.8 Zobecnění vtahů mei atížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut atížený v rovině) µ x N V M dm µ df df x =R. MdM x NdN VdV Náhradní břemena: df x = x. df =. dm µ =µ. Obecný rovinný prut: spojité atížení silové ( x, ), momentové (µ) R / / R poloměr křivosti malé cos 1 sin tan 005010 Petr Kabele
V N M R dm µ / df df x =R. / VdV MdM NdN Rovnováha prutového elementu ( N N dn ) cos ( V V dv ) sin dfx = 0 ( N N dn ) sin ( V V dv ) cos df = 0 M M dm V V dv R dm µ = ( ) ( ) 0 005010 Petr Kabele
Úprava podmínek rovnováhy 1 / 1 / ( N N dn ) cos ( V V dv ) sin dfx = 0 ( N N dn ) sin ( V V dv ) cos df = 0 ( M M dm ) ( V V dv ) R dm µ = 0 anedbáme součiny dierenciálů dv. atd. a dosadíme a d ϕ =, df x, df, dm µ R dn V x = 0 R N dv = 0 R dm V µ = 0 : dn V = x R dv N = R dm = V µ (1) () (3) soustava dierenciálních rovnic pro N, V, M 005010 Petr Kabele
dm Pro µ = 0 se rovnice (3) jednoduší na V = (Schwedlerova věta) dm extrém ohybového momentu nastává v místě, kde = 0, tj. V = 0 Pro přímý prut R, takže rovnice (1), (), (3) se jednoduší na dn = x dv = dm = V µ (4) (5) (6) dm Jeli navíc µ = 0, pak V (7) = a tedy d M dv = = (8) d s 005010 Petr Kabele
.9 Důsledky dierenciálních vtahů mei atížením a vnitřními silami dn( s) = x ( s) (4) dn( s) x ( s) > 0 < 0 N( s) ce. klesající (a) dn( s) x ( s) < 0 > 0 N( s) ce. rostoucí (b) dn( s) x ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce N( s) (c) x (s) N(s) (a) (c) (b) 005010 Petr Kabele
derivace (4) ( ) d s = x d N s ( ) dx ( s) d N( s) > 0 ( x ( s) rostoucí) < 0 N( s) ce. konkávní dx ( s) d N( s) < 0 ( x ( s) klesající) > 0 N( s) ce. konvexní (a) (b) (a) (b) x (s) x (s) N(s) N(s) 005010 Petr Kabele
dv ( s) = ( s) (5) dv ( s) ( s) > 0 < 0 V ( s) ce. klesající (a) dv ( s) ( s) < 0 > 0 V ( s) ce. rostoucí (b) dv ( s) ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce V ( s) (c) (s) V (s) (a) (c) (b) 005010 Petr Kabele
d V s derivace (5) ( ) d ( s) = d ( s) d V ( s) > 0 ( ( s) rostoucí) < 0 V ( s) ce. konkávní d ( s) d V ( s) < 0 ( ( s) klesající) > 0 V ( s) ce. konvexní (a) (b) (a) (b) (s) (s) V(s) V(s) 005010 Petr Kabele
dm ( s) = V ( s) (předp.µ(s) = 0) (7) dm ( s) V ( s) > 0 > 0 M ( s) ce. rostoucí (a) dm ( s) V ( s) < 0 < 0 M ( s) ce. klesající (b) dm ( s) V ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce M ( s) (c) V(s) M(s) rostoucí (a) (c) (b) klesající 005010 Petr Kabele
d M s ( ) dv ( s) = = ( s) (8) ( s) < 0 (s) dv ( s) ( V s ) > 0 ( ) rostoucí V(s) d M s ( ) > 0 M ( s) ce. konvexní M(s) 005010 Petr Kabele
d M s ( ) dv ( s) = = ( ) n s (8) n ( s) > 0 (s) dv ( s) ( V s ) < 0 ( ) klesající V(s) d M s ( ) < 0 M ( s) ce. konkávní M(s) 005010 Petr Kabele
dn x ( s) = ce. x 0 konst. lineární polynom n (4) ce. N konst. lineární kvadratická polynom (n1) o o dv = ( s) dm = V ( s ) µ ( s ) (5) (6) ce. 0 konst. lineární polynom n o ce. V konst. lineární kvadratická ce. M lineární kvadratická kubická polynom (n1) o polynom (n) o ce. µ 0 konst. lineární polynom n o ce. M konst. lineární kvadratická polynom (n1) o 005010 Petr Kabele
Příklad 1: Vykreslete průběhy posouvající síly a ohybového momentu. s max = 6 kn/m A v A h 3 m x 3 m B 005010 Petr Kabele
005010 Petr Kabele
Příklad : Je nám průběh ohybového momentu na přímém prutu. Vykreslete odpovídající průběhy posouvající síly a atížení prutu. 005010 Petr Kabele
