2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010
Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom měli znát definici derivace funkce jedné proměnné větu o střední hodnotě velikost vektoru, skalární součin vektorů Klíčová slova kapitoly parciální derivace, derivace ve směru, gradient funkce, tečná rovina grafu funkce
Parciální derivace Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Definice 1 Parciální derivace funkce f podle první (druhé) proměnné v bodě (x 0, y 0 ) svého definičního oboru je derivace funkce jedné proměnné f (x, y 0 ) v bodě x 0 (resp. f (x 0, y) v bodě y 0 ). Značí se x (x 0, y 0 ), resp. y (x 0, y 0 ). Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Z definice parciální derivace tedy vyplývá, že x (x 0, y 0 ) = lim h, h 0 f (x 0 +h,y 0 ) f (x 0,y 0 ) y (x f (x 0, y 0 ) = lim 0,y 0 +h) f (x 0,y 0 ) h 0 h
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Díky tomu, že jsou parciální derivace definovány pomocí derivace funkce jedné proměnné, chovají se vůči aritmetickým operacím stejně jako funkce jedné proměnné (platnost následujících rovností je stejná jako u jedné proměnné, tedy má-li smysl pravá strana). Věta 2.1 (Parciální derivace aritmetických operací) (f + g) x = x + g x, (f g) x ) ( f g x = x g f g x g 2. = x g + f g x, Důkaz
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Parciální derivace vyšších řádů se definují stejně, jako derivace vyšších řádů pro funkce jedné proměnné. Např. 4 f značí druhou parciální derivaci podle x z parciální x y x 2 derivace podle y z parciální derivace funkce f podle x. Tj., nejdříve derivujeme f podle x, pak výsledek podle y a pak výsledek dvakrát podle x.
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Podíváme-li se blíže na výsledky, ke kterým dojdeme při výpočtu smíšených derivací v úlohách 3 a 4, zdá se, že nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých derivujeme. Aby však tato úvaha platila obecně, musíme přidat podmínku spojitosti smíšených derivací. Věta 2.2 (Rovnost smíšených derivací) Jsou-li parciální derivace 2 f x y a 2 f y x spojité v bodě (x 0, y 0 ), pak se v tomto bodě rovnají. Důkaz Obdobně pro další smíšené parciální derivace. Má-li funkce všechny parciální derivace v nějakém bodě až do řádu n spojité, pak u všech parciálních derivací do řádu n nezáleží na pořadí derivování.
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Pro funkce jedné proměnné platí následující věta: Jestliže má funkce jedné proměnné v daném bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Budeme-li chtít aplikovat analogickou větu na funkci dvou proměnných, dostaneme se do problémů. Uvažujme{ například funkci 0 pro xy 0 f (x, y) = 1 pro xy = 0. Funkce f (x, y) má v bodě (0, 0) parciální derivace podle obou proměnných, a přesto zde není spojitá. Zdůvodnění
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Pro zajištění spojitosti funkce dvou proměnných budeme muset podmínky věty poněkud zesílit. Věta 2.3 (Spojitost a derivace) Má-li funkce f v nějakém okolí bodu P parciální derivace, které jsou spojité v P, je i f v P spojitá. Důkaz
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Geometrický význam parciální derivace Graf funkce f (x, y 0 ) si lze představit jako řez grafu funkce f (x, y) rovinou y = y 0. Parciální derivaci funkce f (x, y) podle x potom chápeme takto: Vyjdeme-li z geometrického významu derivace funkce jedné proměnné, pak derivace funkce f (x, y 0 ) (je to funkce jedné proměnné) v bodě x 0 udává směrnici tečny grafu této funkce v bodě x 0. Parciální derivace x (x 0, y 0 ) tedy udává rychlost změny funkce f v bodě (x 0, y 0 ) v kladném směru osy x. Analogicky pro y (x 0, y 0 ).
