Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

Transkript

1 Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz y,toto yznčíme f(x).místo f M N obvyklepíšeme f : M N.Množin D(f)=M senzývádefiničníobor zobrzení f.množin {f(x) x M} N jeoborhodnot zobrzení f.pokud M, N R,říkáme,že f je reálná funkce reálné proměnné. V následujícím budeme pod pojmem funkce rozumět reálnou funkci reálné proměnné. Definice limity některé důležité věty Definice. Buď ffunkce,, A R.Řekneme,že fmávbodě limitu A,jestliže ( ε >0)( δ >0)( x R) 0 < x < δ f(x) A < ε. Toznmená,žeťsizvolímelibovolněmlé(kldné)epsilon,pkpro xhodněblízká,budouhodnoty f(x)hodněblízko A(tkblízko,že f(x) A < ε).tutoskutečnost znčíme tkto: lim f(x)=a. x Definice. Řekneme,žefunkce fmávbodě Rlimitu+,jestliže ( K >0)( δ >0)( x R) 0 < x < δ f(x) > K. Definice. Řekneme,žefunkce fmáv+ limitu A R,jestliže ( ε >0)( K >0)( x R) x > K f(x) A < ε. Poznámk. Podobnědefinujemelimituvbodě limituvbodě rovnou limityvbodech ± rovné ±. Dálebudeužitečnédefinovt,jksepočítás± : 2

2 Tomáš Bárt, Rdek Erbn: Limity, derivce integrály Definice. + +α=+ pro α Rpro α=+ +α= pro α Rpro α= ± α=± pro α >0pro α=+ ± α= pro α <0pro α= α:± =0pro α R Výrzy ± ±, ± 0α:0nemjísmysl. Vět. Funkce f má v dném bodě nejvýše jednu limitu. Vět. Nechť lim x f(x)=a lim x g(x)=b.pk () lim(f ± g)(x)= lim(f(x) ± g(x))= A ± B x x (2) lim(f g)(x)= lim(f(x) g(x))=a B x x (3) lim(f/g)(x)= lim(f(x)/g(x))=a/b, x x pokudvýrzynprvé(inlevé)strněmjísmysl.čísl A,Bmohoubýtklidně rovnyi+ nebo. Vět. (O limitě funkce složené) Nechť lim f(x) = A R lim g(y) = B x y A existuje δ >0tkové,ževintervlu( δ, +δ)nenbýváfunkce fhodnoty A.Pk lim g(f(x))=b. x Vět.(Opolicjtech) Nechť R, lim f(x)= lim g(x)=af(x) h(x) g(x) x x pltíprovšechn x ( δ,+δ).potom lim h(x)=a.pokudje =±,budeme x chtít,bynerovnost f(x) h(x) g(x)pltilprovšechn x > K,resp. x < K. Vět.(Heine) Řekneme,žeposloupnost( n) n=jevyhovující,jestliže lim n= n n prožádné n N.Pltí:existuje lim f(x),právěkdyžexistuje lim f(n) x n prokždouvyhovujícíposloupnost( n) n=. A jeden důležitý pojem n závěr: Definice. Funkcejespojitávbodě R,jestliže lim x f(x)=f(). 3

3 Zouvlk 99 Derivce Derivce jsou mocným nástrojem pro řešení řdy prktických úloh. S jejich pomocí můžeme nlésti mxim, či minim funkcí, zjistit, zd jsou dné funkce rostoucí, či klesjící. To jsou úlohy, které v životě objevíme n kždém kroku. V ekonomické sféře chceme minimlizovt celkové nákldy, nebo mximlizovt zisk. Z přírodních věd přicházejí zse úlohy n hledání minim energie, pod. Derivce sm o sobě vyjdřuje lokální změnu funkce, což způsobuje, že se s nimi setkáme i při formulci zákldních zákonů tohoto svět. S pomocí derivcí je můžeme zpst jko podmínky(rovnice nerovnice), které splňují příslušné fyzikální veličiny. Zformulovt tkové zákony lze již se zákldními znlostmi o derivcích mírným fyzikálním ndhledem. V neposlední řdě je myšlenk derivce v mtemtice mnohokrát užit zobecněn, tkže si s derivcemi v obecném hávu hrjí čistí mtemtikové dodnes. Ateďtrochukonkrétněji.Nzčátkumámefunkci,říkejmejitřeb f.ktéto funkci přiřdíme(jistým způsobem) jinou funkci, kterou nzveme derivcí funkce f oznčímeji. Tkže derivce nějké funkce je opět funkcí, by byl rozumně zdefinovná, musímeprokždýbod xzjejíhodefiničníhooborupředepsthodnotu (x).máto vškjistéúsklí,nekždáfunkcemásvojiderivcikdyžužmá,tknemusíbýt definovná ve všech bodech definičního oboru funkce f. Tkteďdefinice. Definice. Nechť f je funkce zobrzující intervl(, b) do reálných čísel. Nechť x (, b)nechťexistujelimit f(y) f(x) lim. y x y x Pk položíme (x)= lim y x f(y) f(x). y x V uvedené definici se vyskytuje pojem limit, či-li jink řečeno vyjdřuje symbol f(y) f(x) (x)chovánípodílu y x pro y blízko k bodu x, což má jednoduchou geometrickou interpretci v podsttě tto geometrie byl motivcí k zvedení pojmu derivce. Tovškjižbudenpřednášce. K prktickému používání derivcí Vám poslouží tyto tbulky, jejichž význm, pltnost způsob užívání si osvětlíme n přednášce. 4

