Úvod do nelineární pružnosti

Úvod do nelineární pružnosti Lukáš Horný lukas.horny@fs.cvut.cz Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, ČVUT FS Verze 05.05.09

Proč nelineární pružnost? Zdroje nelinearit Velké posuvy Velká natočení Velké deformace Nelineární materiál

Proč nelineární pružnost? Zdroje nelinearit Velké posuvy Velká natočení Velké deformace Nelineární materiál

Proč nelineární pružnost? Zdroje nelinearit Velké posuvy Velká natočení Velké deformace Nelineární materiál

Proč nelineární pružnost? Tepenná stěna

Proč nelineární pružnost? Tepenná stěna

Proč nelineární pružnost? Tepenná stěna

Proč nelineární pružnost? Zadní zkřížený vaz

Proč nelineární pružnost?

Tělesa Mějme dvě tělesa a představme si je v matematických prostorech, které známe R 3 myslíme na prostor, kde každý bod má tři reálné souřadnice kde umíme měřit vzdálenosti kde každý bod umíme zaměřit vektorem jdoucím z počátku soustavy souřadnic

Vektorová algebra a analytická geometrie 0 = 0 X 3 3 E X X X X = 3 0 = 0 x 3 3 e x x = x x 3 Vzpomeňme si na Báze Operace (součiny, součty, ) Souřadnice Transformace E 0 = 0 X x e 0 = 0 X E = 0 0 x = 0 0 e

Vektorová algebra a analytická geometrie složky vektoru v dané bázi 0 0 u u= ue+ ue+ u3e3= u 0 + u + u3 0 = u 0 0 u 3 standardní báze v R 3 ortonormální, kartézská 0 0 e = 0 e = e3 = 0 0 0

Vektorová algebra a analytická geometrie Mějme vektory u a v a w z vektorového prostoru V nad R u u = u u 3 v v = v v 3 a t Ve V platí: u + v u+ v = w = u + v u + v 3 3 t u t u = t u t u 3 u v u 0 t u+ v = w tu

Vektorová algebra a analytická geometrie norma vektoru je číslo vyjadřující jeho délku T [ ] [ ] u = u = u u = u u skalární součin vektorů je číslo x 3 v 3 uv = uv i i uv i i u u u 3 v = = u v = = uv + uv+ uv 3 3= uvcos i= v 3 x x u T [ ] [ ] [ ] ( α ) vzdálenost vektorů (jimi zaměřených bodů) je číslo ( u, v) u v ( u v) ( u v) ρ = = v α v cos ( α ) u cos ( α ) x 3 = uv uv u v x x u v

Vektorová algebra a analytická geometrie vektorový součin je vektor e e e3 uv 3 uv 3 = u u u3= uv 3 uv 3 = v v v 3 uv uv u v w w= uvsin( α ) x 3 w smíšený součin je číslo vyjadřující objem rovnoběžnostěnu daného vektory u, v, w x 3 x x u w = 0 v w = 0 V = ( u v) w = u ( v w) = v ( w u) x x

Vektorová algebra a analytická geometrie Lineární transformace A prostoru V A: V V ( u+ v) = ( u) + ( v) ( tu) = ta( u) A A A A Aditivita Homogenita Lineární transformaci A prostoru V reprezentujeme maticí A ( ) ( tu) = A u+ v = Au+ Av A tau A u= A u w a a a3 u au + au + a3u3 w = a a a u = a u + a u + a u = w 3 3 3 a3 a3 a 33 u 3 a3u a3u a33u 3 w + + 3

Vektorová algebra a analytická geometrie Lineární transformace A prostoru V A: V V A 0 = 0 0 0 0 u X = X = X X 3 X 3 w 0 X X+ X = Au= 0 0 X = X 0 0 X 3 X 3 X X

Vektorová algebra a analytická geometrie Násobení matic B a A interpretujeme jako skládání zobrazení Vzniká nové zobrazení C = BA Celou událost čteme jako B po A C = B A AB = C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C u = B A u = B A u = B w = z ( ) ( ) ( ) A u= w B w = z ( ) ( ) C u = A B u = A B u = A w = z B u= w A w = z

Vektorová algebra a analytická geometrie C= BA Cij = Bik Akj = Bik Akj 3 k = C = B A + B A + B A = B A 3 3 k k k = 3 C C C3 B B B3 A A A3 C C C = B B B A A A 3 3 3 C3 C3 C 33 B3 B3 B 33 A3 A3 A 33 C = B A + B A + B A = B A 3 3 3 3 33 k k3 k = C = B A + B A + B A = B A 33 3 3 3 3 33 33 3k k3 k = 3 3

Vektorová algebra a analytická geometrie 0 = 0 ( ) 3 E 0 e E, E E = = 0 + + E 0E 0E, 3 3 3 X 3 x 3 X x X = X = x = x X x 3 3 x X ( ) 3 e E, E, E = = sin30 E + cos30 E + 0E = / = 3 / 0 3 Dvě báze v jednom prostoru: Natočit soustavu souřadnic znamená přejít od vektorové báze E i k e i ( ) ( ) (,, ) e E, E, E = cos30 E + sin30 E + 0E 3 3 e E, E, E = sin30 E + cos30 E + 0E 3 3 e E E E = 0 E + 0E + E 3 3 3 E 0 = 0 E = 0 0 X x 3 / e( E, E, E3) = cos30 E+ sin 30 E + 0E3 = / 0

Vektorová algebra a analytická geometrie ( ) ( ) (,, ) e E, E, E = cos30 E + sin30 E + 0E 3 3 e E, E, E = sin30 E + cos30 E + 0E 3 3 e E E E = 0 E + 0E + E 3 3 3 Dvě báze v jednom prostoru: Natočit soustavu souřadnic znamená přejít od vektorové báze E i k e i cos30 sin30 0 e Mat = sin30 cos30 0 0 0 E ( ) e e T ei E, E, E3 = MatE E i ( Mat ) = e E ( MatE) X e = MatE x x = e ( Mat ) T E X x cos30 sin30 0 X x = sin30 cos30 0 X x 3 0 0 X 3

Vektorová algebra a analytická geometrie Připomeňme si některé, v mechanice běžné, vektorové veličiny Polohový vektor Rychlost a zrychlení Síla Hybnost x v F p dx = a = dt d = p dt = mv dv dt p v F 0 = 0 x 3 3 e a a t a n x x = x x 3 Moment síly vzhledem k počátku Moment hybnosti vzhledem k počátku M = x F L= x p x x = 0 0 e e 0 = 0

Kinematika deformace a její míry

Deformace Silové působení

Deformace = Zobrazení E E D C B A C B D A

Deformace = Zobrazení 0 = 0 X 3 3 E 0 = 0 3 e x 3 E E 0 = 0 X E D C B A X E = 0 0 D C B x e 0 = 0 A x e = 0 0

Zobrazení f : X x 0 = 0 3 x 3 e 0 = 0 3 E f : X x P x x = x x 3 X 3 X X = X X 3 X P E X = 0 0 E 0 = 0 x x = 0 0 e e 0 = 0 x f( X, X, X3) x = f( X, X, X3) = x 3 f3( X, X, X3) (,, ) (,, ) (,, ) = f X X X e + f X X X e + f X X X e 3 3 3 3 3

Zobrazení f : x X Po zobrazení f : X x požadujeme, aby bylo bijektivní (vzájemně jednoznačné) a spojité Požadujeme též existenci spojitého f

Materiálový vs. prostorový popis Materiálový popis znamená, že pracujeme s f : X x to je typické pro mechaniku poddajných těles (náčrtek stavu před deformací a po ní) Prostorový popis znamená, že pracujeme s f : x To je typické pro mechaniku kapalin (kontrolní objem) X

Zobrazení f : X x X 3 x 3 0 = 0 x x = x x 3 E 0 = 0 3 e 3 P X x P X X X X = 3 x 05. X x = 05. X = 05. X e + 05. X e + X e x X 3 3 3 3 E 0 = 0 e 0 = 0 = 0 0 E = 0 0 e X x

Zobrazení f : X x X, x 3 3 e 3 E 3 E e E e k X, x x X+ kx x = X = ( X + kx ) e + X e + X e x X 3 3 3 3 X, x

Zjišťování lokálních vlastností zobrazení Derivace f : x f ( x) f ( x ) = 0 lim ( + ) ( ) f x0 h f x0 h 0 h f ( x 0 ) > 0 f ( x 0 ) = 0 f ( x 0 ) = 0

Zjišťování lokálních vlastností zobrazení Směrová derivace a gradient f : 3 x f ( x) ( x + v) ( x ) f 0 h f 0 v f ( x0) = lim = f ( x0) v h 0 h ( x + ( 00,, )) ( x ) ( x ) f h f f ( 00,, ) f ( x0 ) = lim = h 0 h x ( ) ( x ) ( x ) 0 0 0 f 0 x f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f x = = e + e + e 0 0 0 0 0 3 x x x x3 f x 3 0 Směrová derivace Parciální derivace Gradient skalární funkce

Zjišťování lokálních vlastností zobrazení Gradient f : 3 3 x = f ( X) ( x ) (,, ) (,, ) (,, ) x f X X X 3 x = f X X X3 x f X X X 3 3 3 ( x ) ( x ) ( x ) f f f x x x f f f 0 0 0 3 ( x ) ( x ) ( x ) 0 0 0 f 0 = x x x3 f f f x x x ( x ) ( x ) ( x ) 3 0 3 0 3 0 3

Zjišťování lokálních vlastností zobrazení Gradient (,, ) ( ) (,, ) x f X X X3 x = f X, X, X = f ( X, X, X ) e + f ( X, X, X ) e + f ( X, X, X ) e x f X X X 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) f f f x x x f f f 0 0 0 3 ( x ) ( x ) ( x ) 0 0 0 f 0 = = x x x 3 f f f x x x ( x ) ( x ) ( x ) 3 0 3 0 3 0 3 e e e 3 e e e 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) f f f f f f f f f e e + e e + e e + e e + e e + e e + e e + e e + e e 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 0 3 3 3 3 3 3 x x x3 x x x3 x x x3

