Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme v podstatě posloupost aměřeých hodot. Jak uvidíme vzápětí, jde o koečou podmožiu matematicky defiovaé poslouposti. V této kapitole také poprvé zavedeme pojmy jako limita, omezeost, kovergece, což jsou základí pojmy matematické aalýzy. POSLOUPNOSTI Fukce, jejímž defiičím oborem je možia přirozeých čísel N, se azývá posloupost. Fukčí hodoty poslouposti se azývají čley poslouposti, fukčí hodota poslouposti v bodě N se azývá -tý čle poslouposti. Fukčí předpis poslouposti { } = a (resp. a ) je zpravidla zadá jedím z ásledujících způsobů: Vzorcem pro -tý čle a (tzv. explicití defiice); apř. a = (posloupost všech sudých přirozeých čísel), a = (posloupost všech lichých přirozeých čísel). Rekuretě, tj. zadáím prvího ebo ěkolika prvích čleů poslouposti a předpisem (vzorcem), podle ěhož lze postupě určit další čley poslouposti; apř. a = 4, a + = a ; ebo b =, b = 5, b + = b b - +. Poslouposti můžeme graficky zázorňovat eje v roviě (v pravoúhlé kartézské soustavě souřadic), ale i přímo a číselé ose. Grafem poslouposti je vždy možia avzájem izolovaých bodů. Zázorěte graficky prvích šest čleů posloupostí, daých vzorcem pro -tý čle. a = ; + b = ; c = ( ) +. 45
Řešeí: Obrázek 6. Grafické zázorěí prvích šesti čleů posloupostí: a =, b + =, c = ( ) + 46
NĚKTERÉ VLASTNOSTI POSLOUPNOSTÍ Jelikož posloupost s reálými čley je zvláštím případem reálé fukce reálé proměé, můžeme u í také zkoumat obdobé vlastosti: Posloupost { } = a se azývá: shora omezeá, jestliže existuje takové h R, že platí a h pro všecha N. zdola omezeá, jestliže existuje takové d R, že platí a h pro všecha N. omezeá, je-li omezeá shora i zdola. rostoucí, je-li a < a + pro všecha N. klesající, je-li a > a + pro všecha N. eklesající, je-li a a + pro všecha N. erostoucí, je-li a a + pro všecha N. Poslouposti rostoucí, klesající, eklesající, erostoucí azýváme souhrě mootóí poslouposti. V případě posloupostí rostoucích a klesajících jde potom o ryze mootóí poslouposti. ELEMENTÁRNÍ TYPY POSLOUPNOSTÍ Aritmetickou posloupostí rozumíme posloupost typu a = a+ ( )d, (6.) kde a, d jsou libovolá pevě zvoleá reálá čísla a =,,,... ( N). Číslo d se azývá diferece aritmetické poslouposti, číslo a je prví čle této poslouposti. Aritmetická posloupost tedy vypadá takto: a, a+ d, a+ d, a+ d, a+ 4d, a platí, že každý čle aritmetické poslouposti lze získat přičteím kostaty d k předchozímu čleu. Například a 5 = a + 4d = (a + d) + d = a 4 + d. Rekuretí defiice aritmetické poslouposti je pak ásledující:. a = a,. a + = a + d, =,,,... Lze kostatovat, že daá posloupost je aritmetická právě tehdy, je-li rozdíl mezi dvěma ásledujícími čley stále stejý. Pro součet s prvích čleů aritmetické poslouposti platí vzorec: 47
s = a + a+ + a = ( a+ a). (6.) Geometrickou posloupostí rozumíme posloupost typu a = aq, (6.) kde a, q jsou pevě zvoleá reálá čísla a =,,,... ( N). Číslo q se azývá kvociet geometrické poslouposti, číslo a je prví čle této poslouposti. Geometrická posloupost tedy vypadá takto: a, aq, aq, aq, aq 4, a platí, že každý čle geometrické poslouposti lze získat vyásobeím předchozího čleu kostatou q. Například a 5 = a q 4 = (a q )q = a 4 q. Rekuretí defiice geometrické poslouposti je pak ásledující:. a = a,. a + = a q, =,,,... Lze kostatovat, že daá posloupost je geometrická právě tehdy, je-li podíl dvou ásledujících čleů stále stejý. Pro součet s prvích čleů geometrické poslouposti platí vzorec: s q = a. (6.4) q Teto vzorec si ještě později odvodíme. kovergeci. U posloupostí budeme kromě omezeosti a mootóosti dále zkoumat LIMITA POSLOUPNOSTI Reálé číslo a se azývá vlastí limita poslouposti { } = ( ε ), a a ε ε > 0 R N <. Limitu poslouposti { } = 0 0 a pak zapisujeme takto: lim = a. a a tehdy, platí-li Úmluva: Limitu poslouposti vždy určujeme v evlastím bodě, proto budeme dále psát je lim a = a. 48
