FAKULTA STROJNíHO INŽENÝRSTVí ÚSTAV MATEMATIKY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNíHO INŽENÝRSTVí ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS STATISTIKA STATISTICS OF EXTREMES EXTRÉMNÍCH HODNOT DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. MICHAL FUSEK doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 29

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Akademický rok: 28/29 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE studentka: Bc. Michal Fusek který/která studuje v magisterském navazujícím studijním programu obor: Matematické inženýrství 391T21 Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: v anglickém jazyce: Statistika extrémních hodnot Statistics of extremes Stručná charakteristika problematiky úkolu: V současné době v souvislosti se stále častějším výskytem extrémních jevů povodně, požáry, jiné nehody apod. a dále také v souvislosti s analýzou spolehlivosti nejrůznějších technických zařízení nebo při zkoumání životností výrobků různých typů či při zkoumání doby přežití jedinců dané populace se pozornost statistiků soustřeďuje na vyšetřování rozdělení extremálních hodnot pozorovaných náhodných veličin. Studují se různé typy extremálních rozdělení, rozvíjejí se statistické metody odhadu parametrů těchto rozdělení pro různá experimentální uspořádání a konstruují se nové statistické testy pro ověření hypotéz vyslovených o parametrech extremálních rozdělení. Cíle diplomové práce: Cílem práce je popsat základní typy extremálních rozdělení Gumbelovo, Fréchetovo a Weibullovo a popsat vybrané statistické metody pro odhady parametrů těchto rozdělení zejména metodu maximální věrohodnosti. Dále demonstrovat použití těchto metod na konstrukci odhadů vybraných parametrických funkcí aspoň pro tři vybraná extremální rozdělení pro cenzorované i necenzorované výběry a popsat případně odvodit statistické vlastnosti těchto odhadů. Konečně je třeba provést programovou implementaci navržených metod v prostředí MATLAB a na reálných nebo simulovaných datech ověřit její funkčnost. 3

Seznam odborné literatury: Beirlant, J., Goegebeur,Y., Teugels, J. and Segers,J.: Statistics of extremes. Theory and applications. John Wiley. New York. 24. Hurt, J. Teorie spolehlivosti. SPN Praha. 1984 Kotz, S.and Nadarajah, S.: Extreme Value Distribution. Theory and applications. Imperial College Press.London. 2 Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc. Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 28/29. V Brně, dne 2.11.28 L.S. prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc. Ředitel ústavu doc. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc. Děkan fakulty 4

Abstrakt Diplomová práce se zabývá rozděleními extrémních hodnot. Teoretická část práce je věnována základům teorie extrémních hodnot a popisu základních typů extremálních rozdělení. Je zde zformulována limitní věta pro rozdělení maxim a odvozeny vybrané charakteristiky extremálních rozdělení. Práce dále obsahuje odvození odhadů parametrů Weibullova, lognormálního a exponenciálního rozdělení metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Současně je zde popsána problematika cenzorovaných výběrů včetně odvození odhadů parametrů metodou maximální věrohodnosti. Praktická část práce je věnována statistické analýze dešťových srážek. Summary The thesis deals with extreme value distributions. The theoretical part is devoted to the basics of extreme value theory and to the characterization of extreme value distributions. There is the limit theorem for distributions of the maximum formulated and characteristics of the extreme value distributions deduced. There are parameter estimates for Weibull, lognormal and exponential distributions inferred using method of maximum likelihood and method of moments. There is also the theory of censored samples described. The practical part is devoted to statistical analysis of rainfall. Klíčová slova rozdělení extrémních hodnot, rozdělení Gumbelova typu, rozdělení Fréchetova typu, rozdělení Weibullova typu, charakteristiky, dešťové srážky Keywords extreme value distributions, Gumbel-type distribution, Fréchet-type distribution, Weibulltype distribution, characteristics, rainfall FUSEK, M.Statistika extrémních hodnot. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, 29. 78 s. Vedoucí doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Statistika extrémních hodnot vypracoval samostatně pod vedením doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc., s použitím materiálů uvedených v seznamu literatury. Bc. Michal Fusek

Děkuji doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za odborné vedení během mé diplomové práce. Bc. Michal Fusek

Obsah 1 Úvod 13 2 Základní pojmy 14 2.1 Výsledky z pravděpodobnosti......................... 14 2.2 Výsledky z matematické analýzy....................... 16 3 Rozdělení extrémních hodnot 19 3.1 Rozdělení Fréchetova typu........................... 28 3.1.1 Obor atraktivity pro rozdělení Fréchetova typu............ 28 3.1.2 Vztah mezi funkcemi F a Q F pro rozdělení Fréchetova typu.... 29 3.1.3 Příklady rozdělení Fréchetova typu.................. 31 3.2 Rozdělení Weibullova typu........................... 31 3.2.1 Obor atraktivity pro rozdělení Weibullova typu........... 31 3.2.2 Vztah mezi funkcemi F a Q F pro rozdělení Weibullova typu.... 33 3.2.3 Příklady rozdělení Weibullova typu.................. 34 3.3 Rozdělení Gumbelova typu........................... 34 3.3.1 Obor atraktivity pro rozdělení Gumbelova typu........... 34 3.3.2 Příklady rozdělení Gumbelova typu.................. 34 4 Charakteristiky rozdělení extrémních hodnot 37 4.1 Rozdělení Gumbelova typu........................... 37 4.2 Rozdělení Fréchetova typu........................... 41 4.3 Rozdělení Weibullova typu........................... 46 5 Odhady parametrů 51 5.1 Weibullovo rozdělení.............................. 51 5.1.1 Metoda maximální věrohodnosti.................... 51 5.1.2 Metoda momentů............................ 52 5.2 Lognormální rozdělení............................. 53 5.2.1 Metoda maximální věrohodnosti.................... 54 5.2.2 Metoda momentů............................ 54 5.3 Exponenciální rozdělení............................ 56 5.3.1 Metoda maximální věrohodnosti.................... 57 5.3.2 Metoda momentů............................ 57 6 Odhady parametrů pro cenzorované výběry 59 6.1 Cenzorování časem............................... 59 6.2 Cenzorování poruchou............................. 6 6.3 Náhodné cenzorování.............................. 6 7 Analýza dešt ových srážek 63 7.1 Exponenciální rozdělení............................ 63 7.2 Lognormální rozdělení............................. 65 7.3 Weibullovo rozdělení.............................. 68 7.4 Závěry...................................... 7 11

8 Program EVD 71 8.1 Spuštění..................................... 71 8.2 Popis programu................................. 71 9 Závěr 74 Literatura 75 12

1 Úvod V současné době se pozornost statistiků stále více soustřed uje na vyšetřování rozdělení extrémních hodnot pozorovaných náhodných veličin. Děje se tak nejen v souvislosti se stále častějším výskytem extrémních jevů povodně, požáry apod. a analýzou spolehlivosti nejrůznějších technických zařízení, ale i z důvodu zkoumání životností výrobků různých typů či při zkoumání doby přežití jedinců dané populace. Studují se různé typy extremálních rozdělení, rozvíjejí se statistické metody odhadu parametrů těchto rozdělení pro různá experimentální uspořádání a konstruují se nové statistické testy pro ověření hypotéz vyslovených o parametrech extremálních rozdělení. Hlavním cílem této práce je seznámit čtenáře s teorií extrémních hodnot a popsat základní typy extremálních rozdělení. Práce je rozčleněna na několik kapitol, s jejichž obsahem se nyní seznámíme podrobněji. Po první kapitole Úvod následuje druhá kapitola, která obsahuje některé základní pojmy z pravděpodobnosti a matematické analýzy, jež budeme potřebovat dále. Třetí kapitola je věnována zavedení rozdělení extrémních hodnot, objasňuje pojmy jako limitní rozdělení a obor atraktivity rozdělení. Je zde také uvedena obdoba centrální limitní věty pro rozdělení extrémních hodnot. Čtvrtá kapitola obsahuje odvození vybraných charakteristik střední hodnota, rozptyl, šikmost, špičatost, dolní kvartil, medián, horní kvartil pro základní typy extremálních rozdělení Gumbelovo, Fréchetovo a Weibullovo. V páté kapitole jsou odvozeny odhady parametrů metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů pro tři vybraná rozdělení, která budou využita dále. Šestá kapitola je věnována teorii cenzorovaných výběrů včetně odvození odhadů parametrů metodou maximální věrohodnosti. Sedmá kapitola je věnována analýze dešt ových srážek za použití vybraných statistických metod a výsledků z předchozích kapitol. Osmá kapitola obsahuje základní popis programu EVD, který byl vytvořen jako demonstrační program pro rozdělení extrémních hodnot. Devátá kapitola Závěr obsahuje shrnutí dosažených cílů. 13

2 Základní pojmy Nejprve připomeneme některé pojmy z pravděpodobnosti a matematické analýzy, jež budeme potřebovat dále. 2.1 Výsledky z pravděpodobnosti Definice 1. Necht X je náhodná veličina definovaná na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P. Funkci F x P X x definovanou pro každé x R budeme nazývat distribuční funkcí náhodné veličiny X. Jelikož distribuční funkce nabývá hodnot mezi nulou a jedničkou, zavedeme její levý hraniční bod x sup {x : F x } a pravý hraniční bod x inf {x : F x 1}. Definice 2. Necht X je náhodná veličina definovaná na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P. Funkci fx splňující x R vztah x ft dt F x budeme nazývat hustotou rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X. Dále budeme předpokládat, že X, X 1, X 2,... jsou náhodné veličiny definované na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P. Definice 3. Řekneme, že posloupnost náhodných veličin X 1, X 2,... konverguje podle pravděpodobnosti k číslu Θ R, jestliže pro každé ɛ > platí lim P X n Θ > ɛ. n Definice 4. Řekneme, že posloupnost náhodných veličin X 1, X 2,... konverguje k náhodné veličině X skoro jistě vzhledem k pravděpodobnosti P, jestliže P lim X n X 1. n Definice 5. Necht X, X 1, X 2,... jsou náhodné veličiny a F, F 1, F 2,... k nim příslušné distribuční funkce. Pak řekneme, že posloupnost X 1, X 2,... náhodných veličin konverguje v distribuci k náhodné veličině X, právě když lim F nx F x n alespoň ve všech bodech x, ve kterých je distribuční funkce F spojitá. Píšeme X n D X. Rozdělení náhodné veličiny X budeme nazývat limitní nebo asymptotické. Poznámka. Někdy se místo označení X n D X používá označení LX n LX. 14