Zjišťování lokálních vlastností zobrazení Podstatou stále zůstává derivování měření velikosti změny f(x) vzhledem ke změně x df ( x) dx Gradient i (,, ) f X X X 3 x j i, j = 3,,

Deformace Takže odpověď na otázku, co se děje s tělesem při deformování, budeme opět hledat pomocí derivací Pomocí tzv. deformačního gradientu

Deformace X 3 X + dx Q X dx P f : X X x x 3 x+ dx Q dx P x P Referenční konfigurace: bod P zaměřen X Bod v elementárním okolí Q zaměřen X + dx Deformovaná konfigurace: bod P zaměřen x Bod v elementárním okolí Q zaměřen x + dx x x X

Deformační gradient F Infinitesimální změna ( diferenciál ) zobrazení f df : dx dx F d = x dx F = Grad ( x( X) ) F = X x

Deformační gradient F F = = (,, ) (,, ) (,, ) x x x x X X X x X X X x X X X X X X X 3 X X 3 x x x x X X X x X X X x X X X X X X3 X X X3 x x x x X X X x X X X x X X X X X X 3 X X X 3 3 3 3 (,, ) (,, ) (,, ) 3 3 3 (,, ) (,, ) (,, ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Deformační gradient F dx = F dx x x x X X X3 dx dx x x x dx = dx X X X 3 dx 3 dx 3 x3 x3 x 3 X X X 3

Deformační gradient F F představuje lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory (prostor referenčních a deformovaných elementárních vektorů) F:dX dx { } dx e + dx e + dx e = F dx E + dx E + dx E 3 3 3 3 Takovou veličinu nazýváme tenzor F je konkrétně tenzor druhého řádu (tzv. smíšený, též dvoubodový)

Deformační gradient F xe xe xe xe xe xe dxe+ dx E + dx 3E3 X X X3 3 X X dx E E E E E e dxe X 3E3 xe xe xe xe xe xe dxe = dx = X X X E dxe+ dx E + dx 3E3= 3 3 dx E E E 3 3 dx XE XE X3E3 e 3 3 x3 3 x3 3 x E e e 3e 3 x 3e3 x3e3 x3e 3 X X X dx + dx + dx 3 3 E E 3E E E E 3 X X X E E 3E3

Deformační gradient F xe xe xe xe xe xe dxe+ dx E + dx 3E3 dx+ dx + dx 3 XE XE X3E3 X X X3 xe xe xe xe xe xe = dxe+ dx E + dx 3E3= dx+ dx + dx 3= XE XE X3E3 X X X3 x3e3 x3e3 x 3e 3 x dx + dx + dx 3e3 x3e3 x3e 3 E E 3E 3 X X X dx dx dx 3 E E 3E + + 3 X X X 3 x x x dx+ dx + dx 3 X X X3 x x x x x x x x x x3 x3 x 3 = dx+ dx + dx 3= dx+ dx + dx 3e + dx+ dx + dx 3e + dx+ dx + dx 3e3 X X X3 X X X3 X X X3 X X X 3 x3 x3 x 3 dx + dx + dx 3 X X X 3

Deformační gradient F F xe xe xe x x x ee ee ee3 XE XE X3E3 X X X3 xe xe xe x x x = = ee ee ee3 = XE XE X3E3 X X X3 x3e3 x3e3 x 3e 3 x3 x3 x 3 3 3 X X X e E e E e 3 3 E E 3E E 3 X X X 3 x x x x x = ( e E ) + ( e E ) + ( e E ) + ( e E ) + ( e E ) + X X X X X x 3 3 x x x 3 3 3 ( e E ) ( e E ) ( e E ) ( e E ) + 3 + 3 + 3 + 3 3 X3 X X X3

Deformační gradient F F ik x = X i K ( e E ) ( e E ) 3 ( e E3 ) ( e E ) ( e E ) ( e E ) ( e E ) ( e E ) ( e E ) F = F + F + F + F + F + + F + F + F + F 3 3 3 3 3 3 33 3 3

Tenzory druhého řádu Lineární zobrazení (transformace) mezi dvěma vektorovými prostory Tenzor. řádu A tedy je A : V V nebo A : V W Jako lineární transformace je tenzor druhého řádu reprezentován maticí A ij nebo A ik A : V W v = A u [ v] = [ A][ u] A : V W A = AiKei EK v A A A3 u v = A A A u 3 v 3 A3 A3 A 33 u 3 (,, 3) (,, ) u V E E E v W e e e 3

Operace s tenzory druhého řádu po složkách u,v V t R ( u v) =uv i j ij u v uv uv uv 3 u v = uv uv uv 3 u 3 v 3 uv 3 uv 3 uv 3 3 A = uv ij i j

Operace s tenzory druhého řádu po složkách u,v V t R A A A A3 = A A A3 = Ae e + Ae e + + A3e e3 + A33e3 e3 = A3 A3 A 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = A 0 0 0 + A 0 0 0 + + A3 0 0 0 + A33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Operace s tenzory druhého řádu po složkách u,v V t R 3 A = ii = ii i= ( ) tr A A stopa tenzoru A A A A A A A 3 A 3 A 3 3 33 vnitřní součin (analogon skalárního) po složkách

Operace s tenzory druhého řádu po složkách AB = C Skládání zobrazení = násobení matic tenzorů ( u v)( x y) = ( v x)( u y) = ( u y)( v x) 3 v x = vx = k = k k vx k k AA A A I Iij δij δij i j δij = = =, kde = pro =, jinak = 0 Inverzní tenzor jako inverzní matice; jednotkový tenzor (matice) Kroneckerovo delta

Příklady pro deformační gradient F x 05. X x = 05. X = 05. X e + 05. X e + X e x X 3 3 3 3 F ik x = X i K F x x x X X X3 0.5 0 0 x x x = = 0 0.5 0 X X X 3 x x x X X X 3 3 3 3 0 0

Příklady pro deformační gradient F x X+ kx x x = X = ( X+ kx ) e+ X e+ X 3e i 3 FiK = x X X 3 3 K F x x x X X X3 k 0 x x x 0 0 = = X X X 3 x x x X X X 3 3 3 3 0 0

Nesymetrie F F má devět nezávislých složek F ik i,k =,,3 To je důsledek přítomnosti rotací R při zobrazení (pohybu) f : X x mezi konfiguracemi. f obsahuje informaci o translaci, rotaci i deformaci. Od popisu deformace samozřejmě očekáváme, že bude založen pouze na změně relativní vzdálenosti bodů tělesa vůči sobě. Dodejme, že translace je konstanta, a tak derivována na 0, tudíž není v F. ( X ) df F = = RU = vr dx

Polární rozklad F F = RU = vr F R U 3 3 0 4 3 3 0 = 4 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 F v R 3 3 0 3 3 3 0 0 4 8 8 3 3 7 3 0 = 3 0 0 4 8 8 0 0 0 0 0 0 Dodejme, že U a v existují jednoznačně

Tenzory deformace ( ) T T T T C = F F = RU RU = U R RU = U R RU = UIU = U T b= FF = v E e ( C I) = ( I b ) = ln( U) levý Cauchyův-Greenův Greenův (též Lagrangeův) Eulerův (též Almansiho) logaritmický pravý Cauchyův-Greenův

C FE e FE e F3E e3 Fe E Fe E F3e E3 T = F F = F E e F E e F E e F e E F e E F e E = 3 3 3 3 F3 3 F3 3 F 33 3 3 F3 3 F3 3 F E e E e E e e E e E 33e3 E3 C ( E e) ( e E) ( E e) ( e E) ( E e3) ( e3 E) E E + E E E E ( ) E E FF + FF + FF = 3 3 = FF FF + FF = FF + FF + FF 3 3 3 3 C C ( E e) ( e E) ( E e) ( e E) ( E e3) ( e3 E) E E E E E E ( ) E E FF + FF + FF = 3 3 = FF + FF + FF = FF + FF + FF 3 3 3 3 ( E e) ( e E) ( E e) ( e E) ( E e3) ( e3 E) E E E E E E ( ) E E F F + F F + F F = 3 3 = F F + F F + F F = F F + F F + F F 3 3 3 3 F + F + F3 FF + FF + FF 3 3 FF 3 + FF 3 + FF 3 33 = FF + FF + F3F3 F + F + F3 FF3 + FF3 + F3F33 = FF3 FF3 F3F33 FF3 FF3 F3F33 F3 F3 F + + + + + + 33 = ( F + F + F3 ) E E + ( F + F F3 ) ( F3 F3 F33 ) ( FF FF FF 3 3 ) ( F F F F F F ) ( F F F F F F ) + E E + + + + E E + + + E E + 3 3 + + + E E + + + E E = C 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3

b = FF T = ( e E) ( E e) ( e E) ( E e) ( e E3) ( E3 e) e e e e e ( ) e e b = FF + FF + FF = 3 3 = FFe + FF + FF = FF + FF + FF 3 3 3 3 ( e E) ( E e) ( e E) ( E e) ( e E3) ( E3 e) e e e e e ( ) e e b = FF + FF + FF = 3 3 = FFe + FF + FF = FF + FF + FF 3 3 3 3 ( e E) ( E e) ( e E) ( E e) ( e E3) ( E3 e) e e e e e ( ) e e b = F F + F F + F F = 3 3 = F F e + F F + F F = F F + F F + F F 3 3 3 3 ( F F F3 ) ( F F F3 ) ( F3 F3 F33 ) ( FF FF F3F3 ) = + + e e + + + e e + + + e e + + + e e 3 3 ( F F F F F F ) ( F F F F F F ) + + + e e + + + e e = b 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3

Tenzory deformace Platí: F = RU = vr R T Páry tenzorů U a v a C a b mají stejná vlastní čísla (λ i pro U a v, λ i pro C a b, i =,,3). Tato vlastní čísla nazýváme hlavní streče. U a C (respektive v a b) mají stejné vlastní vektory N i (respektive n i ). Vlastní vektory tvoří ortonormální bázi prostoru. Spektrální rozklad: = R Úloha o vlastních číslech A u = λu ( A λ I) u= 0 det ( A λ I) = 0 λ 0 0 λ 0 0 C= 0 λ 0 = λ N N+ λn N + λ3n3 N3 λn n+ λn n + λ3n3 n3 = 0 λ 0 = b 0 0 λ 3 0 0 λ 3 Pozor na formální shodu matic, která ale neznamená rovnost tenzorů!

