Jiří Zmatlík, Otto Pator Metodika hodoeí zůobiloti v řízeí roeů a doravíh ytémů v rámi ormality rozděleí domiatího zaku jakoti Klíčová lova: zůobilot roeu, doraví roey, idexy zůobiloti a jejih bodové a itervalové odhady a zvoleé hladiě výzamoti, vztahy mezi idexy zůobiloti a jejih harakteritiky Úvod Čláek e zabývá zůobilotí, ož je vlatot výrobíh a evýrobíh roeů a ytémů, doravíh ytémů, výrobíh automatizovaýh a tředě automatizovaýh zařízeí a měřiíh ytémů trvale doahovat výtuy vyoké kvality a kvalitativíh ormativíh tadardů. Kvalitativí kritéria jou eifikováa zákazíkem, říadě dalšími ormativími zůoby. Jou ožadováa zákazíky, ale jou též i v zájmeh výrobů realizovat kvalití kokureehoou roduki. Komlexí hodoeí zůobiloti je základem kokureehooti firmy v globalizovaém tržím rotředí. Kvatitativí vyjádřeí zůobiloti je eifikováo omoí ukazatelů zůobiloti, které by měly lňovat takové atributy jako jedoduhot, uiverzálot, rozumitelot, ázorot a širokou vyovídaí hoot. Zůobilot roeů a doravíh ytémů ředtavuje v rámi jejih tatitiké tability vlatot doažeí kvalitativíh ílovýh kritérií eifikovaými růzými zůoby a ubjekty. Zůobilými v rámi tehologikého a výrobího roeu muejí být všehy ložky ytému, tj. měřií ytémy, výrobí a doraví roey v rámi ávazoti zůobilýh výtuů jedotlivýh tehologikýh ložek. Obeé ředoklady Obeými ředoklady, tj. ředoklady, které muí být lěy ři hodoeí zůobiloti, jou íže uvedeé atributy: Výrobí či evýrobí roe, doraví ytém, je tatitiky tabilím, tj. obahuje ouze áhodé říčiy variability, hováí roeu je hroologiky ředověditelé Ig. Jiří Zmatlík, Ph.D. *969 ůobí v oblati alikovaé matematiky a tatitiky v rámi řízeí odiku. Obhájil diertačí rái v oblati tatitikého řízeí jakoti. Půobí a Čeké zemědělké uiverzitě v Praze a Provozě ekoomiké fakultě a katedře tatitiky. Předáší a vičí ředměty alikovaé tatitiky. Zabývá e zejméa tatitikými modely v zeměděltví a metodami alikovatelými ro zlešováí jakoti. Prof. Dr. Ig. Otto Pator, S. *98 je ředím odboríkem v oblati teorie doravy a doravíh ytémů jako oučát logitikýh roeů. Půobí jako rofeor v oboru Maagemet a tehologie doravy a ČVUT v Praze a Fakultě doraví v Útavu logitiky a maagemetu doravy. Zabývá e zejméa rozhodovaími roey, alikovaými matematikými modely v doravě a logitie e zaměřeím a ekoomiko-tehologikou odtatu roblematiky.
Výtuy roeu ejou odlehlými hodotamiozorováími V rámi roeů, výrobíh a evýrobíh a dále měřiíh zařízeí jou eifikováy toleračí meze zaku jakoti, horí toleračí mez USL Uer Seifiatio Limit a dolí toleračí mez LSL Lower Seifiatio Limit Pro každou kvatitativí roměou je dáa ílová hodota zaku jakoti τ, kterou by roměá měla abývat, a též ΔΔ UU jako miimálí aketovatelá říutá odhylka. Toleračí meze jou limitími hodotami kvatitativí roměé a je možé je harakterizovat íže uvedeými vztahy: UUUUUU ττ + ΔΔ UU LLLLLL ττ ΔΔ UU Toleračí meze a regulačí meze ři tatitiké regulai jou odlišými vzhledem k tomu, že regulačí meze ředtavují redike hováí kvatitativí roměé a její hroologiký vývoj. Mezi základí ukazatele, které harakterizují výrobí roe, atří roeto ehodýh roduktů defiovaé vztahem V očet ehodýh roduktůelkový očet ledovaýh roduktů za období. Hodota 00 * -V vyjadřuje roeto zůobiloti, řičemž řejímaá úroveň je v rozmezí 98 až 99 %. Důležitou harakteritikou