Definice 6. Uvažujme posloupnost distribučních funkcí F 1,..., F n a funkci F. Jestliže F n x F x v každém bodě x, který je bodem spojitosti funkce F, pak říkáme, že posloupnost F 1,..., F n konverguje k F v podstatě. Věta 7 Centrální limitní věta. Necht X 1, X 2,... je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotou µ a nenulovým rozptylem 2. Pak n k1 L X k µ N; 1. n Neboli posloupnost náhodných veličin 1 n n k1 X k µ konverguje pro n v distribuci k náhodné veličině X N; 1. Definice 8. Řekneme, že rozdělení náhodné veličiny X je degenerované, jestliže existuje x R takové, že pro její distribuční funkci F platí 1, pro x x, F x, pro x < x. Tedy P X x 1, a tudíž X je s pravděpodobností 1 konstanta. Věta 9 Hellyova-Brayova. Necht X n má distribuční funkci F n, n 1, 2,..., a necht X má distribuční funkci F. Pak Y D n Y, právě když pro všechny reálné, ohraničené a spojité funkce z platí, že E zx n E zx. Důkaz. Viz [19] str. 22, případně [4] str. 122. Definice 1. Necht F je distribuční funkce. Pak funkci Q F určenou předpisem Q F y inf {x : F x y}, < y < 1, nazýváme kvantilovou funkcí odpovídající distribuční funkci F. Existuje-li k F inverzní funkce F 1, pak F 1 Q F. Hodnoty funkce Q F y nazýváme kvantily. Definice 11. Funkci Q F určenou předpisem Q F t Q F 1 1, t >, t nazýváme kvantilovou funkcí chvostu odpovídající distribuční funkci F. Poznámka. Pro exponenciální rozdělení Exλ je distribuční funkce F x, kvantilové funkce Q F p a kvantilové funkce chvostu Q F x na obrázku 1. 15

a Distribuční funkce F x b Kvantilová funkce Q F p c Kvantilová funkce chvostu Q F x Obrázek 1: Exponenciální rozdělení s distribuční funkcí F x 1 e λx, kvantilovou funkcí Q F p 1 ln1 p a kvantilovou funkcí chvostu λ Q F x 1 lnx pro různé λ hodnoty parametru λ. 2.2 Výsledky z matematické analýzy Tvrzení 12. Necht gu, u >, je spojitá funkce. Pak řešení funkcionální rovnice guv gugv, u, v >, 2.1 je tvaru gu u pro libovolné reálné. Důkaz. Viz například [2], případně [14]. Definice 13. Necht f je kladná, měřitelná funkce na R +. Řekneme, že f je regulárně se měnící funkce s indexem ρ, právě když existuje ρ R, pro které platí fxt lim x fx tρ 2.2 16

pro všechna t >. Třídu všech regulárně se měnících funkcí s indexem ρ budeme značit R ρ. V případě, že ρ, funkci f budeme nazývat pomalu se měnící funkcí. Pro pomalu se měnící funkce budeme užívat symbol l. Poznámka. Příklady pomalu se měnících funkcí: lx ln x α pro libovolné α R. Dosazením do 2.2 dostaneme [ ] ln xt α α ln xt lim x ln x lim lim α x ln x x lx exp { ln x β}, kde β < 1. [ ln x + ln t ln x ] α [ lim 1 + ln t ] α 1. x ln x Jestliže lim x lx c,, pak zřejmě lx je pomalu se měnící funkce. Dále uvedeme větu o pomalu se měnících funkcích viz [5]. Věta 14. Jestliže lx je pomalu se měnící funkce, pak existuje pomalu se měnící funkce l x taková, že lim x lxl xlx 1. 2.3 Funkce l je asymptoticky jediná ve smyslu, že jestliže existuje pomalu se měnící funkce l a lim x lx lxlx 1, pak l l a dále l l. Definice 15. Funkci l z věty 14 nazýváme de Bruynovo sdružení funkce l. Definice 16. Necht fx je hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X o distribuční funkci F x, pak funkci ϕ X t E e itx e itx fx dx, kde t R a i je imaginální jednotka, nazýváme charakteristickou funkcí náhodné veličiny X. Věta 17. Některé vlastnosti charakteristické funkce: 1. ϕ 1, 2. ϕt 1, 3. ϕ t ϕt, kde ϕt označuje komplexně sdruženou funkci k ϕt, 4. ϕt je stejnoměrně spojitá pro t R, 17

5. ϕ k X ik EX k i k µ k, kde µ k je obecný moment, když EXk, k 1,..., n, existuje. Důkaz. Viz například [11]. Definice 18. Necht ϕ je charakteristická funkce a platí ln ϕt n1 it n κ n. n! Pak κ n nazveme n-tým kumulantem rozdělení o charakterictické funkci ϕ. Poznámka Důležité funkce a konstanty. V dalším budeme používat tyto funkce a konstanty viz [1]: Gama funkce: Γz t z 1 e t dt pro Rez >, kde Rez značí reálnou část komplexního čísla z. Digama funkce: ψz d dz ln Γz Γ z Γz. Zřejmě platí, že Γ z Γzψz. Trigama funkce: ψ z d dz ψz. Tetragama funkce: ψ z d2 dz 2 ψz. Pentagama funkce: ψ z d3 dz 3 ψz. Eulerova konstanta: e ψ1., 57722. Apéryho konstanta: ζ3 1 2 ψ 1. 1, 221, kde ζ je Riemannova zeta funkce. 18

3 Rozdělení extrémních hodnot Necht X 1, X 2,... je posloupnost nezávislých a identicky rozdělených náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru Ω, A, P s distribuční funkcí F. Zaved me nyní transformovanou náhodnou veličinu H n H n X 1,..., X n a a n >, b n, n 1, 2,..., necht jsou dané posloupnosti reálných čísel. Budeme zkoumat, pro jaké H n, a n, b n existuje nedegenerované limitní rozdělení posloupnosti náhodných veličin Y n H nx 1,..., X n b n a n. Limitní distribuční funkci označíme G. Tedy zkoumáme, kdy platí Hn b n L Gx pro n. Rozlišíme několik případů: a n 1. Jestliže H n X 1 +... + X n, a n n, b n nµ, pak podle centrální limitní věty posloupnost náhodných veličin Y n X 1 +... + X n nµ n konverguje pro n v distribuci k náhodné veličině Y N; 1. 2. Jestliže H n max {X 1,..., X n }, a n 1, b n a x b, kde b R, pak posloupnost náhodných veličin Y n konverguje k degenerovanému rozdělení. Důkaz. Platí, že F Hn x P H n x P n i1 [X i x] n P X i x F n x. 3.1 i1 Pak lim n F H n x lim n F n x 1, pro x b,, pro x < b. 3. Jestliže H n max {X 1,..., X n }, a n 1, b n a x a x, tj. < F < 1 x R, pak posloupnost náhodných veličin Y n konverguje k nule v podstatě. 19

Důkaz. Z 3.1 plyne, že F Hn x F n x. Pak lim F H n x lim F n x n n x. Tedy pro n konverguje F n x v podstatě. 4. Jestliže H n max {X 1,..., X n } a existují a n, b n taková, že posloupnost náhodných veličin Y n konverguje pro n v distribuci k náhodné veličině Y, jejíž rozdělení není degenerované. V teorii extrémních hodnot se budeme zabývat rozdělením maxim a studovat situaci popsanou v bodě 4. Proto dále předpokládáme, že H n max {X 1,..., X n }, tedy Y n max {X 1,..., X n } b n a n a limitní distribuční funkci posloupnosti náhodných veličin Y n pokud existuje označíme G. Podobně jako rozdělení maxim můžeme vyšetřovat rozdělení minim. Není to však nutné, protože minimum obdržíme z maxima transformací H n max { X 1,..., X n }. Definice 19. Necht X 1,..., X n je náhodný výběr z rozdělení o distribuční funkci F. Množinu DG {F : LY n G} budeme nazývat oborem atraktivity rozdělení o distribuční funkci G. Definice 2 Podmínka oboru atraktivity. Necht Q F je kvantilová funkce chvostu odpovídající distribuční funkci F DG. Když pro u > a nějakou kladnou funkci ax, x >, existuje limita lim x {Q F xu Q F x} /ax hu, 3.2 přičemž funkce h není identicky rovna nule, říkáme, že F splňuje podmínku oboru atraktivity. Věta 21. Necht je splněn vztah 3.2, pak existuje limita a funkce g splňuje rovnici lim aux/ax gu 3.3 x guv gugv. 3.4 2

Důkaz. Necht u, v >. Pak z 3.2 plyne Q F xuv Q F x ax Q F xuv Q F xu aux axu ax + Q F xu Q F x. 3.5 ax Dále z 3.2 plyne existence limit výrazů Q F xuv Q F x ax, Q F xuv Q F xu, Q F xu Q F x axu ax x. Proto musí existovat také limita aux ax pro x a každé u >. Z 3.3 plyne guv lim x auvx ax auvx lim x avx avx ax lim auvx x avx avx lim x ax gugv. pro Tvrzení 22. Necht c > a R jsou konstanty. Když existuje limita hu ve vztahu 3.2, pak platí, že hu ch u, kde funkce u 1, pro, h u ln u, pro. Důkaz. Podle tvrzení 12 je řešení funkcionální rovnice 3.4 tvaru gu u pro reálné. Dosazením do 3.3 dostáváme, že Dále za předpokladu, že gu lim x aux/ax u. lim x {Q F xu Q F x} /ax hu pro u > existuje, dostaneme ze vztahu 3.5 po dosazení gu u a limitním přechodem huv hvu + hu 3.6 Pro okamžitě vidíme, že řešením 3.6 je funkce hu ln u. 21

Pro plyne ze symetrie, že pro u, v > 1 huv hvu + hu huv + hv, hu v 1 hv u 1, hu Z toho plyne, že pro d hv v 1 je hv v 1 u 1 hu du 1. Když položíme c d, dostaneme, že hu c u 1 ch u. Poznámka.. 1 Patrně lim u 1 ln u. Budeme formálně psát, že h u u 1 pro 2 V případě, že Q F je kvantilová funkce chvostu, tak Q F je neklesající. Tedy když >, pak konstanta d je také nezáporná, protože hu je neklesající, zatímco jestliže <, pak také d <. V obou případech je tedy c d >, a tudíž c můžeme začlenit do nezáporné pomocné funkce a. Funkci hu budeme dále uvažovat ve tvaru hu h u. Proto při ověřování, zda je splněna podmínka oboru atraktivity 3.2, budeme používat podmínku lim x {Q F xu Q F x} /ax h u pro u >. 3.7 Věta 23 Limitní věta pro rozdělení maxim. Necht rozdělení s rostoucí a spojitou distribuční funkcí F a hustotou f, splňuje vztah 3.2. Pak existují posloupnosti a n, b n tak, že Hn b n L G. a n Přitom a n an, b n Q F n a distribuční funkce G je tvaru G x exp { 1 + x 1/} 3.8 pro 1 + x >, R. 22

Důkaz. Necht F splňující vztah 3.2 je spojitá a rostoucí a necht g x je hustota rozdělení o distribuční funkci G x, pokud existuje její existence bude ukázána dále. Pak podle Hellyovy-Brayovy věty, která převádí konvergenci v distribuci na konvergenci středních hodnot, stačí dokázat, že pro reálnou funkci z ohraničenou a spojitou na definičním oboru funkce F platí E { za 1 n H n b n } zxg x dx, 3.9 pro n. Ve výrazu 3.9 používáme zápis pro hustotu, abychom se vyhnuli práci s Lebesgueovým-Stieltjesovým integrálem. Podle vztahu 3.1 je F Hn x F n x a dále tedy Pak f Hn x d dx F n x n F n 1 x fx. E { za 1 n H n b n } n x bn z a n F n 1 x fx dx. 3.1 Připomeňme, že F je spojitá, proto můžeme položit F x 1 p 1 v, kde p ; 1 n a v np. Z definice kvantilové funkce Q F a kvantilové funkce chvostu Q F dostaneme Q F y Q F 1 1 x a F x 1 1 y y. V tomto případě tedy, když položíme y n, dostaneme v x Q F 1 v Q F 1 1 n n Q F. n v v Po substitucích x Q n F v, F x 1 v dv, fx dx, přičemž F 1 odtud n n v a F odtud v n, v integrálu na pravé straně ve vztahu 3.1 dostaneme E { za 1 n H n b n } n n x bn z a n z Q F n v a n F n 1 x fx dx bn 1 v n 1 dv. 3.11 n 23

