Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální rovnice. Autor tohoto textu byl inspirován textem M. Tvrdého [2], kde zaujatý čtenář najde více. Další lze nalézt např. v knize Obyčejné diferenciální rovnice [1]. Greenovy funkce pro obecnější okrajové úlohy lze nalézt např. v [3]. Označení Symbolem R m n budeme rozumět lineární prostor všech matic typu (m, n) nad R. Speciálně, R n 1 (resp. R 1 n ) bude označovat množinu všech n dimenzionálních sloupcových (resp. řádkových) vektorů. 1 Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu Uvažujme systém diferenciálních rovnic x (t) + A(t)x(t) = b(t), (1) kde A C (0) ([, β]; R n n ), b C (0) ([, β]; R n 1 ) spolu s okrajovými podmínkami kde M, N R m n, m 1, n > 1. Mx() + Nx(β) = 0, (2) Definice 1 Řekneme, že x C (1) ([, β]; R n 1 ) je řešením okrajové úlohy (1), (2), jestliže x splňuje soustavu diferenciálních rovnic (1) pro každé t (, β) a splňuje okrajové podmínky (2). Společně se soustavou (1) budeme pracovat s příslušnou homogenní soustavou, tzn. se soustavou (1) pro b 0, tedy x (t) + A(t)x(t) = 0. (3) Uvažujme fundamentální systém řešení soustavy (3), tzn. maticovou funkci X C (1) ([, β]; R n n ) jejíž sloupce tvoří lineárně nezávislou množinu řešení systému (3) na intervalu [, β], tzn. platí X (t) + A(t)X(t) = 0 pro každé t [, β]. Pak pro dané τ [, β] je funkce x(t) = X(t)c + X(t) s parametrem c R n 1 obecným řešením systému (1). τ X 1 (s)b(s) ds, pro každé t [, β] (4) Poznámka 2 Z (4) mj. plyne, že každé řešení soustavy (3) (na nějakém intervalu) je ve tvaru X(t)c, kde c R n 1. A z toho také vidíme, že maticová funkce typu n n, jejíž sloupce jsou řešeními soustavy (3) je ve tvaru X(t)C, kde C R n n. 1

Ve zbytku kapitoly budeme uvažovat jeden fundamentální systém řešení X C (1) ([, β]; R n n ) soustavy (3) (i když to v našich úvahách nebude příliš důležité). Lemma 3 Okrajová úloha (1), (2) má řešení právě tehdy, když má řešení soustava algebraických rovnic (MX() + NX(β))c = NX(β) X 1 (s)b(s) ds. (5) Navíc, řešení x úlohy (1), (2) je dáno ve tvaru (4), kde c R n 1 je řešením soustavy (5). Důkaz. Z předchozích úvah je zřejmé, že hledané řešení úlohy (1), (2) bude ve tvaru (4) pro τ =. Dosazením funkce x z (4) do okrajové podmínky (2) dostáváme ( ) MX()c + N X(β)c + X(β) X 1 (s)b(s) ds = 0. Jednoduchou úpravou dostáváme soustavu (5) a tím i tvrzení lemmatu. Poznámka 4 Okrajovou úlohu (1), (2) jsme tedy převedli na úlohu řešit soustavu algebraických rovnic (5). Bude se nám hodit následující tvrzení z lineární algebry: Soustava algebraických rovnic Dc = w, (D R m n, w R m 1 ) je řešitelná právě tehdy, když Z Lemmatu 3 a Poznámky 4 tedy vyplývá následující. ( γ T R 1 m )(γ T D = 0 γ T w = 0). Lemma 5 Okrajová úloha (1), (2) je řešitelná právě tehdy když pro každé γ T R 1 m splňující platí γ T (MX() + NX(β)) = 0 γ T NX(β) X 1 (s)b(s) ds = 0. Bude se nám také hodit následující jednoduché tvrzení. Lemma 6 Nechť A C (0) ([, β]; R n n ), M, N R m n. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) Pro každé b C (0) ([, β]; R n 1 ) má úloha (1), (2) jediné řešení. (ii) Úloha (3), (2) má jen triviální řešení (tzn. nulová funkce x(t) 0 pro každé t [, β]) Důkaz. Implikace (i) (ii) je zřejmá z faktu, že úloha (3), (2) je speciálním případem úlohy (1), (2) pro b 0 na [, β]. Tedy úloha (3), (2) je podle předpokladu jednoznačně řešitelná, přitom má vždy alespoň triviální řešení je tedy jediné. Implikaci (ii) (i) dokážeme následovně. Nechť pro dané b jsou x 1, x 2 : [, β] R n 1 řešení úlohy (1), (2). Snadno se ukáže, že funkce x 1 x 2 je řešením úlohy (3), (2). Z předpokladu (ii) plyne, že x 1 x 2 je nulová funkce na [, β], tedy x 1 = x 2 na [, β]. Lemma 7 Nechť A C (0) ([, β]; R n n ), M, N R m n, h((m, N)) = m. Pak tvrzení (i) a (ii) z Lemmatu 6 jsou ekvivalentní s předpokladem m = n a det(mx() + NX(β)) 0. (6) 2

Důkaz. Nejprve dokážeme implikaci (6) (i). Ta plyne z faktu, že za předpokladu platnosti (6) je soustava (5) jednoznačně řešitelná. Její řešení je ve tvaru c = (MX() + NX(β)) 1 NX(β) X 1 (s)b(s) ds a tedy řešení úlohy (1), (2) je jednoznačně určeno vztahem (4) pro c z předchozí rovnosti. Dokážeme implikaci (i) (6). Z předpokladu (i) a Lemmatu 3 plyne, že soustava (MX() + NX(β))c = 0 má pouze triviální řešení. Pak (z faktu, že dimenze prostoru řešení soustavy je rovna rozdílu počtu sloupců matice soustavy a její hodnosti) 0 = n h(mx() + NX(β)). Protože matice MX() + NX(β) má m řádků, pak zřejmě m h(mx() + NX(β)) = n. Dokážeme, že m = n, sporem. Předpokládejme, že m > n. Pak řádky matice MX() + NX(β) jsou lineárně závislé, tzn. existuje γ T R 1 m tak, že γ T (MX() + NX(β)) = 0. (7) Z faktu γ T MX() = γ T NX(β) a regularity matic X() a X(β) plyne ekvivalence Z faktu h((m, N)) = m plyne Odtud a z (8) plyne γ T N 0. Položme γ T M = 0 γ T N = 0. (8) 0 γ T (M, N) = (γ T M, γ T N). b(t) = X 1 (t)x 1 (β)(γ T N) T t [, β]. Pak γ T NX(β) X 1 (s)b(s) ds = γ T N(γ T N) T 0. Z (i), (7) a Lemmatu 5 dostáváme spor. Dále podle předpokladu (i) má okrajová úloha (1), (2) pro každé b C (0) ([, β]; R n 1 ) jediné řešení, což je podle Lemmatu 3 ekvivalentní s faktem det(mx() + NX(β)) 0. Definice 8 Platí li jedna z podmínek (i), (ii) z Lemmatu 6 nebo podmínka (6), řekneme, že úloha (1), (2) není v rezonanci. Lemma 9 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Pak pro každé b C (0) ([, β]; R n 1 ) lze řešení x úlohy (1), (2) napsat ve tvaru kde G(t, s) = kde D = MX() + NX(β). x(t) = G(t, s)b(s) ds, t [, β] (9) { X(t)( D 1 NX(β))X 1 (s) pro t s β, X(t)(E n D 1 NX(β))X 1 (s) pro s < t β, (10) 3

