2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

Transkript

1 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály Určité integrály Aplikce v geometrii fyzice Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí Funkční řdy Mocninné řdy Trigonometrické Fourierovy řdy

2 Mtemtická nlýz Derivce V 7.století se mtemtici pokoušeli vyřešit tzv. Problém tečny - nlezení tečny ke grfu funkce Problém plochy - spočítt obsh plochy pod grfem funkce. N úspěšném vyřešení těchto problémů se nezávisle n sobě podíleli Isc Newton ( Příkld. : Máme uto, jehož ujetá dráh je popsán funkcí s(t. Chceme-li spočítt jeho průměrnou rychlost v v čsovém intervlu t, t, pk v s(t s(t t t. Rozdíl t t t se nzývá diference rgumentu, rozdíl s(t, t s(t s(t se nzývá diference funkce s v bodě t podíl s(t s(t t t se nzývá poměrná diference funkce s v bodě t. K výpočtu okmžité rychlosti v ut v čse t potřebujeme znát hodnotu ity v t t s(t s(t t t. Definice. : (derivce Necht funkce f je definován n okolí bodu U(x. Jestliže existuje it Gottfried Wilhelm von Leibniz ( Dlší rozvoj v této oblsti vedl k získání velkého množství mtemtických pozntků, které nzýváme klkulus. f(x f(x f (x ( f x, x x x x pk se nzývá derivce funkce f v bodě x. (Jestliže ±, pk hovoříme o nevlstní derivci. f(x f(x x x x x f(x f(x Jestliže existuje x x + x x f +(x, pk se nzývá derivce zprv. f(x f(x Jestliže existuje x x x x f (x, pk se nzývá derivce zlev funkce f v bodě x. Funkce f : x f (x, x I n množině I. se nzývá derivce funkce f y f(x x } f(x f(x x }{{} x x x x f(x Příkld. : Vypočítáme derivci funkce f(xx n, n N, x R. Dostneme f f(x f(x (x x x x x (x x (x n +x n x + +x x x x x n x x x n x n x x nx n (x n nx n.

3 Mtemtická nlýz 3 Definice. : Necht k funkci f : U(x R existují konstnt A funkce ω : U(x R tkové, že x U(x : f(x f(x A (x x + ω(x x x x ω(x x x x, pk řekneme, že funkce f je diferencovtelná v bodě x. Položíme h x x. Funkce df(x, h A h se nzývá diferenciál funkce f v bodě x. Vět. : Funkce f má derivci v bodě x (je derivovtelná v x právě tehdy, když je diferencovtelná v bodě x. Nvíc pltí df(x, h f (x h. Poznámk. :. Pro funkci f(x x je f(x f(x (x x + h. Tedy f (x df(x, h dx(x, h h, proto se pro diferenciál funkce f v bodě x zvádí znčení df(x, h f (x dx.. Diferenciál funkce f určuje hlvní (lineární změnu funkce f v bodě x používá se pro výpočet přibližných hodnot dné funkce n okolí bodu x pomocí vzthu f(x. f(x + f (x (x x. Npříkld pro funkci f(x x body x 4,, x 4 dostneme 4,. 4+ (4, 4, Rovnice tečny ke grfu funkce f v bodě [x, f(x ] má tvr y f(x f (x (x x. diferenciál funkce f y ω(h f (x h h x x x 4. Pokud f (x, pk rovnice normály ke grfu funkce f v bodě [x, f(x ] má tvr y f(x f (x (x x.

4 4 Mtemtická nlýz Vět. : (lgebr derivcí Necht existují derivce f (x, g (x, pk pltí: i ( f ± b g (x f (x ± b g (x,, b R, ((x + cos x e x cos x e x + (x + (cos x e x cos x e x +(x+( sin x e x + (x + cos x e x. ( (tg x sin x cos x cos x cos x sin x( sin x cos x cos x (tg x cos x. Derivce inverzní funkce y y x f (x f(x x ii (f g (x f (x g(x + f(x g (x, ( f (x iii f (x g(x f(x g (x, g(x g g. (x Vět.3 : (Derivce složené inverzní funkce Necht funkce f je diferencovtelná v bodě x, y f(x funkce g je diferencovtelná v bodě y, potom i složená funkce g(f(x je diferencovtelná v bodě x pltí (g(f(x (x g (y f (x. Necht f (x, pk pro derivci inverzní funkce f v bodě y f(x pltí Příkld.3 : (f (y f (x f (f (y.. ( x (e x ln (y x ln (e y (x ln e x ln ln ( x x ln.. (rctg y (y (tn x (x cos (x +tn (x +tn (rctn(y +(y (rctg x +x. cos (x +sin (x cos (x Npříkld (x (e ln x e ln x (ln x x (ln x (ln x x.