Pozámka: Defiice limity poslouposti je vlastě přesou formulací jakési ituitiví představy, že a se eomezeě blíží k a, jestliže roste ade všechy meze, což je ázorě zachyceo v obr. 6.. Posloupost se azývá kovergetí, pokud má vlastí limitu a R. Posloupost se azývá divergetí, pokud eí kovergetí. Řekeme, že posloupost { } = K R N a > K. 0, 0 Řekeme, že posloupost { } = 0, 0 L R N a < L. a má evlastí limitu + (viz obr. 6.), jestliže a má evlastí limitu - (viz obr. 6.4), jestliže Obrázek 6. Zázorěí kovergetí poslouposti a Obrázek 6. Zázorěí poslouposti a s evlastí limitou + 49
Obrázek 8. Zázorěí poslouposti a s evlastí limitou - TVRZENÍ O LIMITÁCH POSLOUPNOSTÍ i. Každá posloupost má ejvýše jedu limitu. ii. Každá kovergetí posloupost je omezeá. (pozor- obráceá věta eplatí, viz ( ) a = ) iii. Každá omezeá mootóí posloupost je kovergetí. Každá shora omezeá eklesající posloupost je kovergetí. Každá zdola omezeá erostoucí posloupost je kovergetí. iv. lim = 0 ; lim = 0 ; lim( ) = 0 ; lim = 0, kde r > 0. r v. Nechť a a b jsou kovergetí poslouposti a echť lim a = A a lim b = B, echť je c libovolé reálé číslo (c R). Potom jsou kovergetí i poslouposti a + b, a - b, a b, c a a platí: lim (a + b ) = lim a + lim b = A + B, lim (a - b ) = lim a - lim b = A B, lim (a b ) = lim a lim b = A B, lim (c a ) = c lim a = c A. Nechť avíc jsou eulová čísla B a b pro všecha přirozeá ( N). Potom je kovergetí i posloupost a /b a platí: a lima A lim = =. b lim b B 50
Defiujeme-li pro tzv. rozšířeou možiu reálých čísel = R { -, } R a pro každé a reálé (a R) ásledující vztahy: - < a < +, a + = +, a - = -, a (+ ) = + pro a > 0, a (+ ) = - pro a < 0, a (- ) = - pro a > 0, a (- ) = + pro a < 0, a / ± = 0, (+ ) / a = + pro a > 0, (+ ) / a = - pro a < 0, (- ) / a = - pro a > 0, (- ) / a = + pro a < 0, a / 0 = + pro a > 0, a / 0 = - pro a < 0. Pozor! Nedefiujeme tzv. eurčité výrazy: 0 ( ± ); (+ ) + (- ); (± /± ); (± / 0); (0 / 0). Platí pak další tvrzeí: vi. Jedá-li se o defiovaé operace s ±, platí tvrzeí (v.) i pro A, B evlastí. vii. Žádá aritmetická posloupost s diferecí d 0 emá vlastí limitu. viii. Pro geometrickou posloupost a platí: lim a = 0 pro q <, vlastí lim a eexistuje pro q > ; q = -. ix. lim a = 0 lim a = 0. Rozhoděte o existeci vlastí limity posloupostí, spočtěte: lim lim 0 0 (a) lim = lim = = = 0, kovergetí posloupost. lim 5
5 + lim5 lim + lim 5 + 5 0+ 0 (b) lim = lim = = = 5, kovergetí posloupost. lim lim (c) lim = lim = = = +, divergetí posloupost. lim lim 0 (d) (e) lim + + +... + = lim ( )!-!! ( + -) ( + ) + = lim =... = /, kovergetí posloupost.!! lim = lim = lim = 0, kovergetí posloupost. + LIMITNÍ PŘECHOD V NEROVNOSTI Mějme poslouposti a, b, c, které mají vlastí či evlastí limity. Platí ásledující tvrzeí: x. Je-li a b pro všecha, pak platí lim a lim b. xi. Platí-li a c b všecha přirozeá a zároveň lim a = lim b = a R, pak lim c = a. xii. Je-li a b pro všecha přirozeá a zároveň lim a = +, pak platí lim b = +. xiii. Je-li a b všecha přirozeá a zároveň lim b = -, pak platí lim a = -. Určíme si i lim = 0. si lim s použitím tvrzeí (xi.). Platí si N, přitom lim = lim = 0, tedy Pozámka: Jedou z možostí zavedeí užitečé kostaty - Eulerova čísla e (základu přirozeých logaritmů) - je defiice pomocí limity poslouposti, respektive limit posloupostí. Platí + lim + = lim + = e. 5
