Matematická analýza 2 1

Matematická analýza 2 Obsah Diferenciální rovnice 3. Motivace....................... 3.2 Diferenciální rovnice. řádu............ 3.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu... 7.3. Ortogonální systémy integrálních křivek...4 Lineární diferenciální rovnice. řádu........4. Bernoulliova rovnice............ 3.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu..... 4.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu......... 8.6. Homogenní rovnice............. 8.6.2 Nehomogenní rovnice............ 23.6.3 Fyzikální aplikace.............. 26.7 Okrajové úlohy pro rovnice 2. řádu........ 28.8 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. řádu 3.9 Metody řešení soustavy diferenciálních rovnic.. 32 Posloupnosti a řady funkcí 4. Posloupnosti funkcí................. 4.2 Funkční řady.................... 44.3 Mocninné řady................... 46.4 Trigonometrické Fourierovy řady......... 53.5 Obecné Fourierovy řady.............. 57 2 Skalární funkce více reálných proměnných 66 2. Prostor R n...................... 66 2.2 Základní vlastnosti funkcí v R n.......... 69 2.3 Derivace a diferenciál................ 73 2.4 Vlastnosti diferencovatelných funkcí........ 76 2.5 Derivace a diferenciály vyšších řádů. Taylorova věta.......................... 83 2.6 Řešitelnost funkcionálních rovnic......... 89 3 Základní pojmy optimalizace v R n 95 3. Lokální a globální extrémy............. 95 3.2 Extrémy vzhledem k podmnožině......... 4 Diferencovatelná zobrazení 3 4. Základní pojmy................... 3

2 Matematická analýza 2 5 Riemannův integrál v R n 9 5. Definice a základní vlastnosti Riemannova integrálu9 5.2 Metody výpočtu dvojných a trojných integrálů.. 29 5.3 Užitečné vzorce................... 36

Matematická analýza 2 3 Diferenciální rovnice. Motivace Na účet v bance vložíme v čase t = peníze v hodnotě z(). Při úročení s denním úrokem u máme po t dnech na účtu zůstatek z(t ) = z() + z() u t. Na účtu tedy přibude z(t ) z() = z() u t a rychlost růstu = z() u. Okamžitou změnu účtu dostaneme pro je z(t ) z() t z(t t, potom lim ) z() t t t = z () a z () = z() u. webmath R.P.Feyman: Existuje jediný způsob formulace fyzikálních zákonů, a to ve tvaru diferenciálních rovnic. Nejen fyzika, ale i biologie, chemie nebo ekologie popisují své vztahy pomocí diferenciálních rovnic. Uvedená rovnost platí v libovolném čase t. Tedy z (t) = z(t) u a jejím (obecným) řešením je funkce z(t) = C e ut, C R. Pro (počáteční) podmínku z() = z dostaneme z = C e C = z a (partikulární) řešení naší úlohy má tvar z(t) = z e ut..2 Diferenciální rovnice. řádu Definice. : (diferenciální rovnice.řádu) Rovnice pro neznámou funkci y = y(x), x I, I R, v níž vystupuje derivace y a která je zapsána ve tvaru F (x, y, y ) = implicitní tvar nebo y = f(x, y) explicitní tvar se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Diferencovatelná funkce y = y(x), x I, která splňuje rovnici () pro každé x I se nazývá řešení diferenciální rovnice. Podmínka y(x ) = y x I (2) se nazývá počáteční podmínka a úloha (), (2) se nazývá počáteční (Cauchyova) úloha. () Zobrazení f : R n R se nazývá funkce n- reálných proměnných. Funkce f = f(x, y) je funkce dvou reálných proměnných.

4 Matematická analýza 2 Tečné vektory v rovině-xy mají tvar (, y ), resp. (, f(x, y)). Izoklina je geometrické místo bodů [x, y], ve kterých tečné vektory k integrálním křivkám jsou rovnoběžné. Rovnici izoklin píšeme ve tvaru f(t, x) = C Definice.2 : (geometrický popis dif. rovnice.řádu) Graf řešení y = y(x) diferenciální rovnice () se nazývá integrální křivka diferenciální rovnice. Funkce f(x, y) z rovnice y = f(x, y) určuje směrové pole diferenciální rovnice, což je systém tečných vektorů ke grafu řešení. Množina bodů [x, y], pro které je funkce f(x, y) konstantní se nazývá izoklina. (C je konstanta). Příklad. : Pro diferenciální rovnici y = x jsou rovnice izoklin tvaru x = c, c je libovolné číslo, což jsou přímky rovnoběžné s osou y. webmath Geometricky interpretujeme obecné řešení diferenciální rovnice. řádu jako jednoparametrický systém křivek. Integrální křivka singulárního řešení tvoří tzv. obálku systému křivek obecného řešení. V bodech integrální křivky singulárního řešení je porušena jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení má tvar y = x2 2 + C = ϕ(x, C). Integrální křivky jsou paraboly. Pro počáteční podmínku y() = 3 má počáteční úloha (partikulární) řešení tvar y = x2 2 + 3. Definice.3 : Obecným řešením diferenciální rovnice y =f(x, y) se nazývá funkce ϕ(x, C) závislá na volitelném parametru C taková, že k libovolné bodu [x, y ] D(f) (D(f) je definiční obor funkce f) existuje (jediný) parametr C takový, že y = ϕ(x, C ) a funkce y(x) = ϕ(x, C ) řeší danou diferenciální rovnici na I. Jestliže každým bodem integrální křivky nějakého řešení ỹ diferenciální rovnice prochází jiná integrální křivka, pak ỹ nazýváme singulárním řešením rovnice. Příklad.2 : je každá funkce tvaru Řešením rovnice y = y 2 3 y(x) = 27 (x + C)3 (C je libovolná konstanta). Nulová funkce y(x) = je však také řešením dané rovnice. Je to singulární řešení, neboť libovolným bodem [x, ] prochází integrální křivka řešení tvaru y(x) = 27 (x x ) 3. Cvičení. : rovnice Dokažte, že obecné řešení tzv. Clairautovy y 2 xy + y =

Matematická analýza 2 5 je funkce y(x) = cx c 2 a singulární řešení má tvar y(x) = 4 x2. Nakreslete integrální křivky. [ Zderivováním a dosazením do původní rovnice ověříme tvrzení. ] Věta. : Funkce y = y(x), x I je řešením počáteční úlohy (), (2) právě tehdy, když je řešením integrální rovnice y(x) = y + x x f(ξ, y(ξ)) dξ. (3) Důkaz : Nechť y(x) je řešením Cauchyovy úlohy (), (2). Integrujeme-li rovnost y (x) = f(x, y(x)), x x, x, od x do x, pak dostáváme y(x) y(x ) = x x f(ξ, f(ξ)) dξ. Protože y(x )=y, splňuje funkce y(x) integrální rovnici (3). Nechť naopak y(x) je řešením integrální rovnice (3), tj. platí y(x) = y + Potom y(x ) = y x x f(ξ, y(ξ)) dξ, x I. a derivováním podle x dostáváme y (x) = f(x, y(x)). Věta.2 : (Peanova, Picardova) Předpokládáme, že funkce f(x, y) je spojitá na obdélníku D = x δ, x + δ y ε, x + ε. Dále položíme M = max [x,y] D f(x, y), h = min{δ, ε M }. Potom v intervalu x h, x + h existuje řešení y(x) rovnice y = f(x, y) s počáteční podmínkou y(x ) = y. Nechť navíc existuje konstanta L > taková, že x x δ, x + δ, y, y 2 y ε, x + ε platí Dokázat existenci a jednoznačnost řešení úlohy je jedním z hlavních úkolů matematické analýzy Například rovnice y = sgn x řešení nemá. f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2, (lipschitzova podmínka) pak existuje právě jedno řešení úlohy (), (2).

6 Matematická analýza 2 Poznámka. : Důkaz věty (.2) je založen na Picardově iterační metodě postupných aproximací. Definujeme nultou aproximaci y (x) = y (= konst) a dosadíme ji do pravé strany v (3); dostaneme první aproximaci y (x) = y + x y f(ξ, y ) dξ. Po dosazení do pravé strany v (3) dostaneme druhou aproximaci y 2 (x) = y + x y f(ξ, y (ξ)) dξ. Obecně n-tý krok iteračního procesu je dán formulí (n-tou aproximací) y n (x) = y + x y f(ξ, y n (ξ)) dξ. Dostaneme tak posloupnost postupných aproximací y (x), y (x), y 2 (x),..., y n (x),..., která za předpokladů věty (.2) konverguje a limitní funkce y(x) = lim n y n (x) je řešením dané počáteční úlohy. Příklad.3 : Určete přibližné řešení počáteční úlohy y = y, y() = jako n-tý člen posloupnosti postupných Picardových aproximací. K výpočtu užijeme iterační formuli y n (x) = + x y n (ξ) dξ.

