.9.6 Přirozná ponnciální funkc, přirozný ritmus Přdpokldy: 95 Pdgogická poznámk: V klsické gymnziální sdě j přirozná ponnciální funkc 0; j funkc y = +. Asi dvkrát vyrán jko funkc, jjíž tčnou v odě [ ] jsm látku vysvětlovl tímto způsom v oou přípdch jsm yl z strny těch njchytřjších dotzován, co j tk zjímvého n tčně y = +. Od té doy vysvětluji přiroznou ponnciální funkci pomocí drivc. Zjmén v třídách, kd učím fyziku, to nní prolém, protož hnd v prvním ročníku s při výuc kinmtiky studnti učí grficky přiližně drivovt funkc. Tnto způso s mi osvědčil, studnti nmjí s pochopním drivc jko funkc ukzující změny žádné zvláštní prolémy. Drivc prvních tři funkcí v tulc hldám s studnty spolčně n tuli. V části mtmtiky, ktrá s nzývá difrnciální počt (čká nás ž n konci čtvrtého ročníku), s zkoumjí funkc. Vlmi důlžité j zjmén hldání funkc, ktrá nám o nějké jiné funkci říká, jk s mění jjí hodnoty. Tkové dvojic funkcí znám z fyziky. Npříkld: dráh rovnoměrně zrychlného pohyu (s nulovou počátční rychlostí): s rychlost rovnoměrně zrychlného pohyu (s nulovou počátční rychlostí): v = t, no dráh rovnoměrného pohyu: s = vt, rychlost rovnoměrného pohyu: v = konstnt. = t, Rychlost nám říká, jk s v kždém okmžiku mění dráh těls funkc v = t nám říká, jk s mění funkc s = t (mtmtici říkjí, ž funkc v = t j drivcí funkc s = t ). Hldání drivcí j pro fyziku i mtmtiku nprosto zásdní úkol (jdním z ojvitlů difrnciálního počtu j I. Nwton, ktrý tnto druh mtmtiky vymysll, protož z něj nyl schopn mtmticky zpst své fyzikální zákony). Téměř k všm funkcím, o nichž jsm dosud mluvili, istuj funkc, ktrá j jjich drivcí. Ukázky jsou v tulc: Funkc Drivc (znčí s y ' ) y = y ' = 0 y = y ' = y y = y ' = = = y '
y = y ' = Všchny drivc s liší od funkc, jjíž změny popisují. Eistuj funkc, ktrá sm o soě říká, jk s mění? Ktrá j sm svojí drivcí? Jk vypdá drivc ponnciální funkc? Funkc Jjí drivc y = y ' 0, 694 y = y ' 0,694 y = y ',096 y = 4 y ',69 4 y = y ',07944 Všchny drivc ponnciálních funkcí vypdjí skoro stjně jko původní funkc, přkáží tm pouz nějké číslo, ktrým s funkc násoí. Proč? Příkldy ponnciálních závislostí: počt tomů rdioktivní látky: Hodnot funkc odpovídá počtu tomů, změn hodnoty odpovídá počtu tomů, ktré uudou (tn j l opět dán pomocí počtu tomů, ktré v látc istují, protož právě polovin z nich s ěhm poločsu rozpdu zniká). množství pněz n účtu: Hodnot funkc odpovídá počtu pněz n účtu, změn hodnoty odpovídá množství pněz, ktré přiudou (tdy úrokům připsným od nky. Množství pněz, ktré nk n účt připíš, zs odpovídá množství uložných pněz). I prostou úvhou vidím, ž u ponnciálních funkcí j od funkc k jjí drivci vlmi lízko. Všchny řádky můžm zpst tkto: Funkc Jjí drivc y = y ' = k Potřujm njít funkci, pro ktrou pltí k =. Z tulky j vidět, ž: k j zřjmě ritmus při nějkém nznámém zákldu ( k = k, k4 = k, k = k tto čísl splňují prvidl pro ritmy) ; ( k 0,694, k, 096) hldné číslo ( ) Pdgogická poznámk: Přdchozí část kpitoly nní určn k zpmtování. Jd pouz o snhu zdůvodnit, proč s v mtmtic používá z ěžného pohldu nsmyslné číslo jště s o něm tvrdí, ž j njvýhodnější.