K určení limitního rozdělení ve vztahu 3.9 potřebujeme najít limitu pravé strany ve vztahu 3.11. Všimněme si, že 1 n v n 1 e v Q pro n. Limitu funkce z F n v b n a n dostaneme z podmínky oboru atraktivity 3.2 volbou b n Q F n a a n an. Z Lebesgueovy věty a 3.11 dostáváme, že lim E { za 1 n H n b n } n lim n n z Q F n v a n bn 1 v n 1 dv n zh1/ve v dv. 3.12 Integrál na pravé straně v 3.12 upravíme zavedením substitucí u h1/v 1/v 1, v 1 + u 1/, dv 1 + u 1/ 1 du. Rozlišíme tři případy: Pro > zh1/ve v dv 1 zu1 + u 1 1 exp { 1 + u 1/} du, pro pro < zh1/ve v dv zu exp { e u u } du, zh1/ve v dv 1 zu1 + u 1 1 exp { 1 + u 1/} du. Tedy všechna limitní rozdělení mají hustotu g x 1 + u 1 1 exp { 1 + x 1/} pro 1 + x >, R a distribuční funkci G x x g t dt exp { 1 + x 1/} pro 1+x >, R. Zřejmě G x je distribuční funkce, tedy g x je skutečně hustota. 24

Poznámka. Rozdělení s distribuční funkcí 3.8 nazýváme pro > rozdělením Fréchetova typu, pro rozdělením Gumbelova typu, pro < rozdělením Weibullova typu. Rozdělení s distribuční funkcí 3.8 patří do jednoparametrické třídy limitních rozdělení G X x; a budeme je nazývat rozděleními extrémních hodnot. Parametr se nazývá index extrémní hodnoty a je klíčovým parametrem v teorii extrémních hodnot. Jednoparametrickou třídu limitních rozdělení je možné jednoduchou transformací převést na tříparametrickou, což ukážeme pro rozdělení Gumbelova typu. Definice 24. Necht náhodná veličina X patří do jednoparametrické třídy rozdělení typu G X x;. Řekneme, že rozdělení náhodné veličiny Z patří do tříparametrické třídy rozdělení typu G Z z; µ,,, když Z X + µ. Tvrzení 25. Rozdělení z G Z z; µ,, mají distribuční funkci z µ G Z z exp { e } a hustotu g Z z 1 { z µ z µ e exp e }. Důkaz. Postupnými úpravami odvodíme distribuční funkci veličiny Z G Z z P Z z P X + µ z P z µ exp { e }. X z µ z µ G X Hustota veličiny Z je tvaru z µ z µ 1 g Z z G Zz G X g X 1 { } exp z µ e z µ 1 { z µ z µ e exp e }. 25

Analogicky lze převést jednoparametrická rozdělení Fréchetova a Weibullova typu na tříparametrická. Celkově tedy dostaneme tři třídy tříparametrických rozdělení: Typ 1 rozdělení Gumbelova typu: G Z z exp z µ { e }, g Z z 1 z µ { exp Typ 2 rozdělení Fréchetova typu: { exp } z µ e. }, z µ, z µ G Z z, z < µ. g Z z z µ +1 exp { } z µ, z µ,, z < µ. Typ 3 rozdělení Weibullova typu: exp { µ z }, z µ, G Z z 1, z > µ, g Z z µ z 1 { exp µ z }, z µ,, z > µ, kde µ, > a > jsou parametry. Rozdělení Fréchetova typu a rozdělení Weibullova typu lze snadno transformovat na rozdělení Gumbelova typu. Tvrzení 26. Předpokládejme, že náhodná veličina X má rozdělení Fréchetova typu G X x; µ,,. Pak náhodná veličina Z ln X µ má rozdělení Gumbelova typu G Z z; ln, 1/. 26

Důkaz. Postupnými úpravami odvodíme distribuční funkci veličiny Z G Z z P Z z P ln X µ z P X e z + µ G X e z + µ. Hustota veličiny Z je tvaru g Z z G Zz G X e z + µ g X e z + µ e z { e z +1 } + µ µ e z + µ µ exp e z { e z +1 } e z { e exp e z z } e z exp e z e ln { e z exp e ln } exp { z ln e z ln }. e z ln exp { e z ln } Tedy náhodná veličina Z ln X µ má rozdělení Gumbelova typu G Z z; ln, 1/. Tvrzení 27. Předpokládejme, že náhodná veličina X má rozdělení Weibullova typu G X x; µ,,. Pak náhodná veličina Z ln µ X má rozdělení Gumbelova typu G Z z; ln, 1/. Důkaz. Postupnými úpravami odvodíme distribuční funkci veličiny Z G Z z P Z z P ln µ X z P X µ e z G X µ e z. Hustota veličiny Z je tvaru g Z z G Zz G X µ e z g X µ e z e z e z µ µ + e z e z e ln 1 exp { 1 exp { e z { e z exp e ln exp { z + ln e z+ln }. µ µ + e z } e z } e e z z { e z exp } e z+ln exp { e z+ln } } Tedy náhodná veličina Z ln µ X má rozdělení Gumbelova typu G Z z; ln, 1/. 27

V dalším odstavci budeme zkoumat jednotlivé typy rozdělení extrémních hodnot. 3.1 Rozdělení Fréchetova typu 3.1.1 Obor atraktivity pro rozdělení Fréchetova typu Dále uvedeme příklady rozdělení, která patří do Fréchetova oboru atraktivity. Ukážeme, že modifikovaná podmínka oboru atraktivity 3.7 je splněna. Uvažujme Paretovo rozdělení Paα s distribuční funkcí F x 1 x α, x > 1, α >. Parametr α se nazývá Paretův index. Kvatilová funkce je tvaru Q F p 1 p 1 α a kvantilová funkce chvostu je tvaru Q F x Q F 1 1 1 1 1 1 α 1 x α x, x x kde 1 α je index extrémní hodnoty. Pak Q F lim xu Q F x x ax lim x xu x ax x lim x ax u 1 u 1 h u, kde pomocná funkce ax x. Podmínka 3.7 je tedy splněna. Nyní také známe tvar konstant a n an n a b n Q F n n. Dále uvažujme zobecněné Paretovo rozdělení GP, s distribuční funkcí 1 1 + x 1, x >,, >. Kvatilová funkce je tvaru Q F p [ 1 p 1 ] a kvantilová funkce chvostu je tvaru Q F x Q F 1 1 { [ } 1 1 1 1 x x] x 1, kde je index extrémní hodnoty. Pak Q F lim xu Q F x x ax xu 1 x + 1 lim x ax u 1 h u, 28 lim x x ax u 1

kde pomocná funkce ax x. Podmínka 3.7 je tedy splněna. Nyní také známe tvar konstant a n an n a b n Q F n n 1. Splnění podmínky 3.7 u dalších funkcí patřících do Fréchetova oboru atraktivity viz tabulka 1 se ověří podobným způsobem. 3.1.2 Vztah mezi funkcemi F a Q F pro rozdělení Fréchetova typu Rozdělení Fréchetova typu můžeme zavést jak pomocí kvantilové funkce chvostu Q F, tak pomocí rozdělení F. Tedy existuje pomalu se měnící funkce l F x taková, že 1 F x x α l F x a l F je založen na kon- kde α 1. Vztah mezi dvěma pomalu se měnícími funkcemi l Q F ceptu de Bruynova sdružení. Tvrzení 28. Výrazy 1 F x x 1 lf x a Q F x x l Q F x jsou ekvivalentní. Důkaz. Položme y 1 1 F x. Pak výraz 1 F x x 1 lf x přepíšeme jako y x α l 1 F x [xlx]α, kde Nyní pomocí 2.3 vyřešíme rovnici y 1 α Z 2.3 plyne, že pro x je lx l 1 α F x. 3.13 xlx v proměnné x y 1 α xlx, odtud x y 1 1 α lx, 3.14 l y 1 α l xlx. l xlx 1 lx, tedy úpravou a dosazením do 3.14 dostáváme x y 1 α l y 1 α, 29

kde l je de Bruynovo sdružení funkce l. Spojení mezi funkcemi F a Q F je dáno vztahem x Q F y Q 1 F, 1 F x nebo také x Q F y y l Q F y y 1 α l y 1 α. 3.15 Tedy α 1 a l Q F x l x. Tím jsme dostali spojení mezi funkcemi l F a l Q F pomocí funkce l a jejího de Bruynova sdružení l. Poznamenejme, že v důkazu by se dalo postupovat i obráceně, tedy oba výrazy jsou ekvivalentní. Příklad: Mějme zobecněné Paretovo rozdělení GP, s distribuční funkcí a kvantilovou funkcí chvostu 1 1 + x 1, x >,, > Q F x x 1. Pomocí vztahu 1 F x x 1 lf x určíme l F x 1 1 F x x 1 lf x, 1 + x 1 x 1 lf x, 1 + x l F x, x 1 + x 1 l F x. Nyní užitím vztahu 3.13 lx l 1 α F x 1 α 1 + 1 α 1, kde x α. 3

Dále podle vztahu 3.14 y xlx x y l y 1 l y l y + y, l y 1 1y. 1 1 + x 1 1 + 1 1 +, y l y, y l y, Ze vztahu 3.15 vidíme, že l Q F x l x, tedy v našem případě l Q F x 1 1x. Pomocí vztahu Q F x x l Q F x ověříme tvar l Q F x Q F x x 1 x l Q F x, 1 1x l Q F x. 3.1.3 Příklady rozdělení Fréchetova typu V tabulce 1 najdeme příklady rozdělení Fréchetova typu. Program vykreslující hustotu, distribuční funkci, rizikovou funkci a funkci přežití pro tato rozdělení se nachází na přiloženém CD. 3.2 Rozdělení Weibullova typu 3.2.1 Obor atraktivity pro rozdělení Weibullova typu Dále uvedeme příklad rozdělení, které patří do Weibullova oboru atraktivity. Ukážeme, že modifikovaná podmínka oboru atraktivity 3.7 je splněna. Uvažujme rozdělení s distribuční funkcí F x 1 1 x x β, β >, < x <. 31