Derivace složené funkce Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Parciální derivace složené funkce je složitější než u jedné proměnné, protože se proměnná, podle které se derivuje, obecně vyskytuje v obou proměnných vnější funkce. Věta 2.4 (Derivace složené funkce) Necht f (x, y) má spojité parciální derivace v bodě (x 0, y 0 ), funkce x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) mají parciální derivace v bodě (u 0, v 0 ) a x 0 = ϕ(u 0, v 0 ), y 0 = ψ(u 0, v 0 ). Pak g(u, v) = f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) má parciální derivace v bodě (u 0, v 0 ) a platí g u = x ϕ u + y ψ u = x x u + y y u. Důkaz
Derivace ve směru Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Místo zúžení funkce na přímky rovnoběžné s osami lze derivovat (jako funkce jedné proměnné) zúžení funkce na libovolnou přímku procházející daným bodem. Definice 2 (Směrové derivace) Necht (u, v) je jednotkový vektor v rovině. Pak derivace ve směru (u, v) funkce f dvou proměnných v bodě (x 0, y 0 ) je derivace funkce jedné proměnné t x f (x 0 + t u, y 0 + t v) v bodě t = 0. je parciální derivace f ve směru (1, 0), y je ve směru (0, 1).
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Věta 2.5 (Směrové derivace pomocí parciálních) Má-li f v bodě (x 0, y 0 ) obě parciální derivace spojité, pak derivace f ve směru (u, v) v bodě (x 0, y 0 ) je rovna x (x 0, y 0 ) u + y (x 0, y 0 ) v. Je-li α úhel, který svírá vektor (u, v) s osou x, pak derivace f ve směru (u, v) v bodě (x 0, y 0 ) je rovna x (x 0, y 0 ) cos α + y (x 0, y 0 ) sin α. Důkaz
Gradient Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací S derivací ve směru úzce souvisí gradient funkce. Definice 3 Gradient funkce f (x, y) v bodě (x 0, y 0 ) je vektor grad f = f = ( x (x 0, y 0 ), ) y (x 0, y 0 ). grad nebo bez proměnné lze chápat jako operátor ( x, y ) a potom je grad f = f hodnotou operátoru v bodě f.
Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Operátor je lineární a na součinech se chová obdobně, jako derivace: (f + g) = f + g, (fg) = f g + g f. Skalární součin = 2 se značí jako, což je Laplaceův operátor: f = 2 f x 2 + 2 f y 2. Parciální derivace funkce f ve směru (u, v) je v případě spojitých parciálních derivací tedy rovna skalárnímu součinu grad f (u, v). Geometricky ukazuje grad f směr největšího růstu funkce f.
Tečná rovina grafu funkce Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Derivace složené funkce Derivace ve směru Gradient Užití parciálních derivací Má-li f v bodě (x 0, y 0 ) spojité parciální derivace, lze rovinu danou rovnicí (z f (x 0, y 0 )) = (x x 0 ) x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) y (x 0, y 0 ) chápat jako tečnou rovinu grafu funkce f. Tečná rovina je tedy dána bodem dotyku (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) a vektory (1, 0, x (x 0, y 0 )), (0, 1, y (x 0, y 0 )). Tečny grafu f v libovolném směru leží v tečné rovině (samozřejmě, vše za předpokladu spojitosti parciálních derivací).
