Fakulta aplikovaných věd

Transkript

1 Zápdočeská univerzit v Plzni Fkult plikovných věd Diplomová práce Mgr. Ev Kleknerová RŮZNÉ TYPY INTEGRÁLŮ A JEJICH APLIKACE Fkult plikovných věd Vedoucí diplomové práce: RNDr. Petr Tomiczek, CSc. - KMA Studijní progrm: Učitelství mtemtiky pro střední školy, mtemtik - technická geometrie

2 ii Rád bych n tomto místě poděkovl pnu RNDr. Petru Tomiczkovi, CSc. z vedení mé práce z poskytnuté odborné rdy. Rád bych poděkovl tké pnu RNDr. Josefu Voldřichovi, CSc. z pomoc při studiu náročnějších prtií mtemtické nlýzy. Prohlšuji, že jsem svou diplomovou práci npsl smosttně výhrdně s použitím citovných prmenů. Souhlsím se způjčením práce. V Plzni dne Ev Kleknerová

3 iii Obsh 1 Úvod Obsh práce Historie integrálu ve zkrtce Newtonův integrál Primitivní funkce Neurčitý integrál Vlstnosti neurčitého integrálu Metody integrce Určitý integrál Definice Newtonov určitého integrálu Vlstnosti Newtonov integrálu Riemnnův integrál Drbouxov definice určitého Riemnnov integrálu Původní Riemnnov definice určitého integrálu Příkldy Vzth Riemnnov Newtonov integrálu Vlstnosti Riemnnov integrálu Nevlstní integrály Lebesgueův integrál Teorie Lebesgueovy míry množin v R Měřitelné množiny Měřitelné funkce Vlstnosti měřitelných funkcí Definice Lebesgueov integrálu Vlstnosti Lebesgueov integrálu Absolutně spojité funkce Neurčitý Lebesgueův integrál

4 OBSAH iv 5 Perronův integrál Definice Perronov integrálu Vlstnosti Perronov integrálu Vzth Perronov, Newtonov Lebesgueov integrálu Kurzweilův integrál Definice Kurzweilov integrálu Vlstnosti Kurzweilov integrálu Vzth Kurzweilov, Riemnnov Newtonov integrálu Definice Kurzweilov integrálu přes neomezený intervl Neurčitý integrál Vzth mezi jednotlivými typy integrálů Vzth Newtonov Riemnnov integrálu Vzth Newtonov Perronov integrálu Vzth Riemnnov Lebesgueov integrálu Vzth Lebesgueov Perronov integrálu Vzth Kurzweilov Perronov integrálu Závěr 71 Litertur 72

5 1 1 Úvod 1.1 Obsh práce Integrál je jedním ze zákldních pojmů mtemtické nlýzy mtemtiky vůbec. Velké množství plikcí njdeme nejen v mtemtických disciplínách, le i ve fyzice, mechnice, ekonomii dlších technických oborech. Znlost integrálního počtu funkcí jedné proměnné je předpokldem ke studiu integrálního počtu funkcí více proměnných, integrálních trnsformcí, pod. Vznik integrálního počtu motivovly (mimo jiné) dvě úlohy. První z nich je nlezení funkce, je-li znám její derivce, druhou je výpočet plochy, která je omezen grfem funkce f n intervlu, b, osou x přímkmi x =, x = b. Tyto dvě úlohy tké vedly k pojmu neurčitý určitý integrál. Pojem integrálu se vyvíjel s rozvojem mtemtiky, prošel řdou změn byl předmětem mnoh zobecnění. Postupem čsu vznikly stále více obecnější integrály. Řekneme-li, že dná funkce má v nějkém intervlu integrál, nevyjdřujeme se úplně přesně, pokud neřekneme (nebo pokud není npříkld ze souvislosti jsné), o jkém integrálu mluvíme. Existuje totiž několik definic určitých integrálů je možné, že integrál funkce v dném intervlu existuje podle jedné definice podle jiné ne (pokud integrál existuje podle dvou definic, pk jejich hodnoty bývjí stejné). Cílem této práce je uvést zde několik nejvýznmnějších definic integrálů zhodnotit, které funkce jsou integrovtelné podle dné definice které nikoliv, poukázt n jejich přednosti i nedosttky. Budeme prcovt pouze s funkcemi jedné reálné proměnné s jednorozměrným integrálem. Práce je rozdělen n 8 kpitol. První kpitol zhrnuje tento úvod mlé nhlédnutí do historie integrálu, druhá ž šestá kpitol je věnován jednotlivým druhům určitých integrálů, po řdě Newtonovu, Riemnnovu, Lebesgueovu, Perronovu Kurzweilovu integrálu. Jsou zde uvedeny definice, vlstnosti integrálů n příkldech je ukázáno, které funkce mjí nebo nemjí integrál podle dné definice. Sedmá kpitol je nejen mlou rekpitulcí, le kromě vět o vzájemných vztzích uvedených druhů integrálů obshuje i jejich důkzy. Jko nejnáročnější část předkládné práce umožňuje hlubší nhlédnutí do problemtiky integrálů. Poslední kpitol je závěr. V celé práci se užívá obvyklé znčení, pro přehlednost je před znkem integrálu

6 1.2 Historie integrálu ve zkrtce 2 identifikční písmeno, které oznčuje, o který integrál se jedná. Je-li vynecháno, jedná se pk o integrál z názvu příslušné kpitoly. 1.2 Historie integrálu ve zkrtce Integrální diferenciální počet, souhrnně nzývný infinitezimální počet ( infinitezimlis v překldu nekonečně mlý ), vytvořili v 17. století slvný nglický mtemtik fyzik Isc Newton ( ) německý mtemtik, filosof, teolog právník Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Tito dv mtemtikové jej vytvořili téměř součsně nezávisle n sobě. Postupy, kterými dospěli ke svým výsledkům, se le liší. Prvenství tohoto objevu přisuzujeme oběm vědcům. Prvopočátky principy metod, které Newton s Leibnizem rozvíjeli, lze nlézt v době ntiky. O dlší rozvoj infinitezimálních metod se pk později postrli bezprostřední předchůdci Newton Leibnize v století. Newtonov Leibnizov práce byl tedy ucelením dovršením toho, co zpočli jejich předchůdci. Strořecká mtemtik, jejíž největší rozvoj dtujeme zhrub od 6. století př. Kr. do 2. století př. Kr., byl velmi vyspělá, nshromáždil velké množství pozntků rozvinul mnoho výpočetních postupů. A právě postupy, jkými se vypočítávly obshy ploch objemy těles, se stly později zákldem pro vznik integrálu. V tomto směru byl význmnou předchůdkyní infinitezimálních úvh tzv. exhustivní metod, která byl v té době v Řecku rozvinut. Tvůrcem metody je Eudoxos z Knidu (410 nebo 408 př. Kr nebo 347 př. Kr.). Metod umožňuje získt přibližný výpočet obshu křivočrého obrzce v libovolném stupni přesnosti tk, že se tomuto obrzci vepisují ( později i opisují) mnohoúhelníky. Zákldem metody je tvrzení: Jestliže od dné veličiny odečteme její část větší než je její polovin od zbytku opět jeho část větší než jeho polovin budeme tk činit dosttečně dlouho, zbyde veličin, která bude menší než libovolná kldná předem dná veličin. Vyčerpáváme-li npříkld kruh mnohoúhelníkem, lze podle Eudoxov principu zbývjící - nevyčerpné - části libovolně zmenšit. Slovo exhustivní bylo odvozeno z ltinského exhurio, což v překldu znmená vyčerpávti. Tuto metodu n určení obshu ploch později rozvinul Archimédes ze Syrkus (si př. Kr.) zobecnil ji. U Archiméd existovly horní dolní integrální součty, které dnou veličinu omezovly, jejich rozdíl se mohl stnovit libovolně mlý (ne

