 1. ezam proměých bezí A. ezam proměých bezí B OK t-tety výpočty. Dotaeme tabulku t-tet pro závilé vzorky (Dva_druhy_beziu.ta) Ozač. rozdíly jou výzamé a hlad. p < 05000 Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch. t v p It. polehl. It. polehl. Proměá rozdílu -95000% +95000% bezi A bezi B 1810000 108483 1856000 107569 10-0460000 0183787-791484 9 000004-0591474 -03856 Vidíme že tetová tatitika e realizovala hodotou -791484 počet tupňů voloti = 9 odpovídající p-hodota = 000004 005 tedy ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamoti 005. 3.6. Náhodý výběr z alterativího rozložeí Předpokládáme že provádíme -krát ezávile a obě týž áhodý poku a ledujeme výkyt ějakého jevu jehož pravděpodobot atoupeí v libovolém z těchto pokuů je rova ezámému parametru. Zavedeme áhodé veličiy X1 X přičemž X i 1 když v i-tém pokuu atal ledovaý jev a X i 0 jiak i 1. Tyto áhodé veličiy tvoří áhodý výběr z rozložeí A. Pomocí tohoto áhodého výběru můžeme kotruovat iterval polehlivoti pro ezámý parametr ebo tetovat hypotézu o tomto parametru. 1 Přitom jako bodový odhad parametru louží výběrový průměr M X i tj. relativí i1 četot výkytu ledovaého jevu. 3.6.1. Aymptotický iterval polehlivoti pro parametr X je áhodý výběr z rozložeí Nechť 1 X A a echť je plěa podmíka M 1 9 (viz Zvára tr. 65). Pak tatitika U koverguje v ditribuci 1 k áhodé veličiě e tadardizovaým ormálím rozložeím. (Říkáme že U má aympto- 01 U N 01.) ticky rozložeí N a píšeme Oboutraý 100(1-α)% aymptotický empirický iterval polehlivoti pro parametr má meze: m 1 m m1 m d h m u1 / m u1 / 3.6.. Příklad Náhodě bylo vybráo 100 oob a zjištěo že 34 z ich by v příštích parlametích volbách volilo trau X. Najděte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro pravděpodobot že áhodě vybraá ooba z populace bude volit trau X.
Řešeí: Zavedeme áhodé veličiy X1 X100 přičemž X i 1 když i-tá ooba volí trau X a X i 0 jiak i 1 100. Tyto áhodé veličiy tvoří áhodý výběr z rozložeí A. Záme: Rozah výběru 100 výběrový průměr (tj. relativí četot oob volících trau 34 X) m riziko 0 05 kvatil u1 / u 0 975 1 96. 100 Ověřeí podmíky 1 9 : parametr ezáme muíme ho ahradit výběrovým průměrem. Pak 100 034 066 44 9. Doadíme do vzorce z odtavce 3.6.1. a dotaeme: 034(1 034) 034(1 034) d 034 196 047 h 034 196 0438. 100 100 S pravděpodobotí přibližě 095 tedy můžeme očekávat že v populaci je 47% až 433% oob které by volily trau X. Výpočet pomocí ytému STATISTICA: a) Přeý způob Otevřeme ový datový oubor e dvěma proměými a o jedom případu. Prví proměou azveme d a do jejího Dlouhého jméa apíšeme =034-qrt(034*066/100)*VNormal(0975;0;1) Druhou proměou azveme h a do jejího Dlouhého jméa apíšeme =034+qrt(034*066/100)*VNormal(0975;0;1) Dotaeme výledek: 1 d h 1 047155043845 Vidíme že pravděpodobotí apoň 095 e pravděpodobot volby tray X bude pohybovat v mezích od 0471 do 0438. b) Přibližý způob použitelý pro dotatečě velký rozah výběru Do ového datového ouboru o jedé proměé X a 100 případech uložíme 34 jediček (idikují volbu tray X) a 66 ul. Statitika Základí tatitiky a tabulky Popié tatitiky OK Proměé X OK Detailí výledky zaškrteme Meze polehl. prům. poecháme implicití hodotu pro Iterval 9500 Výpočet. Dotaeme tabulku: N platých Průměr It. polehl. It. polehl. Proměá -95000% 95000 X 100 0340000 04553 0434468 Dopěli jme k výledku že pravděpodobotí apoň 095 e pravděpodobot volby tray X bude pohybovat v mezích 0455 až 04345. Vidíme že rozdíl mezi přeým a přibližým výledkem je v tomto případě vkutku zaedbatelý. Takto dobré hody je doažeo díky tomu že áhodý výběr má dotatečě velký rozah = 100.
