V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, která má řešení x = 1, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že = 2, 2 = 1, = 2. 2 Z podmínek pro typ kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = ( 2, 1) lokální minimum a f( 2, 1) = 2. 2. f(x, y) = 6xy x 3 8y 3 + 125. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 6y 3x2, = 6x 24y2. 3x 2 6y = 0 6x 24y 2 = 0, která má dvě řešení x 1 = 0, y 1 = 0 a x 2 = 1, y 2 = 1. Vypočteme parciální derivace 2 2. řádu a dostaneme, že 2 = 6x, = 6, 2 = 48y. Z podmínek pro typ kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a 1 = (0, 0) je 1 = 0, 2 = 36 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a 1 = (0, 0) lokální extrém. V bodě a 2 = (1, 1 2 ) je 1 = 6 < 0, 2 = 108 > 0 má tedy funkce f v tomto bodě lokální maximum a f(1, 1 2 ) = 126. 3. f(x, y) = x 2 2y 2 4x + 8y 6. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x 4, 21 = 4y + 8.
2x 4 = 0 4y + 8 = 0, která má řešení x = 2, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že = 2, 2 = 0, = 4. 2 Z podmínek pro určení typu kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a = (2, 2) je 1 = 2 > 0, 2 = 8 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 2) lokální extrém. 4. f(x, y) = 3lnx + xy 2 y 3. Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x > 0} a funkce f má spojité parciální = 3 x + y2, = 2xy 3y2. 3 x + y2 = 0 y(2x 3y) = 0, která má řešení x = 3 3 2 2, y = 3 2. Tento bod není v definičním oboru. Funkce nemá žádný stacionární bod, tudíž nemá lokální extrémy. Příklad 2: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + 2z xy + xz. Definičním oborem funkce je množina Df = R 3 a funkce f má spojité parciální = 2x y + z, = 2y x, z = 2 + x. 2x y + z = 0 2y x = 0 2 + x = 0, která má řešení x = 2, y = 1, z = 3. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že = 2, 2 = 2, 2 z = 0, 2 = 1, z = 1, z = 0. Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a = ( 2, 1, 3) je 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, 3 = 2 < 0 tudíž funkce f nemá lokální extrém. 22
2. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + xz z + x 2y + 5. Definičním oborem funkce je množina Df = R 3 a funkce f má spojité parciální = 2x + z + 1, = 2y 2, z = 2z + x 1. 2x + z + 1 = 0 x + 2z 1 = 0 2y 2 = 0, která má řešení x = 1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že = 2, 2 = 2, 2 z = 2, 2 = 0, z = 1, z = 0. Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a = ( 1, 1, 1) je 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 6 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = ( 1, 1, 1) lokální minimum. 3. f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z. Funkce f je definována pro {(x, y, z); x 0, y 0, z 0}, což je otevřená množina a má ve všech bodech definičního oboru spojité parciální derivace všech řádů a je = 1 y2 4x 2, = 2y 4x z2 y, 2 z = 2z y 2 z. 2 4x 2 y 2 = 0 2y 3 4xz 2 = 0 2z 3 2y = 0, která má řešení x 1 = 1 2, y 1 = 1, z 1 = 1 a x 2 = 1 2, y 2 = 1, z 2 = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že 2 = y2 2x 3, = 1 2 2x + 2z2 y, 3 z 2 = 2 y + 4 z 3, = y 2x 2, z = 0, z = 2z y 2. Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d 2 f vyplývá, že v bodě a 1 = ( 1, 1, 1) je 2 1 = 4 > 0, 2 = 8 > 0, 3 = 32 > 0 tudíž má funkce f v bodě a 1 = ( 1, 1, 1) lokální minimum. Pro kvadratickou formu 2 d2 f v bodě a 2 = ( 1, 1, 1) dostaneme 2 1 = 4 < 0, 2 = 8 > 0, 3 = 32 < 0, tudíž má funkce f v bodě a 2 = ( 1, 1, 1) lokální maximum. 2 23