7 1.2 Historie integrálu ve zkrtce 3 všk nekonečně mlý; pro ntickou mtemtiku bylo typické popírání nekonečně mlých veličin). Stnovil hodnotu konstnty π nerovností < π < tk, že kruhu opisovl vepisovl prvidelné mnohoúhelníky, počínje šestiúhelníkem konče devdesátšestiúhelníkem. Pomocí exhustivní metody dokázl mnoho tvrzení. Archimédovo dílo mělo vliv n pozdější rozvoj mtemtiky. Metody ideje obsžené v jeho prcích se prostřednictvím rbských překldů uchovly do novověku inspirovly mtemtiky století. Infinitezimální postupy, které se poprvé objevily v ntickém Řecku, nemohly být do této doby více rozvíjeny, nebot zde chyběl potřebný mtemtický prát. Zdá se, že rný křest nský středověk k rozvoji mtemtiky význmněji nepřispěl. Nicméně n prhu vrcholného středověku ( století) zčlo docházet k zásdnímu obrtu. Prvním podnětem změny bylo to, že (především zásluhou Tomáše Akvinského) došlo k rozvoji rcionální středověké filosofie, která nvázl n ntického učence Aristotel. Ve vzthu k mtemtice je vhodné zdůrznit, že v návznosti n Aristotelovu logiku došlo k dlšímu rozvoji logiky ( deduktivního, mtemtického myšlení). Zčly se studovt do ltiny překládt ntické spisy. Druhým podnětem bylo setkání křest nů s islámskou kulturou především n Iberském poloostrově. Do ltiny byly z rbštiny přeloženy spisy učence 9. století l-khwrizmi (první překld vznikl roku 1140), otce lgebry lgoritmů. Jeho zásluhou se tk křest nský svět nejen dozvěděl o indické číselné soustvě (tedy o nšich dnešních užívných rbských číslicích), le i o mnoh jeho výsledcích výsledcích ntické mtemtiky. Sémě bylo zseto, nicméně ještě několik století (do doby renesnce) trvlo, než vyrostly zřetelné plody. Nové technické vynálezy stronomie tento rozvoj mtemtiky podporovly. Tké objev knihtisku měl velký vliv n rozvoj mtemtiky. V 16. století frncouzský mtemtik Frncois Viete ( ) zvedl do mtemtiky užívání písmen ve význmu čísel. V univerzitní mtemtice se rodil myšlenk funkční závislosti jejího grfického znázornění, pozornost byl věnován tké studiu křivek. Mtemtikové z různých zemí se zbývli tkovými problémy, při jejichž řešení se používlo infinitezimálních metod. Npříkld Johnes Kepler Bonventur Cvlieri vypočítávli objemy těles tk, že těleso rozdělili n nekonečný počet nekonečně mlých objektů, jejichž objem lze sndno vypočítt, Pierre Fermt jiní při konstrukci tečny ke křivce prcovli s chrkteri-

8 1.2 Historie integrálu ve zkrtce 4 stickým trojúhelníkem. Význmným podnětem pro rozvoj mtemtiky i infinitezimálních postupů byl počátkem 17. století objev nlytické geometrie René Descrtem ( ). Descrtes vyprcovl úplný systém nlytické geometrie, když sloučil geometrii lgebru, která právě v tomto období dosáhl velkého rozvoje. Použití souřdnic umožnilo řešit geometrické problémy početními metodmi nlýzy lgebry součsně zoblilo lgebrické úvhy názornějším geometrickým pláštěm. Mnohé problémy bylo možné řešit obecně. Problémy, při jejichž řešení se používlo infinitezimálních veličin, nbyly díky nlytické geometrii jednotného rázu vyústily ve dv důležité obecné problémy. Prvním z nich bylo určování obshů ploch omezených dnou křivkou (tzv. kvdrtur) druhým problémem bylo stnovení tečny k dné křivce v jejím dném bodě. Diferenciální integrální počet se v této době vyvíjely nezávisle n sobě. V druhé polovině 17. století byly infinitezimální postupy hodně rozprcovávány, byl odvozen některá prvidl n výpočet derivcí integrálů, chyběl všk jednotný ucelený systém prvidel pojmů. Ten vyprcovli koncem 17. století již zmínění Newton Leibniz. Newton s Leibnizem sjednotili infinitezimální počet, dli mu pevný řád, výpočetní lgoritmy vytvořili tk novou obecnou metodiku. Došlo ke vzájemnému propojení metod integrování derivování. Byly odvozeny všechny zákldní vzthy pro derivování, byly vyprcovány tbulky integrálů, určitý neurčitý integrál byl definován pomocí primitivní funkce. Určitý integrál se zčl počítt podle vzthu f(x) dx = F (b) F (), kde F : (, b) R je funkce primitivní k funkci f v intervlu (, b). Došlo tké k propojení určitého neurčitého integrálu. Srovnáme-li přístup Newton Leibnize k infinitezimálnímu počtu, lze vedle společné myšlenky o inverzi derivování integrování pozorovt rozdíly. Newton věnovl velkou pozornost mechnice, jeho úvhy vycházely z kinemtických předstv (svou teorii o infinitezimálním počtu uvedl pod názvem Teorie fluxí), integrál zvedl pomocí primitivní funkce, Leibnizův postup byl geometrického rázu, integrál chápl jko nekonečný součet diferenciálů. Newton kldl důrz více n konkrétní výsledky, řešil úlohy prktického chrkteru, kdežto Leibniz vytvářel obecné metody, snžil se sjednotit přístup k různorodým problémům. Velkou Leibnizovou zásluhou tké je, že do diferenciálního integrálního počtu zvedl stručnou

9 1.2 Historie integrálu ve zkrtce 5 účelnou symboliku, zvedl pojmy funkce, proměnná, konstnt. Problémem mtemtické nlýzy n konci 17. století byl její nespolehlivý zákld. Nebylo jsné, co jsou nekonečně mlé veličiny, tyto veličiny byly někdy uvžovány jko nulové, jindy se nopk předpokládlo, že jsou nenulové. To bylo důvodem mnoh kritik. Přesto se infinitezimálního počtu v 18. století ujlo mnoho mtemtiků, kteří jej rozvíjeli dál. V 18. století se mtemtická nlýz vyčlenil jko smosttná věd, výpočetní metody infinitezimálního počtu byly užívány zejmén ve fyzikálních technických plikcích mtemtiky. Koncem 18. století bylo již nhromděno velké množství pozntků, které le neměly pevný zákld, protože některé pojmy nebyly dosttečně přesně zvedeny. Jádro problému spočívlo v neuspokojivém chápání potencionálního ktuálního nekonečn v jejich exktním mtemtickém vyjádření. Nejsnosti byly především kolem nekonečně mlých veličin, limit, konvergencí řd, tké kolem derivcí integrálů. Toto období bývá historiky nzýváno jko 2. krize mtemtiky. Krize byl překonán v 19. století, kdy Bernrd Bolzno Louis Augustin Cuchy zhájili období zpřesňování mtemtické nlýzy. Byl zveden pojem limity později Krl Weierstrss zvedl ε δ jzyk součsné nlýzy. Mtemtikové se zčli zbývt otázkou zpřesnění definice integrálu. V této době se integrovlo podle Newtonov vzthu, n Eudoxovu metodu se pozpomnělo jejího principu se užívlo pouze ve zvláštních přípdech, kdy k dné funkci nebylo možné nebo vhodné primitivní funkci určit. Zpřesnění pojmu integrálu se v této době věnovl L. A. Cuchy, B. Riemnn dlší. Bernrd Riemnn ( ) zvedl novou konstruktivní, součtovou definici integrálu, kterou se vrátil k řecké exhustivní metodě. Riemnnov definice integrálu zhrnuje i některé velmi silně nespojité funkce. V tomto období se zkoumly integrovtelné funkce, mtemtikové přicházeli s novými exotickými funkcemi, pro které nemusí existovt Newtonův či Riemnnův integrál. To vedlo k myšlence zvést tkový integrál, který by zhrnovl jk Newtonův, tk i Riemnnův integrál. Počátkem 20. století frncouzský mtemtik Henri Léon Lebesgue ( ) zvedl nový typ součtového integrálu, po něm nzvný Lebesgueův integrál, který byl výrzným rozšířením integrálu Riemnnov. Tento integrál je zložen n pojmu teorie míry, která byl počátkem 20. století vytvořen. Byl obecnější zhrnovl větší