roeu je relativí míra variability daá variačím koefiietem v x jako relativím ukazatelem variability, kde je výběrová měrodatá odhylka roeu a x je výběrový růměr. Zkušeoti ukazují, že ři lěí odmíky 00v < 30 exituje řijatelý roztyl výtuu z obeého roeu. Obeé hodoeí výkooti, zůobiloti roeů a doravíh ytémů Obeé hodoeí zůobiloti roeů a doravíh ytémů robíhá zravidla v íže uvedeýh etaáh [6]:. Volba zaku jakoti a jeho ověřeí, zda ledovaý zak jakoti má ormálí rozděleí ravděodoboti. Sběr hodot a jejih tatitiká aalýza 3. Poouzeí tatitiké tability roeu v rámi regulačíh oatřeí. Výočet ukazatelů zůobiloti, jejih tetováí a orováí ožadovaými hodotami Ad. Zůobilot e hodotí k daému zaku jakoti roduktu ebo meziroduktu. Zak jakoti muí být domiatím z hledika užitýh vlatotí výtuu ytému. Jou-li zaky jakoti ezávilé, ak je uté hodotit zůobilot ro každý zak jakoti earátě. Mezi důležité ředoklady ukazatelů zůobiloti atří ormálí rozděleí řílušého zaku jakoti. Normalitu lze ověřit aříklad ubjektivě, ař. omoí hitogramu, který by měl být jedovrholový, ymetriký a zvoovitého tvaru. Objektiví ouzováí ormality je založeo také a tatitikýh teteh- Dobré
hody, Kolmogorovově-Smirovově tetu, říadě tetu a vyhodoeí šikmoti a šičatoti rozděleí. Ad. Sběr hodot muí robíhat za tadardíh odmíek v delším čaovém horizotu, aby hodoty obahovaly všehy zdroje variability ojeé aříklad e změou materiálu, e změou obluhy výrobího zařízeí, e změou olehlivoti doravíh ytémů, e změou rotředí at Sběr hodot je realizová tak, že v ravidelýh čaovýh ebo dávkovýh itervaleh e odebírají logiké odkuiyáhodé výběry roduktů ebo meziroduktů o rozahu 5, řičemž dle teorie o regulačíh diagrameh je dooručováo ledovat 0 až 5 odkui vzhledem k vyovídaí hooti elého ouboru dat. Ad 3. Jak již bylo uvedeo, oužití ukazatelů zůobiloti je možé ouze u tatitiky tabilího roeu, který obahuje ouze áhodé zdroje variability. Regulačí diagram idetifikuje vymezitelé říčiy variability, řičemž eí-li reduke dat velká, ak je lze oužít k hodoeí zůobiloti roeu. Neí-li roe tatitiky tabilí, je možé taovit idexy kutečého hováí roeu, které však eí možé dále využívat k rediki dalšího hováí roeu, výrobíh a evýrobíh i doravíh ytémů. Ad. U růzýh odikatelkýh ubjektů, ve výrobě, ditribui, doravě a traortíh roeeh jou růzě říé ožadavky a hodoty ukazatelů zůobiloti. ílem hodoeí zůobiloti je kvatitativí harakteritika roeů založeá a hooti udržováí ílové hodoty z hledika olohy a také variability v daém vymezeém toleračím oli. Dále budou uvedey jedotlivé idexy zůobiloti, včetě jejih eifikýh atributů a dalšího využití. 3 Ukazatele zůobiloti 3. Ukazatel zůobiloti Idex zůobiloti [8] atří mezi ejtarší idexy zůobiloti, který je založe a zákou 6 v ormálím rozděleí. Je odílem ředeaé řeoti a kutečě doahovaé řeoti výroby a lze vyjádřit vztahem: USL LSL 6 USL LSL horí toleračí mez dolí toleračí mez měrodatá odhylka roeu Je-li hodota idexu zůobiloti a roe je etrová a třed toleračího ole T, ak e vyrábí 0,7 % ekoformíh roduktů. Výrobí roe je ovažová za zůobilý, je-li >,33, ale exitují výrobí obory říějším hodoeím zůobiloti, ař. >,67. Idex leduje ouze variabilitu, ale eodráží vlatí 3