Důkaz. Z Lemmat 3 a 7 plyne, že řešení úlohy (1), (2) je ve tvaru x(t) = X(t)D 1 NX(β) = X(t)D 1 NX(β) = = X 1 (s)b(s) ds + X(t) X 1 (s)b(s) ds X 1 (s)b(s) ds X(t)D 1 NX(β) X(t)(E n D 1 NX(β))X 1 (s)b(s) ds + G(t, s)b(s) ds, pro t [, β], t t X 1 (s)b(s) ds + X(t) X(t)( D 1 NX(β))X 1 (s)b(s) ds X 1 (s)b(s) ds kde G je dána vzorcem (10). V našich dalších úvahách budeme často pracovat s množinou = {(t, t) R 2 : t [, β]}. Definice 10 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Funkci G : [, β] 2 R n n spojitou a omezenou na [, β] 2 \ takovou, že pro každé b C (0) ([, β]; R n 1 ) lze řešení x úlohy (1), (2) psát ve tvaru (9) nazýváme Greenovou funkcí úlohy (1), (2). Poznámka 11 Z definice je vidět, že Greenova funkce není definovaná jednoznačně, protože na množině může nabývat jakýchkoliv hodnot. Z Lemmatu 9 je vidět, že existuje vždy alespoň jedna Greenova funkce dané úlohy (pro úlohu, která není v rezonanci). V dalším lemmatu dokážeme, že každá Greenova funkce je dána jednoznačně ve tvaru (10) až na funkční hodnoty bodů z množiny, a nezávisí na volbě fundamentální matice X. Lemma 12 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Greenova funkce je definována jednoznačně až na množinu. Důkaz. Mějme Greenovy funkce G 1, G 2 : [, β] 2 R n n úlohy (1), (2). Pak pro libovolné b C (0) ([, β]; R n 1 ) platí x(t) = G 1 (t, s)b(s) ds = je jediným řešením úlohy (1), (2). Z toho plyne a pro každé t [, β]. Dokážeme, že G 2 (t, s)b(s) ds, t [, β] (G 1 (t, s) G 2 (t, s))b(s) ds = 0 pro každé b C (0) ([, β]; R n 1 ) (11) G 1 = G 2 na [, β] 2 \. (12) Zvolme t (, β) (důkaz pro t {, β} se provede analogicky). Dokážeme, že z (11) plyne G 1 (t, s) = G 2 (t, s) pro všechna s [, t) (t, β]. Podle definice jsou funkce G 1 (t, ) a G 2 (t, ) spojité na [, t) a (t, β], tedy to samé platí i pro jejich rozdíl G 1 (t, ) G 2 (t, ). Nechť i {1,..., n}. Označme i tý sloupec matice G 1 (t, s) G 2 (t, s) jako g i (t, s). Dokážeme, že g i (t, s) = 0 pro každé s [, t) (t, β]. Zřejmě existuje p 0 N tak, že t 1 p > a t + 1 p < β pro každé p p 0. Pro každé p N, p p 0 definujeme vektorovou funkci b p C (0) ([, β]; R n 1 ) takovou, že b p (s) = g i (t, s) T, s [, t 1 p ] [t + 1 p, β], 4

jejíž složky jsou na množině (t 1 p, t + 1 p ) lineární (snadno lze určit funkční předpis, je ovšem složitější na zápis). Z omezenosti funkcí G 1, G 2 plyne omezenost funkce g i na [, β] 2 \. Z toho plyne, že existuje K > 0 tak, že Z (11) tedy pro každé p p 0 vyplývá g i (t, s) < K a b p (s) K, s [, t) (t, β], p p 0. 0 = + + 1 p t 1 p g i (t, s)b p (s) ds = 1 p g i (t, s) b p (s) ds + g i (t, s) g T i (t, s) ds t+ 1 p g i (t, s) g T i (t, s) ds. (13) Protože t+ 1 p t 1 p + 1 g i (t, s)b p (s) ds p t 1 p ( K 2 ds = K 2 t + 1 p t + 1 ) = 2K2 p p pro každé p p 0, pak limitním přechodem v (13) pro p dostaneme 0 = g i (t, s) g T i (t, s) ds. Z toho a spojitosti g i (t, s) gi T (t, s) na intervalech [, t) a (t, β] plyne a tedy g i (t, s) g T i (t, s) = 0 pro každé s [, t) (t, β] g i (t, s) = 0 pro každé s [, t) (t, β]. Dokázali jsme tedy rovnost funkcí G 1 a G 2 na množině [, β] 2 \. Z tohoto faktu a spojitosti