Rozdělení F x Index extrémní hodnoty lf x Paα 1 x α 1, α 1 x >, α > GP, λ 1 1 + λx 1 λ λ 1 λ λ 1 + λx 1 λ x > ;, λ > λ Burrη, τ, λ 1 η 1 η+x, τ λτ η 1+ η x τ λ Typ XII x > ; η, τ, λ > λ Burrη, τ, λ η 1 η+x, τ τ λ η 1 1 2 λ+1 η x τ + o x τ Typ III x > ; η, τ, λ > Fm, n 1 x Γ m+n 2 Γ m 2 Γ n 2 m n m/2 w m/2 1 1 + m n w m+n/2 dw, 2 n Γ m+n 2 m m/2 m Γ m 2 Γ n +1 n n + 1 x 2 m+n/2 1 + o1 x > ; m, n > InvΓλ, α 1 x λ α Γα exp λ/ww α 1 1 dw, α λ α Γα+1 exp λ/x 1 + o1 logγλ, α 1 x x > ; λ, α > λ α Γα w λ 1 ln w α 1 1 dw, λ λ α 1 Γα ln xα 1 1 + α 1 λ 1 ln x + o 1 ln x x > 1; λ, α > Frechetα exp x α 1, α 1 x α 2 + o x α x > ; α > Tabulka 1: Tabulka rozdělení s Fréchetovým oborem atraktivity 32

Kvatilová funkce je tvaru Q F p x [1 1 p 1 β ] a kvantilová funkce chvostu je tvaru Q F x x 1 x 1 β, kde 1 β je index extrémní hodnoty. Pak Q F lim xu Q F x x ax x lim x ax {[1 xu ] 1 x } x x lim x ax 1 u u 1 h u, kde pomocná funkce ax x x x Q F x. Podmínka 3.7 je tedy splněna. Nyní také známe tvar konstant a n an x n a b n Q F n x 1 n. Necht x <. Vezmeme-li regulárně se měnící funkci Q F x x x l Q F x, kde l Q F je pomalu se měnící funkce, pak dostaneme širší třídu rozdělení splňující podmínku 3.7 při <. Nyní ověříme, zda je podmínka skutečně splněna Q F lim xu Q F x x ax lim x x xu l Q xu x F x l Q F x ax lim x x l Q F x ax 1 l Q F xu l Q F x u h u, kde pomocná funkce ax x l Q F x Q F x. Podmínka 3.7 je tedy splněna. Tvar konstant je a n an n l Q F n a b n Q F n x n l Q F n. Splnění podmínky 3.7 u dalších funkcí patřících do Weibullova oboru atraktivity viz tabulka 2 se ověří podobným způsobem. 3.2.2 Vztah mezi funkcemi F a Q F pro rozdělení Weibullova typu Rozdělení Weibullova typu opět můžeme zavést jak pomocí kvantilové funkce chvostu Q F, tak pomocí rozdělení F. Tvrzení 29. Výrazy 1 F x 1 x 1 lf x x a Q F x x x l Q F x jsou pro x ekvivalentní. Důkaz. Podobně jako u tvrzení 28. 33

3.2.3 Příklady rozdělení Weibullova typu V tabulce 2 najdeme příklady rozdělení Weibullova typu. Program vykreslující hustotu, distribuční funkci, rizikovou funkci a funkci přežití pro tato rozdělení se nachází na přiloženém CD. 3.3 Rozdělení Gumbelova typu 3.3.1 Obor atraktivity pro rozdělení Gumbelova typu Dále uvedeme příklad rozdělení, které patří do Gumbelova oboru atraktivity. Ukážeme, že podmínka oboru atraktivity 3.2 je splněna. Uvažujme exponenciální rozdělení s distribuční funkcí F x 1 e λx. Kvatilová funkce je tvaru Q F p 1 ln1 p λ a kvantilová funkce chvostu je tvaru Q F x 1 ln x. λ Pak Q F lim xu Q F x x ax 1 1 lim [lnxu ln x] lim ln u ln u, x λax x λax kde pomocná funkce ax 1. Je tedy splněna podmínka 3.2. Nyní také známe tvar λ konstant a n an 1 a b λ n Q F n 1 ln n. λ Splnění podmínky 3.2, případně podmínky 3.7, u dalších funkcí patřících do Gumbelova oboru atraktivity viz tabulka 3 se ověří podobným způsobem. 3.3.2 Příklady rozdělení Gumbelova typu V tabulce 3 najdeme příklady rozdělení Gumbelova typu. Program vykreslující hustotu, distribuční funkci, rizikovou funkci a funkci přežití pro tato rozdělení se nachází na přiloženém CD. 34

Rozdělení F x F x 1 x Index extrémní hodnoty lf x Rovnoměrné x x + 1, 1 1 x -1 1 Betap, q 1 1 x x +1 x > 1 x > 1 Γp+q ΓpΓq up 1 1 u q 1 du, 1 1 1 1 x Γp+q ΓpΓq up 1 1 u q 1 du, 1 q Γp+q ΓpΓq+1 1 1 x p 1 [1 + p 1 q+1 1 1 x 1 1 x + o x 1] Reverzní Burrovo x > 1; p, q > x > 1; p, q > [ ] λ λ β 1 β+x x, 1 β τ β+x, 1 τ λτ β λ [1 λβx τ + o x τ ] x > ; β, τ, λ > x > ; β, τ, λ > Extremální Weibullovo exp x α, exp x α, 1 1 x α + o x α x α 2 x > ; α > x > ; α > Tabulka 2: Tabulka rozdělení s Weibullovým oborem atraktivity 35

Rozdělení Benktanderovo II F x 1 x 1 β α exp β α β, xβ x 1, α >, < β 1 Weibullovo 1 exp λx τ x > ; λ, τ > Exponenciální 1 exp λx, x > ; λ > Gama 1 x λ m Γm exp λuum 1 du, x > ; λ, m > Logistické 1 1 1+expx, Lognormální 1 x 1 2πu exp x R 1 2 ln u µ 2 du, 2 x > ; µ R, > Tabulka 3: Tabulka rozdělení s Gumbelovým oborem atraktivity 36

4 Charakteristiky rozdělení extrémních hodnot V této kapitole odvodíme některé základní charakteristiky extremálních rozdělení. 4.1 Rozdělení Gumbelova typu Charakteristiky Gumbelova rozdělení určíme pomocí charakteristické funkce, která je tvaru ϕ X t E e itx e itx fx dx e itx 1 x µ { exp x µ z e 1 x µ ; dz e dx; x µ ln z } x µ e dx e itµ it ln z e z dz e itµ e it ln z e z dz e itµ z it e z dz e itµ Γ1 it. Střední hodnotu, která je rovna prvnímu kumulantu κ 1, určíme jako první obecný moment podle vztahu z věty 17, tedy EX κ 1 X µ 1 i ϕ X i [ iµ e itµ Γ1 it + e itµ Γ 1 it i ] t i [ iµ e itµ Γ1 it i e itµ Γ1 itψ1 it ] t i [iµ Γ1 i Γ1ψ1] iiµ + i e µ + e. 37

Rozptyl, který je roven druhému kumulantu κ 2, určíme pomocí prvního a druhého obecného momentu. Druhý obecný moment je EX 2 µ 2 ϕ X [ iµ e itµ Γ1 it + e itµ Γ 1 it i ] t [ µ 2 e itµ Γ1 it 2µ e itµ Γ 1 it + 2 e itµ Γ 1 it ] t { µ 2 e itµ Γ1 it 2µ e itµ Γ 1 it + 2 e itµ [Γ1 itψ1 it] } t { µ 2 e itµ Γ1 it 2µ e itµ Γ1 itψ1 it+ + 2 e itµ [Γ 1 itψ1 it + Γ1 itψ 1 it] } t { µ 2 e itµ Γ1 it 2µ e itµ Γ1 itψ1 it+ + 2 e itµ [Γ1 itψ1 itψ1 it + Γ1 itψ 1 it] } t { µ 2 e itµ Γ1 it 2µ e itµ Γ1 itψ1 it+ + 2 e itµ [ Γ1 itψ 2 1 it + Γ1 itψ 1 it ]} t µ 2 Γ1 2µ Γ1ψ1 + 2 [ Γ1ψ 2 1 + Γ1ψ 1 ] µ 2 + 2µ e + 2 e 2 + π2. 6 Z vlastností rozptylu plyne, že DX κ 2 µ 2 κ 2 1 µ 2 µ 12 EX 2 E 2 X µ 2 + 2µ e + e 2 2 + π2 2 6 µ 2 + 2µ e + e 2 2 + π2 2 6 µ + e 2 µ 2 2µ e 2 e 2 π2 2 6. 38

Šikmost určíme pomocí druhého a třetího kumulantu. Nejprve však odvodíme třetí obecný moment, tedy EX 3 µ 3 i ϕ X i [ iµ e itµ Γ1 it i e itµ Γ 1 it ] t i [ µ 2 e itµ Γ1 it + 2µ e itµ Γ 1 it 2 e itµ Γ 1 it ] t i [ iµ 3 e itµ Γ1 it + iµ 2 e itµ Γ 1 it + 2iµ 2 e itµ Γ 1 it 2iµ 2 e itµ Γ 1 it iµ 2 e itµ Γ 1 it + i 3 e itµ Γ 1 it ] t [ µ 3 e itµ Γ1 it 3µ 2 e itµ Γ 1 it + 3µ 2 e itµ Γ 1 it 3 e itµ Γ 1 it ] t { µ 3 e itµ Γ1 it 3µ 2 e itµ Γ 1 it+ + 3µ 2 e itµ Γ 1 it 3 e itµ [Γ1 itψ1 it] } t { µ 3 e itµ Γ1 it 3µ 2 e itµ Γ 1 it + 3µ 2 e itµ Γ 1 it 3 e [ itµ Γ1 itψ 2 1 it + Γ1 itψ 1 it ] } t { µ 3 e itµ Γ1 it 3µ 2 e itµ Γ 1 it + 3µ 2 e itµ Γ 1 it 3 e itµ [ Γ1 itψ 3 1 it + 3Γ1 itψ1 itψ 1 it+ + Γ1 itψ 1 it]} t µ 3 Γ1 3µ 2 Γ 1 + 3µ 2 Γ 1 3 [ Γ1ψ 3 1 + 3Γ1ψ1ψ 1 + Γ1ψ 1 ] µ 3 + 3µ 2 e + 3µ 2 e 2 + µπ2 2 2 + 3 e 3 + eπ 2 3 2 + 2 3 ζ3. Třetí kumulant κ 3 je definován jako κ 3 µ 3 3κ 2 κ 1 κ 3 1 µ 3 + 3µ 2 e + 3µe 2 2 + µπ2 2 + 3 2 e 3 + eπ 2 3 + 2 3 ζ3 2 3 π2 2 6 µ + e µ + e 3 µ 3 + 3µ 2 e + 3µe 2 2 + µπ2 2 + 3 2 e 3 + eπ 2 3 + 2 + 2 3 ζ3 µπ2 2 2 eπ 2 3 2 µ 3 3µ 2 e 3µ 2 e 2 3 e 3 2 3 ζ3. Šikmost je tedy tvaru β 1 X κ 3 κ 3/2 2 23 ζ3 π 2 2 3/2 12 6ζ3. 1, 14. π 3 6 39