Úloha 1 Vypočítejte podle definice parciální derivaci funkce f (x, y) = x 2 + y 2 po podle obou proměnných v bodě C(1; 0). Řešení Úloha 2 Určete parciální derivace funkce f (x, y) = x y podle obou proměnných. (Předpokládejme, že x > 0.) Řešení
Úloha 3 Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) = x 3 y + 4xy 2y 3. Řešení Otázka 1 Kolik parciálních derivací třetího řádu má funkce dvou proměnných h(x, y)? Vypište je. Odpověd
Úloha 4 Necht g(x, y) = tg x. y 2 Vypočítejte 2 g ( π x y 4 ; 1) a 2 g π y x( 4 ; 1) a výsledky porovnejte. Řešení Úloha 5 Určete derivaci funkce f (x, y) = xy 2 ve směru vektoru v = (4, 3) v bodě C = (2, 1). Řešení
Úloha 6 Určete derivaci funkce f (x, y) = arctg x y v bodě C = ( 1 2, 3 2 ) ve směru jednotkového vektoru n = (n 1, n 2 ), který je směrovým vektorem tečny ke kružnici x 2 + y 2 2x = 0 sestrojené v bodě C, přičemž n 2 > 0. Řešení Úloha 7 Vypočítejte z x a z y obecné složené funkce: 1 z = f (u, v), kde u = x sin y, v = x cos y 2 z = f (u, v), kde u = x 2, v = x 3 3 z = f (t), kde t = x 2 y 4 Řešení
Úloha 8 Určete rovnici tečné roviny grafu funkce f (x, y) = xy + y 2 v bodě T = (1, 2). Řešení
1 : Jarník Diferenciální počet (I), kap. XIII. (základy) Jarník Diferenciální počet (II), kap. VII. (rozšíření) Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9. 2 Úlohy: Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Kopáček Příklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 6 8
Důkaz věty 2.1 Díky tomu, že jsou parciální derivace definovány pomocí derivace funkce jedné proměnné, i důkaz bude obdobný: (f + g) (x 0, y 0 ) def = 1 x (f + g)(x 0 + h, y 0 ) (f + g)(x 0, y 0 ) = lim = h 0 h f (x 0 + h, y 0 ) + g(x 0 + h, y 0 ) [f (x 0, y 0 ) + g(x 0, y 0 )] = lim = h 0 h f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) g(x 0, y 0 ) def 1 = lim + lim = h 0 h h 0 h = x (x 0, y 0 ) + g x (x 0, y 0 )
(f g) (x 0, y 0 ) def = 1 x (f g)(x 0 + h, y 0 ) (f g)(x 0, y 0 ) = lim = h 0 h f (x 0 + h, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) = lim = h 0 h [ f (x0 + h, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) + f (x 0, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) = lim h 0 h + f (x 0, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) h g(x 0 + h, y 0 )[f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 )] = lim h 0 h + f (x 0, y 0 )[g(x 0 + h, y 0 ) g(x 0, y 0 )] = h ] =
= [ lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) h + f (x 0, y 0 ) Protože h 0, je (x 0 + h) x 0 : [ lim h 0 ] g(x 0 + h, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ) g(x 0, y 0 ) h = x (x 0, y 0 ) g(x 0, y 0 ) + f (x 0, y 0 ) g x (x 0, y 0 ) V důkazu byl použit umělý krok, a to přičtení a následné odečtení členu f (x 0, y 0 ) g(x 0 + h, y 0 ). Obdobně dokážeme i ( f g ) x zpět = g x g f x. g 2 ] def 1 =
Důkaz věty 2.2 Protože jsou obě derivace 2.řádu v (x 0, y 0 ) spojité, existují ony i parciální derivace 1.řádu v nejakém otevřeném okolí tohoto bodu. V následujícím postupu budou čísla h, k brána tak malá, že příslušné použité body leží v tomto okolí. Podle definice je f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) = lim a h 0 h f x (x 0, y 0 + k) f x (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) = lim, tj. k 0 k f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 + k) + f (x 0, y 0 ) f xy(x 0, y 0 ) = lim lim. k 0 h 0 hk
Zaměříme se nyní na čitatel zlomku v argumentu limity. Součet prvních dvou členů je roven (využijeme-li nakonec větu o střední hodnotě pro derivaci podle y): f (x [ 0 + h, y 0 + k) f (x 0 + ] h, y 0 ) = k 1 k [f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0 + h, y 0 )] = k f (x0 +h,y 0 +k) f (x 0 +h,y 0 ) = kf y (x 0 + h, c) k Aplikujeme-li totéž na druhé dva členy čitatele zlomku, dostaneme f (x 0, y 0 + k) + f (x 0, y 0 ) = kf y (x 0, d). Čitatel zlomku je tedy roven kf y (x 0 + h, c) kf y (x 0, d), kde c,d jsou body z (x 0 k, x 0 + k ), závisející na h, k.
