74
Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým. Jednou z původních motivací pro její zavedení byla analýza růstu posloupnosti faktoriálů přirozených čísel. Zatímco pro součet prvních n přirozených čísel máme velice jednoduchou formuli + 2 + + n = n(n + ), 2 součin prvních n přirozených čísel takovéto přehledné vyjádření nemá. Například je jasné, že posloupnost faktoriálů není možno vyjádřit jako posloupnost hodnot jistého polynomu v přirozených číslech neboť faktoriály mají podstatně rychlejší růst než jakýkoliv polynom. Snaha nalézt holomorfní funkci (tj. polynom s nekonečným stupněm ), která by v přirozených číslech měla hodnotu rovnou jejich faktoriálům vedla ke studiu funkce Γ. Hlavní zakladatelem teorie této funkce byl Leonhard Euler (77 783), který v roce 729 dospěl k vyjádření funkce Γ(z) pomocí nekonečného součinu. Cílem tohoto dodatku bude definovat funkci Γ na maximální možné podmnožině komplexních čísel a odvodit její základní vlastnosti. Funkci Γ budeme definovat ve dvou krocích. Nejdříve ji vyjádříme pro z C s Re z > pomocí tradičního integrálního vzorce. Poté ji rozšíříme na celou komplexní rovinu vyjma množiny záporných celých čísel {n Z n }. 2 Funkce Γ(z) a její základní vlastnosti Definice A.. Funkce Γ(z) je komplexní funkce definovaná pro z splňující Re z > předpisem (A.) Γ(z) = e x x z dx. Poznámka A.. Funkce Γ(z) je dána jako nevlastní integrál z komplexní funkce reálné proměnné, který závisí na parametru z. Mocninu x z pro x > přitom definujeme jako hodnotu exponenciální funkce e (z ) ln x. Pokud je tedy z reálné je reálná i hodnota Γ(z). 75
76 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) U každého integrálu z neomezené funkce na neomezené množině se musíme přesvědčit o jeho existenci. U integrálu v (A.) je podstatné podívat se na chování integrované funkce v okolí nekonečna a okolí nuly. (Rozmyslete si, že například lim x + e x x z = pro z (, )!) Podívejme se nejdříve na existenci integrálu e x x z dx. Pro absolutní hodnotu integrované funkce platí: e x x z = e x e (z ) ln x = e x x Re z. Protože e x x Re z dx <, existuje i integrál e x x z dx, a to dokonce pro všechna z C. Zbývá ověřit existenci integrálu e x x z dx. Na intervalu (, ) jsou hodnoty exponenciální funkce e x mezi nulou a jedničkou. Pro x (, ) tedy můžeme psát což vede k nerovnosti e x x z dx e x x z x Re z, [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z < pro Re z >. Vidíme tedy, že integrál definující funkci Γ skutečně existuje pro všechna z s kladnou reálnou částí. Předpoklad Re z > je přitom podstatný. Podívejme se na případ z =. Pak e x x dx = e x x dx + e x Zatímco druhý sčítanec je konvergentní integrál, u prvního máme e x x dx e x dx. x dx = e [ln x] =. Jinými slovy e x x dx =. Příklad A.. Spočítáme hodnoty Γ() a Γ( 2 ). Podle (A.) je Γ Γ() = ( ) = 2 e x dx = [ e x] =. e x x 2 dx.
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 77 V posledním integrálu provedeme substituci x = t 2, čímž ho převedeme na integrál e x x dx = = 2 e t2 (t 2 ) 2 2t dt = e t2 dt = e t2 dt = π. Poslední integrál, který jsme dostali, je známý Laplaceův integrál, se kterým se čtenář již setkal v teorii funkcí více proměnných. Jedním z nejdůležitějších rysů funkce Γ je následující vlastnost, která je typická pro faktoriály přirozených čísel. Tvrzení A.. Pro všechna z C s kladnou reálnou částí platí (A.2) Γ(z + ) = zγ(z). Důkaz. Tvrzení je jednoduchým důsledkem metody integrace per partes (A.3) Γ(z + ) = Přitom e x x z dx = [ e x x z] lim x + x R Tím se (A.3) redukuje na vztah Γ(z + ) = lim x x R e x x z = lim e x x z =, x + x R + e x e z ln x =. ze x x z dx = zγ(z). ze x x z dx. Důsledek A.. Pro každé n N {} platí Γ(n + ) =. Důkaz. Postupným použitím identity (A.2) dostaneme Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = = Γ() =.
