5.5 Elementární funkce
|
|
- Kryštof Kubíček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 5.5 Elementární funkce Lemm Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme pro x R předpisem exp(x) = Vět 5.21 (zákldní vlstnosti exponenciály). Funkce exp: R R je dobře definován splňuje (E1) x, y R: exp(x + y) = exp(x) exp(y), (E2) exp (0) = 1. Vlstnosti exponenciální funkce (E3) Pro kždé x R pltí exp (x) = exp(x). (E4) Pltí exp(0) = 1. (E5) Pro kždé x R pltí exp( x) = (E6) Pro kždé x R pltí exp(x) > 0. (E7) Funkce exp je spojitá n R. (E8) Funkce exp je rostoucí n R. 1 exp(x). n=0 x n n!. (E9) Pltí lim x exp(x) = lim x exp(x) = 0. (E10) Pltí R(exp) = (0, ). Vět Existuje právě jedn funkce definovná n R splňující podmínky (E1) (E2). Definice. () Funkce log : (0, ) R je definován jko inverzní funkce k funkci exp. Nzývá se přirozeným logritmem. (b) Necht R, > 0, b R. Potom definujeme reálné číslo b předpisem b = exp(b log ). (c) Je-li n N liché, n-tou odmocninu x n x, x R, definujeme jko inverzní funkci k funkci x x n, x R. Je-li n N sudé, n-tou odmocninu x n x, x [0, ), definujeme jko inverzní funkci k funkci x x n, x [0, ).
2 Vlstnosti přirozeného logritmu (L1) Pltí D(log) = (0, ). (L2) Pltí R(log) = R. (L3) Funkce log je rostoucí n (0, ). (L4) Funkce log je spojitá n (0, ). (L5) Pro kždé x, y (0, ) pltí log(xy) = log(x) + log(y). (L6) Pro kždé (0, ) b R pltí log b = b log. (L7) Pro kždé x (0, ) pltí (log) (x) = 1 x. (L8) Pltí lim x 0+ log x = lim x log x =. Definice. Funkci sinus, znčíme sin, kosinus, znčíme cos, definujeme předpisy sin(x) = cos(x) = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)!, x R, ( 1) n x2n (2n)!, x R. n=0 n=0 Vět 5.23 (zákldní vlstnosti sinu kosinu). Funkce sinus kosinus jsou dobře definovné splňují (G1) pro kždé x, y R pltí (G2) pro kždé x, y R pltí (G3) sin je lichá funkce cos je sudá funkce, sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y), (G4) existuje kldné číslo π tkové, že sin je rostoucí n [0, π 2 ], sin(0) = 0 sin( π 2 ) = 1, (G5) sin (0) = 1.
3 Vlstnosti funkcí sinus kosinus (G6) Pltí cos(0) = 1. (G7) Pro kždé x R pltí sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. (G8) Pltí cos ( π 2 ) = 0. (G9) Pro kždé x R pltí sin(x + π) = sin(x) cos(x + π) = cos(x). (G10) Funkce sin cos jsou 2π-periodické. (G11) Pro kždé x R pltí sin (x) = cos(x). (G12) Pro kždé x R pltí cos (x) = sin(x). (G13) Funkce sin cos jsou spojité n R. (G14) Pltí sin(x) = 0, právě když x = kπ pro k Z. (G15) Pltí cos(x) = 0, právě když x = π 2 + kπ pro k Z. Vět Trojice (sin, cos, π) je vlstnostmi (G1) (G5) určen jednoznčně. Definice. Funkce tngens, znčíme ji tg, kotngens, znčíme ji cotg, definujeme předpisy tg(x) = sin(x) cos(x), x R \ { π 2 + kπ; k Z}, cotg(x) = cos(x), x R \ {kπ; k Z}. sin(x) Funkce sin, cos, tg cotg nzýváme goniometrickými funkcemi. Vlstnosti funkce tngens (G16) Funkce tg je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru. (G17) Funkce tg je lichá. (G18) Funkce tg je π-periodická. (G19) Pltí tg (x) = 1 cos 2 (x), x D(tg). (G20) Funkce tg je rostoucí n ( π 2, π 2 ). (G21) Pltí tg( π 4 ) = 1. (G22) Pltí lim x π tg(x) = lim x π tg(x) =
4 (G23) Pltí R(tg) = R. Vlstnosti funkce kotngens (G24) Funkce cotg je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru. (G25) Funkce cotg je lichá. (G26) Funkce cotg je periodická s periodou π. (G27) Funkce cotg je klesjící n intervlu (0, π). (G28) Pltí lim x 0+ cotg(x) =. (G29) Pltí lim x π cotg(x) =. (G30) Pltí cotg ( π 4 ) = 1. (G31) Pltí R(cotg) = R. Definice. Cyklometrické funkce rkussinus (rcsin), rkuskosinus (rccos), rkustngens (rctg) rkuskotngens (rccotg) definujeme následujícím způsobem rcsin = ( sin [ π 2, π 2 ] ) 1, rccos = ( cos [0,π] ) 1, rctg = ( tg ( π 2, π 2 ) ) 1, rccotg = ( cotg (0,π) ) 1. Vlstnosti cyklometrických funkcí (C1) Pltí D(rcsin) = [ 1, 1] R(rcsin) = [ π 2, π 2 ]. (C2) Pltí D(rccos) = [ 1, 1] R(rccos) = [0, π]. (C3) Funkce rcsin je lichá, rostoucí spojitá n [ 1, 1]. (C4) Funkce rccos je klesjící spojitá n [ 1, 1]. (C5) Následující rovnosti plynou ze známých vlstností funkcí sin cos. (C6) Pltí lim x 0 rcsin x x rcsin( 1) = π 2, rccos( 1) = π, rcsin(1) = π 2, rccos(1) = 0, rcsin(0) = 0, rccos(0) = π 2, rcsin( 2 2 ) = π 4, rccos( 2 2 ) = π 4. = 1. (C7) Pro kždé y ( 1, 1) pltí rcsin (y) = 1 1 y 2.