Špičatost určíme pomocí druhého a čtvrtého kumulantu. Nejprve však odvodíme čtvrtý obecný moment, tedy EX 4 µ 4 ϕ 4 X [ iµ e itµ Γ1 it i e itµ Γ 1 it ] t [ µ 2 e itµ Γ1 it + 2µ e itµ Γ 1 it 2 e itµ Γ 1 it ] t [ iµ 3 e itµ Γ1 it + 3iµ 2 e itµ Γ 1 it 3iµ 2 e itµ Γ 1 it+ + i 3 e itµ Γ 1 it ] t [ µ 4 e itµ Γ1 it 4µ 3 e itµ Γ 1 it+ + 6µ 2 2 e itµ Γ 1 it 4µ 3 e itµ Γ 1 it + 4 e itµ Γ 4 1 it ] t { µ 4 e itµ Γ1 it 4µ 3 e itµ Γ1 itψ1 it+ + 6µ 2 2 e itµ [ Γ1 itψ 2 1 it + Γ1 itψ 1 it ] 4µ 3 e itµ [ Γ1 itψ 3 1 it + 3Γ1 itψ1 itψ 1 it+ + Γ1 itψ 1 it] + 4 e itµ [ Γ1 itψ 4 1 it+ + 6Γ1 itψ 2 1 itψ 1 it + 3Γ1 itψ 2 1 it + + 4Γ1 itψ1 itψ 1 it + Γ1 itψ 1 it]} t µ 4 Γ1 4µ 3 Γ1ψ1 + 6µ 2 2 [ Γ1ψ 2 1 + Γ1ψ 1 ] 4µ [ 3 Γ1ψ 3 1 + 3Γ1ψ1ψ 1 + Γ1ψ 1 ] + [ 4 Γ1ψ 4 1+ ] + 6Γ1ψ 2 1ψ 1 + 3Γ1ψ 2 1 + 4Γ1ψ1ψ 1 + Γ1ψ 1 µ 4 + 4µ 3 e + 6µ 2 2 e 2 + µ 2 π 2 2 + 4µ 3 e 3 + 2µ e π 2 3 + 8µ 3 ζ3 + + 4 e 4 + 2 eπ 2 4 + π4 4 12 + 8 e 4 ζ3 + 4 ψ 1, kde ψ 1. 6, 4939. 4

Čtvrtý kumulant κ 4 je definován jako κ 4 µ 4 4κ 3 κ 1 3κ 2 2 6κ 2 κ 2 1 κ 4 1 µ 4 + 4µ 3 e + 6µ 2 2 e 2 + µ 2 π 2 2 + + 4µe 3 3 + 2µ e π 2 3 + 8µ 3 ζ3 + e 4 4 + eπ 2 2 4 + π4 4 12 + π + 8 e 4 ζ3 + 4 ψ 2 2 2 1 3 6 π2 2 6 6 π + e 2 π + e 4 µ 4 + 4µ 3 e + 6µ 2 2 e 2 + µ 2 π 2 2 + 4µ 3 e 3 + 2µ e π 2 3 + 8µ 3 ζ3 + + 4 e 4 + 2 eπ 2 4 + π4 4 12 + 8 e 4 ζ3 + 4 ψ 1 8µ 3 ζ3 8 e 4 ζ3 π4 4 12 µ2 π 2 2 2µ e π 2 3 2 eπ 2 4 µ 4 4µ 3 e 6µ 2 2 e 2 4µ 3 e 3 4 e 4 4 ψ 1. Špičatost je tedy tvaru β 2 X κ 4 κ 2 2 4 ψ 1 π 2 2 2 36ψ 1. 2, 4. π 4 6 Kvantil rozdělení určíme ze vztahu F x p p pro < p < 1, tedy xp µ exp { e } p, x p µ ln ln p. 4.1 Ze vztahu 4.1 okamžitě plyne, že hodnoty dolního kvartilu, mediánu a horního kvartilu jsou x,25 µ, 32663, x,5 µ, 36651, x,75 µ + 1, 2459. Přehled charakteristik pro rozdělení Gumbelova typu je v tabulce 4. 4.2 Rozdělení Fréchetova typu U všech charakteristik Fréchetova rozdělení předpokládejme takovou hodnotu parametru, pro kterou je gama funkce definována. 41

Gx x µ exp { e } gx 1 exp { x µ e x µ } Q G p µ ln ln p Střední hodnota µ + e Rozptyl π 2 2 6 Šikmost 12 6ζ3 π 3. 1, 14 Špičatost 36ψ 1 π 4. 2, 4 Dolní kvartil µ ln [ln4] Medián µ ln [ln2] Horní kvartil µ ln [ln4/3] Tabulka 4: Charakteristiky rozdělení Gumbelova typu Střední hodnotu, nebo také první kumulant κ 1, určíme jako první obecný moment, tedy EX κ 1 X x { +1 } x µ x µ exp dx µ x µ z ; dz +1 x µ dx; x µ + z 1 µ + Γ µ + z 1 e z dz µ 1 1. e z dz + z 1 e z dz 42

Rozptyl, nebo také druhý kumulant κ 2, určíme pomocí prvního a druhého obecného momentu. Druhý obecný moment je EX 2 µ 2 x 2 { +1 } x µ x µ exp dx µ x µ z ; dz +1 x µ dx; x µ + z 1 µ 2 + 2µz 1 + 2 z 2 e z dz µ 2 e z dz + 2µ µ 2 + 2µΓ 1 1 + 2 Γ 1 2. z 1 e z dz + 2 z 2 e z dz Z vlastností rozptylu plyne, že DX κ 2 µ 2 κ 2 1 µ 2 µ 12 EX 2 E 2 X µ 2 + 2µΓ 1 1 + 2 Γ 1 2 µ 2 2µΓ 1 1 2 Γ 2 1 1 [Γ 2 1 2 Γ 2 1 1 ]. Šikmost určíme pomocí druhého a třetího kumulantu. Nejprve však odvodíme třetí obecný moment, tedy EX 3 µ 3 x 3 { +1 } x µ x µ exp dx µ x µ z ; dz +1 x µ dx; x µ + z 1 µ 3 + 3µ 2 z 1 + 3µ 2 z 2 + 3 z 3 e z dz µ 3 e z dz + 3µ 2 + 3 z 3 e z dz µ 3 + 3µ 2 Γ z 1 e z dz + 3µ 2 z 2 e z dz + 1 1 + 3µ 2 Γ 1 2 + 3 Γ 1 3. 43

Třetí kumulant κ 3 je definován jako κ 3 µ 3 3κ 2 κ 1 κ 3 1 µ 3 + 3µ 2 Γ 1 1 + 3µ 2 Γ 1 2 + 3 Γ 1 3 3µ 2 Γ 1 2 + 3µ 2 Γ 2 1 1 3 3 Γ 1 1 Γ 1 2 + + 3 3 Γ 3 1 1 µ 3 3µ 2 Γ 1 1 3µ 2 Γ 2 1 1 3 Γ 3 1 1 3 Γ 1 3 3 3 Γ 1 1 Γ 1 2 + 2 3 Γ 3 1 1. Šikmost je tedy tvaru β 1 X κ 3 κ 3/2 2 Γ 1 3 3 Γ 1 3 3Γ [ Γ 1 1 1 2 3 3 Γ 3 [Γ 1 1 1 2 Γ Γ 2 1 1 Γ Γ 2 1 1 1 2 + 2Γ 3 1 1 ] 3/2. 1 2 + 2 3 Γ 3 1 1 ] 3/2 Špičatost určíme pomocí druhého a čtvrtého kumulantu. Nejprve však odvodíme čtvrtý obecný moment, tedy EX 4 µ 4 x 4 { +1 } x µ x µ exp dx µ x µ z ; dz +1 x µ dx; x µ + z 1 µ 4 + 4µ 3 z 1 + 6µ 2 2 z 2 + 4µ 3 z 3 + 4 z 4 e z dz µ 4 e z dz + 4µ 3 + 4µ 3 z 3 e z dz + 4 z 4 e z dz µ 4 + 4µ 3 Γ z 1 e z dz + 6µ 2 2 z 2 e z dz + 1 1 + 6µ 2 2 Γ 1 2 + 4µ 3 Γ 1 3 + 4 Γ 1 4. 44

Čtvrtý kumulant κ 4 je definován jako κ 4 µ 4 4κ 3 κ 1 3κ 2 2 6κ 2 κ 2 1 κ 4 1 µ 4 + 4µ 3 Γ 1 1 + 6µ 2 2 Γ 1 2 + 4µ 3 Γ 1 3 + 4 Γ 1 4 [ 4 3 Γ 1 3 3 3 Γ 1 1 Γ 1 2 + 2 3 Γ 3 1 1 ] [ µ + Γ 1 1 ] [ 3 4 Γ 1 2 Γ 2 1 1 ] 2 6 [Γ 2 1 2 Γ 2 1 1 ] [ µ + Γ 1 1 ] 2 [ µ + Γ 1 1 ] 4 4 Γ 1 4 6 4 Γ 4 1 1 4 4 Γ 1 1 Γ 1 3 + + 12 4 Γ 2 1 1 Γ 1 2 3 4 Γ 2 1 2. Špičatost je tedy tvaru β 2 X κ 4 κ 2 2 + 12Γ 1 2 1 [ Γ Γ 1 4 6Γ 4 Γ 1 2 1 1 [ Γ 1 2 4Γ Γ 2 1 1 1 2 3Γ 2 1 2 ] 2. Γ 2 1 1 1 1 Γ 1 3 ] 2 + Kvantil rozdělení určíme ze vztahu F x p p pro < p < 1, tedy { } xp µ exp p, x p µ + ln p 1. 4.2 Hodnoty dolního kvartilu, mediánu a horního kvartilu snadno určíme ze vztahu 4.2. Přehled charakteristik pro rozdělení Fréchetova typu je v tabulce 5. 45

Gx { exp x µ }, x µ, gx x µ, x < µ. +1 exp { x µ }, x µ,, x < µ. Q G p Střední hodnota µ + ln p 1 µ + Γ 1 1 ] Rozptyl [Γ 2 1 2 Γ 2 1 1 Šikmost Špičatost Γ1 3 3Γ1 1 Γ1 2 +2Γ 3 1 1 [Γ1 2 Γ 2 1 1 ] 3/2 Γ1 4 6Γ 4 1 1 4Γ1 1 Γ1 3 +12Γ 2 1 1 Γ1 2 3Γ 2 1 2 [Γ1 2 Γ 2 1 1 ] 2 Dolní kvartil µ + [ln4] 1 Medián µ + [ln2] 1 Horní kvartil µ + [ln4/3] 1 Tabulka 5: Charakteristiky rozdělení Fréchetova typu 4.3 Rozdělení Weibullova typu Střední hodnotu, nebo také první kumulant κ 1, určíme jako první obecný moment, tedy µ EX κ 1 X x 1 { } µ x µ x exp dx µ x z ; dz 1 µ x dx; x µ z 1 µ z 1 e z dz µ Γ 1 + 1. 46