olohu výrobího a evýrobího roeu či doravího ytému. harakterizuje ět výrobů e tejým idexem zůobiloti, řičemž výrobe je ejřeější, eboť ejčatěji doahuje ílové hodoty a eřekračuje daou tolerai, výrobi a 3 ikdy edoahují ílové hodoty, ale eřekračují tolerai, a koečě výrobi a 5 ikdy edoahují ílové hodoty a zároveň řekračují tolerai. USL T 3 5 LSL Obrázek : Pět růzýh výrobů e tejým idexem zůobiloti Převráeá hodota ukazatele,, harakterizuje využití toleračího ole. Naříklad 0,8 iformuje o tom, že toleračí iterval je využit a 5 %, je výrazě řekročea, a roe je tudíž ezůobilý. Hodota idexu zůobiloti závií a áledujííh íže uvedeýh ředokladeh: Proe je a tabilí a říuté úrovi ředvídatelým hováím v čae. Proe má ormálí rozděleí ravděodoboti ledovaého jakotího zaku. Parametry roeu ro olohu µ a variabilitu jou zámé veličiy. Proe je etrová a ílovou hodotu ležíí ve tředu toleračího ole. V raxi eí měrodatá odhylka roeu záma, roto muí být odhadováa omoí výběrové měrodaté odhylky ebo výběrového rozětí, čímž zíkáme bodový odhad ukazatele zůobiloti. Kromě bodového odhadu, je důležité v dalšíh alikaíh raovat itervalovým odhadem idexu. e taoveou olehlivotí. Má-li roe ormálí rozděleí, ak roměá: má rozděleí - tui voloti, řičemž je odhadem roztylu základího ouboru, který je defiová rovií
5 x x i i Náledujíími vztahy je odvoze kofidečí iterval idexu zůobiloti ravděodobotí - :,,,,,, P P P měrodatá odhylka roeu rozah výběru vzorku tabelovaá kotata záviejíí a rozahu výběru, ro větší vzorky je hladia výzamoti - očet tuňů voloti Někdy je ožadováo, aby itervalový odhad idexu zůobiloti měl eifikou délku δ, a hledá e očet tuňů voloti. Odvozeí hledaého očtu tuňů voloti je atré z rovi uvedeýh íže, řičemž.,,,, δ δ δ z Při odvozeí očtu tuňů voloti bylo využito áledujíího vztahu, který latí ro 30,,5 0 + z z kvatil ormovaého ormálího rozděleí Pokud 0 je aketovatelá miimálí hodota ukazatele zůobiloti, roe je zůobilý, v říadě, že řekročí hodotu 0, tedy latí rovie ro jedotraý itervalový odhad:
0, MIN, Ilutrativí ukázka Je uvažová vzorek 50 ozorováí odhadem měrodaté odhylky základího ouboru 0,03 a výběrovým růměrem x 7,99. Toleračí meze roeu byly deklarováy hodotami UL 8,0 a LL 7,96. Idex zůobiloti USL LSL 8,0 7,96,06 6 6 0,03 95% itervalový odhad idexu zůobiloti : P, 3,6 P,06,06 9 P0,8,8 0,95, 70, 0,95 9 Počet tuňů voloti ro délku kofidečího itervalu δ 0, je: δ z,06,96 0, 03 Tedy očet ozorováí je 0 - Proe je řibližě etrová a ílovou hodotu ležíí urotřed toleračího ole a rodukuje méě ež 0,7 % zmetků. 3. Ukazatel zůobiloti k Idex zůobiloti k [8] zohledňuje eje variabilitu ledovaého zaku jakoti, ale také jeho olohu vůči toleračím mezím, harakterizuje tedy kutečou zůobilot roeu či olehlivot doravího ytému. Při jedotraýh daýh toleraíh je defiová dle íže uvedeýh vztahů: k k L U µ LSL 3 USL µ 3 Při oboutraé tolerai je harakterizováa horší ituae, ke které může dojít, a je defiováa vztahem: 6