10 1.2 Historie integrálu ve zkrtce 6 množinu funkcí. Lebesgueův integrál byl brzy rozprcován do mnohých plikcí je dodnes jedním z hlvních pojmů mtemtické nlýzy ( disciplín jko funkcionální nlýz, počet prvděpodobnosti td., které se bez mtemtické nlýzy neobejdou). Ukázlo se le, že pomocí tohoto integrálu nelze integrovt kždou derivci. Lebesgueův integrál dovede integrovt pouze derivce bsolutně spojitých funkcí, to znmená, že nepltí obecně Newtonův - Leibnizův vzorec. To vedlo mtemtiky 20. století k zvedení tkového integrálu, který by tyto nedosttky odstrnil. Ve 20. letech 20. století německý mtemtik Oskr Perron ( ) nlezl řešení v podobě nebsolutně konvergentního integrálu, který vedl k odstrnění nesrovnlostí mezi Newtonovým Lebesgueovým integrálem. Perronův integrál zhrnuje Newtonův i Lebesgueův ( tedy i Riemnnův) integrál. Jeho definice je le těžkopádná, integrál je nvíc nepříjemný npříkld při integrování přes vícerozměrné oblsti. V 60. letech 20. století byl vytvořen nový integrál českým mtemtikem Jroslvem Kurzweilem (1926). Definice tohoto integrálu se poprvé objevil v roce 1957 v jeho práci Generlized ordinry differentil equtions nd continuous dependence on prmetr publikovné v čsopise Czechoslovk Mthemticl Journl. Tto práce se týkl spojité závislosti n prmetru pro obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Nová teorie integrálu zde nebyl cílem, le prostředkem k vysvětlení jistých konvergenčních jevů v teorii ODR k definování tzv. zobecněných diferenciálních rovnic. Protože pojem integrálu zde měl pomocnou povhu, nevěnovli jí mtemtikové zbývjící se teorií integrálu pozornost. O něco později tento způsob integrce objevil - nezávisle n J.Kurzweilovi - britský mtemtik Rlph Henstock (1923). V litertuře se proto objevují názvy Kurzweilův, Henstockův, Kurzweilův - Henstockův, Henstockův - Kurzweilův integrál. Kurzweilův integrál stejně jko Perronův integrál zhrnuje Newtonův i Lebesgueův integrál, je tedy obecnější, přitom Kurzweilův integrál dovoluje integrovt kždou derivci. V definici Kurzweilov integrálu jsou nvíc použity elementárnější prostředky než u integrálu Lebesgueov nebo Perronov. Pojem Kurzweilov integrálu se koncem 20. století stává důležitou součástí mtemtické nlýzy zčíná se nplno upltňovt v plikcích ve výzkumu.

11 7 2 Newtonův integrál 2.1 Primitivní funkce Definice 2.1. Necht funkce f, F jsou dvě funkce definovné n otevřeném intervlu (, b) (lze připustit =, b = ). Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b), jestliže pro kždé x (, b) pltí: F (x) = f(x). Příkld 2.2. Funkce F (x) = x3 3 je primitivní funkce k funkci f(x) = x 2 v (, ), protože pltí F (x) = x 2 pro všechn x R. Vět 2.3. Necht funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b). Pk i funkce G dná rovnicí G(x) = F (x)+c, kde C je libovolná konstnt, je primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b). Primitivních funkcí k funkci f v (, b) existuje nekonečně mnoho. Je-li F (x) jedn z primitivních funkcí k funkci f(x), pk všechny osttní mjí tvr F (x) + C (nebot F (x) = (F (x) + C) ), tzn. jsou dány jednoznčně ž n konstntu. Všechny primitivní funkce k funkci f v (, b) tvoří množinu {G G(x) = F (x) + C, x (, b), C R}, což je předmětem následující věty. Vět 2.4. Necht funkce F, G jsou dvě primitivní funkce k funkci f v (, b). Pk existuje tkové C R, že pro kždé x (, b) je F (x) = G(x) + C. Vět 2.5. Necht funkce f je spojitá v otevřeném intervlu (, b). Pk k ní existuje n tomto intervlu primitivní funkce. Poznámk Množinu všech funkcí spojitých n (, b) (resp. n, b ) oznčme C(, b) (resp. C(, b )). 2. I když ke kždé spojité funkci existuje primitivní funkce, v mnoh přípdech nelze tto primitivní funkce vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Npříkld e x 2 dx. Tento integrál definuje trnscendentní funkci.

12 2.2 Neurčitý integrál 8 Vět 2.7. Necht funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b). Pk F je v (, b) spojitá. Pojem primitivní funkce n intervlu (, b) lze rozšířit i n uzvřený intervl, b. Pokud potřebujeme prcovt s primitivní funkcí n uzvřeném intervlu, pk v krjních bodech intervlu, b uvžujeme jednostrnné derivce. 2.2 Neurčitý integrál Definice 2.8. Řekneme, že funkce f má integrál v intervlu (, b) právě tehdy, když má primitivní funkci v (, b). Má-li funkce f integrál v (, b), nzýváme množinu všech primitivních funkcí v (, b) neurčitým integrálem funkce f v (, b) znčíme jej f(x) dx nebo f. Je-li funkce F primitivní funkcí k f, znčí symbol f(x)dx množinu všech primitivních funkcí, tj. f(x)dx = {G G(x) = F (x) + C, x (, b), C R}. Zpisujeme stručněji f(x) dx = F (x) + C, C R. Zákldní vzorce pro integrování plynou ze vzorců pro derivování lze je nlézt npříkld v [1], [5] Vlstnosti neurčitého integrálu Zákldní vlstností všech typů integrálů je linerit. Vět 2.9. Necht funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervlu (, b), necht funkce G je primitivní funkcí k funkci g v intervlu (, b) necht r je číslo. Pk pltí: ) F + G je primitivní funkcí k f + g v (, b) b) rf je primitivní funkcí k rf v (, b). Necht funkce f, g mjí neurčité integrály v (, b). Pk pltí: ) Funkce f + g má neurčitý integrál v (, b) pltí (f + g) = f + g,

13 2.2 Neurčitý integrál 9 b) funkce rf má neurčitý integrál v (, b) pltí rf = r f. Větu lze rozšířit pro libovolný konečný počet funkcí Metody integrce Jednou ze zákldních úloh integrálního počtu je nlezení primitivní funkce (resp. množiny všech primitivních funkcí). Účinnými metodmi pro hledání primitivní funkce, neboli integrování, jsou následující: 1. Metod integrce per prtes Metod vychází ze vzorce pro derivci součinu. Touto metodou nevypočteme dný integrál přímo, le převedeme jej n jiný integrál. Metodu lze užít opkovně, lze dospět i k rekurentním vzorcům. Vět intervlu pltí: Necht funkce f g mjí spojité derivce v (, b). Pk v tomto fg = fg f g. Příkld Njděme primitivní funkci k funkci f(x) = ln x. ln x dx = x ln x 1 dx = x ln x x + C, x (0, ) (u = ln x, u = 1 x, v = x, v = 1) 2. Substituční metod Důležitou metodou integrce je substituční metod, která je zložená n dvou následujících větách. Vět 2.12 (Substituční metod I). Necht existuje integrál f(x) dx v intervlu (, b), necht ϕ je funkce diferencovtelná v intervlu (α, β) necht zobrzuje tento intervl do intervlu (, b). Pk v (α, β) existuje integrál f(ϕ(t)) ϕ (t) dt pltí f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt.