Tenzory deformace Platí: Pro jistotu si připomeňme, že = λ P + t u,t Znamená, že vlastní vektor u při transformaci A zůstane na přímce, na které ležel před transformací A. ( ) 0 Au u { } 3 Rovnici det A λi = lze psát ve tvaru λ I, kde I, I, I 3 jsou tzv. hlavní λ + Iλ I3 = 0 invarianty A. I ( A) = tr = λ + λ + λ 3 ( ( ( )) ( )) I = tr A tr A = λλ + λλ 3 + λλ 3 I = det = λλλ ( A) 3 3 I ( C) = tr = λ + λ + λ C 3 I tr tr I = det = λλλ ( ) ( ( C) ) ( C ) C = = λλ + λλ 3 + λλ 3 ( C) C 3 3

Tenzory deformace x x x 3 3 = X + 3 X 3 = 3+ X + + X = X 3 3 3 0 3 F = 3+ + 0 0 0 3 0 0 cos ( 30 ) sin( 30 ) 0 0 3 F = RU = 0 0 = sin( 30 ) cos ( 30 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ λ λ U U U 3 = 3 = = 0 N = N = 0 N3 = 0 0

Linearizace tenzorů deformace Vektor posuvů U = x X U x X XU = = = F I X X X F = + X U I

Linearizace tenzorů deformace Protože platí = U = x X F I+ XU tak pro Greenův-Lagrangeův tenzor E můžeme psát: ( ) (( ) ( ) ) (( ( ) )( ) ) T T T T E= F F I = I+ XU I+ XU I = I + XU I+ XU I = ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) T T T T T I I+ XU + XU + XU XU I = XU + XU + XU XU E IK UI UK UJ U = + + X X X X K I I K J

Linearizace tenzorů deformace ε IK UI = + XK U X K I E E E E E E 3 3 33 U U U U U U U U X X X X X X X X = + + + + 3 3 U U U U U U U U X X X X X X X X = + + + + 3 3 U U U U U U U U = + + + + X X X X X X X X 3 3 3 3 3 3 3 U U U U U U U U + + + + X X X X X X X X = 3 3 U U U U U U U U = + + + + X X X X X X X X 3 3 3 3 3 3 3 U U U U U U U U = + + + + X X X X X X X X 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ε ε ε ε ε ε 3 3 33 U U = + X X = + U U = + X X U X = + 3 3 U U = + X X U X U X U X 3 3 U U = + X X 3 3 3 3

Linearizace tenzorů deformace ( ) u= x X = x X x pro Eulerův-Almansiho tenzor e můžeme psát: u x X = = = xu I F F = I x x x ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ( ) )( )) T T T T e= I b = I F F = I I xu I xu = I I xu I xu = ( T T ( ) ( ) ) ( T T ( ) ( ) ) T I I I+ xu+ xu xu xu = xu+ xu xu xu x u e ij u u i j uk u k u u i j = + εij = + xj xi xi x j xj x i

Tenzory deformace Porovnání číselných hodnot při protahování x F = λ X λ x = = = X l L F λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ 3

Tenzory deformace F F = λ T C= F F C = λ U = C U = λ T b= FF b = λ v = b v = λ E= = e ( C I) E ( λ ) ( I b ) e ( λ ) = = ln U lnu = lnλ ε ε = λ λ ( λ ) ( ) λ λ lnλ λ

Tenzory deformace Těleso se deformuje, jestliže se změní vzdálenost alespoň dvou bodů tělesa Změna vzdálenosti PQ dx dx 0 dx dx 0 dx dx 0 dx dx dx dx 0 T FdX FdX dx dx 0 dx F FdX dx dx 0 f : X x x 3 x+ dx Q dx x P ( F T F I) E 0 E 0 dx dx = dx dx X 3 X + dx Q X dx P X x E= FF I C= T ( ) T FF x X

Tenzory deformace x = X x = X x = X 3 3 0 0 F = 0 0 0 0 0 0 M M m = FM = 0 0 M = M M 3 0 0 M 3 T F { X} { x } F :{ x} { X} X 3 : x 3 :{ } { } T C= FF X X 0.5 x 4 0 0 T C= FF = 0 0 M = CM 4 0 0 X 3 0.5 X X X x X 4

Deformace liniových, plošných a objemových elementů Liniový element dx = F dx Změna objemu při deformaci λ 3 C U ( F) 3 3 0 dv = JdV J = det = I = I > λ λ Nestlačitelný materiál (izochorická deformace) dv dv = J = λλλ = 3

Deformace plošných elementů ds = J ds F T dv = JdV ds dx = JdS dx ds F dx = JdS dx T ( ) T ds FdX JdS dx = 0 F ds dx JdS dx = 0 F ds JdS dx = 0 T T F ds JdS = 0 ds = J F ds Připomeňme, že platí ds = dsn ds = dsn u Av= A T uv

Velké deformace v reálných úlohách Ex vivo (laboratorní) biomechanika inflační test aorty

Velké deformace v reálu Ex vivo (laboratorní) biomechanika - stent

Velké deformace v reálných úlohách Nestabilita při nafukování elastomerní trubice

Tenzory deformace v MKP systémech Vždy je třeba zkontrolovat manuál! ANSYS, ABAQUS: NLGEOM: OFF (default) X x L NLGEOM: ON (option) l l L+ l ln ln ln ln L L ( U) = = = ( + ε )

Inflace a extenze válcové trubice Kartézské souřadnice X = (X,X,X 3 ) Válcové souřadnice X = (R,Θ,Z) X 3 X = (X, X, X 3 ) = (RcosΘ, RsinΘ, Z) = RcosΘE + RsinΘE + ZE 3 RE R (Θ) + ZE Z = ( (X + X ), arctg(x /X ), X 3 ) = (R, Θ, Z) = X R (0, ) Θ (0,π) Z R X E Z Z E 3 E E R sin(θ) E R R E Θ X R cos(θ) Θ E R = cosθe + sinθe E Θ = -sinθe + cosθe E Z = E 3

Inflace a extenze válcové trubice Deformační gradient F = dx/dx F x g x = g e E = ( e E ) = F e E X i i i i i K i K ik i K K G K GK XK i = r, θ, z K = R, Θ, Z gi a GK mají význam normalizačních koeficientů, které jsou nutné pro kompenzaci fyzikálních rozměrů derivací r m θ FrR kdežto Fθ R R m R m

Inflace a extenze válcové trubice Přirozené bázové vektory g i (průběžný) a G K (referenční) ξ 3 g i x = ξ = r, ξ = θ, ξ = ξ i z x 3 x x g g 3 dx g ξ G K X = Ξ = R, Ξ =Θ, Ξ 3 = Ξ K Z e 3 e e x x + dx ξ

Inflace a extenze válcové trubice Přirozené bázové vektory g i a G K x x x x x g = e = e = e + e + e i = r, θ, z 3 j j 3 i j j 3 j= ξi ξi ξi ξi ξi X X X X X G = E = E = E + E + E K = R, Θ, Z 3 K J J 3 J J J = Ξ K Ξ K Ξ K Ξ K Ξ K 3

Inflace a extenze válcové trubice Přirozené bázové vektory g i a G K x x x z gr = e + e + e = ( r cos ( )) e + r sin( ) e + e = cos sin r r r r r r ( ) ( ( ), ( ), ) 3 3 θ θ 3 θ θ 0 x x x z gθ = e + e + e = ( r cos ( θ) ) e + r sin( θ) e + e = r sin θ r cos θ θ θ θ θ θ θ ( ) ( ( ), ( ), ) 3 3 3 0 x x x z gz = e + e + e = ( r cos ( θ) ) e + r sin( θ) e + e = z z z z z z ( ) (,, ) 3 3 3 00 ( ( ), ( ),0) GR = cos Θ sin Θ G = ( R sin( Θ Θ ), R cos ( Θ ),0) G = Z ( 00,, ) g r = g θ = r g z = G Z = G R = G Θ = R

Inflace a extenze válcové trubice Přirozené bázové vektory g i a G K g g g r θ z = = = e r re e z θ G G G R Θ Z = = = E R RE E Z Θ Metrický tenzor g ij ds metrika je skalární invariant prostoru ( ) ( ) = x x = g ξ g ξ = g g ξ ξ = ξ ξ ds d d id i jd j i jd id j gijd id j

Inflace a extenze válcové trubice Deformační gradient F = dx/dx = e E + e E + F FrR r R Fr Θ r F e E + F e E + F e E + F e E rz r Z θr θ R θθ θ Θ θz θ Z + F e E + F e E + F e E zr z R zθ z Θ zz z Z r r r R R Z Θ θ r θ θ = r r R R Θ Z z z z R R Θ Z Θ

Inflace a extenze válcové trubice Interpretace složek F F rr (, Θ, Z) r R = R (, Θ, Z) r R FrR = = f R R ( ) pokud se trubice nafukuje rovnoměrně a zachovává symetrii F rθ = ( Θ Z) r R,, R Θ (, Θ, Z) r R Fr Θ = 0 r = r( Θ) tj. zdeformovaný poloměr r závisí na obvodové souřadnici R Θ Zdeformovaná geometrie nemůže být kruhový válec

Inflace a extenze válcové trubice Interpretace složek F F rz = (, Θ, Z) r R Z (, Θ, Z) r R FrZ = 0 r = r( Z) tj. zdeformovaný poloměr r závisí Z na původní axiální souřadnici Z Taková situace může nastat, uvažujeme-li např. kuželovité trubice. U nich lze racionálně očekávat, že r = r(z), neboť vnější poloměr před deformací je R o = R o (Z).