G 1 a G 2 na [, β] 2 \ již plyne (12). Následující věta udává vlastnosti Greenovy funkce, kterými je dokonce charakterizována. Věta 13 Nechť úloha (1), (2) není v rezonanci. Pak maticová funkce G : [, β] 2 R n n je Greenovou funkcí úlohy (1), (2) právě tehdy, když (I) Funkce G je spojitá a omezená na [, β] 2 \. (II) Pro každé s (, β) platí lim G(t, s) lim G(t, s) = E n. t s+ t s (III) Pro každé s (, β) jsou sloupce maticové funkce G(, s) řešením soustavy (3) na intervalech (, s) a (s, β). (IV) Pro každé s (, β) platí MG(, s) + NG(β, s) = 0. Důkaz. Nejprve dokážeme nutnost podmínek. Nechť G je Greenova funkce úlohy. Dokážeme, že pak splňuje (I) (IV). Vlastnost (I) je splněna okamžitě z definice. Vzhledem k Poznámce 11 a Lemmatu 12 můžeme bez újmy na obecnosti psát (10), kde X je fundamentální matice soustavy (3) na [, β]. Pak pro každé s (, β) platí (díky spojitosti X 1 na [, β]) lim G(t, s) lim G(t, s) = X(t)(E n D 1 NX(β))X 1 (t) t s+ t s X(t)( D 1 NX(β))X 1 (t) = E n, 5

tedy (II) platí. Vlastnost (III) plyne z (10). Zbývá ověřit vlastnost (IV). Pro s (, β) platí MG(, s) + NG(β, s) = MX()( D 1 NX(β))X 1 (s) + NX(β)(I D 1 NX(β))X 1 (s) = MX()D 1 NX(β)X 1 (s) + NX(β)X 1 (s) NX(β)D 1 NX(β)X 1 (s) = (MX() + NX(β))D 1 NX(β)X 1 (s) + NX(β)X 1 (s) = NX(β)X 1 (s) + NX(β)X 1 (s) = 0. Nyní ověříme postačitelnost podmínek (I) (IV). Nechť G : [, β] 2 R n n je maticová funkce splňující (I) (IV). Dokážeme, že jde o Greenovu funkci úlohy (1), (2). Z podmínky (III) a Poznámky 2 plyne, že existují maticové funkce C 1, C 2 : (a, b) R n n tak, že { X(t)C1 (s) pro < s < t β, G(t, s) = X(t)C 2 (s) pro t < s < β. Z podmínky (II) dostáváme pro s (, β) a z (IV) plyne Z těchto dvou maticových rovnic vyjádříme E n = lim G(t, s) lim G(t, s) = X(s)C 2(s) X(s)C 1 (s). t s+ t s MX()C 1 (s) + NX(β)C 2 (s) = 0. C 1 (s) = D 1 NX(β)X 1 (s) a C 2 (s) = (E n D 1 NX(β))X 1 (s) pro s (, β). Z (I) a spojitosti X 1 na [, β] také plyne C 1 (β) = D 1 NX(β)X 1 (β) a C 2 () = (E n D 1 NX(β))X 1 (). Tímto je tedy funkce G určena jednoznačně na množině [, β] 2 \ na níž je rovna funkci z (10). Vzhledem k Lemmatu 9 a Lemmatu 12 je důkaz hotov. Poznámka 14 Označme G(t, s) = (g ij (t, s)) n i,j=1 Greenovu funkci úlohy (1), (2). Z vlastnosti (II) z Věty 13 je vidět, že funkce g ij pro i j lze spojitě dodefinovat na celou množinu [, β] 2. Funkce g ii vzhledem k (II) nelze dodefinovat spojitě, ale spojitě lze dodefinovat na uzávěr její restrikce vzhledem k množinám {(t, s) R 2 : s < t β} a {(t, s) R 2 : t < s β}. 2 Diferenciální rovnice n tého řádu Uvažujme lineární diferenciální rovnici n tého řádu (t)u (n) + a 1 (t)u (n 1) + a 2 (t)u (n 2) +... + a n (t)u = f(t), (14) kde a i C (0) ([, β]; R), i = 0,..., n, (t) 0 pro všechna t [, β], f C (0) ([, β]; R) spolu s okrajovou podmínkou Mξ() + Nξ(β) = 0 (15) kde M, N R m n, ξ(t) = (u(t), u (t),..., u (n 1) ) T pro t {, β}. Ze stejného důvodu jako v předchozí kapitole si můžeme dovolit předpokládat h((m, N)) = m. V celé kapitole budeme mít tedy tyto předpoklady { ai C (0) ([, β]; R), i = 0,..., n, (t) 0 pro t [, β], f C (0) ([, β]; R), M, N R m n, h((m, N)) = m. 6

