Kapitola 1. Taylorův polynom

Transkript

1 Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x + o(x ) = lim x ( + o(x )/x ) x x ( + o(x )/x ) =. Lemm. Nechť f g mjí vlstní derivce v bodě R ž do řádu n včetně. Je-li f (i) () = g (i) () = pro i =,,..., n g (n) (), pk je g(x) nenulová n nějkém okolí U () f(x) lim x g(x) = f (n) () g (n) (). Důkz Indukcí. I. Pro n =, pk g(x) n nějkém U () (jelikož je g ryze monotónní v ). Tedy f(x) lim x g(x) = lim f(x) f() x g(x) g() = lim = f () x g (). f(x) f() x g(x) g() x II. Nechť pltí tvrzení pro n, dokžme indukcí pro n +. Oznčme F = f G = g, pk F G splňují předpokldy lemmtu. pro n, tedy F (x) lim x G(x) = F (n) () G (n) ()

2 G = g je nenulová n nějkém okolí U (). Tedy g n nějkém okolí bodu. Pk užitím l Hospitlovy věty dostneme f(x) lim x g(s) = lim f (x) x g (x) = lim F (x) x G(x) = F (n) () G (n) () = f (n+) () g (n+) (). Lemm. Nechť f má v bodě R vlstní derivci do řádu n (včetně), pk i) f(x) = o((x ) n ) f (k) () =, k =,,..., n, ii) Důkz lim x f(x) (x ) n R \ {} f (k) () =, k =,,..., n f (n) (). ( ) Nejprve dokžme implikci zprv do lev. Pro g(x) = (x ) n předpokldy lemmtu., tudíž f pltí f(x) lim x g(x) = lim f(x) x (x ) = f (n) () n g (n) () = f (n) (). n! Tedy lim x f(x) g(x) = pro f (n) = lim x f(x) g(x) R \ {} pro f (n) (). ( ) Dokžme nyní opčné implikce (Sporem). Nechť existuje m < n tk, že f (i) () = pro i =,,..., m f (m) (). Pk lim x f(x) (x ) n = lim x f(x) (x ) m (x ) n m f(x) je nevlstní, jelikož lim x dle první části důkzu nemá (x ) m (x ) n m vlstní limitu. Tedy z předpokldů vyplývá, že f (i) () = pro i =,,..., n. Nyní stčí plikovt lemm.. Tedy lim x f(x) g(x) n! = f (n) (). f(x) lim x g(x) = f (n) (n) f = g (n) n!.

3 Lemm.3 Nechť R, pk lze kždý polynom P n (x) stupně nejvýše n zpst jediným způsobem ve tvru P n (x) = c k (x ) k, k= přičemž c k = P n (k) (). k! Důkz Pro n = je existence tkového zápisu zřejmá. Nechť lze libovolný polynom stupně n zpst ve zmíněném tvru, pk n+ P n+ (x) = c k x k = c n+ (x ) n+ c n+ k= ( ) n + x k ( ) n+ k + k k= c k x k, tedy P n+ (x) lze tké zpst v poždovném tvru. Nechť P n (x) = n k= c k(x ) k, pk P n (j) (x) = n k=j c (k j) k! k(x ) pro x = dostneme dokzovné tvrzení. (k j)! k= Vět.4 (Penov) Nechť má funkce f v bodě R vlstní derivce do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom P n (x) stupně nejvýše n tkový, že pltí f(x) P n (x) = o((x ) n ). Tento polynom se nzývá Tylorovým polynomem n-tého stupně je dán vzorcem T n (f, )(x) = k= f (k) () (x ) k. k! Důkz Nechť P n (x) je polynom stupně nejvýše n, pk dle lemmtu. je f(x) P n (x) = o((x ) n ) (f(x) P n (x)) (k) = pro k =,,..., n. Tedy f (k) () = P n (k) (), tudíž dle lemmtu.3 je c i = f (k) (). k!

4 Příkld. Určete e x cos x ( + x) lim. x x 3 T 3 (e x, )(x) = + x + x! + x3 3!, T 3(cos x, )(x) = x!, tedy e x cos x ( + x) lim x x 3 ( + x + x + x3 + o(x 3 ))( x + o(x 3 )) ( + x)! 3!! = lim x x 3 + x + x3 ( + x) + o(x 3 ) 3! = lim = x x 3 3!. Oznčme R n+ (x) = f(x) T n (f, x )(x) Tylorův zbytek funkce f n tého řádu. Následující vět nám ukzuje, jk velký je Tylorův zbytek n-tého řádu, tedy jká je chyb pri proximci funkce f pomocí Tylorov polynomu n tého řádu. Vět.5 Nechť f má vlstní derivce ž do řádu n+ včetně n uzvřeném intervlu J = [x, x ] (nebo J = [x, x]) nechť g je spojitá n J má n J vlstní nenulovou derivci. Pk existuje ξ J tkové, že Speciálně pro R n+ (x) = f (n+) (ξ) n! g(x) g(x ) (x ξ) n. g (ξ) g(t) = (x t) n+ dostneme Lngrngeův tvr zbytku R n+ (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+, g(t) = t dostneme Cuchyův tvr zbytku R n+ (x) = pro nějké θ (, ). ( θ)n f (n+) (x + θ (x x ))(x x ) n+ n! Důkz Pro pevné x R zveďme funkci F (t) = f(x) k= f (k) (t) (x t) k, t J, k!

5 pk F (x) =, F (x ) = f(x) n f (k) (x ) k= (x x k! ) k = R n+ (x) F (t) = = k= k= f (k+) (t) (x t) k + k! f (k+) (t) (x t) k + k! k f (k) (t) (x t) k k! f (k) (t) (k )! (x t)k = f (n+) (t) (x t) n. n! k= k= Pk dle Cuchyovy věty o střední hodnotě (5.7 první semestr) existuje ξ J tkové, že F (x) F (x ) g(x) g(x ) = F (ξ) g (ξ). Tedy F (x) F (x ) g(x) g(x ) = F (ξ) g (ξ) R n+ (x) g(x) g(x ) = f (n+)(ξ) (x ξ) n n! g (ξ) R n+ (x) = f (n+) (ξ)(g(x) g(x )) (x ξ) n. n!g (ξ) Pro g(t) = (x t) n+ dostneme g(x ) = (x x ) n+, g(x) = g (ξ) = (n + )(x ξ) n, tedy R n+ (x) = f (n+) (ξ)(g(x) g(x )) n!g (ξ) = f (n+) (ξ)(x x ) n+. (n + )! (x ξ) n = f (n+) (ξ)( (x x ) n+ ) (x n!( (n + )(x ξ) n ξ)n ) Pro g(t) = t ξ = x + θ (x x ) (θ (, )) dostneme R n+ (x) = f (n+) (ξ)(g(x) g(x )) (x ξ) n n!g (ξ) = f (n+) (x + θ(x x ))(x x ) (x (x + θ(x x ))) n n! ( θ)n = f (n+) (x + θ(x x ))(x x ) n+. n!