5 (C8) Pltí rcsin +( 1) = rcsin (1) =. (C9) Pro kždé x [ 1, 1] pltí rcsin x + rccos x = π. 2 (C10) Pro kždé y ( 1, 1) pltí rccos 1 (y) =. 1 y 2 (C11) Pltí D(rctg) = R R(rctg) = ( π 2, π 2 ). (C12) Funkce rctg je spojitá, rostoucí lichá n R. (C13) Pltí lim x rctg x = π 2, lim x rctg x = π 2. (C14) Pltí rctg(0) = 0, rctg(1) = π 4, rctg( 1) = π 4. (C15) Pltí lim x 0 rctg x x = 1. (C16) Pro kždé x R pltí rctg x = x 2. (C17) Pltí D(rccotg) = R R(rccotg) = (0, π). (C18) Funkce rccotg je spojitá klesjící funkce n R. (C19) Pltí lim x rccotg(x) = 0 lim x rccotg(x) = π. (C20) Pltí rccotg(0) = π 2 rccotg(1) = π 4. (C21) Pro kždé x R pltí rctg x + rccotg x = π 2. (C22) Pro kždé x R pltí rccotg x = 1 1+x 2.
6 6 Tylorův polynom 6.1 Zákldní vlstnosti Definice. Necht f je funkce, R f (n) () R. Pk polynom Tn f, (x) = f() + f ()(x ) n! f (n) ()(x ) n nzýváme Tylorovým polynomem řádu n funkce f v bodě. Lemm 6.1. Necht Q je polynom, st Q n lim x Q(x) (x ) n = 0. Pk Q je nulový polynom. Vět 6.2 (Penův tvr zbytku). Necht R, f (n) () R P je polynom stupně nejvýše n. Pk f(x) P (x) lim = 0 P = T f, x (x ) n n. Vět 6.3. Necht, x R, < x. Předpokládejme, že f je funkce, která má v kždém bodě intervlu [, x] vlstní (n + 1)-ní derivci, ϕ je spojitá funkce n [, x], která má v kždém bodě intervlu (, x) vlstní nenulovou derivci. Pk existuje ξ (, x) tkové, že f(x) T f, n (x) = 1 n! ϕ(x) ϕ() f (n+1) (ξ)(x ξ) n. ϕ (ξ) Vět 6.4 (Lgrngeův tvr zbytku). Necht, x, f jsou jko ve Větě 6.3. Pk existuje ξ (, x) tkové, že f(x) Tn f, 1 (x) = (n + 1)! f (n+1) (ξ)(x ) n+1. Vět 6.5 (Cuchyův tvr zbytku). Necht, x, f jsou jko ve Větě 6.3. Pk existuje ξ (, x) tkové, že 6.2 Symbol mlé o f(x) Tn f, (x) = 1 n! f (n+1) (ξ)(x ξ) n (x ). Definice. Necht f g jsou funkce, R. Řekneme, že funkce f je v bodě mlé o od g (píšeme f(x) = o(g(x)), x ), jestliže pltí Vět 6.6. Necht R. f(x) lim x g(x) = 0.
