nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R dn R (2) ádem rovnice (1) nazveme ád nejvy²²í derivace u, která se vyskytuje v (1), p esn ji: na které F nezávisí konstantn. Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), D u(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (3) nazvu systémem PDR pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R d R s, u = (u 1,..., u s ) T Zde je daná vektorová funkce. F : Ω R s R sd R sdn 1 R sdn R m (4) ádem systému (3) nazveme ád nejvy²²í derivace u, která se vyskytuje v (3). Denice. PDR (1) nazveme lineární, lze-li ji psát ve tvaru α n a α (x)d α u = f(x) x Ω (5) pro dané funkce a α (x) ( α n), f(x). Rovnici (5) nazvu homogenní, pokud f 0 v Ω, v opa ném p ípad ji íkáme nehomogenní, p ípadn "s pravou stranou". PDR (1) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru α =n a α (x)d α u + f(x, u, Du,..., D (n 1) u) = 0 (6) PDR (1) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x, u,..., D (n 1) u)d α u + f(x, u, Du,..., D (n 1) u) = 0 (7) α =n 1

PDR (1) nazveme ryze nelineární, je-li F v (1) nelineární funkcí (alespo ) v n které z derivací u nejvy²²ího ádu. Denice. Bu x R d, d 1, t (0, T ), T > 0 a uvaºujme kvazilineární PDR 1. ádu d t + a j (t, x, u) = f(t, x, u) x R d, t (0, T ) (8) x j j=1 kde a j, f C((0, T ) R d R) Funkci u : (0, T ) R d R nazvu klasickým e²ením rovnice (8), pokud (i) u C 1 ((0, T ) R d ) (ii) u spl uje (8) ve v²ech bodech (t, x) (0, T ) R d Rovnici (8) dopl ujeme o po áte ní podmínku tvaru u(0, x) = u 0 (x) x R d (9) kde u 0 C 1 (R d ) je daná funkce. Úloha (8)-(9) na oblasti (0, T ) R d se nazývá Cauchyova úloha pro kvazilineární rovnici 1. ádu. Funkci u : (0, T ) R d R nazvu klasickým e²ením Cauchyovy úlohy (8)-(9), pokud u je klasickým e²ením (8) a navíc spl uje (9) v následujícím smyslu: lim u(t, y) = u 0 (x) x R d (10) (t,y) (0 +,x) Denice. (8) je homogenní, tj. f 0, a ztotºníme t x 0, neboli e²íme rovnici tvaru d a j (x, u) = 0 x (0, T ) R d (11) x j j=0 K rovnici (11) p i adíme systém oby ejných diferenciálních rovnic, tzv. charakteristický systém (11), pro neznámé funkce tvaru x j = x j (s) s (α, β), j = 0, 1,..., d (12) d ds x j(s) = a j (x, u(x)) j = 0, 1,..., d (13) Kaºdé e²ení systému (12) nazvu charakteristikou rovnice (11), p esn ji: charakteristickou k ivkou x = x(s) : (α, β) (0, T ) R d p i azenou rovnici (11) a funkci u C 1 ((0, T ) R d ) Denice. Bu y 0 R m, ρ > 0. Funkci f : I m ρ (y 0 ) R nazvu reáln analytickou v I m ρ (y 0 ), pokud existují ísla f α R taková, ºe konverguje ve v²ech bodech I m ρ (y 0 ) k sou tu f(y) f α (y y 0 ) α (14) α 2