Neřešené příklady Úloha 1: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy x y + 3. [Df = R 2, = 2x y 1, = 2y x 1.] [stacionární bod a = (1, 1), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 2. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 9y. [Df = R 2, = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 3. f(x, y) = 6xy + x 3y 2x 2 5y 2 + 7. = 6y + 1 4x, = 6x 3 10y.] [stacionární bod a = ( 2, 3 2 ), 1 = 4 < 0, 2 = 4 > 0, lokální maximum.)] 4. f(x, y) = x 2 y 2 + 2x + 6y + 5. [Df = R 2, = 2x + 2, = 2y + 6.] [stacionární bod a = ( 1, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 5. f(x, y) = 3x + 6y x 2 xy + y 2. = 3 2x y, = 6 x + 2y.] [stacionární bod a = ( 12 5, 9 5 ), 1 = 2 < 0, 2 = 5 < 0, není lokální extrém.)] 6. f(x, y) = e x 2 (x + y 2 ). = e x 2 ( x 2 + y2 2 + 1), = 2ye x 2.] [stacionární bod a = ( 2, 0), 1 = 1 2 e 1 > 0, 2 = e 2 > 0, lokální minimum.)] 7. f(x, y) = 1 x + 1 y xy. [Df = {(x, y); x 0, y 0}, = 1 x 2 y, = 1 y 2 x.] [stacionární bod a = ( 1, 1), 1 = 2 < 0, 2 = 3 > 0, lokální maximum.)] 8. f(x, y) = 2x 3 y x 2 y 2 + 32x + 5. = 6x2 y 2xy 2 + 32, = 2x3 2x 2 y.] [stacionární bod a = ( 2, 2), 1 = 40 > 0, 2 = 384 < 0, není lokální extrém.)] 9. f(x, y) = 2x 3 + 2xy 2 24x + 5. = 6x2 + 2y 2 24, = 4xy.] [stacionární bod a 1 = (2, 0), 1 = 24 > 0, 2 = 192 > 0, lokální minimum.)] [stacionární bod a 2 = ( 2, 0), 1 = 24 < 0, 2 = 192 > 0, lokální maximum.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (0, 2 3), 1 = 0, 2 = 192 < 0, není lokální extrém.)] 24
10. f(x, y) = 3x 2 2x y + y 8x + 12. [Df = {(x, y); y 0}, = 6x 2 y 8, [stacionární bod a = (2, 4), 1 = 6 > 0, 2 = 1 2 11. f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5. = 3x2 6y, = x y + 1.] > 0, lokální minimum.)] = 24y2 6x.] [stacionární bod a = (0, 0), 1 = 0, 2 = 36 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (1, 1 2 ), 1 = 6 > 0, 2 = 108 > 0, lokální minimum.)] 12. f(x, y) = x 2 + xy + y 2 6x 9y. = 2x + y 6, = x + 2y 9.] [stacionární bod a = (1, 4), 1 = 2 > 0, 2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 13. f(x, y) = 2xy 2x 4y. = 2y 2, = 2x 4.] [stacionární bod a = (2, 1), 1 = 0, 2 = 4 < 0, není lokální extrém.)] 14. f(x, y) = x y x 2 y + 6x + 3. [Df = {(x, y); y 0}, [stacionární bod a = (4, 4), 1 = 2 < 0, 2 = 3 16 15. f(x, y) = x 3 + y 3 18xy + 15. = y 2x + 6, [ Df = R 2 = 3x2 18y, = x 2 1.] y > 0, lokální maximum.)] = 3y2 18x.] [stacionární bod a 1 = (0, 0) 1 = 0, 2 = 324 < 0, není lokální extrém;] [stacionární bod a 2 = (6, 6) 1 = 36 > 0, 2 = 972 > 0, lokální minimum ] 16. f(x, y) = ln(x 3 ) + 2lny + ln(12 x y). [ Df = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 12}, = 3 x 1 12 x y, [stacionární bod a = (6, 4) 1 = 1 3 < 0, 2 = 1 16 = 2 y 1 12 x y.] > 0, lokální maximum ] Úloha 2: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y 6z. = 2x + 2, = 2y + 4, z = 2z 6.] [stacionární bod a = ( 1, 2, 3), 1 = 2 > 0, 2 = 4 > 0, 3 = 8 > 0, lokální minimum.] 25
2. f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z. = 3x2 + 12y, = 2y + 12x, z = 2z + 2.] [stacionární bod a 1 = (0, 0, 1), 1 = 0, 2 = 144 < 0, 3 = 288 < 0, není lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (24, 144, 1), 1 = 144 > 0, 2 = 144 > 0, 3 = 288 > 0, lokální minimum.] 3. f(x, y, z) = 2xy x 2 y + e y + z 5arctgz. = 2y 2x, = 2x 1 + ey, [stacionární bod a 1 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] [stacionární bod a 2 = (0, 0, 2), 1 = 2 < 0, 2 = 6 < 0, 3 = 24 5 lokální extrém.] 4. f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy 3yz + xz 8x 3z. = 2x + 2y + z 8, = 2y + 2x 3z, z z = 1 5 1+z 2.] < 0, není < 0, není = 2z 3y + x 3.] [stacionární bod a = (2, 1, 2), 1 = 2 > 0, 2 = 0, 3 = 32 < 0, není lokální extrém.] 26