7 (i) Jestliže potom (ii) Jestliže potom (iii) Jestliže potom f 1 (x) = o(g(x)), x, f 2 (x) = o(g(x)), x, f 1 (x) + f 2 (x) = o(g(x)), x. f 1 (x) = o(g 1 (x)), x, f 2 (x) = o(g 2 (x)), x, f 1 (x)f 2 (x) = o(g 1 (x)g 2 (x)), x. f(x) = o(g 1 (x)), x, lim x g 1 (x) g 2 (x) R, f(x) = o(g 2 (x)), x. Vět 6.7. Necht, b R, f(y) = o(g(y)), y b, lim x ϕ(x) = b existuje δ R, δ > 0, tkové, že x P (, δ) : ϕ(x) b. Potom f(ϕ(x)) = o(g(ϕ(x)), x. 6.3 Tylorovy řdy elementárních funkcí Definice. Necht f je funkce, R f (n) () R pro kždé n N. Potom řdu 1 j! f (j) ()(x ) j j=0 nzýváme Tylorovou řdou o středu. Ve speciálním přípdě = 0 mluvíme o Mclurinově řdě. x R : exp x = x ( 1, 1] : log(1 + x) = x R : sin x = x R : cos x = x ( 1, 1) : (1 + x) α = 1 k! xk k=0 ( 1) k 1 x k k k=1 ( 1) k 1 (2k 1)! x2k 1 k=1 ( 1) k (2k)! x2k k=0 ( ) α x k k k=0
8 7 Mocninné řdy Definice. Mocninnou řdou o středu x 0 R rozumíme řdu k=0 k(x x 0 ) k, kde x R k R pro kždé k N {0}. Vět 7.1. Necht k=0 k(x x 0 ) k je mocninná řd. Pk existuje nezáporný prvek ρ R tkový, že pro kždé x R, x x 0 < ρ, uvedená řd konverguje bsolutně, pro kždé x R, x x 0 > ρ, uvedená řd diverguje. Prvek ρ splňuje ρ = 1 lim sup k k k, kde výrzem 1/0 zde rozumíme výrzem 1/ zde rozumíme 0. Prvek ρ nzýváme poloměrem konvergence uvedené řdy. Vět 7.2 (o derivci mocninné řdy). Necht ϱ je poloměr konvergence řdy n=0 n(x x 0 ) n. Potom poloměr konvergence řdy n=1 n n(x x 0 ) n 1 je tké roven ϱ. Pro x R, x x 0 < ϱ, definujme f(x) = n (x x 0 ) n. Potom funkce f má vlstní derivci v kždém bodě x R, x x 0 < ϱ, pltí f (x) = n n (x x 0 ) n 1. n=0 n=1 Vět 7.3. Necht mjí symboly f ϱ stejný význm jko ve Větě 7.2. Pk má funkce f v kždém bodě x R, x x 0 < ϱ, derivce všech řádů pro kždé k N pltí f (k) (x) = n(n 1) (n k + 1) n (x x 0 ) n k. n=k Speciálně pltí f (k) (x 0 ) = k! k, k N. Lemm 7.4. Necht n=0 n je konvergentní řd {s n } n=0 je posloupnost jejích částečných součtů. Necht x ( 1, 1). Potom řdy n=0 nx n n=0 s nx n bsolutně konvergují pltí n x n = (1 x) s n x n. n=0 Vět 7.5 (Abel). Necht n=0 n(x x 0 ) n je mocninná řd necht ϱ je její poloměr konvergence. Předpokládejme, že pltí ϱ (0, ). Necht dále n=0 nϱ n konverguje. Potom n x n = n ϱ n. lim x ϱ n=0 n=0 n=0
9 8 Primitivní funkce 8.1 Zákldní vlstnosti Definice. Necht funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f n I, jestliže pro kždé x I existuje F (x) pltí F (x) = f(x). Vět 8.1. Necht F G jsou primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R tkové, že F (x) = G(x) + c pro kždé x I. Vět 8.2. Necht f je spojitá funkce n otevřeném neprázdném intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Vět 8.3. Necht f má n otevřeném intervlu I primitivní funkci F, funkce g má n I primitivní funkci G α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg n I. Vět 8.4 (o substituci). (i) Necht F je primitivní funkce k f n (, b). Necht ϕ je funkce definovná n (α, β) s hodnotmi v intervlu (, b), která má v kždém bodě t (α, β) vlstní derivci. Pk f(ϕ(t))ϕ (t) dt = c F (ϕ(t)) n (α, β). (ii) Necht funkce ϕ má v kždém bodě intervlu (α, β) nenulovou vlstní derivci ϕ((α, β)) = (, b). Necht funkce f je definován n intervlu (, b) pltí f(ϕ(t))ϕ (t) dt c = G(t) n (α, β). Pk f(x) dx c = G(ϕ 1 (x)) n (, b). Lemm 8.5 (Drbouxov vlstnost derivce). Necht f má n neprázdném otevřeném intervlu I primitivní funkci. Potom má f n I Drbouxovu vlstnost, tj. f(j) je intervl, kdykoliv J I je intervl. Vět 8.6 (integrce per prtes). Necht I je neprázdný otevřený intervl funkce f je spojitá n I. Necht F je primitivní funkce k f n I G je primitivní funkce ke g n I. Pk pltí g(x)f (x) dx = G(x)F (x) G(x)f(x) dx n I.