3.6.3. Tetováí hypotézy o parametru Nechť X1 X je áhodý výběr z rozložeí A a echť je plěa podmíka 1. Na aymptotické hladiě výzamoti α tetujeme hypotézu : c proti 9 alterativě H 1 : c. Realizace tetového kritéria: t 0 m c. c(1 c) Kritický obor pro oboutraý tet: u pro levotraý tet: W u1 pro pravotraý tet: W 1 / u1 / W u 1. H 0 zamítáme a aymptotické hladiě výzamoti α když t 0 W. 3.6.4. Příklad Pravděpodobot vyrobeí zmetku při výrobě určité oučátky čií = 001. Bylo áhodě vybráo 1000 výrobků a zjitilo e že mezi imi je 16 zmetků. Na aymptotické hladiě výzamoti 005 tetujte hypotézu že odchylka relativí četoti zmetků od udaé pravděpodoboti je pouze áhodá. Řešeí: Zavedeme áhodé veličiy X1 X1000 přičemž X i 1 když i-tý výrobek byl zmetek a X i 0 jiak i 1 1000. Tyto áhodé veličiy tvoří áhodý výběr z rozložeí A. Tetujeme hypotézu : 0 01 proti alterativě : 0 01. H 0 Záme: Rozah výběru 1000 výběrový průměr (tj. relativí četot zmetků) riziko 0 05 kvatil u 1 96 u1 / 0 975. Ověřeí podmíky 1 9 : 1000 001 099 99 9. m c 0016 001 Realizace tetového kritéria: t 0 1907. c 1 c 001 099 1000 Kritický obor: W u0975 u0 975 196 196 H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 005. H 1 H 0 16 m 1000. Protože 1907 W Výpočet pomocí ytému STATISTICA (pouze přibližý): STATISTICA má implemetovaý způob jak tetovat výzamot rozdílu mezi dvěma poměry. Pro právou fukčot áledujícího potupu je uté zadat tabulku o jedé proměé a jedom případu. V aší ituaci je jedím poměrem relativí četot zmetků (tj. 0016) a druhým poměrem je deklarovaá pravděpodobot vyrobeí zmetku (tj. 001). Rozah prvího výběru je 1000 rozah druhého výběru je ovšem ekoečě velký. Nekoečo amozřejmě elze do ytému zadat proto použijeme ejvětší hodotu kterou STATISTICA umoží což je 3767. Statitiky Základí tatitiky a tabulky Tety rozdílů: r % průměry OK vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry do políčka P 1 apíšeme 0016 do políčka N1 apíšeme 1000 do políčka P apíšeme 001 do políčka N apíšeme 3767 - Výpočet. Dotaeme p- hodotu 0066 tedy ezamítáme ulovou hypotézu a aymptotické hladiě výzamoti 005.
Shrutí V praxi e čato etkáváme áhodým výběrem z ormálího rozložeí. Toto rozložeí je charakterizováo tředí hodotou μ a rozptylem σ. Při řešeí úloh o těchto dvou parametrech používáme čtyři pivotové tatitiky které jou odvozey z výběrového průměru M a výběrového rozptylu S. Jou zavedey ve 3.. Pro výpočet mezí 100(1-α)% empirických itervalů polehlivoti pro μ či pro σ louží vzorce uvedeé ve 3.3.1. Meze lze počítat též pomocí ytému STATISTICA jak je uvedeo v příkladu 3.3.. Tetováí hypotéz o tředí hodotě a rozptylu je popáo ve 3.4. včetě způobu jak při těchto tetech využít ytém STATISTICA. Jedá e o jedovýběrový z-tet jedovýběrový t-tet a tet o rozptylu. V ituaci kdy máme k dipozici jede áhodý výběr z dvourozměrého rozložeí a pouzujeme rozdílot tředích hodot obou áhodých veliči použijeme párový t-tet popaý ve 3.5. Při ověřováí předpokladu ormality e opíráme o diagotické grafy či o tety ormality dat popaé ve. kapitole. Sledujeme-li výkyt ějakého jevu (úpěchu) v opakovaých ezávilých pokuech zajímá á čato itervalový odhad pravděpodoboti úpěchu ebo tetujeme tvrzeí o pravděpodoboti úpěchu. V takové ituaci použijeme metody založeé a áhodém výběru z alterativího rozložeí a využijeme aymptotické ormality relativí četoti. Kotrolí otázky 1. Jaké pivotové tatitiky odvozeé z výběrového průměru M a výběrového rozptylu S používáme při řešeí úloh o tředí hodotě μ a rozptylu σ ormálího rozložeí?. Jak vypadají meze 100(1-α)% empirického itervalu polehlivoti pro ezámou tředí hodotu μ když rozptyl σ eí zám? 3. Jaké tety o parametrech ormálího rozložeí záte? 4. V jaké ituaci a za jakých podmíek použijete jedovýběrový t-tet? 5. V jaké ituaci a za jakých podmíek použijete párový t-tet? 6. Jaká podmíka muí být plěa při itervalovém odhadu pravděpodoboti výkytu ějakého jevu?