78 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Funkce Γ tady má v přirozeném čísle n hodnotu (n )!. Například platí x e x dx = Γ() =! Kdo tento integrál takto rychle stanoví zná s největší pravděpodobností funkci Γ (anebo je geniální). Příklad A.2. Určeme Γ( 5 2 ). Podle rekurentního vztahu (A.2) je ( ) ( ) 5 3 Γ = Γ 2 2 + = 3 ( ) 3 2 Γ = 3 2 2 ( ) 2 Γ = 3 2 2 3 π = π. 2 4 Podobným způsobem jsme schopni stanovit hodnotu funkce Γ pro jakoukoliv polovinu přirozeného čísla. Mimo tyto body a přirozená čísla se hodnota funkce Γ počítá numericky. Hodnoty funkce Γ na kladné části reálné osy jsou vždy kladné neboť se jedná o integrály z kladných funkcí. Jak naznačuje obrázek A.. je lim x Γ(x) = = lim x + Γ(x). Tyto vlastnosti si zdůvodníme později. Minimum na kladné části reálné osy má funkce Γ přibližně v bodě, 46. Graf funkce Γ na reální ose také napovídá, že tato funkce má derivaci. Dokážeme si, že funkce Γ je diferencovatelná i v komplexním oboru, tj. že je holomorfní funkce. Věta A.. (i) Funkce f(z) = (ii) Funkce g(z) = e x x z dx je holomorfní v C. e x x z dx je holomorfní v polorovině {z C Re > }. (iii) Funkce Γ je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Důkaz. (i) Podle Poznámky A. víme, že funkce f(z) je korektně definována v C. Zvolme r > a definujme funkci f r (z) = r e x x z dx. Nejdříve ukážeme, že tato funkce je holomorfní v C. Funkci e x je možno rozvinout v mocninnou řadu e x ( ) n x n =, x R, n= která konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, tedy i na intervalu, r. Definujeme-li pro N N funkce r ( N ) ( ) n x n h N (z) = x z dx, z C, n=
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 79 pak platí (A.4) r ( ) N f r (z) h N (z) = e x ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n r max x,r e x x Re z dx. Zvolme nyní konstantu L > a polorovinu R L = {z C Re z < L}. Pro mocninu xre z kde x (, r) a z R L platí x Re z r L. Tedy pro z R L je Dle (A.4) je potom max f r (z) h N (z) max z R L r x,r n= x Re z dx r L (r ). e x N ( ) n x n rl (r ) pro N. n= Jinými slovy, posloupnost funkcí (h N (z)) N konverguje stejnoměrně k funkci f r (z) na R L. Každá z funkcí h N (z) je ovšem holomorfní v C neboť je lineární kombinací funkcí r { x z r z+ dz = z+ je-li z ln r je-li z =. Každá stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní funkce. Funkce f r (z) je tedy holomorfní v každé polorovině {z C Re z < L}, a tedy i v celé komplexní rovině. Nyní ukážeme, že funkce f r (z) konvergují pro r stejnoměrně na každé polorovině R L = {z C Re z < L}, kde L >, k funkci f(z). Z toho již plyne, že f(z) je holomorfní v celém C. Funkce e x 2 x z (jako funkce proměnné x) je omezená na (, ). Navíc pro L > můžeme nalézt konstantu K L tak, že e x 2 x z K L pro všechna x > a z s Re z < L. Pak f(z) f r (z) = = r r e x x z dx e x x z dx = e x x z dx r e x 2 e x 2 x z dx K L e x 2 dx = KL [ 2e x 2 = K L 2e r 2 pro r. r ] r
8 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Platí tedy, že max f(z) f r (z) pro r. z R L (ii) Schéma důkazu je stejné jako v předchozí části. Pro < < definujme pomocnou funkci g (z) = e x x z dx Re z >. Nejdříve ukážeme, že g (z) je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Opět využijeme možnosti aproximovat funkci e x částečnými součty Taylorova rozvoje a budeme definovat funkce ( N ) ( ) n x n u N (z) = x z dx Re z >. Pak (A.5) g (z) u N (z) = n= ( max x, Poslední člen v tomto odhadu je roven e x e x ) N ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n n= [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z. Re z Předpokládejme nyní, že Re z > ε >. Pak můžeme odhadnout Re z ε x Re z dx. a tedy Odtud podle (A.5) x Re z dx ε. ε max g (z) u N (z) max {z C Re z>ε} x, e x N ( ) n x n ε ε n= pro N. Všechny funkce u N jsou holomorfní z podobných důvodů jako v případě (i). Jelikož konvergují stejnoměrně pro N na polorovině {z C Re z > ε} k funkci g (z) pro každé ε >, je g (z) holomorfní v polorovině {z C Re z > }.