Rozptyl, nebo také druhý kumulant κ 2, určíme pomocí prvního a druhého obecného momentu. Druhý obecný moment je µ EX 2 µ 2 x 2 1 { } µ x µ x exp dx µ x z ; dz 1 µ x dx; x µ z 1 µ 2 2µz 1 + 2 z 2 e z dz µ 2 e z dz 2µ µ 2 2µΓ 1 + 1 + 2 Γ 1 + 2. z 1 e z dz + 2 z 2 e z dz Z vlastností rozptylu plyne, že DX κ 2 µ 2 κ 2 1 µ 2 µ 12 EX 2 E 2 X µ 2 2µΓ 1 + 1 + 2 Γ 1 + 2 µ 2 + 2µΓ 1 + 1 2 Γ 2 1 + 1 [Γ 2 1 + 2 Γ 2 1 + 1 ]. Šikmost určíme pomocí druhého a třetího kumulantu. Nejprve však odvodíme třetí obecný moment, tedy µ EX 3 µ 3 x 3 1 { } µ x µ x exp dx µ x z ; dz 1 µ x dx; x µ z 1 µ 3 3µ 2 z 1 + 3µ 2 z 2 3 z 3 e z dz µ 3 e z dz 3µ 2 3 z 3 e z dz µ 3 3µ 2 Γ z 1 e z dz + 3µ 2 z 2 e z dz 1 + 1 + 3µ 2 Γ 1 + 2 3 Γ 1 + 3. 47

Třetí kumulant κ 3 je definován jako κ 3 µ 3 3κ 2 κ 1 κ 3 1 µ 3 3µ 2 Γ 1 + 1 + 3µ 2 Γ 1 + 2 3 Γ 1 + 3 3µ 2 Γ 1 + 2 + 3µ 2 Γ 2 1 + 1 + 3 3 Γ 1 + 1 Γ 1 + 2 3 3 Γ 3 1 + 1 µ 3 + 3µ 2 Γ 1 + 1 3µ 2 Γ 2 1 + 1 + 3 Γ 3 1 + 1 3 3 Γ 1 + 1 Γ 1 + 2 3 Γ 1 + 3 2 3 Γ 3 1 + 1. Šikmost je tedy tvaru β 1 X κ 3 κ 3/2 2 3Γ 1 + 1 3 3 Γ 1 + 1 Γ Γ [ Γ 1 + 2 1 + 2 3 [Γ 1 + 2 1 + 2 Γ Γ 2 1 + 1 3 Γ Γ 2 1 + 1 1 + 3 2Γ 3 1 + 1 ] 3/2. 1 + 3 2 3 Γ 3 1 + 1 ] 3/2 Špičatost určíme pomocí druhého a čtvrtého kumulantu. Nejprve však odvodíme čtvrtý obecný moment, tedy µ EX 4 µ 4 x 4 1 { } µ x µ x exp dx µ x z ; dz 1 µ x dx; x µ z 1 µ 4 4µ 3 z 1 + 6µ 2 2 z 2 4µ 3 z 3 + 4 z 4 e z dz µ 4 e z dz 4µ 3 4µ 3 z 3 e z dz + 4 z 4 e z dz µ 4 4µ 3 Γ z 1 e z dz + 6µ 2 2 z 2 e z dz 1 + 1 + 6µ 2 2 Γ 1 + 2 4µ 3 Γ 1 + 3 + 4 Γ 1 + 4. 48

Čtvrtý kumulant κ 4 je definován jako κ 4 µ 4 4κ 3 κ 1 3κ 2 2 6κ 2 κ 2 1 κ 4 1 µ 4 4µ 3 Γ 1 + 1 + 6µ 2 2 Γ 1 + 2 4µ 3 Γ 1 + 3 + 4 Γ 1 + 4 [ 4 3 3 Γ 1 + 1 Γ 1 + 2 3 Γ 1 + 3 2 3 Γ 3 1 + 1 ] [ µ Γ 1 + 1 ] [ 3 4 Γ 1 + 2 Γ 2 1 + 1 ] 2 6 [Γ 2 1 + 2 Γ 2 1 + 1 ] [ µ Γ 1 + 1 ] 2 [ µ Γ 1 + 1 ] 4 4 Γ 1 + 4 6 4 Γ 4 1 + 1 4 4 Γ 1 + 1 Γ 1 + 3 + + 12 4 Γ 2 1 + 1 Γ 1 + 2 3 4 Γ 2 1 + 2. Špičatost je tedy tvaru β 2 X κ 4 κ 2 2 + 12Γ 1 2 + 1 [ Γ Γ 1 + 4 6Γ 4 Γ 1 + 2 1 + 1 [ Γ 1 + 2 4Γ Γ 2 1 + 1 1 + 2 3Γ 2 1 + 2 ] 2. Γ 2 1 + 1 1 + 1 Γ 1 + 3 ] 2 + Kvantil rozdělení určíme ze vztahu F x p p pro < p < 1, tedy { } µ xp exp p, x p µ ln p 1. 4.3 Hodnoty dolního kvartilu, mediánu a horního kvartilu snadno určíme ze vztahu 4.3. Přehled charakteristik pro rozdělení Weibullova typu je v tabulce 6. 49

Gx { exp µ x }, x µ, gx µ x 1, x > µ. 1 exp { µ x }, x µ,, x > µ. Q G p Střední hodnota µ ln p 1 µ Γ 1 + 1 ] Rozptyl [Γ 2 1 + 2 Γ 2 1 + 1 Šikmost Špičatost 3Γ1+ 1 Γ1+ 2 Γ1+ 3 2Γ 3 1+ 1 [Γ1+ 2 Γ 2 1+ 1 ] 3/2 Γ1+ 4 6Γ 4 1+ 1 4Γ1+ 1 Γ1+ 3 +12Γ 2 1+ 1 Γ1+ 2 3Γ 2 1+ 2 [Γ1+ 2 Γ 2 1+ 1 ] 2 Dolní kvartil µ [ln4] 1 Medián µ [ln2] 1 Horní kvartil µ [ln4/3] 1 Tabulka 6: Charakteristiky rozdělení Weibullova typu 5

5 Odhady parametrů V této kapitole odvodíme odhady parametrů metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů pro tři zvolená rozdělení, která byla vybrána s ohledem na aplikaci v 7. kapitole. 5.1 Weibullovo rozdělení Distribuční funkce Weibullova rozdělení je F x 1 e λxτ, hustota je tedy tvaru fx λτx τ 1 e λxτ. 5.1.1 Metoda maximální věrohodnosti Sdružená hustota Weibullova rozdělení je tvaru fx; λ, τ n i1 λτx τ 1 i e λxτ i λ n τ n n i1 x τ 1 i e P n i1 λxτ i. Nyní určíme logaritmickou věrohodnostní funkci lλ, τ ln fx; λ, τ n ln λ + n ln τ + n τ 1 ln x i i1 n λx τ i. i1 Derivace logaritmické věrohodnostní funkce podle jednotlivých složek položíme rovny nule a získáme věrohodnostní rovnice l λ n n λ x τ i, 5.1 i1 l τ n n τ + ln x i i1 n λx τ i ln x i. 5.2 i1 Z rovnice 5.1 vyjádříme odhad parametru ˆλ ˆλ n n. i1 xτ i 51

Dosazením ˆλ do rovnice 5.2 dostaneme n n τ + ln x i i1 n i1 n n x τ i1 xτ i ln x i, i n τ + n i1 n i1 ln x i n xτ i ln x i n. i1 xτ i Odhad parametru ˆτ získáme numerickým řešením rovnice τ [ n i1 xτ i ln x i n i1 xτ i n i1 ln x ] 1 i. n Odhad parametrů Weibullova rozdělení metodou maximální věrohodnosti byl naprogramován v Matlabu a nachází se na přiloženém CD. Konkrétně se jedná o funkci wblmle. 5.1.2 Metoda momentů Metoda momentů spočívá v porovnání teoretických a výběrových momentů µ rλ, τ M r EX r, kde r 1,..., n. Nejprve odvodíme výběrové momenty EX 1 λ x fx dx 1 τ t 1 τ e t dt xλτx τ 1 e λxτ dx λx τ t ; λτx τ 1 dx dt 1 1 τ 1 Γ λ τ + 1, EX 2 1 λ x 2 fx dx 2 τ t 2 τ e t dt x 2 λτx τ 1 e λxτ dx λx τ t ; λτx τ 1 dx dt 2 1 τ 2 Γ λ τ + 1. 52

Nyní sestavíme momentové rovnice µ 1θ EX, µ 2θ EX 2, odtud 1 λ 1 λ 1 τ Γ 1 τ + 1 2 τ Γ 2 τ + 1 X, 5.3 X 2. 5.4 Z rovnice 5.3 vyjádříme odhad ˆλ [ ] τ X ˆλ Γ 1 + 1. τ Dosazením ˆλ do rovnice 5.4 získáme momentovou rovnici Γ 2 + 1 τ Γ X2 2 1 + 1 τ X 2. 5.5 Numerickým řešením rovnice 5.5 získáme odhad parametru ˆτ. Odhad parametrů Weibullova rozdělení metodou momentů byl naprogramován v Matlabu a nachází se na přiloženém CD. Konkrétně se jedná o funkci wblmm. 5.2 Lognormální rozdělení Distribuční funkce lognormálního rozdělení je ln x µ F x Φ, kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N; 1. Hustota lognormálního rozdělení je 1 fx x 2π exp ln x µ2. 2 2 53

5.2.1 Metoda maximální věrohodnosti Sdružená hustota lognormálního rozdělení je tvaru n 1 fx; µ, x i1 i 2π exp ln x i µ 2 2 2 n 2π n 2 n 1 n ln x i µ 2 exp. x i 2 2 i1 Nyní určíme logaritmickou věrohodnostní funkci i1 lµ, ln fx; µ, n n 2 ln2π n ln + ln 1 x i i1 n i1 ln x i µ 2 2 2. Derivace logaritmické věrohodnostní funkce podle jednotlivých složek položíme rovny nule a získáme věrohodnostní rovnice l n µ i1 l n n + ln x i µ 2, 5.6 i1 ln x i µ 2 3. 5.7 Z rovnice 5.6 vyjádříme odhad parametru ˆµ n i1 ˆµ ln x i. 5.8 n Dosazením 5.8 do rovnice 5.7 vyjádříme odhad parametru ˆ ˆ [ n i1 ln x i µ 2 Odhad parametrů lognormálního rozdělení metodou maximální věrohodnosti byl naprogramován v Matlabu a nachází se na přiloženém CD. Konkrétně se jedná o funkci lognmle. 5.2.2 Metoda momentů n ] 1 2. Metoda momentů spočívá v porovnání teoretických a výběrových momentů µ rλ, τ M r EX r, kde r 1,..., n. 54

Nejprve provedeme pomocné výpočty t t µ2 2 2 2t2 t 2 + 2tµ µ 2 2 2 t2 + 2t [ µ + 2 ] + µ 2 2 2. Nyní s využitím úprav x + a 2 a 2 x 2 + 2ax a [ t µ + 2 ] 2 µ + 2 2 t 2 + 2t [ µ + 2 ] dostaneme t t µ2 [t µ + 2 ] 2 + µ + 2 2 µ 2 [t µ + 2 ] 2 + µ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. Podobným způsobem a s využitím vztahu [ t µ + 2 2 ] 2 µ + 2 2 2 t 2 + 2t [ µ + 2 2 ] upravíme 2t t µ2 2 2 4t2 t 2 + 2tµ µ 2 2 2 t2 + 2t [ µ + 2 2 ] + µ 2 2 2 [t µ + 22 ] 2 2 2 + µ + 22 2 µ 2 2 2 [t µ + 22 ] 2 2 2 + 2µ + 2 2. Nyní odvodíme výběrové momenty EX x fx dx 1 2π exp ln x t ; x e t ; dx e t dt 1 2π exp [t µ + 2 ] 2 2 2 exp µ + 2, 2 ln x µ2 dx 2 2 1 2π exp t exp µ + 2 dt 2 t µ2 dt 2 2 55

