V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe se omezujeme jen n n jkou ást (pozn. tím máme n mysli intervl) funkce, která je zákldem geometrického útvru. Obsh. Úvod. Zvedení pojmu ur itého integrálu 3. Výpo et vlstnosti ur itého integrálu 3 4. Integrování metodou substituce per prtes 5 Úvod má vyuºití ve velkém mnoºství plikcí. Pomocí ur itého integrálu m ºeme po ítt obshy ploch, délky k ivek, objemy plá²t rot ních t les, sttické momenty rovinných obrzc, k ivek rot ních t les, sou dnice t ºi²t. Velké mnoºství plikcí nleznete ve fyzice (výpo et rychlosti, dráhy, práce,...). Dl²í plikce nleznete v ekonomice, nncích, prvd podobnosti sttistice v mnoh dl²ích oborech. Existuje n kolik p ístup, jk vybudovt pojem ur itý integrál tomu odpovídá n kolik druh ur itých integrál (Newton v, Riemnn v, Lebesgue v). Podle zp sobu zvedení se m ní t íd integrovtelných funkcí. Dnes bývá obvyklé pouºívt denici, jk ji zvedl význmný n mecký mtemtik B. Riemnn (86 866). Pot eb vybudování tohoto pojmu vychází z pot eb e²ení geometrických problém problém klsické mechniky. Mnoºin funkcí, které jsou integrovtelné v Riemnnov smyslu je dostte n ²iroká pro inºenýrskou prxi. Zp sob zvedení je východiskem pro numerické výpo ty ur itých integrál. Denice ur itého integrálu Tto kpitol obshuje teorii, která je uºite ná k celkovému pochopení témtu, v²k není nutná pro e²ení konkrétních p íkld (pouze pro zvídvé studenty). Nový pojem Funkce f(x) je n intervlu, b integrovtelná (schopná integrce), je-li n n m ohrni- ená spo po ástech spojitá (má n tomto intervlu kone ný po et bod nespojitosti (body nespojitosti. druhu)). Denice ur itého integrálu je pom rn sloºitá. K pojmu ur itý integrál dosp jeme následujícím postupem: http://mthstt.econ.muni.cz/ Mtemtik
. Intervl, b rozd líme n n díl ích intervl. Mnoºinu d lících bod D n = x, x,..., x n, kde = x < x < < x n < x n = b, nzveme d lením intervlu, b n n intervl x i, x i, i =,,..., n. ƒíslo ν(d n ) = mx i=,...,n (x i x i ) budeme nzývt normou d lení D n. Toto íslo nám íká, jká je délk nejv t²ího intervlu v dném d lení. Smoz ejm intervl s touto mximální délkou m ºe být více, p ípdn mohou být intervly stejn dlouhé (ekvidistntní body). Norm d lení chrkterizuje, jk je d lení jemné.. V kºdém díl ím intervlu d lení D n vybereme jeden bod ξ i x i, x, i =,,..., n. Mnoºinu t chto bod R n = {ξ, ξ,..., ξ n } budeme nzývt výb rem reprezentnt p íslu²ných k d lení D n. 3. Pro dné d lení D n intervlu, b výb r reprezentnt R n vytvo íme sou et σ(f, D n, R n ) = n i= f(ξ i)(x i x i ). Tto sum se nzývá integrálním sou tem funkce f nebo tké Riemnn v sou et. Geometrický význm tohoto sou tu je znázorn n n Obrázku. Jedná se vlstn o sou et obsh obdélník se zákldnmi (x i x i ) vý²kmi f(ξ i ), kde i =,,..., n. Je z ejmé, ºe pro f(ξ i ) < bude hodnot pro dný obdélník záporná. Ozn ení σ(f, D n, R n ) znmená, ºe integrální sou et závisí n funkci f, n konkrétním d lení D n n výb ru reprezentnt R n. 4. Budeme vytvá et integrální sou ty pro stále jemn j²í d lení D n intervlu, b p i libovolných výb rech reprezentnt R n. Pokud bude existovt limit integrálních sou t σ(f, D n, R n ) pro n normu d lení ν(d n ) nezávisle n výb rech reprezentnt, nzveme ji ur itý integrál funkce f(x) n intervlu, b. Obrázek. Integrální sou et funkce f. Hndout Mtemtik