Matematická analýza 2 7 Máme tedy y (x) =, y (x) = + y 2 (x) = + y n (x) = +. x x x dξ = + x, ( + ξ) dξ = + x + x2 2, ( ) + ξ + ξ2 2 +... + ξn (n )! + x + x2 2 + x3 3! +... + xn n!. Z Taylorova rozvoje funkce e x lze dokázat, že dξ = lim y n(x) = y(x) = e x. n.3 Metody řešení diferenciálních rovnic. řádu Při řešení diferenciálních úloh se budeme snažit najít obecné řešení úlohy () a také řešení počáteční úlohy (), (2). Metoda přímé integrace. Poznamenejme, že neexistuje žádná univerzální metoda na řešení všech typů diferenciálních rovnic.. Chceme najít obecné řešení rovnice y = f(x), x I. Určíme systém primitivních funkcí k funkci f, tj. y(x) = F (x) + C. 2. Chceme-li najít řešení počáteční úlohy pak y = f(x), y(x ) = y, x I, a) ze systému primitivních funkcí y(x) = F (x) + C vybereme takovou, která splňuje počáteční podmínku y = F (x ) + C. (Graf funkce y prochází bodem [x, y ].) Odtud vypočteme C = y F (x ), takže y(x) = F (x) + y F (x ).

8 Matematická analýza 2 b) nebo využijeme větu (.), potom y(x) = y + x x f(ξ) dξ. Tento výsledek lze samozřejmě také psát ve tvaru x y(x) = y + F (x) F (x ), neboť F (x) = f(ξ) dξ x (primitivní funkce vyjádřená integrálem s proměnnou horní mezí, viz definice 8. v MA). Příklad.4 : Řešíme počáteční úlohu y = x 3 + sin x, y() =, x R. a) Z obecného řešení y(x) = x4 4 cos x + C vypočteme konstantu C: = + C C = 2. Řešení úlohy má tvar: y(x) = x4 4 cos x + 2. b) Přímou integrací dostaneme: y(x) = + x Metoda separace proměnných. Touto metodou řešíme rovnice typu y = f (x) f 2 (y), [ξ 3 + sin ξ] dξ = + x4 4 cos x +. kde f, f 2 jsou dané funkce. Rovnici můžeme psát ve tvaru dy dx = f (x) f 2 (x), f 2 (y) dy = f (x) dx resp. (separace proměnných) a chápat jako rovnost dvou diferenciálů. Protože y = y(x), pak integrováním dostaneme rovnost x x f 2 (y(ξ)) y (ξ) dξ = x x f (ξ) dξ,

Matematická analýza 2 9 neboli F 2 (y(x)) = F (x) + C, kde F, F 2 jsou primitivní funkce k funkcím f, f 2. Poznámka.2 : Vztahu F 2 (y(x)) = F (x)+c říkáme funkcionální rovnice pro neznámou funkci y(x). Také se nazývá obecný integrál dané diferenciální rovnice, neboť její řešení y(x) je obecným řešením diferenciální rovnice. Říkáme také, že obecné řešení je obecným integrálem dáno implicitně. Příklad.5 : Stanovme obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = x sin y. Separací proměnných převedeme rovnici na tvar dy dx = x sin y sin y dy = x dx a dostaneme nebo cos y = x2 2 + C obecný integrál x 2 2 cos y = 2C implicitní tvar řešení. Rovnice umožňující přechod k separaci proměnných. Rovnici tvaru y = f(ax + by + c) rovnice s přímkou převedeme substitucí u = ax + by + c na rovnici se separovatelnými proměnnými. Příklad.6 : Příklad dy (2x y + ) + dx (4x 2y + 6) = vyřešíme substitucí u = 2x y + du = 2 dx dy dy = 2 dx du, potom

Matematická analýza 2 (2 dx du)u + dx (2u + 4) = du u + dx (4u + 4) = dx = 4 u u+ x + C = 4 (u ln u + ) x + C = 4 (2x y + ln 2x y + 2 ) obecný integrál. Rovnici tvaru y = f(x, y), kde t R : f(tx, ty) = f(x, y) na rovnici se separovatelnými pro- převedeme substitucí u = y x měnnými. Příklad.7 : Příklad y = e y x + y x vyřešíme substitucí u = y x u x = y y = u x + u, potom u x + u = e u + u du dx x = eu e u du = x dx e u = ln x + C e y x = ln x + C obecný integrál. Připomeňme, že dvě přímky ve směrnicovém tvaru y = k x + q y = k 2 x + q 2 jsou kolmé, jestliže k k 2 =..3. Ortogonální systémy integrálních křivek. Z definice (.2) víme, že integrální křivky rovnice y = f(x, y) tvoří jednoparametrický systém křivek a že funkce f(x, y) určuje v bodě [x, y] směrnici tečny k jedné z těchto křivek. Potom hodnota f(x,y) určí směrnici přímky kolmé (normály) v tomtéž bodě. Proto obecné řešení (obecný integrál) rovnice y = f(x, y) určí systém integrálních křivek ortogonálních k systému původnímu.

Matematická analýza 2 Příklad.8 : diferenciální rovnice y = y x obecné řešení y(x) = C x systém přímek procházející počátkem ortogonální rovnice y = x y y 2 + x 2 = C systém kružnic se středem v počátku Vidíme, že znalost jednoho systému dovoluje určit systém ortogonální. S úlohami tohoto typu se můžeme setkat např. v teorii pole (systém siločar a systém ekvipotenciálních čar)..4 Lineární diferenciální rovnice. řádu Definice.4 : Diferenciální rovnice tvaru y = a(x) y + b(x), x I (4) se nazývá lineární diferenciální rovnice. řádu. Funkce a(x) se nazývá koeficient rovnice a funkce b(x) pravá strana rovnice (4). Rovnice y = a(x) y se nazývá homogenní diferenciální rovnice. Řešení rovnice (4) metodou variace konstanty.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y = a(x) y separací proměnných dy y = a(x) dx A(x) je primitivní ln y = A(x) + K funkce k funkci a(x) y = e A(x)+K y h = C e A(x) y = e A(x) K R, položíme C = ±e K obecné řešení homogenní rovnice se nazývá fundamentální řešení 2. Řešení nehomogenní rovnice (4) hledáme ve tvaru: y(x) = C(x) e A(x) variace konstanty C.

2 Matematická analýza 2 Základem metody variace konstanty je hledat řešení y ve tvaru součinu dvou funkcí, tedy y = C y h. Po dosazení do (4) dostaneme C y h +Cy h =acy h+b, což platí, pokud C y h = a C y h a zároveň C y h = b. Po dosazení do rovnice (4) dostaneme C (x) e A(x) + C(x) e A(x) a(x) = a(x) C(x) e A(x) + b(x). Tedy C (x) e A(x) = b(x) C(x) = a partikulární řešení rovnice (4) má tvar b(x) y p (x) = e dx A(x) ea(x). b(x) dx ea(x) 3. Pro obecné řešení y nehomogenní rovnice (4) platí b(x) y = y h + y p, neboli y = C e A(x) + e dx A(x) ea(x). Obecné řešení rovnice y = a(x)y + b(x) je součtem obecného řešení příslušné homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. Příklad.9 : Najděte obecné řešení rovnice y = y+e 2x.. Homogenní rovnice y = y má obecné řešení y h (x) = C e x (e x fundamentální řešení). 2. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y(x) = C(x) e x, tj. y = C (x)e x + C(x) e x. Po dosazení do původní rovnice obdržíme C(x) e x + C(x) e x = C(x) e x + e 2x, tj. C(x) e x = e 2x C(x) = e x + K. Bez újmy na obecnosti položíme K = (K e x je homogenní řešení) a dostaneme partikulární řešení y p (x) = e x e x = e 2x. 3. Obecné řešení nehomogenní rovnice má tedy tvar y(x) = y h (x) + y p (x) = Ce x + e 2x.