EX 2 x 2 fx dx x 2π exp ln x t ; x e t ; dx e t dt ln x µ2 dx 2 2 1 2π exp 2t 1 2π exp [t µ + 22 ] 2 exp 2µ + 2 2 dt 2 2 exp 2µ + 2 2. t µ2 dt 2 2 Sestavíme momentové rovnice µ 1θ EX, µ 2θ EX 2, odtud exp µ + 2 2 X, 5.9 exp 2µ + 2 2 X 2. 5.1 Z rovnice 5.9 vyjádříme odhad parametruˆµ ˆµ ln X 2 2. 5.11 Dosazením 5.11 do rovnice 5.1 získáme momentovou rovnici pro odhad parametru ˆ ˆ 1 ln X 2 2 2 ln X. Odhad parametrů lognormálního rozdělení metodou momentů byl naprogramován v Matlabu a nachází se na přiloženém CD. Konkrétně se jedná o funkci lognmm. 5.3 Exponenciální rozdělení Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je F x 1 e λx, 56

hustota je tedy tvaru fx λe λx. Odhad parametru exponenciálního rozdělení metodou maximální věrohodnosti byl naprogramován v Matlabu a nachází se na přiloženém CD. Konkrétně se jedná o funkci expmmamle. 5.3.1 Metoda maximální věrohodnosti Sdružená hustota exponenciálního rozdělení je tvaru fx; λ n i1 λe λx i λ n e P n i1 λx i. Nyní určíme logaritmickou věrohodnostní funkci lλ ln fx; λ n ln λ n λx i. i1 Derivaci logaritmické věrohodnostní funkce podle λ položíme rovnu nule a získáme věrohodnostní rovnici l λ n n λ x i. i1 Odhad ˆλ je tedy ˆλ n n i1 x. i 5.3.2 Metoda momentů Metoda momentů spočívá v porovnání teoretických a výběrových momentů µ rλ, τ M r EX r, kde r 1,..., n. Odvodíme výběrový moment 57

EX x fx dx xλe λx dx u x, u 1 ; v e λx, v e λx λ [ xe λx] + e λx dx 1 λ. Sestavíme momentovou rovnici µ 1θ EX, odtud Odhad parametru ˆλ je tedy 1 λ X. ˆλ 1 X. Odhad parametru exponenciálního rozdělení metodou momentů je stejný jako odhad metodou maximální věrohodnosti, tudíž lze pro výpočet v Matlabu použít opět funkci expmmamle. Poznámka. Existují další zpřesnění uvedených odhadů podle zadaných kritérií viz např. [17], [18]. V této práci vzhledem k jejímu rozsahu se jimi nebudeme zabývat. 58

6 Odhady parametrů pro cenzorované výběry V praxi často narazíme na případy, kdy náhodný výběr není úplný. Při sledování n statistických jednotek může nastat situace, že rizikový jev např. porouchání součástky není pozorován u všech jednotek. V takovém případě mluvíme o neúplných nebo také cenzorovaných náhodných výběrech. Předpokládejme, že sledujeme n statistických jednotek, které rozdělíme do dvou skupin. První skupinu označíme J 1 a bude obsahovat statistické jednotky, u nichž byl při sledování pozorován rizikový jev. Druhou skupinu označíme J a bude obsahovat statistické jednotky, u nichž při sledování nebyl pozorován rizikový jev. Zřejmě J J 1 je množina všech sledovaných statistických jednotek {1,..., n}. Statistické jednotky ze skupiny J 1 budeme nazývat necenzorované a X i, i J 1, označíme jako dobu, kdy došlo k pozorování rizikového jevu u jednotky i. Statistické jednotky ze skupiny J budeme nazývat cenzorované a t i, i J, označíme jako dobu pozorování jednotky i, přičemž nedošlo k pozorování rizikového jevu. Odvodíme metodu maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry. Předpokládejme, že náhodné veličiny X i, i J 1, jsou nezávislé s hustotou fx, θ, kde θ je množina parametrů. U cenzorovaných statistických jednotek víme pouze to, že rizikový jev nastal až po čase t i, i J. Tedy pravděpodobnost tohoto jevu pro jednotku i, i J, je P X i > t i 1 F t i, θ St i, θ, kde S je funkce přežití. Věrohodnostní funkci zapíšeme ve tvaru Lθ i J 1 fx, θ i J St i, θ. 6.1 Logaritmická věrohodnostní funkce je lθ ln Lθ i J 1 ln fx, θ i J ln St i, θ. 6.2 Maximálně věrohodný odhad parametru θ získáme maximalizací logaritmické věrohodnostní funkce 6.2, tedy lθ θ j, j 1,..., r. V dalších odstavcích bude X 1,..., X n značit uspořádaný náhodný výběr X 1,..., X n, tedy X 1 X 2... X n. Budeme se zabývat třemi typy cenzorování. 6.1 Cenzorování časem V čase t začneme sledovat n statistických jednotek po dobu T >. Čas T, který je předem pevně daný, nazýváme časový cenzor. Výsledkem experimentu je náhodná veličina m, m {, 1,..., n}, udávající počet jednotek, u nichž byl do času T pozorován rizikový jev, a doby do pozorování rizikového jevu X 1,..., X m u m statistických jednotek do času T. Je tedy zřejmé, že doba do pozorování rizikového jevu u m+1-ní statistické jednotky je X m+1 > T. Budeme-li pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny 59

m chápat jako speciální případ hustoty, zapíšeme sdruženou hustotu náhodných veličin X 1,..., X m, m při cenzorování časem ve tvaru f x 1,..., x m, m n! m f x i S n m T 6.3 n m! i1 pro < x 1 < < x m < T, m, 1,..., n. Funkce f x 1,..., x m, m ze vztahu 6.3 je zřejmě věrohodnostní funkce 6.1. 6.2 Cenzorování poruchou V čase t začneme sledovat n statistických jednotek a pozorování ukončíme v okamžiku, kdy sledovaný rizikový jev byl pozorován u m jednotek, přičemž m je předem pevně dané přirozené číslo, m {1,..., n}. Výsledkem experimentu je m hodnot x 1 x 2... x m představující prvních m dob čekání na rizikový jev u n statistických jednotek. Doba trvání experimentu je X m. U n m statistických jednotek byla tedy doba čekání na rizikový jev větší než X m. Sdruženou hustotu náhodných veličin X 1,..., X m při cenzorování počtem zapíšeme ve tvaru f x 1,..., x m n! n m! m f x i S n m x m 6.4 i1 pro < x 1 < < x m <. Funkce f x 1,..., x m ze vztahu 6.4 je zřejmě věrohodnostní funkce 6.1. 6.3 Náhodné cenzorování Sledujeme n statistických jednotek a u každé jednotky pozorujeme bud náhodnou veličinu X udávající dobu čekání na rizikový jev, nebo náhodnou veličinu T časový cenzor udávající dobu sledování jednotky. Každé statistické jednotce přiřadíme hodnotu X nebo T podle toho, která z těchto hodnot je menší. Výsledkem experimentu je tedy n dvojic W 1, I 1,..., W n, I n, kde W j min X j, T j. I j 1, jestliže W j X j, tedy j-té pozorování X je necenzorované a rizikový jev byl u j-té jednotky pozorován v čase X j, I j, jestliže W j T j, tedy j-té pozorování X je cenzorované v čase T T j, což znamená, že j-tá statistická jednotka byla vyjmuta ze sledování v čase T j, T j < X j, tedy dříve, než došlo k nastoupení rizikového jevu. Předpokládejme, že doba čekání na rizikový jev X s distribuční funkcí F x a hustotou fx a časový cenzor T s distribuční funkcí Gt a hustotou gt jsou nezávislé náhodné veličiny. Rozdělení veličin X a T závisí na parametrech θ 1 a θ 2, tedy F x F x, θ 1 a Gt Gt, θ 2, přičemž předpokládáme, že θ 1 a θ 2 nemají společné parametry. 6

Za uvedených předpokladů je výsledkem experimentu n nezávislých dvojic W j, I j, j 1,..., n. Zavedeme funkci Hw, i pro w > a i {, 1} tak, že Hw, 1 P W w, I 1 P min {X, T } w, X < T P X w, X < T w f XT x, t dx dt fxgt dx dt fx gt dt dx x w x<t x w x<t x w w fx1 Gx dx F w fxgx dx Hw, P W w, I P min {X, T } w, T < X P T w, T < X w f XT x, t dx dt fxgt dx dt gt fx dx dt t w t<x t w t<x t w w gt1 F t dt Gw gtf t dt Odtud derivací funkce H dostaneme hw, 1 hw, Hw, 1 w Hw, w fw fwgw fw1 Gw, w > gw gwf w gw1 F w, w > 6.5 Funkce hw, i, i {, 1}, zřejmě odpovídá sdružené hustotě veličin W a I. Věrohodnostní funkce při náhodném cenzorování je tedy rovna Lθ Logaritmická věrohodnostní funkce je n hw j, I j. j1 lθ ln Lθ n ln hw j, I j ln hw j, 1 + ln hw j,, 6.6 j J 1 j J j1 61

kde J 1 {j : I j 1} je množina necenzorovaných statistických jednotek a J {j : I j } je množina cenzorovaných statistických jednotek. Dosadíme-li 6.5 do 6.6, dostaneme logaritmickou věrohodnostní funkci lθ ve tvaru lθ j J 1 ln [fw j 1 GW j ] + j J ln [gw j 1 F W j ] j J 1 ln [ fx j 1 GX j ] + j J ln [gt j 1 F T j ] j J 1 ln fx j + j J ln1 F T j + j J ln gt j + j J 1 ln1 GX j Jelikož funkce F respektive f a G respektive g nemají společné parametry, tedy θ 1 θ 11,..., θ 1k1 a θ 2 θ 21,..., θ 2k2, můžeme logaritmickou věrohodnostní funkci lθ napsat jako součet lθ l 1 θ 1 + l 2 θ 2, kde l 1 θ 1 j J 1 ln fx j + j J ln1 F T j, l 2 θ 2 j J ln gt j + j J 1 ln1 GX j. 6.7 Maximální věrohodné odhady parametrů θ 1 a θ 2 získáme maximalizací logaritmických věrohodnostních funkcí 6.7, tedy l 1 θ 1i, i 1,..., k 1, l 2 θ 2i, i 1,..., k 2. 62