Použijeme-li opět větu o střední hodnotě, lze tento výraz zapsat jako hkf yx (a, b), kde body a, b leží v intervalu (x 0 h, x 0 + h ) (y 0 k, y 0 + k ). Po dosazení do limity získáváme f xy (x 0, y 0 ) = lim k 0 lim h 0 hk f yx (a, b) hk Protože f yx je spojitá daném intervalu, je tato limita rovna f yx (x 0, y 0 ). zpět
Důkaz věty 2.3 Pro funkci dvou proměnných a bod P = (x 0, y 0 ) se má dokázat lim (f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 )) = 0 (h,k) (0,0) Rozdíl uvedených funkčních hodnot lze přepsat jako f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0 + h, y 0 ) + f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ), což je podle věty o střední hodnotě (viz předchozí důkaz) rovno k y (x 0 + h, b) + h x (a, y 0), kde (a, b) leží v intervalu (x 0 h, x 0 + h ) (y 0 k, y 0 + k ).
Podle Weierstrassovy věty jsou f y, f x omezené na nějakém okolí bodu (x 0, y 0 ) a tedy je lim kf y(x 0 + h, b) + hf x (a, y 0 ) = 0. (h,k) (0,0) zpět
Důkaz věty 2.4 Pro jednoduchost budou v tomto důkazu vynechány indexy 0 u bodů, ve kterých se derivace vyšetřují. Pracuje se v nějakých okolích příslušných bodů, kde uvedené parciální derivace existují a jsou spojité. Má se vyjádřit f (ϕ(u + h, v), ψ(u + h, v)) f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) lim h 0 h pomocí parciálních derivací použitých funkcí. Výraz v čitateli se přepíše do tvaru f (ϕ(u + h, v), ψ(u + h, v)) f (ϕ(u + h, v), ψ(u, v)) + + f (ϕ(u + h, v), ψ(u, v)) f (ϕ(u, v), ψ(u, v)).
Podle věty o střední hodnotě je ψ(u + h, v) = ψ(u, v) + hψ u (a, v) pro nějaký bod a mezi body u, u + h. Podobně je ϕ(u + h, v) = ϕ(u, v) + hϕ u (b, v) pro nějaký bod b mezi body u, u + h. Tyto výrazy dosadíme do upraveného čitatele f (ϕ(u, v)+hϕ u (b, v), ψ(u, v)+hψ u (a, v)) f (ϕ(u, v)+hϕ u (b, v), ψ(u, v)) f (ϕ(u, v) + hϕ u (b, v), ψ(u, v)) f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) a použijeme větu o střední hodnotě. Získáme výraz hψ u (a, v)f y (ϕ(u, v) + hϕ u (b, v), r) + hϕ u (b, v)f x (s, ψ(u, v)), kde r leží mezi ψ(u, v) a ψ(u, v) + hψ u (a, v), s leží mezi ϕ(u, v) a ϕ(u, v) + hϕ u (b, v).
Vrátíme-li se opět k ϕ(u + h, v), dostaneme hψ u (a, v)f y (ϕ(u + h, v), r) + hϕ u (b, v)f x (s, ψ(u, v)). Tento výraz dosadíme do limity a krátíme h hψ u (a, v)f y (ϕ(u + h, v), r) + hϕ u (b, v)f x (s, ψ(u, v)) lim h 0 h Limita je rovna ψ u (u, v)f y (ϕ(u, v), ψ(u, v)) + ϕ u (u, v)f x (ϕ(u, v), ψ(u, v)), což bylo dokázat. zpět
Důkaz věty 2.5 Budeme derivovat složenou funkci f (x, y) = f (x 0 + tu, y 0 + tv) podle proměnné t. Uvědomme si, že funkce ϕ a ψ jsou funkcemi pouze jedné proměnné t. Derivace funkce f je potom rovna x x t + y y t = x u + y v Rovnosti u = cos α a v = sin α vyplývají z obrázku (vektor (u, v) je jednotkový).