6 Obrázek.: Plná čár znázorňuje grf funkce e x, čárkovně je vyznčen grf proximce Tlorovým polynomem, tečkovně je vyznčeno pásmo, ve kterém by se měl podle výpočtů proximce pohybovt. Příkld.3 Pro f(x) = e x x = dostáváme f (n) (x ) = e x =, tedy T n (f, x )(x) = k= x k k!. Pk z využitím Lgrngeov tvru zbytku dostneme R n+ (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+ = e ξ (n + )! (x)n+, kde ξ (, x) pro x > ξ (x, ) pro x <. Tedy R n+ (x) < e x x n+, proto (n+)! pro libovolné x R, R n+ (x). n Námi získný odhd zbytku nám umožnuje tké odpovedět n otázku, jké máme zvolit n tk, by n zvoleném intervlu byl chyb při proximci funkce Tylorovým polynomem pod námi zvolenou hrnicí. Konkrétně rozhodneme-li se, že chceme proximovt funkci e x n intervlu [, ] Tylorovým polynomem tk, by chyb při této proximci byl menší než, pk dostneme, že R n+ (x) < e x x n+ e <, (n+)! (n+)!

7 tedy n. Při této volbě n bude chyb n intervlu [, ] menší než, 454. N obrázku. je znázorněn grf funkce e x její proximce pomocí Tylorov polynomu třetího stupně. Příkld.4 Nechť f(x) = sin x x =, pk sin (n) () = pro n sudé sin (n) () = ( ) n pro n liché. T n (f, x )(x) = T n (f, x )(x) = x x3 3! + x5 5!...( )n+ x n (n )!. Využijeme opět Lgrngeův tvr zbytku, pk dostneme R n (x) = R n+ (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+ (n + )! (x)n+, jelikož sin (n) (x). Tedy pro libovolné x R, R n (x) n. Chceme-li npříkld odhdnout sin( ) pk dostneme R ( ) = R 3( ), 8, R 4( ) = R 5( ), 43, R 6 ( ) = R 7( ) 3, 6 6, R 8 ( ) = R 9( ), 6 8, tedy chceme-li odhdnout sin( ) s přesností n tři desetinná míst, pk stčí proximce Tylorovým polynomem třetího stupně. sin( ) =, ( )3 3! ( )3 + ( )5 3! 5! ( )3 + ( )5 ( )7 3! 5! 7! =, = = Obdobně pro f(x) = cos x x = dostneme T n (f, x )(x) = T n+ (f, x )(x) = x! ( )n xn (n)!

8 Obrázek.: Plná čár znázorňuje grf funkce cos(x), čárkovně je vyznčen grf proximce Tylorovým polynomem nultého (žlutě), druhého (červeně), čtvrtého (filově), šestého (modře), osmého (zeleně) desátého (hnědě) stupně. tedy R n (x) n pro všechn x R. R n+ (x) = R n+ (x) x n+ (n + )!, Příkld.5 Nechť f = ln(x + ) x =, pk f (n) (x) = ( )n (n )!. Tedy (x+) n T n (ln(x + ), )(x) = k= ( ) k (k )! x k = k! ( ) k x k. k k=

9 Kpitol Primitivní funkce. Primitivni funkce Definice. Funkce F (x) se nzývá primitivní funkcí k funkci f(x) n intervlu I, jestliže F (x) = f(x) n I. (v krjních bodech jednostrnné derivce) Vět. Je-li F (x) primitivní funkce k funkci f(x), pk pro libovolné c R je tké F (x) + c primitivní funkce k funkci f(x). Jsou-li F (x) G(x) primitivní funkce k funkci f(x) n intervlu I, potom F (x) G(x) je konstntní n I. Důkz (F (x) + c) = F (x) = f(x), tedy F (x) + c je primitivní funkce k funkci f(x). Oznčme H(x) = F (x) G(x), pk H (x) = (F (x) G(x)) = f(x) f(x) = n I. Pro všechny x, x I, x < x pltí H(x ) H(x ) = H (ξ)(x x ) = kde ξ (x, x ) (Lgrngeov vět o střední hodnotě). Tedy H(x) je konstntní n I. Oznčení: Množinu všech primitivních funkcí k funkci f(x) nzýváme neurčitým integrálem funkce f (n I) znčíme f(x)dx, pišme f(x)dx = F (x)+c kde tímto zápisem míníme, že konstntu c lze volit libovolně, tedy neurčitý integrál je množin všech funkcí které se od funkce F (x) liší jen o konstntu. 9

10 Tbulk primitivních funkcí: cdx cx c, x R x dx + x+ x (, ), R \ { }; x R, N ; x R \ {}, Z, < e x dx e x x R dx ln x x R \ {} x x dx x x R, (, ) \ {} ln sin xdx cos x x R cos xdx sin x x R dx tgx x ( π + kπ, π + kπ), k Z cos x dx cotgx x (kπ, (k + )π), k Z sin x x dx rcsinx x (, ) x dx rccosx x (, ) dx rctgx x R +x Vět. Nechť f(x) g(x) mjí primitivní funkce F (x) G(x) n intervlu I, pk funkce (f + g)(x) má n I primitivní funkci (F + G)(x), tj. (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx. Nechť c R, pk cf(x)dx = c f(x)dx. Důkz (F + G) (x) = F (x) + G (x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x). (cf ) (x) = cf (x) = cf(x). Vět.3 (Integrce per prtes) Nechť f(x) g(x) mjí vlstní derivce n intervlu I. Pk f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx.

11 Důkz Plyne z věty o derivci součinu. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) = (f(x)g(x)) f(x)g (x) f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx Příkld. e x xdx = e x x e x dx = e x (x ) + c Příkld. x n ln xdx = xn+ x n+ n + ln x n + x = xn+ n + ln x xn+ (n + ) + c xn+ dx = n + ln x x n n + dx Příkld.3 e 3x cos 5xdx = e3x cos 5x e 3x ( 5 sin 5x) dx 3 3 [ = e3x cos 5x e 3x ] ( 5 sin 5x) e 3x ( 5 cos 5x) dx = (cos e3x 5x + 53 ) 3 sin 5x 5 e 3x cos 5xdx 9 Oznčíme-li I = e 3x cos 5xdx, pk jsme dostli rovnici I = e3x 3 (cos 5x + 53 sin 5x ) 5 9 I, tedy I = e 3x cos 5xdx = 9 e (cos 3x 5x + 53 ) 34 3 sin 5x + c = e3x (3 cos 5x + 5 sin 5x) + c. 34

