M - Příprava na. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r = r r =.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah:.4.007 0:3:7 z 64
3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x ± Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,9.4.007 0:3:7 35 z 64
. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 360 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, 366 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,74 364 5. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 367 6. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,87 365 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 354 8. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,46 36 9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 36 0. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 358. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 359. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 368 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.,83 357.4.007 0:3:7 3 z 64
4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 353 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 355 6. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 370 7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 363 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 356 9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 369 0. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35 ± Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. 4 4 Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit..4.007 0:3:7 4 z 64
± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady. 609 9,8 cm. 530 0,35 m 3. 507 5 cm 4. 59 5. 579 BC = 0 cm, obsah je 54 cm 6. 53 0,4 m 7. 53.4.007 0:3:7 80 Kč 5 z 64
8. 588 3,9 cm 9. 66 46 cm 0. 548 5,7 m. 6. 64 795, m 3. 594 75 4. 59.4.007 0:3:7 56,5 cm 6 z 64
5. 589 0 6. 58 88 cm 7. 58 6 8. 545 3,4 cm 9. 55 v = 4,33 cm.4.007 0:3:7 7 z 64
0. 574 řešení:. 546 94. 583.4.007 0:3:7,, 8 z 64
3. 567 44 m 4. 533 34,9 % 5. 535 6. 6 5 mm 7. 57 8. 68.4.007 0:3:7 5 cm 9 z 64
9. 585 4 krát 30. 580 Oba obsahy jsou shodné 3. 560 5 cm 3. 537 Není zavlažováno 6,8 m, třetí strana pole je 33,94 m. 33. 65 55, resp. 05 34. 543 4,8 cm 35. 550 řešení: 0,5 cm;,5 cm 36. 607.4.007 0:3:7 Poloměr kružnice opsané: 4,6 cm Poloměr kružnice vepsané:,3 cm 60,5 % 0 z 64
37. 608 9 cm 38. 55 39. 564 4/5 40. 547 4 00 krát 4. 64.4.007 0:3:7 04 cm z 64
4. 596 3350 m 43. 55 44. 60 o = 4 cm; S = 4,6 cm 45. 57, 46. 593.4.007 0:3:7 700 m ; 60 m z 64
47. 56 48. 63 49. 544,, 50. 598 5 5. 600 4 cm 5. 50 7,5 ha 53. 566 Nemohou 54. 584.4.007 0:3:7 0 3 z 64
55. 50 0 56. 60 57. 63 58. 554 57,74 cm 59. 56 60. 68.4.007 0:3:7 6 trojúhelníků 4 z 64
6. 576 Zmenšení obsahu o 0 % Zmenšení obvodu o, % 6. 6 40 m 63. 595 b) 64. 58 65. 570 40, m 66. 60 480 cm 6 cm.4.007 0:3:7 5 z 64
67. 590 58 68. 604 69. 534 dlaždic 70. 60 7,3 cm 7. 538 Ne 7. 58 53,7 cm 73. 540.4.007 0:3:7 6,075 cm 6 z 64
74. 569 977 m 75. 55 400 cm 76. 56 7 obdélníků 77. 555 3 00 m 78. 5 AF = 5 cm, BC = cm 79. 568.4.007 0:3:7 5 cm 7 z 64
80. 6 3,5 cm 8. 67 4 cm 8. 59 50 cm 83. 556.4.007 0:3:7 v = 6,06 cm ABD 8 z 64
84. 66 85. 597 75 86. 575 / 87. 606 65, % 88. 59 89. 586.4.007 0:3:7 54 cm 9 z 64
90. 54 90 9. 54 40 m 9. 509 a = 0, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = 0 93. 56,, 94. 67.4.007 0:3:7 49 cm 0 z 64
95. 563 96. 549 97. 539 4,3 cm 98. 587 77,8 % 99. 565 Čtverec má větší obsah než obdélník. 00. 553 60 cm 0. 559 0. 54 03. 578.4.007 0:3:7 z 64
04. 54 05. 508 0,8 m 06. 53 07. 5 30 m 08. 57.4.007 0:3:7 6,6 dm z 64
09. 558 0. 536 30 cm. 65 93 m. 599 3. 5 70 4. 577 Tupoúhlý 5. 557.4.007 0:3:7 ABD 3 z 64
6. 5 50 7. 53 0,08 m, 800 cm 8. 603 0 cm 9. 605 ± Shodná zobrazení Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné. Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B.4.007 0:3:7 4 z 64
III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B IV. Středová souměrnost Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R[S;+30 ]: Útvar A ---> Útvar B Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace. ± Shodná zobrazení - procvičovací příklady. 68. 69.4.007 0:3:7 5 z 64
3. 698 4. 69 5. 683 6. 68 7. 693 8. 689.4.007 0:3:7 6 z 64
9. 684 0. 699. 696. 697 3. 690 4. 695.4.007 0:3:7 7 z 64
5. 688 6. 694 7. 686 8. 685 9. 687 ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček..4.007 0:3:7 8 z 64
Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra:.4.007 0:3:7 9 z 64
Oblouková míra: p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: 80 5.......4.007 0:3:7 p rad x rad 30 z 64
