Technická univezita v Libeci Fakulta příodovědně-humanitní a pedagogická Kateda matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY Pomocný učební text Peta Piklová Libeec, leden 04
V tomto textu si budeme všímat všech křivek obecně a v závěu se zaměříme na jednu speciální křivku šoubovici, kteou budeme také zobazovat v nám známých zobazovacích metodách. V tomto textu budeme křivkou ozumět dáhu pohybujícího se bodu. Je to tedy množina nekonečného počtu bodů, kteé závisí na paametu (čase). Poto můžeme křivku také nazvat jednopaametickou množinou bodů. Zavedeme-li si souřadnicový systém {0, x, y, z} pak můžeme křivku definovat pomocí vektoové funkce. Vektoovou funkcí jedné eálné poměnné ozumíme takovou funkci, kteá každému číslu t z intevalu T R jednoznačně přiřazuje vekto, jehož počátečním bodem je počátek soustavy souřadnic 0 a koncovým bodem je bod na křivce. Píšeme. z (t) 0 (t) y x Vektoová funkce ůžeme psát t jsou pak souřadnicemi poměnného vektou obou deivace všech řádů. Rovnice křivky, kde t je paamet.. Reálné funkce x(t), y(t), z(t) poměnné. A předpokládáme, že mají v definičním jsou paametické ovnice VZÁJENÁ POLOHA PŘÍKY A KŘIVKY áme dánu křivku a na ní si zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Pokud spojíme body AT do přímky, získáme sečnu křivky. Přibližujeme-li bod A k bodu T tak dlouho, až tyto dva body splynou, pak získáme tečnu křivky v bodě T a bod T je bodem dotyku tečny. T t A s Tečna a sečna křivky Směovým vektoem tečny je pvní deivace vektoové funkce křivky. Tečnou křivky je tedy přímka učená bodem křivky a tečným vektoem. Píšeme = T +s, kde = (x (t), y (t), z (t)), je tečný vekto a T[T, T, T 3 ] dotykový bod.
Úsečka na sečně, kteá je omezena dvěma body na křivce, je tětiva. Kolmice, kteá je sestojená v bodě dotyku na tečnu, se nazývá nomála křivky. Tečna, kteá se dotýká křivky v nevlastním bodě (v nekonečnu), je asymptotou křivky. n T t Nomála křivky KLASIFIKACE ODŮ NA KŘIVCE. Rozdělení bodů, v nichž má křivka jedinou tečnu. Nech t je dána křivka, na ní bod T a v bodě T je dána tečna t ke křivce. V okolí bodu T zvolíme bod křivky A. Pokud se bod A pohybuje ke křivce, pak se také pohybuje sečna křivky AT. Splyne-li bod A s bodem T, splývá sečna s tečnou. od A se při pohybu po křivce, pohybuje také po sečně (přímce). t T A s Regulání bod křivky Pokud se nemění smysl pohybu bodu A, ani přímky AT, pak se bod A nazývá egulání. Pokud se mění smysl pohybu bodu A po křivce, nebo se mění smysl pohybu přímky AT, příp. obojího, pak bod A se nazývá singulání. Singulání body dělíme na: a) inflexní bod bod A se pohybuje do bodu T a poté do bodu A. Přitom se přímka AT pohybuje po směu hodinových učiček až do polohy tečny v bodě T ke křivce a poté se pohybuje do polohy A T poti směu hodinových učiček A s=s T t A Inflexní bod 3
b) bod vatu. duhu bod A se pohybuje po křivce do bodu T a ten poté do bodu A. Při tomto pohybu se změní smě jeho pohybu. Sečna s přejde do polohy tečny t a pak do polohy sečny s, přičemž se smě pohybu nezmění. s A t s A T od vatu. duhu c) bod vatu. duhu smě pohybu bodu A po křivce do bodu A i smě pohybu sečny s do polohy sečny s se mění s s A A T t od vatu. duhu. ody v nichž má křivka více tečen. Takové body se nazývají vždy singulání. Typy dvojnásobných bodů (křivka má v tomto bodě dvě tečny)jsou následující: a) uzlový bod t t Uzlový bod b) bod vatu. duhu v bodě je jedna dvojnásobná tečna c) izolovaný dvojnásobný bod v bodě jsou dvě komplexně sdužené tečny Izolovaný dvojnásobný bod 4