12 Vět.4 (Vět o substituci I.) Nechť F (x) je primitivní funkce k funkci f(x) n J nechť φ : I J má n I vlstní derivci, potom f(φ(t))φ (t)dt = F (φ(t)). Důkz (F (φ(t))) = f(φ(t))φ (t) Příkld.4 sin(t )tdt = sin(t )tdt = sin(x)dx x=t = cos(x) + C = cos(t ) + C. Byl použit substitutce x = φ(t) = t, tedy φ(t) = t. Příkld.5 sin 3 (t)dt = ( cos (t)) sin(t)dt = ( x )dx x= cos(t) ) ( ) = (x x3 + C = cos(t) cos (t) + C. 3 3 Vět.5 (Vět o substituci II.) Nechť φ zobrzuje intervl I n intervl J má n něm vlstní derivci, pro kterou pltí buď t I φ (t) > nebo t I φ (t) <. Nechť G(t) je primitivní funkce k funkci f(φ(t))φ (t) n I, pk je G(φ (x)) primitivní funkce k funkci f n J. Tedy f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt t=φ (x). Důkz Jelikož derivce funkce φ nemění n I znménko je nenulová, pk je funkce φ ryze monotónní, tedy dle věty o derivci inverzní funkce (vět 4.4. I. semestr) existuje (φ ) (x) pltí (φ ) (x) =, kde x = φ(t), tedy t = φ (t) φ (x). Pk dostneme ( G(φ (x)) ) = G (φ (x))(φ ) (x) = G (t) φ (t) = f(φ(t))φ (t) = f(φ(t)) = f(x). φ (t)

13 Příkld.6 x dx = sin (t) cos(t)dt t=rcsin(x) = cos (t)dt p.p. = sin(t) cos(t) + sin (t)dt = sin(t) cos(t) + ( cos (t))dt = sin(t) cos(t) + t cos (t)dt = (t + sin(t) cos(t)) + C = (t + sin(t) sin (t) + C = (rcsin(x) + x x + C. Byl použit substituce x = φ(t) = sin(t), tedy φ(t) = cos(t) t = rcsin(x).. Integrce rcionálních funkcí V této části se budeme zbývt integrcí rcionální lomené funkce. Definice. Rcionální funkcí (nebo tké rcionální lomenou funkcí) rozumíme funkci dnou předpisem f(x) = P (x) Q(x), kde P (x) Q(x) jsou polynomy s reálnými koeficienty (f(x) je definován pro všechn x R splňující Q(x) ). I. (x ) k dx, R Použijeme substituci z = x. Pro k = dostneme (x ) dx = z dz z=x = ln z + C = ln x + C. Pro k > dostneme (x ) dx = k z k dz z=x = ( k + )z + C = + C. k ( k + )(x ) k

14 II. dx,, b R (x + x + b) Předpokládáme, že polynom x + x + b nemá reálné kořeny. (x + x + b) dx = (x + ) + (b )dx = y + c dy y=x+,c=b 4 4 = y + c dy = ( ( ) )dy y c c + = c (z + ) dz z= y c = c rctg(z) + C = rctg( x + ) + C c c III. (x + ) k dx, k Oznčme I k = dx odvoďme rekurentní vzorec pro výpočet I (x +) k k. Uvědomme si, že od integrálu dx, kde x + x + b nemá reálný kořen, (x +x+b) k lze přejít k integrálu dz z pomoci substitucí plikovných v bodě II. (z +) k I k = = x (x + ) dx = + x k (x + ) dx = k dx (x + ) k x (x + ) k dx = I k x + (x + ) dx k x (x + ) k dx. x (x + ) k dx Nyní se změříme n integrál x dx. K výpočtu tohoto integrálu budeme potřebovt určit integrál (x +) k x (x +) k dx, x (x + ) dx = x k (x + ) = k z dz k z=x + = ( k) z + C = + C. k ( k)(x + ) k

15 Pk s využitím integrce per prtes (vět.3) x (x + ) dx = x p.p. x dx = x k (x + ) ( k)(x + ) ( ) k x = ( k) (x + ) I k k. Dostneme tedy I k = I k Příkld.7 ( + x ) dx = ( ( k) x (x + ) = I k k = k 3 k I k + (k )(x + ). k + x ( + x ) dx x ( + x ) dx = = rctg(x) x x ( + x dx = rctg(x) [ ( ) ( x x + x + x = rctg(x) + (x + ) x + dx = rctg(x) + x (x + ) + C dx ( k)(x + ) k x (x + ) k I k ( + x ) dx ) ] dx ) x x ( + x ) IV. x + b dx,, b, c, d R (x + cx + d) k Předpokládáme, že polynom x + cx + d nemá reálné kořeny. x + b c (x + cx + d) dx = (x + c) + (b ) dx k (x + cx + d) k = z dz γ k z=x +cx+d + (x + cx + d) dx k γ=b c Použili jsme substituci z = x + cx + d. První integrál lze dopočítt dle bodu I., druhý integrál podle bodů II. III.

16 Příkld.8 3x + 4 (x + 8x + 4) dx = = = 3 4 3(4x + 8) 4 (x + 8x + 4) dx 3(4x + 8) 4 (x + 8x + 4) dx z dz z=x +8x+4 (x + 8x + 4) dx (x + 8x + 4) dx Určeme nejdříve (x + 8x + 4) dx = (x + 4x + 7) dx = 4 = 4 (y + 3) dy y=x+ = 4 = (z + ) dz z= y 3 = [ z ] + 3 (z + ) dz z z (z + ) dz = [ rctg(z) ] z z 3 (z + ) dz = [ z rctg(z) + 3 (z + ) = [ 4 rctg(z) + z ] + C 3 z + [ = ( ) ] x+ x + 4 rctg ( x+ + C 3 ) + ((x + ) + 3) dx 3 (( y 3 ) + ) dy z + dz ] Dostneme tedy 3x + 4 (x + 8x + 4) dx = 3 4 z dz z=x +8x+4 [ = z z=x +8x = x + 8x (x + 8x + 4) dx ( ) x x+ 3 rctg ( x+ + C 3 ) + [ ( ) ] x + 3(x + ) rctg + + C 3 x + 4x + 7 ]

17 V dlší části se budeme zbývt tím, jk obecnou rcionální funkci rozložit n součet rcionálních funkcí, které jsou ve tvru I.-IV. Uvžujme rcionální funkci f(x) = P (x) Q(x). Pk ) Je-li stupeň P (x) stupeň Q(x), pk částečně vydělíme dostneme R(x) = P (x) + P (x) Q(x), kde P (x) P (x) jsou polynomy stupeň P (x) < stupeň Q(x). ) Je-li stupeň P (x) < stupeň Q(x), použijeme následující větu o rozkldu. Vět.6 (O rozkldu n prciální zlomky) Je-li Q m (x) = c m (x ) k (x ) k... (x r ) kr (x + p x + q ) l... (x + p s x + q s ) ls, rozkld polynomu Q m n reálné kořenové činitele (c m je konstnt, i jsou reálné kořeny k i znčí jejich násobnost, součinitel x +p i x+q i odpovídá dvojici komplexně sdružených kořenů násobnosti l i, tedy pltí p i 4q i < ). Nechť stupeň polynomu Q m je m n < m je stupeň polynomu P n, pk existuje rozkld P n (x) Q m (x) = r k r i= j= A i,j l (x i ) + j i= k r j=s B i,j x + C i,j (x + p i x + q i ) j, kde reálné koeficienty A i,j, B i,j C i,j tohoto rozkldu jsou určeny jednoznčně. Příkld.9 (x )(x + ) = A x + Bx + C x + Koeficienty A, B C určíme tk, že převedeme prvou strnu n společného jmenovtele porovnáme koeficienty u polynomů n prvé levé strně, tedy (x )(x + ) = A(x + ) + (Bx + C)(x ) (x )(x + ) Dostneme následující rovnice A + B = C B = A C =, = (A + B)x + (C B)x + (A C). (x )(x + )