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 8 Zbývá ukázat, že funkce g (z) konvergují na každé polorovině {z C Re z > ε}, ε >, stejnoměrně k funkci g(z) pro +. Předpokládejme tedy, že Re z > ε >. Pak g(z) g (z) = e x x z dx e x x z dx e x x z dx x ε dx = ε ε pro +. Vidíme tedy, že max g(z) g (z) pro +. {z Re z>ε} Funkce g je proto holomorfní v každé polorovině {z C Re > ε} a tedy i v polorovině {z C Re z > }. (iii) Funkce Γ(z) je holomorfní v {z C Re z > } neboť Γ(z) = f(z) + g(z), kde f a g jsou funkce holomorfní v {z C Re z > } z bodů (i) a (ii). Nyní se budeme věnovat holomorfnímu rozšíření funkce Γ na větší množinu než je pravá polorovina. Z Poznámky A. vyplývá, že toto rozšíření nebude možno vyjádřit pomocí integrální formule (A.). Ukážeme však, že rozšíření je možno nalézt kombinací nekonečné řady a integrálního vzorce. Nejdříve si tímto způsobem vyjádříme funkci Γ na pravé polorovině. Věta A.2. pro všechna z s Re z >. Γ(z) = n= ( ) n (z + n) + Důkaz. Hlavní myšlenkou důkazu je vyjádřit integrál e x x z dx e x x z dx pomocí součtu nekonečné řady, který získáme z mocninného rozvoje exponenciální funkce. Jak již víme z předchozích důkazů e x x z = ( ) n x n+z, n=
82 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde řada vpravo konverguje (v proměnné x s pevně zvoleným parametrem z) stejnoměrně na intervalu,, kde > >. Řadu tak můžeme integrovat člen po členu a dostaneme (pro Re z > ) (A.6) (A.7) e x x z dx = n= = ( ) n n= n= x n+z dx = ( ) n n + z n= n= ( ) n n + z ( n+z ) = n= ( ) n n+z n + z. Pak pro z s Re z > ε > máme ( ) n n+z z + n n ε ε = ε ε e pro +. Tímto e x x z dx = lim e x x z dx = + ( ) n = (n + z). Věta je dokázána. n= ( ) n n= n + z lim + n= ( ) n n+z n + z = Věta A.2 umožní rozšířit funkci Γ na mnohem větší množinu než na jaké byla původně definována. Integrál e x x z dx existuje pro všechna z C a definuje funkci holomorfní v C. Následující tvrzení říká, že řada je konvergentní všude, kde jsou ( ) n (n + z) n= její členy definovány. Tvrzení A.2. Nechť ε >. Řada n= ( ) n (n + z) konverguje stejnoměrně pro každé ε > v množině K ε = {z C min n=,,... z + n ε}. Funkce ( ) n f(z) = (n + z) n= je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Důkaz. Množina K ε je komplexní rovina s vyříznutými kruhy o poloměru ε se středy v bodech,, 2,.... Pro z K ε je z + n ε pro všechna n =,,.... Můžeme tedy provést odhad ( ) n (n + z) ( ) n. ε
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 83 Tímto jsme nalezli konvergentní číselnou majorantu ( ) n = ε ε e n= a podle Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence je řada ( ) n (n + z) n= stejnoměrně konvergentní na K ε. Protože sčítance této řady jsou holomorfní funkce na K ε je f(z) holomorfní na každé množině K ε, ε >, a tedy i na množině C\{,, 2,...}. Předchozí výsledky umožní definici funkce Γ na množině C \ {,. 2,...}. Definice A.2. Funkce Γ(z) je funkce definovaná na množině C \ {,, 2,...} vztahem (A.8) Γ(z) = n= ( ) n (n + z) + e x x z dx. V následující větě si shrneme základní vlastnosti funkce Γ včetně klasifikace jejích singularit. Věta A.3. Funkce Γ(z) je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Body,, 2,... jsou jednonásobné póly funkce Γ(z) přičemž pro všechna n =,, 2,.... res n Γ(z) = ( )n Důkaz. Označme f (z) = e x x z dx, f 2 (z) = e x x z dx. Podle Věty A. () je f (z) holomorfní v C a podle Tvrzení A.2 je f 2 (z) holomorfní v C \ {,, 2...}. Funkce Γ(z) = f (z) + f 2 (z) je tudíž holomorfní v C \ {,, 2...}. Pro pevně zvolené k N {} můžeme napsat (A.9) Γ(z) = ( )k k!(k + z) + n= n k Řada n= n k ( ) n (n + z) K ε = ( ) n (n + z) + konverguje stejnoměrně na každé množině e x x z dx. { } z C z + n ε pro všechna n (N {}) \ {k},