5 Mtemtická nlýz 5 Tbulk : Přehled derivcí zákldních funkcí (e x e x x R ( x x ln >,, x R (ln x x x (, (log x x ln >,, x (, (x α α x α α R, x (, (x n n x n n N, x R (sin x cos x (cos x sin x (tg x cos x (cotg x sin x x R x R x (k + π, k Z x kπ, k Z (rcsin x x x (, (rccos x x x (, (rctg x +x x R (rccotg x +x x R (sinh x cosh x (cosh x sinh x (tgh x cosh x x R x R x R (cotgh x sinh x x (rgsinh x x + (rgcosh x x x R x (, (rgtgh x x x (, (rgcotgh x x x (, (,

6 6 Mtemtická nlýz Integrály. Neurčité integrály Necht G, F jsou primitivní funkce k funkci f n množině M, pk x M pltí: (G F (x f(x f(x. Odtud vyplývá, že existuje konstnt C R tková, že G(x F (x C. Už víme, že derivce s (t funkce s(t popisující ujetou vzdálenost ut v závislosti n čse t udává jeho rychlost v(t. V této kpitole budeme řešit opčný problém. K dné rychlosti budeme hledt ujetou vzdálenost. Definice. : Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n množině M, jestliže x M : F (x f(x. Definice. : Množin všech primitivních funkcí k funkci f se nzývá neurčitý integrál funkce f znčí se f(x dx F (x + C, C R. Konstnt C se nzývá integrční konstnt. Znk integrálu f(x dx Integrnd Integrální proměnná Příkld. :. Funkce s(t popisující dráhu ut je primitivní funkcí k funkci v(t popisující rychlost ut.. Funkce x 3 +, x 3 3 jsou primitivní k funkci 3x n R pro neurčitý integrál k funkci 3x pltí 3x dx x 3 + C, C R. Úloh njít primitivní funkci je obrácená k úloze nlézt derivci dné funkce. Z linerity operce derivování (vět (. i plyne i linerit neurčitého integrálu. Vět. : Necht funkce f, g mjí primitivní funkce n intervlu I, α, β R, potom pltí [α f(x ± β g(x] dx α f(x dx ± β g(x dx. Příkld. : 3 e x sin x dx 3 e x dx sin x dx 3 e x + cos x + C. Ze znlosti derivcí zákldních funkcí lze odvodit následující primitivní funkce.

7 Mtemtická nlýz 7 Tbulk : Zákldní primitivní funkce e x dx e x + C x dx x + C ln x R >,, x R x n dx xn+ n+ + C n N, x R x dx ln x +C x R \ {} x α dx xα+ α+ + C α, x (, sin x dx cos x + C x R cos x dx sin x + C dx tg x + C x cos x dx cotg x + C x sin x x R (k + π, k Z kπ, k Z x dx rcsin x + C rccos x + C x (, dx rctg x + C rccotg x + C +x x R cosh x dx sinh x + C x R sinh x dx cosh x + C dx tgh x + C x cosh x x R R dx cotgh x + C x sinh x +x dx rgsinh x + C ln x + + x +C x R dx rgcosh x +C ln x + x x +C x (, dx rgtgh x + C x (, x dx rgcotgh x + C x (, (, x

8 8 Mtemtická nlýz Ze vzthu pro derivci součinu dvou funkcí (vět (. ii plyne následující vět. Vět. : (integrce per prtes Necht funkce u, v jsou derivovtelné n intervlu I existuje primitivní funkce k součinu u v n I, pk n I pltí u (x v(x dx u(x v(x u(x v (x dx. Příkld.3 : Podobně počítáme integrály funkcí x n cos kx, x n sin kx, x n e kx, k, n N. Podobně počítáme integrály funkcí rcsin x, rccos x, rctg x, R p. Vypočtěte integrál x cos x dx. [ ] u cos x v x x cos x dx u sin x v x sin x sin x dx x sin x + cos x + C. Vypočtěte integrál log x dx. [ ] u log x dx v log x u x v x ln x log x x ln + C. 3 Vypočtěte integrál (+x dx. u x v x log x x x ln dx Obecně oznčíme I n (+x dx, n N pomocí n metody per prtes dostneme I n [ ] u v x (+x dx n (+x n x( n x (+x n+ dx x (+x n + n (+x n n x (+x n+ +x x (+x dx n+ (+x + n n ( (+x n (+x dx x n+ (+x + n (I n n I n+. ( Odtud vyplývá I n+ x n (+x + (n I n n. Nyní vypočítáme (+x dx (n ( x (+x + ( ( +x dx x +x + rctn x + C.

9 Mtemtická nlýz 9 Vět.3 : (integrce substitucí Necht f : D(f H(f, g : D(g H(g H(f D(g. Jestliže funkce f je derivovtelná n D(f existuje primitivní funkce G k funkci g n D(g, potom n D(f pltí g(f(x f (x dx g(y dy G(f(x + C, C R. Příkld.4 : Větu.3 je vhodné použít v příkldech, kdy se v integrálu vyskytuje funkce f její diferenciál f dx, pk provedeme substituci z funkci f. ( cotg x dx cos x y sin x sin x dx dy cos x dx y dx ln y + C ln sin x + C. Obráceně je někdy výhodné proměnnou x nhrdit funkcí x(t. V tomto přípdě všk musíme mít zručenou existenci inverzní funkce x (t. x dx ( x cos t t (, π dx sin t dt t rccos x ( sin t dt ( pro t (, π cos sin t t sin t dt je sin t > dt t + C rccos x + C. Typickými integrály, které lze spočítt pomocí věty o substituci jsou ln x tg x dx ; x dx ; rcsin x x dx ; rgsinh x + x dx p. Integrály typu R(x dx Nejdříve budeme integrovt zákldní rcionální funkce typu. A x x dx, kde A, x R. ( 3 u x 4 x 4 dx 3 du dx u du 3 ln x 4 + C. Rcionální lomené funkce mjí tvr R(x P (x Q(x, kde P (x, Q(x jsou polynomy.. A (x x dx, kde A, x k R, k N \ {}. ( u x ( x dx 3 du dx ( x + C. u 3 ( du u 3. Ax+B x +px+q dx, kde A, B, p, q R jmenovtel zlomku má komplexní kořeny. x+ x +x+ dx ( x+ u x x +x+ dx + x + du (x + dx