Definice 15 Řekneme, že u C (n) ([, β]; R) je řešením okrajové úlohy (14), (15), jestliže u splňuje diferenciální rovnici (14) pro t (, β) a splňuje okrajové podmínky (15). Společně s rovnicí (14) budeme pracovat s příslušnou homogenní rovnicí tzn. s rovnicí (14) pro f 0, tedy (t)u (n) + a 1 (t)u (n 1) + a 2 (t)u (n 2) +... + a n (t)u = 0. (16) Lemma 16 Nechť u je řešení rovnice (14). Pak vektorová funkce ψu(t) = (u(t), u (t),..., u (n 1) (t)) T, t [, β] je řešením soustavy (1) na [, β] pro 0 1 0... 0 0 0 1... 0 A(t) =................................. 0 0 0... 1, b(t) = an an 1 an 2... a1 0 0.. 0 f. (17) Zobrazení ψ množiny všech řešení rovnice (14) definovaných na intervalu J [, β] na množinu všech řešení soustavy (1) definovaných na intervalu J [, β] pro (17) je izomorfismus. Řešení u rovnice (14) splňuje okrajové podmínky (15) právě tehdy, když ψu splňuje okrajové podmínky (2). Definice 17 Nechť úloha (14), (15) není v rezonanci. Funkci g C (0) ([, β] 2 ; R) nazveme Greenovou funkcí úlohy (14), (15), jestliže pro každé f C (0) ([, β]; R) je řešení úlohy (14), (15) ve tvaru u(t) = g(t, s)f(s) ds t [, β]. (18) Lemma 18 Nechť úloha (14), (15) není v rezonanci. Pak existuje jediná Greenova funkce g úlohy (14), (15). Je charakterizována vlastnostmi (I ) Funkce g, g,..., n 2 g jsou spojité a omezené na [, β] 2, funkce n 1 g n 2 je spojitá a omezená na [, β] 2 \. n 1 (II ) Pro každé s (, β) platí lim t s+ n 1 g (t, s) lim n 1 t s n 1 g 1 (t, s) = n 1 (s). (III ) Pro každé s (, β) je funkce g(, s) řešením soustavy (16) na intervalech (, s) a (s, β). (IV ) Pro každé s (, β) platí M(g(, s), g (, s),..., n 1 g (, s))t n 1 + N(g(β, s), g (β, s),..., n 1 g n 1 (β, s))t = 0. Důkaz. Uvažujme úlohu (14), (15). Podle Lemmatu 16 je tato úloha ekvivalentní s úlohou (1), (2) pro (17). Protože podle předpokladu úloha (14), (15) není v rezonanci plyne opět z Lemmatu 16, že příslušná úloha (1), (2) (pro (17)) také není v rezonanci. Pro dané f a z ní odvozené b (z (17)) existuje jediné řešení x úlohy (1), (2), které lze zapsat pomocí Greenovy funkce G úlohy (1), (2) ve tvaru (9). Z Lemmatu 16 plyne existence jednoznačně určeného řešení u úlohy (1), (2) tak, že x(t) = ψu(t) = (u(t), u (t),..., u (n 1) (t)) T, t [, β]. Označíme li G(t, s) = (g ij (t, s)) n,n i,j=1, pak pro první řádek vektorové rovnosti (9) platí u(t) = x 1 (t) = n g 1i (t, s)b i (s) ds = i=1 7 g 1n (t, s) f(s) (s) ds

