12.1 Primitivní funkce

Transkript

1 Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji, k dné funkci f(x) njít tkovou funkci F (x), pro kterou bude pltit, že F (x) =f(x); npř. je-li pohyb hmotného bodu po přímce popsán funkcí s = s(t), kde s je dráh t je čs, pltí pro okmžitou rychlost v včset, že v(t) =s (t), tkže známe-li dráhu s(t), nlezneme rychlost v(t) derivcí funkce s(t). Opčně, známe-li rychlost v(t), pk dráhu s hledáme jko funkci s(t), pro kterou pltí s (t) =v(t). Už v roce 68 studovl G. Glilei stejnoměrně zrychlený přímočrý pohyb došel ke vzthu pro dráhu tohoto pohybu s = gt je-li ds dt ( = s (t) ) = gt, tím k výpočtu jisté funkce s(t) určil dráhu jko integrál rychlosti. Definice. Nechť funkce f(x) F (x) jsou definovány n intervlu J. Jestliže pro kždé x J pltí F (x) =f(x), (.) nzývá se funkce F (x) primitivní funkce k funkci f(x) nintervlui. (V krjních bodech intervlu J, které do J ptří, jde o příslušné jednostrnné derivce.) Poznámk. Z rovnice (.) plyne, že funkce F (x) jespojitánj... Existence jednoznčnost Vět. Nechť funkce f(x) je spojitá n J, pk k funkci f(x) existuje n J primitivní funkce. Vět. Nechť F (x) je primitivní funkce k f(x) n J, pk pro libovolné c R je F (x)+c primitivní funkce k f(x) n J Důsledek. Nechť F (x) je primitivní funkce k f(x) n J, pk {F (x)+c; c R} je množin všech primitivních funkcí k f(x) n J.

2 Oznčení. Množin všech primitivních funkcí k funkci f(x) n intervlu J se znčí symbolem f(x), (.) vzhledem k předchozím tvrzením můžeme psát f(x) = F (x)+c, (.) kde F (x) je nějká primitivní funkce k f(x) nj c R je libovolná konstnt. Symbol f(x) se čte integrál z funkce f(x) postup hledání primitivní funkce se nzývá integrování... Vlstnosti primitivní funkce Vět. Nechť funkce f(x) má primitivní funkci n J, pk n J ( f(x) ) = f(x). Nechť funkce f(x) má derivci n J, pk n J f (x) = f(x)+c, c R. Vět 4. Nechť funkce f(x) g(x) mjí primitivní funkce n J k R. Pk funkce f(x)+g(x) kf(x) mjí primitivní funkce n J pltí ( f(x)+g(x)) = f(x) + g(x), (.4) kf(x) = k f(x)... Některé důležité vzorce Ze známých vzorců pro derivce funkcí plynou následující vzorce, které pltí n kždém intervlu, který ptří do definičního oboru integrovné funkce. I. x α = xα+ α + + c, α R, α II. x =ln x + c III. e x = e x + c 4

3 IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII. x = x ln + c, sin x= cos x + c cos x=sinx + c sin x = cotg x + c cos x =tgx + c R, >, = rctg x + c = rccotg x + c x + x =rcsinx + c = rccos x + c x x ± =ln + x ± + c x = ln +x x + c x = ln x +x + c Ukázk.. (x e x ) = x e x = x ex + c ( x x). = 4 x 6 +4 x 4 = x x 5 x x +c. cos x +cosx = = + cos x= x + sin x + c sin 4. tg x cos x= cos x = x = cos x cos x = =tgx x + c 5. x 5 x = 75 x = 75x ln 75 + c 5

