A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

Podobné dokumenty
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

3. Matice a determinanty

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Soustavy lineárních rovnic

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Jazyk matematiky Matematická logika Množinové operace Zobrazení Rozšířená číslená osa

Euklidovský prostor Stručnější verze

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika pro studenty ekonomie

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

Matematika B101MA1, B101MA2

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

0. Lineární rekurence Martin Mareš,

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

předmětu MATEMATIKA B 1

Operace s maticemi. 19. února 2018

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

1 Determinanty a inverzní matice

1 Vektorové prostory.

Základy matematiky pro FEK

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

0.1 Úvod do lineární algebry

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Transformace souřadnic

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

Kapitola 11: Vektory a matice:

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech Matice sousednosti a počty sledů

Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

8 Matice a determinanty

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Množinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

0.1 Úvod do lineární algebry

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

9 Kolmost vektorových podprostorů

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

2.3. DETERMINANTY MATIC

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

Soustavy lineárních rovnic

AVDAT Vektory a matice

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

Jak pracovat s absolutními hodnotami

6. Matice. Algebraické vlastnosti

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

D 11 D D n1. D 12 D D n2. D 1n D 2n... D nn

transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]

Základy matematiky pro FEK

Afinní transformace Stručnější verze

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Aplikovaná numerická matematika - ANM

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

Matematické symboly a značky

Úvod do lineární algebry

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

Matice. a m1 a m2... a mn

Transkript:

Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Řádková matice (tvořena jedním řádkem:, Sloupcová matice (tvořena jedním sloupcem: Čtvercová matice speciální případ, kdy je sloupců, neboli stejný počet řádků a Schodovitá matice - je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek. Symetrická, antisymetrická - je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = A T. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že a ij =a ji. 1

Antisymetrická matice - je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = A T. Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a= a=0. Diagonální - je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno. Transponovaná matice, která vznikne přepsáním řádků matice matice do sloupců Úprava matic Matice upravujeme pomocí Gaussovy eliminační metody metoda řešení, která zachovává lineární obal řádků matice. Tato metoda nemění hodnost matice (hodnost matice = maximální počet lineárně nezávislých řádků matice). Každou matici lze převést konečným počtem kroků Gaussovy eliminační metody na horní trojúhelníkovou matici. Operace s maticemi Sčítání matic Matice musí být stejného typu, tedy musí mít stejný rozměr. Sčítá se poté takto: Sčítání matic je zřejmě komutativní a asociativní. A + B = B + A a A + (B + C) = (A + B) + C. 2

Násobení matice konstantou Matice se násobí konstantou tak, že se každý prvek vynásobí konstantou. Násobení matic Nechť matice je typu a je matice typu, pak je definován součin matic jako matice typu takto: každý prvek matice je dán vzorcem: Pro a. Tedy násobení je definováno tehdy, jeli počet sloupců první matice roven počtu řádků druhé matice. Výsledná matice má stejný počet řádků, jako první matice a stejný počet sloupců, jako druhá matice. Násobení matic je asociativní tedy lze. (Důkaz v literatuře) 3

Násobení matic je distributivní vzhledem k sčítání v literatuře). (Důkaz Násobení matic není obecně komutativní (viz příklad). Čtvercová matice A typu se nazývá regulární, pokud. (tj. pokud se v ní nevyskytuje žádný lineárně závislý řádek) Čtvercová matice A se nazývá singulární, pokud není regulární, tj. také říci, že čtvercová matice je singulární, je-li její determinant roven nule ( ), jinak to též znamená, že řádky jsou lineárně závislé.. Lze Inverzní matice Matice A je čtvercová typu a E je jednotková matice stejného typu. Matici B typu, která splňuje vlastnost nazýváme inverzní maticí k matici A. Označujeme ji symbolem. Inverzní matice existuje tehdy, je-li čtvercová matice regulární. Inverzní matice lze nalézt pomocí definice a to, že spočítáme soustavu dvou matic, kde na jedné straně je zadaná matice A a na druhé je jednotková matice E. Gaussovou eliminací se provede úprava zároveň na obou maticích tak, že místo matice A dostaneme jednotkovou matici E a na místě jednotkové matice se dostane inverzní matice. K inverzní matici se lze také dopočítat pomocí následujícího vzorce (kde matice doplňků): je transponovaná 4

Příklad 1: Spočtěte inverzní matici k matici A. Řešení: 5

Komplexní čísla je to nadstavba reálných čísel (reálná čísla jsou pouze část čísel komplexních) Obsahují 2 části komplexní a reálnou uspořádaných čísel [a, b] je to dvojice Algebraický tvar: j imaginární jednotka, vlastnost: Číslo komplexně sdružené: Pythagorova věta: Goniometrický tvar: (= polární souřadnice) Kde, vzdálenost od počátku je a orientovaný úhel je, Exponenciální tvar: Tento tvar se s výhodou používá pro násobení a podíl. Například: Operace s komplexními čísly (pro algebraický tvar) Sčítání, odčítání Násobení Podíl (dělení) Použitá literatura: Lineární algebra Olšák Petr, vydání 2007, www.olsak.net 6