Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010

Podobné dokumenty
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Martin Chudoba. Seminář - Stochastické modelování v ekonomii a financích KPMS MFF UK. dluhopisů pomocí. Black-Scholesova modelu. M.Chudoba.

Přemysl Bejda.

Financial calculus Chapter 6 Bigger models

Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)

Stochastické modelování úrokových sazeb

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Parciální funkce a parciální derivace

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Stochastické diferenciální rovnice

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

Derivace funkce více proměnných

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jakub Černý

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Optimální řízení pro geometrický Brownův pohyb

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Pasivní tvarovací obvody RC

1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny.

x udává hodnotu směrnice tečny grafu

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

Rovnovážné modely v teorii portfolia

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

Diferenciální rovnice 1. řádu

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle

DYNAMIKA časový účinek síly Impuls síly. 2. dráhový účinek síly mechanická práce W (skalární veličina)

MASARYKOVA UNIVERZITA. Dluhopisy

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.

Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice

1 Odvození poptávkové křivky

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

22 Základní vlastnosti distribucí

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof

Aplikace analýzy citlivosti při finačním rozhodování

4. Gomory-Hu Trees. r(x, z) min(r(x, y), r(y, z)). Důkaz: Buď W minimální xz-řez.

Jan Kalendovský Stochastické procesy v kombinaci životního

X 3U U U. Skutečné hodnoty zkratových parametrů v pojmenovaných veličinách pak jsou: Průběh zkratového proudu: SKS =

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

REAKČNÍ KINETIKA 1. ZÁKLADNÍ POJMY. α, ß jsou dílčí reakční řády, α je dílčí reakční řád vzhledem ke složce A, ß vzhledem ke složce

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

9 Viskoelastické modely

SP2 01 Charakteristické funkce

Diferenciální geometrie

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Teorie obnovy. Obnova

Modely CARMA. 22. listopadu Matematicko fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze. Modely CARMA. Úvod. CARMA proces. Definice CARMA procesu

Diferenciální rovnice

f(x) f(x 0 ) = a lim x x0 f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim f(x + h) f(x) (x) = lim

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Práce a výkon při rekuperaci

T t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka

12. Křivkové integrály

Waldovy testy, vlastnosti a Operační charakteristika

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Oddělení majetku penzijního fondu od majetku klientů

Od Náhodné Procházky Ke Spojitým Modelům. Silvie Kafková. 1.prosince 2014, FIMA

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Přibližná linearizace modelu kyvadla

Charakterizace rozdělení

Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Patrik Hudec. Výpočet historické volatility FX-opcí. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Reologické modely měkkých tkání

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

6.3.6 Zákon radioaktivních přeměn

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

Fyzikální praktikum II - úloha č. 4

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK

LWS při heteroskedasticitě

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

Transkript:

Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21

Program 1 2 3 4

Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále znači jako P, T ), T. Úroková míra R, T ) Úroková míra R, T ), T, je definována jako míra výnosnosi do doby splanosi T bezrizikového bezkuponového dluhopisu se jmenoviou hodnoou 1 $, j. P, T ) = e R,T ) T ), T.

Výnosová křivka Jednoduše odvodíme R, T ) = 1 log P, T ), T. T Je zřejmé, že znalos cen bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) je ekvivalenní znalosi spojiých úrokových měr R, T ). Výnosová křivka Funkci R, ) nazýváme výnosovou křivkou.

Okamžiá úroková míra Plaí R, + ) = Okamžiá úroková míra log P, + ),, >. Okamžiou úrokovou míru r) definujeme jako r) = lim R, + ) = ) log P, ). T

Forwardová úroková míra Forwardová úroková míra Forwardovou úrokovou míru f, T, T 1 ) v čase na dobu od T do T 1, T < T 1, definujeme jako řešení rovnice e R,T1) T1 ) = e R,T ) T ) e f,t,t1) T1 T ). Levá srana udává hodnou jednokového vkladu uloženého na dobu od do T 1, pravá srana pak jeho uložení na dobu od do T a následně uložení ve formě forwardu na dobu od T do T 1. Zjevně plaí j. 1 P, T 1 ) = 1 P, T ) ef,t,t1) T1 T ), f, T, T 1 ) = log P, T ) log P, T 1). T 1 T