14 2.3 Určitý integrál 10 Příkld Vypočítejme cos 3 x dx. Integrovnou funkci můžeme zpst ve tvru (1 sin 2 x) cos x pk použít substituci t = sin x: cos 3 x dx = (1 sin 2 x) cos x dx = (1 t 2 ) dt = = t 1 3 t3 = sin x 1 3 sin3 x + C. Vět 2.14 (Substituční metod II). Necht existuje v intervlu (α, β) integrál f(ϕ(t)) ϕ (t) dt necht ϕ je funkce diferencovtelná v intervlu (α, β), necht ϕ (t) 0 pro kždé t (α, β) necht funkce ϕ zobrzuje tento intervl n intervl (, b). Pk v (, b) existuje integrál f(x) dx pltí f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. 2.3 Určitý integrál Neurčitý integrál předstvuje množinu funkcí, určitý integrál dné funkce v dném intervlu je konkrétní reálné číslo. Mezi oběm těmito druhy integrálů existuje souvislost. Existuje několik přístupů, jk zvést pojem určitý integrál podle způsobu zvedení se mění množin integrovtelných funkcí. Tvůrci integrálního počtu Newton Leibniz vycházeli ze dvou odlišných idejí. Leibniz pojl integrál jko limitu součtu exktní provedení této ideje bylo později dílem Riemnn. Dlším zobecněním je pk definice Lebesgueov později Kurzweilov integrálu. Oproti tomu Newton, později i Perron, vyšel při svých úvhách z diferenciálního počtu z primitivní funkce. V následujícím textu bude popsán Newtonův, Riemnnův, Lebesgueův, Perronův Kurzweilův integrál jejich vlstnosti budou popsány množiny funkcí, které mjí integrál podle dné definice Definice Newtonov určitého integrálu Definice Newtonov určitého integrálu pochází z konce 17. století od tvůrců integrálního počtu Isc Newton W. G. Leibnize. Tto definice určitého integrálu je tzv. deskriptivní (popisnou) definicí, integrál je popsán pomocí primitivní funkce.

15 2.3 Určitý integrál 11 Definice Necht funkce f je definován v otevřeném intervlu (, b). Necht ) existuje primitivní funkce F k funkci f v (, b), tj. pro všechn x (, b) pltí F (x) = f(x) b) existují vlstní limity lim F (x), lim F (x). x + x b Potom Newtonův integrál funkce f od do b definujeme vzthem (N ) f(x) dx = lim F (x) lim F (x). x b x + Množinu všech funkcí mjících v (, b) Newtonův integrál znčíme N (, b). Obrázek 1: K definici Newtonov integrálu. Poznámk Místo lim F (x) lim F (x) čsto píšeme jen [F x b x + (x)]b. 2. Předchozí definice říká, kdy má integrál smysl. Jeho hodnot všk může být i nevlstní. Je-li hodnot integrálu vlstní, tké říkáme, že integrál konverguje, je-li jeho hodnot nevlstní, říkáme, že integrál diverguje.

16 2.3 Určitý integrál Newtonův určitý integrál nezávisí n volbě primitivní funkce. Pro jinou primitivní funkci G(x) = F (x) + C dostneme stejnou hodnotu Newtonov integrálu (N) f(x) dx, nebot G(b) G() = F (b) + C F () C = F (b) F (). 4. Je-li F je primitivní funkce k funkci f dokonce n uzvřeném intervlu, b, je n tomto intervlu omezená není nutno poždovt limity, lim F (x)=f () x + lim F (x)=f (b) Newtonův integrál je (N ) x b f(x) dx=f (b) F (). S tímto přípdem se lze setkt čsto. 5. Newtonův integrál může existovt i pro neomezené intervly. Je-li b v intervlu (, b) nevlstní, chápeme x b jko x počítáme lim F (x). Newtonův x integrál může existovt i pro neomezené funkce. 1 Příkld Uvžujme funkci f(x) = 1 x v 0, 1). Integrál funkce je 2 1 (N ) 1 1 x dx = lim rcsin x rcsin 0 = π 2 0 x = π 2. Newtonův integrál je definován pomocí primitivní funkce. Hledání primitivní sin x funkce je čsto náročné k mnoh funkcím (npř. x nebo e x2 uvžovných n (0, )) nelze primitivní funkci nlyticky sestrojit. Existují všk kritéri, která zručují existenci Newtonov integrálu (N ) Vět Ke kždé funkci spojité v (, b) existuje (N ) (tzn. C(, b) N (, b)). Vět Pk pltí: ) konverguje-li b) diverguje-li Příkld f(x) dx, niž bychom jej počítli. f(x) dx Necht t (, b) jsou f, g N (, t ) x, b) pltí 0 f(x) g(x). g(x) dx, pk konverguje i f(x) dx, pk diverguje i Rozhodněme, zd integrál f(x) dx. g(x) dx. 0 e sin x dx konverguje či diverguje. Inte- x 2 +1 grovná funkce je kldná, nebot exponenciál nbývá pouze kldných hodnot. Pro libovolné x R je 1 sin x 1. Postupnou úvhou dostneme: sin x 1, e sin x e 1, 0 < esin x x 2 +1 e1. Funkce h(x) = e x 2 +1 x 2 +1 je tedy mjornt k integrovné funkci, in-

17 2.3 Určitý integrál 13 tegrál z této mjornty konverguje, nebot proto i integrál 0 e 1 x 2 +1 dx konverguje konečně i integrál 0 dx x 2 +1 = lim x rctn x rctn 0 = π 2, 0 e sin x dx konverguje. x 2 +1 Rozhodnout o konvergenci nebo divergenci integrálu z předchozího příkldu hledáním primitivní funkce nlezením přesné hodnoty integrálu nelze, protože primitivní funkci k integrovné funkci nelze nlézt nlyticky Vlstnosti Newtonov integrálu Vět 2.21 (Linerit). Necht < b necht existují integrály (N ) f(x) dx (N ) g(x) dx, necht c je libovolné číslo. Pk existují i integrály (N ) [f(x) + g(x)] dx (N ) ) (N ) cf(x) dx pltí: [f(x) + g(x)] dx = (N ) b) (N ) cf(x) dx = c (N ) f(x) dx + (N ) f(x) dx. Vět Necht <b<c necht b existují integrály (N ) necht funkce f je spojitá v bodě b. Pk existuje i (N ) (N ) c f(x) dx = (N ) f(x) dx + (N ) c c b g(x) dx c f(x) dx (N ) f(x) dx b f(x) dx pltí: f(x) dx. Vět Necht < b necht b existuje integrál (N ) všechn x, b, pk (N ) f(x) dx 0. f(x) dx. Je-li f(x) 0 pro

18 2.3 Určitý integrál 14 Vět 2.24 (Monotonie). Necht < b necht b existují integrály (N ) f(x) dx (N ) g(x) dx. Pokud f(x) g(x) pro všechn x, b, pk (N ) f(x) dx (N ) g(x) dx. Poznámk Poslední dvě věty jsou ekvivlentní. Vět Necht < b necht b existují integrály (N ) Pk pltí: (N ) f(x) dx (N ) Ukzuje se, že vzth konvergence integrálů f(x) dx. f(x) dx (N ) f(x) dx. f(x) dx f(x) dx hrje důležitou roli. V následující definici zvedeme pojmy bsolutní reltivní konvergence integrálu, které jsou důležité pro funkce měnící znménko. Definice Jestliže Jestliže Konverguje-li f(x) dx <, říkáme, že integrál f(x) dx = ±, říkáme, že f(x) dx, řekneme, že f(x) dx diverguje. f(x) dx konverguje. f(x) dx konverguje bsolutně. Konverguje-li f(x) dx konverguje nebsolutně. f(x) dx, le f(x) dx diverguje, řekneme, že Newtonův integrál ptří mezi nebsolutně konvergentní integrály. Příkld sin x x Ukžme, že π sin x x dx je nebsolutně konvergentní integrál. Funkce je spojitá v (0, ), existuje k ní proto primitivní funkce, kterou všk nelze vyjádřit nlyticky. Zkoumejme sin x x dx sin x x dx. π π