10 Mtemtická nlýz ( u du v x + (x+ + dx ln u +C dv dx v + dv ln x + x + rctg (x + + C. 4. Ax+B dx, kde A, B, p, q R, k N \ {} jmenovtel zlomku má komplexní (x +px+q k kořeny. 6x 3 (x +4 dx 3 ( x u x (x +4 dx + 4 du x dx 3 u du 3 ( v x dx 6(( x + dv dx 3 u + C 3 ( ( v v + + rctg v (v + dv (viz příkld (. 3 3 x +4 + C 3 x ( x x +4 + rctg x + C. Rozkld n prciální zlomky je inverzní o- perce k operci hledání společného jmenovtele. V přípdě, kdy stupeň P (x stupeň Q(x, nejdříve vydělíme polynom P (x polynomem Q(x pk přejdeme k prciálním zlomkům. Rozkld n prciální zlomky Z lgebry víme, že polynom Q(x lze rozložit n součin polynomů nejvýše druhého stupně. Tedy Q(x (x x i k i (x +p j x+q j r j, k i, r j N, p j, q j R. i,...,n j,...,m Rcionální lomenou funkci R(x P (x Q(x, kde P (x, Q(x jsou polynomy stupeň P (x < stupeň Q(x rozložíme n součet zákldních rcionálních funkcí: R(x n A i x x i + A i (x x i + + A k i (x x i + m B j x+c j k i x +p j x+q j + B j x+c j (x +p j x+q j + i + B r j x+c rj (x +p j x+q j r j jednotlivé zlomky integrujeme zvlášt, npříkld: x+ x 4 x 3 +x x+ dx x+ (x (x + dx A x + B (x + Cx+D x + dx A(x (x ++B(x ++(Cx+D(x (x (x + j dx x + (x + x x + dx ln x (x + ln x + rctg x + C. Konstnty A, B, C, D vypočítáme z rovnosti x + A(x (x + + B(x + + (Cx + D(x. Pro x je 4 B B. Pro x i je i + (Ci + D(i i + C id C, D. Pro x je A( + A.

11 Mtemtická nlýz Integrály typu R(sin x, cos x dx Řešíme přechodem k rcionálním lomeným funkcím pomocí následujících substitucí.. Pokud R( sin x, cos x R(sin x, cos x, pk t cos x. Pokud R(sin x, cos x R(sin x, cos x, pk t sin x. ( t cos x sin x cos x dx t dt sin x dx dt t3 3 + C cos3 x 3 + C. ( t sin x t, cos x dx dt dt cos x dx cos x cos x dt dt sin x t rgtgh t + C rgtgh (sin x + C. Zákldní vzthy pro goniometrické funkce cos x + sin x cos x cos x sin x cos +cos x x sin cos x x sin x sin x cos x.. Pokud R( sin x, cos x R(sin x, cos x, pk t tg x, x (k+π, k Z pltí ttg x t sin x cos x x rctg t, dx dt +t, sin x t +t, cos x +t. dx sin x+ t ( u t du dt +t dt +t +t + t ++t dt +t ( dt t + du u + rctg ( tg x + C. V některých speciálních přípdech je vhodné použít zákldní vzthy pro goniometrické funkce. dx sin x+cos x sin 4 x sin 4 x ( u cotg x du dx sin x Metod snižování stupně. cos x dx +cos x ( u x du dx dx sin x + sin x cotg x dx cotg x u du cotg x cotg 3 x 3 +C. dx (x + [ + cos x] dx cos u du x + 4 sin x + C. 3. V obecném přípdě používáme univerzální substituci t tg x, x (k + π, k Z. Potom x rctg t, dx dt +t, sin x t +t, cos x t +sin x dx ( u t + du dt 4 3 dt +t dx dt + t +t t +t+ dt (t t. du ( du v u (( 3 u + 3 u dv 3 du 3 dv v + 3 rctg v + C 3 rctg ( 3 tg x C. t cos x cos x cos x(t + cos x +t.