Matematická analýza 2 3.4. Bernoulliova rovnice Definice.5 : Diferenciální rovnice tvaru y + a(x) y = b(x) y n, n,, x I (5) se nazývá Bernoulliova rovnice. Bernoulliovu rovnici vydělíme y n, dostaneme a pak pomocí substituce ji převedeme na tvar y y n + a(x) y y n = b(x) z = y n z = ( n) y n y z + a(x) z = b(x), n což je lineární diferenciální rovnice řešitelná metodou variace konstanty. Příklad. : Vyřešíme rovnici y + x y = x y 3. Nyní n=3 a z = y 3 z = 2y 3 y. Po dosazení do původní rovnice dostaneme z 2 + xz = x z 2xz = 2x. Vyřešíme lineární rovnici. hom. rovnice 2. part. řešení z 2xz = z h = C e x2 C e x2 = 2x C = e x2 z p = e x2 e x2 = 3. obecné řešení z = C e x2 + y 2 = C e x2 +

4 Matematická analýza 2.5 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Definice.6 : Nechť a (x), a (x),..., a n (x), f(x), x I jsou reálné funkce, a n (x). Lineární diferenciální rovnici n-tého řádu pro neznámou funkci y = y(x) se nazývá rovnice a n (x)y (n) +... + a (x)y + a (x)y = f(x), x I. (6) Zkráceně píšeme L[y] = f, říkáme, že L je lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Je-li f(x) =, pak se rovnice (6) nazývá homogenní, jinak nehomogenní. Funkce y = y(x), která splňuje rovnici (6) pro každé x I a pro x I splňuje počáteční podmínky y(x ) = y, y (x ) = y,, y n (x ) = y n (7) se nazývá řešení počáteční úlohy (6), (7). Analogii k Peano-Picardově větě zaručující existenci a jednoznačnost řešení pro diferenciální rovnice.řádu je následující věta. Věta.3 : (o existenci a jednoznačnosti) Nechť funkce a, a,..., a n, f jsou spojité na otevřeném intervalu I R. Pak počáteční úloha (6), (7) má právě jedno řešení definované na celém intervalu I. Příklad. : Rovnice y + 4y = je diferenciální rovnice 2. řádu. Tato rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jsou to například funkce y (x) = sin 2x, a jejich libovolná lineární kombinace y 2 (x) = cos 2x y = C y + C 2 y 2 obecné řešení. Počáteční podmínky y() =, y () = splňuje funkce y = cos 2x. Podle předchozí věty (.3) je tato funkce určena jednoznačně (a 2 =, a =, a = 4, f = jsou spojité funkce na R).

Matematická analýza 2 5 Dále budeme předpokládat, že a, a,..., a n, f jsou spojité funkce na otevřeném intervalu I R a a n (x) na I. Definice.7 : Funkce y (x), y 2 (x),..., y n (x), x I se nazývají lineárně závislé, jestliže existují konstanty c, c 2,..., c n takové, že alespoň jedna je nenulová a platí x I : c y (x) + c 2 y 2 (x) +... + c n y n (x) =. V opačném případě říkáme, že funkce y (x), y 2 (x),..., y n (x) jsou lineárně nezávislé. Věta.4 : Funkce y (x),..., y n (x), které řeší rovnici L[y] = na I, jsou lineárně závislé právě tehdy, když determinant W (x) = det y (x) y 2 (x)... y n (x) y (x) y 2(x)... y n(x)... y (n ) (x) y (n ) 2 (x)... y n (n ) Determinant W (x) se nazývá Wronskián. (x) =. Důkaz : a) Podle předpokladu máme lineárně závislé funkce y (x),..., y n (x). Potom existují konstanty Také říkáme, že c, c 2,..., c n takové, že alespoň jedna je nenulová existuje netriviální lineární kombinace a platí x I : c y (x) + c 2 y 2 (x) +... + c n y n (x) =. Postupným derivováním dostaneme rovnice c y (x) + c 2 y 2 (x) +... + c n y n (x) =, c y (x) + c 2 y 2(x) +... + c n y n(x) =,. c y (n ) (x) + c 2 y (n ) 2 (x) +... + c n y (n ) n (x) =. Tato soustava s nulovou pravou stranou má netriviální řešení (c, c 2,..., c n ). Proto determinant soustavy W (x) musí být roven nule.. taková, že c y +... + c n y n =

6 Matematická analýza 2 b) Důkaz povedeme přímo. Předpokládáme, že existuje x I takové, že W (x ) =. Potom soustava Operátor L splňuje L[c y +... + c ny n ] = c L[y ] +... + c nl[y n ], říkáme, že je lineární. Zároveň L[y i ] =, i =,..., n, tedy L[y] =. V důkazu věty jsme dokázali : W (x ) = y, y 2,..., y n jsou lineárně závislé W (x) =, x I. c y (x ) + c 2 y 2 (x ) +... + c n y n (x ) = c y (x ) + c 2 y 2(x ) +... + c n y n(x ) =.. c y (n ) (x ) + c 2 y (n ) 2 (x ) +... + c n y n (n ) (x ) = má nenulové řešení (c,..., c n). Funkce y(x) = c y (x) + c 2y 2 (x) +... + c ny n (x) splňuje rovnici L[y] = a počáteční podmínky y(x ) =, y (x ) =,..., y (n ) (x ) =. Tyto podmínky však splňuje i nulová funkce, tedy podle věty o jednoznačnosti (.3) je y(x) na I a funkce y, y 2,..., y n jsou lineárně závislé, což jsme chtěli dokázat. Příklad.2 : Funkce y = e x, y 2 = e x řeší rovnici a platí Funkce e x, e x y (x) y(x) = na R ( e W (x) = det x e x e x e x jsou lineárně nezávislé. ) = 2 x R. Množina K se nazývá jádro operátoru L. Věta.5 : Označme K = {y(x) : L[y] = } množinu všech řešení homogenní rovnice. Množina K je lineární prostor dimenze n. Důkaz : Nechť funkce y, y 2 K, pak zřejmě také jejich libovolná lineární kombinace c y + c 2 y 2 K, tedy K je lineární prostor. Ukážeme, že dimenze tohoto prostoru je n. Označme y i K, i =,,..., n takové funkce, které vyhovují počátečním podmínkám y (j) i (x ) = δ j i = { (δ j i - se nazývá Kroneckerovo delta)., j = i, j i (8)

Matematická analýza 2 7 Nechť y je řešení rovnice L[y] = splňující počáteční podmínky y(x )=c, y (x )=c,..., y (n ) (x )=c n, pak lze vyjádřit ve tvaru n y(x) = c i y i (x). i= Přitom funkce y, y,..., y n jsou podle věty (.3) lineárně nezávislé, neboť Wronskián y (x ) y (x )... y n (x ) y det (x ) y (x )... y n (x )... = y (n ) (x ) y (n ) (x )... y (n ) n (x ) vzhledem k počátečním podmínkám (8), tedy tvoří bázi prostoru K. Definice.8 : Báze prostoru K se nazývá fundamentální systém homogenní diferenciální rovnice L[u] =. Fundamentální systém je tvořen n lineárně nezávislými funkcemi Funkce y (x), y 2 (x),..., y n (x), x I. y(x)=c y (x) + c 2 y 2 (x) +... + c n y n (x), kde c, c 2,..., c n jsou libovolné konstanty, se nazývá obecné řešení homogenní rovnice. Volbou konstant c, c 2,..., c n nebo počátečních podmínek y(x ) = y, y (x ) = y,, y n (x ) = y n získáme řešení (počáteční) úlohy. Příklad.3 : Fundamentální systém rovnice y + y = je tvořen funkcemi a funkce y (x) = cos x, y 2 (x) = sin x y(x) = c cos x + c 2 sin x je obecným řešením dané rovnice.