Další typy vícenásobných bodů: např. tojnásobný bod, taknodální bod (křivka se v něm dotýká sama sebe). Tojnásobný bod Taknodální bod funkce Souřadnice singuláního bodu vypočteme tak, že souřadnice pvní deivace vektoové položíme ovnu nule. PRŮVODNÍ TROJHRAN KŘIVKY Pvky původního tojhanu křivky v jejím eguláním bodě křivky jsou tři přímky: tečna t, binomála b, hlavní nomála n a tři oviny: nomální ovina, oskulační ovina a ektifikační ovina b T n t Původní tojhan křivky Nomální ovina je kolmá v bodě T k tečně křivky. Každá přímka, kteá leží v této ovině, se nazývá nomála křivky. Nomála, kteá leží záoveň v oskulační ovině, se nazývá hlavní nomála. Nomála, kteá je k oskulační ovině kolmá, je binomála. Tečný vekto spočítáme jako pvní deivaci: vektoový součin pvní a duhé deivace. Vekto binomály učíme jako a vekto hlavní nomály jako vektoový součin binomálového a tečného vektou. Pokud je křivka ovinná, pak její ovina je záoveň oskulační ovinou této křivky. Tedy, jeli křivka ovinná, pak leží v oskulační ovině, kteá je po všechny její body stejná. 5
KŘIVOST Křivost křivky udává velikost jejího zakřivení v bodě a definujeme ji tedy limitou: kde φ je úhel tečny v daném bodě a tečny v bodě dosti blízkém danému bodu, s je délkou oblouku křivky ohaničeného zmíněnými body. Tedy pvní křivost je míou ychlosti změny směu tečny při pohybu po křivce., t t Křivost křivky Převácená hodnota této křivosti v eguláním bodě křivky je polomě oskulační kužnice ρ, kteý se nazývá polomě křivosti. vzocem: Pvní křivost křivky vyjádřené paameticky je dána. OSKULAČNÍ KRUŽNICE Křivky v malém okolí jejího eguláního bodu lze nahadit tzv. oskulační kužnicí (kužnicí křivosti), jejím poloměem je polomě křivosti a středem střed křivosti. Střed křivosti v bodě T křivky lze sestojit tak, že v bodě T učíme tečnu t a v okolí bodu T na křivce bod. Kužnice, kteá pochází body, T a záoveň, aby tečna t ke křivce byla také její tečnou, je jediná. Střed takové kužnice leží na nomále křivky v bodě T. Pokud se bod bude limitně přibližovat k bodu T, pak na nomále v bodě T učíme střed oskulační kužnice. T t S n Oskulační kužnice 6
Pokud je křivka dána vektoovou funkcí, pak souřadnice středu oskulační kužnice v bodě křivky učíme pomocí tohoto vzoce: kde jsou souřadnice bodu, je polomě křivosti kužnice a je jednotkový vekto hlavní nomály v daném bodě. Evoluta křivky je množina všech středů oskulačních kužnic (středů křivosti) dané křivky. U kuželoseček jsme se již setkali s pojmem oskulačních kužnic v jejich vcholech. Nazývali jsme je také hypeoskulačními kužnicemi, potože mají s kuželosečkou v jejím vcholu čtyřbodový styk., ROVINNÉ KŘIVKY Křivka je ovinná, pokud všechny její body leží v jedné (oskulační) ovině. áme-li zadánu ovinnou křivku, kteou nelze popsat ovnicí (nebo její ovnici neznáme), lze získat její tečnu v bodě T křivky následující přibližnou konstukcí. l p P T P t k P P P k k Konstukce tečny v bodě křivky Zvolíme si kužnici se středem v bodě T křivky k a s libovolným poloměem. odem T vedeme přímku p, kteá potne křivku v bodě P a kužnici potne v P a P. Na přímce p pak učíme body P a P tak, že,. Tuto konstukci několikát opakujeme. ody P pak leží na křivce k a body P na křivce k. Půsečíky těchto křivek k a k s kužnicí l pochází tečna ke křivce v bodě T. Křivky k, k sestojené způsobem popsaným výše (nebo sestojené pomocí ozdílu úseček) se nazývají kisoidy. Chceme-li sestojit k nějaké křivce tečnu z daného bodu, pak z tohoto bodu sestojujeme sečny na křivce. Křivka, kteá spojuje středy tětiv, jež vytínají zmíněné sečny, pochází bodem T na křivce. od T je hledaným bodem dotyku tečny spuštěné na křivku z daného bodu. 7