19 2.3 Určitý integrál 15 π sin x x = 2 n 1 π k=1 Integrál nπ dx π sin x x dx = n 1 k=1 (k+1)π kπ sin x x dx > n 1 k=1 (k+1)π 1 (k+1)π kπ 1 k+1 pro n, nebot se jedná o hrmonickou řdu. π sin x x dx diverguje. V přípdě druhého integrálu lze uvžovt tkto: (2n+1)π π n ( sin x x 2kπ dx = sin x x k=1 (2k 1)π 2kπ 1 ( (2k 1)π k=1 (2k 1)π n = 2 1 π ( 2k 1 1 k=1 Integrál π sin x x (2k+1)π k=1(2k 1)π sin x x (2k+1)π dx 2k+1 ) = 2 π 2kπ dx n sin x x sin x dx 1 k=1 dx konverguje. k=1 dx ) (2k+1)π (2k+1)π 2 (2k 1)(2k+1) 2kπ (2k+1)π (2k 1)π sin x x sin x dx ) = dx sin x dx = tto řd konverguje pro n.

20 16 3 Riemnnův integrál Riemnnov definice určitého integrálu je tzv. konstruktivní definice vychází z názorné geometrické předstvy. Pro spojitou nezápornou funkci f definovnou n, b odpovídá její Riemnnův integrál n tomto intervlu plošnému obshu oblsti M(f,, b) ohrničené přímkmi x =, x = b, osou x grfem integrovné funkce f. Zákldní myšlenkou při nlezení integrálu je konstrukce přibližného vyjádření obshu útvru M(f,, b) pomocí Riemnnových integrálních součtů (odtud název konstruktivní definice). Tento postup je velmi blízký strověké exhustivní metodě. Uvedeme zde dvě definice Riemnnov integrálu. Nejprve Drbouxovu součtovou definici Riemnnov integrálu zloženou n horních dolních integrálních součtech, která bývá v úvodních kurzech čsto zákldem výkldu o Riemnnově integrálu, druhá v pořdí bude uveden původní Riemnnov definice (z roku 1854). Riemnn definovl integrál jko limitu, ke které konvergují integrální součty, konvergují-li délky dílčích intervlů k nule. 3.1 Drbouxov definice určitého Riemnnov integrálu Před vyslovením smotné definice integrálu je nutné zvést některé pojmy. Definice 3.1. Necht < b,, b R. Množinu reálných čísel x 0, x 1,..., x n nzveme dělením D intervlu, b, jestliže = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Intervly x 0, x 1, x 1, x 2,..., x n 1, x n budeme nzývt dílčími intervly dělení D jejich délky x 1 x 0, x 2 x 1,..., x n x n 1 budeme po řdě znčit x 1, x 2,..., x n. Definice 3.2. Necht D = {x 0, x 1,..., x n } je libovolné dělení intervlu, b, v němž je definován funkce f. Oznčme znkem M i supremum m i infimum funkce f(x) v intervlu x i 1, x i, tedy M i = sup f(x), m i = inf f(x). Číslo x x i 1,x i x x i 1,x i S(D) = M i x i nzveme horní součet funkce f příslušný dělení D, číslo s(d) = m i x i

21 3.1 Drbouxov definice určitého Riemnnov integrálu 17 nzveme dolní součet funkce f příslušný dělení D. Vět 3.3. Pro libovolné dělení D intervlu, b je vždy s(d) S(D). Definice 3.4. Necht D(, b ) je množin všech dělení intervlu, b. Necht D 1, D D(, b ) D D 1. Pk dělení D 1 nzveme zjemněním dělení D. Vět 3.5. Necht dělení D 1 v, b je zjemněním dělení D. Pk pro příslušné dolní horní integrální součty funkce f v, b pltí s(d) s(d 1 ) S(D 1 ) S(D). Vět 3.6. Necht f je funkce omezená v, b. Oznčme m= inf x,b f(x) M = sup f(x). Necht D 1 D 2 jsou libovolná dělení intervlu, b. Pk x,b m(b ) s(d 1 ) S(D 1 ) M(b ) s(d 1 ) S(D 2 ). Vytváříme-li integrální součty pro čím dál jemnější dělení intervlu, b, pk se hodnoty S(D) s(d) od sebe liší stále méně konvergují k hodnotě Riemnnov integrálu. Pokud tomu tk není, pk funkce f nemá Riemnnův integrál. Definice 3.7. Necht funkce f je omezená v intervlu, b. Infimum množiny všech horních součtů funkce f v, b nzýváme horní Riemnnův integrál funkce f od do b znčíme inf S(D) = D(,b ) b f(x) dx. Supremum množiny všech dolních součtů funkce f v, b nzýváme dolní Riemnnův integrál funkce f od do b znčíme Vždy pltí nerovnost sup s(d) = D(,b ) ā f(x) dx ā b f(x) dx. f(x) dx. Pokud nstává rovnost, pk se tto hodnot nzývá Riemnnův určitý integrál funkce f v intervlu, b znčíme jej f(x) dx nebo (R) f(x) dx.

22 3.2 Původní Riemnnov definice určitého integrálu 18 Existuje-li Riemnnův integrál (R) f(x) dx, pk o funkci říkáme, že je riemnnovsky integrovtelná n intervlu, b. Množinu všech riemnnovsky integrovtelných funkcí n, b znčíme R(, b ). Vět 3.8. Omezená funkce f má n, b Riemnnův integrál právě tehdy, když pro kždé ε > 0 existuje dělení D intervlu, b tkové, že S(D) s(d) < ε. 3.2 Původní Riemnnov definice určitého integrálu Definice 3.9. Necht D = {x 0, x 1,..., x n } je libovolné dělení intervlu, b. Číslo ν(d) = mx,...,n ( x i) nzveme normou dělení D. Definice Necht v kždém intervlu x i 1, x i, i = 1,..., n je dán libovolně jeden bod τ i x i 1, x i. Pk mluvíme o dělení s význčnými body oznčíme jej symbolem (D, τ), tedy (D, τ) = { = x 0, τ 1, x 1,..., x n 1, τ n, x n = b}. Definice Necht funkce f je omezená v intervlu, b. K dělení (D, τ) s význčnými body utvoříme integrální součet σ(d, τ) = f(τ i ) x i. Číslo I R nzveme Riemnnovým integrálem funkce f od do b, když ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že pro kždé dělení s význčnými body (D, τ), pro které ν(d) < δ, pltí nerovnost σ(d, τ) I < ε. Říkáme, že Riemnnův integrál existuje píšeme I = (R) f(x) dx.