(poslední rovnost plyne z (17)). Shrneme li naše úvahy, k funkci f jsme našli jednoznačně určené řešení u úlohy (14), (15) ve tvaru (18). Je vidět, že Greenovou funkcí úlohy (14) a (15) je funkce g(t, s) = g 1,n(t, s), (t, s) [, β] 2, (s) kterou můžeme s ohledem k Poznámce 14 chápat jako spojitou na [, β] 2. Dokážeme, že je charakterizována vlastnostmi (I) (IV). Nejprve nutnost. Vzhledem k Poznámce 14 lze považovat funkce g 1,n, g 2,n,..., g n 1,n za spojité funkce na [, β] 2 a funkci g n,n jako spojitou na [, β] 2 \, přitom pro každé s (, β) je vektorová funkce (g 1,n (, s), g 2,n (, s),..., g n,n (, s)) T řešením systému (3) na intervalech (, s) a (s, β) pro (17), z jehož speciálního tvaru plyne Tedy g i+1,n (t, s) = i g 1,n i (t, s), (t, s) (, β) 2 \, i = 1,..., n 1. i g i (t, s) = g i+1,n(t, s), (t, s) [, β] 2, i = 1,..., n 2 (s) a n 1 g (t, s) = gn,n(t,s) n 1 (s) pro (t, s) [, β] 2 \ (v krajních bodech se rozumějí jednostranné derivace). Z toho plyne, že g, g,..., n 2 g jsou spojité na [, β] 2, n 1 g n 2 je omezená a spojitá na [, β] 2 \ (mimo jiné také díky n 1 předpokladu nenulovosti a spojitosti na kompaktním intervalu). Tedy (I ) platí. Dále z Poznámky 14 plyne lim t s+ n 1 g (t, s) lim n 1 t s n 1 g 1 (t, s) = n 1 (s) ( ) lim g n,n(t, s) lim g n,n(t, s) t s+ t s což je (II ). Vlastnost (III ) plyne z homogenity rovnice (16). Stačí již ověřit jen (IV ). Platí = 1 (s), M(g(, s), g (, s),..., n 1 g n 1 (, s))t + N(g(β, s), g (β, s),..., n 1 g (β, s))t n 1 = M 1 (s) (g 1,n(, s), g 2,n (, s),..., g n,n (, s)) T + N 1 (s) (g 1,n(β, s), g 2,n (β, s),..., g n,n (β, s)) T = 0. Poslední rovnost plyne z faktu, že vektory (g 1,n (, s), g 2,n (, s),..., g n,n (, s)) T a (g 1,n (β, s), g 2,n (β, s),..., g n,n (β, s)) T jsou sloupce matic G(, s) a G(β, s) a z vlastnosti (IV) z Věty 13. Nyní dokážeme, že každá funkce g splňující (I ) (IV ) je Greenova funkce úlohy (14), (15). Mějme takovou funkci g dánu. Definujme g 1,n (t, s) = (s)g(t, s), (t, s) [, β] 2. Vzhledem k podmínce (I ) existují spojité parciální derivace i g 1,n i (t, s) = (s) i g (t, s) i pro i = 1,..., n 1 na příslušných množinách (viz (I )), označíme je g i+1,n (t, s). Nechť G označuje Greenovu funkci ze začátku tohoto důkazu (jde o Greenovu funkci úlohy (1), (2)). Označme symbolem G maticovou funkci, která vznikne z maticové funkce G nahrazením n tého sloupce vektorovou funkcí ( g 1,n, g 2,n,..., g n,n ) T. Z vlastností (I ) (IV ) pro funkci g jednoduše plyne, že funkce G splňuje podmínky (I) (IV), tedy jde o Greenovu funkci úlohy (1), (2). Protože je Greenova funkce určena jednoznačně (až na množinu ), je jasné, že G = G (až na množinu ) a tedy g 1,n = g 1,n (vzhledem k Poznámce 14 můžeme brát obě funkce jako spojité na [, β] 2 ). Z první části důkazu víme, že právě g1,n(t,s) (s) je Greenova funkce úlohy (14), (15) což není nic jiného než funkce g. 8

References [1] Kurzweil, J., Obyčejné diferenciální rovnice, Praha, 1978. [2] Lineární okrajové úlohy [online], dostupné z http://www.math.cas.cz/ tvrdy/okrul.ps [citováno 21. 9. 2009] [3] Kiguradze, I., Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic, Brno, 1997. 9