Inflace a extenze válcové trubice Interpretace složek F F θ R = r θ ( R, Θ, Z) R ( R, Θ, Z) θ Fθ R = r 0 θ = θ( R) tj. zdeformovaná obvodová souřadnice závisí na počátečním poloměru R Pro nenulovost by musel nastat zkos (odklon). Přírůstek polohy na nafouknutém obvodu by závisel na velikosti počátečního poloměru, tj. došlo by k vzájemnému posuvu/smyku obvodových vrstev (obvod R a obvod R + dr). F θ R 0 F θθ = r R θ ( R, Θ, Z) Θ (, Θ, ) θ R Z r = když se kruhová válcová trubice nafukuje do tvaru kruhové válcové trubice Fθ Θ = Θ R

Inflace a extenze válcové trubice Interpretace složek F F θ Z 0 F θ Z θ = r Z F θ Fθ Z = r 0 θ = θ( Z) tj. když zdeformovaná obvodová souřadnice závisí na počáteční axiální poloze Z V typu zkosu rozpoznáváme zkrut. zr z = R z FzR = 0 z = z( R) tj. když axiální protažení závisí na počátečním poloměru R Axiální, nebo-li teleskopický, smyk. V trubici může být vytvořen např. podélným třením vazké kapaliny o stěnu (krev). FzR 0

Inflace a extenze válcové trubice Interpretace složek F F zθ = R z Θ z Fz Θ = 0 z = z( Θ) axiální protažení by muselo záviset na počáteční poloze podél obvodu R Θ F zz z = Z z FzZ = 0 z = z( Z) axiální protažení není po celé délce trubky rovnoměrné Z

Inflace a extenze válcové trubice Nejběžnější model kinematiky inflace a extenze válcové trubice počítá s rovnoměrným protažením a nafouknutím, čili: F r 0 0 0 0 R λrr r = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ zz l 0 0 L

Inflace a extenze tenkostěnné válcové trubice Válcová membránová skořepina Referenční konfigurace r = λ R z = λ Z h = λ H θθ zz rr HH RR Průběžná konfigurace LL P ext = 0 PPPPrr ii FF rrrrrr F h 0 0 0 0 H λrr r = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ zz l 0 0 L rr P int = P h ll

Rychlost deformace Rozlišujeme materiálovou rychlost V(X,t) a prostorovou rychlost v(x,t) Lépe řečeno, hovoříme o rychlosti v materiálovém nebo prostorovém popisu x( X, t) V ( X, t) = v( x, t) t = (, t) X x t x = X = f f ( X) ( x)

Rychlost deformace Časová derivace, neboli rychlost, deformačního gradientu F, (materiálové souřadnice) (, t) d (, t) (, t) F d d x X x X V X = F ( X, t) = = = = dt dt X X dt X Grad ( V)

Rychlost deformace Prostorový gradient rychlosti l dv = ldx v l = = grad ( v) x l ij v = x i j v Q v P dv

Rychlost deformace ( ) V f ( x) (, t) ( ) ( ) x ( ),,,, F V X t v x t v x t v x t x = Grad ( V) = = = = = = grad ( v) F= lf X X X X x x X l = FF x = f X = f ( X) ( x) ( ) V, ( X x X t, t) = v ( x, t ) t = (, t) X x t

Prostorový tenzor rychlosti deformace d Tenzor l není symetrický Rozložíme ho na symetrickou část d a antisymetrickou část w l = d+ w d = l+ l T ( ) w = l l T ( ) d = w T d T = w Prostorový tenzor rychlosti deformace d Tenzor spinu w

Materiálová rychlost deformace d dt d ( T ) ( T T ) E= E = F F I = F F+ F F = C dt Transformace mezi materiálovým a prostorovým popisem: C E F T = = df Což mimochodem platí nejen pro rychlosti: E = e = F T F ef T EF materiálový popis = F prostorový popis = F T T ( prostorový popis) F ( materiálový popis) F

Rychlost deformace, a 3D elementů d dt d dt d dt d dx= ( FdX) = F dx= FF dx= ldx dt d ( T F ) T ds = J ds =... = div( v) ds l ds dt J J = : F =... = Jdiv = Jtr d F ( v) ( )

Míry napětí, čili plošná intenzita vnitřních sil

Tenzor napětí σ

Tenzor napětí σ (Cauchyovo neboli skutečné) SR Zavádíme vektor (plošné) intenzity vnitřních sil t (tzv. trakční nebo též napěťový vektor) tak, že platí lim s s 0 zde ds je velikost plochy elementárního okolí bodu x v rovině řezu a df je infinitesimální vektor vnitřní síly uvádějící řez do rovnováhy t = f df = tds

Tenzor napětí σ (Cauchyovo neboli skutečné) Tenzor druhého řádu, čili zobrazení σ, které promítá n, což je vektor vnější normály roviny řezu v bodě x, na napěťový vektor t σ : n t t = σ n t σ σ σ3 n t = σ σ σ n 3 t 3 σ3 σ3 σ 33 n 3 Takže tenzor napětí σ umožňuje určit napěťový vektor t v bodě x v libovolném řezu, čili pro libovolný vektor n. To je úplná informace o stavu napjatosti v bodě.

Tenzor napětí σ (Cauchyovo neboli skutečné) σ = e σ e = e t ik i k i k σ σ σ3 σ + σ + σ3 t = t + t + t3 = σ + σ + σ3 = σ + σ + σ3 σ σ σ σ + σ + σ 3 3 33 3 3 33 Pozor na rozdíl v označování složek tenzoru napětí σ ij, zde i je směr průmětu a j směr normály stěny krychle t t σ σ σ3 σ = σ e = σ σ σ 0 = σ σ σ σ 0 σ 3 3 3 33 3 σ σ σ3 0 σ = σ e = σ σ σ = σ σ σ σ 0 σ 3 t 3 3 33 3 σ σ σ3 0 σ3 = σ e = σ σ σ 0 = σ σ σ σ σ 3 3 3 3 3 3 33 33

Tenzor napětí σ σ = σ e e + σ e e + σ e e + σ e e + σ e e + σ e e 33 3 3 3 3 3 3 T σ = σ σ = σ ik ki Pozor na rozdíl v označování složek tenzoru napětí σ ij, zde i je směr průmětu a j směr normály stěny krychle

Tenzor napětí σ n ρ = 0 0 t ρ s 0 0 s = σ nρ = 0 0 0 0 = 0 0 0 00 0 n α = 0 t α s 0 0 s = σ nα = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 x 3 x s 0 0 σ = 0 0 0 0 0 0 ρ α x Nekonečně mnoho rovin řezu nekonečně mnoho normál n nekonečně mnoho napěťových vektorů t, ale jen jeden tenzor napětí σ!

Otočení soustavy souřadnic transformace báze Q ( ) ( ) ( e ) ( ) ( ) ( ) ( e ) ( e ) ( e ) e e e e e e cos e, e cos e, e cos e, 3 3 = e e e e e e3 = cos e, e cos e, e cos e, e3 e e e e e e cos, e cos, e cos, e 3 3 3 3 3 3 3 3 ei = Q e i 45 e e 3 e 3 Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 45 cos 90 cos 35 0 = cos 90 cos 0 cos 90 = 0 0 cos 45 cos 90 cos 45 0 e e e e = e 0 0 e = Q e = 0 e e = Qe 3 0 0 = e 0 0 = 0 e 3 e = Qe 3 = 0 e 3 = 0

Otočení soustavy souřadnic transformace vektorů u T = Q u u u u ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) os( e, e ) ( e e ) ( e e ) cos ( e, e ) cos, cos, cos, u = cos, cos, c u cos, cos, u 3 3 3 3 3 3 3 3 u i = Q u ji j 45 x = ρ t s x 3 x 3 x t = ρ s 3 0 t ρ = t ρ s 0 s = 0 = 0 0 0 = Q s 0 0 T t ρ t s 3 ρ =

Otočení transformace tenzorů t ρ s 0 s = 0 = 0 0 0 = Q s 0 0 T t ρ T = e Te = Qe T Q e = QQ e Te = QQ T = QT Q ( ) ( ) ( ) ij i j ki k mj m ki mj k m ki mj km ki km mj T = T Q TQ x = t s x 3 3 0 t ρ = 45 x 3 s 0 s T σ = 0 0 0 = Q σ Q= s 0 s 0 s 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x t = ρ s 3 t s ρ = s T T T tρ = σ nρ = Q tρ = ( Q σ Q)( Q nρ) = s 0

Otočení transformace tenzorů Skalár (tenzor řádu 0) Vektor (tenzor řádu ) Tenzor. řádu Tenzor 3. řádu Tenzor 4. řádu t = t t t t t i ij ijl ijlp... = = = Q = ji ki t ki j QQ mj mj t km QQ Q nl t kmn QQ QQ ki mj nl qp t kmnq Složky vektorů a tenzorů závisí na použité bázi. Používejme ortonormální báze. Takové složky pak nazýváme fyzikální.