m LSL USL m k mi L, U mi, 3 3 Na rozdíl od idexu zůobiloti může idex k být i záorý, to je v říadě, kdy tředí hodota řekročí tolerai a roe vyrábí víe ež 50 % ehodýh roduktů [6,5]. V raxi většiou arametry roeu µ a ejou zámy a muí být odhadováy, čímž zíkáme bodový odhad idexu zůobiloti Ĉ dle áledujííh vztahů: k R d k k mi mi L L,, U U x LSL USL x mi, R R 3 3 d d x LSL USL x mi, 3 3 růměré rozětí odkui Hartleyova kotata tabelovaá ro růzý rozah logikýh odkui áhodýh výběrů tabelovaá kotata růměrá měrodatá odhylka Někdy e míto variačího rozětí může k odhadu měrodaté odhylky roeu oužít roztylu, ož je řeější. K diozii máme m odkui o rozahu, u každé odkuiy je taove výběrový růměr x i a roztyl i, toto jou tatitiky tabilí data z regulačího roeu. Jedou z možotí je ojit data do ouboru o rozahu m a vyočítat klaiky roztyl. Druhou možotí je využití kuiovýh roztylů i a výočet růměrého roztylu. Platí vztah: + x i x i roztyl kuiovýh růměrů Idex a idex k mohou vyházet rozdílě, řičemž rává hodota roztylu je. Mezi ukazateli zůobiloti a k latí íže uvedeé vztahy: k k USL + LSL µ 6 7
Změa hodoty idexu k může mít ojitot jak e změou olohy roeu, tak e změou variability, řičemž eí-li regitrováa žádá změa k, jetliže e měí µ a imultáě. Z tohoto důvodu je vhodé k hodotě idexu k uvádět i hodotu idexu zůobiloti. Předokládá e, že m ředtavuje třed toleračího ole a latí: m 0,5 USL + LSL Nehť k U.a m µ USL. Veličia k defiuje relativí vzdáleot růměru roeu µ od tředu toleračího itervalu m tzv. koefiiet eetrováí roeu dle vztahu: k m m USL LSL Teto vztah latí, okud LL µ m. Tedy mezi ukazateli zůobiloti latí vztah: k k Při ouu tředí hodoty o měrodatou odhylku od tředu toleračího ole bude hodota idexu k o 33 % meší ež hodota idexu zůobiloti. Při řešeí raktikýh roblémů je důležité e zabývat itervalovým odhadem idexu zůobiloti a % hladiě výzamoti. Je uté zát bodové odhady měrodaté odhylky a olohu roeu. Pro itervalový odhad exituje řibližý vztah, ve kterém je očet tuňů voloti, u - je kvatil ormovaého ormálího rozděleí. u P u k k k + Ilutrativí ukázka Výběr o rozahu 0 hodot ohází ze tabilího doravího roeu. Z výběru byly taovey harakteritiky olohy x 8,00 a variability 0,009. Toleračí meze byly ro teto roe určey hodotami USL 8,030 a LSL 7,970. Bude harakterizováa zůobilot tohoto výrobího roeu. USL LSL 8,030 7,970, 6 6 0,009 USL x x LSL 8,030 8,00 8,00 7,970 k mi, mi, 0,96 3 3 3 0,009 3 0,009 m m 8,00 8,000 k 0,33 USL LSL 0,06 8
Doraví roe eí etrová, eí zůobilý, eboť k,33. Proe je ovažová za zůobilý, okud k,33. 95% itervalový odhad idexu zůobiloti k je oje itervalem:,96,96 P 0,96 k + 0,96 0,95 78 78 P 0,77,73 0,95 k 3.3 Ukazatel zůobiloti m Teto idex je zám jako Taguhiho idex zůobiloti roeu. Vyhází z úvahy, že elková variabilita zaku jakoti eí dáa ouze roztylem kolem tředí hodoty, ale také roztylem kolem otimálí hodoty τ ílová hodota ledovaého zaku jakoti. Idex m je defiová vztahem [8]: µ 6 USL LSL + µ τ USL LSL 6 + µ τ µ τ + Z defiičího vztahu je atré, že m. Bude-li rozdíl mezi µ a τ ve velikoti jedé měrodaté odhylky, idex m bude,krát ižší ež idex zůobiloti V raxi jou arametry roeu µ a ezámé veličiy, roto raujeme bodovými odhady idexu zůobiloti m. ve tvaru: m m 6 6 USL LSL R d + x τ USL LSL + x τ Pro µ τ je hodota idexu zůobiloti m, ro µ τ latí m. Idex zůobiloti je eúlou harakteritikou, která eměří etrováí roeu. Idex m je komlexější harakteritikou roeu, jehož bodový odhad má meší roztyl ež odhad idexu. Idex zůobiloti k je velie ezitiví a velikot roztylu roeu a málo ezitiví a etrováí roeů a doravíh ubytémů. Idex zůobiloti m má řeě oačé vlatoti, je velie itlivý a etrováí roeu a málo itlivý a roztyl roeu. Toto orováí je atré z áledujííh říkladů, z ihž rvý říklad vykazuje malý roztyl a šaté etrováí roeu a druhý říklad harakterizuje roe velkým roztylem, ale dobrým etrováím. 9