8 Matematická analýza 2.6 Metody řešení rovnic n-tého řádu.6. Homogenní rovnice Eulerova rovnice Rovnice x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a y =, kde a, a,..., a n jsou reálné konstanty, se nazývá Eulerova rovnice. Je to lineární rovnice se speciálními proměnnými koeficienty a její fundamentální systém tvoří funkce ve tvaru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Výklad provedeme na příkladech. A) (jednoduché kořeny) Pro rovnici x 3 y 3x 2 y + 6xy 6y = chceme stanovit takové hodnoty parametru λ, aby funkce y(x) = x λ byla řešením této rovnice. Protože y = λx λ, y = λ(λ )x λ 2, y = λ(λ )(λ 2)x λ 3, pak po dosazení do diferenciální rovnice obdržíme x 3 λ(λ )(λ 2)x λ 3 3x 2 λ(λ )x λ 2 +6xλx λ 6x λ =, tudíž (λ 3 6λ 2 + λ 6) x λ =. Tato rovnost je splněna (při x ) pouze pro kořeny λ =, λ 2 = 2, λ 3 = 3 uvedeného polynomu. Trojice funkcí y (x) = x, y 2 (x) = x 2, y 3 (x) = x 3 je lineárně nezávislá, neboť příslušný Wronskián je nenulový (W (x) = 2x 3, x ), a tvoří tedy fundamentální systém Eulerovy rovnice. Obecné řešení rovnice má tvar y = C x + C 2 x 2 + C 3 x 3. B) (vícenásobné kořeny) V případě, že λ je k-násobným kořenem polynomu příslušného Eulerově rovnici, potom k tomuto kořenu máme k lineárně nezávislých řešení tvaru y (x) = x λ, y 2 (x) = x λ ln x,... y k (x) = x λ ln k x, patřících do fundamentálního systému.

Matematická analýza 2 9 Při řešení rovnice dostaneme: x 2 y + 3xy + y = y(x) = x λ, y = λx λ, y (x) = λ(λ )x λ 2 a po dosazení x 2 λ(λ )x λ 2 + 3x λ x λ + x λ =, λ 2 λ + 3λ + =, λ 2 + 2λ + =, λ,2 =. Do fundamentálního systému rovnice tedy patří funkce y (x) = x, y 2(x) = x ln x a obecné řešení rovnice má tvar y = C x + C 2 x ln x. C) (komplexní kořeny) Využijeme-li vztahu Jsou-li kořeny polynomu Eulerovy rovnice komplexní, mohou být funkce fundamentálního systému (tj. komplexní funkce reálné proměnné) x a+ib, x a ib, resp. x a+ib ln k x, x a ib ln k x, nahrazeny reálnými funkcemi x a cos(b ln x), resp. x a cos(b ln x) ln k x, x a sin(b ln x), x a sin(b ln x) ln k x. Při řešení rovnice dostaneme: x 2 y + xy + y = x 2 λ(λ )x λ 2 + x λ x λ + x λ =, λ 2 + =, λ = i λ 2 = i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y (x) = x i, y 2 (x) = x i nebo y (x) = cos(ln x), y 2 (x) = sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C cos(ln x) + C 2 sin(ln x). a b = e b ln a (a > ) a Eulerovy identity e ix = cos x + i sin x, pak pro x > dostaneme x ib = cos(b ln x)+ i sin(b ln x). ( Pro x < volíme ln( x) místo ln x. ) Poznamenejme, že L[y + iy 2 ] = L[y ] + il[y 2 ] = L[y ]= L[y 2 ]=.

2 Matematická analýza 2 Metoda charakteristické rovnice Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty n-tého řádu a n y (n) + a n y (n ) +... + a y + a y = hledáme ve tvaru y(x) = e λx, (popř. xe λx,..., x k e λx ) kde číselný parametr λ je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) a n λ n + a n λ n +... + a λ + a =. A) (jednoduché kořeny) Řešení rovnice y 4y + 3y = hledáme ve tvaru y(x) = e λx. Potom y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx a po dosazení do rovnice máme λ 2 e λx 4λe λx + 3e λx =. Hledáme tedy kořeny charakteristické rovnice λ 2 4λ + 3 =, které jsou λ = 3, λ 2 =. Fundamentální systém rovnice je tedy tvořen funkcemi e 3x, e x a obecné řešení rovnice má tvar y(x) = C e 3x + C 2 e x. B) (vícenásobný kořen) Chceme vyřešit rovnici Její charakteristická rovnice y 3y + 3y + y =. λ 3 3λ 2 + 3λ = má trojnásobný (k = 3) kořen λ =. V tomto případě je fundamentální systém rovnice tvořen funkcemi y (x) = e x, y 2 (x) = x e x, y 3 (x) = x 2 e x a obecné řešení rovnice má tvar y = C e x + C 2 x e x + C 3 x 2 e x.

Matematická analýza 2 2 C) (komplexní kořeny) Hledáme obecné řešení rovnice y + 4y + 3y =. Kořeny charakteristického polynomu λ 2 +4λ+3 jsou komplexní čísla λ = 2 + 3i, λ 2 = 2 3i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ( 2+3i)x = e 2x (cos 3x + i sin 3x), y 2 (x) = e ( 2 3i)x = e 2x (cos 3x i sin 3x), které lze zapsat jako lineární kombinace funkcí ŷ (x) = e 2x cos 3x, ŷ 2 (x) = e 2x sin 3x. Z lineární algebry víme, že jestliže komplexní číslo z = a+ib je kořenem polynomu, potom také komplexně sdružené číslo z =a ib je kořenem daného polynomu. Máme tedy jinou bázi lineárního prostoru K ={y : L[y]=} a obecné řešení tak můžeme psát ve tvaru y(x) = e 2x (C cos 3x + C 2 sin 3x). Cvičení.2 : Stanovte obecné řešení systém rovnice y 2y 3y =. [ y(x) = C e x + C 2 e 3x. ] Cvičení.3 : Vyřešte rovnici y (5) 3y (4) + 3y y =. [ λ,2 = dvojnásobný kořen a λ 3,4,5 = trojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C + C 2 x + C 3 e x + C 4 x e x + C 5 x 2 e x. ] Cvičení.4 : Vyřešte rovnici y (4) +8y + 6y =. [ λ,2 = 2i dvojnásobný kořen a λ 3,4 = 2i dvojnásobný kořen, obecné řešení y(x) = C cos 2x + C 2 x cos 2x + C 3 sin 2x + C 4 x sin 2x. ] Metoda snižování řádu je speciální metoda používaná v případě, že jedno řešení y (x) homogenní rovnice již známe. Potom další partikulární řešení hledáme ve tvaru y(x) = y (x) z(x). Ukážeme si to na příkladu.

22 Matematická analýza 2 Příklad.4 : Chceme stanovit fundamentální systém a obecné řešení diferenciální rovnice ( + x 2 ) y 2xy + 2y =.. Jedno partikulární řešení je y (x) = x. 2. Druhé řešení hledáme ve tvaru y(x) = x z(x), pak y = z + x z, y = 2z + x z a dosadíme do původní rovnice, tj. ( + x 2 )(2z + xz ) 2xz 2x 2 z + 2xz = 2z + 2x 2 z + x 3 z 2x 2 z + xz + 2xz 2xz = 2z + (x + x 3 )z =. Označíme v = z a dostaneme rovnici. řádu (snížení řádu) pro funkci v 2v + (x + x 3 )v =. Separací proměnných vypočteme v(x) = + x2 x 2, tj. z(x) = x x. 3. Druhé partikulární řešení je tedy tvaru ( y 2 (x) = y (x) z(x) = x x ) = x 2. x 4. Fundamentální systém je y (x) = x, y 2 (x) = x 2. 5. Obecné řešení má tvar Cvičení.5 : y(x) = C x + C 2 (x 2 ). Vyřešte metodou snižování řádu rovnici y x x y + x y =, jestliže jedno partikulární řešení je y = x. [ Obecné řešení je y(x) = C x + C 2 e x. ]

Matematická analýza 2 23.6.2 Nehomogenní rovnice Metoda variace konstant pro řešení nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic n tého řádu L[y] = a n (x)y (n) +a n (x)y (n ) + +a (x)y +a (x)y = f(x).. Určíme fundamentální systém y (x), y 2 (x),..., y n (x) a obecné řešení y h (x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) homogenní rovnice L[y] =. 2. Partikulární řešení nehomogenní rovnice L[y] = f hledáme ve tvaru y p (x) = C (x) y (x) + C 2 (x) y 2 (x) + + C n (x) y n (x), kde funkce C (x), C 2 (x),, C n (x) získáme jako řešení soustavy C y + C 2y 2 + + C ny n =, C y + C 2y 2 + + C ny n =,.. C y (n 2) + C 2y (n 2) 2 + + C ny (n 2) n =, C y (n ) + C 2y (n ) 2 + + C ny n (n ).. = f(x) a n (x). Po dosazení obecného tvaru partikulárního řešení y p (x) do původní rovnice, dostaneme jednu rovnici s n neznámými funkcemi C (x),, C n (x). Prvních n rovnic v dané soustavě si tedy můžeme volit. 3. Obecné řešení původní nehomogenní diferenciální rovnice je součtem homogenního a partikulárního řešení y(x) = y h (x) + y p (x). Příklad.5 : Stanovme obecné řešení rovnice ( + x 2 ) y 2x y + 2y = 2.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice (viz metoda snižování řádu příklad (.4)) y h (x) = C x + C 2 (x 2 ).