Správná hodnot hldného čísl j dlší zákldní mtmtická konstnt (vlmi podoná číslu π ), jmnuj s Eulrovo číslo,745904556074756649775 Eulrovo číslo (podoně jko π ): má nkončný npriodický dstinný rozvoj ( tdy njd npst zlomkm, j ircionální), nní kořnm žádné lgrické rovnic s rcionálními koficinty, dokážm jj určit n liovolný počt dstinných míst, j njvhodnějším číslm pro zákld ponnciální funkc i zákld ritmů (z pohldu normálního člověk j nuvěřitlné, ž používám číslo, ktré ndokážm ni přsně zpst, l z mtmtického hldisk j používání podoně opodsttněné jko používání rdiánů pro vlikost úhlu). Eponnciální funkc y = s nzývá přirozná ponnciální funkc. (Přirozná ponnciální funkc j funkc, jjíž změn j v kždém okmžiku rovn jjí hodnotě.) K ní invrzní ritmická funkc o zákldu funkc (přirozný ritmus). y = s nzývá přirozná ritmická (Přirozný ritmus má z všch ritmických funkcí njhzčí drivci y =.) Znční: Místo y = píšm y = ln. Poznámk: Protož vím, ž k j ritmus při nznámém zákldu pltí k =, j zřjmé, ž pltí = ln, pk totiž vychází k = ln = =. k Pdgogická poznámk: J nutné s nncht příliš unést vykládt první část hodiny tk, y n zytk z touto poznámkou zylo přiližně 0 minut. Pro studnty nní vzorc pro změnu zákldu tk jdnoduchý, jk y s dlo očkávt. Njvětší prolémy jim půsoí volnost, s ktrou si zákld mohou volit. Prolém: N klkulčkách s vyskytují většinou pouz tlčítk pro ln pomocí klkulčk můžm určovt pouz ritmy s zákldm 0 musí istovt vzorc, jk sndno určit i ritmus při jiném zákldě. Pro kždé > 0;, > 0; pro všchn kldná čísl r pltí: r r = Zjímvé. Nový zákld si můžm volit liovolně z všch čísl, ktré můžm použít jko zákld ritmu. Př. : Urči pomocí klkulčky přiližnou hodnotu (n 6 dstinných míst). 0, 47754 Podl vzorc pltí = =, 549650 0,009995
ln, 0969 no = =,549650. ln 0, 6947 Pdgogická poznámk: V tomto přípdě j potř, y yl výsldk spočítán n klkulčc rovnou (n přpisováním mzivýsldků n ppír jjich opětovným zdáváním do klkulčky) npříkld posloupností klávs: / =. Studnti y si měli vyzkoušt spočítt hodnotu ritmu oěm způsoy, y si tk ověřili, ž n volě zákldu oprvdu nzálží. Vzorc si můžm ověřit i pomocí nám známých hodnot ritmů: 6 4 = 46 = = = 4 no dokázt: Pltí: r r = - rovnost zritmujm při zákldu = n oou strnách rovnic jsou čísl, ktrá s rovnjí, pokud z oou čísl udělám ritmy při zákldu (liovolné kldné číslo různé od jdné), udou s rovnt i ndál. r = r - použijm prvidlo pro mocninu uvnitř ritmu. r = r / : r = r Př. : Odhdni (s přsností n clá čísl) hodnoty ritmů pk j vypočti pomocí klkulčky: ) ) 0,5 0, 6 c) 0, ) ( ;) ) 0,5 0, 6 ( 0;) c) 0, ( 4; ), =,65, 0,5 0, 6 = 0, 76966, 0, =, 9 Vzorc pro změnu zákldu můžm využít při výpočtu něktrých ritmů: - všchn čísl jsou mocninmi tří přvdm n podíl ritmů při zákldu 9 9 = = = = 4 9 Př. : Pomocí vzorc pro změnu zákldu vypočti z klkulčky: ) 4 ) 9 c) 4 ) 4 4 = = = = 9 4
) c) = = = = 9 6 9 = 4 = = = 4 4 Shrnutí: Eistuj idální číslo jko zákld přirozné ponnciální funkc i přirozných ritmů. Jd o číslo,745904556074756649775..., stjně jko π njd číslo vyjádřit zlomkm. 5