12 Mtemtická nlýz Pro jednoduchost si nyní předstvíme, že rychlost nšeho ut je konstntní v(t c. Ujetá dráh ut s(t v čse t od počátku měření v čse t je pk dán vzthem s(t s(t c (t t. Rozdíl s(t s(t se zároveň rovná ploše pod grfem funkce v n intervlu t, t. Připomeňme, že funkce s(t je primitivní k funkci v(t. Pltí, že i v obecnějším přípdě lze primitivní funkci využít k výpočtu plochy pod grfem funkce.. Určité integrály Definice.3 : Necht k funkci f :, b R existuje primitivní funkce F :, b R (v krjních bodech uvžujeme jednostrnné derivce. Pk rozdíl F (b F ( nzýváme Newtonovým určitým integrálem funkce f n intervlu, b píšeme F (b F ( b f(x dx. Uvedený vzth se nzývá Newtonov-Leibnizov formule tké píšeme F (b F ( [F (x] b Číslo se nzývá dolní mez, číslo b se nzývá horní mez Newtonov integrálu. Množinu všech funkcí, které mjí Newtonův integrál n intervlu, b znčíme N (, b. b f. Vět.4 : (vlstnosti Newtonov integrálu Newtonův integrál nezávisí n volbě primitivní funkce. Necht f N (, b, c, b, pk pltí b b f(x dx f(x dx c b f(x dx, f(x dx + b c f(x dx. f(x dx, 3 Necht f, g N (, b, α, β R, pk pltí b αf(x + βg(x dx α b f(x dx + β (Tedy množin N (, b je lineární prostor. Příkld.5 : x dx [x + C] [x ] 4. b g(x dx. π π [3 cos x sin x] dx 3 cos x dx + sin x dx π 3 [sin x] π + [ cos x] π 3 ( ( ( 4.

13 Mtemtická nlýz 3 Následující dvě věty vyplývjí z vět (. (.3. Vět.5 : (per prtes v Newtonově integrálu Necht funkce u, v jsou derivovtelné n intervlu, b (v krjních bodech zprv, popř. zlev u v N (, b, potom tké u v N (, b pltí b u (x v(x dx Příkld.6 : [ ] b b u(x v(x Vypočtěte integrál u(x v (x dx. e x sin x dx. Metodu per prtes použijeme dvkrát. [ ] u e x sin x dx e x v sin x u e x v [e cos x x sin x] [ ] u e x cos x dx e x v cos x u e x v [e sin x x sin x] [e x cos x] e x sin x dx. Odtud vyplývá e x sin x dx [ex (sin x cos x] e (sin cos +. Vět.6 : (substituce v Newtonově integrálu Necht f : D(f H(f, g : D(g H(g H(f D(g. Jestliže funkce f je derivovtelná n D(f existuje primitivní funkce G k funkci g n D(g, potom pro, b D(f pltí b g(f(x f (x dx f(b g(y dy G(f(b G(f(. Produkce plynu Ze zkušeností víme, že nový vrt produkuje si f(t. t e.t milionů kubických metrů plynu z t měsíců. Pokud chceme odhdnout celkovou produkci P (t vrtu z jeden rok, pk musíme spočítt integrál P (t. t e.t dt. Pomocí metody per prtes dostneme. t e.t dt ( [t e.t ] + e.t dt.. f( Příkld.7 : π x dx cos t dt sin t dt [t] π π. ( x sin t sin π dx cos t dt sin b b π, je cos t > ( cos t pro t ( π cos t dt e ln x dx x ( y ln x dy dx x ln e ln [ y dy ] y. π

14 4 Mtemtická nlýz Definice.4 : (nevlstní integrál vlivem meze Necht funkce f N (, b pro kždé b >. Necht existuje b it f(x dx, pk se nzývá nevlstní Newtonův b integrál vlivem meze píšeme Integrál sin x dx neexistuje, někdy je proto vhodné prcovt s hlvní hodnotou nevlstního integrálu, která je definován vzthem v.p. f(x dx c c c f(x dx. (v.p. je z frncouzského vleur principle. b f(x dx b f(x dx. Znčíme f N (, říkáme, že nevlstní integrál konverguje; v opčném přípdě diverguje. Anlogicky f(x dx b c f(x dx f(x dx + c b f(x dx definujeme f(x dx, c R. Příkld.8 : x α b dx x α dx [ b b α+ (bα+ ] { α > diverguje α+ α < konverguje. x dx [ln b x ]b [ln x] diverguje. Podobně pro nevlstní integrál vlivem funkce definujme hlvní hodnotu vzthem v.p. c ( b δ δ + c b+δ f(x dx f(x dx + f(x dx. Definice.5 : (nevlstní integrál vlivem funkce Necht t (, b je funkce f N (, t f N (, b. Necht existuje it t b t f(x dx, pk se nzývá nevlstní Newtonův integrál vlivem funkce píšeme t t b f(x dx b f(x dx. Znčíme f N (, b říkáme, že nevlstní integrál konverguje, v opčném přípdě diverguje. Anlogicky b f(x dx t + b t f(x dx.

15 Mtemtická nlýz 5 Příkld.9 : x α dx t + t x α dx [ t + α+ ( tα+ ] { α < diverguje α+ α > konverguje. x dx [ ln x t + ] t [ln x] diverguje.