23 3.2 Původní Riemnnov definice určitého integrálu 19 Obrázek 2: K definici Riemnnov integrálu. Obsh obrzce pod křivkou funkce nlezneme, sčítáme-li obshy obdélníků o strnách x i f(τ i ). Čím jemnější dělení intervlu, b, tím se integrální součet σ(d, τ) více přibližuje k hodnotě integrálu, tzn. lim σ(d, τ) = I. Ještě dodejme, ν(d) 0 že hodnot integrálu nezávisí n tom, jkým způsobem jsou v dělení s význčnými body dány význčné body. Poznámk Zřejmě pltí I = lim lim ν(d) 0 M i x i. ν(d) 0 f(τ i ) x i = lim ν(d) 0 Lemm Funkce f má v, b Riemnnův integrál I = (R) m i x i = f(x) dx právě tehdy, když pro kždou posloupnost dělení D m, m = 1, 2,... intervlu, b s význčnými body, pro niž lim ν(d m) = 0, existuje vlstní limit lim σ(d m)=i. m m Pk pltí I = (R) f(x) dx. Vět 3.14 (Bolzno-Cuchyov podmínk existence Riemnnov integrálu). Funkce f má v, b Riemnnův integrál I = (R) f(x) dx právě tehdy, když ke kždému ε > 0 existuje δ > 0 tk, že pro libovolná dvě dělení D 1, D 2,

24 3.3 Příkldy 20 pro která ν(d 1 ) < δ, ν(d 2 ) < δ pltí σ(d 1 ) σ(d 2 ) < ε. Vět Obě uvedené definice Riemnnov integrálu jsou ekvivlentní. Definovt Riemnnův určitý integrál je trochu obtížnější než zvést Newtonův určitý integrál, protože před vyslovením smotné definice Riemnnov integrálu je nutné zvést pojmy jko dělení intervlu, norm dělení, pod. Riemnnov definice je cenná pro svou názornou geometrickou interpretci, je zákldem některých numerických metod pro výpočet určitých integrálů. V prktických výpočtech je le těžko použitelná. U Newtonov určitého integrálu zloženého n existenci primitivní funkce názorná geometrická interpretce chybí, Newtonův integrál využíváme při prktickém výpočtu určitých integrálů. Bez znlosti primitivní funkce je výpočet určitého integrálu nutno počítt numericky. 3.3 Příkldy Zčněme příkldem, který ukzuje, že ne kždá funkce, která je omezená n, b, musí mít Riemnnův integrál. Příkld Vypočítejme (R) f D (x) dx, kde f D (x) je Dirichletov funkce defi- { 1 pro x Q novná předpisem f D (x) = 0 pro x R \ Q. 1 0 Tto funkce je omezená je nespojitá v kždém bodě svého definičního oboru. V kždém rcionálním bodě nbývá svého mxim v kždém ircionálním bodě svého minim (funkce je nenkreslitelná). Necht D = {0 = x 0 τ 1 x 1... x n 1 τ n x n = 1} je libovolné dělení intervlu 0, 1. Zvolme body τ i x i 1, x i, i = 1,..., n tk, by byly ircionální (to lze vždy). Pk bude σ(d, τ) = rcionální, bude σ(d, τ) = n n f(τ i ) x i = 0. Zvolíme-li body τ i tk, by byly f(τ i ) x i = 1. Tkto lze postupovt pro jkékoliv dělení nezávisle n tom, jká je jeho norm. Přestože je funkce omezená, integrál nemůže existovt, není splněn Bolznov-Cuchyov podmínk. Pro Dirichletovu funkci tedy pltí f D / R(, b ).

25 3.3 Příkldy 21 Vět Necht b funkce f je spojitá v intervlu, b. Pk existuje (R) (tzn. C(, b ) R(, b )). f(x) dx Spojitá funkce má vždy Riemnnův integrál. Větu lze zeslbit. Riemnnův integrál může existovt i u omezené nespojité funkce, pokud počet bodů nespojitosti v, b je konečný v kždém z těchto bodů nespojitosti existují konečné limity zprv i zlev (tzn. funkce je po částech spojitá). Příkld Vypočítejme (R) 1 0 f(x) dx, kde f je funkce definovná předpisem { 1 pro x = 1 2 f(x) =. 0 pro x 0, 1, x 1 2 Funkce je n intervlu nespojitá, má jeden bod nespojitosti. Uvžujme nyní součtovou definici integrálu. Necht D je libovolné dělení intervlu 0, 1. Zřejmě s(d) = 0 pro všechn dělení D, tj. sup s(d) = f(x) dx = 0, S(D) 0 jeho D( 0,1 ) 0 velikost je rovn délce intervlu obshujícího bod x = 1/2. Konverguje-li délk tohoto intervlu k nule, je inf s(d) = 1 f(x) dx = 0, horní dolní Riemnnovy integrály D( 0,1 ) 0 se rovnjí, Riemnnův integrál funkce existuje je roven nule (tzn. f R(, b )). Do množiny R(, b ) Riemnnovsky integrovtelných funkcí ptří dokonce i některé velmi silně nespojité funkce. Spojitost je postčující podmínkou existence integrálu, ne všk nutnou. Vět Necht funkce f je omezená n, b necht N znčí množinu všech bodů nespojitosti funkce f. Pk pltí, že funkce f má Riemnnův integrál právě tehdy, když Lebesgueov mír množiny N je rovn nule (tedy µn = 0). Důkz je uveden v [2]. Poznámk Pojem Lebesgueov mír bude zveden v kpitole 3. Podotkněme ještě, že místo funkce f je spojitá n intervlu, b s výjimkou množiny míry nul se užívá tké slovního spojení funkce f je spojitá n intervlu, b skoro všude. 1

26 3.3 Příkldy 22 Příkld Uvžujme nyní Riemnnovu funkci, která je n intervlu, b dán { 0 pro x R \ Q předpisem f R (x) =. 1 q pro x = p q, p, q nesoudělná Obrázek 3: Část grfu Riemnnovy funkce s nejvyššími hodnotmi. Riemnnov funkce je stejně jko Dirichletov funkce nenkreslitelná, vyšetřeme její hodnoty v některých bodech: f R (0) = f R (1) = 1 f R (1/2) = 1/2 f R (1/4) = f R (3/4) = 1/4 f R (1/5) = f R (2/5) = f R (3/5) = f R (4/5) = 1/5 f R (1/6) = f R (5/6) = 1/6 f R (1/7) = f R (2/7) = f R (3/7) = f R (4/7) = f R (5/7) = f R (6/7) = 1/7 td. Riemnnov funkce je potrhná ve stejných bodech jko Dirichletov funkce. Lze všk dokázt, že Riemnnov funkce je spojitá v ircionálních bodech nespojitá pouze v rcionálních bodech, tzn. je spojitá skoro všude Riemnnův integrál Riemnnovy funkce existuje.

27 3.4 Vzth Riemnnov Newtonov integrálu 23 Vět Necht < b necht existuje integrál f(x) dx. Necht funkce g(x) se liší od funkce f(x) jen v konečném počtu bodů intervlu, b. Pk existuje i integrál g(x) dx pltí Definice g(x) dx = f(x) dx. ) Je-li < b existuje-li f(x) dx, definujeme f(x) dx = f(x) dx. b b) Je-li f definován pro x =, pk definujeme f(x) dx = 0. Poznámk Definice b) je smysluplná, nebot lim f mjící Riemnnův integrál n, x ). x + x f(x) dx 0 (pro funkci 3.4 Vzth Riemnnov Newtonov integrálu Pojem horního dolního integrálního součtu pojem primitivní funkce jsou nezávislé pojmy, přesto nzýváme číslo lim F (x) lim F (x) (resp. F (b) F ()) i číslo I x b x + z Riemnnovy definice určitým integrálem. To proto, že z jistých podmínek (npříkld pro funkce spojité) jsou si jejich příslušné číselné hodnoty rovny. Některé funkce mjí Riemnnův nemjí Newtonův integrál nopk. Funkce f(x) = 1 1 x 2 má v intervlu 0, 1) Newtonův integrál, le Riemnnův integrál funkce neexistuje, nebot funkce není shor omezená. Riemnnov funkce definovná { 0 pro x R \ Q f R (x) = má v, b Riemnnův integrál nemá 1 q pro x = p q, p, q nesoudělná Newtonův integrál, protože k této funkci neexistuje v, b primitivní funkce. Obecně je proto nutné odlišovt Newtonův Riemnnův integrál. Příkld Funkce f je dán v 1, 1 předpisem { 2x sin 1 2 x f(x) = 2 x cos 1 pro x 0 x 2 0 pro x = 0. Zjistěme, zd existuje její Riemnnův Newtonův integrál vypočítejme jeho hodnotu. Funkce f není v 1, 1 omezená, tedy f / R( 1, 1 ). Primi-