10 8.2 Integrce rcionálních funkcí Definice. Rcionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není identicky roven nule. Vět 8.7 (o rozkldu n prciální zlomky). Necht P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že (i) st P < st Q, (ii) Q(x) = n (x x 1 ) p 1... (x x k ) p k (x 2 + α 1 x + β 1 ) q 1... (x 2 + α l x + β l ) q l, (iii) n, x 1,... x k, α 1,..., α l, β 1,..., β l R, n 0, (iv) p 1,..., p k, q 1,..., q l N, (v) žádné dv z mnohočlenů x x 1, x x 2,..., x x k, x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, (vi) mnohočleny x 2 + α 1 x + β 1,..., x 2 + α l x + β l nemjí reálný kořen. Pk existují jednoznčně určená čísl A 1 1,..., A 1 p 1,..., A k 1,..., A k p k, B 1 1, C 1 1,..., B 1 q 1, C 1 q 1,..., B l 1, C l 1,..., B l q l, C l q l tková, že pltí P (x) Q(x) = A 1 1 (x x 1 ) p A1 p 1 x x A k 1 (x x k ) p k + + Ak p k x x k + + B 1 1x + C 1 1 (x 2 + α 1 x + β 1 ) q B1 q 1 x + C 1 q 1 x 2 + α 1 x + β B l 1x + C l 1 (x 2 + α l x + β l ) q l + + Bl q l x + C l q l x 2 + α l x + β l. 8.3 Některé užitečné substituce Typ R(sin t, cos t) dt vždy lze užít substituci tg t 2 = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci sin t = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci cos t = x je-li R(, b) = R(, b), lze užít substituci tg t = x Typ R(t, ( t+b ct+f )1/q ) dt q N, q > 1,, b, c, f R, f bc substituce ( t+b ct+f )1/q = x
11 Typ R(t, t 2 + bt + c) dt, 0 t 2 + bt + c má dvojnásobný kořen α R: t2 + bt + c = t α, pro > 0 t 2 + bt + c má dv reálné kořeny α 1 < α 2 : t 2 + bt + c = t α 1 t α 2 t α 1 t 2 + bt + c nemá reálné kořeny: pk > 0, c > 0, lze užít některou z Eulerových substitucí t2 + bt + c = ± t + x nebo t 2 + bt + c = tx + c Konec 9. přednášky,
12 9 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [, b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,..., x n nzýváme dělícími body. Normou dělení D = {x j } n j=0 rozumíme číslo ν(d) = mx{x j x j 1 ; j = 1,..., n}. Řekneme, že dělení D intervlu [, b] je zjemněním dělení D intervlu [, b], jestliže kždý dělící bod D je i dělícím bodem D. Definice. Necht f je omezená funkce definovná n intervlu [, b] D = {x j } n j=0 je dělení [, b]. Oznčme S(f, D) = S(f, D) = n M j (x j x j 1 ), kde M j = sup{f(x); x [x j 1, x j ]}, j=1 n m j (x j x j 1 ), kde m j = inf{f(x); x [x j 1, x j ]}, j=1 f(x) dx = inf{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}, f(x) dx = sup{s(f, D); D je dělením intervlu [, b]}. Definice. Řekneme, že omezená funkce f n intervlu [, b], < b, má Riemnnův integrál od do b, pokud f(x) dx = f(x) dx. Hodnot integrálu f od do b je rovn této společné hodnotě. Znčíme ji f(x) dx. Pokud > b, definujeme f(x) dx = f(x) dx, v přípdě, že = b, definujeme b b f(x) dx = 0. Definice. Necht, b R. Množinu všech funkcí, které mjí Riemnnův integrál od do b, znčíme R([, b]). Lemm 9.1. Necht f je omezená funkce n intervlu [, b]. (i) Necht D, D jsou dělení [, b] D zjemňuje D. Pk pltí S(f, D) S(f, D ) S(f, D ) S(f, D)
13 (ii) Necht D 1, D 2 jsou dělení intervlu [, b]. Pk pltí S(f, D 1 ) S(f, D 2 ). (iii) Pltí f(x) dx f(x) dx. Důsledek 9.2. Necht f je omezená n [, b], D 1 D 2 jsou dělení intervlu [, b]. Potom m(b ) S(f, D 1 ) f(x) dx kde m = inf{f(x); x [, b]} M = sup{f(x); x [, b]}. f(x) dx S(f, D 2 ) M(b ), Vět 9.3. Necht f je omezená n [, b]. Pk pro kždé ε > 0 existuje δ > 0 tkové, že pro kždé dělení D intervlu [, b] splňující ν(d) < δ pltí: f(x) dx S(f, D) f(x) dx S(f, D) f(x) dx ε, f(x) dx + ε. Konec 10. přednášky, Důsledek 9.4. Necht f je omezená n [, b] {D n } n=1 je posloupnost dělení intervlu [, b] splňující lim n ν(d n ) = 0. Potom f(x) dx = lim n S(f, D n ), f(x) dx = lim n S(f, D n ). Vět 9.5 (kritérium existence Riemnnov integrálu). Necht f je omezená funkce n intervlu [, b]. Pk f R([, b]), právě když ε R, ε > 0 D, D je dělení intervlu [, b] : S(f, D) S(f, D) < ε. Definice. Řekneme, že funkce f je stejnoměrně spojitá n intervlu I, jestliže pltí ε > 0 δ > 0 x I y I : ( x y < δ f(x) f(y) < ε). Vět 9.6. Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [, b]. Pk f je stejnoměrně spojitá n [, b]. Vět 9.7. Necht funkce f je spojitá n omezeném uzvřeném intervlu [, b]. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [, b].