16 6 Mtemtická nlýz.3 Aplikce v geometrii fyzice Při zvedení Riemnnov integrálu jsme sčítli nekonečně mnoho nekonečně mlých ploch - tzv. elementů dostli jsme vlstně obsh plochy pod grfem funkce f. Tento postup lze použít i při výpočtu objemu těles, délek křivek, vykonné práce p. Popis Vzth Obrázek Ploch pod grfem funkce Ploch S je ohrničen grfem funkce f, přímkmi x, x b osou x. S b f(x dx Element plochy ds f(x dx Objem rotčního těles Objem V těles vzniklého rotcí plochy pod grfem funkce f kolem osy x. b V π f (x dx Element objemu dv πf (x dx Délk křivky Délk s křivky určené grfem funkce f. s b + (f (x dx Element délky ds. (dx + (df (dx + f (x (dx + f (x dx Povrch rotčního těles Velikost S plochy vzniklé rotcí grfu funkce f kolem osy x. b S π f(x + (f (x dx Element povrchu ds. πf(x ds πf(x + f (x dx

17 Mtemtická nlýz 7 3 Posloupnosti řdy funkcí Motivce Při řešení počáteční úlohy y (x y(x, y( můžeme formálním derivováním dostt y (x y (x,, y (n+ (x y (n (x, y (n (. Tylorův rozvoj funkce y v bodě tedy bude mít tvr y(x y( + y ((x + y(n ( (x n + n! n x n n!. Řešení úlohy jsme dostli ve tvru tzv. mocninné řdy, kterou budeme zkoumt v této kpitole. Rovnici y y řeší exponenciální funkce e x, jejíž Tylorův rozvoj je n x n n!. 3. Posloupnosti funkcí Definice 3. : Předpokládejme, že funkce f, f, f 3,... jsou definovány n množině M R. Potom zobrzení F : n f n, n N se nzývá posloupnost funkcí n množině M. Znčíme F {f n } n, zkráceně {f n }. Definice 3. : Posloupnost {f n } + n konverguje v bodě x M, když číselná posloupnost {f n (x } + n konverguje. Posloupnost {f n } + n konverguje bodově n množině M, když pro kždé x M číselná posloupnost {f n (x} + n konverguje. Množinu M pk nzýváme oborem bodové konvergence n M je definován funkce f f(x vzthem f(x f n (x, x M. Funkce f se nzývá bodová itní funkce posloupnosti {f n } + n, znčíme f n f. Př. f n (x xn n!, M R. Posloupnost funkcí {f n } + n je omezená n množině M, existuje-li konstnt K > tková, že pro všechn x M pro všechn n,,... pltí f n (x K. Posloupnost f n (x cos nx je omezená n množině M R konstntou K. Příkld 3. : Posloupnost f n (x x n konverguje bodově k funkci f n množině M R. Posloupnost {x n } + n, M, má bodovou itu x,, f(x { x.

18 8 Mtemtická nlýz Poslední příkld ilustruje situci, kdy posloupnost funkcí spojitých konverguje bodově k funkci nespojité. Proto bodovou konvergenci vylepšíme. Pokud posloupnost konverguje stejnoměrně, pk zřejmě konverguje i bodově. Uvedeme ekvivlentní definice konvergence posloupnosti funkcí. Bodová konvergence n M: x M ε > n (ε, x n > n : f n (x f(x < ε, Stejnoměrná konvergence n M : ε > n (ε x M n > n : f n (x f(x < ε. Definice 3.3 : Řekneme, že posloupnost {f n } + n konverguje stejnoměrně n množině M k funkci f f(x, jestliže sup f n (x f(x. x M Znčíme f n f. Funkci f nzýváme stejnoměrnou itou. Příkld 3. : (pokrčování příkldu (3. Posloupnost {x n } n, nekonverguje stejnoměrně. Pltí totiž sup x, x n f(x n N. Zvolíme-li δ (,, potom n intervlu, δ posloupnost {x n } konverguje stejnoměrně, nebot pro x, δ je f(x sup x n δ n pro n. x,δ Zároveň pltí x n x n N, f(x. x Jinými slovy: x n (x n. x x n (x. x x Vidíme, že ity nelze změnit. Příkld 3.3 : protože Zároveň Necht f n (x sin nx n f n(x f(x n R, n,,.... Potom sin nx sup, tk f n. x R n n f n( n cos( +, le ( f n ( f (x. Vidíme, že derivce itní funkce není itou posloupnosti derivcí. Říkáme, že dnou posloupnost {f n } nelze derivovt člen po členu.

19 Mtemtická nlýz 9 Příkld 3.4 : Necht f n (x nx( x n, x,. Potom f(x f n (x x,. Zároveň pro integrály členů posloupnosti pltí f n (x dx nx( x n n dx n + všk ( f n(x dx f(x dx. Vět 3. : (Postčující podmínk spojitosti, diferencovtelnosti integrovtelnosti itní funkce, záměnnosti it Je-li {f n } posloupnost spojitých funkcí n intervlu I, která n I konverguje stejnoměrně k funkci f, potom funkce f f(x je tké spojitá n I. Opět vidíme, že nelze změnit pořdí itování integrování, tj. it posloupnosti integrálů není rovn integrálu z ity. Říkáme, že dnou posloupnost nelze integrovt člen po členu. b Jestliže posloupnost {f n } Riemnnovsky integrovtelných funkcí (f n R(I, I, b konverguje stejnoměrně n I k funkci f(x, potom f R(I pltí b b f n (x dx b f n(x dx f(x dx. c Jestliže posloupnost {f n } konverguje v nějkém bodě x I, b, f n jsou diferencovtelné funkce n I posloupnost derivcí {f n} konverguje stejnoměrně n I, potom i posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně n I, itní funkce f(x f n (x je diferencovtelná funkce n I pltí f n(x [ f n(x ] f (x. d Necht f n f n (, b pro kždé n N existuje vlstní it f n(x c n. Pk existují vlstní ity x + c n, f(x jsou si rovny. x +