7 Analýza dešt ových srážek Výzkum intenzit přívalových dešt ů se provádí především proto, aby bylo možné stanovit odtoková množství z malých povodí, případně podle množství spadlých srážek predikovat rozvodnění toků. Odtoky z malých povodí jsou způsobeny krátkodobými přívalovými dešti malého plošného rozsahu. Při výzkumu přívalových dešt ů nás zajímá především jejich doba trvání, intenzita a množství srážek. Uvedené veličiny se vyšetřují ze záznamů srážkoměrů. Pro úplnost uved me, že měřicí přístroj se nazývá ombrograf a zápis měření se nazývá ombrogram. Z ombrogramů jednotlivých dešt ů byly vybrány úseky trvající 5, 1, 15, 2, 3, 4, 6, 9 a 12 minut, pokud příslušné úhrny byly větší nebo rovny než 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6 a 7 mm. Deště trvající déle než půl hodiny, které byly přerušené krátkými přestávkami, byly považovány za jeden déšt. Bezdešt ové přestávky nesmí být delší než 5 minut u skupiny trvající 4-6 minut a delší než 1 minut u skupiny trvající 9-12 minut. Naším cílem je pomocí vybraných rozdělení popsat srážkový úhrn na území Moravy. K dispozici máme srážkové úhrny dešt ů ve vybraných lokalitách na území Moravy trvajících 5-12 minut. Nyní z těchto dešt ů vybereme několik zástupců a budeme testovat, zda lze daný déšt popsat vybraným rozdělením pravděpodobnosti. K ověřování použijeme Q-Q ploty viz např. [5], χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test viz např. [1]. Jelikož srážkoměr často nezaznamenává velmi malé intenzity dešt ů, budeme při našem testování počítat s jistým prahovým parametrem. 7.1 Exponenciální rozdělení Budeme testovat, zda lze dané srážkové úhrny popsat exponenciálním rozdělením. Na obrázku 2 vidíme Q-Q plot a histogram desetiminutových dešt ů pro stanici Brno - Jundrov. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily exponenciálního rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že desetiminutové deště pro stanici Brno - Jundrov lze popsat exponenciálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z exponenciálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 645. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 4521. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametr λ, 3314. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ do kvantilové funkce Qp 1 ln1 p. λ Na obrázku 3 vidíme Q-Q plot a histogram dvacetiminutových dešt ů pro stanici Brno - Jundrov. Q-Q plot opět vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily exponenciálního rozdělení a výběrovými kvantily. Dá se tedy předpokládat, že dvacetiminutové deště pro stanici Brno - Jundrov lze popsat exponenciálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z exponenciálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 956. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 7665. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametr λ, 2441. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ do kvantilové funkce Qp 1 ln1 p. λ 63

a Q-Q plot b Histogram Obrázek 2: Desetiminutové deště pro stanici Brno - Jundrov a Q-Q plot b Histogram Obrázek 3: Dvacetiminutové deště pro stanici Brno - Jundrov Na obrázku 4 vidíme Q-Q plot a histogram desetiminutových dešt ů pro stanici Znojmo - Kuchařovice. Q-Q plot opět vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily exponenciálního rozdělení a výběrovými kvantily. Dá se tedy předpokládat, že desetiminutové deště pro stanici Znojmo - Kuchařovice lze popsat exponenciálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, opět provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z exponenciálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 5939. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 4774. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametr λ, 3626. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ do kvantilové funkce Qp 1 ln1 p. λ Na obrázku 5 vidíme Q-Q plot a histogram dvacetiminutových dešt ů pro stanici Jevišovice. Q-Q plot opět vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily exponenciálního rozdělení a výběrovými kvantily. Dá se tedy předpokládat, že dvacetiminutové deště pro stanici Jevišovice lze popsat exponenciálním rozdělením. 64

a Q-Q plot b Histogram Obrázek 4: Desetiminutové deště pro stanici Znojmo - Kuchařovice Abychom tuto skutečnost potvrdili, opět provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z exponenciálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 4113. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 983. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametr λ, 2444. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ do kvantilové funkce Qp 1 ln1 p. λ a Q-Q plot b Histogram Obrázek 5: Dvacetiminutové deště pro stanici Jevišovice 7.2 Lognormální rozdělení Budeme testovat, zda lze dané srážkové úhrny popsat lognormálním rozdělením. Na obrázku 6 vidíme Q-Q plot a histogram dvacetiminutových dešt ů pro stanici Brno - Žabovřesky. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily lognormálního rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že dvacetiminutové deště pro stanici Brno - Žabovřesky lze popsat lognormálním rozdělením. 65

Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z lognormálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 6834. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 7981. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry µ, 8987 a 1, 198. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením µ a do kvantilové funkce Qp exp {µ + Φ 1 p}. a Q-Q plot b Histogram Obrázek 6: Dvacetiminutové deště pro stanici Brno - Žabovřesky Na obrázku 7 vidíme Q-Q plot a histogram třicetiminutových dešt ů pro stanici Brno - Žabovřesky. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily lognormálního rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že třicetiminutové deště pro stanici Brno - Žabovřesky lze popsat lognormálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z lognormálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 4569. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 7996. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry µ, 933 a 1, 1824. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením µ a do kvantilové funkce Qp exp {µ + Φ 1 p}. Na obrázku 8 vidíme Q-Q plot a histogram třicetiminutových dešt ů pro stanici Vyškov. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily lognormálního rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že třicetiminutové deště pro stanici Vyškov lze popsat lognormálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z lognormálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 718. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 879. 66

a Q-Q plot b Histogram Obrázek 7: Třicetiminutové deště pro stanici Brno - Žabovřesky Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry µ, 7975 a 1, 835. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením µ a do kvantilové funkce Qp exp {µ + Φ 1 p}. a Q-Q plot b Histogram Obrázek 8: Třicetiminutové deště pro stanici Vyškov Na obrázku 9 vidíme Q-Q plot a histogram čtyřicetiminutových dešt ů pro stanici Vyškov. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily lognormálního rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že čtyřicetiminutové deště pro stanici Vyškov lze popsat lognormálním rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z lognormálního rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 4839. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 8797. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry µ, 868 a 1, 17. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením µ a do kvantilové funkce Qp exp {µ + Φ 1 p}. 67

a Q-Q plot b Histogram Obrázek 9: Čtyřicetiminutové deště pro stanici Vyškov 7.3 Weibullovo rozdělení Budeme testovat, zda lze dané srážkové úhrny popsat Weibullovým rozdělením. Na obrázku 1 vidíme Q-Q plot a histogram šedesátiminutových dešt ů pro stanici Brno - Tuřany. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily Weibullova rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že šedesátiminutové deště pro stanici Brno - Tuřany lze popsat Weibullovým rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z Weibullova rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 5515. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 9248. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry λ, 2418 a τ, 9129. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ a τ do kvantilové funkce Qp [ 1 λ ln1 p] 1 τ. a Q-Q plot b Histogram Obrázek 1: Šedesátiminutové deště pro stanici Brno - Tuřany 68

Na obrázku 11 vidíme Q-Q plot a histogram šedesátiminutových dešt ů pro stanici Vyškov. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily Weibullova rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že šedesátiminutové deště pro stanici Vyškov lze popsat Weibullovým rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z Weibullova rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 8647. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 8676. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry λ, 2923 a τ, 8289. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ a τ do kvantilové funkce Qp [ 1 λ ln1 p] 1 τ. a Q-Q plot b Histogram Obrázek 11: Šedesátiminutové deště pro stanici Vyškov Na obrázku 12 vidíme Q-Q plot a histogram devadesátiminutových dešt ů pro stanici Znojmo - Kuchařovice. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily Weibullova rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že devadesátiminutové deště pro stanici Znojmo - Kuchařovice lze popsat Weibullovým rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je z Weibullova rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 5125. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 7773. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry λ, 2452 a τ, 967. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ a τ do kvantilové funkce Qp [ 1 λ ln1 p] 1 τ. Na obrázku 13 vidíme Q-Q plot a histogram stodvacetiminutových dešt ů pro stanici Jevišovice. Jelikož Q-Q plot vykazuje lineární závislost mezi teoretickými kvantily Weibullova rozdělení a výběrovými kvantily, můžeme konstatovat, že stodvacetiminutové deště pro stanici Jevišovice lze popsat Weibullovým rozdělením. Abychom tuto skutečnost potvrdili, provedeme χ 2 test dobré shody a jednovýběrový Kolmogorovův-Smirnovův test. V obou případech testujeme hypotézu, že daný výběr je 69

a Q-Q plot b Histogram Obrázek 12: Devadesátiminutové deště pro stanici Znojmo - Kuchařovice z Weibullova rozdělení. χ 2 test dobré shody hypotézu nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 415. Kolmogorovův-Smirnovův test hypotézu taktéž nezamítá na hladině významnosti α, 5, přičemž hodnota p, 715. Metodou maximální věrohodnosti jsme odhadli parametry λ, 2334 a τ, 8752. Odhad kvantilu rozdělení pak dostaneme dosazením λ a τ do kvantilové funkce Qp [ 1 λ ln1 p] 1 τ. a Q-Q plot b Histogram Obrázek 13: Stodvacetiminutové deště pro stanici Jevišovice 7.4 Závěry Statistickou analýzou úhrnů dešt ových srážek bylo zjištěno a prokázáno, že srážkové úhrny pro deště trvající 5-2 minut lze popsat exponenciálním rozdělením, pro deště trvající 2-4 minut lognormálním rozdělením a pro deště trvající 6-12 minut Weibullovým rozdělením. 7

8 Program EVD Program EVD byl vytvořen jako demonstrační program pro rozdělení extrémních hodnot. K jeho správné funkčnosti je nutný Matlab se statistickým toolboxem, nejlépe verze R28a. 8.1 Spuštění Spustíme program Matlab a do příkazového řádku napíšeme guide main musíme se nacházet v adresáři s programem EVD. Objeví se okno programu, který spustíme tlačítkem Run Figure. Nyní přistoupíme k popisu jednotlivých částí programu. a b Obrázek 14: Výběr rozdělení 8.2 Popis programu Program je rozčleněn na několik částí: Vyber rozdělení - v této sekci lze zvolit některý ze tří typů extremálních rozdělení Gumbelovo, Fréchetovo, Weibullovo - Obr. 14a. Podle volby se otevře podnabídka rozdělení příslušných k danému typu extremálního rozdělení Obr. 14b sestavená podle tabulky 3 pro rozdělení Gumbelova typu, tabulky 1 pro rozdělení Fréchetova typu a tabulky 2 pro rozdělení Weibullova typu. 71

Obrázek 15: Výběr úlohy Parametry - v této sekci se zobrazí parametry příslušné danému rozdělení, které lze podle potřeby měnit. Rozsah na ose x - v této sekci lze zvolit rozsah na ose x při vykreslování grafů. Vyber úlohu - v této sekci lze zvolit různé úlohy pro daná rozdělení Obr. 8.2, které rozebereme v následujícím odstavci. V sekci Vyber úlohu lze zvolit následující úlohy: Vykreslit grafy: Vykreslí zvolené funkce hustotu, distribuční funkci, rizikovou funkci a funkci přežití vybraného rozdělení se zvolenými parametry. Histogram: Vykreslí histogram zvoleného vstupního vektoru a proloží jej hustotou daného rozdělení na základě zvolených parametrů. Jako vstupní vektor můžeme zvolit bud náhodný výběr ze zvoleného rozdělení o rozsahu n, nebo načíst vektor z externího txt souboru. Pokud zvolíme vstupní vektor náhodný, můžeme jej po vykreslení histogramu uložit do externího txt souboru a kdykoliv použít podle potřeby. Q-Q plot: Vykreslí Q-Q plot, který porovnává závislost teoretických kvantilů zvoleného rozdělení 72