24 Matematická analýza 2 Jestliže y h je řešením homogenní rovnice L[y h ] =, pak také L[C y h ] =, C R. Jestliže tedy máme správně řešení homogenní rovnice, potom v metodě variace konstant musí vypadnout členy z nederivovanými funkcemi C, C 2. 2. Partikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = C (x) x + C 2 (x)(x 2 ). Po zderivování: y p = C x + C 2 (x 2 ) + C + 2x C 2. Položíme C x + C 2(x 2 ) = a znovu derivujeme y p = C + 2 C 2 + 2x C 2. Po dosazení do dané rovnice obdržíme (+x 2 )(C +2 C 2+2x C 2 ) 2x (C +2x C 2 )+ 2(C x + C 2 (x 2 )) = 2, odtud po úpravě dostaneme ( + x 2 )(C + 2x C 2) = 2. Dostáváme soustavu algebraických rovnic pro neznámé funkce C, C 2: Odtud C = x 2 + C x + C 2(x 2 ) =, C + 2x C 2 = 2 x 2 +. x 2 2 2x = 2(x2 ) x x 2 (x 2 +) C 2 (x) = 2x +x + K 2, 2x (bez újmy na obecnosti pokládáme : K = ). C 2 = x 2 x 2 + x x 2 2x = 2x (x 2 +) 2 C 2 (x) = +x 2 +(K 2 =). Partikulární řešení dostáváme ve tvaru y p (x) = 2x + x x + 2 + x 2 (x2 ) = 3x2 +. + x 2 3. Obecné řešení úlohy je tedy funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C x + C 2 (x 2 ) + 3x2 + + x 2. Cvičení.6 : Metodou variace konstant vyřešte počáteční úlohu y 2y + y = e x, y() =, y () =. [ Obecné řešení y(x) = C e x + C 2 xe x + x2 2 ex, řešení poč. úlohy y(x) = e x + x2 2 ex. ]

Matematická analýza 2 25 Metoda odhadu na rozdíl od metody variace konstant je tato metoda použitelná pouze pro rovnice s konstantními koeficienty a se speciální pravou stranou tvaru y (n) +a n y (n ) + +a y +a y =e ax (P n (x) cos bx+q m (x) sin bx), kde P n (x), Q m (x) jsou polynomy stupně n, resp. m; číslo a+ib je tzv. kritické číslo pravé strany.. Metodou charakteristické rovnice najdeme obecné řešení y h (x) homogenní rovnice. 2. Partikulární řešení y p (x) nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = x r e ax (R k (x) cos bx + S k (x) sin bx). kde r je násobnost kritického čísla a + ib jako kořene charakteristické rovnice (pokud a + ib není kořenem charakteristické rovnice, pak r = ) a polynomy R k (x), S k (x) jsou stupně k = max{n, m}. 3. Obecné řešení rovnice má tvar y(x) = y h (x) + y p (x). Příklad.6 : rovnice Metodou odhadu stanovíme obecné řešení y 2y + y = e x.. Charakteristická rovnice je λ 2 2λ + =, má dvojnásobný kořen λ = a homogenní řešení má tvar 2. Z rovnosti y h = C e x + C 2 xe x. e x = e ax (P n (x) cos bx + Q m (x) sin bx) vyplývá a =, b =, n =, m = k =, R (x) = R, S (x) = S, kde R, S jsou konstanty. Kritické číslo a + i b = je dvojnásobný kořen charakteristické rovnice, tedy r = 2.

26 Matematická analýza 2 Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = x 2 e x R, potom y p(x) = R [2xe x +x 2 e x ], y p(x) = R [2e x +2xe x + 2xe x + x 2 e x ]. Po dosazení y p, y p, y p do dané rovnice můžeme vypočítat neznámou konstantu R: R (2e x + 4xe x + x 2 e x 4xe x 2x 2 e x + x 2 e x ) = e x, 2 R =, tj. R = 2, a partikulárním řešením je funkce y p (x) = 2 x2 e x. 3. Obecné řešení má tvar y(x) = C e x + C 2 xe x + 2 x2 e x. Princip superpozice Úlohu L[y] = f + f 2 rozdělíme na dvě L[y] = f, L[y] = f 2. Jestliže funkce y řeší L[y ] = f a funkce y 2 řeší L[y 2 ] = f 2, pak funkce y = y + y 2 je řešením původní úlohy L[y] = f + f 2. Příklad.7 : Rovnici y + 4y = 2 sin x + cos 3x rozdělíme na dvě úlohy y + 4y = 2 sin x a y + 4y = cos 3x, pak jednotlivá partikulární řešení jsou y p = 2 3 sin x y p 2 = 5 cos 3x a partikulární řešení původní rovnice má tvar y p = 2 3 sin x 5 cos 3x..6.3 Fyzikální aplikace Kirchhoffův zákon v tzv. RLC obvodu Nechť i(t) je proud v elektrickém obvodu v závislosti na čase t, u R je napětí na odporu R >, u L je napětí na cívce s indukcí L >, u C je napětí na kondenzátoru s kapacitou C >, u(t) = U sin ωt je napětí na svorkách zdroje,

Matematická analýza 2 27 potom platí u R + u L + u C = u(t), nebo-li Ri(t) + L di(t) dt + C t t i(τ) dτ = u(t), t t. Hledáme-li funkci i = i(t) splňující tento zákon, pak derivováním obdržíme diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci i: L d2 i dt 2 + R di dt + i C = ωu cos ωt. Rovnice mechanického systému Uvažujeme jednoduchý mechanický systém pohybující se po nerovném povrchu. Vertikální pohyb se řídí Newtonovým pohybovým zákonem my (t) = ky(t) γy (t) + F (t), kde y = y(t) je časově závislá výchylka tělesa od klidové polohy, m > je hmotnost systému, k > je tuhost pružiny, γ je koeficient tlumení. Vnější síla F může mít tvar. F (t) = [kϕ(t) + γ ϕ(t)] (buzení vlivem nerovností terénu), 2. F (t) = F cos ω t (periodické vnější buzení). Rovnice elektrického obvodu a jednoduchého mechanického systému se z matematického pohledu neliší, a proto hovoříme o rovnici kmitů (elektrických, mechanických). Pravá strana F cos ω t představuje tzv. vnější buzení, přičemž F je amplituda a ω frekvence vnějšího periodického buzení. K jednoznačnému určení těchto funkcí musíme navíc znát počáteční hodnoty y(t ), y (t ), resp. i(t ), di(t ) dt. Řešení příslušné počáteční úlohy se nazývá odezva systému na počáteční stav a na vnější buzení.

28 Matematická analýza 2.7 Okrajové úlohy pro rovnice 2. řádu Okrajovou úlohou nazveme lineární diferenciální rovnici 2. řádu a 2 (x)y + a (x)y + a (x)y = f(x), (9) kde a 2 (x), a (x), a (x), f(x) jsou funkce na intervalu a, b s okrajovými podmínkami α y(a) + β y (a) = γ α, β, γ R, α 2 y(b) + β 2 y (b) = γ 2 α 2, β 2, γ 2 R. () Podle tvaru okrajových podmínek také dělíme okrajové úlohy na následující typy. Dirichletova okrajová úloha Při této úloze hledáme funkci y = y(x), x a, b tak, aby platilo a 2 (x)y + a (x)y + a (x)y = f(x), x (a, b), y(a) = γ, y(b) = γ 2. kde γ, γ 2 jsou daná reálná čísla. Neumannova okrajová úloha Nyní hledáme funkci y = y(x), x a, b tak, aby platilo a 2 (x)y + a (x)y + a (x)y = f(x), x (a, b), y (a) = γ, y (b) = γ 2. Příklad.8 : a) Dirichletova úloha y + y =, x (, π), y() =, y(π) =. Obecným řešením úlohy je y(x) = C cos x+c 2 sin x a z okrajových podmínek dostaneme = C cos + C 2 sin, = C cos π + C 2 sin π, } C =, C 2 R. Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = C 2 sin x.