4 Tomáš Bárt, Rdek Erbn: Limity, derivce integrály Derivce zákldních funkcí funkce derivce v bodech x pro kždé x x 2 2x prokždé x x 3 3x 2 prokždé x sin(x) cos(x) pro kždé x cos(x) sin(x) pro kždé x c, c je konstnt 0 pro kždé x x n, njepřirozenéčíslo n x n prokždé x x n, njereálnéčíslo n x n x (0, ) e x e x prokždé x ln(x) x x (0, ) x, jekldnéreálnéčíslo ln() x prokždé x Derivce zákldních opercí operce f + g f g f g f g c f derivce operce + dg g + f dg dg g f dg g 2 c dg, cjekonstnt Derivce složené funkce d(f g) (x)= dg (g(x)) (x). 5

5 Zouvlk 99 Primitivní funkce Definice. Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu I,jestliže F (x)=f(x)provšechn x I. Poznámk. Pokuunkce Fjeprimitivníkfunkci f,pkif+cjeprimitivní k f.pokud F F 2 jsoudvěprimitivnífunkcekfunkci f,pkexistuječíslo c tk,že F = F 2 +c,tedyprimitivnífunkceexistujeprávějednžnkonstntu. Některé primitivní funkce(porovnej s tbulkou derivcí): f primitivní k f kde x α α+ xα+ x R; α R \ { } /x log x x (,0) (0,+ ) e x e x x R sin x cosx x R cosx sin x x R cos 2 x tg x x ( π/2+kπ, π/2+kπ) sin 2 x cotg x x (kπ,(k+)π) x 2 rcsinx x (,) +x 2 rctg x x R x 2 + rctg(x/ ) 2 x R Newtonův Riemnnův integrál Definice. Nechť funkce F je primitivní k funkci f n intervlu(, b)(může být i neomezený) existují konečné limity lim = A lim = B.Pkčíslo x + x b f(x):= B A 6

6 Tomáš Bárt, Rdek Erbn: Limity, derivce integrály nzýváme Newtonovým integrálem funkce f v intervlu(, b). Poznámk. Pokudje Fdefinovnáspojitá(zjednéstrny)vbodech, b, pk f(x)=f(b) F(). Definice. Nechť funkce f je definovná omezená n[, b](omezeném). Děleníintervlu[, b]jekonečnámnožin {x 0,..., x n }tková,že =x 0 < x < < x n = b.oznčme M i =sup{f(x) x [x i, x i ]}m i =inf{f(x) x [x i, x i ]}.Hornísoučet fpřidělení Dbuď dolní součet Horní Riemnnův integrál je (R ) S(f, D):= s(f, D):= dolní Riemnnův integrál je (R ) n M i (x i x i ) i= n m i (x i x i ). i= f(x):=inf{s(f, D) Djeděleníintervlu[, b]} f(x):=sup{s(f, D) Djeděleníintervlu[, b]}. Pokud se horní dolní Riemnnův integrál rovnjí, pk řekneme, že funkce je riemnnovsky integrovtelná společnou hodnotu horního dolního integrálu nzveme Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu[, b]. Znčíme (R) f(x). Vět.(Zákldní vět klkulu) Nechť funkce f má v omezeném uzvřeném intervlu[, b] Riemnnův i Newtonův integrál, pk (R) f(x)=(n) f(x). 7

7 Zouvlk 99 Některé metody počítání primitivní funkce. Metod perprtes u(x)v (x)=u(x)v(x) u (x)v(x). 2. Substituce f(φ(x))φ (x)= f(y)dy. 8