14 Konec 11. přednášky, Vět 9.8. Necht funkce f je monotónní n omezeném uzvřeném intervlu [, b], < b. Pk f je riemnnovsky integrovtelná n [, b]. Vět 9.9 (vlstnosti Riemnnov integrálu). () Necht f, g R([, b]) α R. Potom f + g R([, b]), αf R([, b]) pltí (f + g) = f + g, αf = α f. (b) Necht f, g R([, b]) f g. Pk f g. (c) Necht < b < c jsou reálná čísl. Pk pltí f R([, c]) (f R([, b]) f R([b, c])), je-li f R([, c]), pk c f = f + c (d) Necht f R([, b]). Pk f R([, b]) f f. b f. Konec 12. přednášky, Vět Necht J je nedegenerovný intervl f je funkce definovná n J splňující f R([α, β]) pro kždé α, β J. Necht c je libovolný pevně zvolený bod z J. Definujme n J funkci Potom pltí (i) F je spojitá n J, F (x) = x c f(t) dt. (ii) je-li x 0 bod spojitosti funkce f, pk F (x 0 ) = f(x 0 ). Důsledek (i) Jestliže je f spojitá n intervlu (, b), pk má n (, b) primitivní funkci. (ii) Necht f je spojitá n intervlu [, b],, b R F je funkce primitivní k f n (, b). Potom existují vlstní limity lim x + F (x), lim x b F (x) pltí f(t) dt = lim F (x) lim F (x). x b x + Vět Necht, b R, < b, f je funkce definovná n [, b]. Pk následující dvě tvrzení jsou ekvivlentní:
15 (i) f R([, b]), (ii) existuje I R tkové, že pro kždé ε R, ε > 0, existuje δ R, δ > 0, splňující: je-li D = {x i } n i=0 dělení intervlu [, b], ν(d) < δ, t i [x i 1, x i ], i = 1,..., n, pk n f(t i )(x i x i 1 ) I < ε. i=1 Konec 13. přednášky,
16 10 Newtonův integrál Definice. Řekneme, že Newtonův integrál funkce f n intervlu (, b), < b,, b R, existuje, jestliže f má n (, b) primitivní funkci (oznčme ji F ), limity lim x + F (x), lim x b F (x) existují jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonov integrálu funkce f přes intervl (, b) pk rozumíme číslo (N) f(t) dt = lim F (x) lim F (x). x b x + Pokud (N) f(t) dt existuje vlstní, pk říkáme, že integrál je konvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. Definice. Množinu všech funkcí f, které mjí konvergentní Newtonův integrál od do b, znčíme N (, b). Vět 10.1 (vlstnosti Newtonov integrálu). () Necht f, g N (, b) α R. Potom f + g N (, b), αf N (, b) pltí (f + g) = f + g, αf = α f. (b) Necht f, g N (, b) f g. Pk f g. (c) Necht < b < c + f N (, c). Potom f N (, b), f N (b, c) pltí c f = f + c f. b (d) Necht < b < c +, f N (, b), f N (b, c) f je spojitá v b. Potom f N (, c). Vět Necht funkce F je primitivní k f n (, b), G je primitivní ke g n (, b). Potom pokud je prvá strn definován. gf = [GF ] b Vět 10.3 (substituce pro určitý integrál). Necht ω : (α, β) (, b) splňuje ω((α, β)) = (, b) ω má vlstní nenulovou derivci n (α, β). Potom f(x) dx = pokud lespoň jeden z integrálů existuje. β α Gf, (f ω)(t) ω (t) dt, Konec 14. přednášky,
17 Vět 10.4 (Bolznov-Cuchyov podmínk). Necht R F je definován n jistém prstencovém okolí bodu. Potom lim x F (x) existuje vlstní, právě když je splněn Bolznov- Cuchyov podmínk: ε R, ε > 0 δ R,δ > 0 x, y P (, δ): F (x) F (y) < ε. Vět Necht f je omezená spojitá n omezeném intervlu (, b). Potom f N (, b). Vět 10.6 (srovnávcí kritérium). Necht < < b +. Jestliže pro funkce f g pltí 0 f g n [, b), f je spojitá n [, b) g N (, b). Potom f N (, b). Konec 15. přednášky, Vět 10.7 (limitní srovnávcí kritérium). Necht < < b +. Jestliže pro nezáporné spojité funkce f g n [, b) pltí lim x b f(x)/g(x) = c (0, ), potom f N (, b), právě když g N (, b). Vět Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je nerostoucí, nezáporná spojitá n [, b]. Potom g() inf x [,b] x f fg g() sup x [,b] Vět 10.9 (Abelovo-Dirichletovo kritérium). Necht < < b +, f : [, b) R je spojitá. Její primitivní funkci n (, b) oznčme F. Dále necht g : [, b) R je monotónní spojitá n [, b). Potom pltí (A) Jestliže f N (, b) g je omezená, potom fg N (, b). (D) Jestliže je F omezená n (, b) lim x b g(x) = 0, potom fg N (, b). Konec 16. přednášky, Vět (první vět o střední hodnotě). Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je nezáporná, g N (, b) fg N (, b). Potom existuje ξ [, b] tkové, že fg = f(ξ) Vět (druhá vět o střední hodnotě). Necht, b R, < b, f : [, b] R je spojitá, g : [, b] R je monotónní spojitá n [, b]. Potom existuje ξ [, b] tkové, že g. ξ fg = g() f + g(b) ξ f. x f.