Nový pojem Nech je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b, D n je d lení intervlu, b R n výb r reprezentnt. ekneme, ºe funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b, jestliºe existuje íslo I R s vlstností lim n σ(f, D n, R n ) = I pro libovolnou posloupnost d lení D n, pro kterou pltí lim n ν(d n ) = p i libovolné volb reprezentnt R n. ƒíslo I nzýváme ur itý (Riemnn v) integrál funkce f n intervlu, b pí²eme I = b f(x)dx. ƒíslo nzýváme dolní mez, íslo b horní mez, intervl, b integr ní obor funkci f integrnd. Je-li f(x) n intervlu, b, pk geometrickým význmem ur itého integrálu b f(x)dx je obsh "k ivo rého lichob ºník"ohrni eného shor grfem funkce f(x), p ímkmi x =, x = b osou x (Obrázek ). Obrázek. K ivo rý lichob ºník. Uºite ná poznámk. Zápis neur itého integrálu f(x)dx b ur itého integrálu f(x)dx je formáln velmi podobný. U ur itého integrálu jsou pouze nvíc integr ní meze. To má z následek, ºe je studenti povºují prkticky z stejné. Ur itý neur itý integrál se v²k zásdn li²í! Výsledkem neur itého integrálu je funkce (mnoºin funkcí), výsledkem ur itého integrálu je íslo. Výpo et vlstnosti ur itého integrálu V této ásti uvedeme zákldy integrálního po tu funkce jedné prom nné zákldní vlstnosti ur itého (Riemnnov) integrálu, které budeme dále b ºn pouºívt p i prktických výpo tech. Hndout 3 Mtemtik
D leºité tvrzení : Newton Leibnitz v vzorec Nech funkce f(x) je spojitá n intervlu, b F (x) je primitivní funkce k funkci f(x) v intervlu, b, pk b f(x)dx = F (b) F (). Témtický p íkld. Uºitím Newton - Leibnitzov vzorce vypo t te Nejd ív spo ítáme primitivní funkci k funkci f(x) = (x x )dx. Dostneme F (x) = (x x )dx = x x3 + 3 c. Potom podle Newton - Leibnitzov vzorce (x x )dx = (x x )dx. ] [x x3 3 + c = ( 3 ) ( ) + c ( + c) = 3 + c c = 3. Vidíme, ºe integr ní konstntu c p i výpo tu ur itého integrálu v bod b p i teme v bod zse ode teme, proto ji dále nebudeme ve výpo tech uvád t. Témtický p íkld. Uºitím Newton - Leibnitzov vzorce vypo t te [ 3 3 x x dx = ln 3 + c D leºité tvrzení ] 3 x dx. ( ) ( ) 3 3 = ln 3 + c ln 3 + c = 3 ln 3 ln 3 = 3 ln 3 = 8 ln 3. Nech je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b. Pk b f(x)dx = b f(x)dx. D leºité tvrzení 3: Aditivit homogenit vzhledem k integrndu Nech funkce f(x) g(x) jsou integrovtelné n intervlu, b c je libovolná konstnt. Pk pltí ) b) b [f(x) ± g(x)]dx = b f(x)dx ± b b cf(x)dx = c b f(x)dx. g(x)dx, Hndout 4 Mtemtik
Témtický p íkld. Vypo t te integrál Funkce f(x) = x x + dx. x x + je spojitá pro kºdé x Rn. x x + dx = x + x + dx = ( ) dx = dx x + = [x] [rctn x] = rctn + rctn = 4. dx x + Témtický p íkld. Vypo t te integrál / sin(x) cos(x) dx. / sin(x) cos(x) dx = = / [ ( cos sin(x) cos(x) dx = / ) ( + c cos )] + c sin(x) dx = = ( + ) =. [ cos(x) ] / + c = D leºité tvrzení 4: Aditivit ur itého integrálu vzhledem k mezím Nech je funkce f(x) integrovtelná n intervlu, b c je libovolné reálné íslo tkové, ºe < c < b. Pk je f(x) integrovtelná