.10Řešení průběhů vnitřních sil pomocí dierenciálních rovnic s okrajovými podmínkami Rovnice (4), (5) a (6) nebo (8) neávislé dierenciální rovnice pro N, V, M. Umíme řešit přímou integrací. x 1 N = C V = C M = ( V µ ) C = µ C s C 3 n 3 C 1, C a C 3 integrační konstanty, které určíme okrajových podmínek (námých hodnot N, V, M na okrajích koumaného prutu). úloha s okrajovými podmínkami 005010 Petr Kabele
Př. 1: Analyujte průběhy vnitřních sil. A v Normálová síla: dn s A h 5 m x max = 10 kn/m 10 o s = 1 s N( s) = s C1 = C okrajová podmínka ( rovnováha v b): B 1 Reakce: A h = 1.5 kn A v = 7.17 kn B = 14.433 kn Transormace spoj. atížení 5 5 µ = 0 max x = s cos 60 = 1 s max = s sin 60 = 1.73 s takže N( s) N 5 5) = 0 C1 = 0 C ( 1 = s 1.5 = 1.5 0 Nab = N(0) = 1.5 = 1.5 kn = ( Ah ) 005010 Petr Kabele
Posouvající síla: dv 1.73 s = 1.73 s V ( s) = 1.73 s C = C... pro výpočet integrační konstanty bychom mohli použít rovnováhu posouvající síly a svislé reakce v jednom krajních bodů. Následující postup je však výhodnější: Ohybový moment: dm 1.73 s 1.73 s = V = C M ( s) = C C 3 1.73 s M ( s) = C s C 6 3 3 okrajové podmínky pro moment (momentová rovnováha v a a b) : 3 1.73 0 M ( 0) = 0 C 0 C3 = 0 C3 6 = 0 005010 Petr Kabele
okrajové podmínky pro moment (pokračování) : 3 1.73 5 M ( 5) = 0 C 5 0 = 0 C 6 takže a M ( s) 3 1.73 s = 7. 17 s 6 1.73 s V ( s) = 7.17 = 7.17 1.73 0 Vab = V (0) = 7.17 = 7.17 kn = A ( ) 1.73 5 Vba = V (5) = 7.17 = 14.433 kn = B v ( ) Při použití statických okrajových podmínek (předepsaná síla nebo moment nulová či nenulová) není nutno předem počítat reakce. Reakce pak můžeme použít pro kontrolu výsledků. 005010 Petr Kabele
dn extrémní normálová síla: ( = x ) = 0 1 sextn = 0 sextn = 0m N = N(0) = 1.5 kn ext dv extrémní posouvající síla: ( = ) = 0 1.73 sextv = 0 sextv = 0m V = V (0) = 7.17 kn ext extrémní moment: 1.73 s dm extm ( = V ) = 0 7.17 = 0 s extm = ±.887 m 3 1.73.887 M ext = M (.887) = 7.17.887 = 13.889 knm 6 Další extrémy hledáme na okrajích intervalu. 005010 Petr Kabele
1.5 N (kn) V (kn) 7.17.887 m 14.433 M (knm) 13.889 005010 Petr Kabele
Př. : Vypočítejte unkce průběhů posouvající síly a ohybového momentu na intervalu (b, c): max =10 kn/m b c m a 5m 6m d D Reakce (pro výpočet bude stačit nát reakci D): a D 10 6 6 6D = 0 3 = 10 kn 005010 Petr Kabele
Posouvající síla: 10 ( s) = 10 s 6 dv ( s) 10 = ( ) 10 s s = 6 10 s 5 1 1 1 V ( s) = ( s) C = 10s C = 10s s C 6 6 b a max =10 kn/m s 6m c d D Pro určení integrační konstanty musíme nát hodnotu posouvající síly v jednom krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme V cb reakce D. V = D = 10 kn V V C cb cb ( 6) (6) = 10 6 6 C1 = 10 1 = V = 0 5 6 5 V s s s 6 ( ) = 10 0 005010 Petr Kabele
Ohybový moment: 5 V ( s) = 10 s s 0 6 dm ( s) 5 = V ( s) = 10 s s 0 6 3 s 5 s M ( s) = V ( s) C = 10 0s C 6 3 5 3 = 5s s 0s C 18 b a max =10 kn/m s 6m c d D Pro určení integrační konstanty musíme nát hodnotu ohyb. momentu síly v jednom krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme M cb výpočtem prava. M M M C cb cb = 0 kn = M ( 6) 5 18 3 (6) = 5 6 6 0 6 = 0 = 0 5 3 M ( s) = 5s s 0s 18 C 005010 Petr Kabele
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika pro studenty Stavební akulty ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední revie: 15.3.011 005010 Petr Kabele