T A k Konstukce tečny ke křivce Nyní popíšeme přibližnou konstukci nomály křivky v daném bodě, kteý na křivce neleží. Ze středu ýsujeme kužnice o ůzných poloměech. Poté nalezneme středy oblouků, kteé na křivce vytíná křivka. Křivka, kteá pochází těmito středy oblouků, potíná křivku v bodě N, kteým pochází hledaná nomála. n N k Konstukce nomály v bodě křivky áme-li dánu soustavu ovinných křivek, pak křivka, kteá se dotýká všech daných křivek, se nazývá obálka soustavy křivek. Např.: kuželosečka je obálka amen pavého úhlu, jehož duhé ameno pochází ohniskem a vchol se pohybuje po vcholové kužnici, popř. po vcholové přímce. v C A F S E D Elipsa jako obálka amen pavého úhlu Křivky jako obálky soustavy kužnic NĚKTERÉ ROVINNÉ KŘIVKY: a) Achimédova spiála vznikne složením dvou ovnoměných pohybů. od se ovnoměně vzdaluje od zvoleného bodu na přímce, kteá se kolem bodu otáčí. 8
3 4 5 Achimédova spiála b) Cykloida vznikne jako dáha bodu, kteý je pevně spojenou s kužnicí k, kteá se kotálí po jiné kužnici k nebo po přímce Pevná křivka je kužnice: k k k k k k Vznik epicykloidy Vznik peicykloidy Vznik hypocykloidy. Epicykloida jsou-li kužnice vně sebe (pokud jsou poloměy kužnic shodné, nazýváme tuto epicykloidu kadioida, jsou-li v poměu :, nazýváme jí nefoida) Kadioida Nefoida. Peicykloida leží-li pevná kužnice uvnitř pohybující se kužnice 3. Hypocykloida leží-li pohybující se kužnice uvnitř pevné kužnice (jsou-li poloměy kužnic v poměu :4, nazýváme jí asteoida) Asteoida Je-li pevná křivka přímka:. Postá cykloida vznikne, když její tvořící bod leží přímo na pohybující se kužnici 9
Postá cykloida. Zkácená cykloida tvořící bod leží uvnitř kužnice Zkácená cykloida 3. Podloužená cykloida tvořící bod leží vně kužnice Podloužená cykloida c) Stofoida ta je popsána pouze způsobem, kteým je vytvořena. áme-li dány dvě kolmé přímky x, y a na přímce x je bod A, pak bodem A vedeme přímky, na kteé nanášíme od jejich půsečíku s přímkou y vzdálenost tohoto půsečíku od půsečíku O přímek x, y. y A O x Stofoida d) cs.wikipedia.og cs.wikipedia.og 0
REKTIFIKACE Rektifikace oblouku křivky znamená, že tento oblouk nahadíme úsečkou, kteá má stejnou délku jako zmiňovaný oblouk křivky. Při ozvinutí (ektifikaci) oblouku křivky na ní zvolíme vhodný počet bodů a nahadíme oblouk lomenou čaou. Samozřejmě, čím větší počet bodů zvolíme, tím přesnější ektifikace bude. Nikdy však nebude úplně přesná. Rektifikace křivky Nejčastěji je třeba ozvinout kužnici popřípadě její oblouk. K tomuto účelu používáme přibližné konstukce. a) Kochaňského ektifikace slouží ke zjištění délky půlkužnice. b) Sobotkova ektifikace je vhodná pouze po oblouky do 30. c) d Ocagnova ektifikace používá se po středové úhly do 90. T 30 p A S A P Q R A S Kochaňského ektifikace Sobotkova ektifikace d`ocagnova ektifikace Věta: Půmětem křivky je vždy křivka. PRŮĚT PROSTOROVÉ KŘIVKY Je-li křivka ovinná a střed pomítání leží v její ovině, pak půmětem křivky je přímka. ezi body ovinné křivky a jejím půmětem platí středová kolineace, jejímž středem je střed pomítání. Věta: Regulání (singulání) bod se zobazí do eguláního (singuláního) bodu.