18 tedy A = B = C =. (x )(x + ) = x + x + x +. Následující větu uvedeme bez důkzu. Vět.7 (Zákldní vět lgebry) Kždý polynom stupně lespoň jedn (s komplexními koeficienty) má lespoň jeden kořen (může být i komplexní). Lemm.8 Je-li C kořen polynomu P n (x) (polynom stupně n), pk P n (x) můžeme psát jko (x )Q n (x), kde Q n (x) je polynom stupně n. Důkz P n (x) = (x )Q n (x) + c, kde c C. Existence tkového rozkldu plyne z lemm.3, pokud ho přeformulujeme pro komplexní polynom s komplexními koeficienty. Pk doszením dostneme tedy c =. P n () = ( )Q n () + c =, Důsledek.9 Kždý polynom P n (x) má rozkld n kořenové činitele, tedy P n (x) = c n (x )(x )... (x n ), kde,..., n jsou kořeny polynomu P n (x) (nemusí být různé). Je-li k i násobnost kořenu i, pk P n (x) = c n (x ) k... (x r ) kr. Příkld. x 4 = (x )(x + ) = (x )(x + )(x ) = (x )(x + )(x i)(x + i) Kořeny jsou,, i, i. Poznámk. Jsou-li koeficienty c i reálné, potom má-li P n (x) kořen C, má i kořen ā.

19 Důkz c n n + c n n c = c n n + c n n c = c n n + c n n c = c n n + c n n c = c n n + c n n c =. Poznámk. Polynom s reálnými koeficienty má rozkld tvru P n (x) = c n (x ) k (x ) k... (x r ) kr (x + p x + q ) l... (x + p s x + q s ) ls, kde i jsou nvzájem různé, (p i, q i ) nvzájem různé p i 4q i <. Vět. Nechť P n (x) Q m (x) jsou polynomy s reálnými koeficienty stupně n m, n < m, nechť Q m (x) = (x ) k R m k (x), kde R m k (). Pk existuje právě jedno A R tkové, že P n (x) Q m (x) = kde S m (x) je polynom stupně nejvýše m. A (x ) + S m (x) k (x ) k R m k (x), Důkz Nejprve ukážeme existenci tohoto rozkldu. Zvolme A = P n() R m k (), P m (x) = P n (x) A R m k (x). Pk P m (x) je polynom stupně nejvýše m A (x ) + P m (x) k Q m (x) = P n () R m k ()(x ) P P n(x) n() R R m k () m k(x) k Q m (x) kde P m () =, tedy P m (x) = (x )S m (x). Doszením do rovnice P n (x) Q m (x) = A (x ) k + P m (x) Q m (x), = P n(x) Q m (x),

20 dostneme dokzovné tvrzení. Jednoznčnost rozkldu dostneme doszením do rovnice P n (x) = A R m k (x) + (x )S m (x), tedy P n () = A R m k () A = P n() R m k (). Vět. Nechť P n (x) Q m (x) jsou polynomy s reálnými koeficienty stupně n m, n < m, nechť Q m (x) = (x + px + q) k R m k (x), kde polynom x + px + q nemá reálný kořen pro komplexní kořen α tohoto polynomu pltí R m k (α). Pk existují právě dvě reálná čísl B, C R tková, že P n (x) Q m (x) = kde S m 3 (x) je polynom stupňe nejvýše m 3. Bx + C (x + px + q) + S m 3 (x) k (x + px + q) k R m k (x) Důkz Důkz provedeme obdobně jko u předchozí věty, le zčneme tentokrát jednoznčností koeficieltů B C. Je-li P n (x) Q m (x) = poždovný rozkld, pk Po doszení α dostneme Pro α = α + α i Bx + C (x + px + q) + S m 3 (x) k (x + px + q) k R m k (x), P n (x) = (Bx + C)R m k (x) + (x + px + q)s m 3 (x). P n(α) R m k(α) P n (α) = (Bα + C)R m k (α). = + bi, kde α, α,, b R dostneme B(α + α i) + C = + bi B = b α, C = Bα = b α α. Nyní dokážeme existenci tohoto rozkldu. Zvolme P m (x) = P n (x) (Bx + C)R m k (x),

21 pk P n (x) Q m (x) = Bx + C (x + px + q) + Pm (x) k (x + px + q) k R m k (x). (.) Nvíc P m (α) =, tedy z poznámky. důsledku.9 dostneme P m (x) = (x α)(x α)s m 3 (x) = (x + px + q)s m 3 (x). Doszením do rovnice. dostáváme poždovné tvrzení. Nyní uvedeme důkz věty.6. Důkz Nechť Q m (x) = c n (x ) k (x + p x + q ) l (m = k + l), pk opkovným použitím vět.. dostneme P n (x) Q m (x) = = = = A k (x ) + S m (x) k (x ) k (x + p x + q ) l A k (x ) + A k k (x ) + S m 3 (x) k (x ) k (x + p x + q ) l k i= k i= Stejně postupujeme pro. A i (x ) i + S m k (x + p x + q ) l. A i l (x ) + B i x + C i i (x + p x + q ). i i= Q m (x) = c n (x ) k (x ) k... (x r ) kr (x + p x + q ) l... (x + p s x + q s ) ls..3 Některé důležité substituce Definice.3 Polynom ve dvou proměnných se nzývá funkce n i P (x, y) = i,j x i y j, i= j=

22 kde n N {}, i,j R. Je-li lespoň jeden z členů i,j, i + j = n, nenulový, mluvíme o polynomu stupně n. Definice.4 Rcionální funkcí dvou proměnných nzýváme funkci R(x, y) = P (x, y) Q(x, y), kde P (x, y) Q(x, y) jsou polynomy ve dvou proměnných. Nechť R(x, y) je rcionální funkce dvou proměnných, pk integrál R(sin x, cos x)dx převedeme n integrál rcionální funkce pomocí následujících substitucí: i) t = tg ( x ), ii) t = tg(x) je-li R(x, y) = R( x, y), iii) t = sin x je-li R(x, y) = R(x, y), iv) t = cos x je-li R(x, y) = R( x, y). I. Příkld. sin x + cos x + 3 dx

23 Užijeme substituci t = tg ( x ), pk dostneme ( x ) ( ) t = tg = sin x cos ( ) = ( ) cos x x cos ( ), x ( x ) cos = + t, ( x ) ( x ) sin x = sin cos = sin ( ) x ( x ) cos ( cos x ) ( x ) ( x ) ( x ) cos x = cos sin = cos dt dx = cos ( ), x ( x ) dx = cos dt = + t dt. Tedy sin x + cos x + 3 dx = = = t + t, t + t t dt +t +t 4t+( t )+3(+t ) + t dt +t + t t + 4t t dt = = ( + t ) + t = t + t, = = dt = rctg(t + ) + C (t + ) + ( ( x ) ) = rctg tg + + C. t + t + dt Příkld. sin 5 x cos xdx Zkusme nejprve substituci t = tg ( x ), pk ( sin 5 x cos xdx = t + t ) 5 t + t + t dt = 6 (t 5 t 7 ) ( + t ) 7 dt.