Autokorekčí tet 1. Máme-li etrojit iterval polehlivoti pro tředí hodotu ormálího rozložeí a ezáme rozptyl použijeme pivotovou tatitiku která e řídí a) tadardizovaým ormálím rozložeím b) Pearoovým chí-kvadrát rozložeím c) Studetovým rozložeím.. Která z áledujících tvrzeí jou pravdivá? a) 100(1-α)% empirický iterval polehlivoti pro ezámou měrodatou odchylku ormálího rozložeí při ezámé tředí hodotě má meze (x i ) (x i ) i1 i1. 1 / () / () b) 100(1-α)% empirický iterval polehlivoti pro ezámou tředí hodotu ormálího rozložeí při zámém rozptylu má meze m - u1 / m u1 /. c) 100(1-α)% empirický iterval polehlivoti pro ezámý rozptyl ormálího rozložeí při zámé tředí hodotě má meze ( 1) ( 1). 1 / ( 1) / ( 1) 3. Jedovýběrový t-tet louží k tetováí hypotézy a) o tředí hodotě ormálího rozložeí při ezámém rozptylu b) o měrodaté odchylce ormálího rozložeí při ezámé tředí hodotě c) o tředí hodotě ormálího rozložeí při zámém rozptylu. 4. Nechť je dá áhodý výběr rozahu z rozložeí N(μσ ) kde rozptyl σ záme. Jak muíme změit rozah áhodého výběru chceme-li aby šířka 100(1-α)% empirického iterval polehlivoti pro ezámou tředí hodotu μ klela a poloviu? a) Rozah zvětšíme x. b) Rozah zvětšíme 4 x. c) Rozah zmešíme a poloviu. 5. Nechť je dá áhodý výběr rozahu z rozložeí N(μσ ) kde parametry μσ ezáme. Dále je dáa reálá kotata c. Tetujeme ulovou hypotézu H 0 : σ = c proti levotraé alterativě H 1 : σ < c. Kritický obor pro teto tet má tvar 0 1 1 a) W = b) W = 0 1 c) W = 1 1 6. Chceme-li tetovat hypotézu že pravděpodobot padutí líce e eliší od 05 použijeme pivotovou tatitiku která e aymptoticky řídí ormálím rozložeím a) N(05; 1)
b) N(0;5 05 ) c) N(0; 1) Správé odpovědi: 1c) b) 3a) 4b) 5b) 6c) Příklady 1. Lze předpokládat že hmotot pomeračů dodávaých do obchodí ítě e řídí ormálím rozložeím e tředí hodotou 170 g a měrodatou odchylkou 1 g. Jaká je pravděpodobot že celková hmotot devíti áhodě vybraých pomeračů baleých do íťky překročí 15 kg? Výledek: Hledaá pravděpodobot je 0797.. Počet bodů v tetu iteligece je áhodá veličia která e řídí rozložeím N(1005). Jaká je pravděpodobot že průměr v áhodě vybraé kupiě 0 oob bude větší ež 105 bodů? Výledek: Hledaá pravděpodobot je 006811. 3. Při prováděí určitého pokuu bylo zapotřebí udržovat v laboratoři kotatí teplotu 65 C. Teplota byla v jedom pracovím týdu 46x amátkově kotrolováa v růzých deích a očích hodiách. Z výledků měřeí byly vypočtey realizace výběrového průměru a výběrové měrodaté odchylky: m = 633 C = 0748 C. Za předpokladu že výledky měřeí teploty e řídí rozložeím N(μσ ) vypočtěte 95% empirický iterval polehlivoti a) pro tředí hodotu μ b) pro měrodatou odchylku σ. Výledek: ad a) Doazeím do vzorce 3.3.1. (b) dotaeme 611 C < μ < 655 C pravděpodobotí apoň 095. ad b) Doazeím do vzorce 3.3.1. (d) kde meze odmocíme dotaeme 06 C < σ < 094 C pravděpodobotí apoň 095. 