Ilutrativí ukázka Parametry doravího roeu USL 70 LSL 0 τ 55 µ 5,5 k m 70 5 5 0 mi, 0,67 3,5 3,5 70 0 0,8 6,5 + 5 55 Parametry doravího roeu USL 70 LSL 0 τ 0 µ 0 5 k m 70 0 0 0 mi, 0 3 5 3 5 70 0 6 5 + 0 V raxi e dooručuje ledovat a očítat oba idexy zůobiloti k a m. 3. Ukazatel zůobiloti mk Idex zůobiloti mk orovává vzdáleot tředí hodoty ledovaého zaku jakoti k bližší toleračí mezi oloviou elkové variability, která je dáa variabilitou kolem tředí hodoty a variabilitou kolem ílové hodoty τ. Idex mk je defiová vztahem [8]: mk mi 3 m LSL + m τ, 3 USL m + m τ Parametry roeu µ a jou ezámé veličiy, které odhadujeme omoí výběrového růměru a růměrého rozětí ebo omoí růměré měrodaté odhylky, řičemž ro bodový odhad idexu zůobiloti mk latí: mk mi 3 x LSL USL x, R R + x τ 3 + x τ d d V říadě defiovaé oboutraé tolerae exitují áledujíí vztahy mezi jedotlivými ukazateli zůobiloti: 0
µk µk k k µ + µ τ k µ τ + Idex zůobiloti mk je vždy meší ež idex zůobiloti k, rovot obou idexů atává v říadě, že tředí hodota roeu odovídá ílové hodotě τ. Idex zůobiloti mk je meší ež idex m, rovot obou idexů atává tehdy, leží-li tředí hodota roeu ve tředu toleračího ole. Mezi dikutovaými idexy zůobiloti latí áledujíí erovoti: mk mk k m Každý z idexů zůobiloti harakterizuje zůobilot jiým zůobem, roto je vhodé uvádět oučaě víe idexů zůobiloti a vždy grafiky zobrazit rozložeí ledovaého zaku jakoti vůči toleračím mezím USL a LSL. Závěr Hodoeí zůobiloti výrobíh a evýrobíh roeů, měřiíh zařízeí a doravíh ytémů a dalšíh roeů je komlexí záležitotí. Prvořadým krokem je eifikováí domiatího kvatitativího zaku jakoti ormálím rozděleím ravděodoboti, který by měl být tatitiky tabilí, tj. jeho hováí v čae by mělo být ředvídatelé, tj. o regulai vlatího roeu. Poté a základě aalýzy by měl být vybrá idex zůobiloti, který zohledňuje eje olohu, variabilitu, ale i ílovou hodotu zaku jakoti. Nedílou oučátí je i v rámi aalýzy ukazatelů odhad ravděodoboti vziku ehodýh výrobků či riziko doravího ytému, která by měla být vedeím firmy aketováa jako řijatelá úroveň. V říadě, že data emají ormálí rozděleí, ulová hyotéza ormality byla zamítuta, je jedou z možotí aroximae zámým ojitým rozděleím a taoveí kvatilů, říadě taoveí kvatilů z dikrétíh dat dotatečým očtem a otuovat zůobem modifikovaýh idexů zůobiloti včetě odhadu ravděodoboti vziku ehodýh výrobků.
Literatura: [] Mykika, A. hmelík, V. Matušů, M. Řízeí a zabezečováí jakoti. ČVUT Praha, 998 [] Neadál, J. Nokievičová, D. Petříková, R. Plura, J. Tošeovký, J. Moderí ytémy řízeí jakoti. Maagemet Pre, 998 [3] Neadál, J. Měřeí v ytémeh maagemetu jakoti. Maagemet re, 00 [] Normy maagemetu jakoti ČSN EN ISO 9000: 000. Čeký ormalizačí ititut, 000 [5] Pikáček, B. Kašová, V. Zmatlík, J. Řízeí jakoti. ČVUT Praha, 00 [6] Plura, J. Pláováí a eutálé zlešováí jakoti. omuter Pre, 00 [7] Pyzdek, T. Giude to SP, Volume, Aliatio ad Seial Toi. Publihig I., Tuo, Arizoa,99 [8] Tošeovký, J. Nokievičová, D. Statitiké metody ro zlešováí jakoti. Motaex a.., 000 [9] Tošeovký, J. Statitika v řízeí jakoti. DTO, Otrava, 995 Praha, re 08 Lektorovali: do. RNDr. Bohumír Štědroň, S. Uiverzita Karlova RNDr. Ivo Moll, S. Čeké vyoké učeí tehiké v Praze