20 Mtemtická nlýz Výrz + + xn n! + + n x n n!, je řdou funkcí, x, x,... definovných! n R. Pro kždé pevné x R dostáváme číselnou řdu, která konverguje, nebot podle d Alembertov kritéri je x n+ x n+ (n+! x n n! (<. Z bsolutní konvergence řdy plyne (nebsolutní konvergence řdy (viz vět 5., MA. 3. Funkční řdy Definice 3.4 : Necht {f n (x} + n je posloupnost funkcí definovných n množině M. Potom výrz n f n (x f (x + f (x + se nzývá nekonečná řd funkcí n množině M. Funkce s n (x n f k (x f (x + f (x f n (x k se nzývá n-tý částečný součet řdy {s n (x} je posloupnost částečných součtů řdy. Existuje-li s n(x s(x, x M, potom funkce s(x, x M, se nzývá součet řdy n f n (x. Říkáme, že řd konverguje k funkci s(x množin M se nzývá obor konvergence řdy. Jestliže konverguje řd + f n (x, potom říkáme, že řd n n f n (x konverguje bsolutně. Příkld 3.5 : Řd x + x + x + x ( + x x ( + x +... n K tomu, by součet s(x řdy f n (x, n kde f n (x jsou spojité funkce, byl spojitý, potřebujeme podle věty (3., by posloupnost částečných součtů {s n (x} konvergovl k součtu s(x stejnoměrně. je geometrickou řdou s kvocientem q +x <, x, tedy konverguje pro kždé x (, + (pro x je sice q, le řd se skládá ze smých nul. Její součet je s(x x x x +x { + x x, x. +x Tedy součet řdy spojitých funkcí existuje, le není to spojitá funkce.

21 Mtemtická nlýz Vět 3. : (Weierstrssovo kritérium stejnoměrné konvergence řdy funkcí Necht f n (x je řd funkcí n množině M + b n je n n číselná řd s nezápornými členy b n. Necht dále pltí f n (x b n n N x M řd + b n konverguje. Potom řd + f n (x konverguje n n stejnoměrně bsolutně n M (tj. konverguje stejnoměrně n M tké řd + f n (x. b n n Řd + Příkld 3.6 : n se nzývá mjornt řdy + f n (x. Řd + n cos nx n n konverguje podle vět (3. (3. stejnoměrně ke spojité funkci, nebot její mjornt n n je konvergentní. Německý mtemtik Krl Theodor Wilhelm Weierstrss ( se význmně podílel n budování teorie funkcí komplexní proměnné pomocí mocninných řd. Věřil, že mtemtik nesmí ztrácet kontkt s osttními vědmi přispěl k rozvoji mtemtické fyziky, optiky stronomie. 3.3 Mocninné řdy Definice 3.5 : Necht { n } je posloupnost reálných čísel. Potom + n (x x n, x R, n se nzývá mocninná řd se středem v bodě x R. Vět 3.3 :. Konverguje-li mocninná řd + n n (x x n v bodě x x, potom konverguje bsolutně v kždém bodě x otevřeného intervlu určeného nerovností x x < x x.. Diverguje-li mocninná řd v bodě x, potom diverguje v kždém bodě x splňujícím nerovnost x x > x x. Z věty (3.3 vyplývá, že existuje číslo R tkové, že mocninná řd + n n (x x n konverguje bsolutně pro x splňující nerovnost x x < R diverguje pro x splňující nerovnost x x >R.

22 Mtemtická nlýz O konvergenci či divergenci mocninné řdy v krjních bodech x R x + R nelze obecně nic říci. V těchto bodech řd bud konverguje, nebo diverguje v závislosti n posloupnosti { n }. V krjních bodech oboru konvergence musíme vyšetřit dnou řdu smosttně. Pro x řd n ( n n konverguje podle Leibnizov kritéri. Pro x dostneme hrmonickou řdu +, která n diverguje. n Použijeme-li odmocninové kritérium, pk obecně chceme, by pltilo n n (x x n n n x x <. Podobně z podílového kritéri plyne n+(x x n+ n(x x n n+ n x x <. Definice 3.6 : (Poloměr konvergence Číslo R s výše uvedenou vlstností se nzývá poloměr konvergence mocninné řdy. V přípdě, že mocninná řd konverguje pro kždé x R, kldeme R +. Příkld 3.7 : Máme řdu + n x n n!. Pro pevné x R zkoumáme bsolutní konvergenci této řdy pomocí podílového kritéri (vět 5.6 MA. Protože x (n+ x (<, n + (n+! x n n! tk dná řd konverguje pro všechn x R, tj. R +. b Máme řdu + n. Nyní použijeme itní odmocninové kritérium (vět 5.6 MA. Protože x n n n x n n x, tedy dná řd konverguje pro všechn x splňující x <, diverguje pro všechn x splňující x > poloměr konvergence R. Výpočet poloměru konvergence mocninné řdy Z odmocninového (Cuchyov kritéri lze odvodit pro poloměr konvergence vzorec: Jestliže existuje kritéri dostneme R n+ n n sup n., pk z podílového (d Alembertov R n+ n.