Pokud vedeme bodem v postou ovnoběžky s tečnami postoové křivky, pak dostaneme kuželovou plochu, kteé říkáme řídící kuželová plocha. Pokud je křivka konstantního spádu ( = spád křivky je konstantní, je odchylka tečny v bodě křivky od zvolené oviny), potom řídící kuželová plocha je otační. k Řídící kuželová plocha křivky
ŠROUOVICE Jednou z nejvýznamnějších postoových křivek je šoubovice. Paametickými ovnicemi ji můžeme popsat takto: Podle těchto ovnic můžeme vidět, že šoubovice vzniká šoubovým pohybem bodu. Šoubový pohyb je složením ovnoměného otáčivého pohybu kolem přímky (po kužnici) a ovnoměného posuvného pohybu ve směu této přímky. Pevná přímka se nazývá osa šoubového pohybu. Osa šoubového pohybu po šoubovici se nazývá osa šoubovice. Podle definice šoubového pohybu bodu můžeme říct, že šoubovice leží na otační válcové ploše, kteá vznikne otací přímky ovnoběžné s osou šoubového pohybu kolem této osy. Osa válcové plochy o je totožná s osou šoubovice a její polomě je ovný vzdálenosti tvořícího bodu šoubovice od osy o. Šoubový pohyb je dvojího duhu, levotočivý a pavotočivý. Stejně tak šoubovice je pavotočivá a levotočivá, podle toho zda otáčení bodu při šoubovém pohybu je po (levotočivá) nebo poti (pavotočivá) směu chodu hodinových učiček. o o Pavotočivý pohyb (+) Levotočivý pohyb (-) Poznámka: Šipkou budeme v půdoysu vyznačovat smě stoupání šoubovice. Pokud se bod při šoubovém pohybu otočí o 360 ( ) pak se posune ve směu osy o výšku v, kteou nazýváme výškou závitu. Při otočení o ad se bod posune o výšku b, kteou nazýváme edukovanou výškou závitu. Z výše napsaného je zřejmé, že šoubový pohyb je učen osou, směem otáčení (pavotočivý/levotočivý) a edukovanou výškou závitu. Potože tečny šoubovice svíají s její osou konstantní úhel, šoubovice je křivkou konstantního spádu. Poto je také řídící kuželová plocha tečen šoubovice otační. Za její řídící kužnici volíme řídící kužnici válcové plochy šoubovice. Vchol řídící kuželové plochy je od oviny řídící kužnice vzdálen o edukovanou výšku závitu b. Rozvineme-li část válcové plochy, na kteé je jeden závit šoubovice, pak řídicí kužnice válcové plochy (šoubovice) můžeme ozvinout do úsečky délky (obvod řídicí kužnice) a šoubovice se ozvine ovněž do úsečky, kteá je přeponou pavoúhlého 3
tojúhelníka s odvěsnami, kteé jsou tvořeny úsečkami a v =. Pavoúhlý tojúhelník nazýváme chaakteistický tojúhelník šoubovice. z=o v = O x y v b Chaakteistický tojúhelník šoubovice Chaakteistický tojúhelník šoubovice se užívá v úlohách o šoubovici, kteé jsou uvedeny dále. 4
ZORAZENÍ ŠROUOVICE V ONGEOVĚ PROÍTÁNÍ Po jednoduchost konstukcí budeme umísťovat šoubovici tak, že její osa bude kolmá k půdoysně. V takovém případě se v ongeově pomítání zobazí šoubovice v půdoysu jako kužnice a v náysu jako sinusoida. Příklad: Sestojte jeden závit pavotočivé šoubovice, je-li dán bod šoubovice A, výška závitu v a osa šoubovice je kolmá k půdoysně. Půdoysem šoubovice je kužnice se středem v o a pocházející bodem A. Tuto kužnici od bodu A ozdělíme po 30 na bodů (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, ). Každý z těchto bodů vznikne otočením o 30 od bodu předchozího a posunutím ve směu stoupání o / výšky závitu v, kteá přísluší otočení o 360. 0 v o 9 3 8 4 7 5 6 A 9 y, 0 8 7 = A o 6 3 4 5 Sestojení závitu šoubovice - řešení 5
Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Nalezněte náys bodu šoubovice, je-li dán jeho půdoys. o z y, o b z Nalezení náysu bodu šoubovice v ongeově pomítání Nejdříve sestojíme chaakteistický tojúhelník. Pomocí ektifikace Sobotkovou ektifikací oblouku kužnice sestojíme bod na polopřímce tak, aby velikost úsečky byla ovna velikosti oblouku kužnice. Velikost úsečky je velikost posunutí z příslušného k otočení o úhel. Úlohu lze také fomulovat jako nalezení posunutí, kteé přísluší otočení o učitý úhel, nebo jako sestojení půsečíků šoubovice s ovinou α o. 6
Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Najděte její půsečík s ovinou α o. od leží v ovině α, poto víme, jaké je jeho posunutí z vůči bodu. Opět musíme sestojit chaakteistický tojúhelník V. Po nanesení posunutí z do chaakteistického tojúhelníka nalezneme otočení příslušné k posunutí, dané vztahem. Úsečku z tojúhelníku navineme na kužnici v půdoysu (pomocí Sobotkovy ektifikace) a získáme půdoys. Náys leží na náysné stopě oviny a na odinále z bodu. o z y, o V b z Půsečík šoubovice s ovinou ovnoběžnou s půdoysnou v ongeově pomítání Poznámka: Stejné řešení má také úloha k danému posunutí najděte příslušné otočení. 7
Příklad: V bodě šoubovice sestojte původní tojhan šoubovice. Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Tečna: Půdoys tečny t v bodě je tečna kužnice. Řídící kuželovou plochu (vchol) umístíme do bodu na ose, kteý je od půdoysny vzdálen o vzdálenost b. Půdoys této řídící kuželové plochy (kužnice) splývá s půdoysem šoubovice. Půdoys: Vcholem řídící kuželové plochy (splývá s o ) vedeme ovnoběžku t s tečnou t (viz obázek). Půdoysný stopník P leží na podstavě řídící kuželové plochy. Učíme jeho polohu podle stoupání šoubovice. Náys: Náysem půdoysného stopníku P a náysem vcholu řídící kuželové plochy vedeme přímku t. S touto přímkou je ovnoběžná tečna t, kteá pochází bodem. Hlavní nomála: Hlavní nomála šoubovice je vždy kolmá na osu a vždy ji potíná. Půdoys: Vždy je n kolmý na tečnu t a pochází o. Náys: n je ovnoběžná se základnicí y,. inomála: inomála je přímka kolmá na oskulační ovinu, kteá je učena tečnou a hlavní nomálou. Tedy půdoys a náys binomály jsou kolmé na půdoysnou a náysnou stopu oskulační oviny, kteou sestojíme pomocí stopníků tečny a hlavní nomály. Půdoys binomály vždy splývá s půdoysem tečny. b t o n t n b P t y, o t = b P n Původní tojhan šoubovice v ongeově pomítání 8
ZORAZENÍ ŠROUOVICE V PRAVOÚHLÉ AONOETRII Příklad: Zobazte jeden závit pavotočivé šoubovice, jejíž osa splývá s osou z. Šoubovice je dána výškou závitu v, edukovanou výškou závitu b a tvořícím bodem. Axonometickým půdoysem šoubovice je elipsa a jejím axonometickým půmětem je křivka. Axonometický půmět sestojíme jako axonometické půměty dvanácti bodů šoubovice postupným otáčením bodu o 30. Posunutí těchto bodů při příslušném otáčení učíme z chaakteistického tojúhelníka. Vždy však musíme zjistit v otočení pomocných půměten do půmětny axonometické, jak se skutečné vzdálenosti zkeslí. (z) z (v) (b) (v/) (O) (x) b v/ O (y) I x () y (O) v V b z v/ Šoubovice v pavoúhlé axonometii 9
ÚLOHY O ŠROUOVICI V PRAVOÚHLÉ AONOETRII Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Nalezněte axonometický půmět bodu šoubovice, je-li dán jeho axonometický půdoys. V otočení půdoysny do axonometické půmětny učíme řídící kužnici a na ní bod (), tím zjistíme úhel otočení půdoysu bodu vůči bodu. Poté sestojíme chaakteistický tojúhelník. Pomocí ektifikace oblouku ()() v otočení do půdoysny sestojíme bod na polopřímce tak, aby velikost úsečky byla ovna velikosti oblouku ()() tj.. Velikost úsečky je velikost posunutí Δz, příslušného k otočení o úhel. Velikost (Δz) naneseme na otočenou osu (z), čímž získáme velikost Δz posunutí bodu ve směu osy z. (z) z ( z) (O) (x) z O z (y) I x () y (O) ( ) V b z Nalezení náysu bodu šoubovice v pavoúhlé axonometii Poznámka: Úlohu lze fomulovat také jako nalezení posunutí Δz, kteé přísluší otočení o úhel nebo sestojení půsečíků šoubovice s ovinou α o. 0
Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Sestojte její půsečík s ovinou. Zadaný bod leží v ovině (sestojíme ji pomocí hlavních přímek pocházejících bodem, víme-li, že ovina α π) a bod leží v ovině, posunuté o Δz od oviny α. Nyní nalezneme skutečnou velikost (Δz) posunutí na (z). Sestojíme chaakteistický tojúhelník a na něm zjistíme velikost otočení příslušné k posunutí Δz, =. Velikost navineme pomocí Sobotkovy ektifikace na řídící kužnici šoubovice otočenou do axonometické půmětny a získáme bod ( ). Poté pomocí afinity mezi otočenými axonometickými půdoysy do axonometické půmětny a axonometickými půdoysy získáme axonometický půdoys a posléze pomocí posunutí o Δz axonometický půmět. (z) z ( z) (O) (x) m m z O z z n n (y) x () y (O) ( ) V b z Půsečík šoubovice s ovinou ovnoběžnou s půdoysnou v pavoúhlé axonometii Poznámka: Tato úloha má stejné řešení jako úloha: k danému posunutí nalezněte příslušné otočení.
Příklad: V bodě šoubovice sestojte její tečnu. Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem Otočený axonometický půdoys (t ) tečny v bodě ( ) je tečnou k otočené kužnici. Pomocí afinity získáme axonometický půdoys t. Otočeným půdoysem osy šoubovice (O) (otočeným vcholem řídící kuželové plochy šoubovice) vedeme ovnoběžku (t ) s přímkou (t ). Její otočený půdoysný stopník (P) leží na řídící kužnici, pomocí afinity najdeme jeho axonometický půmět P. Tento bod P pak spojíme s vcholem řídící kuželové plochy šoubovice, kteý leží na ose šoubovice ve vzdálenosti b od půdoysny (pomocí sklopení osy z musíme nalézt zkácenou délku b). Tím vznikne axonometický půmět t přímky, kteá je ovnoběžná s hledanou tečnou t šoubovice v bodě. (z) t z t t (b) (O) t (x) b O (y) P x (P) y (t ) (O) (t ) ( ) Tečna ke šoubovice v pavoúhlé axonometii Poznámka: Všechny úlohy jsou řešeny po pavotočivou šoubovici. Řešení po levotočivou jsou obdobná, poveďte si je jako cvičení samostatně.
ZORAZENÍ ŠROUOVICE V KOSOÚHLÉ PROÍTÁNÍ V kosoúhlém pomítání se zobazí šoubovice jako křivky. Je-li její osa kolmá k půdoysně, pak jejím kosoúhlým půmětem je elipsa. Při sestojování šoubovice a při řešení úloh o šoubovici v kosoúhlém pomítání postupujeme obdobně jako v pavoúhlé axonometii, pouze musíme přihlédnout k příslušným ozdílům, mezi těmito zobazovacími metodami. Příklad: Sestojte jeden závit pavotočivé šoubovice v kosoúhlém pomítání ( = 35, q = /3). Polomě řídící kužnice je, osa šoubovice splývá s osou z a výška závitu je v. Nejdříve sestojíme kosoúhlý půdoys s k šoubovice, kteým je elipsa se středem v počátku soustavy souřadnic. Použijeme afinitu mezi kosoúhlými půdoysy a půdoysy bodů. Řídící kužnici s ozdělíme na dvanáct dílů. V sestojených bodech vztyčíme kolmice (ovnoběžky s osou z). Výšku závitu v ozdělíme na dílů a vždy při otočení o 30 se posuneme ve směu osy o / výšky závitu v. Takto sestojíme bodů na jednom závitu šoubovice. z v s k O k y s k s x k x Šoubovice v kosoúhlém pomítání POUŽITÁ LITERATURA:. Uban, A.: Deskiptivní geometie II, SNTL, Paha 965 3