28 3.4 Vzth Riemnnov Newtonov integrálu 24 { x 2 sin 1 pro x 0 x tivní funkcí F k funkci f je funkce F (x) = 2 0 pro x = 0 spojitá v 1, 1, (N ) 1 1 lim F (x) = x 1 f(x) dx = lim F (x) x 1 lim x 1+ lim x 1+, která je F (x) = sin 1. Newtonův integrál existuje, F (x) = 0. Ob typy integrálů mjí své výhody, čkoliv se Newtonov Riemnnov definice od sebe podsttně liší, pltí, že má-li funkce Newtonův i Riemnnův integrál v nějkém omezeném intervlu, jsou jejich hodnoty stejné. Vět pk jsou si rovny, tj. Má-li f(x) v, b Riemnnův integrál v (, b) Newtonův integrál, (R) f(x) dx = (N ) f(x) dx. V přípdě, že integrujeme funkci spojitou v, b, nemusíme ob integrály odlišovt, tzn. C(, b ) N (, b ) R(, b ). Následují dvě věty, které ukzují vzth mezi Riemnnovým určitým integrálem primitivní funkcí (jsou nzývány tké Zákldní věty integrálního počtu ). Vět Necht f(x) je funkce spojitá v intervlu (, b) necht c je libovolné číslo z intervlu (, b). Definujme pro kždé x z intervlu (, b) funkci F (x) předpisem F (x) = (R) x c f(t) dt, kde f(t) je spojitá n (, b). Pk F (x) je spojitou funkcí proměnné x n (, b) v kždém bodě, v němž je f(x) spojitá, má F (x) derivci, pltí F (x) = f(x), tedy F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu (, b). Vět 3.28 (Newtonov-Leibnizov formule). integrál (R) Necht < b necht existuje f(x) dx. Necht F (x) je spojitá v, b má v kždém bodě x intervlu (, b) derivci F (x) = f(x). Pk je (R) f(x) dx = F (b) F ().

29 3.5 Vlstnosti Riemnnov integrálu 25 Riemnnův integrál se skoro nikdy nepočítá podle definice, zákldní metodou při prktickém výpočtu Riemnnov integrálu je právě Newtonov - Leibnizov formule. Podle této věty je hodnot Riemnnov integrálu funkce f n, b rovn přírůstku primitivní funkce F (x) n intervlu, b ( njít primitivní funkci bývá téměř vždy snzší než prcovt s dělením intervlu). Větu lze ještě zeslbit, stčí poždovt, by rovnice F (x) = f(x) byl splněn ve všech bodech intervlu (, b) s výjimkou nejvýše konečného počtu bodů. Příkld Vypočítejme Riemnnův integrál funkce { x pro x 1, 0 f(x) =. 1 + x 3 pro x (0, Funkce je omezená n 1, 1 spojitá n 1, 1 kromě bodu 0. Integrál f(x) dx vypočítáme jko součet podle věty 3.28, dostneme f(x) dx = f(x) dx f(x) dx. První integrál vypočítáme x dx = [ x2 2 ]0 1 = 1 2. N druhý integrál Newtonův vzorec použít nemůžeme, když všk funkci f v bodě 0 změníme n 1 (integrál funkce se nezmění, změníme-li hodnotu funkce v konečném počtu bodů), podle Newtonov vzorce dostneme Hodnot integrálu je rovn f(x) dx = x 3 dx = [x + x4 4 ]1 0 = V přípdě, že primitivní funkce k dné funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních nebo tbelovných funkcí, lze provést přibližný výpočet numericky, npříkld pomocí obdélníkové, lichoběžníkové nebo pomocí jiných metod. Zákldní myšlenk těchto metod vychází čsto z Riemnnovy definice určitého integrálu princip spočívá v nhrzení integrovné funkce jinou vhodnou funkcí (u obdélníkové metody nhrzujeme funkci po částech konstntní funkcí, u lichoběžníkové metody po částech lineární funkcí td.). 3.5 Vlstnosti Riemnnov integrálu Vět 3.30 (Linerit). Necht < b necht existují integrály (R) f(x) dx (R) g(x) dx, necht c je libovolné číslo. Pk existují i integrály

30 3.5 Vlstnosti Riemnnov integrálu 26 (R) [f(x) + g(x)] dx (R) cf(x) dx pltí: ) (R) [f(x) + g(x)] dx = (R) b) (R) cf(x) dx = c (R) f(x) dx + (R) Větu lze rozšířit pro libovolný konečný počet funkcí. Vět pro všechn x, b, pk f(x) dx. Necht < b necht b existuje integrál (R) (R) f(x) dx 0. g(x) dx f(x) dx. Je-li f(x) 0 Poznámk Pokud spoň v jednom bodě c, b, v němž je funkce spojitá, pltí f(c) > 0, pk pltí f(x) dx > 0. Tto vlstnost je zřejmá, nebot Riemnnův integrál je vlstně obsh pod grfem funkce. Vět 3.33 (Monotonie). (R) Necht < b necht existují integrály (R) f(x) dx g(x) dx. Pokud f(x) g(x) pro všechn x, b, pk (R) f(x) dx (R) g(x) dx. Poznámk Poslední dvě věty jsou ekvivlentní. Vět Necht <b<c necht b existují integrály (R) c Pk existuje i (R) f(x) dx pltí: Vět (R) c f(x) dx = (R) f(x) dx + (R) c b c f(x) dx (R) f(x) dx. b f(x) dx. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná n, b (f R(, b )). Pk její bsolutní hodnot f je tké Riemnnovsky integrovtelná funkce n, b ( f R(, b )) pltí: (R) f(x) dx (R) f(x) dx.

31 3.6 Nevlstní integrály 27 Poznámk Riemnnův integrál omezené funkce n, b je bsolutně konvergentní integrál, tzn. pltí-li f R(, b ), pk pltí f R(, b ). 2. Má-li f v, b integrál, nemusí jej mít f. Uvžujme funkci { +1 pro x Q 0, 1 f(x) =. Tto funkce nemá n, b Riemnnův in- 1 pro x 0, 1 \ Q tegrál, všk (R) 1 0 f(x) dx = 1. Vět 3.38 (První vět o střední hodnotě). Necht f, g jsou integrovtelné v, b g je v, b nezáporná. Oznčíme-li m = inf f, M = sup f, pk existuje,b,b c m, M tk, že pltí f(x)g(x) dx = c g(x) dx. Je-li funkce f v, b spojitá, pk existuje ξ, b tkové, že f(x)g(x) dx = f(ξ) Vět 3.39 (Druhá vět o střední hodnotě). g(x) dx. Necht f, g jsou integrovtelné v, b g je v, b monotónní. Pk existuje ξ, b tk, že pltí 3.6 Nevlstní integrály f(x)g(x) dx = g() ξ f(x) dx + g(b) ξ f(x) dx. Riemnnův integrál mjí podle definice pouze omezené spojité (nebo po částech spojité) funkce definovné n omezeném intervlu. To je úzká množin funkcí. Předmětem tohoto odstvce je zobecnění Riemnnov integrálu toto zobecnění provedeme ve dvou směrech. Nejprve definujeme integrál není n, b omezená, poté definujeme f(x) dx (nebo f(x) dx, kde funkce f(x) f(x) dx), tedy integrál z funkce n otevřeném intervlu. V prvním přípdě mluvíme o nevlstním integrálu vlivem funkce, ve druhém pk o nevlstním integrálu vlivem meze. Definice (Nevlstní integrál vlivem funkce). Necht funkce f(x) je integrovtelná v kždém intervlu, t, < t < b necht f(x) je neomezená v levém

