MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky, t je arametr bodu X, A je bod, kterým římka rochází s = B A Pokud je římka určená dvěma různými body A, B, latí Parametrické vyjádření úsečky AB: X = A + t ( B A), t 0;1 Parametrické vyjádření římky, která rochází bodem [ a ;a 1 2] s = s ; s její směrový vektor je ( ) 1 2 : x = a1 + ts1 y = a + t, t R 2 s 2, v souřadnicích: A a
Příklad: Jsou dány dva body A[ 3;2 ], B[ 4; 2] arametrické rovnice římky body C[ 10;6 ], D[ 5; 1] 2 Obecná rovnice římky v rovině Naište = AB Zjistěte, zda na římce leží je rovnice tyu ax + by + c = 0, kde asoň jedno z čísel a, b je různé od nuly Vektor n = ( a, b) n s, s = ( b, a) ( ) nazýváme normálový vektor římky, 3 Směrnicový tvar rovnice římky v rovině : y = k x + q kde k je směrnice římky Pro směrnici římky určené dvěma A a a B b b latí body [ ; ], [ ; ] 1 2 1 2 k b = b a a 2 2 1 1 Směrnice římky je hodnota funkce tangens úhlu, který svírá daná římky s kladným směrem osy x 1 Jsou dány body [ 2; 3 ], B[ 1;1 ] A Určete a) Parametrické vyjádření římky AB b) Obecnou rovnici římky AB c) Rovnici římky AB ve směrnicovém tvaru 2 Určete směrnici římky, která rochází body [ 8;1 ], B[ 6;5] A
3 Určete druhou souřadnici bodu D[ 0; ] na římce AB, kde A[ 4;1 ], B [ 2;2] y tak, aby tento bod ležel 4 Naište arametrické vyjádření úsečky AB, je-li dáno [ 3;7 ], [ 4; 1] A B Přímka v rostoru Parametrické vyjádření římky v rostoru Přímka určená bodem [ a1 ; a2; a3] s = s ; s ; s rovnice): ( ) 1 2 3 : X = A + t s, t R A a směrovým vektorem má arametrické vyjádření (arametrické s je směrový vektor římky, t je arametr bodu X, ( s = B A, okud je římka určená dvěma různými body A, B) Rozis arametrického vyjádření římky v rostoru do souřadnic tvoří soustava tří rovnic ro x, y, z Obecná rovnice římky v rostoru neexistuje 5 Naište arametrické vyjádření římky AB zjistěte, zda na ní leží A 1;2; 3, B 3;0;2, C 11;8;25, D 5;8; 18 body C,D: [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Najděte arametrické vyjádření těžnice trojúhelníka ABC, která A1;0;5;, B 3;4; 3, C 0;6;5 rochází bodem C Je dáno [ ] [ ] [ ]
Rovina v rostoru Parametrické vyjádření roviny v rostoru Rovina určená bodem [ a1, a2a3 ] u = u, u u, v = v, v, v A a lineárně nezávislými směrovými vektory ( ) ( ) vyjádření 1 2, 3 1 2 3 má arametrické X = A + ru + sv, r, s R V říadě, že je rovina určena třemi různými body A, B, C, které neleží na jedné římce, latí u = B A, v = C A Obecná rovnice roviny ( ) ρ : ax + by + cz + d = 0, kde a; b; c = o Vektor n ( a, b, c) ρ = Platí: n = ρ u v je normálový vektor roviny ρ, kde u, v jsou směrové vektory roviny ρ
7 Naište arametrické rovnice i obecnou rovnici roviny σ = KLM, kde K [ 0 ;1;2 ], L[ 1; 2;0 ], M = [ 2;1;0 ] 8 Naište obecnou rovnici roviny, která rochází body A [ 2;4;7 ], B[ 1;6;0 ] a je rovnoběžná s římkou CD, C = [ 3;1;5 ], D[ 1;0;4 ] Vzájemná oloha římek a rovin: 9 Rozhodněte o vzájemné oloze římek, q: a) : x = 1- t, y = 2 + t, z = t, q: x = 1 + 2s, y = -1 s, z = 3 3s, b) : x = 1- t, y = 2 + t, z = 3t, q: x = 1 + 2s, y = -1 s, z = 3 3s c) : x = 3 + 2 t, y = 4 t, z = 2 3t, q : x = 2 s, y = 1+ 2 s, z = 4 10 Určete vzájemnou olohu dvou římek, q v rovině: a) : 3x 6y + 4 = 0, q: x 2y + 3 = 0, b) : x =6 + 5t, y =3 9t, q : x = 1+ 2 s, y = 3 3s c) : 2x y + 4 = 0, q: x = 3 + t, y = 1 t 11 Je dána rovina ρ : 2x + 3y z 6 = 0 a římka : x = 1 t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t Určete vzájemnou olohu římky a roviny ρ Naište arametrické vyjádření římky q, která je ravoúhlým růmětem římky do roviny ρ
12 Určete vzájemnou olohu dvou rovin α, β : α : 2x 5y + 4z 10 = 0, β : 4x 10 y + 8z 10 = 0 α : 2x 5 y + 4z 10 = 0, β : x y z 2 = 0 α : 2x 5 y + 4z = 0, β : 4x 10 y 2z 10 = 0 13 Je dána římka : x = 1 t, y = 1 + t, z = 3 + 2t, římka q: x = 1 2s, y = s, z = 3 + 3s a rovina σ : x + 2y z + 2 = 0 Ověřte, že římky jsou mimoběžné Naište arametrické vyjádření říčky mimoběžek, q, která leží v dané rovině 14 Je dána rovina ρ : 2x + 3y z 6 = 0 a římka : x = 1 t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t Určete vzájemnou olohu římky a roviny ρ Naište arametrické vyjádření římky q, která je ravoúhlým růmětem římky do roviny ρ 15 Vyočítejte vzdálenost bodu [ 6; 6;5] 1 6t, y = 4 6t A od římky : x = 4, y =