18 Aplikce určitého integrálu Definice. Křivkou budeme rozumět zobrzení ϕ : [, b] R n (n N,, b R, < b) tkové, že ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) je třídy C 1, tj. ϕ i je spojité n [, b], i = 1,..., n, přičemž v krjních bodech [, b] symbol ϕ i(x) znčí příslušnou jednostrnnou derivci. Geometrickým obrzem křivky ϕ rozumíme množinu ϕ = ϕ([, b]) R n. Definice. Necht ϕ: [, b] R n je křivk. Délkou křivky ϕ rozumíme hodnotu L(ϕ) = sup{l(ϕ, D); D je dělení intervlu [, b]}, kde pro dělení D = {x j } k j=0 intervlu [, b] definujeme L(ϕ, D) = k vzdálenost (ϕ(x j 1 ), ϕ(x j )). j=1 Lemm Necht, b R, < b, f = (f 1,..., f n ) : [, b] R n je spojitá (tj. f i je spojitá, i = 1,..., n). Potom pltí f := [ f 1,..., ] f n f. Konec 17. přednášky, Vět (délk křivky). Necht ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) : [, b] R n je křivk. Potom pltí L(ϕ) = (ϕ 1 ) (ϕ n) 2 (= ϕ ). Vět (objem povrch rotčního těles). Necht f je spojitá nezáporná n intervlu [, b],, b R, < b. Oznčme Pk Je-li nvíc f spojitá n [, b], pk T = {[x, y, z] R 3 ; x [, b], y 2 + z 2 f(x)}. Objem (T ) = π Povrch pláště (T ) = 2π f(x) 2 dx. f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. Vět (integrální kritérium). Necht f je nezáporná, nerostoucí spojitá n [n 0, + ), kde n 0 N. Necht pro posloupnost reálných čísel { n } n=1 pltí n = f(n) pro n n 0. Pk n 0 f(x) dx konverguje, právě když n konverguje. n=1
19 Vět (zbytek Tylorov polynomu v integrálním tvru). Necht, x R, < x, funkce f má v kždém bodě intervlu [, x] vlstní (n + 1)-ní derivci. Potom f(x) T f, n (x) = x 1 n! f (n+1) (t)(x t) n dt. Konec 18. přednášky,
20 11 Metrické prostory I 11.1 Zákldní vlstnosti Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ρ), kde P je množin, ρ : P P [0, ) je funkce splňující (i) x, y P : ρ(x, y) = 0 x = y, (ii) x, y P : ρ(x, y) = ρ(y, x), (iii) x, y, z P : ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Funkci ρ nzýváme metrik n P. Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht x P, r > 0. Množinu B(x, r) definovnou předpisem B(x, r) = {y P ; ρ(x, y) < r} nzýváme otevřenou koulí se středem x poloměrem r nebo tké okolím bodu x. (ii) Necht x P, r > 0. Množinu B(x, r) definovnou předpisem B(x, r) = {y P ; ρ(x, y) r} nzýváme uzvřenou koulí se středem x poloměrem r Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht M P, x P. Řekneme, že x P je vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje r > 0 splňující B(x, r) M. (ii) Množin M P se nzývá otevřená v (P, ρ), jestliže kždý její bod je jejím vnitřním bodem. (iii) Vnitřkem množiny M rozumíme množinu všech vnitřních bodů množiny M. Vnitřek množiny M budeme znčit int M. Vět 11.1 (vlstnosti otevřených množin). Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Prázdná množin celý prostor P jsou otevřené v (P, ρ). (ii) Necht A je neprázdná množin indexů. Necht množiny G α P, α A, jsou otevřené v (P, ρ). Pk α A G α je otevřená množin v (P, ρ). (iii) Necht m N. Necht množiny G i, i = 1,..., m, jsou otevřené v (P, ρ). Pk m i=1 G i je otevřená množin v (P, ρ).
21 Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor. Konec 19. přednášky, (i) Necht M P x P. Řekneme, že x je hrničním bodem množiny M, pokud pro kždé r > 0 pltí B(x, r) M B(x, r) (P \ M). (ii) Hrnicí množiny M rozumíme množinu všech hrničních bodů M. Znčíme ji H(M). (iii) Uzávěrem množiny M rozumíme množinu M H(M). Uzávěr množiny M znčíme M. (iv) Řekneme, že množin M je uzvřená v (P, ρ), jestliže obshuje všechny své hrniční body (tj. H(M) M, neboli M = M). Vět 11.2 (vlstnosti uzvřených množin). Necht (P, ρ) je metrický prostor. (i) Necht F P. Potom F je uzvřená v (P, ρ), právě když P \ F je otevřená v (P, ρ). (ii) Prázdná množin celý prostor P jsou uzvřené v (P, ρ). (iii) Necht A je neprázdná množin indexů. Necht množiny F α P, α A, jsou uzvřené v (P, ρ). Pk α A F α je uzvřená množin v (P, ρ). (iv) Necht m N. Necht množiny F i, i = 1,..., m, jsou uzvřené v (P, ρ). Pk m i=1 F i je uzvřená množin v (P, ρ). Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor, A P, A, x P. Vzdáleností bodu x od množiny A rozumíme číslo ρ(x, A) = inf{ρ(x, y); y A}. Dimetrem neprázdné množiny B P rozumíme dim(b) = sup{ρ(x, y); x, y B} kldeme dim( ) = 0. Pokud dim B <, pk říkáme, že B je omezená množin v (P, ρ). Vět 11.3 (vlstnosti uzávěru). Necht (P, ρ) je metrický prostor, A P, B P. Pk pltí: (i) =, P = P, (ii) pokud A B, pk A B, (iii) A je uzvřená, tj. A = A, (iv) A B = A B, (v) A = {x P ; ρ(x, A) = 0}, pokud A, (vi) dim A = dim A, tedy A je omezená, právě když A je omezená. Konec 20. přednášky,