Tenzory napětí P a σ Řez v průběžné konfiguraci Ω( 0) C Ω ( t) f B Ω( 0) X N x n α T β Ω ( t) f 3 t β Řez v referenční konfiguraci a přenesení df df = tds = TdS

Tenzory napětí P a σ df = tds = TdS Cauchyův tenzor napětí σ t = σ n Tenzor smluvního napětí P T = P N t i = σ ijnj Ti = PiK NK

Tenzory napětí P a σ df = df tds = TdS σnds = PNdS σds = PdS T Jσ F ds = PdS P = Jσ F T P = Jσ F ik ij Kj

. Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí S Řez v průběžné konfiguraci Řez v referenční konfiguraci a přenesení df Ω ( t) f x n α B Ω ( 0) Ω ( 0) X C N α T S Ω ( t) f 3 t β dx = F dx T β F f = F T = F t = TS d ds ds ds

. Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí S Na elementární výslednici vnitřních sil df aplikujeme stejnou geometrickou transformaci jako při popisu kinematiky deformace. Dostáváme tak fiktivní materiálovou výslednici vnitřních sil df = F - df. d = Fd d = F d x X X x d Fd d F d f = F F = f df = F df = F TdS = T ds S Druhý Piolův-Kirchhoffův napěťový vektor T S = F T

Tenzory napětí S, P a σ Cauchyův tenzor napětí σ t = σ n ti = σ ijnj Tenzor smluvního napětí P T = P N Ti = PiK NK. Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí S T = S N S I T = S N S IK K df = tds = TdS = T ds F S df = σ nds = P NdS = FS NdS df = σ ds= PdS = FSdS d J F T d T df = Jσ F ds = P ds = FSdS S = s T T d d J = σ = PF d = J FSF d f s s s

Tenzory napětí S, P a σ T S t T σ PF T J = J = FS F T J σ F T = P = FS J T F σ F = F P = S

Tenzory napětí S, P a σ Napětí při jednoosém tahu nestlačitelného materiálu (isochorický děj) Smluvní napětí P F síla P = A referenční plocha průřezu L l Cauchyovo napětí σ F σ = = a F A λ W H h w L v = V lwh = LWH la = LA a = A a =λ A l. Piolovo-Kirchhoffovo napětí S S= F P= J F σ F T S 0 0 λ 0 0 P 0 0 λ 0 0 σ 0 0 λ 0 0 0 0 0 = 0 λ 0 0 0 0 = 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 λ 3 0 0 0 0 0 λ 3 0 0 0 0 0 λ 3 S = λ P= λ σ S = λ F A

Tenzory napětí S, P a σ Napětí při jednoosém tahu nestlačitelného materiálu (isochorický děj) Smluvní napětí P F síla P = A referenční plocha průřezu Cauchyovo napětí σ F σ = = a F A λ. Piolovo-Kirchhoffovo napětí S S = λ F A

Konstitutivní rovnice

Konstitutivní rovnice Konstitutivní rovnice je matematický předpis vyjadřující vzájemnou závislost stavových proměnných v případě pružných těles jde o závislost mezi tenzorem napětí a deformace. Analogie se stavovou rovnicí v termodynamice plynů pv = nrt

cauchyovská elasticita přímá konstrukce σ = f ( ε) cauchyovský přístup znamená, že se snažíme zkonstruovat přímou funkční závislost mezi složkami tenzoru deformace a napětí tak, jak tomu je např. v zobecněném Hookeově zákoně σ = Eε při jednoosém stavu napjatosti lineárního izotropního materiálu

cauchyovská elasticita přímá konstrukce Lineární izotropní materiál při obecném stavu napjatosti (maticový zápis) E modul pružnosti ν Poissonovo číslo

cauchyovská elasticita přímá konstrukce Symbolický (tenzorový) zápis ( ) I = tr + σ λ ε µ ε σ = λε δ + µε ij kk ij ij = λ 3 ( + ) ( ) ε σ tr σ µ µ λ µ λ εij = σij σkkδij µ µ 3λ µ ( + ) I µ je smykový modul pružnosti (někdy označovaný G) λ je tzv. první Lamého konstanta µ = λ = E ( + ν ) Eν ( + ν)( ν)

greenovská elasticita hyperelasticita greenovský přístup znamená, že se snažíme zkonstruovat funkci hustoty deformační energie W(ε) (hustota vzhledem k referenčnímu objemu) a složky tenzoru napětí σ získáváme pomocí derivací W(ε) σ = W ( ε ) ε σ ij = ( ) W ε ε ij ij

Hyperelasticita Konjugované páry napětí a rychlosti deformace jejich skalární součin je roven hustotě výkonu intenzity vnitřních sil (napětí) při deformaci Odvodí se pomocí bilance mechanické energie wint = Jσ :d= P:F = S:E = S:C

Hyperelasticita Elastické chování nulová hustota mařené energie D int Opět je zformulováno jako hustota výkonu W( F) W( F) D ( F) P:F ( F) int = wint W = W = P:F :F = P :F = F F 0 = PF = PF + PF + PF + PF + PF + PF + PF + PF + PF P:F ik ik W ( ) W( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33 ( F) F ( F) d W d W df W dfik F = F = : = : = = dt F dt F dt F dt W W W W W W W W W = F + F + F + F + F + F + F + F + F F F F F F F F F F 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 ik

Hyperelasticita Elastické chování nulová hustota mařené energie D int D int ( F) W( F) W = P :F = 0 P= F F P = W ( F) F P ik W = F ( F) ik

Hyperelasticita P = W F ( F) σ = J W b ( ) b b S ( E) W( C) W = = E C P ik W ( F ) W ( ) = J b W ( E) W( C) = b S = = F ik σ ij b ik kj IK E IK C IK

Hyperelasticita Lineárně pružný materiál (Hookeův) při inženýrských deformacích Eν E W = λ I + µ I = I + I + ν ν + ν ( )( ) W Eν E σij = = εkkδij + εij ε + ν ν + ν ij ( )( ) I = ε = ε + ε + ε I = ε ε = ε + ε + ε + ε ε + ε ε + ε ε ii 33 ij ji 33 3 3 3 3

Hyperelasticita Saint-Venantův Kirchhoffův deformacích lineárně pružný materiál při konečných Přímé rozšíření na Greenův-Lagrangeův ( ) ( ) tenzor deformace E W = tr E + µ tr E λ W S= = λ tr ( EI ) + µ E E Tento materiálový model selhává při popisu tlakové napjatosti!

Hyperelasticita Nerealističnost Saint-Venantova Kirchhoffova lineárně pružného materiálu Eν E Eν E S = E + E + E33 + E = E E + E = + ν ν + ν + ν ν + ν ( )( ) ( ) ( )( ) ( ν ) ( )( ) ( + ν)( ν) ( + ν) ( ) E( ) E λ ( )( ) Eν ( λ ) ( )( ) ( ) ( ) Eν E E = ( λ ) ν ( λ ) + ( λ ) = ν + λ = + ν ν ν ν ν + + + ν Eν Eν E ν + E ν = ( λ ) ν + = ( λ ) ( + ν)( ν) Eν ν + ν ν ν = ( λ ) = ( ) + ν ν + ν ν ( )( ) ( ) =

Hyperelasticita Nerealističnost Saint-Venantova Kirchhoffova lineárně pružného materiálu - jednoosá napjatost S S ( ) ν ν = E λ P = FS ( + ν)( ν) [-] ( ν =. ) 03 E 3 P ( ) ν ν = Eλ λ ( + ν)( ν) P 0 λ [-]?

Hyperelasticita Racionalita W W J J W ( ) 0 W( ) 0 ( ) ( F) = ( U) = ( C) = ( E) W W W W ( I) W( I) W I = F P I = = 0 > Ο F F F V (beznapěťové) referenční konfiguraci je energie 0, během deformace je energie nezáporná, v (beznapěťové) referenční konfiguraci je tenzor napětí nulový a jeho druhé derivace (tenzor pružnosti, někdy též tuhosti) nezáporný ( F) W( F) ( F) + W( F) = det = det 0 ( QF) = W( F) Zde Q je nějaký ortogonální tenzor (det(q) = ±, Q T = Q - ) který představuje rotaci nebo zrcadlení. Ani rotace, ani zrcadlení nevedou ke změně deformační energie uložené v materiálu Důsledky předchozího při volbě Q = R, když F = RU

Hyperelasticita Racionalita W Konvexita (polykonvexita) Zajišťuje jednoznačnost a existenci řešení linearizované vlnové rovnice Zajišťuje existenci globálního minima Zajišťuje kladný přírůstek napětí při kladném přírůstku deformace Je v rozporu s chováním pozorovaným při ztrátě stability deformace

Hyperelasticita Tenzor pružnosti (též říkáme: tuhosti, elasticity, elastických modulů) σ ( ) W E σ Eε = = = Eε = ε ε ε ε α tg ( α ) dσ = = E dε ε

Hyperelasticita Tenzor pružnosti (tuhosti, elasticity, elastických modulů) σ σ 0 tg ( α) α ( ) dσ ε 0 = = dε E ( ε ) 0 E ( ε ) σ W = = konst ε ε. ε 0 ε

Hyperelasticita Tenzory pružnosti (tuhosti, elasticity, ) ( ) W ( F) P F A = = F F F A P W ik ikjl = FjL FjL FiK ( ) ( ) W( ) W( ) SE SC E C C = = = = 4 E C E E C C C KLMN SKL SKL W W = = = = 4 E C E E C C MN MN MN KL MN KL c ( b) W ( b) = = 4 b b b σ W c ijkl = 4J bim bnl bmj bkn b J b b c = J F F F F C ijkl ik jl km ln KLMN

Hyperelasticita HYPERELASTICKÝ EXISTUJE ELASTICKÝ POTENCIÁL W PRUŽNÝ C = C L IJKL K IJ tzv. hlavní symetrie Implicitně předpokládáme adiabatický izotermální děj Je-li materiál izotropní, existuje i tzv. vedlejší symetrie tenzoru pružnosti: C = C = C IJKL JIKL IJLK

Hyperelasticita Počáteční modul pružnosti pro látku v pevné fázi musí být kladný σ E ( ε ) ( = 0) dσ ε = 0 = = tg ( α) > 0 dε α ε