4 . Metody výpočtu primitivních funkcí.. Substituce per prtes Vět 5 (o substituci). Nechť funkce ϕ je definován n intervlu I, ϕ(i )=I, nechť existuje ϕ n I. Nechť funkce f je definován n intervlu I. Funkce f má primitivní funkci n I, právě když má funkce f(ϕ) ϕ primitivní funkci n I.Pltí f(ϕ(x))ϕ (x) = f(ϕ(x)) d(ϕ(x)) = f(t) dt, (.5) kde t = ϕ(x), dt = ϕ (x), x I, t I. Vět 6 (metod per prtes). Nechť funkce u(x),v(x) mjí derivce u (x), v (x) n intervlu I. Existuje-li n I primitivní funkce k jedné z funkcí u (x)v(x), u(x)v (x), existuje i ke druhé z nich. Je-li F (x) primitivní funkce k u(x)v (x) n intervlu I, jeu(x)v(x) F (x) primitivní funkce k u (x)v(x) n intervlu I, zpisujeme u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x). (.6) Poznámk. Pro volbu funkcí u(x) v (x) ve vzorci (.6) neexistuje žádné prvidlo. Ze zkušenosti zjistíme, že ve většině přípdů volíme jko u(x) funkce ln, rcsin, rccos, rctg, rccotg, x n jkov (x) funkce e x,sin,cos,x n,.vpřípdě, že integrál u (x)v(x) je složitější než původní, je vhodné zkusit volit u(x) v (x) obráceně nebo jiným způsobem tehdy, když u(x)v (x) je součin spoň tří funkcí. Vzhledem ke vzthu (.5) se čsto píše u(x) d(v(x)) = u(x)v(x) v(x) d(u(x)) nebo zkráceně udv = uv vdu. Metodu per prtes tedy používáme tk, že volíme funkce u(x) v (x), resp. u dv, počítámeu (x) v(x), resp. du v. Přitom z integrční konstntu primitivní funkce v(x) volíme zprvidl nulu (lze použít libovolnou primitivní funkci v(x)). Ukázk. Použitím věty o substituci njděte primitivní funkce: ) x + Volíme t =x +,pkdt =. x + = dt t = ln t + c = ln x + + c. 6

5 b) Uprvíme volíme t = c) + +x +x = x,pkdt =. ( ) = x x +x + = x ( ) + x dt +t = 6 rctg t + c = 6 rctg Volíme t =+x,pkdt =x. x +x = tdt= t4 + c = ( + x ) c. d) x x + Volíme t = ϕ(x) = x +,pkdt = x. x + x x + = x x x + = dt = t = ln t t + + c = ln x + x ++ + c. x e) ( x) Volíme t = x, pkdt =. x ( t) = dt = ( x) t dt dt dt = + t t 99 t = 98 99t 99 49t t + c = 97 = 99( x) 99 49( x) + + c ( x) 97 x + c. 7

6 e x f) +e x Volíme t =+e x,pkdt = e x. e x +e x = dt t =ln t + c =ln(+ex )+c. ln x g) x Volíme t =lnx, pkdt =. x ln x x = sin x h) cos x t dt = t + c = ln x + c Volíme t =cosx, pkdt = sin x. sin x cos x = dt t = t + c = cos x + c. i) sin x ) Volíme t =cosx, pkdt = sin x. sin x sin x = sin x = sin x cos x = dt t = = ln t t + + c = ln cos x cos x + + c. ) Volíme t =tg x,pkdt =. cos x sin x = dt (sin x )cos x = (tg x ) cos x = t = =ln t + c =ln tg x + c. Primitivní funkce F = ln cos x cos x+ + c F =ln tg x + c jsou si rovny. Z použití vzorců sin cos α α = sinα =sinαcos α je ln cos x cos x + = ln (cos x ) cos x =ln cos x sin x =ln sin x sin x cos tg x =ln x. 8

7 j) +e x Položíme t = +e x (t>), vypočítáme x volíme x =ln(t ), pk = tdt. t = +e x t t dt dt = t t =ln t t + + c =ln +ex +ex + + c. k) x x Volíme x =sint, pk =costdt. x x = cos tdt (sin t)cost = dt sin t = = cotg t + c = cos t sin sin t + c = t x + c = + c. sin t x (Poznámk: Primitivní funkci lze též vyjádřit ve tvru cotg rcsin x + c.) l) + x Položíme t = x (t >), vypočítáme x volíme x = t,pk =tdt. + x = t dt = +t t + dt = +t dt 4 =t 4ln(+t)+c = x 4ln(+ x)+c. dt +t = Ukázk. Použitím metody per prtes njděte primitivní funkce: ) ln x [ ] u =lnx u ln x = x v = x ln x = = v = x = x ln x x + c = x(ln x ) + c b) x sin x [ ] u = x u x sin x = v = x cos x + cos x= =sinx v = cos x = x cos x +sinx + c c) x e x [ ] [ ] u = x x e x u =x u = x u v = e x v = e x = x e x xe x = v = e x v = e x = x e x xe x + e x = x e x xe x +e x + c = e x (x x +)+c 9