22 11.2 Konvergence v metrických prostorech Definice. Necht (P, ρ) je metrický prostor {x n } n=1 je posloupnost prvků P. Řekneme, že {x n } n=1 konverguje k y P v (P, ρ), jestliže pltí lim n ρ(x n, y) = 0. Prvek y nzýváme limitou posloupnosti {x n } n=1 v (P, ρ). Konvergentní posloupností v (P, ρ) rozumíme kždou posloupnost prvků P, která má limitu v (P, ρ). Vět 11.4 (vlstnosti konvergence). Necht (P, ρ) je metrický prostor. Pk pltí: (i) Necht {x n } n=1 je posloupnost prvků z P existují n 0 N, y P tkové, že x n = y pro kždé n n 0. Pk lim n + x n = y. (ii) Kždá posloupnost má nejvýše jednu limitu. (iii) Necht A P. Množin A je uzvřená, právě když limit kždé konvergentní posloupnosti prvků z A leží v A. (iv) Necht {x nk } k=1 je posloupnost vybrná z posloupnosti {x n} n=1 prvků P, tj., {n k } k=1 je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Jestliže lim n + x n = y, pk tké lim k + x nk = y. Konec 21. přednášky, Spojitá zobrzení Definice. Necht (P, ρ) (Q, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z P do Q, P M P. Řekneme, že f je spojité v bodě vzhledem k množině M, jestliže M pltí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x M : ρ(x, ) < δ σ(f(x), f()) < ε; f je spojité v bodě, jestliže je spojité v vzhledem k P, f je spojité n M, jestliže je spojité v kždém bodě b M vzhledem k M, f je spojité, jestliže je spojité n P. Vět 11.5 (chrkterizce spojitosti). Necht (P, ρ) (Q, σ) jsou metrické prostory, f : P Q. Pk jsou následující tvrzení ekvivlentní. (i) Zobrzení f je spojité. (ii) Pro kždou otevřenou množinu G v prostoru (Q, σ) je f 1 (G) otevřená v (P, ρ). (iii) Pro kždou uzvřenou množinu F v prostoru (Q, σ) je f 1 (F ) uzvřená v (P, ρ).
23 Definice. Necht (X, ρ) je metrický prostor, M X x X. Řekneme, že x je hromdným bodem množiny M, jestliže ε R, ε > 0: M (B(x, ε) \ {x}). Množinu všech hromdných bodů množiny M znčíme M nzýváme ji derivcí množiny M. Body z M \ M nzýváme izolovnými body množiny M. Definice. Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y, A X necht X je hromdným bodem množiny A. Řekneme, že prvek b Y je limitou zobrzení f v bodě vzhledem k množině A, jestliže pltí ε R, ε > 0 δ R, δ > 0 x A, x : ρ(x, ) < δ σ(f(x), b) < ε. Je-li A = X, říkáme, že f má v bodě limitu b. Konec 22. přednášky, Oznčení. Pokud limit f v bodě vzhledem k A existuje, pk ji znčíme lim x,x A f(x). Místo lim x,x X f(x) píšeme jen lim x f(x). Vět 11.6 (Heineov vět). Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y, A D(f), A, b Y. Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivlentní: (i) lim x,x A f(x) = b, (ii) pro kždou posloupnost {x n } prvků množiny A\{} splňující lim x n = pltí lim f(x n ) = b. Vět 11.7 (spojitost složeného zobrzení v bodě). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y g je zobrzení z Y do Z. Necht A X, A, B Y, f() B pltí: existuje δ R, δ > 0, tkové, že f(b(, δ) A) B, f je spojité v bodě vzhledem k A, g je spojité v bodě f() vzhledem k B. Pk zobrzení g f je spojité v bodě vzhledem k A. Vět 11.8 (spojitosti složeného zobrzení). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f : X Y g : Y Z jsou spojitá zobrzení. Pk zobrzení g f : X Z je spojité. Vět 11.9 (limit složeného zobrzení). Necht (X, ρ), (Y, σ) (Z, ω) jsou metrické prostory, f je zobrzení z X do Y g je zobrzení z Y do Z. Necht A X, A, B Y, b B, c Z pltí:
24 existuje δ R, δ > 0, tkové, že f((a B(, δ)) \ {}) B, lim x,x A f(x) = b, lim y b,y B g(y) = c. Pokud dále pltí jedn z podmínek (P) existuje η R, η > 0, tkové, že pro kždé x B(, η) A, x, pltí f(x) b, (S) zobrzení g je spojité v bodě b vzhledem k B, pk lim x,x A g f(x) = c. Definice. Necht (X, ρ) (Y, σ) jsou metrické prostory, f : X Y. Řekneme, že zobrzení f je homeomorfismus, jestliže je prosté n, je spojité f 1 je tké spojité. Řekneme, že prostory (X, ρ) (Y, σ) jsou homeomorfní, jestliže existuje bijekce g : X Y, která je homeomorfismem. Konec 23. přednášky,
25 12 Funkce více proměnných 1 Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n 1 i n. Pk prciální derivci funkce f v bodě podle i-té proměnné definujeme jko limitu f f( + te i ) f() () = lim. x i t 0 t Symbolem f x i oznčujeme prciální derivci funkce f podle i-té proměnné, tj. funkci definovnou předpisem f : x f (x). x i x i Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n L : R n R je lineární zobrzení. Řekneme, že L je totální diferenciál funkce f v bodě, jestliže pltí f( + h) f() L(h) lim h o h Vět 12.1 (vzth totálního diferenciálu prciální derivce). Necht L je totální diferenciál funkce f v bodě R n. Potom existují prciální derivce pro kždé h R n pltí f (),..., f () x 1 x n = 0. L(h 1,..., h n ) = f x 1 ()h f x n ()h n. Konec 24. přednášky, Vět Má-li funkce f v bodě R n totální diferenciál, je f v bodě spojitá. Lemm Necht f je reálná funkce n proměnných, I = (α 1, β 1 ) (α n, β n ) R n,, b I. Necht v kždém bodě I existují prciální derivce f podle všech proměnných. Potom existují body ξ 1,..., ξ n I tkové, že f(b) f() = n i=1 f x i (ξ i )(b i i ). Vět Necht f je reálná funkce n proměnných, R n f x 1,..., v bodě. Potom má f v bodě totální diferenciál. f x n jsou spojité funkce Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n v R n. Pk derivcí funkce f v bodě podle vektoru v rozumíme (vlstní) limitu f( + tv) f() D v f() = lim. t 0 t