Nestlačitelný hyperelastický materiál Pro deformace měkkých tkání, díky vysokému obsahu vody, často předpokládáme, že v rozsahu fyziologického zatěžování nemění svůj objem Podobně i chování elastomerních materiálů (kaučuky) bývá pokládáno v určitém rozsahu zatěžování za nestlačitelné v polymerní síti má elastické chování povahu vnitřní reakce na změny konfigurace sítě, tj. změny entropie vnitřní síly vznikající jako reakce na změnu objemu spojujeme s interakcí molekul mezi sebou, což je energeticky mnohem náročnější Velmi zjednodušeně: konají-li vnější síly práci, ta se projeví spíše přeuspořádáním makromolekulárních řetězců vůči sobě, než stlačováním řetězců mezi sebou

Nestlačitelný hyperelastický materiál Experimentální data pro styren-butadienový kaučuk při jednoosém tahu Merckel, Y., Diani, J., Brieu, M., & Caillard, J. (03). Constitutive modeling of the anisotropic behavior of mullins softened filled rubbers. Mechanics of Materials, 57, 30-4. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s067663600834#

Nestlačitelný hyperelastický materiál Nemění-li materiál objem, jsou posuvy, na kterých by složky hydrostatické napjatosti vykonaly práci, nulové. Tudíž z W(F) nelze získat složky hydrostatické napjatosti pomocí operace W F

Nestlačitelný hyperelastický materiál Postupujeme metodou (neurčitého) Lagrangeova multiplikátoru p. Hustotu deformační energie W modifikujeme do tvaru ( F) ( ) W = W p J kde J = Konstitutivní rovnice pak mají tvar: W σ = pi+ F F T P T W pf F W W = + = + + C E = + S pc p( E I) p se určí pomocí silové okrajové podmínky

Nestlačitelný hyperelastický materiál p se určí pomocí silové okrajové podmínky W = 0 p = 0 σ 33 λ 3 λ 3 3 σ W r = r = P λ p= P λ r = r ( ) rr i rr rr i

Modely pro W Nyní se konečně dostaneme k tomu, abychom projasnili, co se může skrývat pod výrazem typu W λ W musí samozřejmě mít takovou matematickou formu, aby odpovídalo pozorování

Modely pro W Jednoosá tahová zkouška latexu (LRG Treloar 944) Smluvní napětí [kpa] Axiální streč λ [-] http://en.wikipedia.org/wiki/l._r._g._treloar http://books.google.cz/books/about/the_physics_of_rubber_elasticity.html?id=-iydehypoaqc&redir_esc=y

Modely pro W Výsledky jednoosé tahové zkoušky s vrstvami lidské břišní aorty (F80) Gasser, T. C., Ogden, R. W., & Holzapfel, G. A. (006). Hyperelastic modelling of arterial layers with distributed collagen fibre orientations. Journal of the Royal Society Interface, 3(6), 5-35. http://rsif.royalsocietypublishing.org/content/3/6/5 http://www.sciencephoto.com/image /579/530wm/C0057-Human_ artery_wall_cross-section._lm-spl.jpg Holzapfel, G. A. (006). Determination of material models for arterial walls from uniaxial extension tests and histological structure. Journal of Theoretical Biology, 38(), 90-30. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/s005930500080

Modely pro W Neo-hookeovský materiál (40. léta) Jde o elementární model, který v zásadě reprodukuje lineární chování při konečných deformacích Tento model je možné interpretovat pomocí statistické fyziky polymerních řetězců, když předpokládáme gaussovskou hustotu pravděpodobnosti pro rozložení koncových poloh polymerních řetězců při deformaci W µ = ( I ) 3 T C= FF I ( C) = tr = λ + λ + λ 3 I = tr ( C) tr ( C ) λλ λλ 3 λλ 3 = + + I = det = λλλ ( C) 3 3

Modely pro W Neo-hookeovský materiál W µ = ( I ) 3 NkT ρrt µ = = nkt = > V M 0 µ počáteční smykový modul pružnosti N počet řetězců v objemu V objem vzorku n objemová hustota řetezců k Boltzmannova konstanta T termodynamická teplota ρ hustota hmotnosti R univerzální plynová konstanta M s průměrná molární hmotnost řetězce Analogie s ideálním plynem nrt P = = V ρrt M

Modely pro W Neo-hookeovský nestlačitelný materiál při jednoosém tahu W = ( I 3) µ W σ = pi+ F F T W = p σ λ λ W = p σ λ λ W = p σ3 λ3 λ 3 µ σ = λ λ + λ + λ p= λ µ p ( ) 3 λ µ σ = λ λ + λ + λ p= λ µ p ( ) 3 λ µ σ = λ λ + λ + λ p= λ µ p ( ) 3 3 3 3 λ 3 σ = 0 p = λµ 3 3 ( C) 3 J = det = λλλ = λ = λ3 λ = λ = 3 λ σ = µλ µ λ

Modely pro W Neo-hookeovský nestlačitelný materiál při jednoosém tahu W = ( I 3) µ σ = µλ P S = µλ λ µ = µ λ 3 µ λ µ P /µ [-] Axiální streč λ [-]

Modely pro W Neo-hookeovský nestlačitelný materiál při jednoosém tahu W = ( I 3) Neo-hookevský model nedokáže zachytit large strain stiffenning Tato skutečnost souvisí s tím, že při velkých deformacích nelze použít gaussovskou hustotu pravděpodobnosti pro popis polohy koncových bodů molekulárních řetězců µ

Modely pro W Mooneyův-Rivlinův model 40. léta µ W = α I + α I ( 3) ( )( 3) µ > 0 0 < α ( 3) ( 3) W = c I + c I http://en.wikipedia.org/wiki/melvin_mooney Melvin Mooney (893-968), americký fyzik s výsledky v oblasti mechanických vlastností pryží

Ronald Rivlin a nelineární kontinuum Ronald Samuel Rivlin byl osobností, která zásadně formovala aparát nelineární mechaniky kontinua matematický popis nelineárních materiálů, a ne-newtonských kapalin absolvent St John s College Cambridge působil na Brown University, Lehigh University získal celou řadu ocenění - Timošenkovu, Goodyearovu, von Karmanovu medaili Ronald Samuel Rivlin (95-005), narozen v UK, stal se v r. 955 občanem USA http://www.lehigh.edu/engineering/about/alumni/bio_rivlin_r.html http://en.wikipedia.org/wiki/ronald_rivlin

Modely pro W µ α α Mooneyův-Rivlinův model W = ( I 3) + ( )( I 3) W σ = pi+ F F T W = p σ λ λ W = p σ λ λ W = p σ3 λ3 λ 3 µ σ = λ α( λ + λ + λ 3) + ( α)( λ λ + λ λ + λ λ 3) p= µλ αλ + ( α)( λλ + λλ ) p 3 3 3 3 λ µ σ = λ α( λ + λ + λ 3) + ( α)( λ λ + λ λ + λ λ 3) p= µλ αλ + ( α)( λ λ + λ λ ) p 3 3 3 3 λ µ σ = λ α( λ + λ λ 3) ( α)( λλ λλ λλ 3) p µλ αλ ( α)( λλ λλ ) + + + + = + + p 3 3 3 3 3 3 3 3 3 λ3 ( C) 3 J = det = λλλ = λ λ3 = λ = λ3 = ( )( σ p = µλ ) 3αλ3+ α λλ 3 + λλ 3 = 0 3 λ ( ) ( ) σ = αµλ + µ α λ αµλ + µ α λ

Modely pro W µ α α Mooneyův-Rivlinův model W = ( I 3) + ( )( I 3) ( ) ( ) σ = αµλ + µ α λ αµλ + µ α λ P = Jσ F T ( ) ( ) P = αµλ + µ α αµλ + µ α λ 3 P /µ [-] Axiální streč λ [-] α = (neo-hooke) α = 0.8 α = 0.5 α = 0.

Modely pro W Zobecněný Rivlinův model začátek 50. let n ( ) i ( ) j = ij 00 = i, j= 0 W c I 3 I 3 c 0 c = kpa c = 0. 5 kpa c = 0. 5 kpa 0 0 30 P [kpa] Axiální streč λ [-]

Modely pro W Ogdenův model (97) Profesor R.W. Ogden působí na univerzitě v Glasgow, obor aplikovaná matematika µ = 5. 39 kpa µ = 0. 53 kpa µ = 0. 9 0 kpaα =. 46 α =. 03 α = 9. 68 5 3 3 P [kpa] http://www.gla.ac.uk/schools/mathematicsstatistics/staff/raymondogden/ W n k = µ k λ λ λ k ( α ) k α k α 3 k 3 = + + α Axiální streč λ [-] n k = αµ = µ > 0 k k α α α3 α α α3 P = µλ + µλ + µλ 3 µλ µλ + µλ 3

Modely pro W Gentův model (996) A.N. Gent (97-0) byl profesorem na univerzitě v Akronu (Ohio, USA), kde se zabýval vlastnostmi kaučuků (nestability, kavitace, materiálové modely) W µ J m 3 ln I = J m J > 0 µ > 0 m Model patří do skupiny tzv. limiting extensibility models Zřejmě nejsou přípustné všechny kinematiky (trajektorie ve fázovém prostoru deformací) http://en.wikipedia.org/wiki/alan_neville_gent http://www.uakron.edu/cpspe/news- events/news-detail.dot?newsid=0f955746-a7-40b-ad7a-63785becea&pagetitle=r ecent%0headlines&crumbtitle=in%0the%0 world%0of%0polymer%0science,%0alan% 0Neville%0Gent%0was%0a%0giant

Modely pro W µ J ln = Jm m I 3 Gentův model W I 3 J I + 3 m 0 < = 0 < Jm I+ 3 I < Jm + 3 Jm Jm ( = ) W J m µ [ ] I λ λ λ = + + [ ] 3

Modely pro W µ J ln = Jm m I 3 Gentův model W µ J λ σ = p m J m + 3 + + ( λ λ λ3 ) µ J λ σ = p m J m + 3 + + ( λ λ λ3 ) µ J λ σ = p m 3 3 J m + 3 + + ( λ λ λ3 ) σ 3 = 0 p = J m ( C) 3 µ J λ m 3 ( λ λ λ3 ) + 3 + + J = det = λλλ = λ = λ3 λ = λ = 3 λ P µ J λ µ J m m = J 3 m + λ λ J m 3 λ λ + λ