------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 80... p rad x... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = 80. 4 = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou x= p.a o rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Převody obloukové a stupňové míry - procvičovací příklady. 54 40. 45 3. 49.4.007 0:3:7 3 3 z 64
4. 3 5. 5 9,97 6. 50 70 7. 5 70,0 8. 39 9. 4 0. 38. 40. 44 36 3. 47 0 4. 3 5. 35 6. 34.4.007 0:3:7 3 z 64
7. 37 8. 46 5 9. 53 7 0. 33. 43 80. 36 3. 48 95 4. 4 ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník..4.007 0:3:7 33 z 64
± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená:.4.007 0:3:7 34 z 64
Funkce zdola omezená:.4.007 0:3:7 35 z 64
Funkce periodická:.4.007 0:3:7 36 z 64
Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a.4.007 0:3:7 37 z 64
± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá:.4.007 0:3:7 38 z 64
Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:.4.007 0:3:7 39 z 64
Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí:.4.007 0:3:7 40 z 64
± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny..4.007 0:3:7 4 z 64
Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:.4.007 0:3:7 4 z 64
Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = 5 cm a =? [ ] b =? [ ] ---------------------------- a c 5 sin a = 8 sin a =.4.007 0:3:7 43 z 64
sin a = 0,65 a = 38 4 a c 5 cos b = 8 cos b = cos b = 0,65 b = 5 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38 4 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 5 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = 5 cm, úhel QOP = 35 0. Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = 5 cm úhel QOP = 35 0 PQ = o =? [cm] ----------------------------- tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ = 5. tg 35 0 = 5. 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) PQ = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů a =? [ ] ------------------------------ tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,0556 a = 3.4.007 0:3:7 44 z 64
Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3. ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30. Vypočti povrch válce. 473 9083 cm. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou 3, s kratší stranou 58. 469 3. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. 43,3 m 470 4. Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a = 4. Vypočti výšku kvádru v. 463.4.007 0:3:7 6,5 dm 45 z 64
5. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu. 47 56,7 cm 6. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a 34. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a = 3,9 cm, b = 5,7 cm 467 7. Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? 480 36, 8. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63 0, a = 6,7 m b = 3,39 m, c = 7,5 m, b = 6 50, g = 90 466 9. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0,4 m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost 56 49 a úhel při vrcholu F má velikost 33 468 0. V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = 4 cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. 54 cm 475.4.007 0:3:7 46 z 64
. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 4 cm, c = 30 cm. b = 8 cm, a = 53 08, b = 36 5, g = 90 464. V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = 50 0. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. 4,3 cm 474 3. Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury. 48 4. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 5. 40,8 cm 3,4 m Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48 30, c = 3, m a =,40 m, b =, m, b = 4 30, g = 90.4.007 0:3:7 46 465 47 z 64
6. Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; 3 cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT. 7..4.007 0:3:7 478 m Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy. 476 5,7 cm Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? 8. 477 040 ks 48 z 64
9. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 4 (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky? 479,8 cm 0. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0,83 46. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm 460 Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö5 a AC = 4 cm., cm 47. ± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90..4.007 0:3:7 49 z 64
Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90 + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90 + a) = cos a cos (90 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90 + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců: sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a tg (90 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 -a):.4.007 0:3:7 50 z 64
Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (80 - a) = sin a cos (80 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 - a) = - cos a sin (80 - a ) sin a = = - tg a cos(80 - a ) - cos a cos(80 - a ) - cos a cotg (80 - a ) = = = -cotg a sin (80 - a ) sin a tg (80 - a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (80 + a) = - sin a cos (80 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 + a) = - cos a sin (80 + a ) - sin a = = tg a cos(80 + a ) - cos a cos(80 + a ) - cos a cotg (80 + a ) = = = cotg a sin (80 + a ) - sin a tg (80 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (70 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 - a) = - cos a cos (70 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (70 - a) = - sin a sin (70 - a ) - cos a = = cotg a cos(70 - a ) - sin a cos (70 - a ) - sin a cotg (70 - a ) = = = tg a sin (70 - a ) - cos a tg (70 - a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické..4.007 0:3:7 5 z 64
sin (70 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 + a) = - cos a cos (70 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (70 + a) = sin a sin (70 + a ) - cos a = = -cotg a cos(70 + a ) sin a cos(70 + a ) sin a cotg (70 + a ) = = = - tg a sin (70 + a ) - cos a tg (70 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360 - a) = - sin a cos (360 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360 - a) = cos a sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a tg (360 - a ) = Ukázkové příklady: Příklad : Vypočtěte: sin 330 - cos 0 + tg 50-0,5 tg 45 Řešení: sin (360-30 ) - cos (80 + 30 ) + tg (80-30 ) - 0,5. = = - sin 30 - (- cos 30 ) + (- tg 30 ) - 0,5 = 3 3-3+3 3-3 -3 =- + - = = 3 6 = -3+ 3-3 3 = - + 6 6 Příklad : Vypočtěte: sin 660 - cos 585 + 0,5. tg 780 + tg 495.4.007 0:3:7 5 z 64
Řešení: Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 80. sin 660 - cos 585 + 0,5. tg 780 + tg 495 = sin 300 - cos 5 + 0,5. tg 60 + tg 35 = = sin (360-60 ) - cos (80 + 45 ) + 0,5. tg 60 + tg (90 + 45 ) = = - sin 60 - (- cos 45 ) + 0,5. tg 60 + (- cotg 45 ) = 3 + +. 3 - = - 3+ + 3- = = =- = - ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady. 7-0,707. 733,73 3. 7 4. 78 0,866 5. 735-0,577 6. 730-7. 78.4.007 0:3:7-0,577 53 z 64
8. 743-9. 77-0,5 0. 76 0,707. 77,73. 739 -,55 3. 74 0 4. 75 0 5. 75 0 6. 740 0 7. 73 0,577 8. 76 0,577 9. 737-0. 79 -,73. 74.4.007 0:3:7 0,5 54 z 64
. 73 0,5 3. 70-0,866 4. 73-5. 74 0,34 6. 734 -,73 7. 74 0 8. 73-0,707 9. 744 4 30. 7-0,707 3. 79 3. 738,55 33. 736 - ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později..4.007 0:3:7 55 z 64
Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat: sin x cos x cos x cotg x = sin x tgx = sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x sin x + cos x = tg x. cotg x = sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y sin (x - y) = sin x. cos y - cos x. sin y cos (x + y) = cos x. cos y - sin x. sin y cos (x - y) = cos x. cos y + sin x. sin y tgx + tgy - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = + tgx.tgy tg ( x + y ) = sin x = sin x. cos x cos x = cos x - sin x tg x = tgx - tg x sin x - cos x = cos x + cos x = tg x - cos x = + cos x x+ y x- y cos x+ y x- y sin x - sin y = cos sin x+ y x- y cos x + cos y = cos cos x+ y x- y cos x - cos y = - sin sin sin x + sin y = sin Příklad :.4.007 0:3:7 56 z 64
Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6:.4.007 0:3:7 57 z 64
Řešení: Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Řešení: Příklad 9: Řešení:.4.007 0:3:7 58 z 64
Příklad 0: Řešení: ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady.4.007 0:3:7 59 z 64
. 768. 767 3. 764 4. 76 5. 757 6. 76 7. 770.4.007 0:3:7 60 z 64
8. 77 9. 779 0. 765. 759. 756 3. 760.4.007 0:3:7 6 z 64
4. 773 5. 766 6. 774 7. 780 8. 778 9. 758.4.007 0:3:7 6 z 64
0. 775. 77. 776 3. 755 4. 763 5. 769.4.007 0:3:7 0 63 z 64
6. 777.4.007 0:3:7 64 z 64
Obsah Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná - procvičovací příklady Čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Shodná zobrazení Shodná zobrazení - procvičovací příklady Orientovaný úhel Převody obloukové a stupňové míry - procvičovací příklady Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady.4.007 0:3:7 4 4 5 4 5 8 3 33 34 38 39 4 4 45 49 49 53 55 59