8 Příkld. Odvoďte rekurentní vzorec pro integrál I n = sin n x, n N, n> [ ] u =sin Řešení: I n = sin n x u x =(n )(sin n x)cosx v = =sinx v = cos x = (sin n x)cosx +(n ) (sin n x)cos x= = (sin n x)cosx +(n ) (sin n x)( sin x) = = (sin n x)cosx +(n ) (sin n x) (n ) sin n x. Máme tedy I n = (sin n x)cosx +(n )I n (n )I n. Dále řešíme tuto rovnici dostneme rekurentní vzorec I n = n (sinn x)cosx + n n I n.. Rozkld n prciální zlomky Kždou rcionální funkci f(x) = P (x),kdep(x) je polynom stupně m Q(x) Q(x) je polynom stupně n, lze vyjádřit jko součet polynomu R(x) stupně m n (je-li m<nje R(x) = ) dvou typů zlomků, jejichž jmenovtelé jsou kořenoví činitelé rozkldu polynomu Q(x), to lineární dvojčleny (pro reálné kořeny) nebo kvdrtické trojčleny (pro dvojice komplexně sdružených kořenů). Tyto zlomky se nzývjí prciální zlomky.. druhu. druhu A, A R, k N; (x α) k A (x α) k = A ln x α pro k = A ( k)(x α) k pro k> Bx+C. druhu, B,C R, k N; (x +px+q) k integrci těchto zlomků obecně uvádět nebudeme, lze ji nlézt ve skriptech kurzu mtemtické nlýzy II (integrální počet) v litertuře tm uvedené. Poznámk. ) Rozkládt n prciální zlomky můžeme jen rcionální funkci, kde stupeň polynomu v čitteli je menší než stupeň polynomu ve jmenovteli.

9 ) Je-li stupeň polynomu ve jmenovteli roven n, dostáváme v rozkldu rcionální funkce n prciální zlomky n neznámých konstnt. Nechť tedy rcionální funkce P (x), kde stupeň P (x) <n, je součtem prciálních zlomků, zkráceně Q(x) zpíšeme P (x) Q(x) = A + + B jl j x + C jlj x α (x + p j x + q j ), (.7) l j potom při hledání konstnt v čittelích prciálních zlomků postupujeme následujícím způsobem: Sečteme zlomky n prvé strně rovnosti (.7) porovnáme polynomy v čitteli rcionálních funkcí n obou strnách rovnosti (.7). Dostneme tk rovnost dvou polynomů, kterou můžeme k nlezení konstnt využít dvěm způsoby: (i) Dv polynomy se sobě rovnjí, mjí-li u stejných mocnin proměnné x stejné koeficienty. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné x dostneme soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách. (ii) Dv polynomy (funkce) se sobě rovnjí, rovnjí-li se funkční hodnoty v kždém bodě. Doszováním různých vhodně zvolených čísel, nejlépe kořenů polynomu Q, dostneme tké soustvu n lineárních rovnic o n neznámých konstntách, která má v přípdě doszování kořenů polynomu Q jednodušší tvr. Tto metod je výhodná zejmén v přípdě, kdy má polynom Q jednoduché kořeny. Obě metody lze vzájemně kombinovt, npř. postupným doszením i reálných různých kořenů získáme přímo i konstnt dlších n i konstnt získáme ze soustvy n i rovnic, které dostneme buď porovnáním koeficientů u vybrných n i mocnin proměnné x (npř. nejvyšších nebo nejnižšších) nebo doszením dlších n i různých čísel. Příkld. Njděte primitivní funkci Řešení: Rozkldem n prciální zlomky odkud x (x +)(x +)(x ) = A x + + x (x +)(x +)(x ) B x + + C x x = A(x +)(x ) + B(x +)(x ) + C(x +)(x +). Doszením x = : = 4A A = 4 x = : =5B B = 5 x =: =C C =