zpět
Řešení úlohy 1 Vyjdeme z poznámky uvedené pod definicí 1: f (1 + h, 0) f (1, 0) (1, 0) = lim = x h 0 h (1 + h) 2 + 0 2 (1 2 + 0 2 ) = lim = h 0 h 2h + h 2 = lim = h 0 h h(2 + h) = lim = h 0 h = lim (2 + h) = h 0 = 2
Analogicky postupujeme při výpočtu parciální derivace podle y. f (1, 0 + h) f (1, 0) (1, 0) = lim = y h 0 h 1 2 + (0 + h) 2 (1 2 + 0 2 ) = lim = h 0 h h 2 = lim h 0 h = = lim h = h 0 = 0 zpět
Řešení úlohy 2 Při výpočtu parciální derivace podle x zacházíme s x jako s proměnnou, zatímco s y jako s konstantou. V tomto případě tedy derivujeme mocninnou funkci. x = y x y 1 Naopak, při výpočtu parciální derivace podle y zacházíme s x jako s konstantou, zatímco s y jako s proměnnou. Derivujeme tedy exponenciální funkci. y = x y ln x zpět
Řešení úlohy 3 Parciální derivace druhého řádu funkce f (x, y) jsou celkem čtyři, a to 2 f, 2 f a smíšené 2 f x 2 y 2 x y, 2 f y x. Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu: x = 3x 2 y + 4y y = x 3 + 4x 6y 2
Přejdeme k parciálním derivacím druhého řádu: 2 f = x 2 2 f = y 2 2 f x y 2 f y x zpět ( x ) x = (3x 2 y+4y) x = 6xy, tj. derivaci podle x derivujeme znovu podle x ( y ) y = (x 3 +4x 6y 2 ) y = 12y, tj. derivaci podle y derivujeme znovu podle y ( x ) = y = (3x 2 y+4y) y = 3x 2 + 4, tj. derivaci podle x derivujeme podle y = ( y ) x = (x 3 +4x 6y 2 ) x = 3x 2 + 4, tj. derivaci podle y derivujeme podle x
Odpověd na otázku 1 Parciálních derivací třetího řádu funkce h(x, y) je osm: 3 h x 3, 3 h x 2 y, 3 h y x 2, 3 h x y x, 3 h y 2 x, 3 h x y 2, 3 h y x y, 3 h y 3. zpět
Řešení úlohy 4 Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu: ( g x = 1 1 cos 2 x y y 2 = cos x ) 2 y 2 y 2 2 g y = 1 cos 2 x y 2 x ( 2) y 3 ( = ( 2) cos x ) 2 y 2 xy 3
Přejdeme ke smíšeným parciálním derivacím druhého řádu: 2 ( g x y = 2 cos x ) 3 y 2 Potom + ( cos x y 2 ) 2 ( 2)y 3 = ( sin xy 2 ) ( 2)xy 3 y 2 ( = 4 cos x ) 3 y 2 ( sin xy ) ( 2 xy 5 2 cos x ) 2 y 2 y 3 2 g ( π ) ( x y 4 ; 1 = 4 cos π ) 3 ( sin π ) π (cos 4 4 4 2 π ) 2 4 = 2π 4
2 g y x [ ( 3 = 2y 2 cos x ) 3 y 2 ( sin xy ) 2 y 2 x ( + cos x ) 2 ] y 2 1 Potom 2 g ( π ) [ ( y x 4 ; 1 = 2 2 = 2π 4 cos π 4 ) 3 ( sin π ) π (cos 4 4 + π ) ] 2 = 4 Porovnáme-li oba výsledky, dojdeme k závěru, že se obě smíšené parciální derivace v bodě ( π 4 ; 1) rovnají. zpět