Modely pro W µ J ln = Jm m I 3 Gentův model W P µ J λ µ J m m = J 3 m + λ λ J m 3 λ λ + λ µ = kpa J = = 0 J = 00 µ = kpa µ = 0 kpa µ = 00 kpa = 0 m J m m J m P [kpa] P [kpa] Axiální streč λ [-] Axiální streč λ [-]

Modely pro W µ J ln = Jm m I 3 Gentův model W P µ J λ µ J m m = J 3 m + λ λ J m 3 λ λ + λ P [kpa] Axiální streč λ [-] Axiální streč λ [-] J m + 3 λ = 0 λ 0. 539 < λ <. 675 0. 54< λ < 3. 56 0. 094 < λ < 0. 4 J m [-]

Modely pro W Exponenciální modely Y.C. Fung W c = ( Q e ) Q= b E + b E + b E + b E + b E + b E + b E E + b E E + b E E 33 33 3 3 3 3 3 33 3 33 E= F F I = C I ( T ) ( ) Y.C. Fung je v podstatě zakladatel biomechaniky jako moderního vědního oboru. Je emeritním profesorem UC San Diego, autorem několika monografií o biomechanice http://en.wikipedia.org/wiki/yuan-cheng_fung http://www.jacobsschool.ucsd.edu/faculty/faculty_bios/index.sfe?fmp_recid=

Modely pro W Exponenciální modely ( Q W = e ) Jsou založeny na Fungově pozorování, publikovaném okolo 967, získaném při tahových zkouškách měkkých tkání, které ho vedlo k závěru, že modul pružnosti je lineární funkcí napětí dσ a E = = a+ bσ σ = e dλ b y = a + by ( ) ( ) y 0 = 0 y 0 = Eini Biorheology. 973 Jun;0():39-55. Biorheology of soft tissues. Fung YC. c ( b( λ ) ) Přírůstek P při konstantním λ [g] Králičí papilární sval Smluvní napětí P [g]

Modely pro W Exponenciální modely W µ = α ( ( I ) ) e α 3 µ α( λ + λ+ λ3 3) α( λ + λ+ λ3 3) σ = λ e p= µλe p α λ µ α( λ + λ+ λ3 3) α( λ + λ+ λ3 3) σ = λ e p= µλe p α λ µ α( λ + λ+ λ3 3) α( λ + λ+ λ3 3) σ 3 = λ 3 e p= µλ3e p α λ 3 σ 3 = 0 ( C) 3 J = det = λλλ = λ = λ3 λ = λ = 3 ( 3 3) p e α λ + µλ λ + λ = λ 3 3 + P e α λ λ = µ λ λ

Modely pro W Exponenciální modely W µ = α ( ( I ) ) e α 3 3 + P e α λ λ = µ λ λ µ = kpa µ = 0 kpa µ = 00 kpa α = α = α = 5 α = 0 µ = kpa P [kpa] P [kpa] Axiální streč λ [-] Axiální streč λ [-]

Modely pro W Kilianův model (van der Waals) H. G. Kilian 980 984 Ulm, Max Planck Institut ( ) ( ) ( ) W = λ 3 3 ( ) m µ ln η λ m µη µ a β I + βi 3 6 ( ) 3 η = β I + βi 3 ( ) λ m 3

Modely pro W Kilianův model (van der Waals) H. G. Kilian 980 984 Ulm, Max Planck Institut W = µ J m I 3 ln Jm W ( ) I I ( ) β + β 3 β I+ βi 3 = µ Jmln µ Jm µ a ( β ) β J m Jm 6 ( I + I 3) 3 J I m = λ 3 m ( ) β I 3 [ ] s. I kd 3 v β + e β 0;

Modely pro W Kilianův model (van der Waals) Jednoosý tah pro nestlačitelný případ ( ) I I ( ) β + β 3 β I+ βi 3 W = µ Jmln µ Jm µ a β J m Jm 6 (( β ) I+ I 3) 3 J m = λ 3 m σ [MPa] Axiální streč λ [-] λ m =.9 λ m =.4 λ m =.9 λ m = 3.4 λ m = 3.9 λ m = 4.4 λ m = 4.9 λ m = 5.4 λ m = 5.9 λ m = 6.4 λ m = 6.9 µ = MPa β = a = 0.7 σ [MPa] Axiální streč λ [-] β = 0 β = 0. β = 0. β = 0.3 β = 0.4 β = 0.5 β = 0.6 β = 0.7 β = 0.8 β = 0.9 β = µ = MPa λ m = 5 a = 0.5

Modely pro W Kilianův model (van der Waals) Jednoosý tah pro nestlačitelný případ σ [MPa] Axiální streč λ [-] ( ) I I ( ) β + β 3 β I+ βi 3 W = µ Jmln µ Jm µ a β J m Jm 6 a = 0 a = 0. a = 0.4 a = 0.6 a = 0.8 a = a =. a =.4 a =.6 a =.8 a = µ = MPa β = 0 λ m = 5 σ [MPa] (( β ) I+ I 3) 3 Axiální streč λ [-] J m = λ 3 m a = 0 a = 0. a = 0.4 a = 0.6 a = 0.8 a = a =. a =.4 a =.6 a =.8 a = µ = MPa β = λ m = 5

Modely pro W Kilianův model (van der Waals) Jednoosý tah pro nestlačitelný případ ( ) I I ( ) 3 β + β 3 β I+ βi 3 J W = µ mln µ Jm µ a (( β ) I+ β I 3) Jm = λm 3 J m Jm 6 σ [MPa] Axiální streč λ [-] a = 0 a = - a = -4 a = -6 a = -8 a = -0 a = - a = -4 a = -6 a = -8 a = -0 µ = MPa β = 0.5 λ m = 5

Modely pro W Arruda-Boyce model 993 Ellen M. Arruda (University of Michigan, Ann Arbor) W = µ N βλc N ln sinh β β Mary C. Boyce (MIT)

Modely pro W Arruda-Boyce model 993 uvažuje průměrování na 8-řatězcový element W = µ N βλc N ln sinh β β λ c I λ + λ + λ = = 3 3 3

Modely pro W Arruda-Boyce model 993 pomocí L(x) zohledňuje limitní průtažnost molekulárního řetězce W = µ N βλc N ln sinh β β β λ L N c = L x = coth x ( ) ( ) x

Modely pro W Arruda-Boyce model 993 pomocí L(x) zohledňuje limitní průtažnost molekulárního řetězce W = µ N βλc N ln sinh β β β λ L N c = L x ( ) x 3 x x

Modely pro W Arruda-Boyce model 993 pomocí L(x) zohledňuje limitní průtažnost molekulárního řetězce

Cvičení

Cv. Odhad parametrů modelu W. Jednoosá tahová zkouška pryže

Cv. Odhad parametrů modelu W Jednoosá tahová zkouška pryže Experiment byl proveden na odboru biomechaniky U05 ČVUT FS Jeho záznam je na obrázku Zdrojová data jsou na adrese http://users.fs.cvut.cz/~hornyluk/files/uniaxial-test-rubber.txt Počáteční rozměry proužku byly Šířka W 5.5 mm Tloušťka H.85 mm Síla [N] Inženýrská deformace ε [-]

Cv. Odhad parametrů modelu W Odhad je založen na minimalizaci o druhých mocnin (čtverců) odchylek mezi modelem a pozorováním. Obor, který se zabývá odhadem parametrů se jmenuje regresní analýza (vyrovnávací počet). Sestavíme účelovou funkci Q, kterou minimalizujeme nějakou ze známých optimalizačních metod (hledání extrému funkce jedné nebo více proměnných)

Cv. Odhad parametrů modelu W n ( ( x, ) ) j,.., k j Q= f c c y j= MODEL ( x,,.., ) y = f c c (např. ) y x j j k...funkce předpovídíající/modelující/simulující relalitu µ σ = µλ λ... j-tá pozorovaná hodnota závisle proměnné (např. σ )... j-tá pozorovaná hodnota nezávisle proměnné (např. c,.., ck...hledané parametry modelu (např. µ ) [ λ λ λ ] 3 )

Cv. Odhad parametrů modelu W n ( ( x, ) ) j,.., k j Q= f c c y j= Minimalizací Q zjistíme [ c,..., c ], která je odhadem [ c,..., c ] k k Stacionární bod Q, který bude pro kvadratické Q minimem, splňuje podmínku: Q c Q = 0 = 0 [ c c ],...,,..., k ck Řešením soustavy odhadneme parametry W.