10 x (x +)(x +)(x ) = 4 x + 5 x + + x = = 4 ln x + 5 ln x + + ln x + c. x 4 +5x Příkld. Njděte primitivní funkci x x Vydělením rozkldem jmenovtele dostneme x 4 +5x x x = x + 6x + x x x = x + 6x + x (x )(x +x +) Řešení: Rozkldem n prciální zlomky odkud neboli Doszením 6x + x (x )(x +x +) = A x + Bx + C x +x + 6x + x =A(x +x +)+(Bx + C)(x ), 6x + x =Ax + Bx +Ax + Cx + A C. x =: 5=5A A = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x : 6 = A + B B =4 x : =A C C =. Je tedy x 4 +5x x x = x+ x + 4x + x +x +. 4x+ Zlomek x +x+ následovně 4x + x +x + = je prciální zlomek. druhu, při jeho integrci postupujeme 4x + x +x + + x +x +, první integrál vprvo řešíme substitucí t =x +x +,pkdt =(4x +) po doszení 4x + dt x +x + = t =ln t =ln(x +x +),

11 ve druhém integrálu uprvíme nejprve jmenovtele x +x +=[x + x]+=[(x + ) ]+=(x + 4 ) + = = [4(x + ) +]= [(x +) +] dále substitucí t =x +,pkdt = po doszení x +x + = (x +) + = dt = rctg t = rctg(x +). t + Výsledkem je tedy x 4 +5x x x = x +ln x +ln(x +x +)+rctg(x +)+c. Příkld 4. Njděte primitivní funkci Řešení: Úprvou jmenovtele x 4 + x 5 + x 4 x x x 5 + x 4 x x = x (x + x x ) = x (x +)(x ) = x (x +) (x ) rozkldem n prciální zlomky dostneme Máme odkud doszením x 4 + x 5 + x 4 x x = A x + B x + C x + + D (x +) + E x. x 4 +=Ax(x +) (x ) + B(x +) (x ) + + Cx (x ) + Dx (x ) + Ex (x +), x =: = B B = x = : = D D = x =: =4E E = porovnáním koeficientů u mocnin proměnné x x 4 : = A + C + E x : = A B dostneme A =,B =, C =, D =, E =. Je tedy x 4 + x 5 + x 4 x x = = x x =ln x + x x + (x +) + x = ln x + + x + + ln x + c.

12 . Riemnnův integrál Výpočty obshů ploch se objevují již v tisíciletí př. n. l. Egypťné prováděli výpočty obshů ploch tk, že dnou plochu rozdělili n trojúhelníky, spočítli jejich obshy ty pk sečetli. Úloh (obsh plochy v rovině) Nechť funkce f(x) je omezená nezáporná n intervlu, b. Při výpočtu obshu množiny A = {(x, y) R ; x, b, y f(x)} budeme postupovt tk, že intervl, b rozdělíme n n částí pomocí bodů = x,x,...,x n = b. Budeme předpokládt, že x i <x i pro kždé i =,...,n, tím rozdělíme intervl, b n n podintervlů x i,x i. Zvolíme libovolně bod ξ i x i,x i vytvoříme obdélníky o strnách délky x i x i f(ξ i ), viz obr.. x i ξ i x i b Obr. Potom součet obshů těchto obdélníků je ς n = n f(ξ i )(x i x i ) i= je přibližně roven obshu množiny A. Čím bude n větší, tím více se bude číslo ς n blížit k obshu množiny A, tkže odhd obshu množiny A bude přesnější. Bude-li n přitom nejdelší z intervlů x i,x i, i =,...,n, n který rozdělíme intervl, b bude mít pro n nulovou délku, pk píšeme lim n n f(ξ i )(x i x i )= i= b f(x) b f(x) nzveme Riemnnův integrál funkci f(x) riemnnovsky integrovtelnou. 4