Matematická analýza 2 29 b) Neumannova úloha y(x)= C cos x+c 2 sin x, y (x)= C sin x+c 2 cos x, y + y =, x (, b), y () = γ, y (h) = γ 2, } γ = C sin +C 2 cos, γ 2 = C sin b+c 2 cos b, C 2 = γ, γ 2 γ cos b = C sin b. Protože γ, γ 2, b jsou daná čísla, mohou nastat následující situace. sin b, potom C = γ cos b γ 2 sin b jediné řešení y(x) = γ cos b γ 2 sin b a úloha má tedy cos x + γ sin x. 2. sin b =, γ 2 γ cos b =, potom má úloha nekonečně mnoho řešení tvaru Vidíme, že otázky ře - šitelnosti okrajových úloh jsou mnohem komplikovanější ve srovnání s počátečními úlohami, kde stačila spojitost koe - ficientů k jednoznačnosti řešení. y(x) = C cos x + γ sin x, kde C je libovolné reálné číslo. 3. sin b =, γ 2 γ cos b, pak neexistuje řešení dané úlohy. Například y + y =, y () =, y (π) = 2 nemá žádné řešení. Zde b = π, γ =, γ 2 = 2. Okrajová úloha s parametrem neboli Sturmova-Liouvilleova úloha je speciálním případem okrajové úlohy (9). Nyní hledáme parametr λ a nenulovou funkci y(x), x a, b, tak, aby platilo a 2 (x)y + a (x)y + a (x)y = λy x (a, b) s homogenními okrajovými podmínkami α y(a) + β y (a) =, α 2 y(b) + β 2 y (b) =. Ta hodnota parametru λ, pro kterou existuje nenulové řešení y(x) této úlohy, se nazývá vlastní číslo úlohy a funkce y(x) se nazývá vlastní funkce úlohy odpovídající vlastnímu číslu λ. Obecně pro operátorovou rovnici L[y] = λy hledáme vlastní číslo a vlastní funkci, které splňují danou rovnici.

3 Matematická analýza 2 Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okra- Příklad.9 : jové úlohy y = λy, y() =, y(π) =. Pro λ < a pro λ = vyplývá z tvaru obecného řešení, že úloha má pouze nulové řešení (prověřte!). Pro λ > má obecné řešení tvar y(x) = C cos λx + C 2 sin λx. Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C, C 2 Odtud = C + C 2, = C cos λπ + C 2 sin λπ. C =, C 2 sin λπ =. Aby mohlo být C 2 (zajímá nás nenulové řešení!), musí nastat rovnost sin λπ =, tj. λπ = kπ, kde k =, 2, 3,.... Pro hodnoty λ = λ k úloha nenulové řešení = k 2 : (, 4, 9, 6,...) má okrajová y k (x) = C 2 sin kx. Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel {, 4, 9, 6,...} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {sin x, sin 2x, sin 3x,...}.

Matematická analýza 2 3.8 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. řádu Motivace: Systém lovec-kořist Nechť funkce y popisuje počet lovců (např. lišek) a funkce y 2 počet kořisti (např. zajíců). Velice zjednodušeně si můžeme představit, že rychlost přibývání lovců (tj. y ) je přímo úměrná počtu kořisti, neboli y = k y 2, k R. Zároveň rychlost úbytku kořisti (tj. y 2) přímo závisí na počtu lovců, tedy y 2 = k 2 y, k 2 R. Dostáváme tak soustavu dvou diferenciálních rovnic o dvou neznámých y = k y 2, y 2 = k 2 y. Obecnou soustavu lineárních diferenciálních rovnic. řádu píšeme ve tvaru y = a (x)y + a 2 (x)y 2 +... + a n (x)y n + b (x), y 2 = a 2 (x)y + a 22 (x)y 2 +... + a 2n (x)y n + b 2 (x),................................................. y n = a n (x)y + a n2 (x)y 2 +... + a nn (x)y n + b n (x), kde a ij (x), b i (x), i, j =,..., n jsou funkce definované na nějakém intervalu I. Jestliže označíme a (x), a 2 (x),..., a n (x) A(x) = a 2 (x), a 22 (x),..., a 2n (x)............................, a n (x), a n2 (x),..., a nn (x) b(x) = (b (x), b 2 (x),..., b n (x)) T, y(x) = (y (x), y 2 (x),..., y n (x)) T, můžeme soustavu psát v maticovém tvaru Vektorovou funkci y = A(x) y(x) + b(x). Podobně jako v definici (.6) formulujeme počáteční úlohu. y (x) = A(x) y(x) + b(x), () y(x ) = x, x I, x R n (2) Vektorová funkce y = y(x) splňující rovnici () a počáteční podmínky (2) se nazývá řešení počáteční úlohy. Matice A(x) se nazývá matice soustavy, vektor b(x) se nazývá vektor pravých stran. Je-li b(x)=, potom se soustava () nazývá homogenní. y = y(x) řešící počáteční úlohu můžeme geometricky interpretovat jako parametrické rovnice křivky, fyzikálně pak jako polohový vektor pohybujícího se bodu ve fázovém prostoru. Hovoříme o fázové křivce nebo trajektorii soustavy.

32 Matematická analýza 2 Poznámka.3 : Každá soustava n diferenciálních rovnic.řádu y = A y + b(x), kde... y (x)... A=...., y 2 (x) b(x)=., y(x)= y 3 (x).... p p p 2... p n f(x) y n (x) Na soustavy diferenciálních rovnic používáme stejné metody jako pro rovnici jedinou. Použití těchto metod je však složitější, zvláště když matice A nemá speciální tvar (diagonální, trojúhelníkový, Jordanův). je ekvivalentní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu y (n) + p (n ) y (n ) + + p y + p y = f(x). Připomeňme, že všechna řešení homogenní rovnice L[y] = lze zapsat ve tvaru y h = c y + c 2 y 2 + + c n y n, kde funkce y, y 2,, y n tvoří fundamentální systém rovnice (viz definice (.8) a věta (.5)). Podobně lze ukázat, že všechna řešení homogenní soustavy y = A(x) y se dají vyjádřit jako lineární kombinace jednoho (zvoleného) fundamentálního systému..9 Metody řešení soustavy diferenciálních rovnic Metoda převodu na jednu rovnici n-tého řádu (eliminační metoda) Převodem na rovnici 2. řádu najdeme řešení homogenní soustavy diferenciálních rovnic y = 4y 2y 2, y 2 = y + y 2. Obecně soustavu y (x) = A(x) y + b(x) převádíme na jednu rovnici n-tého řádu derivováním, např. první rovnice, a postupnou eliminací ostatních neznámých funkcí. Z 2. rovnice vyjádříme y = y 2 y 2, zderivujeme y = y 2 y 2 a obě rovnice dosadíme do. rovnice. Dostaneme y 2 y 2 = 4(y 2 y 2 ) 2y 2 y 2 5y 2 + 6y 2 =. Obecné řešení této rovnice má tvar y 2 (x) = C e 3x +C 2 e 2x, potom y (x) = (C e 3x + C 2 e 2x ) (C e 3x + C 2 e 2x ) = 2C e 3x + C 2 e 2x. Obecným vektorem řešení soustavy je vektorová funkce ( ) ( ) ( ) 2C e y(x) = 3x + C 2 e 2x 2e 3x e 2x = C +C 2. C e 3x + C 2 e 2x e 3x } {{ } y e 2x } {{ } y 2

Matematická analýza 2 33 ( ) ( ) 2e 3x e 2x Říkáme, že vektorové funkce y = e 3x, y 2 = e 2x tvoří ( ) 2e fundamentální systém soustavy a matice Y = 3x e 2x se nazývá fundamentální matice soustavy. ( ) Označíme-li vektor konstant C C =, pak řešení soustavy C ( 2 ) ( ) 2e můžeme psát ve tvaru y = 3x e 2x C = Y C. e 3x Všimněme si, ( že čísla ) λ = 3, λ 2 = 2 jsou ( vlastní ) čísla ( ) matice 4 2 soustavy A = a vektory 2 h =, h 2 = jsou jim odpovídající vlastní čísla. Obecné řešení soustavy tedy můžeme psát ve tvaru y(x) = C h e λx + C 2 h2 e λ2x. Tento poznatek zobecníme v následujícím paragrafu. e 2x C 2 e 3x e 2x Metoda fundamentálního systému a fundamentální matice Nyní máme homogenní soustavu n diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty y = A y, x I. (3) Řešení soustavy (3) hledáme ve tvaru y = he λx, kde h je konstantní vektor. Po dosazení do (3) dostaneme λ he λx = A he λx, nebo-li (λi A) h =, kde I je jednotková matice. Tudíž λ je vlastní číslo matice A a h je odpovídající vlastní vektor. Různá násobnost vlastního čísla vede k následujícím možnostem. a) Nechť λ i, i =,..., n jsou navzájem různá vlastní V případě, že máme n čísla (obecně komplexní) matice A a h i (i =,..., n) jsou různých vlastních čísel matice A, pak každé je odpovídající lineárně nezávislé vlastní vektory. Potom vektorové jednonásobné. funkce y i (x) = h i e λ ix, i =, 2,..., n