4. U 5 áhodě vybraých dvoulitrových lahví ealkoholickým ápojem byl zjiště přeý objem ápoje. Výběrový průměr čiil m = 199 l a výběrová měrodatá odchylka = 01 l. Předpokládejme že objem ápoje v láhvi je áhodá veličia ormálím rozložeím. a) Na hladiě výzamoti 005 ověřte tvrzeí výrobce že zákazík eí zevýhodě. b) Na hladiě výzamoti 005 ověřte tvrzeí výrobce že měrodatá odchylka je 008 l. Výledek: ad a) Tetujeme hypotézu H 0 : μ = proti levotraé alterativě H 1 : μ < pomocí jedovýběrového t-tetu (viz 3.4.1. (b)). Jelikož hodota tetového kritéria -05 eleží v kritickém oboru ;1 7109 ezamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 005. ad b) Tetujeme hypotézu H 0 : σ = 008 proti oboutraé alterativě H 1 : σ 008 pomocí tetu o rozptylu (viz 3.4.1. (c)). Jelikož hodota tetového kritéria 375 eleží v kritickém oboru 0 ;14 394; ejme oprávěi a hladiě výzamoti 005 zamítout tvrzeí výrobce. 5. Bylo vybráo šet ových vozů téže začky a po určité době bylo zjištěo o kolik mm e jely jejich levé a pravé předí peumatiky. Výledky: (18; 15) (10; 11) (; 0) (09; 11) (15; 14) (16; 14). Za předpokladu že rozdíl uvedeých dvojice tvoří áhodý výběr
z ormálího rozložeí tetujte a hladiě výzamoti 005 hypotézu že obě peumatiky e jíždějí tejě rychle. Výledek: Vzhled N-P plotu eí v rozporu předpokladem o ormálím rozložeí rozdílového výběru. Tetujeme ulovou hypotézu H 0 : μ = 0 proti oboutraé alterativě H 1 : μ 0 pomocí párového t-tetu. Hodota tetového kritéria = 1051 počet tupňů voloti = 5. Protože odpovídající p-hodota = 03411 je větší ež hladia výzamoti 005 elze a hladiě výzamoti 005 zamítout ulovou hypotézu. Ke tejému rozhodutí dopějeme pokud taovíme kritický obor: W = ; 571 571;. Tetové kritérium e erealizuje v kritickém oboru tedy elze a hladiě výzamoti 005 zamítout ulovou hypotézu. 6. Uměle připraveý vzorek mierálu obahoval 10% křemee a byl 1 krát proměře. Výledky měřeí byly: 87 10 1007 975 965 1037 1014 105 948 11 949 986. Na hladiě výzamoti 005 tetujte hypotézu že obah křemee byl taove právě. Výledek: K-S tet ai S-W tet ezamítají a hladiě výzamoti 005 ormalitu dat. Tetujeme ulovou hypotézu H 0 : μ = 10 proti oboutraé alterativě H 1 : μ 10. Úloha vede a jedovýběrový t-tet. Realizace tetového kritéria = -06 počet tupňů voloti = 9. Protože odpovídající p-hodota = 07981 je větší ež hladia výzamoti 005 elze a hladiě výzamoti 005 zamítout ulovou hypotézu. 7. Ve 100 hodech kotkou padla 17 krát šetka. a) Najděte 95 % aymptotický iterval polehlivoti pro pravděpodobot padutí šetky. b) Na aymptotické hladiě výzamoti 005 tetujte hypotézu že pravděpodobot padutí šetky je 6 1. Výledek: ad a) 0096 0 44 pravděpodobotí přibližě 095. ad b) Na aymptotické hladiě výzamoti 005 ulovou hypotézu ezamítáme.