24 Při použití substituce t = sin x, dt = cos xdx dostneme sin 5 x cos xdx = t 5 dt = t6 6 + C = sin6 x + C. 6 II.(Eulerovy substituce) R(x, x + bx + c)dx i) Jsou-li x, x dv různé reálné kořeny polynomu x + bx + c, pk použijeme substituci (x x ) t = (x x ). ii) Je-li >, pk lze pouzit substituci x + bx + c = ± x + t. iii) Je-li c > lze pouzit substituci x + bx + c = xt + c. Příkld.3 x + x x + dx Využijeme substituci x x + = x + t, tedy x x + = x xt + t x( + t) = t x = t t dx = t( t) + ( t ) ( t) dt = t t + ( t) dt x + x x + dx = t t + t( t) dt

25 Použijeme rozkld n prciální zlomky A t + B t + C ( t) = t t + t( t) A( t) + Bt( t) + Ct = t t + 4A B = 4A + B + C = A = B = 3 C = 3 Tedy t x + x x + dx = t + t( t) dt = t + 3 t + 3 = ln t 3 ln t + 3 ( t) dt t + c = ln x + x x + 3 ln (x + x x + ) + 3 (x + x x + ) + c.

26 Kpitol 3 Riemnnův integrál Definice 3. Nechť [, b] je omezený uzvřený intervl nechť = x < x < x <... < x n = b je n+ čísel, pk tto čísl určují dělení D intervlu [, b] nzýváme je dělící body tohoto dělení. Číslo D = mx{x x, x x,..., x n x n } nzýváme normou dělení D. D(, b) budeme znčit množinu všech dělení intervlu [, b]. Definice 3. Dělení D nzveme zjemněním dělení D, jeli kždý dělící bod D tké dělícím bodem dělení D. Definice 3.3 Nechť je f reálná funkce definovná n [, b] nechť D je dělení [, b] s dělícími body x i, i =,..., n. Potom s(f, D) = n i= inf f(x)(x i+ x i ) x [x i,x i+ ] nzýváme dolní Riemnnův součet funkce f odpovídjící dělení D S(f, D) = n i= sup x [x i,x i+ ] f(x)(x i+ x i ) nzýváme horní Riemnnův součet funkce f odpovídjící dělení D. Poznámk 3. Je-li D zjemněním dělení D, pk s(f, D) s(f, D ) S(f, D) S(f, D ). Poznámk 3. Je-li f omezená n [, b], pk pro libovolné dělení D. inf f(x)(b ) s(f, D) S(f, D) sup f(x)(b ), x [,b] x [,b] 6

27 D D(,b) Definice 3.4 Nechť je f reálná omezená funkce n [, b]. Číslo sup D D(,b) s(f, D) (resp. inf s(f, D), kde supremum (resp. infimum) bereme přes všechn dělení intervlu [, b] nzveme dolní (resp. horní) Riemnnův integrál funkce f přes intervl [, b] oznčujeme ho ( ) b f(x)dx resp. b f(x)dx Definice 3.5 Je-li horní Riemnnův integrál roven dolnímu Riemnnovu integrálu, pk jejich společnou hodnotu nzýváme Riemnnovým integrálem (přes intervl [, b]) znčíme ji Příkld 3. Dirichletov funkce b f(x) = f(x)dx. x Q = x R \ Q. Pk pro intervl [, ] je S(f, D) = s(f, D) = pro libovolné dělení D, tedy neexistuje Riemnnův integrál této funkce. Lemm 3. Nechť f je omezená n [, b]. Pk f má (Riemnnův) integál ke kždému ε > existuje D D(, b) tk, že S(f, D) s(f, D) < ε. Důkz ( ) Oznčme I = b f(x)dx zvolme ε >. Pk existuje D D tk, že I s(f, D ) < ε S(f, D ) I < ε. Nechť D je zjemněním D i D, pk s(f, D ) s(f, D) S(f, D) S(f, D ) S(f, D) s(f, D) S(f, D ) s(f, D ) < ε. ( ) Nechť ε > D tk, že S(f, D) s(f, D) < ε, pk s(f, D) b f(x)dx b. f(x)dx S(f, D),

28 tedy b f(x)dx b f(x)dx < ε. Jelikož ε > lze volit libovolně, dostneme poždovnou rovnost horního dolního Riemnnov integrálu. Definice 3.6 Funkce f je stejnoměrně spojitá n intervlu I, jestliže ε > δ > tk, že x, y I ( x y < δ f(x) f(y) < ε). Vět 3. (Cntorov) Je-li f spojitá n [, b], je n [, b] stejnoměrně spojitá. Důkz SPOREM ( ε > δ > : x, y I, ( x y < δ f(x) f(y) < ε).) Tedy pk ε > δ > : x, y I, ( x y < δ f(x) f(y) > ε), ε > n N : x n, y n I, ( x n y n < n f(x n) f(y n ) > ε). Jelikož x n [, b], pk dle Weierstrssovy věty existuje vybrná konvergentní posloupnost x kn. Oznžme x = lim n x kn, pk y kn x, jelikož x kn y kn < k n, le lim f(x kn ) lim f(y kn ), což je ve sporu se spojitostí funkce f v bodě x (Heineov vět). Vět 3.3 Spojitá funkce n [, b] má n tomto intervlu Riemnnův integrál. Důkz Zvolme ε >, jelikož je fuknce f spojitá n [, b], je n tomto intervlu stejnoměrně spojitá (Cntorov vět 3.), tedy δ > tk, že f(x) f(y) ε (b ) pro všechn x, y splňující x y < δ. Zvolme dělení D δ tkové, že D δ < δ, pk n S(f, D δ ) s(f, D δ ) = i= n i= [ sup x [x i,x i+ ] f(x) inf f(x)](x i+ x i ) x [x i,x i+ ] ε (b ) (x i+ x i ) = ε < ε. Tedy Riemnnův integrál existuje, viz lemm 3..