Cv. Odhad parametrů modelu W R SSres =...Koeficient determinace SS total n ( ( x, ) ),.., SS = f c c y res j k j j= n ( ( ) ) SS = Mean y y total j j j=...nazýváme reziduální součet čtverců...nazýváme celkový součet čtverců

Cv. Odhad parametrů modelu W Data [-,3.5] [-,] [-0.,0.] [0.5,0.] [,.] [.5,.8] [,3.6] (, ) = ax f a x SS SS R res total a = = 0. 86 =. 08 = 0. 9850 0. 887 7 ( ) ( j j) Q = Q a = ax y = j= ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) = a 35. + a + a 0. 0. + ( a05. 0. ) ( a. ) ( a5. 8. ) ( a 36. ) + + + +

Cv. Odhad parametrů modelu W Jednoosá tahová zkouška pryže µ = 0.334 MPa J m = 0.60 Koeficient determinace R = 0.9945 W µ J m 3 ln I = J m

Cv. Odhad parametrů modelu W Jednoosá tahová zkouška pryže c = 0.469 MPa, c = -0.0049 MPa, c 3 = 0.00366 Mpa Koeficient determinace R = 0.9993 ( 3) ( 3) ( 3) 3 W = c I + c I + c I 3

Cv. Odhad parametrů modelu W Jednoosá tahová zkouška pryže µ = 7.46 MPa, µ =.554 0-4 MPa, µ =.0 MPa, α = 0.3859, α = 9.600, α 3 = -0.90 Koeficient determinace R = 0.9997 W 3 k= µ k λ λ λ k ( α ) k αk αk 3 3 = + + α

Cv. Odhad parametrů modelu W Jednoosá tahová zkouška pryže ( ) µ = 0.587 MPa, λ m = 4.08, β = 0, a = 0.9006 Koeficient determinace R = 0.999 ( ) β I + βi 3 β I + βi 3 W = µ ( λ m 3) ln µ ( λ m 3) µ a β I + βi 3 (( ) ) 3 λm 3 λm 3 6 σ [MPa] Axiální streč λ [-]

Cv. Simulace jednoosé tahové zkoušky cévy Jednoosá tahová zkouška anizotropního materiálu Nasimulujte odezvu materiálu střední vrstvy stěny lidské aorty při jednoosém tahu. Pro popis chování materiálu použijte model publikovaný v: G.A. Holzapfel (006) Determination of material models for arterial walls from uniaxial extension tests and histological structure. Journal of Theoretical Biology, 38:90-30. http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf/holzapfel-j_theor_biol-006.pdf µ c ΘΘ ZZ 3 ΘΘ ( ) ( be + b E + be E ) 3 ZZ W = Wiso + Waniso = I + e µ = 3. 4 kpa c= 0. 4 kpa b = 3. 8 b = 3. 5 b = 4. 7 3

Cv. Simulace jednoosé tahové zkoušky cévy Jednoosá tahová zkouška anizotropního materiálu R Θ R R Θ Z Θ

Cv. Simulace jednoosé tahové zkoušky cévy. Jednoosá tahová zkouška anizotropního materiálu. Nejprve dosadíme za Green-Lagrangeovy strainy E streče, když předpokládáme λr 0 0 T F = 0 λθ 0 E= ( F F I ) EKK = ( λk ) K = R, Θ, Z 0 0 λ Z. Získáme konstitutivní rovnici 3. Eliminujeme p pomocí σ rr = 0 W σ kk = λ K p k = r, θ, zk ; = R, Θ, Z λ K 4. Aplikujeme nestlačitelnost λr = λλ Θ Z

Cv. Simulace jednoosé tahové zkoušky cévy Jednoosá tahová zkouška anizotropního materiálu 5. Složky napětí jsou funkce dvou proměnných, dík anizotropii materiálu (, ) (, ) σ = σ λ λ σ = σ λ λ θθ θθ Θ Z zz zz Θ Z K výpočtu neznámého příčného streče (streč ve směru zkoušky volíme) použijeme okrajovou podmínku nulovosti příčného napětí. Tj. je-li zkouška ve směru λ Θ, λ Z vypočteme z rovnice σ zz (λ Z ) = 0 pro zvolenou hodnotu λ Θ. Skutečné napětí σ [kpa] Úlohu musíme řešit numericky v dostatečném počtu bodů, aby výsledné křivky vypadaly hladce

Cv. 3 Simulace tahové zkoušky D vs D Předpověď chování při D rovnoosém tahu izotropní pryže ( ) µ = 0.587 MPa, λ m = 4.08, β = 0, a = 0.9006 ( ) β I + βi 3 β I + βi 3 W = µ ( λ m 3) ln µ ( λ m 3) µ a β I + βi 3 (( ) ) 3 λm 3 λm 3 6 σ 33 = 0 σ = σ λ = λ σ = σ λ = λ σ σ σ W = λ λ 33 33 W = λ λ W = λ λ 33 p p p

Cv. 3 Simulace tahové zkoušky D vs D Předpověď chování při D rovnoosém tahu izotropní pryže p = λ 33 W λ 33 W σ ( λ, λ ) = λ λ W 33 λ λ33 W σ ( λ, λ ) = λ λ W 33 λ λ33 33 = λ λ λ 33 = λ λ λ W W W W σ ( λ) = λ λ = λ λ 33 33 λ λ33 λ λ λ λ λ33 λ = λλ = λ λ λ λ λ = λλ = λ 33 = 33, =,

Cv. 3 Simulace tahové zkoušky D vs D Předpověď chování při D rovnoosém tahu izotropní pryže vs. D tah σ 0 0 λ 0 0 σ = 0 σ 0 F = 0 λ 0 0 0 0 0 0 λ σ [MPa] σ 0 0 σ = 0 0 0 0 0 0 F λ 0 0 = 0 λ 0 0 0 λ D vs D stav napjatosti! Streč λ [-] D λ max 4.047 D λ max.903

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice Inflace-extenze válcové trubice Nasimulujte odezvu uzavřené tenkostěnné válcové trubice, která je nafukována vnitřním tlakem P. Trubici považujte za dostatečně dlouhou, aby odezněly okrajové poruchy (ohybové momenty vzniklé připojením dna). Zabývejte se pouze odezvou ve střední části trubice. Uvažujte materiál s Gentovým modelem W pro J m = 0 a 5. W µ J m I 3 = ln J m

Cv. 4 Inflace a extenze válcové trubice Válcová membránová skořepina Referenční konfigurace r = λ R z = λ Z h = λ H θθ zz rr HH RR Průběžná konfigurace LL P ext = 0 PPPPrr ii FF rrrrrr F h 0 0 0 0 H λrr r = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ zz l 0 0 L rr P int = P h ll

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice F F r t F z = 0 σ = 0 rr = 0 σ = = 0 σ = tt zz Pr h Pr h σ σ σ rr θθ zz W = 0 λrr p = 0 λ Pr W Pr = λθ Θ p = h λ h Pr W Pr = λzz p = h λ h rr θθ zz

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice σ rr = 0 p = µλ rr rr θθ zz λ + λ + λ 3 J m λ rr = λ λ θ Θ zz J J µλ θθjm µ Jm Pλθ ΘλθΘλzZ R = H + λ + λ 3 λ λ + λ + λ 3 m θθ zz θθ zz J m θ zz λθ λ Θ Θ zz λθ ΘλzZ µλ zz Jm µ Jm Pλθ ΘλθΘλ = H + λ + λ 3 λ λ + λ + λ 3 m θθ zz θθ zz J m θ zz λθ λ Θ Θ zz λθ ΘλzZ zz R

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice Nakonec celou soustavu normalizujeme µ (tj. podělíme) a zavedeme součinitel tenkonstěnnosti ε = H/R. Rovnice jsou nyní bezrozměrné! Soustavu řešíme následujícím způsobem: () Zvolíme λ θθ () Rovnice řešíme pro neurčité P a λ zz (3) Postup opakujeme v takovém počtu a s tak jemným krokem pro λ θθ, abychom získali dostatečně hladké křivky

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice Oblasti kinematicky přípustných deformací pro J m = 0 a 5 a stopa inflace ve fázovém prostoru

Cv. 4 Inflační nestabilita nelineární trubice Získaná řešení pro oblast po ztrátě stability nafukování musíme považovat pouze přibližná, protože výpočty jsme provedli za předpokladu válcovitosti trubice. Experimentálně lze ale ověřit, že za mezí stability dochází ke změně způsobu deformace: Rovnoměrná inflace válce přejde jedné z následujících možností: vydutí (bulging), vzepření (průhyb jako u ztráty stability prutu). U vydutí je navíc možno rozlišit mezi: axiálním šířením výduti při konstantním poloměru ve střední části výduti, nebo nerovnoměrným nafukováním výduti.

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? Nejprve si odvodíme elementární vzorec pro šíření tlakové vlny trubicí. Obecně jde o poměrně obtížnou úlohu, a tak přijmeme několik zjednodušujících předpokladů. Geometrie bude tenká válcová trubice Vlna bude dlouhá a její čelo bude do délky růst jen pozvolně Kapalina bude ideální (nestlačitelná, nevazká) Setrvačná síla daná zrychlením stěny trubice bude zanedbatelná proti setrvačné síle kapaliny

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? P( z) P A A A z P z P z dz A z dz P z dz Adza z z z z ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) = ρ ( ) P( z ) P( z) A( z ) P( z) A( z) dz v( z) P + z A + dz z dz Síla zleva Síla zprava Příspěvek síly od stěn Setrvačná síla P( z) A( z ) A( z) dz da A P = P dz z α da = da A dz z

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? P( z) P A A A z P z P z dz A z dz P z dz Adza z z z z ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) = ρ ( ) P( z ) P( z) P + z dz Korektní výpočet zrychlení vyžaduje materiálovou derivaci A( z ) P( z) A( z) dz A + z dz a Dv v v = = + v Dt t z v( z)

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? Silová rovnováha tedy říká, že P A A A z P z P z dz A z dz P z dz Adza z z z z ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) = ρ ( ) v v P + v + = t z ρ z 0

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? Připomeňme si, že silová rovnováha je obecně obsažena v bilanci hybnosti, kterou pro lineárně vazkou kapalinu obvykle píšeme ve formě Navierových-Stokesových rovnic. Pro případ nestlačitelné kapaliny píšeme: v + grad = grad P + div grad + grad t ρ ρ Materiálová derivace D v Dt µ T ( ) ( v) v ( ) ( v) ( v) Vektor rychlosti proudění Pro nevazkou kapalinu 0 v = 0 v µ = 0

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? Bilance hmoty vede k rovnici kontinuity pro nestlačitelnou kapalinu ve formě (jde nám o vtok a výtok hmoty + v čase se pohybující hranici): va A dt t va va + z dz va z va A ρva = ρva + dz + dz z t A + = 0 t dz

Cv. 5 Jak rychle se šíří tlaková vlna trubicí? Pokračujme v úpravách rovnici kontinuity. Předpokládejme, že při průchodu tlakového pulsu se trubice deformuje jako uzavřená válcová membránová skořepina, u níž zanedbáváme okrajové efekty (vetknutí): r = λ R z = λ Z h = λ H θθ zz rr F h 0 0 0 0 H λrr r = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ zz l 0 0 L