26 Definice. Necht f je reálná funkce n proměnných, R n f () existuje. Pk definujeme grdient funkce f v bodě jko vektor ( f f() = (), f (),..., f ) () R n. x 1 x 2 x n Konec 25. přednášky, Vět Necht f je reálná funkce n proměnných, R n v R n. Necht existuje f (). Pk pltí (i) f ()(v) = D v f(), (ii) mx{d v f(); v = 1} = f(). Definice. Necht F je zobrzení z R n do R k, R n L : R n R k je lineární zobrzení. Řekneme, že L je derivcí zobrzení F v bodě, jestliže pltí F ( + h) F () L(h) lim h o h Vět Necht F je zobrzení z R n do R k, které má v bodě R n derivci L. Potom je L reprezentováno mticí F 1 F x 1 ()... 1 x n () F 2 F x 1 ()... 2 x n ()... F k F x 1 ()... k x n () Vět Necht F je zobrzení z R n do R k, R n F () existuje. Potom F je spojité v. Vět Necht F je zobrzení z R n do R k, R n F j x i, i = 1,..., n, j = 1,..., k, jsou spojité v. Potom F () existuje. Lemm Necht L: R n R k je lineární zobrzení. Pk existuje C R tkové, že L(x) C x pro kždé x R n. = 0. Definice. Normou lineárního zobrzení L : R n R k rozumíme číslo { } L(x) L = sup ; x R n, x o. x Lemm Necht f je zobrzení z R n do R k, R n f () existuje. Potom existují C R δ R, δ > 0, tkové, že pro kždé h B(o, δ) pltí f( + h) f() C h. Konec 26. přednášky,
27 Vět (derivce složeného zobrzení). Necht f je zobrzení z R n do R k, g je zobrzení z R k do R s, R n b = f() R k. Jestliže existují f () g (b), pk existuje (g f) () pltí (g f) () = g (b) f (). Důsledek (řetízkové prvidlo). Necht funkce f 1,..., f k z R n do R mjí v bodě R n totální diferenciál funkce g z R k do R má v bodě b = (f 1 (),..., f k ()) totální diferenciál. Definujme funkci h z R n do R předpisem h(x) = g(f 1 (x),..., f k (x)). Potom má h v bodě totální diferenciál pro i {1,..., n} pltí h x i () = k j=1 g y j (b) f j x i (). Vět (o přírůstku funkce). Necht f je funkce z R n do R, která má diferenciál v kždém bodě otevřené množiny G R n. Necht, b G úsečk L spojující body, b je obsžen v G, tj. L = {(1 t) + tb; t [0, 1]} G. Pk existuje ξ L tkové, že f(b) f() = f (ξ)(b ). Definice. Řekneme, že množin A R n je konvexní, jestliže pro kždé dv body z A pltí, že úsečk, která je spojuje, je obsžen v A. Vět (vět o přírůstku vektorové funkce). Necht n, k N, K R, G R n je otevřená konvexní množin, f : G R k je zobrzení mjící derivci v kždém bodě G necht Pk f je lipschitzovské s konstntou K, tj. sup{ f (x) ; x G} K., b G : f(b) f() K b. Konec 27. přednášky,
10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
VíceKapitola 1. Taylorův polynom
Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Více1. Úvod Výroková logika Množiny a množinové operace
1. Úvod 1.1. Výroková logika Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že platí (je pravdivé) nebo že neplatí (je nepravdivé). Definice. Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, že platí A. Konjukcí
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
VícePoznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální
Více12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceVěta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Více6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.
6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceMatematická analýza II NMAI055
Mtemtická nlýz II NMAI055 Robert Šáml (Prlelk Y) Pokrčování z MA1 Vět 4.1 (Jensenov nerovnost). Pokud je f konvexní n [, b], x 1,..., x n [, b] pltí λ 1,..., λ n [0, 1], n i=1 λ i = 1 (konvexní kombince);
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VícePředpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):
Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
VícePokud tato primitivní funkce platí na více intervalech, zapisujeme to najednou ve tvaru
Definice tvrzení funce(integrál Nechť f je funce n intervlu I. Řeneme,žefunce Fjeprimitivnífuncefn I,jestližeje Fspojitán I,diferencovtelnánvnitřu I O F = fn I O. Nechť Fjeprimitivnífuncefnintervlu I.
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceUčební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)
Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Více+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k
VíceZ aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005
Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VíceDoporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
Více