84 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde ε > (viz Tvrzení A.2). Její součet je tedy funkce holomorfní v C mimo nekladná celá čísla různá od k. Vztah (A.9) můžeme interpretovat jako identitu Γ(z) = ( )k k!(k + z) + w(z), kde w je funkce holomorfní v K. Funkci w(z) je možno v okolí bodu k rozvést v mocninnou řadu, která je regulární částí Laurentova rozvoje funkce Γ v k. Hlavní část má pouze jeden člen: ( ) k k!(k + z). Odtud okamžitě vidíme, že k je jednonásobný pól s reziduem res k Γ(z) = ( )k. k! Funkce Γ(z) má tedy v celých nekladných číslech limitu. Dominantní člen v Laurentově rozvoji v těchto singularitách je. Na obr. A. je znázorněn graf funkce ( ) n (n + z) Γ(z) pro reálné z. A.. Funkce Γ(x), x R. (Rozmyslete si, že pro reálná čísla je Γ(z) vždy reálné!). Podle Věty o jednoznačnosti pro holomorfní funkce (Důsledek 4.4) má funkce Γ původně definovaná pro Re z > jediné holomorfní rozšíření na oblast C \ {,, 2,...}, které je maximální možné. Ve Tvrzení A.2 jsme ukázali, že pro z s Re z > platí Γ(z + ) = zγ(z).
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 85 Vzhledem k tomu, že Γ(z) je funkce holomorfní v oblasti C \ {,, 2,...} je taková i funkce Γ(z + ) zγ(z). Tato funkce je však nulová na pravé polorovině a opět podle jednoznačnosti holomorfních funkcí musí být nulová i v celé oblasti C \ {,, 2,...}. Důležitá faktoriální vlastnost tedy platí i pro rozšíření funkce Γ. Následující věta je východiskem pro definování dalších speciálních funkcí jako jsou například funkce Besselovy. Věta A.4. Γ(z) pro všechna z C \ {,, 2,...}. Funkce { z =,, 2,... H(z) = Γ(z) z C \ {,, 2,...} je holomorfní v C. Nejpodstatnější část této věty je skutečnost, že funkce Γ nemá žádné kořeny. Pak je již zřejmé z předchozích výsledků, že převrácená hodnota této funkce bude mít odstranitelné singularity v nekladných celých číslech, které se po rozšíření na holomorfní funkci v C stanou jednonásobnými kořeny. Následují Stirlingův vzorec umožňuje odhadnout hodnoty funkce Γ pro kladná čísla. Věta A.5. Pro libovolné reálné číslo s > je kde číslo ω s leží v intervalu,. Γ(s + ) = ( ) π 2s s s e s ω s +, 2s Důkaz. Důkaz je založen na provedení substituce v integrálu definujícím funkci Γ, která převede tento integrál do tvaru, ze kterého je možno odvodit příslušný odhad. Vyšetřujme nejdříve funkci f(x) = x s e x, x >. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, s) a klesající v intervalu (s, ). Limita v nule i v nekonečnu je nulová. V čísle s nabývá f(x) svého maxima f(s) = s s e s. Dále budeme pracovat s funkcí g(t) = s s e s e t2, t R. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, ) a klesající v intervalu (, ), přičemž g() = s s e s a limita funkce g v nekonečnech je nulová. Porovnáme-li funkce f a g vidíme, že pro libovolné t (, ) je g(t) (, s s e s ), a proto existuje jediné x (, s) tak, že f(x) = g(t). Podobně ke každému t (, ) existuje jediné x (s, ) tak, že f(x) = g(t). Odtud vyplývá, že rovnicí (A.) x s e x = s s e s e t2 je definována jediná funkce x = ϕ(t), že pro t (, ) je ϕ(t) (, s) a pro t (, ) je ϕ(t) (s, ). Do integrálu x s e x dx, kterým je definována hodnota Γ(s+), zavedeme substituci x = ϕ(t). K tomu potřebujeme derivaci této funkce. Podle věty o implicitních funkcí je možno ukázat, že ϕ(t) je diferencovatelná, přičemž dϕ(t) dt = 2tx x s.