Okamžiá forwardová úroková míra Okamžiá forwardová úroková míra Okamžiou forwardovou úrokovou míru f, T ) definujeme jako f, T ) = lim f, T, T 1) = ) log P, T ), T. T 1 T T r) = f, ) log P, T ) = log P, T ) log P, ) = T = T f, s)ds P, T ) = exp log P,s) s T f, s)ds Znalos cen bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) je udíž ekvivalenní znalosi okamžié forwardové úrokové míry f, T ). ) ds

Forwardová křivka Forwardová křivka Funkci f, ) nazýváme forwardovou křivkou. Forwardová křivka f, ) se podobá výnosové křivce R, ), obecně jsou však yo navzájem různé, neboť plaí R, T ) T = T log P, T ) T ) = P,T ) T 1 P,T ) T ) + log P, T ) T ) 2 f, T ) T ) + log P, T ) = T ) 2 f, T ) = R, T )+T ) R, T ). T Je-li výnosová křivka rosoucí klesající), je forwardová křivka věší menší) než výnosová.

Model Jednoduchý model forwardové úrokové míry Mějme dánu počáeční forwardovou inegrovaelnou) křivku f, T ), uvažujme dále, že se forwardová míra f, T ) řídí sochasickou diferenciální rovnicí d f, T ) = α, T )d + σdw, kde σ je daná konsanní volailia a α, ) je omezená deerminisická funkce času a mauriy T. Zřejmě f, T ) = f, T ) + αs, T )ds + σw. forwardová úroková míra má normální rozdělení rozdíl f, T ) f, S) je plně deerminisický v modelu vysupuje pouze jediný náhodný člen, j. Wienerův proces W

Peněžní úče cash bond) I. Zaveďme peněžní úče cash bond) v čase, B, jakožo jednoku měřící hodnou našeho akiva bezrizikového bezkuponového dluhopisu). B se přirozeně řídí obyčejnou diferenciální rovnicí db = r B d, B = 1 B = exp r s d s ). Víme, že r = f, ), j. r = f, ) + αs, )ds + σw. r je v omo případě normálně rozdělený náhodný proces model však připouší i záporné hodnoy r

Peněžní úče cash bond) II. Z předešlých úvah vyplývá ) B = exp σ W s ds + f, u)du + αs, u)duds, s dále pak P, T ) = exp = exp T f, s)ds ) σt )W T ) T f, s)ds αs, u)duds.

Replikační sraegie I. Replikační sraegie Naším cílem je replikova nějaké finanční akivum X v časovém horizonu S T. 1 Nalezneme rizikově neurální míru Q, při keré je proces Z = B 1 P, T ) maringalem. 2 Zavedeme E = E Q B 1 S X F ). 3 Nalezneme previsibilní proces φ ak, že de = φ dz. Proces Z vyjadřuje hodnou akiva P, T ) v jednokách peněžního úču.

Replikační sraegie II. Z = B 1 P, T ) = = exp σt )W σ T ) T W s ds f, u)du αs, u)duds. s Aplikací Iôova lemmau dosáváme ) ) T dz = Z σt )dw α, u)du d + 1 2 σ2 T ) 2 d.

Replikační sraegie III. První krok replikační sraegie Plaí ) ) T dz = Z σt )dw α, u)du d + 1 2 σ2 T ) 2 d. Položme γ = 1 2 σt ) + 1 T α, u)du. σt ) Podle věy C-M-G získáváme míru Q ekvivalenní míře P akovou, že W = W + γ sds je Q-Brownův pohyb. Příslušná sochasická diferenciální rovnice je dz = σz T )d W. Náhodný proces Z je edy Q-maringal.

Replikační sraegie IV. Druhý krok replikační sraegie Položme E je Q-maringal. Třeí krok replikační sraegie E = E Q B 1 S X F ). Aplikací věy o reprezenaci maringalů nalezneme F-previsibilní proces φ akový, že E = E Q B 1 S X ) + φ s dz s.

Obchodní sraegie Obchodní sraegie φ, ψ ) držíme φ jednoek bezrizikového bezkuponového dluhopisu s cenou P, T ) držíme ψ = E φ Z jednoek na peněžním úču Hodnoa našeho porfolia v čase je V = φ P, T ) + ψ B = B E. Porfolio je samofinancující se, neboť dv = φ d P, T ) + ψ db. Hodnoa porfolia v čase je V = E Q B 1 S X ), v čase S poom V S = X.