23 Mtemtická nlýz 3 Vět 3.4 : (Stejnoměrná konvergence mocninné řdy Necht R (, je poloměr konvergence mocninné řdy n n (x x n < ε < R, potom mocninná řd konverguje stejnoměrně n uzvřeném intervlu x R+ε, x + R ε. Vět 3.5 : (o derivci integrci mocninné řdy Mocninné řdy g(x n d dx [ n(x x n ], F (x x n mjí stejný poloměr konvergence R jko řd s(x n n (x x n x n (t x n dt pltí s (xg(x, F (xs(x pro kždé x (x R, x +R. Důsledek 3.: Mocninnou řdu lze uvnitř oboru konvergence derivovt integrovt člen po členu, tj. derivce součtu se rovná součtu derivcí integrál součtu se rovná součtu integrálů. Příkld 3.8 : Pomocí předchozí věty (3.5 njdeme součet řdy +. Jejím derivováním dostneme geometrickou n řdu + n x n n x n x. Zpětně po integrování pltí ln x pro x (,. n x n n Definice 3.7 : Necht funkce f f(x má derivce všech řádů v bodě x. Mocninná řd n f (n (x n! (x x n, se nzývá Tylorov řd funkce f. Jestliže se nvíc součet Tylorovy řdy rovná funkci f, pk se funkce f nzývá nlytická funkce n oboru konvergence. Pro x (, je s(x + x k. x k Pro n tý částečný součet této řdy pltí s n (x n x k xn+ k x. Potom s n (x s(x xn+ x sup xn+ +. x x < Odtud plyne, že řd x k k nekonverguje stejnoměrně n intervlu (,. Příkldy nlytických funkcí jsou e x + n! xn, sin x n n ( n (n+! xn+, cos x + n ( n (n! x n. Kždá mocninná řd je Tylorovou řdou svého součtu, le ne kždá Tylorov řd funkce f konverguje k funkci f. Npříkld funkce f(x x má v bodě x všechny derivce její Tylorov řd je (x +(x x, což není původní funkce (pro x <. Úloh nlézt Tylorovu řdu funkce f se nzývá rozvoj funkce f v mocninnou řdu.

24 4 Mtemtická nlýz Tylorov metod řešení počátečních úloh Mocninné řdy se používjí v teorii proximcí, při konstrukci primitivních funkcí, při řešení diferenciálních rovnic velmi čsto v teorii funkcí komplexní proměnné. Předpokládejme, že řešení y(x počáteční úlohy má v bodě x derivce všech řádů. Řešení pk hledáme ve tvru y(x y(x + y (x (x x + y (x (x x +...! hodnoty y(x, y (x,... z počátečních podmínek. Příkld 3.9 : Řešíme počáteční úlohu určíme z diferenciální rovnice y xy, y( 4, y ( 3. Z počátečních podmínek plyne y(x 4 + 3(x + y ( (x +....! Z rovnice dostneme postupným derivováním: y (x x y(x y ( y(, y (x y(x + x y (x y ( y( + y ( 4, y IV (x y (x + y (x + x y (x y IV ( y ( + y ( 3,. y (n (x (n y (n 3 (x + x y (n (x y (n ( (n y (n 3 (. Obecně y (3n ( (3n (3n 5 4 4, y (3n+ ( (3n (3n 4 5 3, y (3n+ (. Po doszení do předpokládného tvru řešení dostneme: y(x 4 + 3x + 4 3! x ! x x+ 4 (3n (3n 5 4 (3n! x 3n +3 (3n (3n 4 5 (3n+! x 3n+. n Poznámk 3. : Aby výše uvedený formální postup byl oprávněný, musíme dokázt konvergenci vypočtené Tylorovy řdy. To všk může být dleko komplikovnější než celý předcházející výpočet.

25 Mtemtická nlýz 5 Metod neurčitých koeficientů (pro řešení diferenciálních rovnic Tto metod se používá ke stnovení fundmentálního systému lineární diferenciální rovnice. Předpokládáme, že řešení y(x je ve tvru mocninné řdy se středem v bodě, tedy y(x n n x n + x + x Formálním derivováním člen po členu dostáváme y (x + n n x n n y (x + n(n n x n n td. Po doszení do rovnice využití počátečních podmínek vypočítáme koeficienty n, n,,,.... Příkld 3. : Řešíme počáteční úlohu y xy, y(, y (. Po doszení z y(x, y (x obdržíme: n n Odtud plyne: n(n n x n x n n x n [(n + (n + n+ n ]x n +., 3 3, 4 4 3, 5 5 4, , , td. Dostáváme tedy y(x ( + x3.3 + x x 3n (3n 3n (x + x x x 3n n(3n Z počátečních podmínek obdržíme y(, y (. Je možné ukázt, že výše uvedená mocninná řd má poloměr konvergence R +, tj. řešení počáteční úlohy je definováno n celém R. Obecné řešení rovnice y xy můžeme tedy psát ve tvru y(x y (x + y (x, kde y (x + x3 3 + x , y (x x + x x Funkce y, y jsou lineárně nezávislá řešení dné rovnice, která tvoří fundmentální systém.