34 Matematická analýza 2 jsou lineárně nezávislá řešení homogenní soustavy y = A y a tvoří fundamentální systém dané homogenní soustavy. Matice Y(x) (řádu n), jejíž sloupce jsou tvořeny fundamentálním systémem, tj. ( Y(x) = h e λx, h 2 e λ2x,..., h n e nx) λ se nazývá fundamentální maticí soustavy (3). Obecné řešení soustavy (3) definujeme jako vektorový násobek fundamentální matice resp. v rozepsané podobě y(x) = Y(x) C, y(x) = C h e λ x + C 2 h2 e λ 2x + + C n hn e λ nx, kde C = (C, C 2,..., C n ) T je libovolný konstantní vektor. Příklad.2 : řešení soustavy Zde máme det(λi A) = det Určíme fundamentální matici a obecné y = 5y 2y 2 2y 3, y 2 = 2y + y 2 + y 3, y 3 = 4y 6y 2 6y 3. A = 5 2 2 2 4 6 6 λ 5 2 2 2 λ 4 6 λ + 6, =λ(λ )(λ+). Vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A jsou: λ =, h =(,, ) T (řešení soustavy A h= ), λ 2 =, h2 =(,, 2) T (řešení soustavy (I A) h= ), λ 3 =, h3 =(,, 4) T (řešení soustavy ( I A) h= ). Fundamentální matice má tedy tvar Y(x)=, 2 a obecné řešení má tvar e x, 4 e x e x e x = e x 2e x 4e x y(x) = Y(x) C = C h + C 2 h2 e x + C 3 h3 e x.

Matematická analýza 2 35 b) Nechť λ i je r i -násobným vlastním číslem matice A. V tomto případě je situace složitější v závislosti na počtu lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A příslušných vlastnímu číslu λ. Abychom se vyhnuli použití Jordanova tvaru matice A, musíme se spokojit s konstatováním, že ve fundamentálním systému, fundamentální matici a v obecném řešení vystupují lineární kombinace funkcí typu (viz také metodu charakteristické rovnice pro diferenciální rovnici n-tého řádu) e λ ix, xe λ ix, x 2 e λ ix,..., x k e λ ix, k r i. Vektorové funkce, které ve fundamentálním systému přísluší vlastnímu číslu λ i budeme hledat ve tvaru P i (x) P i2 (x) y(x) =. eλ ix, P in (x) kde koeficienty polynomů P ij (x) stupně nejvýše r i určíme z požadavku, aby funkce y(x) byla řešením soustavy a abychom dostali chybějící lineárně nezávislá řešení. Sestrojíme pak fundamentální matici Y(x) a obecné řešení vyjádříme ve tvaru y(x) = Y(x) C, C = (C, C 2,..., C n ) T. Příklad.2 : Stanovme obecné řešení, fundamentální systém a fundamentální matici soustavy y = A y tvaru y = 2y y 2, y 2 = y. ( ) 2 Matice A = dané soustavy má dvojnásobné vlastní číslo λ,2 = a jeden vlastní vektor h = (, ) T. Odpovídající řešení y(x) = he x nestačí k určení obecného řešení. Budeme jej proto hledat ve tvaru ( ) a + a y(x) = 2 x e x. b + b 2 x

36 Matematická analýza 2 Dosazením do soustavy y = A y dostaneme ( ) ( ) ( ) ( a + a 2 x e x a2 2 + e x a + a = 2 x b + b 2 x b + b 2 x b 2 ) e x neboli a + a 2 x + a 2 = 2a + 2a 2 x b b 2 x, b + b 2 x + b 2 = a + a 2 x. Odtud plyne b 2 = a 2, b = a a 2 ; takže obecné řešení má tvar ( ) ( ) ( ) a + a y(x) = 2 x x e x =a (a a 2 ) + a 2 x e x + a 2 e x. + x Fundamentální matici sestavíme z funkcí fundamentálního systému, tj. ( ) e x xe Y(x) = x e x ( + x)e x a snadno prověříme, že platí Y = AY. Pozorování: obecné řešení lze upravit na tvar ( ) (( ) ( )) y(x)=a e x + a 2 +x e x =a he x + a 2 ( v + x h) e x, K vícenásobnému vlastnímu číslu může patřit více lineárně nezávislých vlastních vektorů, popřípadě řetězec vektorů. kde h = (, ) T je vlastní vektor matice A odpovídající dvojnásobnému vlastnímu číslu λ,2 = a v je nenulové řešení nehomogenní soustavy (A λ,2 I) v = h. Příklad.22 : Najdeme obecné řešení soustavy y = y y 2 = y 2 + y 3 y 3 = y 3 Kořeny charakteristické rovnice λ det λ = (λ ) 3 = λ jsou λ,2,3 =.

Matematická analýza 2 37 Vlastní číslo λ= je trojnásobné. Obecné řešení proto hledáme ve tvaru a + a 2 x + a 3 x 2 y(x) = b + b 2 x + b 3 x 2 e x. c + c 2 x + c 3 x 2 Dosazením do původní soustavy a po vydělení e x dostaneme a 2 + 2a 3 x + a + a 2 x + a 3 x 2 = a +a 2 x+a 3 x 2 b 2 + 2b 3 x + b + b 2 x + b 3 x 2 = b +b 2 x +b 3 x 2 +c +c 2 x+c 3 x 2 c 2 + 2c 3 x + c + c 2 x + c 3 x 2 = c +c 2 x +c 3 x 2. Odtud plyne a 3 = a 3 2a 3 + a 2 = a 2 a 2 + a = a b 3 = b 3 + c 3 2b 3 + b 2 = b 2 + c 2 b 2 + b = b + c c 3 = c 3 2c 3 + c 2 = c 2 c 2 + c = c, neboli a 2 = a 3 =, a R, b 2 = c, b 3 =, b R, c 2 = c 3 =, c R. Obecné řešení má tedy tvar a y(x) = b +c x e x =a e x +b e x +c +x e x. c Příklad.23 : matici soustavy Stanovme obecné řešení a fundamentální y = y + y 2, y 2 = y 2 + 4y 3, y 3 = y 4y 3. Vlastnímu číslu λ= přísluší dva lineárně nezávislé vlastní vektory h = (,, ) T, h2 = (,, ) T a s vektorem h 2 tvoří řetězec vektor v = (,, ) T. Kořeny charakteristické rovnice λ + det λ + 4 = λ 3 + 6λ 2 + 9λ = λ + 4 jsou λ,2 = 3, λ 3 =.

38 Matematická analýza 2 Vlastnímu číslu λ 3 = přísluší vektor h 3 = (,, 4 )T a dvojnásobnému vlastnímu číslu λ,2 = 3 přísluší jeden vlastní vektor h =(, 2, ) T. Obecné řešení hledáme proto ve tvaru y(x) = a + a 2 x b + b 2 x c + c 2 x e 3x + a 3 4 e x. Dosazením do soustavy určíme vztahy mezi a, a 2, b, b 2, c, c 2, tj. 2a a 2 + b =, 2a + b 2 =, 2b b 2 + 4c =, 2b 2 + 4c 2 =, c c 2 + a =, c 2 + a 2 =. Pomocí a, a 2 vyjádříme ostatní koeficienty: b = a 2 2a 2, b 2 = 2a 2, c = a a 2, c 2 = a 2. Takže obecné řešení soustavy má tvar a + a 2 x y(x)= (a 2 2a ) 2a 2 x (a a 2 ) + a 2 x e 3x + a 3 4 = x = a 2 e 3x + a 2 2x e 3x + a 3 = + x 4 = a 2 e 3x + a 2 +x 2 e 3x +a 3 = = a h e 3x + a 2 ( v + x h )e 3x + a 3 h3, kde (λ,2 I A) h =, (λ,2 I A) v = h, (λ 3 I A) h 3 =. Fundamentální matice soustavy má tedy tvar e 3x xe 3x Y(x) = 2e 3x ( 2x)e 3x, e 3x ( + x)e 3x 4 a proto y(x) = Y(x) a, a = (a, a 2, a 3 ) T. 4