Replikační sraegie V. Pokusme se nyní oceni dluhopis s mauriou S, P, S). Uvažujme X = PS, S) = 1 jakožo akivum určené k replikaci pomocí peněžního úču a dluhopisu s mauriou T. Položme Y = B 1 P, S), podobně jako dříve lze odvodi ) ) S dy = Y σs )dw α, u)du d + 1 2 σ2 S ) 2 d. Definujme γ S = 1 1 S 2σS ) + σs ) α, u)du, poom dy = σy S ) d W + γ S ) ) γ d. K omu, aby byl proces Y Q-maringalem, je nuné, aby γ S = γ.

Replikační sraegie VI. γ edy nesmí závise na T, j. γ / T =. Ze vzahu γ = 1 1 2σT ) + σt ) T α, u)du posupně dosáváme σt )γ = 1 T 2 σ2 T ) 2 + α, u)du σγ + σt ) γ T = σ2 T ) + α, T ), α, T ) = σ 2 T ) + σγ. / T, Poslední uvedená rovnice říká, jaké omezení kladené na funkci α, T ) je v rámci námi uvažovaného modelu nuné splni.

Úvod v roce 199 jej publikovali David Heah, Bob Jarrow a Andy Moron dnes jedním z nejpoužívanějších modelů jedná se de faco o jakýsi rámec speciální případy Hull-Whie, Ho-Lee)

Odvození modelu I. Výchozí sochasický model Fixujme T a nechť je rizikově neurální dynamika procesu hodnoy bezrizikového bezkuponového dluhopisu P, T ) řízena rovnicí dp, T ) = r P, T )d + s, T )P, T )dw, kde volailia s, T ) závisí na minulých a současných hodnoách okamžiých úrokových měr a vývoji cen dluhopisu. Pro forwardovou úrokovou míru plaí f, T, T 1 ) = log P, T ) log P, T 1), T 1 T j. df, T, T 1 ) = d[log P, T )] d[log P, T 1)]. T 1 T

Odvození modelu II. Aplikací Iôova lemmau obdržíme [ d[log P, T )] = r 1 ] 2 s2, T ) d + s, T )dw, [ d[log P, T 1 )] = r 1 ] 2 s2, T 1 ) d + s, T 1 )dw. Dosadíme-li, dosáváme df, T, T 1 ) = s2, T 1 ) s 2, T ) 2T 1 T ) d + s, T ) s, T 1) dw. T 1 T Vidíme, že proces pro forwardovou míru závisí pouze na volaiě s.

Odvození modelu III. Liminím přechodem pro T 1 T v předchozím vzahu získáváme df, T ) = s, T ) s, T ) s, T ) d T T dw. Položme α, T ) = s, T ) s,t ) T a σ, T ) = s,t ) T. Proože s, T ) = s, T ) s, ) = můžeme shrnou T s, τ) T dτ = σ, τ)dτ, τ T α, T ) = σ, T ) σ, τ)dτ.

Odvození modelu IV. Nechť je dána počáeční forwardová křivka f, T ), řekneme, že se forwardová úroková míra f, T ) řídí em, vyhovuje-li sochasické diferenciální rovnici kde d f, T ) = α, T )d + σ, T )dw, T, T α, T ) = σ, T ) σ, τ)dτ, σ, T ) = s, T ) T.

Technické předpoklady Technické předpoklady 1 Pro všechna T jsou α, T ) a σ, T ) previsibilní procesy závisející pouze na hisorii pohybů okamžiých úrokových měr a cen dluhopisů do času, dále plaí T σ 2, T )d < a T α, T ) d <. 2 f, T ) je deerminisická a vyhovuje podmínce 3 T T f, u) du <. u α, u) ddu < a E T u σ, u)dw du <.

Peněžní úče cash bond) Víme, že r = f, ), j. r = f, ) + σs, )dw s + αs, )ds. ) Z B = exp r sds vyplývá ) ) B = exp σs, u)du dw s + f, u)du + αs, u)duds. s s Dále dosáváme P, T ) = exp ) T f, u)du = = exp s ) T ) T σs, u)du dw s f, u)du αs, u)duds.

Replikační sraegie I. Z, T ) = B 1 P, T ) = T T ) = exp Σs, T )dw s σ W s ds f, u)du αs, u)duds, s kde Σs, T ) = T σ, u)du. Aplikací Iôova lemmau dosáváme d Z, T ) = Z, T ) Σ, T )dw + ) ) 1 T 2 Σ2, T ) α, u)du d.