n intervlech, c c, b pltí b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx. Témtický p íkld. Vypo t te ur itý integrál 3 x dx. P i hledání primitivní funkce k funkci x n intervlu 3, bude nutno p istoupit k rozd lení tohoto intervlu n dv ásti. D lícím bodem bude bod. Potom 3 x dx = 3 Cvi ení x dx + x dx = ] [ [ x x + 3 ] ) = ( ( 3) + Uºitím Newton - Leibnitzov vzorce vypo t te ur ité integrály: ) x dx; b) e x dx; c) sin xdx; d) cos xdx. 4 / ( ) = 9 + = 5. Hndout 5 Mtemtik
Integrování metodou substituce per prtes D leºité tvrzení 5: Integrování per prtes Jsou-li u (x) v (x) spojité v, b (potom jsou tké u(x) v(x) spojité v, b ), pk b u v dx = [uv] b b uv dx. Jink psáno: b v du = [uv] b b u dv. Témtický p íkld. Vypo t te integrál (x x)e x dx. (x x)e x dx = u = e x v = x x u = e x v = x = [ (x x)e x] (x )e x dx = = u = e x v = x u = e x v = = [(4 )e ] [(x )e x ] + e x dx = = e [3e + e ] + [e x ] = e + (e e ) = e 3. Témtický p íkld. Vypo t te integrál e ln xdx = u = u = x e ln xdx. v = ln x e v = = [x ln x]e dx = (e ln e ln ) [x] e = x = (e ) (e ) =. Témtický p íkld. Vypo t te integrál x sin xdx. x sin xdx = u = sin x v = x u = cos x v = = [ x cos x] + cos xdx = + [sin x] = Cvi ení Vypo t te integrály: ) e) e x sin xdx b) x ln xdx f) ln xe x dx c) ln(x + )dx g) e e x 3 ln xdx d) e sin(ln x)dx k) 3 x rctn xdx e x sin xdx Hndout 6 Mtemtik
D leºité tvrzení 6: Integrování substituci, p ípd Nech funkce f(x) má tvr f(x) = g(h(x))h (x), kde h (x) je spojitá v, b g(z) je spojitá pro v²echn z = h(x), pokud x, b. Pk b f(x)dx = b g(h(x))h (x)dx = () h (b)g(z)dz. h Témtický p íkld. Vypo t me integrál sin 3 (x) cos(x) dx. Z ejm funkce sin 3 (x) cos(x) má tvr g(h(x))h (x), kde h(x) = sin x, g(z) = z 3. Substitucí sin x = z tedy bude [ ] z sin 3 x cos xdx = z 3 4 dz = = 4 4. Témtický p íkld. Vypo t me integrál x 4 x dx. Z ejm funkce x 4 x skoro má tvr g(h(x))h (x), kde h(x) = 4 x, g(z) = z. Substitucí 4 x = z tedy bude x 4 x dx = 4 4 zdz = z / dz = [ z 3/ 3/ D leºité tvrzení 7: Integrování substituci, p ípd b ] 4 = [ 4 z 3] = 3 3 ( 4 3 ) = 3 8 = 8 3. Nech A < b B, nech funkce f(x) je spojitá v A, B, ϕ (z) je spojitá v α, β nech pro z α, β leºí ϕ(z) v intervlu A, B, ϕ(α) =, ϕ(β) = b. Pk b f(x)dx = β α f(ϕ(z))ϕ (z)dz. Témtický p íkld. Vypo t me integrál x dx. Pouºijeme substituce x = sin z. Zvolíme α =, β =. Pk bude jist ϕ(α) =, ϕ(β) = b. P edpokldy v ty jsou spln ny je x dx = sin z cos zdz = cos zdz = = ( + cos z)dz = [ z + ] sin z =. Hndout 7 Mtemtik
(Je sin z = + cos z, nebo sin z je nezáporné islo cos z pro z < /, / >.) Témtický p íkld. Vypo t me integrál e +ln x x Pouºijeme substituce ln x = z. Zvolíme α =, β =. P edpokldy v ty jsou spln ny je dx. e + ln x dx = x ( + z)dz = ] [z + z = + ( + ) = 3. Cvi ení 3 Vypo t te integrály: ) e) /4 x 5 x dx b) tg 3 xdx f) x(x ) dx c) /3 dx g) sin x / e cos x sin xdx d) 5 x 4x dx k) e e dx x ln x 4 x dx Odpov di n cvi ení Cvi ení ) ln ; b) Cvi ení ) e ; c) ; d). e 4 ; b) ( ln ); c) 6 (3e4 + ); d) e) 4 (e ); f) 3 ln 3 ; g) Cvi ení 3 ) ; b) e) ln ; f) ; c) e e ; d) ; ln 3 ; g) 3 ; k) +. (e + e ); k) 3 3 ; 3 5 (e ). Hndout 8 Mtemtik