ŘADY S pojmem posloupost je úzce spoje pojem řada. Řada vzike sečteím prvků poslouposti. Takže je-li dáa posloupost { } = a, výraz ve tvaru a a + a + +, (6.5) + a4 se azývá řada (ekoečá řada). Čley poslouposti se azývají čley řady. Zapisujeme také pomocí sumy: = a = a + a + a + a 4 + Jelikož řada je defiovaá jako součet, budeme se hlavě zajímat o to, zda daou řadu lze ebo elze sečíst, tedy je-li teto součet koečé číslo. Řadu se azveme kovergetí, pokud je její součet reálé číslo. V opačém případě se řada azývá divergetí. Pojem kovergece a divergece je zámý již z limit. Zde se vyskytuje oprávěě, možost sečíst řadu opravdu souvisí s existecí limity určité poslouposti a to íže defiovaé poslouposti částečých součtů. Mějme posloupost { a } = jako součet a + a + a +... + a k. Tedy s = a s = a + a s = a + a + a. Čle poslouposti částečých součtů s k vzike... s k = a + a + a +... + a k Mějme geometrickou posloupost a s prvím čleem a a kvocietem q, určete vztahy pro posloupost částečých součtů pro růzá q. Řešeí:. q = s = a + a + a +... + a = a.. q s = a + a + a +... + a. Teto součet si přepíšeme pomocí vztahu -tého a prvího čleu geometrické poslouposti... s = a + a q + a q + a q +... + a q -. 5
Rovost vyásobíme kvocietem q... s q = a q + a q + a q +... + a q - + a q. V dalším kroku od sebe předchozí řádky odečteme... s - s q = a - a q. A akoec už je upravíme... s (- q) = a (- q ) s = a (- q )/( - q). V předchozím příkladu jsme si odvodili vzorec pro součet s prvích čleů geometrické poslouposti { } = a ve tvaru: s q = a. (6.6) q Pozámka: Dáváme pozor a hodotu spodí meze u symbolu sumy. V řadě případů ezačíá číslem, jde ale je o staoveí hodoty prvího čleu. Je dáa řada =0. Posloupost částečých součtů pak bude vypadat takto: s 0 = a 0 =. s = a 0 + a = + / =,5. s = a 0 + a + a = + / + /4 =,75. s = a 0 + a + a + a = + / + /4 + /8 =,875. s 4 = a 0 + a + a + a + a 4 = + / + /4 + /8 + /6 =,975. s 5 = a 0 + a + a + a + a 4 + a 5 = + / + /4 + /8 + /6 + / =,96875. Na tomto příkladu je vidět, jak souvisí součet řady s posloupostí částečých součtů. Čley této poslouposti se se vzrůstajícím stále více blíží k číslu. Můžeme se tedy domívat, že součet všech čleů poslouposti a bude právě. Platí tvrzeí o součtu ekoečé řady: řada je kovergetí právě tehdy, když je kovergetí posloupost jejích částečých součtů, limita poslouposti částečých součtů je rova součtu s této řady. 54
a = lims = = s. (6.7) Součet řady z předchozího příkladu bude tedy vypadat ásledově. Jelikož se v tomto případě jedá o geometrickou posloupost s prvím čleem a = a kvocietem q = ½, platí vztah (6.6) s = a (- q )/(- q). = 0 = lim = lim = lim lim = 0=. Řada tedy koverguje, protože koverguje její posloupost částečých součtů, součet je rove. Pro geometrickou řadu s prvím čleem a a kvocietem q platí tvrzeí, že pro q < řada koverguje; pro q řada diverguje. Pokud řada koverguje, její součet s je rove: a s = a =. (6.8) = q Rozhoděte, zda je daá geometrická řada kovergetí, v kladém případě určete součet. 5 5 5 5 a) + + + +... 4 8 6 b) ( ) =. c) ( ) =. Řešeí: 5 5 a) a = 5/; q = /; q < a řada tedy koverguje; = s = = 5. = b) a = -/; q = -; q a řada tedy diverguje. c) a = -; q = -/; q < a řada tedy koverguje; = ( ) 9 s = = =. 4 = + 4 55
Cílové zalosti. Základí defiice poslouposti.. Základí pojmy: omezeost, mootoie.. Základí typy posloupostí (aritmetická, geometrická), vlastosti. 4. Limita poslouposti. 5. Rozhodout o existeci limity poslouposti, spočítat limitu poslouposti. 6. Defiice ekoečé řady, posloupost částečých součtů, součet řady. 56