Replikační sraegie II. První krok replikační sraegie Plaí edy d Z, T ) = Z, T ) Σ, T )dw + Položme γ = 1 2 Σ, T ) 1 T Σ,T ) α, u)du. ) ) 1 T 2 Σ2, T ) α, u)du d. Podle věy C-M-G při splnění echnické podmínky ) 1 T E P exp 2 γ2 d < ) získáváme míru Q ekvivalenní míře P akovou, že W = W + γ sds je Q-Brownův pohyb. Příslušná SDE je varu d Z, T ) = Z Σ, T )d W. ) 1 T Je-li splněno E Q exp 2 Σ2, T )d <, pak je proces Z, T ) Q-maringalem.

Replikační sraegie III. Druhý krok replikační sraegie Položme E je Q-maringal. Třeí krok replikační sraegie E = E Q B 1 S X F ). Aplikací věy o reprezenaci maringalů nalezneme F-previsibilní proces φ akový, že E = E Q B 1 S X ) + φ s dzs, T ) v omo případě je však nuné, aby Σ, T ) > pro < T.

Obchodní sraegie Obchodní sraegie φ, ψ ) držíme φ jednoek bezrizikového bezkuponového dluhopisu s cenou P, T ) držíme ψ = E φ Z, T ) jednoek na peněžním úču Hodnoa našeho porfolia v čase je V = φ P, T ) + ψ B = B E. Porfolio je samofinancující se, neboť dv = φ d P, T ) + ψ db. Hodnoa porfolia v čase je V = E Q B 1 S X ), v čase S poom V S = X.

Replikační sraegie IV. Pokusíme-li se opě oceni dluhopis s mauriou S, P, S), přičemž uvažujme X = PS, S) = 1 jakožo akivum určené k replikaci pomocí peněžního úču a dluhopisu s mauriou T, pak bychom podobně jako dříve odvodili podmínku pro drif α, T ) = σ, T ) γ Σ, T )), T. Položíme-li σ, T ) = σ a Σ, T ) = σt ), přecházíme k jednoduchému modelu uvažovaném v předcházející sekci.

Podmínky pro Podmínky pro Exisuje F-previsibilní proces γ akový, že α, T ) = σ, T ) γ Σ, T )), T. Proces A ω) = Σ, T )ω) je kladný pro skoro všechny, ω), < T, pro všechny mauriy T. ) 1 T E P exp 2 γ2 d <. ) 1 T E P exp 2 γ Σ, T )) 2 d <.

Iô Iôovo lemma Nechť X je sochasický proces ve varu dx = σ dw + µ d a f je deerminisická dvakrá diferencovaelná funkce. Poom Y = f X ) je aké sochasický proces a plaí: dy = ) σ f X ) dw + µ f X ) + 1 ) 2 σ2 f X ) d.

C-M-G Věa Cameron - Marin - Girsanov Nechť W je Brownův pohyb vzhledem k míře P. γ je F -adapovaný ) 1 T proces, kerý splňuje podmínku E P exp 2 γ2 d <. Pak exisuje míra Q aková, že plaí: 1 Q je ekvivalenní s P, dq 2 dp = exp T γ ) dw 1 T 2 γ2 d, 3 W = W + γ sds je Brownův pohyb vzhledem k míře Q.

Reprezenace maringalu Věa o reprezenaci maringalu Nechť M je maringal vzhledem k míře Q, jehož volailia σ je s.j. nenulová. Pokud N je libovolný maringal vzhledem k míře Q, pak exisuje F -previsibilní proces φ ak, že s.j. plaí T φ2 σ 2 d < a N lze vyjádři jako: N = N + φ s dm s. Proces φ je navíc určen jednoznačně.

Posačující podmínka pro maringal Věa Nechť dx = σ X dw, přičemž σ je F-previsibilní proces, poom 1 )) E exp σs 2 ds < X je maringal. 2

Lieraura Baxer, M. & Rennie A. 23). Financial calculus: An Inroducion o derivaive pricing. Cambridge: Cambridge Universiy Press. Hull, J. C. 26). Opions, fuures and oher derivaives. New Jersey: Pearson Prenice Hall. Málek, J. 25). Dynamika úrokových měr a úrokové deriváy. Praha: Ekopress.

Závěr Děkuji Vám za pozornos. hendrych@savex.com