86 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Derivaci ovšem nemůžeme spočítat neboť k tomu potřebujeme funkci ϕ. Postačí však odhad této derivace. Z (A.) máme ( x ) (A.) t 2 = x s s ln. s Odhadneme logaritmus vpravo. Pišme x = s + z. Podle Taylorovy věty, ve které napíšeme zbytek po druhém členu, je ( x ) ( ln = ln + z ) = z s s s ( z s )2 z 2( + θ, s s )2 kde < θ s <. Odtud a z (A.) ( ) t 2 z = z s s z 2 2s ( ) 2 z 2 = + θ s Odtud postupně dostaneme a Pak Γ(s + ) = = ϕ (t) = x s e x dx = s s z + θ s = s t 2 sz 2 2(s + θ s z) 2. 2tx ( s ) ( ) s x s = 2t z + = 2 2 + ( θ s)t. s x s e x dx + ( ) s s s e s e t2 2 2 + ( θ s)t = 2s s e s s 2 e t2 s dt + 2s s e s x s e x dx = dt + ( ) s s s e s e t2 2 2 + ( θ s)t e t2 ( θ s )t dt. První integrál umíme spočítat neboť e t2 dt = π. Druhý integrál odhadneme. Položme ω s = e t2 ( θ s )t dt. Protože < θ s < je dt ω s e t2 t dt + e t2 t dt = 2 e t2 t dt =. Odtud již okamžitě vyplývá Stirlingova formule. Při různých kombinatorických úlohách se počítají faktoriály přirozených čísel. Jejich hodnotu lze odhadnout pomocí Stirlingova vzorce následovně:
2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 87 Důsledek A.2. Pro všechna n N platí kde ω n,. Odtud například plyne, že Někdy se také píše = ( ) π 2n n n e n ω n +, 2n lim n n n e n 2πn =. n n e n 2πn. Například pro n = nám Stirlingův vzorec řekne, že hodnota! je v intervalu s koncovým body 2 e π ± e.
88 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z)
Literatura [] J. Hamhalter, J. Tišer Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 999 [2] J. Hamhalter, J. Tišer Integrální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 2 89
Rejstřík absolutní hodnota, 9 absolutní konvergence, 69 argument,, 8 bodová konvergence, 67 Cauchyův integrální vzorec, 55 částečný součet, 67 číslo komplexně sdružené, 9 komplexní, 8 exponenciální tvar, 33 goniometrický tvar, imaginární část, 9 kartézský tvar, 8 reálná část, 9 derivace, 27 funkce exponenciální, 33 goniometrická, 34 harmonická, 32 komplexní, 25 logaritmická, 35 spojitá, 26 Gaussova rovina, 9 hlavní hodnota logaritmu, 35 hlavní větev logaritmu, 35 hranice, 2 hraniční bod, 2 imaginární jednotka, 8 index bodu, 52 izolovaný singulární bod, 23 jednoznačnost holomorfní funkce, 87 konvergence absolutní, 69 bodová, 67 kruh, 72 poloměr, 72 stejnoměrná, 68 kořen násobnost, 26 kruh konvergence, 72 křivka, 45 jednoduchá, 45 orientovaná, 46 uzavřená, 45 křivkový integrál, 46 Laplaceova rovnice, 32 Laurentova řada střed v, 8 limes superior, 7 limita funkce, 26 posloupnosti, 5 množina konvexní, 23 otevřená, 2 souvislá, 3 uzavřená, 2 mocninná řada, 67, modul, 9 oblast, 3 hvězdicovitá, 2 jednoduše souvislá, 7 oblouk, 45 okolí bodu, 2 prstencové, 2 9
REJSTŘÍK 9 nekonečna, 5 parametrizace křivky, 45 poloměr konvergence podílový tvar, 76 odmocninový tvar, 72 reziduum, 32 Riemannova sféra, 4 řada částečný součet, 67 Laurentova, funkce, 7 hlavní část, regulární část, mocninná, 67 singularita odstranitelná, 23 pól, 23 stejnoměrná konvergence, 49, 68 stereografická projekce, 5 struktura metrická, topologická, stuktura algebraická, totální diferenciál, 28 věta Liouvilleova, 57 vlastnost průměru, 96 vnějšek křivky, 46 vnitřek křivky, 46 vzorec Stirlingův, 86 Weierstrassovo kritérium, 7 zobecněný Cauchyův integrální vzorec, 86