29 Poznámk 3.3 Má-li f Riemnnův integrál n [, b], má ho i n [c, d] [, b]. Příkld 3. V tomto příkldu si ukážeme, že spojitost funkce není nutnou podmínkou existence Riemnnov integrálu. Nechť f =, x [, ] =, x (, ]. Pro liché n volbu D = {,,,..., } dostneme n n s(f, D) = n i= n S(f, D) = i= inf x [x i,x i+ ] n f(x)(x i+ x i ) = inf f(x)(x i+ x i ) = x [x i,x i+ ] i= n i= [xi+ < ] n = n n [xi < ] n = n + n. Tedy S(f, D) s(f, D) =, proto Riemnnův integrál existuje lemm 3.. n Definice 3.7 Nechť f je reálná funkce n [, b] D je jeho dělení, pk σ(f, D, ξ) = f(ξ i )(x i x i ) se nzývá Riemnnovým součtem, kde ξ = {ξ,..., ξ n } ξ i [x i, x i ]. i= Definice 3.8 Pro dělení D D(, b) které má n + dělících bodů, oznčme N(D) množinu všech n-tic bodů ξ = {ξ,..., ξ n } splňující ξ i [x i, x i ], kde x i, i =,,..., n jsou dělící body dělení D. lim σ(f, D, ξ) = A ε > δ > : ( D < δ σ(f, D, ξ) A < ε, ξ N(D)) D Lemm 3.4 Je-li f omezená funkce n intervlu [, b], pk pro kždé ε > existuje δ > tkové, že pro kždé dělení D D(, b) splňující D < δ, pltí b f(x)dx s(f, D) < ε S(f, D) b f(x)dx < ε.

30 Důkz Pro ε > existuje dělení D D(, b) splňující b f(x)dx s(f, D ) < ε ( b f(x)dx) = s(f, D)). Oznčme M = sup(f(x) f(y)) (n + ) počet sup D D(,b) x,y [,b] dělících bodů dělení D. Zvolme δ = ε nechť D D(, b) je libovolné dělení nm splňující D < δ. Dále zvolme D = D D (nejmenší dělení, které je zjemněním dělení D i D, tj. dělení obshující všechny dělící body dělení D D le žádné dlší dělící body). Jelikož je D zjemněním dělení D i D, tk s(f, D) s(f, D ) s(f, D ) s(f, D ). Rozdíl součtů s(f, D ) s(f, D) lze shor odhdnout výrzem Mδ(n ), jelikož rozdíl suprém funkce f přes různé intervly je mximálně M, norm dělení D < δ je mximálně n intervlů dělení D ve kterých je lespoň jeden bod dělení D. Tedy s(f, D ) s(f, D) < Mδ(n ) = M ε nm (n ) < ε. Jelikož b f(x)dx s(f, D ) s(f, D ) > b f(x)dx ε, tedy b f(x)dx s(f, D ) s(f, D) > s(f, D ) ε b > f(x)dx ε. Obdobně dokážeme existenci δ > tkového, že pltí druhá nerovnost tedy pro menší z techto dvou delt pltí obě nerovnosti. Vět 3.5 Omezená funkce f má n intervlu [, b] Riemnnův integrál rovný A právě tehdy, když lim σ(f, D, ξ) = A. D Důkz ( ) Má-li funkce Riemnnův integrál, pk b f(x)dx = b f(x)dx = b f(x)dx. Mějme ε >, pk dle lemmtu 3.4 existuje δ > tkové, že pro všechn dělení D D(, b) splňující D < δ pltí b f(x)dx ε < s(f, D) b f(x)dx S(f, D) < b f(x)dx + ε. Jelikož pro všechn ξ N(D) pltí s(f, D) σ(f, D, ξ) S(f, D), tk dostáváme σ(f, D, ξ) b f(x)dx < ε, čímž je tto část důkzu hotov.

31 ( ) Zvolme ε >, pk existuje δ >, tkové že pro všechn D D(, b) splňující D < δ pro všechn ξ N(D) je σ(f, D, ξ) A < ε. Oznčme {x 4 i} množinu dělících bodů dělení D zvolme v kždém intervlu [x i, x i+ ] ξi+ d ξi+ h tk, že sup f(x) f(ξi+) h < ε 4(b ) f(ξd i+) x [x i,x i+ ] Pk σ(f, D, ξ d ) s(f, D) < ε S(f, D) σ(f, D, 4 ξh ) < ε. Pk A ε 4 inf f(x) < x [x i,x i+ ] ε. 4(b ) < s(f, D) S(f, D) < A + ε, tedy Riemnnův integrál existuje dle lemm 3. rovnost b f(x)dx = A dostneme limitním přechodem. Příkld 3.3 Nlezněte integrál xdx. Využijeme předchozí větu, tedy xdx = lim σ(x, D, ξ). D Zvolme D n = {, n, n,..., } ξ i = x i = i n, pk σ(x, D n, ξ) = f(ξ i )(x i x i ) = i= i= i n n = ( + n) n, tedy n xdx = lim n σ(x, D n, ξ) = lim n ( + n) n n =. Příkld 3.4 Nlezněte integrál x dx. Zvolme D n = {, n,...,, } ξ = {ξ n n i = i n }n x dx = lim n σ(x, D n, ξ) = lim n = lim n i= i n = lim 3 n n 3 i= i= i=. Pk ( ) i n n 6n 3 + n + n = lim = 6 n 6n 3 6 = 8 3. Příkld 3.5 Nlezněte integrál ex dx. i n(n + )(4n + ) = lim n n 3 6

32 Zvolme D n = {, n,...,, } ξ = {ξ n n i = i n }n i=. Pk e x dx = lim n σ(e x, D n, ξ) = lim n i= e i n n ( ) i = lim e e n n n = lim n n n n i= e n x = ( e) lim x + e = e. n = lim n n n i= = ( e) lim n Vět 3.6 Nechť existují Riemnnovy integrály b f(x)dx b g(x)dx. i) Pk existuje integrál b (f + g)(x)dx pltí b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + ii) Nechť c R, pk integrál z cf(x) existuje pltí Důkz i) b cf(x)dx = c b b f(x)dx. g(x)dx. σ(f + g, D, ξ) = σ(f, D, ξ) + σ(g, D, ξ). e i n n e n Oznčme b f(x)dx = A b g(x)dx = B, pk ε > existuje δ, δ tkové, že pro D splňující D < δ ξ N(D ) je σ(f, D, ξ ) A < ε pro D splňující D < δ ξ N(D ) je σ(g, D, ξ ) B < ε, tedy pro δ = min{δ, δ } pltí, že pro libovolné dělení D splňující D < δ kždé ξ N(D) pltí σ(f + g, D, ξ) (A + B) < ε). ii) Sndné domácí cvičení. Vět 3.7 Je-li f g n [, b] integrály b f(x)dx b g(x)dx existují, pk b f(x)dx b g(x)dx.