32 3.6 Nevlstní integrály 28 okolí bodu b. Existuje-li vlstní limit f(x) dx konverguje pokládáme lim t t b f(x) dx = A, říkáme, že integrál Pokud limit lim f(x) dx neexistuje nebo je nevlstní, říkáme, že integrál diverguje. Příkld t t b f(x) dx = lim t b t f(x) dx = A. Vypočtěme x dx. Integrál neexistuje jko Riemnnův vlstní integrál, le existuje jko nevlstní integrál. f(x) = 1 1 x není definován v bodě 1, lim x 1 1 t 1 x =, funkce není shor omezená. Uvžujme proto 0 dx 1 x, t (0, 1) je prmetr, f(x) je v 0, t spojitá. Pk lim dx t 1 1 x = lim (2 2 1 t) = 2. Existuje t 1 vlstní limit, integrál konverguje pltí Poznámk Limitu lim t t b x dx = 2. f(x) dx = A nzýváme nevlstním integrálem funkce f od do b. Obdobně definujeme i integrál pro funkci, která není omezená v bodě. Definice (Nevlstní integrál vlivem meze). Necht funkce f(x) je integrovtelná v kždém intervlu, b, < b. Existuje-li vlstní limit lim f(x) dx = A, říkáme, že integrál f(x) dx konverguje pokládáme b Pokud limit lim f(x) dx neexistuje nebo je nevlstní, říkáme, že integrál diverguje. b Poznámk f(x) dx = lim b f(x) dx = A. Limitu lim b f(x) dx = A nzýváme nevlstním integrálem funkce f od do. Obdobně definujeme i integrál f(x) dx.

33 3.6 Nevlstní integrály 29 Příkld Vypočtěme Uvžujme t (1, ) počítejme dx = 2u du = lim t 1 1 x dx = lim x 1 2 rctn( t 1) = π. Limit je vlstní, integrál konver- t guje. t t x dx. Integrál není vlstní, má nevlstní mez. x 1 t 1 1 x x 1 dx. Použitím substituce x 1 = u je 2u du (u 2 +1)u = 2[rctn u] t 1 0 = 2 rctn( t 1). Pk 1 1 x x 1 dx = Nevlstní integrály mjí stejné vlstnosti jko určitý integrál (kromě věty o střední hodnotě).

34 30 4 Lebesgueův integrál Lebesgueův integrál je typ součtového integrálu. Pochází od Henriho Lebesgue z počátku minulého století byl ( stále je) zásdním integrálem mtemtické nlýzy. Hodnot Riemnnov i Lebesgueov integrálu je proximován jistými součty, tyto součty jsou tvru n f i µ(m i ), kde čísl f i souvisí s integrovnou funkcí, množiny M i tvoří rozkld integrčního oboru µ je funkce zobecňující délku jednoduchých geometrických útvrů v R. Množiny M i u Riemnnov integrálu jsou intervly, v přípdě Lebesgueov integrálu jsou tyto množiny složitější. Před zvedením Lebesgueov integrálu je tedy nutné nejprve popst, přes které množiny se Lebesgueovsky integruje. Zvedeme třídu množin zvnou měřitelné množiny n nich (pro popis pojmu délk) množinovou funkci zvnou Lebesgueovu míru, která je zobecněním pojmu délk. Pro účel této práce postčí prcovt jen s množinmi v R. 4.1 Teorie Lebesgueovy míry množin v R Měřitelné množiny Vět 4.1. Kždá neprázdná omezená otevřená množin M R lze vyjádřit jko sjednocení konečně nebo spočetně mnoh nvzájem disjunktních otevřených intervlů I k (tzv. vytvořující intervly). Vět 4.2. Kždá neprázdná omezená uzvřená množin N R je bud uzvřený intervl nebo lze získt z nějkého uzvřeného intervlu vyjmutím konečně nebo spočetně mnoh nvzájem disjunktních otevřených intervlů I k. Definice 4.3. Necht, b R, b. Prvky množiny I {(, b), (, b,, b),, b } nzveme intervly. Množinový systém všech jednorozměrných intervlů v R oznčme I 1. N I 1 definujme množinovou funkci délk intervlu tkto: l(i) = b I {(, b), (, b,, b),, b }. Definice 4.4. Mírou intervlu I {(, b), (, b,, b),, b } nzveme jeho délku, tj. b. Toto číslo znčíme µi = b (event. mi, mesi, λi,...).

35 4.1 Teorie Lebesgueovy míry množin v R 31 Poznámk 4.5. Pro = b je µi = 0, tedy mír jednobodové množiny je nul, stejně tk mír prázdné množiny je rovn nule (µ = 0). Jednobodové množiny prázdná množin jsou někdy nzývány zvrhlé intervly, mjí nulovou míru. Kždý neomezený intervl má míru. Definice 4.6. Mírou µm neprázdné otevřené množiny M R nzýváme součet délek všech jejích vytvořujících otevřených intervlů I k, µm = k µi k. Definice 4.7. Mírou µn neprázdné uzvřené množiny N R nzýváme číslo µn = b µ(c N ), kde I =, b je nejmenší uzvřený intervl obshující množinu N C N je komplement množiny N do I, tj. C N = I N je otevřená množin. Vět 4.8. Mír otevřené omezené množiny M je supremum měr všech uzvřených množin, které jsou obsženy v M. Vět 4.9. Mír uzvřené omezené množiny N je infimum měr všech otevřených množin, které obshují N. Definice Vnější mírou µ M neprázdné omezené množiny M nzýváme infimum měr všech otevřených omezených množin P, které obshují množinu M, µ M = inf {µp }, P... omezené otevřené množiny. M P Definice Vnitřní mírou µ M omezené množiny M nzýváme supremum měr všech uzvřených omezených množin Q, které jsou obsženy v množině M, µ M = sup {µq}, Q... omezené uzvřené množiny. Q M Vět Je-li M otevřená omezená množin, pk µ M = µ M = µm. Je-li N uzvřená omezená množin, pk µ N = µ N = µn.

36 4.1 Teorie Lebesgueovy míry množin v R 32 Definici míry omezených otevřených uzvřených množin lze zobecnit n přípd míry libovolné omezené množiny v R tkto: Definice Omezená množin M se nzývá měřitelná v Lebesgueově smyslu, jsou-li si vnitřní vnější mír množiny M nvzájem rovny, µ M = µ M = µm. Společnou hodnotu těchto měr nzýváme (Lebesgueov) mír množiny M znčíme µm (chceme-li zdůrznit, že jde o míru v Lebesgueově smyslu, píšeme čsto λm). Množinu všech měřitelných množin v R oznčme M. Příkld Zjistěme, zd množin M = 0, 1) je měřitelná. Uvžujme nejprve otevřené množiny P = ( ε, 1), kde ε > 0. Pro libovolné ε pltí M P µ P = 1+ε. Pro ε 0 dostáváme inf ε µ (( ε, 1)) = 1. Obdobně pro vnitřní míru. Vezměme uzvřené množiny Q = 0, 1 δ, kde δ >0. Pro libovolné δ pltí Q M µ Q = 1 δ. Pro δ 0 dostáváme sup µ ( 0, 1 δ ) = 1. Vnější vnitřní mír jsou si tedy rovny, množin M = 0, 1) je měřitelná. Poznámk δ 1. Mír neprázdné měřitelné množiny M je nezáporné číslo, mír prázdné množiny je nul (µm 0 M M, µ = 0). 2. Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních měřitelných množin M 0, M 1, M 2,... pltí µ( i Vět M i ) = i µm i (σ-ditivit míry µ). 1. Necht M R je omezená množin, která je sjednocením spočetného počtu měřitelných množin. Pk M je měřitelná. 2. Průnik spočetné množiny měřitelných množin je měřitelná množin. 3. Rozdíl dvou měřitelných množin je měřitelná množin. 4. Necht M 1, M 2 jsou dvě měřitelné množiny, M 2 M 1, µm 2 <. Pk pro jejich rozdíl M = M 1 \ M 2 pltí: µm = µm 1 µm 2.