13 .. Metody výpočtu Riemnnov integrálu N následujícím příkldě ukážeme souvislost primitivní funkce k funkci f(x) n, b integrálu b f(x), která vede přímo ke slvné Leibnizově Newtonově formuli. Příkld 5 (hmotnost hustot). Nechť AB je jednorozměrná hmotná tyč, souřdnici bodu A oznčíme, souřdnici bodu B oznčíme b, viz obr.. Předpokládejme, že tyč AB není homogenní, tzn., že její dvě různé části, i když jsou stejně dlouhé, mohou mít různou hmotnost. A X X B x x b Obr. : Jednorozměrná hmotná tyč AB. Abychom získli předstvu o rozložení hmotnosti v jednotlivých částech tyče, musíme vzít v úvhu vzájemný poměr mezi hmotností některé části její délkou. Tento poměr udává průměrnou hustotu tyče v příslušné části. Oznčíme-li F (x) hmotnost, kterou má tyč v části mezi bodem A bodemx o souřdnici x uvžujeme-li dv body X, X, mjící příslušné souřdnice x, x, pk průměrná hustot části X X je dán poměrem F (x ) F (x ) x x. Tento poměr všk neříká nic o způsobu rozložení hmotnosti n různých částech intervlu x,x. Abychom tedy získli předstvu o tomto rozložení, musíme zkoumt průměrnou hustotu stále menších částí tyče, tímto způsobem získáme lokální bodovou předstvu o rozdělení hmotnosti, tedy v bodě x bude hustot ϱ(x ) = lim x x F (x ) F (x ) x x. (.8) Limit n prvé strně rovnosti (.8) je vlstně F (x ). Známe-li tedy hmotnost tyče, můžeme zjistit bodovou hustotu tyče, přičemž přechod od jedné veličiny ke druhé je dán derivcí, sice vzthem ϱ(x) =F (x). (.9) Přitom hmotnost je globální chrkteristikou tyče hustot je chrkteristikou lokální bodovou. Pokusíme se nyní tento úkol obrátit, známe-li hustotu nehomogenní tyče v kždém jejím bodě, určíme hmotnost tyče. Rozdělíme tyč AB n tk mlé části, že 5

14 můžeme předpokládt, že je tyč n těchto částech homogenní. Rozdělíme intervl, b dělením = x <x <... < x n = b n částečné intervly x i,x i, i =,...,n, tk, že část X i X i je homogenní, to znmená, že hustot ϱ(x) je stejná v kždém bodě intervlu x i,x i,npř.ϱ(x i ). V tomto přípdě pltí pro hmotnost části X i X i Hmotnost celé tyče AB je pk F (x i ) F (x i )=ϱ(x i )(x i x i ). F (b) F () = n F (x i ) F (x i )= i= n ϱ(x i )(x i x i ). (.) i= Ze vzthu (.9) plyne, že ϱ(x) je primitivní funkce k funkci F (x) n, b, tzn., že ϱ(x) jespojitán, b, tedy integrovtelná. Součet n ϱ(x i )(x i x i ) i= n prvé strně rovnosti (.) je pro n Riemnnův integrál: b ϱ(x) = b F (x) = F (b) F (). Vět 7 (Leibnizův Newtonův vzorec). Nechť f je riemnnovsky integrovtelná nechťf je primitivní funkce k funkci f n, b. Pk pltí b f(x) = F (b) F (). Poznámk 4. Používáme též oznčení F (b) F () =[F (x)] b. Vět 8 (per prtes). Nechť funkce u, v mjí derivci n intervlu, b nechť u,v R(, b ). Pk pltí b b u(x)v (x) =[u(x)v(x)] b u (x)v(x). Vět 9 (o substituci). Nechť funkce f je spojitá n, b. Nechť funkce ϕ má derivci ϕ n α, β ϕ R( α, β ). Nechťϕ( α, β ) =, b. Pk pltí β α f(ϕ(x))ϕ (x) = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. 6

15 8 Příkld 6. Vypočítejte x Řešení: Použijeme Leibnizův Newtonův vzorec, primitivní funkce k funkci x je 4 x4, tkže dosdíme 8 Příkld 7. Vypočítejte x= [ 4 x 4 ] 8 x e x = (6 ) =,5 4 Řešení: Řešíme metodou per prtes, volíme u = x, v = xe x,pku =x, v = e x dostáváme [ x e x = ] x e x + xe x = = e + [ e x ] = e e + = e..4 Aplikce Riemnnov integrálu.4. Obsh množin v R Definice. Nechť funkce f(x) je spojitá nezáporná n intervlu, b. Pk číslo b S(A) = f(x) (.) nzýváme obshem množiny A = {(x, y) R ; x b, y f(x)}, tj. množiny omezené přímkmi y =,x =, x = b grfem funkce f(x). je Z definice přímo plyne, že obsh množiny B = {(x, y) R ; x b, g(x) y f(x)}, S(B) = b [f(x) g(x)] (.) Poznámk 5. Při výpočtu obshu množin v R vycházíme z principu, že S(A B) =S(A)+S(B), kde A R, B R jsou množiny, pro které pltí A B = nebo A B má nulový obsh, npř. A B je křivk v R. 7