33 Důkz Oznčme h = f g, pk h(x) n [, b], tedy σ(h, D, ξ) b h(x)dx = b f(x)dx b g(x)dx. Vět 3.8 Má-li f Riemnnův integrál n [, b], má ho i f Důkz b b f(x)dx f(x) dx. ) Existence: Pltí tedy f(x) f(y) f(x) f(y), sup f(x) x [x i,x i+ ] inf f(x) x [x i,x i+ ] sup f(x) x [x i,x i+ ] inf f(x), x [x i,x i+ ] Pro všechn x i, x i+ D. Jelikož S( f, D) s( f, D) S(f, D) s(f, D) z existence integrálu b f(x)dx lemm 3. dostneme, že pro kždé ε > existuje D tk, že S(f, D) s(f, D) < ε, pk S( f, D) s( f, D) < ε, tedy integrál existuje (viz lemm 3.). b) Nerovnost: Jelikož σ(f, D, ξ) = f(ξ i )(x i x i ) i= f(ξ i ) (x i x i ) = σ( f, D, ξ), i= plyne nerovnost z věty 3.5. Vět 3.9 Nechť existují integrály b f(x)dx c f(x)dx. Pk existuje integrál c f(x)dx b je roven b f(x)dx + c f(x)dx. b

34 Důkz Existence plyne přímo z lemm 3., stčí pro ε > njít dělení D pro [, b] D pro [b, c] tk, že S(f, D ) s(f, D ) < ε S(f, D ) s(f, D ) < ε pk pro dělení D intervlu [, c] které obshuje všechny dělící body delení D D pltí S(f, D) s(f, D) < ε. Nechť D je dělení intervlu [, c] tkové, že b je dělícím bodem dělení D, pk D určuje dělení D, resp. D, intervlu [, b], resp. [b, c], pro ξ = (ξ, ξ ) dostneme σ(f, D, ξ) = σ(f, D, ξ ) + σ(f, D, ξ ). Prvá strn má pro D limitu b f(x)dx+ c f(x)dx, proto ji má i levá strn. b Vět 3. Existence ni hodnot integrálu se nemění, změníme-li funkci n konečně mnoh bodech. Důkz Nechť g(x) = f(x) n [, b] \ {c}, pk σ(f, D, ξ) σ(g, D, ξ) 4K D, kde K = mx{sup f(x), sup g(x) }. Dále limitním přechodem jko v přechozím důkzu. Obecný přípd (více bodů, kde se funkce f g nerovnjí) dostneme tk, že použijeme opkovně tento speciální přípd (funkce f g se nerovnjí v jednom bodě). Vět 3. (Postčující podmínky pro existenci integrálu) Je-li f omezená spojitá n [, b] ž n konečně mnoho bodů, pk má n [, b] Riemnnův integrál. Důkz Stčí dokázt pro funkci spojitou omezenou n (, b] pk využít větu 3.9. Nechť ε > nechť M = f = sup x [,b] f(x), dále nechť ã (, + ε ). 4M Jelikož f je spojitá n [ã, b], tedy má n tomto intervlu intergrál. Pk existuje dělení D = {x = ã, x,..., x n = b} tk, že S(f, D ) s(f, D ) < ε (lemm 3.). Oznčmě D = {x =, x,..., x n = b}, kde x,..., x n jsou dělící body dělení D, pk S(f, D) s(f, D) = sup f(x) + S(f, D ) ( inf f(x) + s(f, D )) x [,ã] x [,ã] = sup f(x) x [,ã] inf f(x) + S(f, x [,ã] D ) s(f, D ) < M(ã ) + ε < M ε 4M + ε = ε.

35 Vět 3. Nechť je f monotónní n [, b], pk má n [, b] Riemnnův integrál. Důkz Uvžujme f neklesjící. Pro N N oznčme D n dělení [, b] s dělícími body x i = + i(b ) M n i = f(x i ), m i = f(x i ), pk S(f, D n ) s(f, D n ) = (M i m i )(x i x i ) = i= = b n = i= i= (M i m i ) b n (M i M i ) = b n (M n M ) (b )(f(b) f()). n Pro libovolné ε > stčí zvolit n > (b )(f(b) f()) ε dostneme S(f, D n ) s(f, D n ) < ε, tedy integrál existuje dle lemm 3.. Definice 3.9 Je-li > b, definujeme b f(x)dx = b f(x)dx, pokud druhý integrál existuje. f(x)dx =. 3. Newtonův integrál Vět 3.3 Nechť f má Riemnnův integrál n kždém uzvřeném intervlu, který leží v intervlu J. Oznčme F c (x) = x f(t)dt, kde c, x J (c je zvoleno pevně). Pk c pro funkci F c (x) pltí: ) F c (x) je spojitá n J. ) Je-li f spojitá v bodě x, pk F c(x ) = f(x ). 3) Pro libovolné c, c J je F c (x) F c (x) konstntní funkce n J. Důkz

36 ) Nechť x je vnitřním bodem intervlu J, tedy existuje δ > tk, že (x δ, x + δ) J, pk F c (x + h) F c (x ) = x +h kde M = sup x J f(x). Tedy c f(x)dx lim F c(x + h) F c (x ) =, h Obdobně pro krjní body x intervlu J. x c f(x)dx = ) Nechť x je vnitřní bod intervlu J, chceme ukázt že 3) F (x + h) F (x ) h F (x + h) F (x ) lim h h f(x ) = h = h = h h x +h c x +h x x +h x x +h x x +h x lim h F c (x + h) = F c (x ). = f(x ). f(x)dx M h, x f(x)dx f(x)dx hf(x ) c x +h f(x)dx f(x )dx x f(x) f(x )dx f(x) f(x ) dx. Jelikož f je spojitá v x, tk pro kždé ε > existuje δ > tk, že f(x) f(x ) < ε pro x x < δ, tedy pro h < δ pltí f(x + h) f(x ) < ε. Pk dostneme tedy h x +h x f(x) f(x )dx h x +h F (x + h) F (x ) lim h h F c (x) F c (x) = f(x) f(x ) dx (hε) = ε, x h c c = f(x ). f(t)dt.

37 Důsledek 3.4 Je-li f spojitá n intervlu J, pk má n J primitivní funkci. Pro c J je primitivní funkce, která je v bodě c rovná nule, dán předpisem F (x) = x c f(t)dt. Vět 3.5 (Newtonov formule) Nechť f je spojitá n [, b], pk b f(x)dx = F (b) F (), pro libovolnou primitivní funkci F f n [, b]. Důkz Pro F (x) = x f(t)dt pltí F (b) F () = b f(t)dt f(t)dt = b f(t)dt. Je-li F libovolná primitivní funkce k f n [, b], pk F (x) = F (x)+c, kde c je reálná konstnt, tedy F (b) F () = (F (b) + c) (F () + c) = F (b) F () = F (b) = b f(t)dt. Poznámk 3.4 Píšeme b f(x)dx = [F (x)] b. Příkld e x dx. Jelikož primitivní funkce k f(x) = e x je F (x) = e x, tk 5 e x dx = [e x ] 5 = e 5. Vět 3.6 (integrce per prtes) Nechť f, f, g, g jsou spojité n [, b]. Potom b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b f (x)g(x)dx.

38 Důkz Nechť F (x) je primitivní funkce k funkci f g, pk podle věty.3 je G = fg F primitivní funkce k fg. Dle předchozí věty je tedy b f(x)g (x)dx = [fg F ] b = [fg] b [F ] b = [fg] b b f (x)g(x)dx. Příkld [ xe xe x x dx = Příkld 3.8 I n = Jelikož tk π ] 5 sin n xdx = 5 π = [ cos x sin n x] π + = (n ) π e x dx = 5e5 sin n x sin xdx π [ e x 4 ] 5 cos x (n ) sin n x cos xdx = 5e 5 ( e5 9 ) = + e ( sin x) sin n xdx = (n )(I n I n ) = n n I n. I = π sin xdx = π I n = π n i= (i ). n+ n! dx = π, Vět 3.7 Nechť φ je spojitá n [, b] f je spojitá n φ([, b]), pk Je-li φ, je tké b B A f(φ(t))φ (t)dt = f(x)dx = φ (B) φ (A) φ(b) φ() f(x)dx. f(φ(t))φ (t)dt.

