..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku je 9 cm. S 54 v cm 9cm + c 7 + 5 Př. : Vypočti obsh rovnormenného trojúhelníku se zákldnou o 6cm rmenem b 5cm. Vzorec pro obsh trojúhelník známe v S musím spočítt výšku n jednu ze strn, které b v b Trojúhelník je rovnormenný výšk n zákldnu je zároveň těžnicí b v + 6 v b 5 cm 4cm v 6 4 Spočteme obsh: S cm 1cm Př. : Urči strnu rovnostrnného trojúhelníku s obshem 15cm. Vzorec pro obsh rovnostrnného trojúhelník můžeme uprvit do tvru, kdy obshuje pouze velikost strny. v S Výšku určíme pomocí Pythgorovy věty: 1
C v A v + C 1 0,5 v v 4 4 v S 4 4S Vyjádříme : 4S 4 15 cm 5,9cm Rovnostrnný trojúhelník s obshem B 15cm má strnu o délce 5,9cm. Pedgogická poznámk: Pokud mjí studenti k dispozici tbulky, většinou se jim podří objevit vzorec pro obsh rovnostrnného trojúhelníku příkld se zjednoduší n vyjádření ze vzorce. Př. 4: Odvoď vzorec pro obsh prvidelného šestiúhelníku o strně. Prvidelný šestiúhelník je možné rozložit n šest stejných rovnostrnných trojúhelníků o strně (šestiúhelník je vepsán kružnici, je možné ho rozložit n šest stejných rovnormenných trojúhelníků, jejich vrcholové úhly u středu šestiúhelník jsou stejné musí
dát dohromdy 60, kždý z nich je tedy roven 60 všechny trojúhelník jsou tedy rovnostrnné). S 6 S 6 4 Př. 5: Urči obsh obecného trojúhelník o strnách 5cm, b 6cm, c 7cm. Urči délky všech jeho výšek. Zdný trojúhelník není prvoúhlý, nemá žádnou jinou speciální vlstnost nedokážeme v spočítt výšku nemůžeme použít vzorec S hledáme vzorec pro výpočet obshu + b + c ze strn Heronův vzorec: S s ( s )( s b)( s c), s + b + c 5 + 6 + 7 s cm 9cm ( )( )( ) ( )( )( ) S s s s b s c 9 9 5 9 6 9 7 cm 6 6 cm 14,7 cm Výšky můžeme určit pomocí vzorce pro výpočet obshu (už ho známe). v S S 6 6 1 6 v cm cm 5,9 cm 5 5 S 6 6 Podobně i zbývjící výšky: vb cm 6 cm 4,9cm b 6 S 6 6 1 vc cm 6 cm 4,cm c 7 7 Pedgogická poznámk: Více než polovin studentů má problémy při určování výšek. Automticky se zdání snží vyřešit pomocí vět pro prvoúhlý trojúhelník ni je nenpdne uvžovt o použití vzorce pro obsh (mjí ho v pměti zřzený zcel jednosměrně jko cestu k počítání obshu). Př. 6: Vypočti obsh vyšrfovného obrzce (vzdálenosti jsou udné v cm): 10 0 10 10 0 10 Obrzec je tvořen čtvercem 40cm x 40cm, ze kterého jsou vyříznuty tři kusy: dv prvoúhlé trojúhelníky s odvěsnmi 10cm 10cm. Dohromdy tvoří čtverec 10cm x 10cm prvidelný šestiúhelník o výšce 0 cm odečtením ploch výřezů od plochy velkého čtverce získáme výsledek
pro určení plochy šestiúhelníku musíme znát jeho strnu (vzorec pro obsh jsme odvodili v příkldu ) 10 0 Pokud je výšk celého šestiúhelníku 0 cm, rovná se výšk rovnostrnných trojúhelníků, ze kterých je složen 10 cm doszením do vzthu pro výšku určíme strnu šestiúhelníku: v 0 v cm 0 40 10 cm 1600 100 00 cm 100 15 cm ( ) S S1 S S S 1154 cm Vyšrfovný obrzec má přibližně povrch 1154cm. Př. 7: Urči obvod obsh prvidelného pětiúhelníku, má-li jeho nejkrtší úhlopříčk délku 10 cm. Obvod prvidelného pětiúhelníku: o n 5 5 Obsh prvidelného pětiúhelníku: S n ρ ρ musíme ze zdného údje určit délku strny poloměr kružnice vepsné. D E r S r u C A B Určení strny z rovnormenného trojúhelníku ABC: n 180 5 180 540 Součet vnitřních úhlů v pětiúhelníku: ( ) ( ) Velikost úhlu α : 540 108 5 Úsečk BS dělí trojúhelník n dv shodné prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α u α sin u 10 cm 6,18cm α 108 sin sin Určení poloměru kružnice vepsné z trojúhelníku EDS: 4
60 Úhel ESD je pětinou plného úhlu: ESD 7. 5 Přímk BS dělí rovnormenný trojúhelník EDS n dv shodné prvoúhlé trojúhelníky ESD 7 ϕ 6 tgϕ 6,18 ρ cm 4,5cm ρ tgϕ tg6 Doszení do vzorců: Obvod: o n 5 5 6,18 cm 0,9 cm ρ 5 5 Obsh: S n ρ 6,18 4, 5cm 65,7 cm Prvidelný pětiúhelník s nejkrtší úhlopříčkou o délce 10 cm, má obvod 0,9 cm obsh 65,7 cm. Př. 8: Střední příčk rozdělí lichoběžník n dv menší lichoběžníky. Urči poměr jejich obshů. Obsh lichoběžníku: S ( + ) c v D C K L A B + c Střední příčk je průměrem obou záklden: s. v + c + c ( s + c) + c v v ( ) Modrý lichoběžník: + c v Sm 4 4 8 v + c + c ( + s) + v v ( ) Zelený lichoběžník: + c v Sz 4 4 8 ( + c) v Sm Poměr lichoběžníků: 8 + c S ( + c z ) v + c 8 + c Vzniklé lichoběžníky mjí v obshy v poměru + c. Shrnutí: 5
6