V ta. Cauchy-Kovalevskaya Bu te a ijr (x, u), b r (x, u) : Iρ d+s R, i = 1,..., d, j, r = 1,..., s, reáln analytické v Iρ d+s pro n jaké ρ > 0. Potom existuje 0 < ρ ρ a reáln analytické funkce u r : I d+1 ρ R r = 1,..., s (15) takové, ºe pro v²echna r = 1,..., s platí r s (t, x) = t d j=1 i=1 a ijr (x, u(t, x)) j x i (t, x) + b r (x, u(t, x)) (t, x) I d+1 ρ (16) u r (0, x) = 0 x I d ρ (17) Ve t íd reáln analytických funkcí jsou tato u r ur ena jednozna n. Denice. Nech f a g jsou RAF na I m ρ, ρ > 0 f(y) = α f α y α g(y) = α g α y α y I m ρ (18) ekneme, ºe g majorizuje f na Iρ m (p ípadn g je majorantou f, f je majorizováno g na Iρ m), pokud f α g α α multiindex (19) tedy (speciáln ), ºe D α f(0) D α g(0) α multiindex (20) Pro tuto situaci budeme pouºívat zna ení f g na I m ρ. Denice. Bu te a ijr ã ijr, b r b r na I d+s ρ, ρ > 0, i = 1,..., d, j, r = 1,..., s. Pak ekneme, ºe úloha v r s (t, x) = t d j=1 i=1 ã ijr (x, v(t, x)) v j x i (t, x) + b r (x, v(t, x)) (t, x) I d+1 ρ (21) je majorantní úloze (majorizuje úlohu) (16)-(17) v r (0, x) = 0 x I d ρ (22) Denice. M jme rovnici a α (t, x)d α v + f(t, x) = 0 v G (0, T ) R d, G oblast (23) α k a p edepi²me po áte ní podmínky na d-dimenzionální hladké regulární (nad)plo²e S G. O S p edpokládáme, ºe je orientována spojitým polem vektorových normál ν. Po áte ní podmínky na S p edepisujeme ve tvaru v(t, x) = ϕ 0 (t, x) v ν (t, x) = ϕ 1(t, x). k 1 v (t, x) = ϕ ν k 1 k 1 (t, x) (t, x) S (24) Úloze (23)-(24) íkáme zoben ná (lokální) Cauchyova úloha pro lineární rovnici k-tého ádu. 3

Denice. ekneme, ºe vektor ξ R d+1 je charakteristickým sm rem rovnice (23) v bod (t, x), pokud ξ 0 a p itom a α (t, x) ξ α = 0 (25) α =k Výrazu vlevo v (25) se n kdy íká symbol rovnice (23) v (t, x). Denice. Bu S plocha dimenze d v R d+1. ekneme, ºe y = (t, x) S je charakteristickým bodem plochy S vzhledem k rovnici (23), pokud normála k S v bod y je charakteristickým sm rem rovnice (23) v bod (t, x). ekneme, ºe plocha S dimenze d v R d+1 je charakteristickou plochou rovnice (23), je-li kaºdý její bod charakteristickým bodem rovnice (23). Denice. Bu Ω R neprázdná otev ená mnoºina, f C(Ω). Pak rovnici nazvu (Laplace-)Poissonovou rovnicí v Ω, a rovnici Laplaceovou rovnicí v Ω. u = f v Ω (26) u = 0 v Ω (27) Denice. Bu = Ω R d otev ená mnoºina. eknu, ºe u je harmonická na Ω, pokud u C 2 (Ω) a u = 0 v Ω. (Vektorový) prostor v²ech harmonických funkcí na Ω budeme zna it H(Ω) Denice. Funkci E(x) H(R d \{0}) tvaru E(x) = { 1 1 (d 2)κ d x d 2 d > 2 1 2π ln x = 1 2π ln 1 x d = 2 (28) nazýváme fundamentálním (elementárním) e²ením Laplaceova operátoru (p ípadn "Laplaceovy rovnice") v R d Denice. Bu Ω R d neprázdná otev ená mnoºina s hranicí Ω. Bu ϕ C( Ω), f C(Ω). ekneme, ºe u : Ω R e²í na Ω Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu-Poissonovu rovnici (s daty ϕ, f) v klasickém smyslu, pokud u C 2 (Ω) C(Ω) u = f v Ω u = ϕ na Ω (29) Denice. Integrál 1 κ d R S R (y) se nazývá Poisson v a funkci ϕ(ξ) R2 x y 2 x ξ d ds(ξ) x B R (y) (30) P y (x, ξ) := 1 R 2 x y 2 κ d R x ξ d > 0 (x, ξ) B R (y) S R (y) (31) se asto íká Poissonovo jádro. 4