16 Příkld 8. Vypočítejte obsh množiny v R omezené prbolou y =6x x 7 přímkouy = x. y = x y =6x x 7 Obr. Řešení: Meze integrce budou x-ové souřdnice průsečíků grfů funkcí y = x y =6x x 7. Pltí 6x x 7=x, tedy x =,x =4.Nintervlu, 4 pltí x 6x x 7 (viz obr. ). Podle vzorce pro výpočet obshu (.) S = 4.4. Délk křivky v R [(6x x 7) (x )] = 4 (5x x 4) = 9. Definice. Nechť ϕ je spojité zobrzení intervlu α, β do R,tj. ϕ(t) = ( ϕ (t),ϕ (t) ), t α, β, kde ϕ (t), ϕ (t) jsou spojité funkce n intervlu α, β. Pk množinu K = {(x, y) R ; x = ϕ (t), y= ϕ (t), t α, β } nzýváme křivkou v rovině rovnice x = ϕ (t), y = ϕ (t), t α, β, prmetrickými rovnicemi křivky K. Vět (délk křivky dné prmetricky). Nechť K je křivk definovná prmetrickými rovnicemi x = ϕ (t), y = ϕ (t), t α, β. Nechť funkce ϕ (t) ϕ (t) mjí spojitou derivci n intervlu α, β, pk křivk K má konečnou délku pltí d(k) = β α ϕ (t)+ϕ (t) dt. (.) 8

17 Vět (délk křivky). Nechť funkce f(x) má spojitou derivci n intervlu, b. Pk křivk K, která je grfem funkce y = f(x) n intervlu, b, má konečnou délku pltí b d(k) = +f (x). (.4) Odtud Pro element dk délky křivky y = f(x) totiž pltí Pythgorov vět ( ) (dk) =() + (dy) () (dk) =() +(dy). dk = + ( ) dy. Příkld 9. Vypočítejte délku oblouku steroidy (viz obr. ) zdné prmetrickými rovnicemi x(t) =sin t, y(t) = cos t, t, π. Řešení: Protože x (t) = sin t cos t, y (t) = cos t sin t, je (x (t)) +(y (t)) =9 sin t cos t po doszení do vzorce (.) dostáváme π 9 sin t cos tdt= π sin t cos tdt. Řešíme substitucí z =sint, pkdz =costdt pro meze integrce pltí t = z =,t = π z =. Po doszení dostáváme π [ ] z sin t cos tdt= zdz= =. B A Obr. : Asteroid. 9

18 .4. Objem rotčního těles Předpokládejme, že A R je neprázdná omezená souvislá množin, která má kldný obsh. Pk rotcí množiny A kolem nějké přímky, která leží tké v R,vzniknevR rotční těleso, npř. je-li funkce f(x) spojitá nezáporná n intervlu, b, pk rotcí množiny A = {(x, y) R ; x b, y f(x)} kolem osy x vznikne rotční těleso v R. Vět. Nechť funkce f(x) je spojitá nezáporná n intervlu, b. Pk pro objem V rotčního těles, které vznikne rotcí množiny A = {(x, y) R ; x b, y f(x)} ) kolem osy x, pltí b V = π f (x), b) kolem osy y (je-li <b), pltí b V =π xf(x). Příkld. Nechť množin A je omezená prbolou y =4 x, polopřímkou y =,x polopřímkou y =x, x. Vypočítejte objem rotčního těles, které vznikne rotcí množiny A kolem osy x. 4 Obr. 4 Řešení: Nejprve njdeme x-ovou souřdnici průsečíku prboly y =4 x polopřímky y =x, x. Pltí 4 x =x, odkud x =,x = 4, vyhovuje pouze x = (viz obr. 4). Hledný objem pk bude rozdílem objemů V V,kdeV je objem rotčního těles, které vznikne rotcí množiny {(x, y) R ; x, y 4 x }

19 kolem osy x, V je objem rotčního těles, které vznikne rotcí množiny kolem osy x. Podle uvedeného vzorce je V = π {(x, y) R ; x, y x} (4 x ) = 5 5 π, V = π V = V V = 8 5 π. (x) =π,