26 6 Mtemtická nlýz Dosud jsme funkce hledli ve tvru mocninné řdy, vyjdřovli jsme je v bázi polynomů, x, x,.... Nyní zvedeme novou bázi trigonometrických funkcí, sin x, cos x, sin x, cos x, Trigonometrické Fourierovy řdy Definice 3.8 : (Fourierov řd podle zákldního systému Necht f R( π, π. Trigonometrická řd + + ( k cos kx + b k sin kx, k jejíž koeficienty jsou určeny vzorci k π π f(ξ cos kξ dξ, k,,,..., b k π π π π f(ξ sin kξ dξ, k,, 3,..., se nzývá Fourierov řd funkce f podle (zákldního trigonometrického systému {, cos x, sin x, cos x,...}. Koeficientům k, b k určeným uvedenými vzorci se říká Fourierovy koeficienty funkce f příslušné Fourierově řdě se tké říká Fourierův rozvoj funkce f. Říkáme, že funkce cos kx, sin nx jsou ortogonální. Fourierovy řdy (pokud konvergují předstvují nlytické vyjádření π-periodických funkcí získných měřením periodických dějů (kmitů, signálů, pod.. Poznámk 3. : Chceme formálně vyjádřit funkci f ve tvru f(x + + ( k cos kx + b k sin kx. Po vynásobení k π funkcí sin nx integrování dostneme f(x sin nx dx π π sin nx dx + + π k π Zároveň pro k n je π π sin kx sin nx dx cos kx sin nx dx. Odtud plynou vzthy pro k, b k. π ( k cos kx + b k sin kx sin nx dx. π π π π (sin nx dx π, jink le pltí Příkld 3. : Stnovíme Fourierovu řdu funkce f(x x, x π, π podle zákldního trigonometrického systému, tj. ve tvru + + ( k cos kx + b k sin kx. k Vypočteme koeficienty k, b k :

27 Mtemtická nlýz 7 k π π ξ cos kξ dξ, k,,,..., π π π b k ξ sin kξ dξ ξ sin kξ dξ ( k π π k, k,.... π Výsledek píšeme ve tvru: [ sin x f(x sin x + sin 3x 3 ]... + ( k sin kx +... k Příkld 3. : Vypočítáme Fourierovu řdu π-periodického prodloužení funkce f(x x, x π, π podle zákldního trigonometrického systému. π π ξ dξ π 3, π π π k π ξ cos kξ dξ π ξ cos kξ dξ 4 ( k k, π π b k π ξ sin kξ dξ, k,, 3,.... π [ ] f(x π 3 4 cos x cos 3x cos x Protože periodické prodloužení funkce f je spojitá funkce má po částech spojitou derivci, pltí podle věty (?? rovnost s(πf(π π 3 4[ cos π cos 3π cos π ] π. Tedy π 6 k. Cvičení 3. : k Njděte Fourierovu řdu funkce f(x {, π x, x, < x < π, podle zákldního trigonometrického systému, tj. ve tvru + + ( k cos kx + b k sin kx. k [ f(x π ( 4 π cos x + cos 3x + cos 5x ( sin x sin x + sin 3x.... ] 3 Integrál liché funkce n symetrickém intervlu je nulový. Integrál sudé funkce n symetrickém intervlu, se rovná dvojnásobku dného integrálu n polovičním intervlu,. V příkldu 3. je f( π π, le součet řdy v bodě π je nul. V příkldu 3. je f(π + π, f(π π, tedy f( π ++f( π, což odpovídá součtu Fourierovy řdy.

28 8 Mtemtická nlýz Zákldní úloh Fourierovy nlýzy K dné periodické funkci f(x, x R (tj. npř. k periodickému prodloužení funkce dné n intervlu, + T máme určit frekvence ω k hrmonických složek, b mplitudy r k hrmonických složek (tj. koeficienty k, b k, c fáze ϕ k hrmonických složek, Chceme, by pltilo k cos α + b k sin α r sin(ϕ + α r sin ϕ cos α + r cos ϕ sin α. Tedy k r sin ϕ, b k r cos ϕ r k + b k, ϕ rctg k b k. neboli Fourierovu řdu funkce f vyjádřit ve tvru + k ( k cos πkx + b k sin πkx T T potom r k k + b k, k ω k πk T, tzv. hrmonická složk {}}{ r k sin(ω k x + ϕ k, ϕ k rctg k b k. Zákldní úloh Fourierovy syntézy Ze známých frekvencí, mplitud fází určit ( rekonstruovt funkci f(x, která je součtem řdy r k sin(ω k x + ϕ k, určit k její hodnoty ve vybrných bodech x R.

29 Mtemtická nlýz 9 Reference [] [] Čížek, Kubr, Míková: Sbírk příkldů z mtemtické nlýzy I., skript ZČU Plzeň 997 Čížek, Kubr, Míková: Seminář z mtemtické nlýzy I., skript ZČU Plzeň 995 [3] Drábek, Mík: Mtemtická nlýz I., skript 996 ZČU Plzeň [4] Schwbik, Šrmnová: Mlý průvodce historií integrálu, Prometheus, Prh 996