Matematická analýza 2 39 Metoda variace konstant Nyní máme nehomogenní soustavu diferenciálních rovnic y = A(x) x + b(x), x I () a metodou variace konstant nalezneme její řešení.. Nejdříve vyřešíme homogenní soustavu y = A(x) y. Řešení homogenní soustavy má tvar y h (x) = Y(x) C, kde Y(x) je fundamentální matice soustavy a C je vektor konstant. 2. Partikulární řešení rovnice () hledáme ve tvaru y p (x) = Y(x) C(x), kde C(x) je vektor funkcí. Po dosazení do soustavy () máme Y (x) C(x) + Y(x) C (x) = AY(x) C(x) + b(x). Protože Y = AY, tak platí Y(x) C (x) = b(x) C (x) = Y (x) b(x). Přímou integrací určíme C(x) = Y (ξ) b(ξ) dξ a partikulární řešení soustavy () dostaneme ve tvaru y p (x) = Y(x) Y (ξ) b(ξ) dξ. 3. Obecné řešení nehomogenní soustavy má proto tvar ( ) y(x) = y(x) h + y p (x) = Y(x) C + Y (ξ) b(ξ) dξ, kde C = (C, C 2,..., C n ) T je libovolný konstantní vektor. Příklad.24 : Metodou variace konstant řešíme soustavu y = 4y 2y 2 + e x, y 2 = y + y 2 + e x.

4 Matematická analýza 2. Najdeme fundamentální matici homogenní soustavy ( ) e Y(x) = 3x e 2x. 2 e3x e 2x 2. Protože ( 2e Y (x) = 3x 2e 3x e 2x 2e 2x ), tak partikulární řešení soustavy má tvar ( ) e y p (x) = 3x e 2x ( ) ( e x e ξ dξ = e x 2 e3x e 2x ). Pokud nechceme počítat inverzní matici k fundamentální, pak vektor C(x) získáme vyřešením soustavy Y(x) C (x)= b(x), neboli jinou metodou. e 3x C + e 2x C 2 = e x 2 e3x C + e 2x C 2 = e x, 3. Obecným řešením úlohy je vektorová funkce ( ) ( ) ( ) ( y (x) e = 3x e 2x C e x + y 2 (x) e x 2 e3x e 2x C 2 kde C, C 2 jsou libovolné konstanty. ),

Matematická analýza 2 4 Posloupnosti a řady funkcí Motivace Při řešení počáteční úlohy y (x) = y(x), y() = můžeme formálním derivováním dostat y (x) = y (x),, y (n+) (x) = y (n) (x), y (n) () =. Taylorův rozvoj funkce y v bodě tedy bude mít tvar y(x) = y() + y ()(x ) + y(n) () (x ) n + = n! n= x n n!. Řešení úlohy jsme dostali ve tvaru tzv. mocninné řady, kterou budeme zkoumat v této kapitole. Rovnici y = y řeší exponenciální funkce e x, jejíž Taylorův rozvoj je n= x n n!.. Posloupnosti funkcí Definice. : Předpokládejme, že funkce f, f 2, f 3,... jsou definovány na množině M R. Potom zobrazení F : n f n, n N se nazývá posloupnost funkcí na množině M. Značíme F = {f n } n=, zkráceně {f n }. Příklad. : f n (x) = xn n!, M = R. Definice.2 : Posloupnost funkcí {f n } + n= je omezená na množině M, existuje-li konstanta K > taková, že pro všechna x M a pro všechna n =, 2,... platí f n (x) K. Příklad.2 : Posloupnost f n (x) = cos nx je omezená na množině M = R konstantou K. Definice.3 : Posloupnost {f n } + n= konverguje v bodě x M, když číselná posloupnost {f n (x )} + n= konverguje. Posloupnost {f n } + n= konverguje bodově na množině M, když pro každé x M číselná posloupnost {f n (x)} + n= konverguje. Množinu M pak nazýváme oborem bodové konvergence a na M je definována funkce f =f(x) vztahem f(x) = lim n f n (x), x M. Funkce f se nazývá bodová limitní funkce posloupnosti {f n } + n=, značíme f n f.

42 Matematická analýza 2 Příklad.3 : Posloupnost f n (x) = x n k funkci f = na množině M = R. konverguje bodově Posloupnost {x n } + n=, M =, má bodovou limitu { x, ), f(x) = x =. Poslední příklad ilustruje situaci, kdy posloupnost spojitých funkcí konverguje bodově k nespojité funkci. Proto bodovou konvergenci vylepšíme. Definice.4 : Řekneme, že posloupnost {f n } + n= konverguje stejnoměrně na množině M k funkci f = f(x), jestliže lim sup f n (x) f(x) =. n x M Značíme f n f. Funkci f nazýváme stejnoměrnou limitou. Poznámka. : Uvedeme ekvivalentní definice konvergence posloupnosti funkcí.. Bodová konvergence na M : x M ε > n (ε, x) n > n : f n (x) f(x) < ε, 2. Stejnoměrná konvergence na M : ε > n (ε) n > n x M : f n (x) f(x) < ε. Příklad.4 : (pokračování příkladu (.3)) Posloupnost {x n } na, nekonverguje stejnoměrně. Platí totiž sup x, x n f(x) = n N. Zvolme < δ <. Potom na intervalu, δ posloupnost {x n } konverguje stejnoměrně, neboť pro x, δ je f(x) = a sup x n = δ n pro n. x,δ Zároveň platí lim x x n = n N, lim x f(x) =.

Matematická analýza 2 43 Jinými slovy: lim lim x n (x) = lim n =. n x n lim x n (x) = lim =. n x lim x Vidíme, že limity nelze zaměnit. Příklad.5 : Nechť f n (x) = sin nx n, n =, 2,.... Potom a protože Zároveň lim f n(x) = f(x) = na R n sin nx sup =, tak f n. x R n n lim n f n() = lim n n cos(n) = +, ale ( lim f n ()) = f (x) =. n Vidíme, že derivace limitní funkce není limitou posloupnosti derivací. Říkáme, že danou posloupnost {f n } nelze derivovat člen po členu. Příklad.6 : Nechť f n (x) = nx( x 2 ) n, x,. Potom f(x) = lim n f n (x) = x,. Zároveň pro integrály členů posloupnosti platí lim f n (x) dx = lim nx( x 2 ) n n dx = lim n n n 2n + 2 = 2 avšak ( ) lim f n(x) dx = n f(x) dx =. Opět vidíme, že nelze zaměnit pořadí limitování a integrování, tj. limita posloupnosti integrálů není rovna integrálu z limity. Říkáme, že danou posloupnost nelze integrovat člen po členu.

44 Matematická analýza 2 Věta. : (Postačující podmínka spojitosti, diferencovatelnosti a integrovatelnosti limitní funkce, záměnnosti limit) a) Je-li {f n } posloupnost spojitých funkcí na intervalu I, která na I konverguje stejnoměrně k funkci f, potom funkce f = f(x) je také spojitá na I. b) Jestliže posloupnost {f n } Riemannovsky integrovatelných funkcí (f n R(I), I = a, b ) konverguje stejnoměrně na I k funkci f(x), potom f R(I) a platí b b lim f n (x) dx = n a a b lim f n(x) dx = n a f(x) dx. c) Jestliže posloupnost {f n } konverguje v nějakém bodě x I = a, b, f n jsou diferencovatelné funkce na I a posloupnost derivací {f n} konverguje stejnoměrně na I, potom i posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na I, limitní funkce f(x) = lim f n (x) je diferencovatelná funkce n na I a platí lim f n(x) = n [ lim f n(x) n ] = f (x). d) Nechť f n f na (a, b) a pro každé n N existuje vlastní limita lim f n(x) = c n. Pak existují vlastní limity x a+ lim c n, lim f(x) a jsou si rovny. n x a+.2 Funkční řady Příklad.7 : Výraz + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + = + n= x n n!, x R, je řadou funkcí, x, x2 2!,... definovaných na R. Pro každé pevné x R dostáváme číselnou řadu, která konverguje, neboť podle d Alembertova kritéria je lim n x n+ (n+)! x n n! x = lim n n + = (< ), x R.