Zdůvodnění Parciální derivace funkce f (x, y) v bodě (0, 0) jsou následující: x (0, 0) = lim y h 0 f (0 + h, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim h 0 h f (0, 0 + h) f (0, 0) h 1 1 = lim = 0 h 0 h 1 1 = lim = 0 h 0 h Funkce f (x, y) má tedy v bodě (0, 0) vlastní parciální derivace podle obou proměnných. Funkce f (x, y) není ale v bodě (0, 0) spojitá. Blížíme-li se totiž k tomuto bodu po osách x nebo y, je limita funkce rovna jedné, zatímco v ostatních případech je tato limita nula. zpět
Řešení úlohy 5 Vyjdeme z věty 2.5 a definice gradientu. Nejprve upravíme vektor v na jednotkový (označíme ho ˆv). Vypočítáme grad f = ( x, y ) ˆv = 1 v v = 1 5 (4, 3) = ( 4 5, ) 3 5 x = y 2, y = 2xy Určíme grad f v bodě C = (2, 1) ( ) grad f (2, 1) = (2, 1), (2, 1) = (1, 4) x y
Parciální derivace ve směru (u, v) je v případě spojité parciální derivace rovna skalárnímu součinu grad f (C) (u, v), tj. (1, 4) ( 4 5, ) 3 5 = 4 5 12 5 = 8 5 zpět
Řešení úlohy 6 Nejprve upravíme rovnici kružnice do středového tvaru, tj. (x 1) 2 + y 2 = 1. Určíme normálový vektor u = SC tečny kružnice v bodě ( 1 C = 2, 3 2 (viz obrázek). ), kde S je středem kružnice, tj. u = C S = ( 1 2, 3 2 ) Směrový vektor n tečny je potom ( 3 2, 1 2 předpokladu, že n 2 > 0. Vektor n je jednotkový. ), využili jsme přitom
Přistupme k výpočtu gradientu: x = 1 1 + y 2 x 2 y = 1 1 1 + y 2 x = x 2 y 1 x 2 = y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 3 x (C) = 2 y (C) = 1 2 Derivace funkce f v bodě C ve směru vektoru n je tedy rovna (obě parciální derivace jsou v bodě C spojité) df (C) dn = grad f (C) n = ( ) ( ) 3 2, 1 3 2 2, 1 = 3 2 4 + 1 4 = 1 2 zpět
Řešení úlohy 7 Podle věty 2.4 je z x = (u, v) x = u u x + v v x Nejprve tedy derivujeme vnější funkci f podle proměnné u a tuto derivaci násobíme derivací vnitřní funkce u podle proměnné x. K tomu přičítáme součin derivace vnější funkce f podle proměnné v a derivace vnitřní funkce v podle proměnné x. Analogicky pro derivaci podle y: z y = (u, v) y = u u y + v v y
Derivace zadaných funkcí jsou tedy následující: 1 z x = sin y + u v cos y z y = x cos y + ( 1)x sin y u v 2 3 z x = u 3x 2 + v 2x z y = u 0 + 0 = 0 (u a v jsou funkcemi proměnné x) v z x = df 2x = 2x = 2xf t dt z y = t ( 4y 3 ) = df dt ( 4y 3 ) = 4y 3 f (f je funkcí jedné proměnné t) zpět
Řešení úlohy 8 Nejprve určíme parciální derivace funkce f v bodě T = (1, 2): x = y y = x + 2y x (T ) = 2 y (T ) = 5 Protože jsou obě parciální derivace spojité v bodě T, rovnici tečné roviny grafu funkce f lze zapsat ve tvaru Po dosazení a úpravě (z f (T )) = (x t 1 ) x (T ) + (y t 2) y (T ) (z 6) = 2(x 1) + 5(y 2) 2x + 5y z = 6 zpět