V ta. Bu Ω omezená otev ená mnoºina v R d, bu u C 2 (Ω) C(Ω) a nech platí a ij, b j, c, f C(Ω) i, j = 1,..., d (32) a ij (x) = a ji (x) x Ω, i, j = 1,..., d Lu(x) := d i,j=1 a ij (x) 2 u(x) x i x j + d j=1 b j (x) (x) x j + c(x)u(x) x Ω (33) d a ij (x)ξ i ξ j > 0 ξ R d, ξ 0, x Ω (podmínka elipticity) i,j=1 Potom platí následující: (I) Je-li c 0 v Ω a Lu 0 v Ω, potom max u(x) = max u(x) (34) x Ω x Ω Lu 0 v Ω, potom min u(x) = min u(x) (35) x Ω x Ω Lu = 0 v Ω, potom min Ω u(x) u(x) max u(x), x Ω (36) Ω (II) Je-li c 0 v Ω a kde u + = max(u, 0), u = min(u, 0) Lu 0 v Ω, potom max u(x) max x Ω x Ω u+ (x) (37) Lu 0 v Ω, potom min u(x) min x Ω x Ω u (x) (38) Lu = 0 v Ω, potom max Ω u = max u (39) Denice. Bu Ω R d otev ená mnoºina s neprázdnou hranicí Ω. Bu ξ Ω. (A) Funkci w(x) = w ξ (x) C 2 (Ω) C(Ω) nazvu bariéra v ξ, pokud platí Ω (1) w 0 na Ω (2) w > 0 na Ω\{ξ} (3) w(ξ) = 0 (40) (B) Bod ξ Ω nazvu regulárním bodem Ω (vzhledem k Laplaceov operátoru), pokud v ξ existuje bariéra w ξ ve smyslu p edchozí denice. V ta. Bu Ω R d otev ená omezená mnoºina s neprázdnou hranicí. Potom následující dva výroky jsou ekvivalentní: (a) ϕ C( Ω) existuje u C 2 (Ω) C(Ω), u = 0 v Ω, u = ϕ na Ω (b) v²echny body ξ Ω jsou regulárními body Ω 5

Denice. Bu T > 0, a > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) R d. Bu te dále f C(Q T ), g C(R d ) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í Cauchyovu úlohu pro RVT s pravou stranou f a po áte ní podmínkou g v klasickém smyslu, pokud (a) u C(Q T ), t, 2 u C(Q x 2 T ) j j = 1,..., d (b) t (t, x) a2 u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T u(0, x) = g(x) x R d (41) Denice. Bu T > 0, a > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) Ω, kde Ω R d je omezená otev ená mnoºina. Ozna me Γ := ({0} Ω) ( 0, T Ω) tzv. parabolickou hranici Q T (Γ = povrch "hrnce" Q T "bez pokli ky"). Bu te dále f C(Q T ), g C(Ω) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í okrajov -po áte ní úlohu pro RVT na Q T s pravou stranou f a okrajov po áte ní podmínkou g v klasickém smyslu, pokud (a) u C(Q T ), t, 2 u C(Q x 2 T \Γ) j j = 1,..., d (b) t (t, x) a2 u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T u(t, x) = g(t, x) (t, x) Γ (42) Denice. Bu T > 0, c > 0, d 1 a nech Q T := (0, T ) R d. Bu te dále f C(Q T ), g 0, g 1 C(R d ) dané funkce. ekneme, ºe u : Q T R e²í Cauchyovu úlohu pro vlnovou rovnici s pravou stranou f a po áte ními podmínkami g 0, g 1 v klasickém smyslu, pokud (a) u C 2 (Q T ) (b) 1 2 u c 2 t 2 (t, x) u(t, x) = f(t, x) (t, x) Q T (43) u(0, x) = g 0 (x) x R d (44) t (0, x) = g 1(x) x R d (45) Denice. charakteristický kuºel vlnové rovnice Bu x 0 R d, 0 < r < ct. Ozna me (pro pevné c dané rovnicí (43)) Z r (x 0 ) := {(t, x) Q T, 0 < ct < r, 0 < x x 0 < r ct} (46) (otev ený) kuºel o st edu x 0, polom ru r a vý²ce r c. 6