39 Důkz Ob integrály existují dle věty 3.3. Je-li F (x) primitivní funkce k f, je F (φ(t)) primitivní funkce k f(φ(t))φ (t), tedy φ(b) φ() f(x)dx = [F ] φ(b) φ() = [F (φ)]b = b f(φ(t))φ (t)dt. Příkld 3.9 π x dx = x = sin t dx = cos tdt = = π + cos t dt = π Věty o střední hodnotě π sin t cos tdt = cos tdt Vět 3.8 Nechť má f n intervlu [, b] Riemnnův integrál. Je-li m = inf f(x) x [,b] M = sup f(x), potom existuje c [m, M], že pltí x [,b] b f(x)dx = c(b ). Je-li nvíc funkce f spojitá n intervlu [, b], pk existuje ξ [, b], že b f(x)dx = f(ξ)(b ). Důkz Jelikož m f(x) M n intervlu [, b], tk dle věty 3.7 dostneme b mdx b f(x)dx b Mdx, tedy m b f(x) dx M. Z existence integrálu n [, b] plyne b b f(x)dx b. existence c = Je-li f spojitá n [, b], pk pro kždé c [m, M] existuje ξ [, b] tk, že f(ξ) = c (viz. vět o nbývání všech mezihodnot - první semestr). Z předchozí části pk dostneme poždovné tvrzení.

40 Vět 3.9 Nechť reálné funkce f g mjí n [, b] Riemnnův integrál g je n [, b] nezáporná (nekldná). Je-li m = inf f(x) M = sup f(x), potom existuje c [m, M], x [,b] x [,b] že pltí b f(x)g(x)dx = c b g(x)dx. Je-li nvíc f spojitá n [, b], pk existuje ξ [, b] tk, že b f(x)g(x)dx = f(ξ) b g(x)dx. Důkz Je-li g(x) n [, b], pk dostneme mg(x) f(x)g(x) Mg(x), tedy dle věty 3.7 m b g(x)dx b f(x)g(x)dx M b g(x)dx. Je-li b g(x)dx, pk b stčí zvolit c = f(x)g(x)dx. Pro b g(x)dx = je i b b f(x)g(x)dx = tedy pltí g(x)dx rovnost pro libovolné c. Je-li f spojitá, postupujeme jko v předchézím důkzu, tj pro libovolné c [m, M] existuje ξ [, b] tkové, že f(ξ) = c, dále viz. předchozí postup. 3.3 Zobecněný Riemnnův integrál Definice 3. i) Nechť má funkce f Riemnnův integrál n kždém intervlu [, β] pro kždé β [, b), R, b R, b >. Existuje-li vlstní limit β lim β b f(x)dx = A, pk toto číslo nzveme zobecněným Riemnnovým integrálm funkce f n intervlu [, b]. Obdobně postupujeme pro intervl (, b]. ii) Nechť J je intervl s koncovými body, b R, < b. Existují-li body x < x <... < x n (, b) tk, že funkce f má zobecněný Riemnnův integrál n kždém z intervlů [, x ], [x, x ], [x, x 3 ],..., [x n, b] rovný A,..., A n, potom číslo n i= A i nzýváme zobecněným Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu [, b]. Příkld 3. dt = lim + t x Příkld 3. x dt = lim t x + x dt = lim + t x [rctgt]x = lim rctgx = π x. [ ] dx = lim t = lim ( x) =. t x + x x +

41 3.4 Aplikce Integrálu Délk křivky v R d : Pro určení délky křivky budeme tuto křivku proximovt lomenou čárou budeme zkoumt, jestli se při zjemňování dělení (přesnější proximci) součet délek lomených čr blíží k nějkému číslu. Toto číslo pk nzveme délkou křivky. Omezíme se n přípd jednoduché křivky třídy C, tj. křivky určené prmetrizcí φ(t) = (φ (t),..., φ d ()), t [, b], kde zobrzení φ je prosté n [, b], φ i(t) jsou spojité n [, b] φ = (φ,..., φ d ). Nechť D = { = t < t <... < t n = b je dělení [, b] položme ψ n (t) = φ(t i ) + φ(t i) φ(t i ) t i t i (t t i ), t [t i, t i ], i =,..., n. Pk délk l n lomené čáry ψ je l n = d (φ j (t i ) φ j (t i )). i= j= l n = = d (φ j (t i ) φ j (t i )) = i= j= d (φ j (ξ i,j)) (t i t i ). i= j= d (φ j (ξ i,j)(t i t i )) i= j= Pokud by ξ i, = ξ i, =... = ξ i,d, tk by l n byl Riemnnovým součtem funkce d j= (φ j (t)) při dělení D body ξ = (ξ,..., ξ n ) tedy délk křivky φ by byl určen integrálem b d (φ j (t)) dt. Stčí tedy ukázt, že pro zjemňující dělení konverguje výrz d (φ j (ξ i,j)) (t i t i ) d (φ j (ξ i)) (t i t i ) i= j= j= i= j=

42 k nule. Pltí d j d j= j= b j d ( j b j ) j= d j b j. Tedy pro tk jemné dělení D, že φ j(t) φ j(s) < ε pro všechn t, s [, b] splňující t s < D, pltí: d (φ j (ξ i,j)) (t i t i ) d (φ j (ξ i)) (t i t i ) i= j= i= i= j= j= d ( φ j(ξ i,j ) φ j(ξ i ) (t i t i ) dε(b ). j= Tedy pro D konverguje l n k integrálu b d j= (φ j (t)) dt. Poznámk 3.5 Sndno ukážeme, že pro křivku zdnou ve tvru y = f(x), [, b] je délk b l = + (f (x)) dx. x Příkld 3. Určete délku křivky x = cos t, y = sin t, t [, π]. l = π π ( sin t) + (cos t) dt = dt = π. Objem rotčního těles: Je-li f nezáporná spojitá funkce n [, b] je-li V těleso, které dostneme otáčením grfu funkce kolem osy x, potom jeho objem je roven π b f (x)dx. Příkld 3.3 Určete objem koule o poloměru R. Funkce f je určen predpisem f(x) = R x n [R, R], tedy R V = π R x = π R ] R [R x x3 = π(r 3 R3 3 R 3 ) = 4πR3 3.

43 Povrch rotčního těles: Je-li f spojitá n intervlu [, b] má n tomto intervlu spojitou derivci, pk lze povrch plášte rotčního těles, které vznikne rotcí křivky, jež je grfem funkce f, kolem osy x, vypočítt jko P = π b f(x) + (f (x)) dx. Příkld 3.4 Určete povrch koule o poloměru R. R ( ) x P = π R x + dx = π R x = πr R R R dx = 4πR. R R R x R R x dx